Известны все стороны треугольника как найти высоту

В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно найти высоту в различных видах треугольников, а также разберем примеры решения задач для закрепления материала.

  • Нахождение высоты треугольника

    • Высота в разностороннем треугольнике

    • Высота в равнобедренном треугольнике

    • Высота в прямоугольном треугольнике

    • Высота в равностороннем треугольнике

  • Примеры задач

Нахождение высоты треугольника

Напомним, высота треугольника – это отрезок, проведенный перпендикулярно из вершины фигуры к противоположной стороне.

Высота в разностороннем треугольнике

Высоту треугольника abc, проведенного к стороне a, можно найти по формулам ниже:

Высота в разностороннем треугольнике ABC

1. Через площадь и длину стороны

Формула для нахождения высоты треугольника через его площадь и длину стороны

где S – площадь треугольника.

2. Через длины всех сторон

Формула для нахождения высоты треугольника через длины его сторон

где p – это полупериметр треугольника, который рассчитывается так:

Формула для расчета полупериметра треугольника

3. Через длину прилежащей стороны и синус угла

Формула для нахождения высоты треугольника через длину стороны и синуса угла

4. Через стороны и радиус описанной окружности

Формула для нахождения высоты треугольника через длины сторон и радиус описанной окружности

Описанная вокруг разностороннего треугольника окружность

где R – радиус описанной окружности.

Высота в равнобедренном треугольнике

Длина высоты ha, опущенной на основание a равнобедренного треугольника, рассчитывается по формуле:

Формула для нахождения высоты к основанию в равнобедренном треугольнике

Опущенная на основание равнобедренного треугольника высота

Высота в прямоугольном треугольнике

Проведенная к гипотенузе высота в прямоугольном треугольнике

Высота, проведенная к гипотенузе, может быть найдена:

1. Через длины отрезков, образованных на гипотенузе

Формула для нахождения высоты к гипотенузе в прямоугольном треугольнике

2. Через стороны треугольника

Формула для нахождения высоты к гипотенузе в прямоугольном треугольнике через длины его сторон

Примечание: две остальные высоты в прямоугольном треугольнике являются его катетами.

Высота в равностороннем треугольнике

Для равностороннего треугольника со стороной a формула расчета высоты выглядит следующим образом:

Формула для нахождения высоты в равностороннем треугольнике

Высота в равностороннем треугольнике

Примеры задач

Задача 1
Найдите высоту треугольника, проведенную из вершины B к стороне AC, если известно, что AB = 7 см, а угол BAC = 45°.

Решение
В данном случае нам поможет формула для нахождения высоты через сторону и синус прилежащего угла:

Нахождение высоты треугольника через длину стороны и синус прилежащего угла (пример)

Задача 2
Найдите длину основания равнобедренного треугольника, если высота, проведенная к нему, равняется 3 см, а боковые стороны – 5 см.

Решение
Вывести формулу для нахождения длины основания можно из формулы расчета высоты в равнобедренном треугольнике:

Нахождение основания равнобедренного треугольника через высоту и боковую сторону (пример)

Здесь рассмотрены все возможные способы нахождения высоты треугольников разных типов. Высота
треугольника – отрезок, проведенный из вершины треугольника перпендикулярно к противоположной
стороне. В задачах нахождение высоты часто является промежуточным звеном для поиска других значений.
Она и является катетом в треугольнике, который сама же образует, и участвует во многих формулах,
например, для нахождения площади.

  • Высота разностороннего треугольника через площадь и длину
    стороны
  • Высота разностороннего треугольника через длины всех
    сторон
  • Высота разностороннего треугольника через длину прилежащей
    стороны и синус угла
  • Высота разностороннего треугольника через стороны и радиус
    описанной окружности
  • Высота равнобедренного треугольника через основание и
    боковые стороны
  • Высота прямоугольного треугольника через длины отрезков,
    образованных на гипотенузе
  • Высота прямоугольного треугольника через все стороны
    треугольника
  • Высота равностороннего треугольника через сторону
    треугольника

Через площадь и длину стороны разностороннего треугольника

Через площадь и длину высота находится по формуле:

h = 2S / a

где S – площадь треугольника, а – сторона треугольника.

