Что такое нок в математике? Продолжим разговор о наименьшем общем кратном, который мы начали в разделе « НОК – наименьшее общее кратное, определение, примеры». В этой теме мы узнаем, как найти наименьшее общее кратное, какие есть для этого способы для трех чисел и более, разберем вопрос о том, как находить НОК отрицательного числа. Также разберемся, что такое нок и нод, как найти нок и нод.
Вычисление наименьшего общего кратного (НОК) через НОД
Мы уже узнали, что такое нок, а также установили связь наименьшего общего кратного с наибольшим общим делителем (кратность показывает в расчетах во сколько раз один показатель больше другого). Теперь как настоящие математики научимся определять НОК через НОД (нок и нод чисел натуральных). Сначала разберемся, как найти нок для положительных чисел. Сделать это можно и онлайн или на калькуляторе, но лучше научиться самостоятельно.
Поиск наименьшего общего кратного через наибольший общий делитель можно по формуле НОК(a, b)=a·b:НОД(a, b).
Необходимо найти НОК чисел 126 и 70.
Решение
Начнем решать. Примем a=126, b=70. Подставим значения в формулу вычисления наименьшего общего кратного через наибольший общий делитель НОК(a, b)=a·b:НОД(a, b).
Найдем НОД чисел 70 и 126. Для этого нам понадобится алгоритм Евклида: 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, следовательно, NOD(126, 70)=14.
Вычислим НОК: НОК(126, 70)=126·70:НОД(126, 70)=126·70:14=630.
Ответ: NOC(126, 70)=630.
Найдите нок чисел 68 и 34.
Решение
Как находить нод? НОД в данном случае нейти несложно, так как 68 делится на 34. Вычислим самое маленькое общее кратное по формуле: НОК(68, 34)=68·34:НОД(68, 34)=68·34:34=68.
Ответ: НОК(68, 34)=68.
В этом примере мы использовали правило нахождения наименьшего общего кратного для целых положительных чисел a и b: если первое число делится на второе, что НОК этих чисел будет равно первому числу.
Нахождение НОК с помощью разложения чисел на простые множители
Теперь давайте рассмотрим способ нахождения НОК, который основан на разложении чисел на простые множители. Перед тем, как это узнавать, дадим небольшое определение.
Для нахождения наименьшего общего кратного нам понадобится выполнить ряд несложных действий:
- составляем произведение всех простых множителей чисел, для которых нам нужно найти НОК;
- исключаем их полученных произведений все простые множители;
- полученное после исключения общих простых множителей произведение будет равно НОК данных чисел.
Этот способ нахождения наименьшего общего кратного основан на равенстве НОК(a, b)=a·b:НОД(a, b). Если посмотреть на формулу, то станет понятно: произведение чисел a и b равно произведению всех множителей, которые участвуют в разложении этих двух чисел. При этом НОД двух чисел равен произведению всех простых множителей, которые одновременно присутствуют в разложениях на множители данных двух чисел.
У нас есть два числа 75 и 210. Мы можем разложить их на множители следующим образом: 75=3·5·5 и 210=2·3·5·7. Если составить произведение всех множителей двух исходных чисел, то получится: 2·3·3·5·5·5·7.
Если исключить общие для обоих чисел множители 3 и 5, мы получим произведение следующего вида: 2·3·5·5·7=1050. Это произведение и будет нашим НОК для чисел 75 и 210.
Найдите НОК чисел 441 и 700, разложив оба числа на простые множители.
Решение
Найдем все простые множители чисел, данных в условии:
44114749713377
700350175357122557
Получаем две цепочки чисел: 441=3·3·7·7 и 700=2·2·5·5·7.
Произведение всех множителей, которые участвовали в разложении данных чисел, будет иметь вид: 2·2·3·3·5·5·7·7·7. Найдем общие множители. Это число 7. Исключим его из общего произведения: 2·2·3·3·5·5·7·7. Получается, что НОК(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100.
Ответ: НОК(441, 700)= 44 100.
Дадим еще одну формулировку метода нахождения НОК путем разложения чисел на простые множители.
Раньше мы исключали из всего количества множителей общие для обоих чисел. Теперь мы сделаем иначе:
- разложим оба числа на простые множители:
- добавим к произведению простых множителей первого числа недостающие множители второго числа;
- получим произведение, которое и будет искомым НОК двух чисел.
