Интеграл как найти егэ

Интеграл как найти егэ

Первообразной для функции $f(x)$ называется такая функция $F(x)$, для которой выполняется равенство: $F'(x)=f(x)$

Таблица первообразных

Первообразная нуля равна $С$

Функция Первообразная
$f(x)=k$ $F(x)=kx+C$
$f(x)=x^m, m≠-1$ $F(x)={x^{m+1}}/{m+1}+C$
$f(x)={1}/{x}$ $F(x)=ln|x|+C$
$f(x)=e^x$ $F(x)=e^x+C$
$f(x)=a^x$ $F(x)={a^x}/{lna}+C$
$f(x)=sinx$ $F(x)-cosx+C$
$f(x)=cosx$ $F(x)=sinx+C$
$f(x)={1}/{sin^2x}$ $F(x)=-ctgx+C$
$f(x)={1}/{cos^2x}$ $F(x)=tgx+C$
$f(x)=√x$ $F(x)={2x√x}/{3}+C$
$f(x)={1}/{√x}$ $F(x)=2√x+C$

Если $y=F(x)$ – это первообразная для функции $y=f(x)$ на промежутке $Х$, то $у$ $у=f(x)$ бесконечно много первообразных и все они имеют вид $y=F(x)+C$

Правила вычисления первообразных:

  1. Первообразная суммы равна сумме первообразных. Если $F(x)$ – первообразная для $f(x)$, а $G(x)$ – первообразная для $g(x)$, то $F(x)+G(x)$ – первообразная для $f(x)+g(x)$.
  2. Постоянный множитель выносится за знак первообразной. Если $F(x)$ – первообразная для $f(x)$, а $k$ – постоянная величина, то $k$ $F(x)$ – первообразная для $k$ $f(x)$.
  3. Если $F(x)$ – первообразная для $f(x)$, $а, k, b$ – постоянные величины, причем $k≠0$, то ${1}/{k}$ $F(kx+b)$ – это первообразная для $f(kx+b)$.

Пример:

Найти первообразную для функции $f(x)=2sin⁡x+{4}/{x}-{cos⁡x}/{3}$.

Решение:

Чтобы было проще найти первообразную от функции, выделим коэффициенты каждого слагаемого

$f(x)=2sin⁡x+{4}/{x}-{cos⁡x}/{3}=2∙sin⁡x+4∙{1}/{x}-{1/3}∙cos⁡x$

Далее, воспользовавшись таблицей первообразных, найдем первообразную для каждой функции, входящих в состав $f(x)$

$f_1=sin⁡x$

$f_2={1}/{x}$

$f_3=cos⁡x$

Для $f_1=sin⁡x$ первообразная равна $F_1=-cos⁡x$

Для $f_2={1}/{x}$ первообразная равна $F_2=ln⁡|x|$

Для $f_2=cos⁡x$ первообразная равна $F_3=sin⁡x$

По первому правилу вычисления первообразных получаем:

$F(x)=2F_1+4F_2-{1}/{3}F_3=2∙(-cos⁡x)+4∙ln⁡|x|-{1}/{3}∙sin⁡x$

Итак, общий вид первообразной для заданной функции

$F(x)=-2cos⁡x+4ln⁡|x|-{sin x}/{3}+C$

Связь между графиками функции и ее первообразной:

  1. Если график функции $f (x) > 0$ на промежутке, то график ее первообразной $F(x)$ возрастает на этом промежутке.
  2. Если график функции $f (x) < 0$ на промежутке, то график ее первообразной $F(x)$ убывает на этом промежутке.
  3. Если $f(x)=0$, то график ее первообразной $F(x)$ в этой точке меняется с возрастающего на убывающий (или наоборот).

Пример:

На рисунке изображен график функции $y=F(x)$ – одной из первообразных некоторой функции $f(x)$, определенной на интервале $(-3;5)$. Пользуясь рисунком, определите количество решений $f(x)=0$ на отрезке $(-2;2]$

Если $f(x)=0$, то график ее первообразной $F(x)$ в этой точке меняется с возрастающего на убывающий(или наоборот).