Цифр после
запятой:

Результат в:

Согласно этой формуле высота равна удвоенной площади, деленной на длину стороны, к которой она
проведена.

Пример.  Найдите высоту разностороннего треугольника, проведенную к стороне а,
площадь которого равна 27 см, а длина стороны а составляет одну треть от площади. Решение: Найдем
сторону а. Так как известно, что она составляет треть от площади, а = 27 / 3 = 9 см.
Теперь воспользуемся формулой для нахождения высоты: h = 2S / a. Подставим
известные значения. h = 2 * 27 / 9 = 6 см. Ответ: 6 см

Через длины всех сторон разностороннего треугольника

Через длины всех сторон высота разностороннего треугольника ищется по формуле:

h = (2 √(p (p-a)(p-b)(p-c))) / 2
p = (a + b + c) / 2

где h – высота, а, b, c – стороны треугольника, p – полупериметр треугольника.

Цифр после
запятой:

Результат в:

Полупериметр треугольника можно найти либо в два этапа через периметр, либо сразу по формуле. Этим
способом удобно пользоваться, когда треугольник разносторонний.

Пример. Периметр разностороннего треугольника равен 18 см. Длины сторон 6 см и 8 см. Найдите
высоту, проведенную к стороне а. Решение: P = a + b + c, значит с = P – a – b , то есть c = 18 – 8 – 6 = 4 см. Для
нахождения h будем использовать формулу h = (2 √(p (p-a)(p-b)(p-c))) / 2.
Сначала найдем полупериметр (p): p = p / 2 = 18 / 2 = 9 см. Подставим,
найденные значения в формулу высоты: h = (2 √(9 (9 — 6)(9 — 8)(9 — 4))) / 2 = √135 / 3 = 2,12 см

Через длину прилежащей стороны и синус угла разностороннего треугольника

Через длину прилежащей стороны и синус угла высота ищется по следующей формуле:

h = a * sin α

где а – длина стороны, sin α – синус прилежащей стороны.

Цифр после
запятой:

Результат в:

Пример. В разностороннем треугольнике высота проведена к стороне AB. Угол ACH равен
30˚, а длина стороны AB 12 см. Найдите длину высоты CH в треугольнике ABC. По теореме о сумме углов
в треугольнике найдем угол САН. ∠САН = 180 – (∠АСН + ∠АНС). ∠САН = 180 – 90 – 30 = 60˚  sin 60º = 1/2. СН = AB * sin ∠САН, СН = 12 * 1/2 = 6 см. Ответ:
6 см

Через стороны и радиус описанной окружности разностороннего треугольника

Через стороны и радиус описанной окружности высоту можно найти по следующей формуле:

h = bc / 2R

где r – радиус описанной около треугольника окружности, b,c – стороны треугольника

Цифр после
запятой:

Результат в:

Пример. Вокруг разностороннего треугольника описана окружность с радиусом 3 см. Из
вершины между сторонами b и с проведена высота. Стороны b и с соответственно равны 5 см и 6 см.
Найдите высоту. Решение: Найдем высоту, используя формулу h = 5 * 6 / 2 * 3 = 30 / 6 = 5 см. Ответ:
5 см.

Через длины отрезков прямоугольного треугольника, образованных на гипотенузе

Через длины отрезков образованных на гипотенузе высоту можно найти по следующей формуле:

h = √(C1 * C2)

где: C1, C2 — отрезки, образованные проведением высоты к гипотенузе.

Цифр после
запятой:

Результат в:

Пример. В прямоугольном треугольнике катеты равны 4 см и 3 см. Угол BAH равен 30˚.
Найдите высоту. По теореме Пифагора найдём сторону BC, которая является гипотенузой в треугольнике
ABC. BC² = AB² = AC²,  BC² = 4² + 3² = 16+9 = 25 см², BC = √25 = 5 см. Угол
АНВ равен 90˚, так как АН является высотой, то есть, проведена перпендикулярно к стороне ВС.
Следовательно, треугольник АНВ – прямоугольный. Сторона ВН лежит напротив угла 30˚ в прямоугольном
треугольнике, значит, ее длина равна половине длины гипотенузы. Найдем ВН. BH = 1/2 AB. BH = 1/2 × 4 = 2 см. BC = BH + HC,
значит, HC = BC – BH, HC = 5 – 2 = 3 см. По формуле найдем высоту
(АН). АН = √(2 * 3) = √6 = 2,4 см. Ответ: 2,4 см.

