Импульсная функция как найти - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Импульсная
(весовая) характеристика или импульсная
функция
цепи –
это ее обобщенная характеристика,
являющаяся временной функцией, численно
равная реакции цепи на единичное
импульсное воздействие на ее входе при
нулевых начальных условиях (рис. 13.14);
другими словами, это отклик цепи,
свободной от начального запаса энергии
на дельта-функцию Дирана
на ее входе.

Рис.
13.14

Функцию
можно определить, рассчитав переходную

или передаточную
функцию цепи.

Расчет функции
с использованием переходной функции
цепи. Пусть при входном воздействии
реакцией линейной электрической цепи
является .
Тогда в силу линейности цепи при входном
воздействии, равном производной ,
реакция цепи будет равна производной
.

Как отмечалось,
при ,
реакция цепи ,
а если ,
то реакция цепи будет ,
т.е. импульсная функция

Согласно свойству
выборки
произведение
.
Таким образом, импульсная функция цепи

.
(13.8)

Если ,
то импульсная функция имеет вид

.
(13.9)

Следовательно,
размерность импульсной характеристики
равна размерности переходной
характеристики, поделенной на время.

Расчет функции
с использованием передаточной функции
цепи. Согласно выражению (13.6), при
воздействии на вход функции ,
откликом функции будет переходная
функция
вида:

С другой стороны,
известно, что изображение производной
функции по времени ,
при ,
равно произведению .

Откуда ,

или ,
(13.10)

т.е. импульсная
характеристика
цепи равна обратному преобразованию
Лапласа ее передаточной
функции.

Пример.
Найдем импульсную функцию цепи, схемы
замещения которой представлены на рис.
13.12, а;
13.13.

Решение

Переходная и
передаточная функции этой цепи били
получены ранее:

Тогда, согласно
выражению (13.8)

где .

Рис.
13.15.

График импульсной
характеристики
цепи представлен на рис. 13.15.

Выводы

Импульсная
характеристика
введена по тем же двум причинам, что и
переходная характеристика .

1. Единичное
импульсное воздействие
– скачкообразное и потому довольно
тяжелое для любой системы или цепи
внешнее воздействие. Следовательно,
важно знать реакцию системы или цепи
именно при таком воздействии, т.е.
импульсную характеристику .

2. При помощи
некоторого видоизменения интеграла
Дюамеля можно, зная
вычислить реакцию системы или цепи на
любое внешнее возмущение (см. далее пп.
13.4, 13.5).

4. Интеграл наложения (дюамеля).

Пусть произвольный
пассивный двухполюсник (рис. 13.16, а)
подключается к источнику непрерывно
изменяющегося с момента
напряжения(рис. 13.16,б).

Рис.
13.16.

Требуется найти
ток
(или напряжение) в любой ветви двухполюсника
после замыкания ключа.

Задачу решим в два
этапа. Сначала искомую величину найдем
при включении двухполюсника на единичный
скачок напряжения, который задается
единичной ступенчатой функцией
.

Известно, что
реакцией цепи на единичный скачок
является переходная
характеристика (функция)
.

Например, для
–
цепи переходная функция по току(см. п.2.1), для–
цепи переходная функция по напряжению.

На втором этапе
непрерывно изменяющееся напряжение
заменим ступенчатой функцией с
элементарными прямоугольными скачками(см. рис. 13.16б).
Тогда процесс изменения напряжения
можно представить как включение при
постоянного напряжения,
а затем как включение элементарных
постоянных напряжений,
смещенных относительно друг друга на
интервалы времении имеющих знак плюс для возрастающей и
минус для падающей ветви заданной кривой
напряжения.

Составляющая
искомого тока в момент
от постоянного напряженияравна:

Составляющая
искомого тока от элементарного скачка
напряжения
,
включаемого в момент времениравна:

Здесь аргументом
переходной функции является время
,
поскольку элементарный скачок напряженияначинает действовать на времяпозднее замыкания ключа или, иначе
говоря, поскольку промежуток времени
между моментомначала действия этого скачка и моментом
времениравен.

Элементарный
скачок напряжения

где
– масштабный коэффициент.

Поэтому искомая
составляющая тока

Элементарные
скачки напряжения включаются на интервале
времени от
до момента,
для которого определяется искомый ток.
Поэтому, суммируя составляющие тока от
всех скачков, переходя к пределу при,
и учитывая составляющую тока от начального
скачка напряжения,
получаем:

Последняя формула
для определения тока при непрерывном
изменении приложенного напряжения

(13.11)

называется
интегралом
наложения (суперпозиции)
или интегралом
Дюамеля
(первой формой записи этого интеграла).