Вернемся к числам 75 и 210, для которых мы уже пробовали искать НОК в одном из прошлых примеров. Разложим их на простые множители: 75=3·5·5 и 210=2·3·5·7. К произведению множителей 3, 5 и 5 числа 75 добавим недостающие множители 2 и 7 числа 210. Получаем: 2·3·5·5·7. Это и есть НОК чисел 75 и 210.
Необходимо вычислить НОК чисел 84 и 648.
Решение
Разложим числа из условия на простые множители: 84=2·2·3·7 и 648=2·2·2·3·3·3·3. Добавим к произведению множителей 2, 2, 3 и 7 числа 84 недостающие множители 2, 3, 3 и
3 числа 648. Получаем произведение 2·2·2·3·3·3·3·7=4536. Это и есть наименьшее общее кратное чисел 84 и 648 .
Ответ: НОК(84, 648)=4 536.
Нахождение НОК трех и большего количества чисел
Независимо от того, с каким количеством чисел мы имеем дело, алгоритм наших действий всегда будет одинаковым: мы будем последовательно находить НОК двух чисел. На этот случай есть теорема.
Предположим, что у нас есть целые числа a1, a2, …, ak. НОК mk этих чисел находится при последовательном вычислении m2=НОК(a1, a2), m3=НОК(m2, a3), …, mk=НОК(mk−1, ak).
Теперь рассмотрим, как можно применять теорему для решения конкретных задач.
Необходимо вычислить наименьшее общее кратное четырех чисел 140, 9, 54 и 250.
Решение задания
Введем обозначения: a1=140, a2=9, a3=54, a4=250.
Начнем с того, что вычислим m2=НОК(a1, a2)=НОК(140, 9). Применим алгоритм Евклида для вычисления НОД чисел 140 и 9: 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4. Получаем: НОД(140, 9)=1, НОК(140, 9)=140·9:НОД(140, 9)=140·9:1=1 260. Следовательно, m2=1 260.
Теперь вычислим по тому е алгоритму m3=НОК(m2, a3)=НОК(1 260, 54). В ходе вычислений получаем m3=3 780.
Нам осталось вычислить m4=НОК(m3, a4)=НОК(3 780, 250). Действуем по тому же алгоритму. Получаем m4=94 500.
НОК четырех чисел из условия примера равно 94500.
Ответ: НОК(140, 9, 54, 250)=94 500.
Как видите, вычисления получаются несложными, но достаточно трудоемкими. Чтобы сэкономить время, можно пойти другим путем.
Предлагаем вам следующий алгоритм действий:
- раскладываем все числа на простые множители;
- к произведению множителей первого числа добавляем недостающие множители из произведения второго числа;
- к полученному на предыдущем этапе произведению добавляем недостающие множители третьего числа и т.д.;
- полученное произведение будет наименьшим общим кратным всех чисел из условия.
Необходимо найти НОК пяти чисел 84, 6, 48, 7, 143.
Решение
Разложим все пять чисел на простые множители: 84=2·2·3·7, 6=2·3, 48=2·2·2·2·3, 7, 143=11·13. Простые числа, которым является число 7, на простые множители не раскладываются. Такие числа совпадают со своим разложением на простые множители.
Теперь возьмем произведение простых множителей 2, 2, 3 и 7 числа 84 и добавим к ним недостающие множители второго числа. Мы разложили число 6 на 2 и 3. Эти множители уже есть в произведении первого числа. Следовательно, их опускаем.
Продолжаем добавлять недостающие множители. Переходим к числу 48, из произведения простых множителей которого берем 2 и 2. Затем добавляем простой множитель 7 от четвертого числа и множители 11 и 13 пятого. Получаем: 2·2·2·2·3·7·11·13=48 048. Это и есть наименьшее общее кратное пяти исходных чисел.
Ответ: НОК(84, 6, 48, 7, 143)=48 048.
Нахождение наименьшего общего кратного отрицательных чисел
Для того чтобы найти наименьшее общее кратное отрицательных чисел, эти числа необходимо сначала заменить на числа с противоположным знаком, а затем провести вычисления по приведенным выше алгоритмам.
НОК(54, −34)=НОК(54, 34), а НОК(−622, −46, −54, −888)=НОК(622, 46, 54, 888).
Такие действия допустимы в связи с тем, что если принять, что a и −a – противоположные числа,
то множество кратных числа a совпадает со множеством кратных числа −a.
Необходимо вычислить НОК отрицательных чисел −145 и −45.
Решение
Произведем замену чисел −145 и −45 на противоположные им числа 145 и 45. Теперь по алгоритму вычислим НОК(145, 45)=145·45:НОД(145, 45)=145·45:5=1 305, предварительно определив НОД по алгоритму Евклида.
