Как быстро найти обратную матрицу

Матрица BB является обратной матрицей к квадратной матрице AA, если AB=BA=EAB = BA = E.
Из определения можно понять, что обратная матрица BB будет квадратной матрицей аналогичного порядка, какой имеет матрица AA (иначе какое-либо из произведений ABAB или BABA будет не определено).
Обратная матрица для исходной матрицы AA определяется так: A−1A^{-1}. Можно утверждать, что если A−1A^{-1} существует, то AA−1=A−1A=EAA^{-1} = A^{-1} A= E.
Также легко видеть, что (A−1)−1=A(A^{-1})^{-1} = A.

Если детерминант матрицы является нулем, то обратную к ней матрицу нельзя получить.

Онлайн-калькулятор

Квадратную матрицу AA можно назвать вырожденной матрицей тогда, когда определитель матрицы AA равен нулю, и невырожденной, если определитель не равен нулю.

Важно

В том случае, если обратная матрица может существовать, то она будет единственной.

Формула для вычисления обратной матрицы

Обратную матрицу A−1A^{-1} к матрице AA можно найти по формуле:

A−1=1det⁡A⋅A∗A^{-1}=frac{1}{det A}cdot A^*

det⁡Adet A — определитель матрицы A,A,

A∗A^* — транспонированая матрица алгебраических дополнений к матрице A.A.

Задача 1

Нужно найти обратную матрицу для следующей матрицы:

A=(1−20 342 −131)A = begin{pmatrix}
1& -2 & 0\
3 & 4 & 2\
-1& 3& 1 \
end{pmatrix}

Решение

Вычислим детерминант:

det⁡A=∣1−20342−131∣=1∣4231∣−(−2)∣32−11∣+0∣34−13∣=8det A = begin{vmatrix}
1 & -2 & 0 \
3 & 4 & 2 \
-1 & 3 & 1 \
end{vmatrix} = 1 begin{vmatrix}
4 & 2 \
3 & 1 \
end{vmatrix} – (-2) begin{vmatrix}
3 & 2 \
-1 & 1 \
end{vmatrix} +0 begin{vmatrix}
3 & 4 \
-1 & 3 \
end{vmatrix} = 8

Так как det⁡A≠0det A neq 0, то матрица – невырожденная, и обратная для нее существует.

Посчитаем алгебраические дополнение:

A11=(−1)1+1∣4231∣=−2,A_{11} = (-1)^{1+1} begin{vmatrix}
4 & 2 \
3 & 1 \
end{vmatrix} = -2,

A12=(−1)1+2∣32−11∣=−5,A_{12} = (-1)^{1+2} begin{vmatrix}
3 & 2 \
-1 & 1 \
end{vmatrix} = -5,

A13=(−1)1+3∣34−13∣=13A_{13} = (-1)^{1+3} begin{vmatrix}
3 & 4 \
-1 & 3 \
end{vmatrix} = 13,

A21=(−1)2+1∣−2031∣=2A_{21} = (-1)^{2+1} begin{vmatrix}
-2 & 0 \
3 & 1 \
end{vmatrix} = 2,

A22=(−1)2+2∣10−11∣=1A_{22} = (-1)^{2+2} begin{vmatrix}
1 & 0 \
-1 & 1 \
end{vmatrix} = 1,

A23=(−1)2+3∣1−2−13∣=−1A_{23} = (-1)^{2+3} begin{vmatrix}
1 & -2 \
-1 & 3 \
end{vmatrix} = -1,

A31=(−1)3+1∣−2042∣=−4A_{31} = (-1)^{3+1} begin{vmatrix}
-2 & 0 \
4 & 2 \
end{vmatrix} = -4,

A32=(−1)3+2∣1032∣=−2A_{32} = (-1)^{3+2} begin{vmatrix}
1 & 0 \
3 & 2 \
end{vmatrix} = -2,

A33=(−1)3+3∣1−234∣=10.A_{33} = (-1)^{3+3} begin{vmatrix}
1 & -2 \
3 & 4 \
end{vmatrix} = 10.

Обратная матрица:

A−1=18(−22−4−51−213−110)A^{-1} = frac{1}{8} begin{pmatrix}
-2 & 2 & -4 \
-5 & 1 & -2 \
13 & -1 & 10 \
end{pmatrix}

Важно

Чтобы избежать ошибок, необходимо сделать проверку: для этого нужно посчитать произведение первоначальной матрицы на конечную. Если в результате получится единичная матрица, то вы нашли обратную матрицу безошибочно.

Задача 2

Найдите обратную матрицу для матрицы:

A=(13−25)A = begin{pmatrix}
1 & 3\
-2 & 5 \
end{pmatrix}

Решение

det⁡A=11≠0→A−1det A= 11 neq 0 rightarrow A^{-1} – существует.

A11=(−1)1+1⋅5=5A_{11} = (-1)^ {1+1} cdot 5 = 5,

A12=(−1)1+2⋅(−2)=2A_{12} = (-1)^ {1+2} cdot (-2) = 2,

A21=(−1)2+1⋅3=−3A_{21} = (-1)^ {2+1} cdot 3 = -3,

A22=(−1)2+2⋅1=1.A_{22} = (-1)^ {2+2} cdot 1 = 1.

Ответ:

A−1=111(5−321)A^{-1} = frac{1}{11} begin{pmatrix}
5 & -3 \
2 & 1 \
end{pmatrix}

Нами был рассмотрен способ нахождения матрицы с помощью алгебраических дополнений. Существует еще один способ, который называется методом элементарных преобразований.

Метод элементарных преобразований

Метод основан на элементарных преобразованиях матриц, под которыми будем понимать такие преобразования, в результате которых сохраняется эквивалентность матриц:

1. перестановка местами любых двух рядов (строк или столбцов) матрицы;
2. умножение любого ряда матрицы (строки или столбца) на некоторое число, отличное от нуля;
3. прибавление к любому ряду (строке или столбцу) матрицы другого ряда (строки или столбца), умноженного на некоторое число, отличное от нуля.

Рассмотрим алгоритм нахождения обратной матрицы данным методом.

Алгоритм нахождения обратной матрицы методом элементарных преобразований

1. Из исходной матрицы AA и единичной матрицы EE того же порядка составить расширенную матрицу, т.е. матрицу вида (A∣E)begin{pmatrix}A|Eend{pmatrix}.
2. С помощью элементарных преобразований над строками расширенной матрицы получить единичную матрицу слева от черты: (E∣A−1)begin{pmatrix}E|A^{-1}end{pmatrix}.
3. Выписать обратную матрицу, которая находится справа от черты.

Задача 1

Найти матрицу K−1K^{-1}, если K=(1301)K=begin{pmatrix}1&3\0&1end{pmatrix}.

Из матрицы KK второго порядка и единичной матрицы второго порядка составим расширенную матрицу:

(1301∣1001)begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&3\0&1end{matrix}right|begin{matrix}1&0\0&1end{matrix}end{pmatrix}.

