Интервалы выпуклости вогнутости графика как найти

Когда мы чертим график функции, важно определить интервалы выпуклости и точки перегиба. Они, наряду с промежутками убывания и возрастания, нужны нам для четкого представления функции в графическом виде.

Понимание этой темы требует знания того, что такое производная функции и как ее вычислить до некоторого порядка, а также умения решать разные виды неравенств.

В начале статьи определяются основные понятия. Потом мы покажем, какая связь существует между направлением выпуклости и значением второй производной на определенном интервале. Далее мы укажем условия, в которых можно определить точки перегиба графика. Все рассуждения будут проиллюстрированы примерами решений задач.

Что такое выпуклость/вогнутость функции и точки перегиба графика функции

Дифференцируемая функция является выпуклой по направлению вниз на некотором интервале в том случае, когда ее график располагается не ниже касательной к нему в любой точке этого интервала.

Дифференцируемая функция является выпуклой по направлению вверх на некотором интервале в том случае, если график данной функции располагается не выше касательной к нему в любой точке этого интервала.

Выпуклую вниз функцию можно иначе назвать вогнутой. Оба определения наглядно показаны на графике ниже:

Точка перегиба функции – это точка M(x0; f(x0)), в которой существует касательная к графику функции, при условии существования производной в окрестности точки x0 , где с левой и правой стороны график функции принимает разные направления выпуклости.

Проще говоря, точка перегиба – это место на графике, в котором есть касательная, и направление выпуклости графика при прохождении через это место будет менять направление выпуклости. Если вы не помните, при каких условиях возможно существование вертикальной и невертикальной касательной, советуем повторить раздел о касательной графика функции в точке.

Ниже указан график функции, имеющей несколько точек перегиба, которые выделены красным.  Уточним, что наличие точек перегиба не является обязательным. На графике одной функции их может быть одна, две, несколько, бесконечно много или ни одной.

Как найти интервалы выпуклости функции

В этом пункте мы расскажем о теореме,  с помощью которой можно определить промежутки выпуклости на графике конкретной функции.

График функции будет иметь выпуклость по направлению вниз или вверх в том случае, если у соответствующей ему функции y=f(x) будет вторая конечная производная на указанном интервале x при условии, что неравенство f”(x)≥0 ∀x∈X (f”(x)≤0 ∀x∈X) будет верным.  

Используя данную теорему, можно найти промежутки вогнутости и выпуклости на любом графике функции. Для этого нужно просто решить неравенства f”(x)≥0  и f”(x)≤0  на области определения соответствующей функции.

Уточним, что те точки, в которых вторая производная не существует, но функция y=f(x) определена, будут включаться в интервалы выпуклости и вогнутости.

Посмотрим на примере конкретной задачи, как правильно применять эту теорему.

А что же делать в случае, если область определения второй производной не совпадает с областью определения функции? Здесь нам пригодится замечание, сделанное выше: те точки, где конечная вторая производная не существует, мы тоже будем включать в отрезки вогнутости и выпуклости.

Условия перегиба графика функции

Начнем с формулировки необходимого условия перегиба графика некоторой функции.

Допустим, что у нас есть функция y=f(x), график которой имеет точку перегиба. При  x=x0  у него есть непрерывная вторая производная, следовательно, будет выполняться равенство f”(x0)=0.

Учитывая данное условие, нам следует поискать точки перегиба среди тех, в которых вторая производная будет обращаться в 0. Это условие не будет достаточным: не все такие точки нам подойдут.

Также обратите внимание, что, согласно общему определению, нам нужна будет касательная прямая, вертикальная или невертикальная. На практике это означает, что для нахождения точек перегиба следует взять те, в которых вторая производная данной функции обращается в 0. Следовательно, чтобы найти абсциссы точек перегиба, нам нужно взять все x0 из  области определения функции, где limx→x0-0f'(x)=∞ и limx→x0+0f'(x)=∞. Чаще всего это такие точки, в которых знаменатель первой производной обращается в 0.

Первое достаточное условие существования точки перегиба графика функции

Мы нашли все значения x0, которые можно взять в качестве абсцисс точек перегиба. После этого нам нужно применить первое достаточное условие перегиба.