Получим, что НОК чисел −145 и −45 равно 1 305.
Ответ: НОК(−145, −45)=1 305.
Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта
Для того, чтобы находить общий знаменатель
при
сложении
и
вычитании дробей с разными
знаменателями необходимо знать и уметь рассчитывать наименьшее общее кратное (НОК).
Кратное числу «a» — это число, которое
само делится на число «a» без остатка.
Числа кратные 8
(то есть, эти числа разделятся на 8 без остатка):
это числа 16, 24, 32 …
Кратные 9: 18, 27, 36, 45 …
Чисел, кратных данному числу a бесконечно много, в отличии от делителей
этого же числа. Делителей —
конечное количество.
Общим кратным двух натуральных чисел называется число, которое делится на оба эти числа нацело.
Запомните!
Наименьшим общим кратным (НОК) двух и более натуральных
чисел называется наименьшее натуральное число, которое само
делится нацело на каждое из этих чисел.
Как найти НОК
НОК можно найти и записать двумя способами.
Первый способ нахождения НОК
Данный способ обычно применяется для небольших чисел.
- Выписываем в строчку кратные для каждого из чисел, пока не найдётся кратное, одинаковое
для обоих чисел. - Кратное числа «a»
обозначаем большой буквой «К».К (a) = {…, …}
Пример. Найти НОК 6 и 8.
К (6) = {12, 18, 24, 30, …}
К (8) = {8, 16, 24, 32, …}
НОК (6, 8) = 24
Второй способ нахождения НОК
Этот способ удобно использовать, чтобы найти НОК для трёх и более чисел.
- Разложить данные числа на простые множители.
Подробнее правила разложения на
простые множители вы можете прочитать в теме
как найти наибольший общий делитель (НОД).
- Выписать в строчку множители, входящие в разложение
самого большого из чисел, а под ним —
разложение остальных чисел.Запомните!
Количество одинаковых множителей в разложениях чисел может быть разное.
60 = 2 · 2 · 3 · 5
24 = 2 · 2 · 2 · 3
- Подчеркнуть в разложении
меньшего числа (меньших чисел) множители,
которые не вошли в разложение бóльшего числа
(в нашем примере это 2) и добавить эти множители в разложение бóльшего числа.
НОК (24, 60) = 2 · 2 · 3 · 5 · 2 - Полученное произведение записать в ответ.
Ответ: НОК (24, 60) = 120
Оформить нахождение наименьшего общего кратного (НОК) можно также следующим образом. Найдём НОК (12, 16, 24).
24 = 2 · 2 · 2 · 3
16 = 2 · 2 · 2 · 2
12 = 2 · 2 · 3
Как видим из разложения чисел, все множители 12 вошли в
разложение 24
(самого бóльшего из чисел), поэтому в НОК добавляем только одну 2 из
разложения числа 16.
НОК (12, 16, 24) = 2 · 2 · 2 · 3 · 2 = 48
Ответ: НОК (12, 16, 24) = 48
Особые случаи нахождения НОК
- Если одно из чисел делится нацело на другие, то наименьшее общее кратное этих чисел равно этому числу.
Например, НОК (60, 15) = 60
- Так как взаимно простые числа не имеют общих простых делителей, то их наименьшее общее
кратное равно произведению этих чисел.Пример.
НОК (8, 9) = 72
Ваши комментарии
Важно!
Чтобы оставить комментарий, вам нужно войти на наш сайт при помощи
«ВКонтакте».
Оставить комментарий:
5 сентября 2020 в 15:37
Елена Елена
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
Елена Елена
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
НОК(360,102)
0
Спасибо
Ответить
6 сентября 2020 в 13:42
Ответ для Елена Елена
Евгений Фёдоров
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 60
Евгений Фёдоров
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 60
360 = 23 · 32 · 5; 102 = 2 · 3 · 17.
НОК(360; 102) = 23 · 32 · 5 · 17 = …
0
Спасибо
Ответить
30 мая 2018 в 17:34
Тамара Татарникова
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
Тамара Татарникова
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
Найдите четырёхзначное число, которое кратно 24, а произведение цифр этого числа равно 16, в ответ дайте какое-нибудь одно число.
Я написала 1242, но 1242 при делении на 24 дает в ответе 51,75 будет ли это верным ответом?