Аналогично решается
задача при подключении цепи и источнику
тока. Согласно этому интегралу реакция
цепи, в общем виде,
в некоторый моментпосле
начала воздействияопределяется всей той частью воздействия,
которая имела место до момента времени.

Заменой переменных
и интегрированием по частям можно
получить другие формы записи интеграла
Дюамеля, эквивалентные выражению
(13.11):

Выбор формы записи
интеграла Дюамеля определяется удобством
расчета. Например, в случае, если
выражается экспоненциальной функцией,
удобной оказывается формула (13.13) или
(13.14), что обуславливается простотой
дифференцирования экспоненциальной
функции.

При
илиудобно применять форму записи, в которой
слагаемое перед интегралом обращается
в нуль.

Произвольное
воздействие
может быть представлено также в виде
суммы последовательно включаемых
импульсов, как это изображено на рис.
13.17.

Рис.
13.17.

При бесконечно
малой длительности импульсов
получим формулы интеграла Дюамеля,
аналогичные (13.13) и (13.14).

Эти же формулы
можно получить из соотношений (13.13) и
(13.14), заменив а них производную функцию
импульсной функцией.

Вывод.

Таким образом, на
основе формул интеграла Дюамеля (13.11) –
(13.16) и временных характеристик цепи
имогут быть определены временные функции
откликов цепина произвольные воздействия.

Соседние файлы в папке ДРТЦ дляЗАО

Источник

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 26 декабря 2018 года; проверки требуют 12 правок.

Импульсная переходная функция (весовая функция, импульсная характеристика) — выходной сигнал динамической системы как реакция на входной сигнал в виде дельта-функции Дирака. В цифровых системах входной сигнал представляет собой простой импульс минимальной ширины (равной периоду дискретизации для дискретных систем) и максимальной амплитуды. В применении к фильтрации сигнала называется также ядром фильтра. Находит широкое применение в теории управления, обработке сигналов и изображений, теории связи и других областях инженерного дела.

Определение[править | править код]

Импульсной характеристикой системы называется её реакция на единичный импульс при нулевых начальных условиях.

Свойства[править | править код]

Выходной сигнал линейной системы может быть получен как свертка его входного сигнала x(t) и импульсной характеристики системы h(t) :

$y(t)=int limits _{{-infty }}^{{+infty }}h(tau )x(t-tau )dtau$

либо, в случае цифровой системы

$y[n]=sum limits _{{k=0}}^{{n}}h[k]x[n-k],n=0,1,2,...$

Для того чтобы система была физически реализуема в реальном времени, её импульсная переходная функция должна удовлетворять условию: при В противном случае система нереализуема, поскольку отклик на выходе системы не может появиться раньше, чем поступающее на вход системы воздействие, вызывающее отклик (см. статью физически реализуемая система).

Применение[править | править код]

Анализ систем[править | править код]

Этот раздел статьи ещё не написан.

Здесь может располагаться отдельный раздел. Помогите Википедии, написав его. (16 февраля 2012)

Восстановление частотной характеристики[править | править код]

Важным свойством импульсной характеристики является тот факт, что на её основе может быть получена комплексная частотная характеристика, определяемая как отношение комплексного спектра сигнала на выходе системы к комплексному спектру входного сигнала.

Комплексная частотная характеристика (КЧХ) является аналитическим выражением комплексной функции. КЧХ строится на комплексной плоскости и представляет собой кривую траектории конца вектора в рабочем диапазоне изменения частот, называемую годографом КЧХ. Для построения КЧХ обычно требуется 5-8 точек в рабочем диапазоне частот: от минимально реализуемой частоты до частоты среза (частоты окончания эксперимента). КЧХ, так же, как и временная характеристика будет давать полную информацию о свойствах линейных динамических систем.^[1]

Частотная характеристика фильтра определяется как преобразование Фурье (дискретное преобразование Фурье в случае цифрового сигнала) от импульсной характеристики.

$H(jomega )=int limits _{{-infty }}^{{+infty }}h(tau )e^{{-jomega tau }},dtau$

Цифровая фильтрация[править | править код]

Этот раздел статьи ещё не написан.

Здесь может располагаться отдельный раздел. Помогите Википедии, написав его. (16 февраля 2012)

Импульсная переходная функция системы рассматривается только для дискретных сигналов, если же сигналы непрерывные, то фиксируются их значения только для дискретных моментов времени, кратных периоду прерывания сигнала в системе.