Через основание и боковые стороны равнобедренного треугольника

Через основание и боковые стороны высота равнобедренного треугольника находится по формуле:

h = √(b² — a²/4)

где а – основание треугольника, b – боковая сторона. Для равнобедренного треугольника.

Цифр после
запятой:

Результат в:

Пример. В равнобедренном треугольнике АВС боковая сторона равна 8 см. Из вершины В к
основанию АС проведена высота ВН. Отрезок АН равен 5 см. Найдите высоту. Решение: Так как по условию
треугольник АВС равнобедренный по условию, то АВ = ВС = 8 см высота ВН,
является и медианой, и биссектрисой. Значит, АН = НС, а АС = НС + АН, АС = 5 + 5 = 10 см. По
формуле найдем высоту ВН = √(АВ² — АС² / 4). ВН = √(8² — 10² / 4) = √(64 — 100 / 4) = √39 = 6 см.
Ответ: 6 см.

Высота прямоугольного треугольника через все стороны треугольника

Если известны все стороны прямоугольного треугольника, то можно найти его высоту по следующей
формуле:

h = ab / c

где a,b,c – стороны треугольника.

Цифр после
запятой:

Результат в:

Пример. В прямоугольном треугольнике угол между катетом и гипотенузой равен 45˚.
Длина стороны АС равна 6 см. Найти высоту АН. Решение: По теореме о сумме углов в треугольнике
найдем угол АСВ. ∠АСВ = 180˚ – (45˚ + 90˚) = 45˚. Так как АСВ = АСВ, то
треугольник АВС равнобедренный с основанием ВС. Таким образом, АС = АВ = 6 см. По теореме Пифагора найдем гипотенузу ВС. BC² = AB² + AC². BC² = 6² + 6² = 36 +36 = 72 см². ВС = √72 = 6√2 см. Найдем
высоту по формуле AH = AB * AC / BC. АН = 6 * 6 / 6√2= см. Домножим
полученное значение на √2: (6 * √2) / √2 * √2 = 6√2 / 2 = 3√2 см. Ответ:
3√2 см

Через сторону равностороннего треугольника

Высота равностороннего треугольника через сторону треугольника ищется по следующей формуле:

h = a√3 / 2

где a – сторона треугольника.

Цифр после
запятой:

Результат в:

Пример: Найдите высоту в равностороннем треугольнике, если известно, что его сторона
равна 4√3 см. Решение: Для нахождения высоты воспользуемся формулой h = a√3 / 2 = √3 * 4 √3 / 2 = 4 * 3 / 2 = 6 см. Ответ:
6 см

В зависимости от типа треугольника высота может располагаться по-разному:

  1. Например, в треугольнике KGM высота GH, проведённая из вершины G к стороне находится внутри
    треугольника, так как треугольник является остроугольным. Кроме того, треугольник в данном
    примере равнобедренный, значит, она же является биссектрисой и медианой. Знание этого пригодится
    при решении задач, например таким образом можно будет найти основание.Рисунок 1
  2. В тупоугольном треугольнике высота будет выходить за его пределы и для того чтобы её провести
    понадобится сначала продлить сторону. Например, на рисунке сторона ВС продлена до НС.Рисунок 2
  3. В случае, когда треугольник имеет прямой угол – высота совпадёт с одним из катетов, либо будет
    внутри треугольника (как в первом рассмотренном варианте) и проведена к гипотенузе.Рисунок 3

Как найти в треугольнике высоту?

Анонимный вопрос

25 января 2018  · 91,7 K

Мне интересны множество тем: от психологии до космоса…)  · 14 нояб 2018

Высотой треугольника называется перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону (для тупого угла – на продолжение стороны треугольника).

В зависимости от входных данных, высоту треугольника можно найти разными способами.

  1. Если известны длины всех сторон

h = 2/a √p(p-a)(p-b)(p-c),

где h – длина высоты треугольника, p – полупериметр, a – длина стороны, на которую падает высота (основание), b и c – длины двух других сторон треугольника.