Произведем элементарные преобразования расширенной матрицы.

Прибавим к строке №1 строку №3, умноженную на -3:

(1301∣1001)∼(1001∣1−301)begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&3\0&1end{matrix}right|begin{matrix}1&0\0&1end{matrix}end{pmatrix}sim begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&0\0&1end{matrix}right|begin{matrix}1&-3\0&1end{matrix}end{pmatrix}.

Слева получили единичную матрицу.

Выпишем обратную матрицу:

K−1=(1−301)K^{-1}=begin{pmatrix}1&-3\0&1end{pmatrix}.

Сделаем проверку, чтобы убедиться в том, что найденная матрица действительно является обратной.

K⋅K−1=(1301)⋅(1−301)=(1⋅1+3⋅01⋅(−3)+3⋅10⋅1+1⋅00⋅(−3)+1⋅1)=(1001)Kcdot K^{-1}=begin{pmatrix}1&3\0&1end{pmatrix}cdotbegin{pmatrix}1&-3\0&1end{pmatrix}=begin{pmatrix}1cdot1+3cdot0&1cdot(-3)+3cdot1\0cdot1+1cdot0&0cdot(-3)+1cdot1end{pmatrix}=begin{pmatrix}1&0\0&1end{pmatrix}.

Значит, обратная матрица найдена правильно.

Задача 2

Найти матрицу F−1F^{-1}, если F=(110010033)F=begin{pmatrix}1&1&0\0&1&0\0&3&3end{pmatrix}.

Из матрицы FF третьего порядка и единичной матрицы третьего порядка составим расширенную матрицу:

(110010033∣100010001)begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&1&0\0&1&0\0&3&3end{matrix}right|begin{matrix}1&0&0\0&1&0\0&0&1end{matrix}end{pmatrix}.

Произведем элементарные преобразования расширенной матрицы.

Прибавим к строке №1 строку №2, умноженную на -1:

(110010033∣100010001)∼(100010033∣1−10010001)begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&1&0\0&1&0\0&3&3end{matrix}right|begin{matrix}1&0&0\0&1&0\0&0&1end{matrix}end{pmatrix}sim begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&0&0\0&1&0\0&3&3end{matrix}right|begin{matrix}1&-1&0\0&1&0\0&0&1end{matrix}end{pmatrix}.

Прибавим к строке №3 строку №2, умноженную на -3:

(100010033∣1−10010001)∼(100010003∣1−100100−31)begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&0&0\0&1&0\0&3&3end{matrix}right|begin{matrix}1&-1&0\0&1&0\0&0&1end{matrix}end{pmatrix}sim begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&0&0\0&1&0\0&0&3end{matrix}right|begin{matrix}1&-1&0\0&1&0\0&-3&1end{matrix}end{pmatrix}.

Умножим строку №3 на 13frac{1}{3}:

(100010003∣1−100100−31)∼(100010001∣1−100100−113)begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&0&0\0&1&0\0&0&3end{matrix}right|begin{matrix}1&-1&0\0&1&0\0&-3&1end{matrix}end{pmatrix}sim begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&0&0\0&1&0\0&0&1end{matrix}right|begin{matrix}1&-1&0\0&1&0\0&-1&frac{1}{3}end{matrix}end{pmatrix}.

Слева получили единичную матрицу.

Выпишем обратную матрицу:

F−1=(1−100100−113)F^{-1}=begin{pmatrix}1&-1&0\0&1&0\0&-1&frac{1}{3}end{pmatrix}.

Сделаем проверку, чтобы убедиться в том, что найденная матрица действительно является обратной.

F⋅F−1=(110010033)⋅(1−100100−113)=(100010001)Fcdot F^{-1}=begin{pmatrix}1&1&0\0&1&0\0&3&3end{pmatrix}cdotbegin{pmatrix}1&-1&0\0&1&0\0&-1&frac{1}{3}end{pmatrix}=begin{pmatrix}1&0&0\0&1&0\0&0&1end{pmatrix}.

Значит, обратная матрица найдена правильно.

Выполнение контрольных работ на заказ недорого от профильных авторов на бирже Студворк!

Как найти обратную матрицу

1. Быстрый способ для матриц $2 times 2$
   1. Пример 1
   2. Пример 2
2. Нахождение с помощью метода Гаусса
   1. Пример 3
   2. Пример 4
3. Метод союзной матрицы(алгебраические дополнения)
   1. Пример 5

Обратная матрица обозначается $ A^{-1} $ и существует только для матриц, у которых определитель не равен нулю $ det A neq 0 $.

Быстрый способ для матриц $2 times 2$

Пусть задана матрица $A = begin{pmatrix} a&b\c&d end{pmatrix}$. Для быстрого способа нахождения обратной матрицы необходимо поменять местами элементы стоящие на главной диагонали, а для оставшихся элементов поменять знак на противоположный. Затем каждый элемент разделить матрицы разделить на определитель исходной матрицы. Математическая формула выглядит следующим образом $$A^{-1} = frac{1}{det A} begin{pmatrix} d&-b \ -c&a end{pmatrix} = frac{1}{ad-bc} begin{pmatrix} d&-b \ -c&a end{pmatrix}.$$ 

Нахождение с помощью метода Гаусса

На практике чаще всего метод Гаусса используется как способ нахождения обратной матрицы. Суть метода в том, что к основной матрице добавляется дополнительная единичная матрица с такой же размерностью.

$$ Bigg (begin{matrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\a_{21}&a_{22}&a_{23}\a_{31}&a_{32}&a_{33} end{matrix} Bigg | begin{matrix} 1&0&0\0&1&0\0&0&1 end{matrix} Bigg ) $$

Далее нужно путем простейших элементарных преобразований привести левую матрицу к единичной, а одновременно с ней справа получится обратная матрица:

$$ Bigg (begin{matrix} 1&0&0\0&1&0\0&0&1 end{matrix} Bigg | begin{matrix} b_{11}&b_{12}&b_{13}\b_{21}&b_{22}&b_{23}\b_{31}&b_{32}&b_{33} end{matrix} Bigg ) $$

$$A^{-1} = begin{pmatrix} b_{11}&b_{12}&b_{13}\b_{21}&b_{22}&b_{23}\b_{31}&b_{32}&b_{33} end{pmatrix}$$

Метод союзной матрицы(алгебраические дополнения)

Формула нахождения обратной матрицы через алгебраические дополнения выглядит следующим образом

$$A^{-1} = frac{1}{|A|} (A^*)^T. $$

Матрица $A^*$ называется союзной (присоединенной) матрицей и представляет собой набор алгебраических дополнений матрицы $ A $:

$$ A^* = begin{pmatrix} A_{11}&A_{12}&A_{13}\A_{21}&A_{22}&A_{23}\A_{31}&A_{22}&A_{33} end{pmatrix}, text{ где } A_{ij}=(-1)^{i+j} M_{ij} $$

$M_{ij} $ называется минором матрицы, который получается путем вычеркивания $ i $-ой строки и $ j $-того столбца из матрицы.