Фильтр с характеристикой типа «приподнятый косинус» (ФПК) — особый электронный фильтр, часто встречающийся в телекоммуникационных системах благодаря возможности минимизировать межсимвольные искажения.

Импульсный отклик такого фильтра описывается следующей формулой:

${displaystyle h(t)=mathrm {sinc} left({frac {t}{T}}right){frac {cos left({frac {pi beta t}{T}}right)}{1-{frac {4beta ^{2}t^{2}}{T^{2}}}}}}$

, в выражении через sinc функцию.

См. также[править | править код]

Переходный процесс
Переходная функция
Передаточная функция

Примечания[править | править код]

↑ А. В. Андрюшин, В. Р. Сабанин, Н. И. Смирнов. Управление и инноватика в теплоэнергетике. — М: МЭИ, 2011. — С. 36. — 392 с. — ISBN 978-5-38300539-2.

Источник

Демьян Бондарь

Эксперт по предмету «Электроника, электротехника, радиотехника»

преподавательский стаж — 5 лет

Задать вопрос автору статьи

Единичная импульсная функция

Определение 1

Единичная импульсная функция или дельта-функция – это обобщенная функция, позволяющая записать точечное воздействие и пространственную плотность физических величин (источник тепла, масса, заряд, сила и т. п.), которые сосредоточены или приложены в одной точке.

Например, плотность единичной точечной массы, которая находится в определенной точке одномерного евклидового пространства, при помощи дельта функции записывается следующим образом:

$mδ(х-а) $

где: m – единичная точечная масса; а – точка одномерного евклидового пространства.

Единичная импульсная функция может быть также использована для описания распределения массы, заряда и т. п. на линиях или поверхностях.

Определение 2

Евклидово пространство – это пространство, свойства которого могут быть описаны аксиомами евклидовой геометрии, в данном случае предполагается, что у пространства размерность равняется 3, то есть оно является трехмерным.

Дельта функция не является вещественной переменной и определяется, как обобщенная функция: непрерывный линейный функционал на пространстве дифференцируемых функций. Возможно ввести для дельта-функции производную, которая будет являться, а также интеграл, определяемый, как функция Хевисайда. Различают одномерные и многомерные дельта – функции. Многомерные функции могут быть представлены, как произведение одномерных функций в количестве, которое равно размерности пространства, где определена многомерная единичная импульсная функция.

Единичную импульсную функцию для одной вещественной переменной можно определить, как функцию δ(х), которая удовлетворяет следующим условиям:

«Ступенчатая и единичная импульсная функция» 👇

Рисунок 1. Условия. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Представленная выше функция не равна нулю только в точке х=0. В данной точке она обращается в бесконечность таким образом, чтобы интеграл по любой окрестности х=0 был равен единице. В этом случае понятие дельта-функции аналогично физическим понятиям точечного заряда и точечной массы. Для понимания интеграла представляет некоторая фигура на плоскости с единичной площадью, например, треугольник. Если уменьшить основание этого треугольника и увеличить его высоту таким образом, чтобы его площадь не менялась, тогда в предельном случае получается треугольник с малым основанием и большой высотой. По предположению его площадь равняется единице, что и демонстрирует интеграл.

Замечание 1

Вместо треугольника могут быть использованы любые геометрические фигуры

К основным свойствам единичной функции относятся следующие свойства:

Дельта-функция является четной.
Интеграл от дельта-функции по любому интервалу, который содержит в себе ноль, то есть вида (-а1, а2), где а1 и а2 – действительные положительные числа, равен единице.
хδ’(x) = -δ(x).
Рисунок 2.

где xk – простые нули функции f(x).
Функция Хевисайда является первообразной одномерной дельта-функцией, то есть

Рисунок 3. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

.
Фильтрующее свойство единичной импульсной функции выражается следующим образом:

Рисунок 4. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Единичная ступенчатая функция

Определение 3

Единичная ступенчатая функция или функция Хевисайда – это кусочно-постоянная функция, которая равна нулю при отрицательных значениях аргумента и единице при положительных.

При нуле функция Хевисайда не определена, но на практике, как правило, доопределяется в данной точке некоторым числом, для того, чтобы в состав области определения функции входили все точки действительной оси. В большинстве случаев не неважно, какое значение принимает функция Хевисайда, поэтому могут быть использованы разнообразные определения функции, например:

Рисунок 5. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Единичная ступенчатая функция может быть записана с использованием скобки Айверсона.

