Рассмотрим два основных метода нахождения НОД двумя основными способами: с использованием алгоритма Евклида и путем разложения на простые множители. Применим оба метода для двух, трех и большего количества чисел.
Алгоритм Евклида для нахождения НОД
Алгоритм Евклида позволяет с легкостью вычислить наибольший общий делитель для двух положительных чисел. Формулировки и доказательство алгоритма Евклида мы привели в разделе «Наибольший общий делитель: определитель, примеры».
Суть алгоритма заключается в том, чтобы последовательно проводить деление с остатком, в ходе которого получается ряд равенств вида:
a=b·q1+r1, 0<r1<bb=r1·q2+r2, 0<r2<r1r1=r2·q3+r3, 0<r3<r2r2=r3·q4+r4, 0<r4<r3⋮rk-2=rk-1·qk+rk, 0<rk<rk-1rk-1=rk·qk+1
Мы можем закончить деление тогда, когда rk+1=0, при этом rk=НОД(a, b).
Найдите наибольший общий делитель чисел 64 и 48.
Решение
Введем обозначения: a=64, b=48.
На основе алгоритма Евклида проведем деление 64 на 48.
Получим 1 и остаток 16. Получается, что q1=1, r1=16.
Вторым шагом разделим 48 на 16, получим 3. То есть q2=3, а r2=0. Таким образом число 16 – это наибольший общий делитель для чисел из условия.
Ответ: НОД(64, 48)=16.
Чему равен НОД чисел 111 и 432?
Решение
Делим 432 на 111. Согласно алгоритму Евклида получаем цепочку равенств 432=111·3+99, 111=99·1+12, 99=12·8+3, 12=3·4.
Таким образом, наибольший общий делитель чисел 111 и 432 – это 3.
Ответ: НОД(111, 432)=3.
Найдите наибольший общий делитель чисел 661 и 113.
Решение
Проведем последовательно деление чисел и получим НОД(661, 113)=1. Это значит, что 661 и 113 – это взаимно простые числа. Мы могли выяснить это до начала вычислений, если бы обратились к таблице простых чисел.
Ответ: НОД(661, 113)=1.
Нахождение НОД с помощью разложения чисел на простые множители
Для того, чтобы найти наибольший общий делитель двух чисел методом разложения на множители, необходимо перемножить все простые множители, которые получаются при разложении этих двух чисел и являются для них общими.
Если мы разложим числа 220 и 600 на простые множители, то получим два произведения: 220=2·2·5·11 и 600=2·2·2·3·5·5. Общими в этих двух произведениях будут множители 2,2 и 5. Это значит, что НОД(220, 600)=2·2·5=20.
Найдите наибольший общий делитель чисел 72 и 96.
Решение
Найдем все простые множители чисел 72 и 96:
72361893122233
96482412631222223
Общими для двух чисел простые множители: 2, 2, 2 и 3. Это значит, что НОД(72, 96)=2·2·2·3=24.
Ответ: НОД(72, 96)=24.
Правило нахождения наибольшего общего делителя двух чисел основано на свойствах наибольшего общего делителя, согласно которому НОД(m·a1, m·b1)=m·НОД(a1, b1), где m– любое целое положительное число.
Нахождение НОД трех и большего количества чисел
Независимо от количества чисел, для которых нам нужно найти НОД, мы будем действовать по одному и тому же алгоритму, который заключается в последовательном нахождении НОД двух чисел. Основан этот алгоритм на применении следующей теоремы: НОД нескольких чисел a1, a2, …, ak равен числу dk, которое находится при последовательном вычислении НОД(a1, a2)=d2, НОД(d2, a3)=d3, НОД(d3, a4)=d4, …, НОД(dk-1, ak)=dk.
Найдите наибольший общий делитель четырех чисел 78, 294, 570 и 36.
Решение
Введем обозначения: a1=78, a2=294, a3=570, a4=36.
Начнем с того, что найдем НОД чисел 78 и 294: d2=НОД(78, 294)=6.
Теперь приступим к нахождению d3=НОД(d2, a3)=НОД(6, 570). Согласно алгоритму Евклида 570=6·95. Это значит, что d3=НОД(6, 570)=6.
Найдем d4=НОД(d3, a4)=НОД(6, 36). 36 делится на 6 без остатка. Это позволяет нам получить d4=НОД(6, 36)=6.
d4=6, то есть, НОД(78, 294, 570, 36)=6.