Допустим, что у нас есть функция y=f(x), которая является непрерывной в точке M(x0; f(x0)). При этом она имеет на этой точке касательную, а сама функция имеет вторую производную в окрестности этой точки x0. В таком случае если с левой и правой стороны вторая производная приобретает противоположные знаки, то данную точку можно считать точкой перегиба.

Мы видим, что данное условие не требует, что в этой точке непременно существовала вторая производная, достаточно ее наличия в окрестности точки x0.

Все сказанное выше удобно представить в виде последовательности действий.

Как найти точки перегиба графика функции

1. Для начала нужно найти все абсциссы x0  возможных точек перегиба, где f”(x0)=0, limx→x0-0f'(x)=∞, limx→x0+0f'(x)=∞.
2. Выясним, в каких точках производная будет менять знак. Эти значения  и есть абсциссы точек перегиба, а точки M(x0; f(x0)) , соответствующие им, – это сами точки перегиба.

Для наглядности разберем две задачи.

Зная первое достаточное условие перегиба, мы можем определить нужные точки, в которых не обязательно наличие второй производной. Исходя из этого, первое условие можно считать наиболее универсальным и пригодным для решения разных типов задач.

Отметим, что существует еще два условия перегиба, однако их можно применять только тогда, когда в указанной точке есть конечная производная.

Второе достаточное условие перегиба графика функции

Если мы имеем f”(x0)=0 и  f”'(x0)≠0, то x0 будет абсциссой точки перегиба графика y=f(x).

Третье достаточное условие перегиба графика функции

Допустим, что f'(x0)=0, f”(x0)=0, …, f(n)(x0)=0 и f(n+1)(x0)≠0 .В таком случае при четном n мы получим, что x0 – это абсцисса точки перегиба графика y=f(x).

График функции
называется выпуклым в интервале
,
если он расположен ниже касательной,
проведенной в любой точке этого интервала
(рис.3).

График функции
называется вогнутым в интервале
,
если он расположен выше касательной,
проведенной в любой точке этого интервала
(рис. 4).

Достаточное
условие выпуклости (вогнутости).Пусть
функцияимеет вторую производную на интервале.
Тогда, еслина этом интервале, то функция выпукла,
если,
то график функции вогнутый на этом
интервале.

Точка графика
непрерывной функции
,
отделяющая его части выпуклости и
вогнутости, называетсяточкой перегиба(рис. 5).

Необходимое
условие точки перегиба. Если– точка перегиба функции,
то в этой точке вторая производная
функции либо равна нулю (),
либо не существует.

Точки, в которых
вторая производная функции равна нулю
или не существует, называются критическими
точками 2 –го рода.

Точки перегиба
следует искать среди критических точек
2- го рода.

Первое достаточное
условие точки перегиба. Пусть функцияимеет первую производную в точкеи вторую производную в некоторой
окрестности этой точки (кроме, быть
может самой точки). Тогда если при
переходе через точкувторая производная меняет знак, то– точка перегиба.

Второе достаточное
условие точки перегиба.Пусть в точкефункцияимеет производные до третьего порядка
включительно. Тогда если,
а,
то– точка перегиба этой функции.

1. Асимптоты.

Прямая
линияmназываетсяасимптотойграфика функции,
если расстояниеdот
точкиM, лежащей на
этом графике, до прямойmстремится к нулю при неограниченном
удалении этой точки по графику от начала
координат в бесконечность (Рис. 6 а),
б), в)).

б

в

а

Асимптоты бывают
трех видов: вертикальные (рис.6а), наклонные
(рис.6б) и горизонтальные (рис.6в).

Прямая
называетсявертикальной асимптотойграфика функции,
если хотя бы один из односторонних
пределовиравен бесконечности.

Обычно вертикальными
асимптотами являются прямые в точках
разрыва 2-го рода. Поэтому для отыскания
вертикальных асимптот определяют точки
бесконечного

разрыва
функции. Тогда уравнение вертикальных
асимптот
.
Вертикальные асимптоты могут быть и на
границе области определения функции.
Например, как у функции.