Рисунок 6. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Единичная ступенчатая функция используется в математическом аппарате теории управления и теории управления процессом обработки сигналов для представления сигналов, которые в определенный момент времени переходят из одного состояния в другое. Например, в математической статистике, данная функция применяется для записи эмпирической функции распределения. Функция Хевисайда является первообразной для дельта-функции Дирака, что может быть записано следующим образом:

Рисунок 7. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Функция Хевисайда является самой простой ступенчатой функцией. Дискретная функция Хевисайда может быть определена от целого аргумента.

Рисунок 8. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

где n – целое число.

Единичный дискретный импульс представляет собой разность дискретно функции Хевисайда, то есть:

Рисунок 9. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Чтобы использование функции Хевисайда было более удобное ее можно аппроксимировать при помощи непрерывной функции следующим образом:

Рисунок 10. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

где, к соответствует самому крутому подъему функции в точке х=0.

Если задать необходимую ширину области перехода функции Хевисайда, то значение к можно оценить следующим образом:

$к = 10/ Δ х$

где, Δ х – ширина области перехода функции.

Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу

Поиск по теме

Источник

Макеты страниц

П.1.1. Определения

Единичная импульсная функция называемая также дельта-функцией Дирака, по определению, равна бесконечности, когда ее аргумент равен нулю, и нулю при остальных значениях аргумента, причем площадь под ее графиком равна единице Таким образом,

Далее, часто желательно определять эту импульсную функцию так, чтобы она была четной функцией своего аргумента:

В этом случае

Предположим, что единичная импульсная функция интегрируема по интервалу Тогда результат интегрирования будет лавен нулю, половине или единице в зависимости от того, будет соответственно меньше равно или больше Следовательно,

где — функция единичного скачка:

Таким образом, функция единичного скачка является интегралом от единичной импульсной функции, и мы, следовательно, можем, рассматривать единичную импульсную функцию как производную от функции единичного скачка. Итак,

Единичная импульсная функция и функция единичного скачка изображены на фиг. П. 1.1.

Фиг. П. 1.1. Сингулярные функции: а — единичная импульсная функция; б — функция единичного скачка.

Хотя с математической точки зрения определение импульсной функции не вполне корректно, свойства ее часто оказываются весьма полезными. Например, с помощью единичной импульсной функции мы распространили понятие плотности распределения вероятностей на случай дискретных случайных величин. Для того чтобы сделать введение единичной импульсной функции, или, вернее, операции, которые мы будем производить с ее помощью, более обоснованными, часто удобно рассматривать единичную импульсную функцию как предел бесконечной последовательности обычных функций.

Рассмотрим прямоугольную импульсную функцию

где . Эта функция изображена на фиг. П. 1.2. Для нее при всех

Если мы теперь положим то ширина импульса будет стремиться к нулю, высота — к бесконечности, а площадь под

графиком будет оставаться постоянной и равной единице. Таким образом, единичную импульсную функцию можно рассматривать как предел последовательности прямоугольных импульсных функций:

Прямоугольная импульсная функция является простым и удобным прототипом импульсной функции, но она разрывна.

Фиг. П. 1.2. а — прямоугольная импульсная функция; б — гауссовская импульсная функция.

В некоторых задачах более удобно использовать в качестве такого прототипа функции, обладающие производными. Одной из них является гауссовская импульсная функция

где Эта функция также изображена на фиг. П. 1.2. Для всех значений

Далее, при а высота стремится к бесконечности, а края сближаются к нулю. Таким образом, в пределе при гауссовская импульсная функция удовлетворяет определению единичной импульсной функции, и мы можем положить

П.1.2. Интегралы с дельта-функцией

Рассмотрим интеграл

где функция непрерывна в точке Согласно свойствам единичной импульсной функции, подинтегральное выражение I отлично от нуля только в точке Таким образом, интеграл зависит от значения только в точке и мы можем написать

Поэтому, используя (П. 1.2), имеем

Итак, для вычисления интеграла от произведения некоторой заданной функции на единичную импульсную функцию в точке нужно просто вычислить значение заданной функции в этой точке.

П.1.3. Преобразования Фурье

Преобразование Фурье единичной импульсной функции равно

Согласно сказанному в предыдущем параграфе,

и, следовательно,

Формальное применение обратного преобразования Фурье дает

Из равенств (П. 1.3) и (П. 1.14) мы видим, что как единичная импульсная, функция так и ее преобразование Фурье — четные

функции. Следовательно,

В соответствии с равенствами и тождеством

получаем пары преобразований Фурье

Поскольку как так и оба импульса являются четными функциями, последние равенства можно переписать в виде

П.1.4. Производные импульсных функций

Согласно равенствам прямоугольная импульсная функция может быть выражена через функцию единичного скачка:

следовательно, производная ее, согласно равна

Проинтегрируем теперь произведение этой производной на некоторую функцию имеющую в точке непрерывную производную. Используя равенство (П. 1.11), получим

Предел этого выражения при равен взятому с обратным знаком значению производной от при

Определим производную от единичной импульсной функции как соответствующий предел производной одного из ее прототипов; например,

Тогда мы можем переписать равенство (П.1.22) в виде 101

Следовательно, интеграл от произведения некоторой заданной функции с непрерывной при производной на производную от единичной импульсной функции в точке равен взятому с обратным знаком значению производной от заданной функции в этой точке.