Пример 5

Найти обратную матрицу методом алгебраических дополнений $$ A = begin{pmatrix} 3&1&2\-1&3&-2\0&-1&4 end{pmatrix} $$

Решение

Итак, пользуемся формулой $ A^{-1} = frac{1}{|A|} (A^*)^T $ Первым делом вычисляем определитель матрицы $ A $, так как необходимым условием существование обратной матрицы является неравенство его к нулю: $$ |A| = begin{vmatrix} 3&1&2\-1&3&-2\0&-1&4 end{vmatrix} = 36 + 0 + 2 – 0 – 6 + 4 = 36 neq 0 $$ Находим алгебраические дополнения матрицы $ A $. Для этого удаляем все элементы стоящие в i-ой строке и в j-ом столбце. Оставшиеся элементы матрицы переписываем в определитель и проводим его вычисление. Вычеркиваем первую строку и первый столбец: $$ A_{11} = (-1)^{1+1} cdot begin{vmatrix} 3&-2\-1&4 end{vmatrix} = 12 – 2 = 10 $$ Убираем первую строку и второй столбец: $$ A_{12} = (-1)^{1+2} cdot begin{vmatrix} -1&-2\0&4 end{vmatrix} = -(-4 – 0) = 4 $$ Оставшиеся алгебраические дополнения находим по аналогии с предыдущими двумя. $$ A_{13} = (-1)^{1+3} cdot begin{vmatrix} -1&3\0&-1 end{vmatrix} = 1 – 0 = 1 $$ $$ A_{21} = (-1)^{2+1} cdot begin{vmatrix} 1&2\-1&4 end{vmatrix} = -(4 + 2) = -6 $$ $$ A_{22} = (-1)^{2+2} cdot begin{vmatrix} 3&2\0&4 end{vmatrix} = 12 – 0 = 12 $$ $$ A_{23} = (-1)^{2+3} cdot begin{vmatrix} 3&1\0&-1 end{vmatrix} = -(-3 – 0) = 3 $$ $$ A_{31} = (-1)^{3+1} cdot begin{vmatrix} 1&2\3&-2 end{vmatrix} = -2 – 6 = -8 $$ $$ A_{32} = (-1)^{3+2} cdot begin{vmatrix} 3&2\-1&-2 end{vmatrix} = -(-6 + 2) = 4 $$ $$ A_{33} = (-1)^{3+3} cdot begin{vmatrix} 3&1\-1&3 end{vmatrix} = 9+1 = 10 $$ Составляем союзную (присоединенную) матрицу $ A^* $ из алгебраических дополнений: $$ A^* = begin{pmatrix} 10&4&1\-6&12&3\-8&4&10 end{pmatrix}. $$ Транспонируем её и обозначаем $ (A^*)^T $: $$ (A^*)^T = begin{pmatrix} 10&-6&-8\4&12&4\1&3&10 end{pmatrix} $$ В итоге находим обратную матрицу $ A^{-1} $: $$ A^{-1} = frac{1}{36} begin{pmatrix} 10&-6&-8\4&12&4\1&3&10 end{pmatrix} $$ Делим каждый элемент матрицы на 36 и получаем следующее: $$begin{pmatrix} frac{5}{18}&-frac{1}{6}&-frac{2}{9}\ frac{1}{9}&frac{1}{3}&frac{1}{9}\frac{1}{36}&frac{1}{12}&frac{5}{18} end{pmatrix}.$$

Ответ

$$A^{-1} =begin{pmatrix} frac{5}{18}&-frac{1}{6}&-frac{2}{9}\ frac{1}{9}&frac{1}{3}&frac{1}{9}\frac{1}{36}&frac{1}{12}&frac{5}{18} end{pmatrix}$$

Обратная матрица и её свойства

15 февраля 2018

• Домашняя работа
• Ответы

Эта тема является одной из самых ненавистных среди студентов. Хуже, наверное, только определители.

Фишка в том, что само понятие обратного элемента (и я сейчас не только о матрицах) отсылает нас к операции умножения. Даже в школьной программе умножение считается сложной операцией, а уж умножение матриц — вообще отдельная тема, которой у меня посвящён целый параграф и видеоурок.

Сегодня мы не будем вдаваться в подробности матричных вычислений. Просто вспомним: как обозначаются матрицы, как они умножаются и что из этого следует.

Повторение: умножение матриц

Прежде всего договоримся об обозначениях. Матрицей $A$ размера $left[ mtimes n right]$ называется просто таблица из чисел, в которой ровно $m$ строк и $n$ столбцов:

[A=left[ mtimes n right]=underbrace{left[ begin{matrix} {{a}_{11}} & {{a}_{12}} & … & {{a}_{1n}} \ {{a}_{21}} & {{a}_{22}} & … & {{a}_{2n}} \ … & … & … & … \ {{a}_{m1}} & {{a}_{m2}} & … & {{a}_{mn}} \end{matrix} right]}_{n}]

Чтобы случайно не перепутать строки и столбцы местами (поверьте, на экзамене можно и единицу с двойкой перепутать — что уж говорить про какие-то там строки), просто взгляните на картинку:

Что происходит? Если разместить стандартную систему координат $OXY$ в левом верхнем углу и направить оси так, чтобы они охватывали всю матрицу, то каждой клетке этой матрицы можно однозначно сопоставить координаты $left( x;y right)$ — это и будет номер строки и номер столбца.

Почему система координат размещена именно в левом верхнем углу? Да потому что именно оттуда мы начинаем читать любые тексты. Это очень просто запомнить.

А почему ось $x$ направлена именно вниз, а не вправо? Опять всё просто: возьмите стандартную систему координат (ось $x$ идёт вправо, ось $y$ — вверх) и поверните её так, чтобы она охватывала матрицу. Это поворот на 90 градусов по часовой стрелке — его результат мы и видим на картинке.

В общем, как определять индексы у элементов матрицы, мы разобрались. Теперь давайте разберёмся с умножением.

Определение. Матрицы $A=left[ mtimes n right]$ и $B=left[ ntimes k right]$, когда количество столбцов в первой совпадает с количеством строк во второй, называются согласованными.

Именно в таком порядке. Можно сумничать и сказать, мол, матрицы $A$ и $B$ образуют упорядоченную пару $left( A;B right)$: если они согласованы в таком порядке, то совершенно необязательно, что $B$ и $A$, т.е. пара $left( B;A right)$ — тоже согласована.

Умножать можно только согласованные матрицы.