Выделим отрезок $(-2;2]$ и отметим на нем экстремумы.

У нас получилось $6$ таких точек.

Ответ: $6$

Неопределенный интеграл

Если функция $у=f(x)$ имеет на промежутке $Х$ первообразную $у=F(x)$, то множество всех первообразных $у=F(x)+С$, называют неопределенным интегралом функции $у=f(x)$ и записывают:

$∫f(x)dx$

Определенный интеграл – это интеграл с пределами интегрирования (на отрезке)

$∫_a^bf(x)dx$, где $a,b$ – пределы интегрирования

Площадь криволинейной трапеции или геометрический смысл первообразной

Площадь $S$ фигуры, ограниченной осью $Oх$, прямыми $х=а$ и $х=b$ и графиком неотрицательной функции $у=f(x)$ на отрезке $[a;b]$, находится по формуле

$S=∫_a^bf(x)dx$ 

Формула Ньютона – Лейбница

Если функция $у=f(x)$ непрерывна на отрезке $[a;b]$, то справедливо равенство

$∫_a^bf(x)dx=F(x)|_a^b=F(b)-F(a)$, где $F(x)$ – первообразная для $f(x)$

Пример:

На рисунке изображен график некоторой функции $у=f(x)$. Одна из первообразных этой функции равна $F(x)={2х^3}/{3}-2х^2-1$. Найдите площадь заштрихованной фигуры.

Решение:

Площадь выделенной фигуры равна разности значений первообразных, вычисленных в точках $1$ и $-2$

$S=F(1)-F(-2)$

Первообразная нам известна, следовательно, осталось только подставить в нее значения и вычислить

$F(1)={2∙1}/{3}-2∙1-1={2}/{3}-2-1={2}/{3}-3$

$F(-2)={2(-2)^3}/{3}-2(-2)^2-1={2∙(-8)}/{3}-8-1=-{16}/{3}-9$

$S={2}/{3}-3-(-{16}/{3}-9)={2}/{3}-3+{16}/{3}+9={18}/{3}+6=6+6=12$

Ответ: $12$

Источник


Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

1

На рисунке изображён график функции y  =  F(x)  — одной из первообразных функции f(x), определённой на интервале (−3; 5). Найдите количество решений уравнения f(x)  =  0 на отрезке [−2; 4].

2

На рисунке изображён график некоторой функции y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка (два луча с общей начальной точкой). Пользуясь рисунком, вычислите F(8) − F(2), где F(x)  — одна из первообразных функции f(x).

3

На рисунке изображён график функции y = f(x). Функция F левая круглая скобка x правая круглая скобка =x в кубе плюс 30x в квадрате плюс 302x минус дробь: числитель: 15, знаменатель: 8 конец дроби   — одна из первообразных функции y = f(x). Найдите площадь закрашенной фигуры.

4

На рисунке изображён график некоторой функции y = f(x). Функция F левая круглая скобка x правая круглая скобка = минус x в кубе минус 27x в квадрате минус 240x минус 8  — одна из первообразных функции f(x). Найдите площадь закрашенной фигуры.

Пройти тестирование по этим заданиям

Источник

10
Авг 2013

Категория: 07 Производная, ПО

07. Первообразная

2013-08-10
2022-09-11

Задача 1. На рисунке изображён график некоторой функции y=f(x)  (два луча с общей начальной точкой). Пользуясь рисунком, вычислите F(8)-F(2), где F(x)  — одна из первообразных функции f(x).

