Известен cos числа как найти а

Для решения задачи следует воспользоваться основным тригонометрическим тождеством: сумма квадратов синуса и косинуса одного и того же угла равна 1.

Отсюда синус угла равен плюс минус корню квадратному из разности 1 и квадрата косинуса угла.

Какой знак перед корнем квадратным брать зависит от того, где находится угол, косинус которого известен.

Если в условии задачи значение косинуса больше нуля (равенство нулю рассмотрено, как частный случай, ниже, хотя применимы рассуждения и для нуля), то угол находится либо в 1-й, либо в 4-й четверти.

Для определенности в условии задачи обычно дается ограничение для угла.

Если указано, что 0< a< 90 (1 четверть), то значение синуса тоже следует брать со знаком плюс.

Если же 270< a< 360 (4 четверть), то значение синуса следует брать со знаком минус.

Если значение косинуса угла меньше нуля, то это означает, что угол может находиться во 2-й или 3-й четверти.

1) 90< a< 180 (2 четверть).

Тогда синус угла будет положительным и равняется корню квадратному из разности 1 и квадрата косинуса угла.

2) 180< a< 270 (3 четверть).

В этом случае синус угла будет отрицательным и равняется тому же значению, что и в первом случае, только со знаком минус.

Частные случаи: Если cos a = 0, то sina=1; если cos a = 1, то sina=0; cos a = -1, то sina=0. Эти значения также легко находятся из основного тригонометрического тождества.

Приведем примеры.

Пример 1. Найти синус угла, если cos a = -0,8. 180<a<270 (в градусах)

Решение. Находим разность 1 и квадрата значения cos a, т.е. квадрата (-0,8).

-0,8 возводим в квадрат, получим (-0,8)*(-0,8) = 0, 64. Подставим его в искомую разность:

1-0,64=0,36

Получили квадрат значения синуса. Для нахождения значения самого синуса, извлечем корень квадратный из 0,36 и возьмем его со знаком + и со знаком – (см. картинку). Получим 0,6 или -0,6.

Так как по условию угол находится в 3 четверти, то искомое значение синуса будет отрицательным. Значит выбираем -0,6.

Ответ: sina=-0,6.

Рассмотрим для краткости изложения этот же пример для случая, когда угол находится во второй четверти:

Пример 2. Найти синус угла, если cos a = -0,8. 90<a<180 (в градусах)

Решение будет точно таким же, как для примера 1.

Изменится лишь выбор ответа. Рассуждения будут следующими:

Так как по условию угол находится во 2 четверти, то искомое значение синуса будет положительным. Значит выбираем 0,6.

Ответ: sina=0,6.

Мы знаем, что значения косинуса заключены в промежутке [-1; 1], т.е. -1 ≤ cos α ≤ 1. Поэтому если |а| > 1, то уравнение cos x = а не имеет корней. Например, уравнение cos x = -1,5 корней не имеет.

Рассмотрим несколько задач.

Задача 1.

Решить уравнение cos x = 1/2.

Решение.

Вспомним, что cos x – это абсцисса точки окружности с радиусом, равным 1, полученной в результате поворота точки Р (1; 0) на угол х вокруг начала координат.

Абсцисса 1/2 есть у двух точек окружности М₁ и М₂. Так как 1/2 = cos π/3, то точку М₁ мы можем получить из точки Р (1; 0) путем поворота на угол х₁ = π/3, а также на углы х = π/3 + 2πk, где k = +/-1, +/-2, … 

Точка М₂ получается из точки Р (1; 0) поворотом на угол х₂ = -π/3, а также на углы -π/3 + 2πk, где k = +/-1, +/-2, …

Итак, все корни уравнения cos x = 1/2 можно найти по формулам
х = π/3 + 2πk                      
х = -π/3 + 2πk,

где k € Z.

Две представленные формулы можно объединить в одну:

х = +/-π/3 + 2πk, k € Z.

Задача 2.

Решить уравнение cos x = -1/2 .

Решение.