Аналогично производная от единичной импульсной функции может быть определена как предел производной одного из ее прототипов. При этом можно показать, что если имеет в точке непрерывную производную, то

Поэтому преобразование Фурье от производной единичной импульсной функции равно

Следовательно, согласно

Оглавление

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
ПРЕДИСЛОВИЕ
Глава 1. ВВЕДЕНИЕ
1.1. Системы связи и статистика
1.2. Эта книга
Глава 2. ВЕРОЯТНОСТЬ
2.2. Основы
2.3. Совместные вероятности
2.4. Условные вероятности
2.5. Статистическая независимость
2.6. Примеры
2.7. Задачи
Глава 3. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
3.2. Функции распределения случайных величин
3.3. Дискретные случайные величины
3.4. Непрерывные случайные величины
3.5. Независимые случайные величины
3.6. Функции от случайных величин
3.7. Вероятностные процессы
3.8. Задачи
Глава 4. СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ
4.1. Математические ожидания
4.2. Моменты
4.3. Характеристические функции
4.4. Корреляция
4.5. Корреляционные функции
4.6. Сходимость
4.7. Интегралы от вероятностных процессов
4.8. Временные средние
4.9. Задачи
Глава 5. ВЫБОР
5.2. Выборочное среднее
5.3. Сходимость выборочных средних
5.4. Центральная предельная теорема
5.5. Относительная частота
5.6. Задачи
Глава 6. СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
6.2. Спектральная плотность периодической функции
6.3. Спектральная плотность периодического вероятностного процесса
6.4. Разложение вероятностных процессов в ортогональные ряды
6.5. Спектральная плотность произвольной функции
6.6. Спектральный анализ стационарных в широком смысле вероятностных процессов
6.7. Взаимные спектральные плотности
6.8. Задачи
Глава 7. ДРОБОВОЙ ШУМ
7.2. Распределение вероятностей для моментов вылета электронов
7.3. Средний ток в диоде, работающем в режиме насыщения
7.4. Спектральная плотность дробового шума диода, работающего в режиме насыщения
7.5. Плотность распределения вероятностей для дробового шума диода в режиме насыщения
7.6. Ток диода, работающего не в режиме насыщения
7.7 . Дробовой шум диода, работающего не в режиме насыщения
7.8 Дробовой шум триодов и пентодов, работающих не в режиме насыщения
7.9. Задачи
Глава 8. ГАУССОВСКИЙ ПРОЦЕСС
8.2. Двумерное распределение
8.3. Многомерное распределение
8.4. Гауссовский вероятностный процесс
8.5. Узкополосный гауссовский вероятностный процесс
8.6. Сумма синусоидального сигнала и узкополосного гауссовского вероятностного процесса
8.7. Задачи
Глава 9. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
9.2. Случайные воздействия
9.3. Корреляционная функция и спектр отклика
9.4. Тепловой шум
9.5. Распределения вероятностей отклика
9.6. Задачи
Глава 10. ШУМФАКТОР
10.2. Шумфактор
10.3. Многокаскадный усилитель
10.4. Пример
10.5. Задачи
Глава 11. ОПТИМАЛЬНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
11.2. Сглаживание и прогнозирование стационарных воздействий с использованием бесконечной предыстории (теория Винера)
11.3. Чистое прогнозирование: несингулярные процессы
11.4. Решение уравнения прогнозирования и фильтрации
11.5. Другие задачи фильтрации, использующие критерий среднеквадратичной ошибки
11.6. Сглаживание и прогнозирование при конечном времени наблюдения
11.7. Максимизация отношения сигнал/шум; согласованный фильтр
11.8. Задачи
Глава 12. НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ; ПРЯМОЙ МЕТОД
12.2. Квадратичный детектор
12.3. Квадратичный детектор; сигнал плюс шум на входе
12.4. Однополупериодный линейный детектор
12.5. Задачи
Глава 13. НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ; МЕТОД ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
13.2. Устройства v-й степени
13.3. Корреляционная функция и спектральная плотность отклика
13.4. Спектральная плотность отклика
13.5. Узкополосное воздействие
13.6. Детекторы v-й степени
13.7. Задачи
Глава 14. СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОБНАРУЖЕНИЕ СИГНАЛОВ
14.1. Применение статистических понятий в вопросах радиосвязи и радиолокации
14.2. Проверка статистических гипотез
14.3. Критерии отношения правдоподобия
14.4. Статистические оценки
14.5. Передача информации фиксированными сигналами на фоне гауссовского шума
14.6. Сигналы с неизвестными параметрами в белом шуме
14.7. Радиолокационные сигналы на фоне гауссовского шума
14.8. Задачи
ПРИЛОЖЕНИЕ 1. ИМПУЛЬСНЫЕ ФУНКЦИИ
ПРИЛОЖЕНИЕ 2. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ЛИТЕРАТУРА