0
Спасибо
Ответить
3 июня 2018 в 1:58
Ответ для Тамара Татарникова
Евгений Фёдоров
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 60
Евгений Фёдоров
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 60
1128 1224 8112
0
Спасибо
Ответить
29 ноября 2016 в 14:47
Анвар Тынайбеков
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
Анвар Тынайбеков
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
НОК(344и170)=
0
Спасибо
Ответить
2 декабря 2016 в 8:23
Ответ для Анвар Тынайбеков
Евгений Колосов
Профиль
Благодарили: 12
Сообщений: 197
Евгений Колосов
Профиль
Благодарили: 12
Сообщений: 197
1
Спасибо
Ответить
15 февраля 2016 в 19:02
Кирилл Журавлёв
Профиль
Благодарили: 1
Сообщений: 3
Кирилл Журавлёв
Профиль
Благодарили: 1
Сообщений: 3
число 123 454 321 делится на 11 111. найдите нок этих чисел
1
Спасибо
Ответить
15 февраля 2016 в 19:08
Ответ для Кирилл Журавлёв
Кирилл Журавлёв
Профиль
Благодарили: 1
Сообщений: 3
Кирилл Журавлёв
Профиль
Благодарили: 1
Сообщений: 3
12132211
0
Спасибо
Ответить
19 сентября 2016 в 12:55
Ответ для Кирилл Журавлёв
Евгений Колосов
Профиль
Благодарили: 12
Сообщений: 197
Евгений Колосов
Профиль
Благодарили: 12
Сообщений: 197
Здесь подробно описано нахождение НОК.
А в супер-решателе можно себя проверить.
0
Спасибо
Ответить
15 февраля 2016 в 18:51
Кирилл Журавлёв
Профиль
Благодарили: 1
Сообщений: 3
Кирилл Журавлёв
Профиль
Благодарили: 1
Сообщений: 3
ЧИСЛО 123 454 321 ДЕЛИТСЯ 11 111. НАЙДИТЕ НОК ЭТИХ ЧИСЕЛ НЕ ВЫПОЛНЯЯ РАЗЛОЖЕНИЯ ЧИСЕЛ НА ПРОСТЫЕ МНОЖИТЕЛИ
0
Спасибо
Ответить
19 сентября 2016 в 12:56
Ответ для Кирилл Журавлёв
Евгений Колосов
Профиль
Благодарили: 12
Сообщений: 197
Евгений Колосов
Профиль
Благодарили: 12
Сообщений: 197
0
Спасибо
Ответить
27 января 2016 в 18:15
Lera Kuchinskaya
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
Lera Kuchinskaya
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
НОК 100 150 250
0
Спасибо
Ответить
27 января 2016 в 22:36
Ответ для Lera Kuchinskaya
Виктория Казимирова
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
Виктория Казимирова
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
А что за цифры!!!?
0
Спасибо
Ответить
28 января 2016 в 16:00
Ответ для Lera Kuchinskaya
Anton Wuckert
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
Anton Wuckert
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
НОК = 1500
0
Спасибо
Ответить
19 сентября 2016 в 11:42
Ответ для Lera Kuchinskaya
Евгений Колосов
Профиль
Благодарили: 12
Сообщений: 197
Евгений Колосов
Профиль
Благодарили: 12
Сообщений: 197
Для решения можно воспользоваться решателем на сайте.
0
Спасибо
Ответить
22 января 2016 в 13:46
Андрей Алексеев
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
Андрей Алексеев
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
числа 4,5,6,7,10,12,15,16,20,50, которые являются делителями 24 и кратными 2
0
Спасибо
Ответить
23 января 2016 в 13:33
Ответ для Андрей Алексеев
Александра Сирота
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 2
Александра Сирота
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 2
ОТВЕТ: 4 и 12
0
Спасибо
Ответить
24 января 2016 в 13:41
Ответ для Андрей Алексеев
Инна Шабрашина
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 5
Инна Шабрашина
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 5
6 ,2, 12
0
Спасибо
Ответить
25 января 2016 в 19:52
Ответ для Андрей Алексеев
Нелия Ахмедова
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
Нелия Ахмедова
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
6,12.
0
Спасибо
Ответить
19 сентября 2016 в 10:59
Ответ для Андрей Алексеев
Евгений Колосов
Профиль
Благодарили: 12
Сообщений: 197
Евгений Колосов
Профиль
Благодарили: 12
Сообщений: 197
Чтобы не запутаться, необходимо каждое из чисел проверить на оба условия:
1) 4 — 24/4=6 — делитель 24. 4/2=2 — кратно 2.
2) 5 — 24/5=не делится без остатка — не делитель. 5/2 — не делится без остатка — не кратно 2.