Абсциссу, равную – 1/2 , имеют две точки окружности М₁ и М₂. Так как -1/2 =  cos 2π/3, то угол х₁ = 2π/3, а потому угол х₂ = -2π/3.

Следовательно, все корни уравнения cos x = -1/2 можно найти по формуле: х = +/-2π/3 + 2πk, k € Z.

Таким образом, каждое из уравнений cos x = 1/2 и cos x = -1/2 имеет бесконечное множество корней. На отрезке 0 ≤ х ≤ π каждое из этих уравнений имеет только один корень: х₁ = π/3 – корень уравнения cos x = 1/2 и х₁ = 2π/3 – корень уравнения cos x = -1/2.

Число π/3 называют арккосинусом числа 1/2 и записывают: arccos 1/2 = π/3, а число 2π/3 – арккосинусом числа (-1/2) и записывают: arccos (-1/2) = 2π/3.

Вообще уравнение cos x = а, где -1 ≤ а ≤ 1, имеет на отрезке 0 ≤ х ≤ π только один корень. Если а ≥ 0, то корень заключен в промежутке [0; π/2]; если а < 0, то в промежутке (π/2; π]. Этот корень называют арккосинусом числа а и обозначают: arccos а.

Таким образом, арккосинусом числа а € [-1; 1 ] называется такое число а € [0; π], косинус которого равен а:

arccos а = α, если cos α = а и 0 ≤ а ≤ π      (1).

Например, arccos √3/2 = π/6, так как cos π/6 = √3/2 и 0 ≤ π/6 ≤ π;
arccos (-√3/2) = 5π/6, так как cos 5π/6 = -√3/2 и 0 ≤ 5π/6 ≤ π.

Аналогично тому, как это сделано в процессе решения задач 1 и 2, можно показать, что все корни уравнения cos x = а, где |а| ≤ 1, выражаются формулой

х = +/-arccos а + 2 πn, n € Z         (2).

Задача 3.

Решить уравнение cos x = -0,75.

Решение.

По формуле (2) находим, х = +/-arccos (-0,75) + 2 πn, n € Z.

Значение arcos (-0,75) можно приближенно найти на рисунке, измерив угол при помощи транспортира. Приближенные значения арккосинуса также можно находить с помощью специальных таблиц (таблицы Брадиса) или микрокалькулятора. Например, значение arccos (-0,75) можно вычислить на микрокалькуляторе, получив приблизительное значение 2,4188583. Итак, arccos (-0,75) ≈ 2,42. Следовательно, arccos (-0,75) ≈ 139°.

Ответ: arccos (-0,75) ≈ 139°.

Задача 4.

Решить уравнение (4cos x – 1)(2cos 2x + 1) = 0.

Решение.

1) 4cos x – 1 = 0, cos x = 1/4, х = +/-arcos 1/4 + 2 πn, n € Z.

2) 2cos 2x + 1 = 0, cos 2x = -1/2, 2х = +/-2π/3 + 2 πn, х = +/-π/3 + πn, n € Z.

Ответ. х = +/-arcos 1/4 + 2 πn, х = +/-π/3 + πn.

Можно доказать, что для любого а € [-1; 1] справедлива формула arccos (-а) = π – arccos а       (3).

Эта формула позволяет выражать значения арккосинусов отрицательных чисел через значения арккосинусов положительных чисел. Например:

arccos (-1/2) = π – arccos 1/2 = π – π/3 = 2π/3;

arccos (-√2/2) = π – arсcos √2/2 = π – π/4 = 3π/4

из формулы (2) следует, что корни уравнения, cos x = а при а = 0, а = 1 и а = -1 можно находить по более простым формулам:

cos х = 0           х = π/2 + πn, n € Z        (4)

cos х = 1           х = 2πn, n € Z                (5)

cos х = -1        х = π + 2πn, n € Z          (6).

© blog.tutoronline.ru,
при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Таблица косинусов, найти значения угла косинусов

Используем таблицу косинусов,синусов.если а не 30,45,60,90 градусов.тогда в помощь таблица Брадиса