Ответ: НОД(78, 294, 570, 36)=6.
А теперь давайте рассмотрим еще один способ вычисления НОД для тех и большего количества чисел. Мы можем найти НОД, перемножив все общие простые множители чисел.
Вычислите НОД чисел 78, 294, 570 и 36.
Решение
Произведем разложение данных чисел на простые множители: 78=2·3·13, 294=2·3·7·7, 570=2·3·5·19, 36=2·2·3·3.
Для всех четырех чисел общими простыми множителями будут числа 2 и 3.
Получается, что НОД(78, 294, 570, 36)=2·3=6.
Ответ: НОД(78, 294, 570, 36)=6.
Нахождение НОД отрицательных чисел
Если нам приходится иметь дело с отрицательными числами, то для нахождения наибольшего общего делителя мы можем воспользоваться модулями этих чисел. Мы можем так поступить, зная свойство чисел с противоположными знаками: числа n и -n имеют одинаковые делители.
Найдите НОД отрицательных целых чисел −231 и −140.
Решение
Для выполнения вычислений возьмем модули чисел, данных в условии. Это будут числа 231 и 140. Запишем это кратко: НОД(−231, −140)=НОД(231, 140). Теперь применим алгоритм Евклида для нахождения простых множителей двух чисел: 231=140·1+91; 140=91·1+49; 91=49·1+42; 49=42·1+7 и 42=7·6. Получаем, что НОД(231, 140)=7.
А так как НОД(−231, −140)=НОД(231, 140), то НОД чисел −231 и −140 равен 7.
Ответ: НОД(−231, −140)=7.
Определите НОД трех чисел −585, 81 и −189.
Решение
Заменим отрицательные числа в приведенном перечне на их абсолютные величины, получим НОД(−585, 81, −189)=НОД(585, 81, 189). Затем разложим все данные числа на простые множители: 585=3·3·5·13, 81=3·3·3·3 и 189=3·3·3·7. Общими для трех чисел являются простые множители 3 и 3. Получается , что НОД(585, 81, 189)=НОД(−585, 81, −189)=9.
Ответ: НОД(−585, 81, −189)=9.
Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта
Как найти НОД
- Нахождение путём разложения на множители
- Алгоритм Евклида
Рассмотрим два способа нахождения наибольшего общего делителя.
Нахождение путём разложения на множители
Первый способ заключается в нахождении наибольшего общего делителя путём разложения данных чисел на простые множители.
Чтобы найти НОД нескольких чисел, достаточно, разложить их на простые множители и перемножить между собой те из них, которые являются общими для всех данных чисел.
Пример 1. Найти НОД (84, 90).
Решение: Раскладываем числа 84 и 90 на простые множители:
Итак, мы подчеркнули все общие простые множители, осталось перемножить их между собой:
2 · 3 = 6.
Таким образом, НОД (84, 90) = 6.
Пример 2. Найти НОД (15, 28).
Решение: Раскладываем 15 и 28 на простые множители:
Числа 15 и 28 являются взаимно простыми, так как их наибольший общий делитель — единица.
НОД (15, 28) = 1.
Алгоритм Евклида
Второй способ (иначе его называют способом Евклида) заключается в нахождении НОД путём последовательного деления.
Сначала мы рассмотрим этот способ в применении только к двум данным числам, а затем разберёмся в том, как его применять к трём и более числам.
Если большее из двух данных чисел делится на меньшее, то число, которое меньше и будет их наибольшим общим делителем.
Пример 1. Возьмём два числа 27 и 9. Так как 27 делится на 9 и 9 делится на 9, значит, 9 является общим делителем чисел 27 и 9. Этот делитель является в тоже время и наибольшим, потому что 9 не может делиться ни на какое число, большее 9. Следовательно:
НОД (27, 9) = 9.
В остальных случаях, чтобы найти наибольший общий делитель двух чисел используется следующий порядок действий:
- Из двух данных чисел большее число делят на меньшее.
- Затем, меньшее число делят на остаток, получившийся от деления большего числа на меньшее.
- Далее, первый остаток делят на второй остаток, который получился от деления меньшего числа на первый остаток.
- Второй остаток делят на третий, который получился от деления первого остатка на второй и т. д.
- Таким образом деление продолжается до тех пор, пока в остатке не получится нуль. Последний делитель как раз и будет наибольшим общим делителем.