Прямая
называется
наклонной асимптотойграфика
функции
при(при),
если(соответственно,).

Уравнение наклонной
асимптоты к графику функции
ищем
виде,
где

(*)

и
(**)

Если хотя бы один
из пределов (*) и (**) не существует или
равен бесконечности, то кривая
наклонной асимптоты не имеет. Асимптоты
графика функцииприимогут быть разными. Поэтому при нахождении
пределов (*) и (**) следует отдельно
рассматривать случай, когдаи когда.

Частным случаем
наклонной асимптоты (при
)
являетсягоризонтальная асимптота.

Прямая
является горизонтальной асимптотой
графика функциипри(при)
тогда и только тогда, когда(соответственно,).

1. Общая
   схема исследования функции и построение
   графиков функций.

При построении
графика данной функции
целесообразно пользоваться следующей
схемой:

1. найти
   область определения функции;

2. исследовать
   функцию на четность, нечетность и
   периодичность;

3. найти
   точки пересечения графика с осями
   координат (если это возможно);

4. найти
   интервалы знакопостоянства функции
   (промежутки, на которых
   и);

5. найти
   асимптоты;

6. найти
   интервалы возрастания и убывания,
   экстремумы функции;

7. найти
   интервалы выпуклости и вогнутости,
   точки перегиба;

8. построить
   график функции.

Приведенная схема
исследования не является обязательной.
В более простых случаях достаточно
выполнить лишь несколько операций,
например 1, 3, 4, 6. Иногда бывает необходимым
вычислить несколько дополнительных
точек.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Содержание:

• Теоремы о выпуклости функции и точках перегиба
• Схема исследования функции на выпуклость, вогнутость

График функции $y=f(x)$, дифференцируемой на интервале
$(a ; b)$, является на этом интервале выпуклым, если график
этой функции в пределах интервала $(a ; b)$ лежит не выше любой
своей касательной (рис. 1).

График функции $y=f(x)$, дифференцируемой на интервале
$(a ; b)$, является на этом интервале вогнутым, если график
этой функции в пределах интервала $(a ; b)$ лежит не ниже любой
своей касательной (рис. 2).

Теоремы о выпуклости функции и точках перегиба

Схема исследования функции на выпуклость, вогнутость

Читать дальше: асимптоты графика функции.

График функции y=f(x) называется выпуклым на интервале (a;
b), если он расположен ниже любой своей касательной на
этом интервале.

График функции y=f(x) называется вогнутым на интервале (a;
b), если он расположен выше любой своей касательной на
этом интервале.

На рисунке показана кривая, выпуклая на (a; b) и вогнутая на (b; c).

Примеры.

1. Полуокружность выпукла на [–1; 1].
2. Парабола y = x² вогнута на интервале (-∞; +∞).
3. График функции в одних интервалах может быть
   выпуклым, а в других вогнутым. Так график функции y = sin x на
   [0,2; π], выпуклый в интервале (0; π) и вогнутый в (π;
   2π).

Рассмотрим достаточный признак, позволяющий установить,
будет ли график функции в данном интервале выпуклым или вогнутым.

Теорема. Пусть y=f(x) дифференцируема на (a;
b). Если во всех точках интервала (a;
b) вторая производная функции y = f(x) отрицательная, т.е. f ”(x) < 0, то график функции
на этом интервале выпуклый, если же f”(x) > 0 – вогнутый.

Доказательство.
Предположим для определенности, что f”(x) < 0 и докажем, что график функции будет выпуклым.

Возьмем на графике функции y = f(x) произвольную точку M₀ с абсциссой x₀ Î (a; b) и проведем через точку M₀ касательную. Ее уравнение . Мы должны показать, что график функции на (a; b) лежит ниже этой касательной, т.е. при одном и том же значении x ордината кривой y = f(x) будет меньше ордината касательной.

Итак, уравнение кривой имеет вид y
= f(x). Обозначим ординату касательной,
соответствующую абсциссе x. Тогда . Следовательно, разность ординат кривой и касательной при
одном и том же значении x будет .