И так далее.
Ответ: 4,6,12.
0
Спасибо
Ответить
23 декабря 2015 в 17:00
Евгений Мухамедшин
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
Евгений Мухамедшин
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
1) (4/15+5/8)-3/5
2) (1/5+13/16)-9/20
0
Спасибо
Ответить
19 сентября 2016 в 10:01
Ответ для Евгений Мухамедшин
Евгений Колосов
Профиль
Благодарили: 12
Сообщений: 197
Евгений Колосов
Профиль
Благодарили: 12
Сообщений: 197
Для нахождения НОК можно воспользоваться супер-решателем. Раскрываем скобки и приводим к общему знаменателю.
1) ===0
2) ===
0
Спасибо
Ответить
17 ноября 2015 в 6:29
Светлана Каблучко
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
Светлана Каблучко
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
запишите числа удовлетворяющие двойное неравенство 354<х<361 если известно что они кратны 2,5,10
0
Спасибо
Ответить
24 ноября 2015 в 17:56
Ответ для Светлана Каблучко
Тима Клюев
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 8
Тима Клюев
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 8
360
0
Спасибо
Ответить
Download Article
Download Article
A multiple is the result of multiplying a number by an integer. The least common multiple (LCM) of a group of numbers is the smallest number that is a multiple of all the numbers. To find the least common multiple you need to be able to identify the factors of the numbers you are working with. You can use a few different methods to find the least common multiple. These methods also work when finding the LCM of more than two numbers.
-
1
Assess your numbers. This method works best when you are working with two numbers that are less than 10. If you are working with larger numbers, it’s best to use a different method.
- For example, you might need to find the least common multiple of 5 and 8. Since these are small numbers, it is appropriate to use this method.
-
2
Write out the first several multiples of the first number. A multiple is a product of any number and an integer.[1]
In other words, they are the numbers you would see in a multiplication table.- For example, the first several multiples of 5 are 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, and 40.
Advertisement
-
3
Write out the first several multiples of the second number. Do this near the first set of multiples, so that they are easy to compare.
- For example, the first several multiples of 8 are 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, and 64.
-
4
Find the smallest multiple the numbers have in common. You might need to extend your list of multiples until you find one both numbers share. This number will be your least common multiple.[2]
- For example, the lowest multiple 5 and 8 share is 40, so the least common multiple of 5 and 8 is 40.
Advertisement
-
1
Assess your numbers. This method works best when both of the numbers you are working with are greater than 10. If you have smaller numbers, you can use a different method to find the least common multiple more quickly.
- For example, if you need to find the least common multiple of 20 and 84, you should use this method.
-
2
Factor the first number. You want to factor the number into its prime factors; that is, find the prime factors you can multiply together to get this number. One way to do this is by creating a factor tree. Once you are done factoring, rewrite the prime factors as an equation.[3]
-
3
Factor the second number. Do this in the same way you factored the first number, finding the prime factors you can multiply together to get the number.
-
4
Write down the factors each number shares. Write the factors as a multiplication sentence. As you write each factor, cross it off in each numbers factorization equation.[4]
- For example, both numbers share a factor of 2, so write and cross out a 2 in each number’s factorization equation.
- Each number also shares a second 2, so change the multiplication sentence to and cross out a second 2 in each factorization equation.
- For example, both numbers share a factor of 2, so write
-
5
Add any leftover factors to the multiplication sentence. These are the factors you did not cross out when comparing the two groups of factors. Thus, these are factors that the two numbers do not share.[5]
-
6
Calculate the least common multiple. To do this, multiply together all of the factors in your multiplication sentence.[6]
- For example, . So, the least common multiple of 20 and 84 is 420.
- For example,
Advertisement
-
1
Draw a tic-tac-toe grid. A tic-tac-toe grid is two sets of parallel lines that intersect each other perpendicularly. The lines form three rows and three columns and looks like the pound key (#) on a phone or keyboard. Write your first number in the top-center square of the grid. Write your second number in the top-right square of the grid.[7]
- For example, if you are trying to find the least common multiple of 18 and 30, write 18 in the top center of your grid, and 30 in the top right of your grid.
-
2
Look for a factor that is common to both numbers. Write this number in the top-left square of your grid. It is helpful to use prime factors, but you don’t necessarily have to.
- For example, since 18 and 30 are both even numbers, you know that that they both have a factor of 2. So write 2 in the top-left of the grid.
-
3
Divide the factor into each number. Write the quotient in the square below either number. A quotient is the answer to a division problem.[8]
- For example, , so write 9 under 18 in the grid.