Пример 2. Найдём наибольший общий делитель чисел 140 и 96:
1) 140 : 96 = 1 (остаток 44)
2) 96 : 44 = 2 (остаток 8)
3) 44 : 8 = 5 (остаток 4)
4) 8 : 4 = 2
Последний делитель равен 4 — это значит:
НОД (140, 96) = 4.
Последовательное деление так же можно записывать столбиком:
Чтобы найти наибольший общий делитель трёх и более данных чисел, используем следующий порядок действий:
- Сперва находим наибольший общий делитель любых двух чисел из нескольких данных.
- Затем находим НОД найденного делителя и какого-нибудь третьего данного числа.
- Затем находим НОД последнего найденного делителя и четвёртого данного числа и так далее.
Пример 3. Найдём наибольший общий делитель чисел 140, 96 и 48. НОД чисел 140 и 96 мы уже нашли в предыдущем примере (это число 4). Осталось найти наибольший общий делитель числа 4 и третьего данного числа — 48:
48 : 4 = 12
48 делится на 4 без остатка. Таким образом:
НОД (140, 96, 48) = 4.
Наибольшим общим делителем (НОД) двух целых чисел называется наибольший из их общих делителей. К примеру для чисел 12 и 8, наибольшим общим делителем будет 4.
Как найти НОД?
Способов найти НОД несколько. Мы рассмотрим один из часто используемых в математике — это нахождение НОД при помощи разложения чисел на простые множители. В общем случае алгоритм будет выглядеть следующим образом:
- разложить оба числа на простые множители (подробнее о разложении чисел на простые множители смотрите тут);
- выбрать одинаковые множители, входящие в оба разложения;
- найти их произведение.
Примеры нахождения наибольшего общего делителя
Рассмотрим приведенный алгоритм на конкретных примерах:
Пример 1: найти НОД 12 и 8
1. Раскладываем 12 и 8 на простые множители:
2. Выбираем одинаковые множители, которые есть в обоих разложениях. Это: 2 и 2
3. Перемножаем эти множители и получаем: 2 · 2 = 4
Ответ: НОД (8; 12) = 2 · 2 = 4.
Пример 2: найти НОД 75 и 150
Этот пример, как и предыдущий с легкостью можно высчитать в уме и вывести ответ 75, но для лучшего понимания работы алгоритма, проделаем все шаги:
1. Раскладываем 75 и 150 на простые множители:
2. Выбираем одинаковые множители, которые есть в обоих разложениях. Это: 3, 5 и 5
3. Перемножаем эти множители и получаем: 3 · 5 · 5 = 75
Ответ: НОД (75; 150) = 3 · 5 · 5 = 75.
Частный случай или взаимно простые числа
Нередко встречаются ситуации, когда оба числа взаимно простые, т.е. общий делитель равен единице. В этом случае, алгоритм будет выглядеть следующим образом:
Пример 3: найти НОД 9 и 5
1. Раскладываем 5 и 9 на простые множители:
Видим, что одинаковых множителей нет, а значит, что это частный случай (взаимно простые числа). Общий делитель — единица.
Нахождение НОК и НОД двух натуральных чисел
Содержание:
- Что такое НОК и НОД двух натуральных чисел
- Особенности вычисления, алгоритм Евклида
- Правило нахождения наибольшего общего делителя (НОД)
- Правило нахождения наименьшего общего кратного (НОК)
Что такое НОК и НОД двух натуральных чисел
Натуральными числами называют числа, которые используются при счете – 1, 2, 3, 16, 25, 101, 2560 и далее до бесконечности. Ноль, отрицательные и дробные или нецелые числа не относятся к натуральным.
Наименьшее общее кратное (НОК) двух натуральных чисел a и b – это наименьшее число, которое делится без остатка на каждое из рассматриваемых чисел.
Наибольший общий делитель (НОД) двух натуральных чисел a и b – это наибольшее число, на которое делится без остатка каждое рассматриваемое число.
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Свойства НОК и НОД для натуральных чисел a и b
- (НОД (a, b) = НОД (b, a);)
- (НОК (a, b) = НОК (b, a);)
- (НОК;(a,b)=frac{a;times;b}{НОД;(a,b)}.)
Особенности вычисления, алгоритм Евклида
Рассмотрим два способа определения НОД и НОК с помощью алгоритма Евклида:
- Способ деления.