Разность f(x)
– f(x₀) преобразуем по теореме
Лагранжа , где c между x и x₀.

Таким образом,

.

К выражению, стоящему в квадратных скобках
снова применим теорему Лагранжа: , где c₁ между c₀ и x₀. По условию теоремы f ”(x) < 0. Определим знак
произведения второго и третьего сомножителей.

1. Предположим, что x>x₀. Тогда x₀<c₁<c<x,
   следовательно, (x – x₀)
   > 0 и (c – x₀) > 0. Поэтому .
2. Пусть x<x₀, следовательно, x < c
   < c₁ < x₀ и (x – x₀)
   < 0, (c – x₀) < 0. Поэтому вновь .

Таким образом, любая
точка кривой лежит ниже касательной к кривой при всех значениях x и x₀ Î
(a; b), а это значит, что кривая
выпукла. Вторая часть теоремы доказывается аналогично.

Примеры.

1. Установить интервалы
   выпуклости и вогнутости кривой y = 2 – x².

   Найдем y ” и определим, где вторая
   производная положительна и где отрицательна. y‘ = –2x, y” = –2 < 0 на (–∞; +∞), следовательно, функция всюду
   выпукла.

2. y = e^x. Так как y” = e^x
   > 0 при любых x, то кривая всюду вогнута.

   

   

   

3. y = x³. Так как y” = 6x, то y” < 0 при x
   < 0 и y” > 0 при x
   > 0. Следовательно, при x < 0 кривая выпукла, а
   при x > 0 вогнута.

Точка графика непрерывной функции, отделяющая его выпуклую часть от вогнутой, называется точкой перегиба.

Очевидно, что в точке перегиба касательная, если она существует, пересекает кривую, т.к. с одной
стороны от этой точки кривая лежит под касательной, а с другой стороны – над нею.

Определим достаточные
условия того, что данная точка кривой является точкой перегиба.

Теорема. Пусть кривая определяется
уравнением y = f(x). Если f ”(x₀) = 0 или f ”(x₀) не существует и при переходе
через значение x = x₀ производная f ”(x) меняет знак, то точка
графика функции с абсциссой x = x₀ есть точка перегиба.

Доказательство. Пусть
f ”(x) < 0 при x
< x₀ и f
”(x) > 0 при x
> x₀. Тогда при x < x₀ кривая выпукла, а при x > x₀ – вогнута. Следовательно, точка A, лежащая на кривой, с
абсциссой x₀ есть точка перегиба. Аналогично можно
рассматривать второй случай, когда f
”(x) > 0 при x
< x₀ и f
”(x) < 0 при x
> x₀.

Таким образом, точки перегиба следует искать только
среди таких точек, где вторая производная обращается в нуль или не существует.

Примеры. Найти точки перегиба и определить интервалы
выпуклости и вогнутости кривых.

1. 

   Найдем производные
   заданной функции до второго порядка.

   .

   . Вторая производная не существует при x =
   1. Исследуем эту точку на возможный перегиб.

   Итак, точка
   перегиба x = 1. Функция выпукла на (1; +∞), вогнута на (–∞;
   1).

   

2. 

   Возможные точки
   перегиба найдем, решив уравнение 2x² – 1 = 0. Отсюда .

   Точки перегиба . Функция выпукла на и вогнута на .

   

3. y = ln (1 – x²). Область определения функции D(y) = (-1; 1).

   .

   при всех x из
   (–1; 1).

   Следовательно,
   f(x) выпуклая на (–1; 1).

АСИМПТОТЫ ГРАФИКА ФУНКЦИИ

При исследовании функции
важно установить форму ее графика при неограниченном удалении точки графика от
начала координат.

Особый интерес
представляет случай, когда график функции при удалении его переменной точки в
бесконечность неограниченно приближается к некоторой
прямой.

Прямая называется асимптотой графика функции y = f(x), если расстояние от
переменной точки M графика до этой прямой при удалении точки M в
бесконечность стремится к нулю, т.е. точка графика функции при своем стремлении
в бесконечность должна неограниченно приближаться к асимптоте.