Определение. Произведение согласованных матриц $A=left[ mtimes n right]$ и $B=left[ ntimes k right]$ — это новая матрица $C=left[ mtimes k right]$, элементы которой ${{c}_{ij}}$ считаются по формуле:

[{{c}_{ij}}=sumlimits_{k=1}^{n}{{{a}_{ik}}}cdot {{b}_{kj}}]

Другими словами: чтобы получить элемент ${{c}_{ij}}$ матрицы $C=Acdot B$, нужно взять $i$-строку первой матрицы, $j$-й столбец второй матрицы, а затем попарно перемножить элементы из этой строки и столбца. Результаты сложить.

Да, вот такое суровое определение. Из него сразу следует несколько фактов:

1. Умножение матриц, вообще говоря, некоммутативно: $Acdot Bne Bcdot A$;
2. Однако умножение ассоциативно: $left( Acdot B right)cdot C=Acdot left( Bcdot C right)$;
3. И даже дистрибутивно: $left( A+B right)cdot C=Acdot C+Bcdot C$;
4. И ещё раз дистрибутивно: $Acdot left( B+C right)=Acdot B+Acdot C$.

Дистрибутивность умножения пришлось отдельно описывать для левого и правого множителя-суммы как раз из-за некоммутативности операции умножения.

Если всё же получается так, что $Acdot B=Bcdot A$, такие матрицы называются перестановочными.

Среди всех матриц, которые там на что-то умножаются, есть особые — те, которые при умножении на любую матрицу $A$ снова дают $A$:

Определение. Матрица $E$ называется единичной, если $Acdot E=A$ или $Ecdot A=A$. В случае с квадратной матрицей $A$ можем записать:

[Acdot E=Ecdot A=A]

Единичная матрица — частый гость при решении матричных уравнений. И вообще частый гость в мире матриц.:)

А ещё из-за этой $E$ кое-кто придумал всю ту дичь, которая будет написана дальше.

Что такое обратная матрица

Поскольку умножение матриц — весьма трудоёмкая операция (приходится перемножать кучу строчек и столбцов), то понятие обратной матрицы тоже оказывается не самым тривиальным. И требующим некоторых пояснений.

Ключевое определение

Что ж, пора познать истину.

Определение. Матрица $B$ называется обратной к матрице $A$, если

[Acdot B=Bcdot A=E]

Обратная матрица обозначается через ${{A}^{-1}}$ (не путать со степенью!), поэтому определение можно переписать так:

[Acdot {{A}^{-1}}={{A}^{-1}}cdot A=E]

Казалось бы, всё предельно просто и ясно. Но при анализе такого определения сразу возникает несколько вопросов:

1. Всегда ли существует обратная матрица? И если не всегда, то как определить: когда она существует, а когда — нет?
2. А кто сказал, что такая матрица ровно одна? Вдруг для некоторой исходной матрицы $A$ найдётся целая толпа обратных?
3. Как выглядят все эти «обратные»? И как, собственно, их считать?

Насчёт алгоритмов вычисления — об этом мы поговорим чуть позже. Но на остальные вопросы ответим прямо сейчас. Оформим их в виде отдельных утверждений-лемм.

Основные свойства

Начнём с того, как в принципе должна выглядеть матрица $A$, чтобы для неё существовала ${{A}^{-1}}$. Сейчас мы убедимся в том, что обе эти матрицы должны быть квадратными, причём одного размера: $left[ ntimes n right]$.

Лемма 1. Дана матрица $A$ и обратная ей ${{A}^{-1}}$. Тогда обе эти матрицы — квадратные, причём одинакового порядка $n$.

Доказательство. Всё просто. Пусть матрица $A=left[ mtimes n right]$, ${{A}^{-1}}=left[ atimes b right]$. Поскольку произведение $Acdot {{A}^{-1}}=E$ по определению существует, матрицы $A$ и ${{A}^{-1}}$ согласованы в указанном порядке:

[begin{align} & left[ mtimes n right]cdot left[ atimes b right]=left[ mtimes b right] \ & n=a end{align}]

Это прямое следствие из алгоритма перемножения матриц: коэффициенты $n$ и $a$ являются «транзитными» и должны быть равны.

Вместе с тем определено и обратное умножение: ${{A}^{-1}}cdot A=E$, поэтому матрицы ${{A}^{-1}}$ и $A$ тоже согласованы в указанном порядке:

[begin{align} & left[ atimes b right]cdot left[ mtimes n right]=left[ atimes n right] \ & b=m end{align}]

Таким образом, без ограничения общности можем считать, что $A=left[ mtimes n right]$, ${{A}^{-1}}=left[ ntimes m right]$. Однако согласно определению $Acdot {{A}^{-1}}={{A}^{-1}}cdot A$, поэтому размеры матриц строго совпадают:

[begin{align} & left[ mtimes n right]=left[ ntimes m right] \ & m=n end{align}]

Вот и получается, что все три матрицы — $A$, ${{A}^{-1}}$ и $E$ — являются квадратными размером $left[ ntimes n right]$. Лемма доказана.

Что ж, уже неплохо. Мы видим, что обратимыми бывают лишь квадратные матрицы. Теперь давайте убедимся, что обратная матрица всегда одна.

Лемма 2. Дана матрица $A$ и обратная ей ${{A}^{-1}}$. Тогда эта обратная матрица — единственная.

Доказательство. Пойдём от противного: пусть у матрицы $A$ есть хотя бы два экземпляра обратных —$B$ и $C$. Тогда, согласно определению, верны следующие равенства:

[begin{align} & Acdot B=Bcdot A=E; \ & Acdot C=Ccdot A=E. \ end{align}]

Из леммы 1 мы заключаем, что все четыре матрицы — $A$, $B$, $C$ и $E$ — являются квадратными одинакового порядка: $left[ ntimes n right]$. Следовательно, определено произведение:

[Bcdot Acdot C]

Поскольку умножение матриц ассоциативно (но не коммутативно!), мы можем записать:

[begin{align} & Bcdot Acdot C=left( Bcdot A right)cdot C=Ecdot C=C; \ & Bcdot Acdot C=Bcdot left( Acdot C right)=Bcdot E=B; \ & Bcdot Acdot C=C=BRightarrow B=C. \ end{align}]

Получили единственно возможный вариант: два экземпляра обратной матрицы равны. Лемма доказана.

Приведённые рассуждения почти дословно повторяют доказательство единственность обратного элемента для всех действительных чисел $bne 0$. Единственное существенное дополнение — учёт размерности матриц.

Впрочем, мы до сих пор ничего не знаем о том, всякая ли квадратная матрица является обратимой. Тут нам на помощь приходит определитель — это ключевая характеристика для всех квадратных матриц.