-
, so write 15 under 30 in the grid.
- For example,
-
4
Find a factor that is common to the two quotients. If there is no factor common to both quotients, you can skip this and the next step. If there is a common factor, write it in the middle-left square of the grid.[9]
- For example, 9 and 15 both have a factor of 3, so you would write 3 in the middle-left of the grid.
-
5
Divide this new factor into each quotient. Write this new quotient below the first ones.
- For example, , so write 3 under 9 in the grid.
-
, so write 5 under 15 in the grid.
- For example,
-
6
Extend your grid if necessary. Follow this same process until you reach a point where the last set of quotients have no common factor.
-
7
Draw a circle around the numbers in the first column and last row of your grid. You can think of it as drawing an “L” for “least common multiple.” Write a multiplication sentence using all of these factors.[10]
- For example, since 2 and 3 are in the first column of the grid, and 3 and 5 are in the last row of the grid, you would write the sentence .
- For example, since 2 and 3 are in the first column of the grid, and 3 and 5 are in the last row of the grid, you would write the sentence
-
8
Complete the multiplication. When you multiply all of these factors together, the result is the least common multiple of your two original numbers.[11]
- For example, . So, the least common multiple of 18 and 30 is 90.
- For example,
Advertisement
-
1
Understand the vocabulary of division. The dividend is the number being divided. The divisor is the number the dividend is being divided by. The quotient is the answer to the division problem. The remainder is the amount left over after a number is divided by another.[12]
- For example, in the equation :
15 is the dividend
6 is the divisor
2 is the quotient
3 is the remainder.
- For example, in the equation
-
2
Set up the formula for the quotient-remainder form. The formula is
.[13]
You will use this form to set up Euclid’s algorithm to find the greatest common divisor of two numbers.- For example, .
- The greatest common divisor is the largest divisor, or factor, that two numbers share.[14]
- In this method, you first find the greatest common divisor, and then use it to find the least common multiple.
- For example,
-
3
Use the larger of the two numbers as the dividend. Use the smaller of the two numbers as the divisor. Set up an equation in quotient-remainder form for these two numbers.
- For example, if you are trying to find the least common multiple of 210 and 45, you would calculate .
- For example, if you are trying to find the least common multiple of 210 and 45, you would calculate
-
4
Use the original divisor as the new dividend. Use the remainder as the new divisor. Set up an equation in quotient-remainder form for these two numbers.
- For example, .
- For example,
-
5
Repeat this process until you have a remainder of 0. For each new equation, use the previous equation’s divisor as the new dividend, and the previous remainder as the new divisor.[15]
- For example, . Since the remainder is 0, you do not need to divide any further.
- For example,
-
6
Look at the last divisor you used. This is the greatest common divisor for the two numbers.[16]
- For example, since the last equation was , the last divisor was 15, and so 15 is the greatest common divisor of 210 and 45.
- For example, since the last equation was
-
7
Multiply the two numbers. Divide the product by the greatest common divisor. This will give you the least common multiple of the two numbers.[17]
Advertisement
Add New Question
-
Question
What’s the formula of the least common multiple?
This answer was written by one of our trained team of researchers who validated it for accuracy and comprehensiveness.
wikiHow Staff Editor
Staff Answer
The formula is lcm(a, b) = a × b / gcd(a, b), where a and b are the numbers for which you want to find the LCM, and GCD is the greatest common divisor.
-
Question
Is there a least common multiple calculator?
This answer was written by one of our trained team of researchers who validated it for accuracy and comprehensiveness.
wikiHow Staff Editor
Staff Answer
Yes, there are multiple LCM calculators online. Try websites like CalculatorSoup.com or Calculator.net to find calculators for finding the LCM and doing a variety of other common calculations.
-
Question
What’s the fastest way to find the least common multiple of two numbers?
This answer was written by one of our trained team of researchers who validated it for accuracy and comprehensiveness.
wikiHow Staff Editor
Staff Answer
One quick and easy way to do it is to start by finding the greatest common factor (GCF) of the 2 numbers. Divide the GCF into either one of the 2 numbers, then multiply the result by the other number. This will give you the LCM.
See more answers
Ask a Question
200 characters left
Include your email address to get a message when this question is answered.
Submit
Advertisement
-
If you need to find the LCM of more than two numbers, the above methods can be tweaked. For instance, to find the LCM of 16, 20, and 32, you could start by finding the LCM of 16 and 20 (which is 80), and then find the LCM of 80 and 32, which turns out to be 160.