Кривая может приближаться к своей асимптоте, оставаясь с одной стороны от
нее или с разных сторон, бесконечное множество раз пересекая асимптоту и
переходя с одной ее стороны на другую.

Если обозначим
через d расстояние от точки M
кривой до асимптоты, то ясно, что d стремится к нулю при
удалении точки M в бесконечность.

Будем в дальнейшем различать асимптоты вертикальные и наклонные.

ВЕРТИКАЛЬНЫЕ АСИМПТОТЫ

Пусть при x→ x₀ с какой-либо стороны функция y = f(x)неограниченно возрастает по абсолютной
величине, т.е. или или . Тогда из определения асимптоты следует, что прямая x = x₀ является асимптотой. Очевидно и обратное,
если прямая x = x₀ является асимптотой, т. о. .

Таким образом, вертикальной
асимптотой графика функции y = f(x)
называется прямая, если f(x) → ∞ хотя бы при одном из условий x→
x₀ – 0 или x → x₀ + 0, x = x₀

Следовательно,
для отыскания вертикальных асимптот графика функции y = f(x) нужно найти те значения x = x₀, при которых функция обращается в бесконечность (терпит бесконечный
разрыв). Тогда вертикальная асимптота имеет уравнение x = x₀.

Примеры.

1. Найти вертикальные асимптоты графика функции .

   Так как , то прямая x =
   2 является вертикальной асимптотой.

2. .

   Прямая x = 0 – вертикальная асимптота.

НАКЛОННЫЕ АСИМПТОТЫ

Поскольку
асимптота – это прямая, то если кривая y = f(x) имеет наклонную асимптоту,
то ее уравнение будет y = kx + b. Наша задача найти
коэффициенты k и b.

Теорема. Прямая y = kx + b служит наклонной
асимптотой при x → +∞
для графика функции y
= f(x) тогда и только тогда,
когда . Аналогичное утверждение верно и при x → –∞.

Доказательство. Пусть MP –
длина отрезка, равного расстоянию от точки M до асимптоты. По условию . Обозначим через φ угол наклона асимптоты к
оси Ox. Тогда из ΔMNP
следует, что . Так как φ постоянный угол (φ ≠ π/2), то , но

MN = MK – NK = y – y_ас = f(x) – (kx+b).

Следовательно, мы можем
записать следующее равенство .

Так как x → +∞, то должно
выполняться равенство . Но при постоянных k и b и . Следовательно, , т.е. .

Если число k
уже известно, то , поэтому .

Для
доказательства в случае x → –∞  все рассуждения аналогичны.

Докажем обратное
утверждение. Предположим, что существуют пределы, определяющие числа k и b.
Тогда несложно заметить, что выполняется равенство . Действительно

Следовательно,
прямая y = kx + b
есть асимптота. Теорема полностью доказана.

Сделаем несколько замечаний.

Замечание 1. Теорема
показывает, что для нахождения асимптот достаточно найти два указанных предела.
Причем, если хотя бы один из пределов не существует или обращается в бесконечность,
то кривая асимптот не имеет.

Замечание 2. В случае,
когда k = 0 асимптота y = b
называется горизонтальной асимптотой. Наличие горизонтальной асимптоты
означает, что существуют пределы

.

Замечание 3. Пределы для отыскания k и b могут
быть различны при x
→ +∞ и x
→ – ∞  и, следовательно, график функции может иметь две различные
асимптоты при x → +∞ и x → –∞.

Примеры. Найти асимптоты кривых.

1. .
   1. Вертикальные:

      

      x = 0 – вертикальная асимптота.

   2. Наклонные:

      .

      При x → – ∞  получим те
      же значения k и b. Следовательно, прямая
      y = x + 2 является наклонной асимптотой.

2. y = e^–x sin x + x.
   1. Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой, следовательно,
      вертикальных асимптот нет.
   2.  

      а) .

      Итак, при x
      → +∞ наклонная асимптота у=
      х.

      б) , т. к.

      , поэтому при x
      → – ∞  наклонных асимптот нет.

3. y = x – 2arctg x.
   1. Вертикальных асимптот нет.
   2.  

      а) .

      . Наклонная асимптота y = x – π
      при .

      б) при .