Источник

δ-функция (или дельта-функция, δ-функция Дирака, дираковская дельта, Единичная импульсная функция) позволяет записать пространственную плотность физической величины (масса, заряд, интенсивность источника тепла, сила и т. п.), сосредоточенной или приложенной в одной точке.

Например, плотность точечной массы 1, находящейся в точке a евклидова пространства , записывается с помощью δ-функции в виде δ(x − a). Также применима для описания распределений заряда, массы и т. п. на поверхностях или линиях.

δ-функция есть обобщённая функция, это означает, что формально она определяется как непрерывный линейный функционал на пространстве дифференцируемых функций.

δ-функция не является функцией в классическом смысле, тем не менее нетрудно указать последовательности обычных классических функций, слабо сходящуюся к δ-функции.

Введена английским физиком Дираком.

Можно различать одномерную и многомерные дельта-функции, однако последние могут быть представлены в виде произведения одномерных в количестве, равном размерности пространства, на котором определена многомерная.

Содержание

1 Определение
2 Альтернативное определение
3 Свойства
4 δ-функция как слабый предел
5 Интегральное представление
6 Производная дельта-функции
7 Преобразование Фурье
8 Представление многомерных дельта-функций в различных системах координат
9 Физическая интерпретация
- 9.1 Мгновенное ускорение
- 9.2 Масса материальной точки
- 9.3 Другие примеры
10 Литература
11 Ссылки
12 См. также

Определение

δ-функция с областью определения определяется формальным соотношением

$(delta;f)=intlimits_{mathbb R^n}delta(vec{x}-vec{a})f(vec{x}),d^n x = f(vec{a})$

для любой непрерывной функции .

В частности, для одномерной дельта-функции (то есть дельта-функции с областью определения )

$(delta;f)=intlimits_{-infty}^{infty} delta(x-a)f(x), dx = f(a)$

Альтернативное определение

Для дельта-функции одной вещественной переменной верны следующие равенства:

;
$intlimits_{-infty}^{infty} delta(x), dx = 1$ .

аналогичные свойства верны и для дельта-функций, определённых на $mathbb{R}^n$

Формально эти равенства не являются определением дельта-функции, однако во многих учебниках по физике она определяется именно так, и этого достаточно для решения физических задач.

Свойства

Первообразной одномерной дельта-функции является функция Хевисайда:

$eta(x) = begin{cases} 0, &amp;amp; x leqslant 0 \ 1, &amp;amp; x &amp;gt; 0 end{cases}$

δ-функция как слабый предел

Пусть $intlimits_{-infty}^{+infty} f(x),dx = 1.$

Тогда последовательность

в некотором смысле сходится (слабо сходится) к δ-функции.

График функции

Часто, в качестве ~f(x) выбирают

дающую последовательность

$f_n(x) = {n}{sin (n x) over n{pi} x}.$

Если нужно, чтобы члены последовательности были всюду положительными функциями, можно исходить из Гауссова колокола :

$f(x) = frac1{sqrt{pi}}e^{-x^2},$

$f_n(x) = frac{n}{sqrt{pi}} e^{-(n x)^2}.$

Интегральное представление

Во многих приложениях оказывается удобным интегральное представление дельта-функции:

$delta(t) = frac{1}{2pi} intlimits_{-infty}^{+infty} e^{iomega t}, domega.$

Доказательство

Рассмотрим интеграл

$I(t) = frac{1}{2pi} intlimits_{-infty}^infty e^{iomega t}, domega,$

(1)

который можно интерпретировать как предел

$I(t) = lim_{N to infty} I_N(t),$

где

$I_N(t) = frac{1}{2pi} intlimits_{-N}^N e^{iomega t}, domega = frac{1}{pi} N frac{sin{tN}}{tN}.$

(2)

График функции sin(x) / x

Известно, что

$intlimits_{-infty}^ infty frac{sin{t}}{t},dt = pi.$

(3)

В силу (3) для любого N справедливо равенство:

$intlimits_{-infty}^{infty} I(t), dt = frac{1}{pi} intlimits_{-infty}^{infty} frac{sin{tN}}{tN}, d(tN) = 1.$

(4)

Можно показать (см. выше), что при неограниченном росте N для функции (2) оказываются верными все свойства дельта-функции и она в некотором смысле стремится к .