-
The LCM has many uses. The most common is that, whenever you add or subtract fractions, they must have the same denominator; if they do not, you need to convert each fraction to some equivalent fraction so they will share the same denominator. The best way to do that is to find the lowest common denominator (LCD) — which is just the LCM of the denominators.
Thanks for submitting a tip for review!
Advertisement
References
About This Article
Article SummaryX
To find the least common multiples of two numbers, start by writing out the first several multiples for each number. For example, the first several multiples of 5 would be 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, and 40. Once you’ve written out the first several multiples for both numbers, find the smallest multiple that they have in common, which is the least common multiple. If they don’t have a common multiple, keep listing the multiples for each number until you find one. If you want to know how to use prime factorization or an algorithm to find the least common multiple, keep reading the article!
Did this summary help you?
Thanks to all authors for creating a page that has been read 1,234,836 times.
Did this article help you?
Наименьшее о́бщее кратное (HOK) двух целых чисел — это наименьшее натуральное число, которое делится на оба без остатка, то есть кратно им обоим. К примеру, для чисел 6 и 4, наименьшим общим кратным будет 12.
Как найти НОК?
Способов найти НОК несколько. Мы рассмотрим один из часто используемых в математике — это нахождение НОК при помощи разложения чисел на простые множители. В общем случае алгоритм будет выглядеть следующим образом:
- разложить оба числа на простые множители;
- выбрать одну группу множителей;
- добавить к ним множители из второй группы, которые отсутствуют в выбранной;
- найти их произведение.
Примеры нахождения наименьшего общего кратного
Рассмотрим приведенный алгоритм на конкретных примерах:
Пример 1: найти НОК 4 и 6
1. Раскладываем 6 и 4 на простые множители:
2. Возьмем первую группу множителей: 2 · 3.
3. Смотрим вторую группу (2 · 2) и видим, что из двух двоек, одна присутствует в первом разложении. Таким образом, берем только одну двойку. Добавляем к первому разложению и получаем: 2 · 3 · 2
4. Вычисляем произведение: 2 · 3 · 2 = 12.
Ответ: НОК (6; 4) = 12
Пример 2: найти НОК 32 и 20
1. Раскладываем 32 и 20 на простые множители:
2. Возьмем первую группу множителей: 2 · 2 · 2 · 2 · 2.
3. Смотрим вторую группу (2 · 2 · 5) и видим, что из двух двоек и пятерки, обе двойки присутствуют в первом разложении. Таким образом, берем только пятерку. Добавляем к первому разложению и получаем: 2 · 3 · 2
4. Вычисляем произведение: 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 5 = 160.
Ответ: НОК (32; 20) = 160
Наименьшее общее кратное
- Общее кратное
- Наименьшее общее кратное
- Как найти НОК
- С помощью разложения на простые множители
- Нахождение НОК через НОД
- Калькулятор НОК
Общее кратное
Число может быть кратно не одному, а сразу нескольким числам, такое число называется общим кратным данных чисел.
Пример.
Числу 3 кратны числа: 6, 9, 12, 15 и т. д.
Числу 4 кратны числа: 8, 12, 16, 20 и т. д.
Можно заметить, что одно и тоже число (12) делится нацело сразу на оба числа 3 и 4. Следовательно, число 12 есть общее кратное чисел 3 и 4.
Общее кратное чисел — это любое число, которое делится без остатка на каждое из данных чисел.
Найти общее кратное нескольких натуральных чисел достаточно легко, можно просто перемножить данные числа, полученное произведение и будет их общим кратным.
Пример. Найти общее кратное для чисел 2, 3, 4, 6.
Решение:
2 · 3 · 4 · 6 = 144.
Число 144 — общее кратное чисел 2, 3, 4 и 6.
Для любого количества натуральных чисел существует бесконечно много кратных.
Пример. Для чисел 12 и 20 кратными будут числа: 60, 120, 180, 240 и т. д. Все они являются общими кратными для чисел 12 и 20.
Наименьшее общее кратное
Наименьшее общее кратное (НОК) нескольких чисел — это самое маленькое натуральное число, которое делится без остатка на каждое из этих чисел.
Пример. Наименьшим общим кратным чисел 3, 4 и 9 является число 36, никакое другое число меньше 36 не делится одновременно на 3, 4 и 9 без остатка.
Наименьшее общее кратное записывается так:
НОК (a, b, …) = x.
Числа в круглых скобках могут быть указаны в любом порядке.
Пример. Запишем наименьшее общее кратное чисел 3, 4 и 9:
НОК (3, 4, 9) = 36.