у

Решение: + показать


Задача 2. На рисунке изображён график некоторой функции  y=f(x). Функция F(x)=x^3+12x^2+51x-3 — одна из первообразных функции f(x). Найдите площадь закрашенной фигуры.

ed

Решение: + показать


Задача 3. На рисунке изображён график некоторой функции y=f(x). Функция F(x)=-frac{4}{9}x^3-frac{34}{3}x^2-frac{280}{3}x-frac{18}{5} — одна из первообразных функции f(x). Найдите площадь закрашенной фигуры.

u

Решение: + показать


Задача 4. На рисунке изображён график функции y=F(x) – одной из первообразных некоторой функции f(x), определённой на интервале (-2;4). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения f(x)=0  на отрезке [-1;3].

r

Решение: + показать


колоЗагляните –> + показать

тест

Вы можете пройти тест «Первообразная»

Автор: egeMax |

комментариев 7

Источник

Интегралы на ЕГЭ. Первообразные элементарных функций

Вы в школе уже прошли интегралы? Поняли эту тему?:)

А вы знали, что в ЕГЭ тоже могут попасться интегралы? Да-да, открываем кодификатор и видим: 

4.3 Первообразная и интеграл

— 4.3.1 Первообразные элементарных функций

— 4.3.2 Примеры применения интеграла в физике и геометрии)

Но не волнуйтесь. В школьной программе интегралы — не сложные. Это не проблема, это скорее возможность получить легкие баллы!!!

И это значит, что пора смотреть наше видео.

Интегралы на ЕГЭ. Первообразные элементарных функций

В этом видео мы расскажем вам, какие типы задач на интегралы и первообразную могут быть в ЕГЭ, и научим их решать.

И да, в институте без знания производной и интегралов делать нечего. Совсем. Там не будет времени разбираться с ней, так что лучше займитесь ей сейчас.

Важно: перед этим уроком повторите производную! 

Ведь проходить интегралы без производной — это как вычислять арксинус, не зная, что такое синус:)

Подготовка к ЕГЭ на 90+

Алексей Шевчук — ведущий мини-групп

математика, информатика, физика

+7 (905) 541-39-06 — WhatsApp/Телеграм для записи

alexei.shevchuk@youclever.org — email для записи

  • тысячи учеников, поступивших в лучшие ВУЗы страны
  • автор понятного всем учебника по математике ЮКлэва (с сотнями благодарных отзывов);
  • закончил МФТИ, преподавал на малом физтехе;
  • репетиторский стаж — c 2003 года;
  • в 2021 году сдал ЕГЭ (математика 100 баллов, физика 100 баллов, информатика 98 баллов — как обычно дурацкая ошибка:);
  • отзыв на Профи.ру: «Рейтинг: 4,87 из 5. Очень хвалят. Такую отметку получают опытные специалисты с лучшими отзывами».

Что думаете об интегралах на ЕГЭ?

Попадутся или нет на экзамене?

Насколько сложно понять и научиться решать задачи именно для вас?

Будете ли вы учить эту тему перед ЕГЭ.

Напишите нам в комментариях прямо сейчас.

Источник

Привет! В задании 7 на ЕГЭ по Профильной математике тебя ждет задание на геометрический и физический смысл производной, но иногда попадаются и первообразные. Итак, давай поговорим о том, что тебе пригодится на ЕГЭ про первообразную. Если у тебя подкашиваются ноги при словах «первообразная» или «определенный интеграл», можешь не беспокоиться. Ни в одном из появившихся прототипов не нужно действительно искать первообразную какой-либо функции. Нужно лишь понимать сам принцип работы с ней. Этим мы и займемся.

Лайфхаки ЕГЭ по математике. Первообразная

Что же такое первообразная? Все просто. Это наоборот от производной. То есть, если говорится, что в задаче есть первообразная, то нужно представить функцию, от которой берется производная. Этих знаний достаточно, чтобы решать задачи на монотонность и поведение функций. 

Лайфхаки ЕГЭ по математике. Первообразная

Второй тип задач связан с тем, что первообразная показывает площадь фигуры под графиком функции на заданном интервале. Если площадь легкая, то вспоминай формулы пощади из планиметрии. Если увидел жуткую фигуру, у которой надо найти площадь, то подставь концы интервала в функцию первообразной и найди разность. Это и будет ответом в таких задачах.

Это вся теория, которая нужна на экзамене. Тренируйся в решении задач, чтобы заработать балл за этот номер на экзамене. Дерзай!

Источник

Добавить комментарий