Производная дельта-функции

Фундаментальное выражение, описывающее производную дельта-функции δ(x):

$intlimits_{-infty}^{+infty}f(x)delta^prime(x-a),dx=-f^prime(a);$

(распространение на случай подынтегральных выражений, содержащих дельта-функцию, интегрирования по частям).

Аналогично для n-ой производной дельта-функции:

$intlimits_{-infty}^{+infty} f(x)delta^{[n]}(x-a),dx = -intlimits_{-infty}^{+infty}frac{partial f}{partial x}delta^{[n-1]}(x-a),dx.$

А проинтегрировав так по частям n раз, получим в конце концов:

$intlimits_{-infty}^{+infty} f(x)delta^{[n]}(x-a),dx = left.(-1)^{n} frac{partial^{n} f(x)}{partial x^{n}}right|_{x=a}.$

Подставив же в первую формулу f(x) = xg(x) и a = 0, убедимся, что

Для производной дельта-функции также верны следующие тождества:

$intlimits_{-1}^{1}deltaleft(frac{1}{x}right),dx=0.$

Преобразование Фурье

В этом параграфе мы будем применять нормировку, соответствующую соглашению о единичном коэффициенте в обратном преобразовании, то есть имея в виду $f(t) = intlimits_{-infty}^{+infty} F(omega) e^{i omega t}, domega$ .

Формулы этого параграфа имеют соответствующие аналоги для многомерного преобразования Фурье.

К дельта-функции можно применить преобразование Фурье:

$frac{1}{2 pi}intlimits_{-infty}^{+infty}delta(t) cdot e^{-i omega t},dt = frac{1}{2 pi} e^{-i omega cdot 0} = frac{1}{2 pi}$

в результате получается, что спектр (фурье-образ) δ-функции является просто константой:

То есть, как и было показано выше,

$delta(t) = intlimits_{-infty}^{+infty} frac{1}{2pi} e^{iomega t}, domega$

Представление многомерных дельта-функций в различных системах координат

В n-мерном пространстве в декартовых координатах (ортонормированном базисе):

int delta^n (x_1, x_2, ldots , x_n), d^n x = 1

;

delta^n (x_1, x_2, ldots, x_n)=delta(x_1)delta(x_2)ldotsdelta(x_n)

В двумерном пространстве:

$iintlimits_{-infty}^{+infty}delta^{2}(x,y),dxdy=1$

;

$delta(ax,by)=frac{1}{left|abright|}delta^{2}(x,y)$

;

δ²(x,y) = δ(x)δ(y).

В полярных координатах:

$delta^{2}(r,varphi)=frac{delta(r)}{pileft|rright|}$

— несмещенная относительно начала координат (с особенностью при r = 0),

$frac{delta(r-r_0)delta(varphi-varphi_0)}{|r|}$

— с особенностью в точке общего положения

; при r = 0 доопределяется нулем.

В трехмерном пространстве:

$iiintlimits_{-infty}^{+infty}delta^{3}(x,y,z),dxdydz=1$

;

δ³(x,y,z) = δ(x)δ(y)δ(z);

В цилиндрической системе координат:

$delta^{3}(r,theta,z)=frac{delta(r)delta(z)}{pi r}$

— несмещенная относительно начала координат (с особенностью при r = 0,z = 0),

$frac{delta(r-r_0)delta(varphi-varphi_0)delta(z-z_0)}{|r|}$

— с особенностью в точке общего положения

; при r = 0 доопределяется нулем.

В сферической системе координат:

$delta^{3}(r,theta,varphi)=frac{delta(r)}{2pi r^2}$

— несмещённая относительно начала координат (с особенностью при r = 0).

Физическая интерпретация

Вблизи заряжённой точки поле бесконечно, ряды Тейлора для поля не сходятся, поэтому вводят специальные функции. Одной из таких функций является дельта-функция. Вопрос о поле точечной заряженной частицы сравнительно сложен, поэтому рассмотрим сначала более простой пример.