При делении целых чисел с остатком, где a – делимое, b – делитель (b не равно 0) находят целые числа q и r согласно равенству (a=btimes) q+r, в котором q – неполное частное, r – остаток при делении (не отрицательное, по модулю меньше делителя).
Чтобы вычислить НОД, первоначально нужно выбрать наибольшее из двух чисел и поделить его на меньшее. Пока остаток не станет равным нулю, повторяется цикл деления делителя на остаток от деления в соответствии с формулой.
Пример №1
Вычислим НОД для чисел 12 и 20. Делим 20 на 12 и получаем 1 и 8 в остатке. Запишем иначе:
(20=12times1+8), так как остаток не равняется нулю, продолжаем деление. Делим 12 на 8 и получаем 1 и 4 в остатке. Записываем: (12=8times1+4) и по аналогии делим 8 на 4 и получаем 2 и 0 в остатке. НОД равен остатку, предшествующему нулю.
НОД (12;20) = 4
НОК получаем согласно свойству (НОК (a, b) = НОК;(a,b)=frac{a;times;b}{НОД;(a,b)}.) Подставляем числовые значения:
НОК (12; 20) = (12times20div4=60)
НОК (12;20) = 60
- Способ вычитания.
Здесь повторяется цикл вычитания из наибольшего числа меньшего числа до момента, пока разность не станет равна нулю. НОД равен предшествующей нулю разности.
Пример №2
Вычислим НОД для тех же чисел, 12 и 20.
20 – 12 = 8 (разность не равна нулю, продолжаем)
12 – 8 = 4
8 – 4 = 4
4 – 4 = 0
НОД (12;20) = 4
НОК находим также, как и при методе деления.
Правило нахождения наибольшего общего делителя (НОД)
Для нахождения наибольшего общего делителя воспользуемся пошаговым алгоритмом:
- Разложить числа на простые множители.
- Найти общий множитель одного и другого числа.
- Перемножить общие множители, если их несколько, и их произведение будет НОД.
Пример №3
Возьмем натуральные числа 24 и 36.
(24=2times2times2times3)
(36=2times2times3times3)
Правильно записать следующим образом:
(НОД (24;36)=2times3=6)
Примечание
В случае, когда одно или оба числа относятся к простым, т.е. делятся только на единицу и на само себя, то их НОД равняется 1.
Правило нахождения наименьшего общего кратного (НОК)
Для нахождения наименьшего общего кратного воспользуемся подробным алгоритмом:
- Наибольшее из чисел, а затем остальные разложить на простые множители.
- Выделить те множители, которые отсутствуют у наибольшего.
- Перемножить множители п. 2 и множители наибольшего числа, получить НОК.
Пример №4
Возьмем натуральные числа 9 и 12.
(12=2times2times3)
(9=3times3) (видим, что у числа 12 отсутствует одна тройка)
Правильно записать следующим образом:
(НОК (9;12)=2times2times3times3=36)
Насколько полезной была для вас статья?
Рейтинг: 3.00 (Голосов: 4)
Выделите текст и нажмите одновременно клавиши «Ctrl» и «Enter»
Текст с ошибкой:
Расскажите, что не так
Поиск по содержимому
Загрузить PDF
Загрузить PDF
Нахождение наибольшего общего делителя (НОД) для определенного количества чисел может быть легкой задачей, если вы умеете это делать.
-
1
Найдите делители чисел. Начните с поиска всех делителей первого и второго числа.
-
2
Сравните делители обоих чисел и найдите самое большое число, которое есть в списке делителей как первого, так и второго числа. Это число равно НОД.
Реклама
-
1
Разложите каждое число на простые множители. Простое число – это число, большее 1 и которое делится только на 1 и на само себя. Примеры простых чисел: 5, 17, 97, 331.
-
2
Найдите общие простые множители. Общий простой множитель может быть только один, или их может быть несколько.
-
3
Если у двух чисел есть только один общий простой множитель, то он равен НОД. Если у двух чисел есть несколько общих простых множителей, то их произведение равно НОД.
-
4
Изучите пример. Чтобы продемонстрировать этот метод, изучите пример, приведенный на рисунке.
Реклама
Советы
- Простое число – это число, которое делится только на 1 и на само себя.
- Знаете ли вы, что в третьем веке до н.э. математик Евклид создал алгоритм для вычисления наибольшего общего делителя двух натуральных чисел и двух многочленов?
Реклама
Об этой статье
Эту страницу просматривали 7358 раз.