  1. Если известна длина одной из сторон треугольника и угол между этой стороной и основанием треугольника

h = b ∙ sinγ = c ∙ sinβ

  1. Если известна длина основания и площадь треугольника

h = 2S/a

  1. Если известны длины двух сторон треугольника и радиус описанной вокруг треугольника окружности

h = 2S/a

51,9 K

1 это для нахождения площади

Комментировать ответ…Комментировать…

Высота треугольника это перпендикуляр, опущенный из любой вершины треугольника на противоположную сторону, или на ее продолжение (сторона, на которую опускается перпендикуляр, в данном случае называется основанием треугольника). Все формулы для расчета высоты треугольника можно посмотреть на http://www-formula.ru/heighttriangle

14,7 K

Комментировать ответ…Комментировать…

Расчёт высоты треугольника по сторонам

Значащих цифр:

Определение треугольника

Треугольник это геометрическая фигура, которая состоит из трёх точек не лежащих на одной прямой и трёх отрезков попарно соединяющих эти точки. У треугольника сумма любых двух длинн сторон должна быть меньше третьей.

Определение высоты треугольника

Высота треугольника это перпендикуляр опущенный с вершины на противоположную сторону.

Высота треугольника по сторонам

Формулу высоты выведем из формулы Герона

color{#0000FF}{p = Large{frac{a + b + c}{2}}}

color{#0000FF}{S = sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}

Где a, b, c – длины сторон треугольника, p – полупериметр

и формулы площади треугольника

color{#0000FF}{S = Largefrac{1}{2}normalsize*b*h_b}

Выведем высоту треугольника

color{#0000FF}{Largefrac{1}{2}normalsize*b*h_b = sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}

Формулы высот треугольника

color{#0000FF}{h_b = Largefrac{2sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{b}}

color{#0000FF}{h_a = Largefrac{2sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{a}}

color{#0000FF}{h_c = Largefrac{2sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{c}}


Загрузить PDF


Загрузить PDF

Для вычисления площади треугольника вам необходимо знать его высоту. Если она не дана, вы можете вычислить ее по известным вам величинам! В этой статье мы расскажем о нескольких способах найти высоту треугольника по известным значениям других величин.

  1. Изображение с названием Find the Height of a Triangle Step 1

    1

    Напомним формулу для вычисления площади треугольника. Площадь треугольника вычисляется по формуле: A = 1/2bh.[1]

    • А – площадь треугольника
    • b – сторона треугольника, на которую опущена высота.
    • h – высота треугольника
  2. Изображение с названием Find the Height of a Triangle Step 2

    2

    Посмотрите на треугольник и подумайте, какие величины вам уже известны. Если вам дана площадь, обозначьте ее буквой «А» или «S». Вам также должно быть дано значение стороны, обозначьте ее буквой «b». Если вам не дана площадь и не дана сторона, воспользуйтесь другим методом.

    • Имейте в виду, что основанием треугольника может быть любая его сторона, на которую опущена высота (независимо от того, как расположен треугольник). Чтобы лучше понять это, представьте, что вы можете повернуть этот треугольник. Поверните его так, чтобы известная вам сторона была обращена вниз.
    • Например, площадь треугольника равна 20, а одна из его сторон равна 4. В этом случае “‘А = 20″‘, ‘”b = 4′”.
  3. Изображение с названием Find the Height of a Triangle Step 3

    3

    Подставьте данные вам значения в формулу для вычисления площади (А = 1/2bh) и найдите высоту. Сначала умножьте сторону (b) на 1/2, а затем разделите площадь (А) на полученное значение. Таким образом, вы найдете высоту треугольника.