Лемма 3. Дана матрица $A$. Если обратная к ней матрица ${{A}^{-1}}$ существует, то определитель исходной матрицы отличен от нуля:

[left| A right|ne 0]

Доказательство. Мы уже знаем, что $A$ и ${{A}^{-1}}$ — квадратные матрицы размера $left[ ntimes n right]$. Следовательно, для каждой из них можно вычислить определитель: $left| A right|$ и $left| {{A}^{-1}} right|$. Однако определитель произведения равен произведению определителей:

[left| Acdot B right|=left| A right|cdot left| B right|Rightarrow left| Acdot {{A}^{-1}} right|=left| A right|cdot left| {{A}^{-1}} right|]

Но согласно определению $Acdot {{A}^{-1}}=E$, а определитель $E$ всегда равен 1, поэтому

[begin{align} & Acdot {{A}^{-1}}=E; \ & left| Acdot {{A}^{-1}} right|=left| E right|; \ & left| A right|cdot left| {{A}^{-1}} right|=1. \ end{align}]

Произведение двух чисел равно единице только в том случае, когда каждое из этих чисел отлично от нуля:

[left| A right|ne 0;quad left| {{A}^{-1}} right|ne 0.]

Вот и получается, что $left| A right|ne 0$. Лемма доказана.

На самом деле это требование вполне логично. Сейчас мы разберём алгоритм нахождения обратной матрицы — и станет совершенно ясно, почему при нулевом определителе никакой обратной матрицы в принципе не может существовать.

Но для начала сформулируем «вспомогательное» определение:

Определение. Вырожденная матрица — это квадратная матрица размера $left[ ntimes n right]$, чей определитель равен нулю.

Таким образом, мы можем утверждать, что всякая обратимая матрица является невырожденной.

Как найти обратную матрицу

Сейчас мы рассмотрим универсальный алгоритм нахождения обратных матриц. Вообще, существует два общепринятых алгоритма, и второй мы тоже сегодня рассмотрим.

Тот, который будет рассмотрен сейчас, очень эффективен для матриц размера $left[ 2times 2 right]$ и — частично — размера $left[ 3times 3 right]$. А вот начиная с размера $left[ 4times 4 right]$ его лучше не применять. Почему — сейчас сами всё поймёте.

Алгебраические дополнения

Готовьтесь. Сейчас будет боль. Нет, не переживайте: к вам не идёт красивая медсестра в юбке, чулках с кружевами и не сделает укол в ягодицу. Всё куда прозаичнее: к вам идут алгебраические дополнения и Её Величество «Союзная Матрица».

Начнём с главного. Пусть имеется квадратная матрица размера $A=left[ ntimes n right]$, элементы которой именуются ${{a}_{ij}}$. Тогда для каждого такого элемента можно определить алгебраическое дополнение:

Определение. Алгебраическое дополнение ${{A}_{ij}}$ к элементу ${{a}_{ij}}$, стоящего в $i$-й строке и $j$-м столбце матрицы $A=left[ ntimes n right]$ — это конструкция вида

[{{A}_{ij}}={{left( -1 right)}^{i+j}}cdot M_{ij}^{*}]

Где $M_{ij}^{*}$ — определитель матрицы, полученной из исходной $A$ вычёркиванием той самой $i$-й строки и $j$-го столбца.

Ещё раз. Алгебраическое дополнение к элементу матрицы с координатами $left( i;j right)$ обозначается как ${{A}_{ij}}$ и считается по схеме:

1. Сначала вычёркиваем из исходной матрицы $i$-строчку и $j$-й столбец. Получим новую квадратную матрицу, и её определитель мы обозначаем как $M_{ij}^{*}$.
2. Затем умножаем этот определитель на ${{left( -1 right)}^{i+j}}$ — поначалу это выражение может показаться мозговыносящим, но по сути мы просто выясняем знак перед $M_{ij}^{*}$.
3. Считаем — получаем конкретное число. Т.е. алгебраическое дополнение — это именно число, а не какая-то новая матрица и т.д.

Саму матрицу $M_{ij}^{*}$ называют дополнительным минором к элементу ${{a}_{ij}}$. И в этом смысле приведённое выше определение алгебраического дополнения является частным случаем более сложного определения — того, что мы рассматривали в уроке про определитель.

Важное замечание. Вообще-то во «взрослой» математике алгебраические дополнения определяются так:

1. Берём в квадратной матрице $k$ строчек и $k$ столбцов. На их пересечении получится матрица размера $left[ ktimes k right]$ — её определитель называется минором порядка $k$ и обозначается ${{M}_{k}}$.
2. Затем вычёркиваем эти «избранные» $k$ строчек и $k$ столбцов. Снова получится квадратная матрица — её определитель называется дополнительным минором и обозначается $M_{k}^{*}$.
3. Умножаем $M_{k}^{*}$ на ${{left( -1 right)}^{t}}$, где $t$ — это (вот сейчас внимание!) сумма номеров всех выбранных строчек и столбцов. Это и будет алгебраическое дополнение.

Взгляните на третий шаг: там вообще-то сумма $2k$ слагаемых! Другое дело, что для $k=1$ мы получим лишь 2 слагаемых — это и будут те самые $i+j$ — «координаты» элемента ${{a}_{ij}}$, для которого мы ищем алгебраическое дополнение.

Таким образом сегодня мы используем слегка упрощённое определение. Но как мы увидим в дальнейшем, его окажется более чем достаточно. Куда важнее следующая штука:

Определение. Союзная матрица $S$ к квадратной матрице $A=left[ ntimes n right]$ — это новая матрица размера $left[ ntimes n right]$, которая получается из $A$ заменой ${{a}_{ij}}$ алгебраическими дополнениями ${{A}_{ij}}$:

[A=left[ begin{matrix} {{a}_{11}} & {{a}_{12}} & … & {{a}_{1n}} \ {{a}_{21}} & {{a}_{22}} & … & {{a}_{2n}} \ … & … & … & … \ {{a}_{n1}} & {{a}_{n2}} & … & {{a}_{nn}} \end{matrix} right]Rightarrow S=left[ begin{matrix} {{A}_{11}} & {{A}_{12}} & … & {{A}_{1n}} \ {{A}_{21}} & {{A}_{22}} & … & {{A}_{2n}} \ … & … & … & … \ {{A}_{n1}} & {{A}_{n2}} & … & {{A}_{nn}} \end{matrix} right]]

Первая мысль, возникающая в момент осознания этого определения — «это сколько же придётся всего считать!» Расслабьтесь: считать придётся, но не так уж и много.:)

Что ж, всё это очень мило, но зачем это нужно? А вот зачем.

Основная теорема

Вернёмся немного назад. Помните, в Лемме 3 утверждалось, что обратимая матрица $A$ всегда не вырождена (т.е. её определитель отличен от нуля: $left| A right|ne 0$).