Мгновенное ускорение

Пусть частица, движущаяся вдоль прямой, при ударе пренебрежимо малой длительности скачком приобретают какую-то скорость. Зададимся вопросом, как рассчитать ускорение, приобретенное телом? Построим график зависимости изменения скорости от времени. График будет иметь следующий вид:

Данный график почти всюду является графиком функции Хевисайда. Производная функции Хевисайда является единичной дельта-функцией, график которой условно можно изобразить как

Данный график отображает бесконечное ускорение при мгновенном наборе скорости. В общем случае ускорение при ударе можно записать как

Масса материальной точки

Если нужно найти суммарную массу (или заряд) некоторого непрерывного распределения плотности (или плотности заряда) $m = int rho_{contin}$ , содержащего кроме того точечные массы (заряды), то удобно вместо формулы, учитывающей отдельно дискретные массы и непрерывную конечную плотность:

$m = int rho_{contin}(mathbf{x}), dV + sum_i q_i$

записывать просто:

имея в виду, что имеет как непрерывную, так и дельтообразные (по одной для каждой точечной массы) составляющие:

$rho (mathbf{x}) = rho_{contin}(mathbf{x}) + sum_i q_i delta(mathbf{x}-mathbf{x}_i).$

Другие примеры

Дельта-функция применяется в математической физике при решении задач, в которые входят сосредоточенные величины. В квазиклассическом пределе () квантовой механики волновые функции локализуются в волновые пакеты с дельтаобразными (то есть имеющими в пределе форму дельта-функции) огибающими, и области их локализации движутся по классическим траекториям согласно уравнениям Ньютона.

Преобразование Фурье синуса является дельта-функцией. Это позволяет более удобно и математически строго формулировать различные задачи, связанные с преобразованием Фурье, которые очень многочисленны: волновая оптика, акустика, теория колебаний. В квантовой механике преобразования Фурье волновых функций играют первостепенную принципиальную и техническую роль, именно для неё Дирак впервые ввёл дельта-функцию.

Дельта-функции играют роль собственных функций оператора с непрерывным спектром в представленииях, где этот оператор диагонален. Таким образом, они играют роль базиса в диагональном представлении оператора.

Важным применением дельта-функции является их участие в аппарате функций Грина линейных операторов. Для линейного оператора L, действующего на обобщённые функции над многообразием M, уравнение, определяющее функцию Грина g с источником в точке x₀, имеет вид

Особенно часто встречается применение этого аппарата к оператору Лапласа (электростатика, теплопроводность, диффузия, механическая теория упругости) и подобным ему операторам, таким как оператор Даламбера (акустика, электродинамика, квантовая теория поля, где функция Грина часто носит специальное название пропагатора).

Для лапласиана в $Bbb{R}^3$ функцией Грина является функция 1 / r, так что

$nabla^2left(frac{1}{r}right)=-4pidelta(r),$

где r — расстояние до начала координат. Этот факт используется для доказательства того, что выражение для скалярного потенциала:

$Phi(mathbf{x})= - int{varrho(mathbf{x}^prime)overleft|mathbf{x}-mathbf{x}^primeright|}, d^3x^prime$

удовлетворяет уравнению Пуассона:

Литература

Дирак П. А. М. Основы квантовой механики, пер. с англ., — М., 1932 (есть много переизданий).

Ссылки

Кудрявцев Л. Д. Краткий курс математического анализа, том 2, — ISBN 5-9221-0185-4
Weisstein, Eric W. Delta Function на сайте Wolfram MathWorld.(англ.)

См. также

Обобщенная функция
Функция Грина

Wikimedia Foundation.
2010.

Источник

Решение

4. Интеграл наложения (дюамеля).

Определение[править | править код]

Свойства[править | править код]

Применение[править | править код]

Анализ систем[править | править код]

Восстановление частотной характеристики[править | править код]

Цифровая фильтрация[править | править код]

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

Единичная импульсная функция

Единичная ступенчатая функция

П.1.1. Определения

П.1.2. Интегралы с дельта-функцией

П.1.3. Преобразования Фурье

П.1.4. Производные импульсных функций

Содержание

Определение

Альтернативное определение

Свойства

δ-функция как слабый предел

Интегральное представление

Производная дельта-функции

Преобразование Фурье

Представление многомерных дельта-функций в различных системах координат

Физическая интерпретация

Мгновенное ускорение

Масса материальной точки

Другие примеры

Литература

Ссылки

См. также

Вам также может понравиться

Как найти бытовку бу

Как составить теги для сайта

Как найти тип сказуемого в предложении

Добавить комментарий Отменить ответ