    • В нашем примере: 20 = 1/2(4)h
    • 20 = 2h
    • 10 = h

    Реклама

  1. Изображение с названием Find the Height of a Triangle Step 4

    1

    Вспомните свойства равностороннего треугольника. В равностороннем треугольнике все стороны и все углы равны (каждый угол равен 60˚). Если в таком треугольнике провести высоту, вы получите два равных прямоугольных треугольника. [2]

    • Например, рассмотрим равносторонний треугольник со стороной 8.
  2. Изображение с названием Find the Height of a Triangle Step 5

    2

    Вспомните теорему Пифагора. Теорема Пифагора гласит, что в любом прямоугольном треугольнике с катетами «а» и «b» гипотенуза «с» равна: a2+b2=c2. Эту теорему можно использовать, чтобы найти высоту равностороннего треугольника![3]

  3. Изображение с названием Find the Height of a Triangle Step 6

    3

    Разделите равносторонний треугольник на два прямоугольных треугольника (для этого проведите высоту). Затем обозначьте стороны одного из прямоугольных треугольников. Боковая сторона равностороннего треугольника – это гипотенуза «с» прямоугольного треугольника. Катет «а» равен 1/2 стороне равностороннего треугольника, а катет «b» – это искомая высота равностороннего треугольника.

    • Итак, в нашем примере с равносторонним треугольником с известной стороной, равной 8: c = 8 и a = 4.
  4. Изображение с названием Find the Height of a Triangle Step 7

    4

    Подставьте эти значения в теорему Пифагора и вычислите b2. Сначала возведите в квадрат «с» и «а» (умножьте каждое значение само на себя). Затем вычтите a2 из c2.

    • 42 + b2 = 82
    • 16 + b2 = 64
    • b2 = 48
  5. Изображение с названием Find the Height of a Triangle Step 8

    5

    Извлеките квадратный корень из b2, чтобы найти высоту треугольника. Для этого воспользуйтесь калькулятором. Полученное значение и будет высотой вашего равностороннего треугольника!

    • b = √48 = 6,93

    Реклама

  1. Изображение с названием Find the Height of a Triangle Step 9

    1

    Подумайте, какие значения вам известны. Вы можете найти высоту треугольника, если вам известны значения сторон и углов. Например, если известен угол между основанием и боковой стороной. Или если известны значения всех трех сторон. Итак, обозначим стороны треугольника: «a», «b», «c», углы треугольника: «А», «В», «С», а площадь – буквой «S».

    • Если вам известны все три стороны, вам понадобится значение площади треугольника и формула Герона.
    • Если вам известны две стороны и угол между ними, можете использовать следующую формулу для нахождения площади: S=1/2ab(sinC).[4]
  2. Изображение с названием Find the Height of a Triangle Step 10

    2

    Если вам даны значения всех трех сторон, используйте формулу Герона. По этой формуле придется выполнить несколько действий. Сначала нужно найти переменную «s» (мы обозначим этой буквой половину периметра треугольника). Для этого подставьте известные значения в эту формулу: s = (a+b+c)/2.[5]

    • Для треугольника со сторонами а = 4, b = 3, c = 5, s = (4+3+5)/2. В результате получается: s=12/2, где s=6.
    • Затем вторым действием мы находим площадь (вторая часть формулы Герона). Площадь = √(s(s-a)(s-b)(s-c)). Вместо слова «площадь» вставьте эквивалентную формулу для поиска площади: 1/2bh (или 1/2ah, или 1/2ch).
    • Теперь найдите эквивалентное выражение для высоты (h). Для нашего треугольника будет справедливо следующее уравнение: 1/2(3)h = (6(6-4)(6-3)(6-5)). Где 3/2h=√(6(2(3(1))). Получается, 3/2h = √(36). С помощью калькулятора вычислите квадратный корень. В нашем примере: 3/2h = 6. Получается, что высота (h) равна 4, сторона b – основание.
  3. Изображение с названием Find the Height of a Triangle Step 11

    3

    Если по условию задачи известны две стороны и угол, вы можете использовать другую формулу. Замените площадь в формуле эквивалентным выражением: 1/2bh. Таким образом, у вас получится следующая формула: 1/2bh = 1/2ab(sinC). Ее можно упростить до следующего вида: h = a(sin C), чтобы убрать одну неизвестную переменную.[6]

    • Теперь осталось решить полученное уравнение. Например, пусть «а» = 3, «С» = 40 градусов. Тогда уравнение будет выглядеть так: «h» = 3(sin 40). С помощью калькулятора и таблицы синусов подсчитайте значение «h». В нашем примере h = 1,928.

    Реклама

Об этой статье

Эту страницу просматривали 437 162 раза.

Была ли эта статья полезной?

Добавить комментарий