Так вот, верно и обратное: если матрица $A$ не вырождена, то она всегда обратима. И даже существует схема поиска ${{A}^{-1}}$. Зацените:

Теорема об обратной матрице. Пусть дана квадратная матрица $A=left[ ntimes n right]$, причём её определитель отличен от нуля: $left| A right|ne 0$. Тогда обратная матрица ${{A}^{-1}}$ существует и считается по формуле:

[{{A}^{-1}}=frac{1}{left| A right|}cdot {{S}^{T}}]

А теперь — всё то же самое, но разборчивым почерком. Чтобы найти обратную матрицу, нужно:

1. Посчитать определитель $left| A right|$ и убедиться, что он отличен от нуля.
2. Составить союзную матрицу $S$, т.е. посчитать 100500 алгебраических дополнений ${{A}_{ij}}$ и расставить их на месте ${{a}_{ij}}$.
3. Транспонировать эту матрицу $S$, а затем умножить её на некое число $q={1}/{left| A right|};$.

И всё! Обратная матрица ${{A}^{-1}}$ найдена. Давайте посмотрим на примеры:

Задача. Найдите обратную матрицу:

[left[ begin{matrix} 3 & 1 \ 5 & 2 \end{matrix} right]]

Решение. Проверим обратимость. Посчитаем определитель:

[left| A right|=left| begin{matrix} 3 & 1 \ 5 & 2 \end{matrix} right|=3cdot 2-1cdot 5=6-5=1]

Определитель отличен от нуля. Значит, матрица обратима. Составим союзную матрицу:

[S=left[ begin{matrix} {{A}_{11}} & {{A}_{12}} \ {{A}_{21}} & {{A}_{22}} \end{matrix} right]]

Посчитаем алгебраические дополнения:

[begin{align} & {{A}_{11}}={{left( -1 right)}^{1+1}}cdot left| 2 right|=2; \ & {{A}_{12}}={{left( -1 right)}^{1+2}}cdot left| 5 right|=-5; \ & {{A}_{21}}={{left( -1 right)}^{2+1}}cdot left| 1 right|=-1; \ & {{A}_{22}}={{left( -1 right)}^{2+2}}cdot left| 3 right|=3. \ end{align}]

Обратите внимание: определители |2|, |5|, |1| и |3| — это именно определители матриц размера $left[ 1times 1 right]$, а не модули. Т.е. если в определителях стояли отрицательные числа, убирать «минус» не надо.

Итого наша союзная матрица выглядит так:

[S=left[ begin{array}{*{35}{r}}2 & -5 \ -1 & 3 \end{array} right]]

Осталось посчитать обратную:

[{{A}^{-1}}=frac{1}{left| A right|}cdot {{S}^{T}}=frac{1}{1}cdot {{left[ begin{array}{*{35}{r}} 2 & -5 \ -1 & 3 \end{array} right]}^{T}}=left[ begin{array}{*{35}{r}} 2 & -1 \ -5 & 3 \end{array} right]]

Ну вот и всё. Задача решена.

Ответ. $left[ begin{array}{*{35}{r}} 2 & -1 \ -5 & 3 \end{array} right]$

Задача. Найдите обратную матрицу:

[left[ begin{array}{*{35}{r}} 1 & -1 & 2 \ 0 & 2 & -1 \ 1 & 0 & 1 \end{array} right]]

Решение. Опять считаем определитель:

[begin{align} & left| begin{array}{*{35}{r}} 1 & -1 & 2 \ 0 & 2 & -1 \ 1 & 0 & 1 \end{array} right|=begin{matrix} left( 1cdot 2cdot 1+left( -1 right)cdot left( -1 right)cdot 1+2cdot 0cdot 0 right)- \ -left( 2cdot 2cdot 1+left( -1 right)cdot 0cdot 1+1cdot left( -1 right)cdot 0 right) \end{matrix}= \ & =left( 2+1+0 right)-left( 4+0+0 right)=-1ne 0. \ end{align}]

Определитель отличен от нуля — матрица обратима. А вот сейчас будет самая жесть: надо посчитать аж 9 (девять, мать их!) алгебраических дополнений. И каждое из них будет содержать определитель $left[ 2times 2 right]$. Полетели:

[begin{matrix} {{A}_{11}}={{left( -1 right)}^{1+1}}cdot left| begin{matrix} 2 & -1 \ 0 & 1 \end{matrix} right|=2; \ {{A}_{12}}={{left( -1 right)}^{1+2}}cdot left| begin{matrix} 0 & -1 \ 1 & 1 \end{matrix} right|=-1; \ {{A}_{13}}={{left( -1 right)}^{1+3}}cdot left| begin{matrix} 0 & 2 \ 1 & 0 \end{matrix} right|=-2; \ … \ {{A}_{33}}={{left( -1 right)}^{3+3}}cdot left| begin{matrix} 1 & -1 \ 0 & 2 \end{matrix} right|=2; \ end{matrix}]

Короче, союзная матрица будет выглядеть так:

[S=left[ begin{matrix} 2 & -1 & -2 \ 1 & -1 & -1 \ -3 & 1 & 2 \end{matrix} right]]

Следовательно, обратная матрица будет такой:

[{{A}^{-1}}=frac{1}{-1}cdot left[ begin{matrix} 2 & -1 & -2 \ 1 & -1 & -1 \ -3 & 1 & 2 \end{matrix} right]=left[ begin{array}{*{35}{r}}-2 & -1 & 3 \ 1 & 1 & -1 \ 2 & 1 & -2 \end{array} right]]

Ну и всё. Вот и ответ.

Ответ. $left[ begin{array}{*{35}{r}} -2 & -1 & 3 \ 1 & 1 & -1 \ 2 & 1 & -2 \end{array} right]$

Как видите, в конце каждого примера мы выполняли проверку. В связи с этим важное замечание:

Не ленитесь выполнять проверку. Умножьте исходную матрицу на найденную обратную — должна получиться $E$.

Выполнить эту проверку намного проще и быстрее, чем искать ошибку в дальнейших вычислениях, когда, например, вы решаете матричное уравнение.

Альтернативный способ

Как я и говорил, теорема об обратной матрице прекрасно работает для размеров $left[ 2times 2 right]$ и $left[ 3times 3 right]$ (в последнем случае — уже не так уж и «прекрасно»), а вот для матриц больших размеров начинается прям печаль.

Но не переживайте: есть альтернативный алгоритм, с помощью которого можно невозмутимо найти обратную хоть для матрицы $left[ 10times 10 right]$. Но, как это часто бывает, для рассмотрения этого алгоритма нам потребуется небольшая теоретическая вводная.

Элементарные преобразования

Среди всевозможных преобразований матрицы есть несколько особых — их называют элементарными. Таких преобразований ровно три:

1. Умножение. Можно взять $i$-ю строку (столбец) и умножить её на любое число $kne 0$;
2. Сложение. Прибавить к $i$-й строке (столбцу) любую другую $j$-ю строку (столбец), умноженную на любое число $kne 0$ (можно, конечно, и $k=0$, но какой в этом смысл? Ничего не изменится же).
3. Перестановка. Взять $i$-ю и $j$-ю строки (столбцы) и поменять местами.