Как найти НОК
Рассмотрим два способа нахождения наименьшего общего кратного: с помощью разложения чисел на простые множители и нахождение НОК через НОД.
С помощью разложения на простые множители
Чтобы найти НОК нескольких натуральных чисел, надо разложить эти числа на простые множители, затем взять из этих разложений каждый простой множитель с наибольшим показателем степени и перемножить эти множители между собой.
Пример. Найдите наименьшее общее кратное двух чисел 99 и 54.
Решение: разложим каждое из этих чисел на простые множители:
99 = 3 · 3 · 11 = 32 · 11,
54 = 2 · 3 · 3 · 3 = 2 · 33.
Наименьшее общее кратное должно делиться на 99, значит, в его состав должны входить все множители числа 99. Далее НОК должно делиться и на 54, т. е. в его состав должны входить множители и этого числа.
Выпишем из этих разложений каждый простой множитель с наибольшим показателем степени и перемножим эти множители между собой. Получим следующее произведение:
2 · 33 · 11 = 594.
Это и есть наименьшее общее кратное данных чисел. Никакое другое число меньше 594 не делится нацело на 99 и 54.
Ответ: НОК (99, 54) = 594.
Так как взаимно простые числа не имеют одинаковых простых множителей, то их наименьшее общее кратное равно произведению этих чисел.
Пример. Найдите наименьшее общее кратное двух чисел 12 и 49.
Решение: разложим каждое из этих чисел на простые множители:
12 = 2 · 2 · 3 = 22 · 3,
49 = 7 · 7 = 72.
Применяя к этому случаю правило, мы придём к заключению, что взаимно простые числа надо просто перемножить:
22 · 3 · 72 = 12 · 49 = 588.
Ответ: НОК (12, 49) = 588.
Таким же образом надо поступать, когда нужно найти наименьшее общее кратное простых чисел.
Пример. Найдите наименьшее общее кратное чисел 5, 7 и 13.
Решение: так как данные числа являются простыми, то просто перемножим их:
5 · 7 · 13 = 45.
Ответ: НОК (5, 7, 13) = 455.
Если большее из данных чисел делится на все остальные числа, то это число и будет наименьшим общим кратным данных чисел.
Пример. Найдите наименьшее общее кратное чисел 24, 12 и 4.
Решение: разложим каждое из этих чисел на простые множители:
24 = 2 · 2 · 2 · 3 = 23 · 3,
12 = 2 · 2 · 3 = 22 · 3,
4 = 2 · 2 = 22.
Можно заметить, что разложение большего числа содержит все множители остальных чисел, значит большее из этих чисел делится на все остальные числа (в том числе и само на себя) и является наименьшим общим кратным:
23 · 3 = 24.
Ответ: НОК (24, 12, 4) = 24.
Нахождение НОК через НОД
НОК двух натуральных чисел равно произведению этих чисел, поделённого на их НОД.
Правило в общем виде:
НОК (m, n) = m · n : НОД (m, n)
Пример. Найдите наименьшее общее кратное двух чисел 99 и 54.
Решение: сначала находим наибольший общий делитель:
НОД (99, 54) = 9.
Теперь мы можем вычислить НОК этих чисел по формуле:
НОК (99, 54) = 99 · 54 : НОД (99, 54) = 5346 : 9 = 594.
Ответ: НОК (99, 54) = 594.
Чтобы найти НОК трёх или более чисел используется следующий порядок действий:
- Находят НОК любых двух из данных чисел.
- Затем находят наименьшее общее кратное найденного НОК и третьего числа и т. д.
- Таким образом поиск НОК продолжается до тех пор, пока есть числа.
Пример. Найдите наименьшее общее кратное чисел 8, 12 и 9.
Решение: сначала находим наибольший общий делитель любых двух из этих чисел, например, 12 и 8:
НОД (12, 8) = 4.
Вычисляем их НОК по формуле:
НОК (12, 8) = 12 · 8 : НОД (12, 8) = 96 : 4 = 24.
Теперь найдём НОК числа 24 и оставшегося числа 9. Их НОД:
НОД (24, 9) = 3.
Вычисляем НОК по формуле:
НОК (24, 9) = 24 · 9 : НОД (24, 9) = 216 : 3 = 72.
Ответ: НОК (8, 12, 9) = 72.
Калькулятор НОК
Данный калькулятор поможет вам найти наименьшее общее кратное чисел. Просто введите числа через пробел или запятую и нажмите кнопку Вычислить НОК
.