Почему эти преобразования называются элементарными (для больших матриц они выглядят не такими уж элементарными) и почему их только три — эти вопросы выходят за рамки сегодняшнего урока. Поэтому не будем вдаваться в подробности.

Важно другое: все эти извращения нам предстоит выполнять над присоединённой матрицей. Да, да: вы не ослышались. Сейчас будет ещё одно определение — последнее в сегодняшнем уроке.

Присоединённая матрица

Наверняка в школе вы решали системы уравнений методом сложения. Ну, там, вычесть из одной строки другую, умножить какую-то строку на число — вот это вот всё.

Так вот: сейчас будет всё то же, но уже «по-взрослому». Готовы?

Определение. Пусть дана матрица $A=left[ ntimes n right]$ и единичная матрица $E$ такого же размера $n$. Тогда присоединённая матрица $left[ Aleft| E right. right]$ — это новая матрица размера $left[ ntimes 2n right]$, которая выглядит так:

[left[ Aleft| E right. right]=left[ begin{array}{rrrr|rrrr}{{a}_{11}} & {{a}_{12}} & … & {{a}_{1n}} & 1 & 0 & … & 0 \{{a}_{21}} & {{a}_{22}} & … & {{a}_{2n}} & 0 & 1 & … & 0 \… & … & … & … & … & … & … & … \{{a}_{n1}} & {{a}_{n2}} & … & {{a}_{nn}} & 0 & 0 & … & 1 \end{array} right]]

Короче говоря, берём матрицу $A$, справа приписываем к ней единичную матрицу $E$ нужного размера, разделяем их вертикальной чертой для красоты — вот вам и присоединённая.:)

В чём прикол? А вот в чём:

Теорема. Пусть матрица $A$ обратима. Рассмотрим присоединённую матрицу $left[ Aleft| E right. right]$. Если с помощью элементарных преобразований строк привести её к виду $left[ Eleft| B right. right]$, т.е. путём умножения, вычитания и перестановки строк получить из $A$ матрицу $E$ справа, то полученная слева матрица $B$ — это обратная к $A$:

[left[ Aleft| E right. right]to left[ Eleft| B right. right]Rightarrow B={{A}^{-1}}]

Вот так всё просто! Короче говоря, алгоритм нахождения обратной матрицы выглядит так:

1. Записать присоединённую матрицу $left[ Aleft| E right. right]$;
2. Выполнять элементарные преобразования строк до тех пор, пока права вместо $A$ не появится $E$;
3. Разумеется, слева тоже что-то появится — некая матрица $B$. Это и будет обратная;
4. PROFIT!:)

Конечно, сказать намного проще, чем сделать. Поэтому давайте рассмотрим парочку примеров: для размеров $left[ 3times 3 right]$ и $left[ 4times 4 right]$.

Задача. Найдите обратную матрицу:

[left[ begin{array}{*{35}{r}} 1 & 5 & 1 \ 3 & 2 & 1 \ 6 & -2 & 1 \end{array} right]]

Решение. Составляем присоединённую матрицу:

[left[ begin{array}{rrr|rrr} 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \ 6 & -2 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array} right]]

Поскольку последний столбец исходной матрицы заполнен единицами, вычтем первую строку из остальных:

[begin{align} & left[ begin{array}{rrr|rrr} 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \ 6 & -2 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array} right]begin{matrix} downarrow \ -1 \ -1 \end{matrix}to \ & to left[ begin{array}{rrr|rrr} 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \end{array} right] \ end{align}]

Больше единиц нет, кроме первой строки. Но её мы не трогаем, иначе в третьем столбце начнут «размножаться» только что убранные единицы.

Зато можем вычесть вторую строку дважды из последней — получим единицу в левом нижнем углу:

[begin{align} & left[ begin{array}{rrr|rrr} 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \end{array} right]begin{matrix} \ downarrow \ -2 \end{matrix}to \ & left[ begin{array}{rrr|rrr} 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \end{array} right] \ end{align}]

Теперь можно вычесть последнюю строку из первой и дважды из второй — таким образом мы «занулим» первый столбец:

[begin{align} & left[ begin{array}{rrr|rrr} 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \end{array} right]begin{matrix} -1 \ -2 \ uparrow \end{matrix}to \ & to left[ begin{array}{rrr|rrr} 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \end{array} right] \ end{align}]

Умножим вторую строку на −1, а затем вычтем её 6 раз из первой и прибавим 1 раз к последней:

[begin{align} & left[ begin{array}{rrr|rrr} 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \end{array} right]begin{matrix} \ left| cdot left( -1 right) right. \ \end{matrix}to \ & to left[ begin{array}{rrr|rrr} 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \end{array} right]begin{matrix} -6 \ updownarrow \ +1 \end{matrix}to \ & to left[ begin{array}{rrr|rrr} 0 & 0 & 1 & -18 & 32 & -13 \ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \ 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \end{array} right] \ end{align}]

Осталось лишь поменять местами строки 1 и 3:

[left[ begin{array}{rrr|rrr} 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \ 0 & 0 & 1 & -18 & 32 & -13 \end{array} right]]

Готово! Справа — искомая обратная матрица.

Ответ. $left[ begin{array}{*{35}{r}}4 & -7 & 3 \ 3 & -5 & 2 \ -18 & 32 & -13 \end{array} right]$

Задача. Найдите обратную матрицу:

[left[ begin{matrix} 1 & 4 & 2 & 3 \ 1 & -2 & 1 & -2 \ 1 & -1 & 1 & 1 \ 0 & -10 & -2 & -5 \end{matrix} right]]

Решение. Снова составляем присоединённую:

[left[ begin{array}{rrrr|rrrr} 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} right]]

Немного позалимаем, попечалимся от того, сколько сейчас придётся считать… и начнём считать. Для начала «обнулим» первый столбец, вычитая строку 1 из строк 2 и 3:

[begin{align} & left[ begin{array}{rrrr|rrrr} 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} right]begin{matrix} downarrow \ -1 \ -1 \ \end{matrix}to \ & to left[ begin{array}{rrrr|rrrr} 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \ 0 & -6 & -1 & -5 & -1 & 1 & 0 & 0 \ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} right] \ end{align}]

Наблюдаем слишком много «минусов» в строках 2—4. Умножим все три строки на −1, а затем «выжжем» третий столбец, вычитая строку 3 из остальных:

[begin{align} & left[ begin{array}{rrrr|rrrr} 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \ 0 & -6 & -1 & -5 & -1 & 1 & 0 & 0 \ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} right]begin{matrix} \ left| cdot left( -1 right) right. \ left| cdot left( -1 right) right. \ left| cdot left( -1 right) right. \end{matrix}to \ & to left[ begin{array}{rrrr|rrrr} 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 6 & 1 & 5 & 1 & -1 & 0 & 0 \ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \ 0 & 10 & 2 & 5 & 0 & 0 & 0 & -1 \end{array} right]begin{matrix} -2 \ -1 \ updownarrow \ -2 \end{matrix}to \ & to left[ begin{array}{rrrr|rrrr} 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \end{array} right] \ end{align}]

Теперь самое время «поджарить» последний столбец исходной матрицы: вычитаем строку 4 из остальных:

[begin{align} & left[ begin{array}{rrrr|rrrr} 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \end{array} right]begin{matrix} +1 \ -3 \ -2 \ uparrow \end{matrix}to \ & to left[ begin{array}{rrrr|rrrr} 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \end{array} right] \ end{align}]

Финальный бросок: «выжигаем» второй столбец, вычитая строку 2 из строки 1 и 3:

[begin{align} & left[ begin{array}{rrrr|rrrr} 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \end{array} right]begin{matrix} 6 \ updownarrow \ -5 \ \end{matrix}to \ & to left[ begin{array}{rrrr|rrrr} 1 & 0 & 0 & 0 & 33 & -6 & -26 & -17 \ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \ 0 & 0 & 1 & 0 & -25 & 5 & 20 & -13 \ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \end{array} right] \ end{align}]

И снова слева единичная матрица, значит справа — обратная.:)

Ответ. $left[ begin{matrix} 33 & -6 & -26 & 17 \ 6 & -1 & -5 & 3 \ -25 & 5 & 20 & -13 \ -2 & 0 & 2 & -1 \end{matrix} right]$

Ну вот и всё. Проверку сделайте сами — мне в лом.:)

Смотрите также:

1. Определитель
2. Дополнительные соображения
3. Тест к уроку «Площади многоугольников на координатной сетке» (легкий)
4. Четырехугольная пирамида в задаче C2
5. Задача B5: площадь кольца
6. Случай четырехугольной пирамиды

Обра́тная ма́трица — такая матрица , при умножении которой на исходную матрицу получается единичная матрица :

Обратную матрицу можно определить как:

где  — соответствующая присоединённая матрица,

 — определитель матрицы .

Из этого определения следует критерий обратимости: матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырождена, то есть её определитель не равен нулю. Для неквадратных матриц и вырожденных матриц обратных матриц не существует. Однако возможно обобщить это понятие и ввести псевдообратные матрицы, похожие на обратные по многим свойствам.

Свойства обратной матрицы[править | править код]

Пусть квадратные матрицы  — невырожденные. Тогда:

Способы нахождения обратной матрицы[править | править код]

Если матрица обратима, то для нахождения обратной матрицы можно воспользоваться одним из следующих способов:

Точные (прямые) методы[править | править код]

Метод Жордана—Гаусса[править | править код]

Возьмём две матрицы: саму и единичную матрицу . Приведём матрицу к единичной методом Гаусса—Жордана, применяя преобразования по строкам (можно также применять преобразования и по столбцам). После применения каждой операции к первой матрице применим ту же операцию ко второй. Когда приведение первой матрицы к единичному виду будет завершено, вторая матрица окажется равной .

При использовании метода Гаусса первая матрица будет умножаться слева на одну из элементарных матриц (трансвекцию или диагональную матрицу с единицами на главной диагонали, кроме одной позиции):

Вторая матрица после применения всех операций станет равна , то есть будет искомой. Сложность алгоритма — .

С помощью матрицы алгебраических дополнений[править | править код]

Матрица, обратная матрице , представима в виде:

где  — присоединенная матрица (матрица, составленная из алгебраических дополнений для соответствующих элементов транспонированной матрицы).

Сложность алгоритма зависит от сложности алгоритма расчета определителя и равна .

Использование LU- или LUP-разложения[править | править код]

Матричное уравнение для обратной матрицы можно рассматривать как совокупность систем вида . Обозначим -й столбец матрицы через ; тогда , , поскольку -м столбцом матрицы является единичный вектор . Иными словами, нахождение обратной матрицы сводится к решению уравнений с одной матрицей и разными правыми частями. Решение этих уравнений может быть упрощено с помощью LU- или LUP-разложения матрицы . После выполнения LUP-разложения за время на решение каждого из уравнений нужно время , так что и этот алгоритм требует времени ^[1].

Матрицу, обратную к заданной невырожденной матрице , можно также вычислить непосредственно с помощью матриц, полученных в результате разложения.

Результатом LUP-разложения матрицы является равенство . Пусть , . Тогда из свойств обратной матрицы можно записать: . Если умножить это равенство на и то можно получить два равенства вида и . Первое из этих равенств представляет собой систему из линейных уравнений, для из которых известны правые части (из свойств треугольных матриц). Второе также представляет систему из линейных уравнений, для из которых известны правые части (также из свойств треугольных матриц). Вместе они представляют собой систему из равенств. С их помощью можно рекуррентно определить все элементов матрицы . Тогда из равенства получаем равенство .

В случае использования LU-разложения () не требуется перестановки столбцов матрицы , но решение может разойтись даже если матрица невырождена.

Сложность обоих алгоритмов — .

Итерационные методы[править | править код]

Матрицу можно вычислить с произвольной точностью в результате выполнения следующего итерационного процесса, называющегося методом Шульца и являющегося обобщением классического метода Ньютона:

Последовательность матриц сходится к при . Существует также так называемый обобщённый метод Шульца, который описывается следующими рекуррентными соотношениями^[2]:

Выбор начального приближения[править | править код]

Проблема выбора начального приближения в рассматриваемых здесь процессах итерационного обращения матриц не позволяет относиться к ним как к самостоятельным универсальным методам, конкурирующими с прямыми методами обращения, основанными, например, на -разложении матриц. Имеются некоторые рекомендации по выбору , обеспечивающие выполнение условия (спектральный радиус матрицы меньше единицы), являющегося необходимым и достаточным для сходимости итерационного процесса. Однако при этом, во-первых, требуется знать оценку сверху спектра обращаемой матрицы либо матрицы (а именно, если  — симметричная положительно определённая матрица и , то можно взять , где ; если же  — произвольная невырожденная матрица и , то полагают , где также ; можно, конечно, упростить ситуацию и, воспользовавшись тем, что , положить ). Во-вторых, при таком задании начальной матрицы нет гарантии, что будет малой (возможно, даже окажется ), и высокий порядок скорости сходимости обнаружится далеко не сразу.

Для метода Ньютона в качестве начального приближения можно выбрать , где верхний индекс обозначает эрмитово сопряжение, и  — соответствующие матричные нормы. Такое вычисляется всего за операций, где  — порядок матрицы, и обеспечивает сходимость алгоритма^[3].

Примеры[править | править код]

Матрица 2 × 2[править | править код]

^[4]

Обращение матрицы 2 × 2 возможно только при условии, что .

Примечания[править | править код]

Ссылки[править | править код]

• Реализация с полным выбором ведущего элемента на C++