Загрузить PDF
Загрузить PDF
Одной из важнейших составляющих алгебры является понятие обратной функции. Обратная функции обозначается как f^-1(х) и графически представляется как отражение графика исходной функции относительно прямой у=х. В этой статье мы расскажем вам, как найти обратную функцию.
Шаги
-
1
Убедитесь, что данная функция биективна. Только биективные функции имеют обратные функции.
- Функция биективна, если она проходит тест вертикальной и горизонтальной прямыми. Проведите вертикальную прямую через график функции и подсчитайте количество раз, которое прямая пересекает график функции. Потом проведите горизонтальную прямую через график функции и подсчитайте количество раз, которое прямая пересекает график функции. Если каждая прямая пересекает график функции только один раз, то функция биективна.
- Если график не проходит тест вертикальной прямой, то он не задан функцией.
- Для алгебраического определения биективности функции подставьте f(а) и f(b) в данную функцию и определите, выполняется ли равенство a=b. В качестве примера рассмотрим функцию f(x) = 3x+5.
- f(a) = 3a + 5; f(b) = 3b + 5
- 3a + 5 = 3b + 5
- 3a = 3b
- a = b
- Таким образом, данная функция биективна.
- Функция биективна, если она проходит тест вертикальной и горизонтальной прямыми. Проведите вертикальную прямую через график функции и подсчитайте количество раз, которое прямая пересекает график функции. Потом проведите горизонтальную прямую через график функции и подсчитайте количество раз, которое прямая пересекает график функции. Если каждая прямая пересекает график функции только один раз, то функция биективна.
-
2
В данной функции поменяйте местами «х» и «у». Помните, что f(х) — другое написание «у».
- “f(x)” или “y” представляет собой функцию, а “х” — переменную. Чтобы найти обратную функцию, нужно поменять местами функцию и переменную.
- Пример: рассмотрим функцию f(x) = (4x+3)/(2x+5), которая является биективной. Поменяв местами «х» и «у», получите x = (4y + 3)/(2y + 5).
-
3
Найдите «у». Решите новое уравнение и найдите «у».
- Возможно, чтобы найти значение выражения и упростить его, вам понадобятся алгебраические приемы вроде умножения дробей или разложения на множители.
- Решение нашего примера:
- х = (4y + 3)/(2y + 5)
- х(2y + 5) = 4y + 3 — избавьтесь от дроби. Для этого умножьте обе части уравнения на знаменатель дроби (2у + 5).
- 2xy + 5x = 4y + 3 — раскройте скобки.
- 2xy – 4y = 3 – 5x — перенесите все члены с переменной (в данном случае это «у») на одну сторону уравнения.
- у (2x – 4) = 3 – 5x — вынесите «у» за скобку.
- у = (3 – 5x)/(2x – 4) — разделите обе части уравнения на (2х-4), чтобы получить окончательный ответ.
-
4
Замените «у» на f^-1(х). Это есть обратная функция для исходной функции.
- Окончательный ответ: f^-1(x) = (3 – 5x)/(2x – 4). Это обратная функция для f(х) = (4x + 3)/(2x + 5) .
Реклама
Об этой статье
Эту страницу просматривали 212 691 раз.
Была ли эта статья полезной?
Понятие функции является одним из основных в математике. Оно вводится следующим образом.
Пусть заданы два множества (X) и (Y). Если каждому элементу (x) из множества (X) поставлен в соответствие элемент (y=f(x)) множества (Y), то говорят, что на множестве (X) задана функция (f). При этом элемент (x) называется независимой переменной, а элемент (y) − зависимой переменной. В случае, когда (x и y) являются действительными числами, функцию (y=f(x)) можно представить в виде графика в декартовой системе координат (Oxy).
Графиком функции называют множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты – соответствующим значениям функции, то есть по оси абсцисс откладываются значения переменной (x), а по оси ординат откладываются значения переменной (y).
Область определения функции (D(y)) – это множество всех допустимых значений аргумента (x), при которых выражение, стоящее в правой части уравнения функции (y=f(x)), имеет смысл. Другими словами, это область допустимых значений выражения (f(x)).
Чтобы по графику функции (y=f(x)) найти ее область определения, нужно, двигаясь слева направо вдоль оси ОХ, записать все промежутки значений (x), на которых существует график функции.
Пример 1. Найти область определения функции: (y=sqrt{4x-x^3}).
Решение: Поскольку квадратный корень можно извлекать только из неотрицательных чисел, то область определения данной функции задается неравенством (4x-x^3ge0 Leftrightarrow x^3-4xle0 Rightarrow x(x-2)(x+2)le0).
Решая это неравенство с помощью метода интервалов, получим: (xin (-infty; -] cup [0;2]).
Ответ: (xin (-infty; -] cup [0;2]).
Множество значений функции (E(y)) – это множество всех значений, которые может принимать зависимая переменная (y).
Чтобы по графику функции (y=f(x)) найти ее множество значений, нужно, двигаясь снизу вверх вдоль оси OY, записать все промежутки значений (y), на которых существует график функции.
Пример 2. Найти множество значений функции: (y = x^2 + 6x + 8).
Решение: Поскольку (y=x^2+6x+8=x^2+6x+9-1=(x+3)^2-1ge-1) и для каждого числа (yge-1) существуют решения уравнения (x^2 + 6x + 8 = y), определяемые формулой (x_{1,2}=-3pm sqrt{y+1}), то множеством значений функции ( y = x^2 + 6x + 8) будет множество ([-1;+infty)).
Ответ: (yin [-1;+infty)).
Обратная функция
Пусть задана функция (y=f(x)). Чтобы найти обратную для нее функцию, надо из уравнения (y=f(x)) выразить переменную (x) через (y) и затем поменять переменные местами. Обратную функцию часто обозначают в виде (y=f^{−1}(x)). Исходная и обратная функции симметричны относительно прямой (y=x).
Чтобы для данной функции (y = f(x)) найти обратную, надо:
- В соотношении (y = f(x)) заменить (x) на (y), а (y) на (x): (x = f(y)).
- В полученном выражении (x=f(y)) выразить (y) через ( x).
Например, (y=3x-8: x=3y-8 Rightarrow 3y=x+8 Rightarrow y=frac{x+8}3).
Свойства взаимно обратных функций
Тождества. Пусть (f) и (g) – взаимно обратные функции. Это означает, что равенства (y = f(x)) и (x = g(y)) равносильны. Подставим одно из этих равенств в другое. Получим два тождества: (f(g(y)) = y) и (g(f(x)) = x).
Область определения. Пусть (f) и (g) – взаимно обратные функции. Область определения функции (f) совпадает с областью значений функции (g), и наоборот, область значений функции (f) совпадает с областью определения функции (g).
Монотонность. Если одна из взаимно обратных функций возрастает, то и другая возрастает. Аналогичное верно и для убывающих функций.
Графики. Графики взаимно обратных функций, построенные в одной и той же системе координат, симметричны друг другу относительно прямой (y = x).
- Функция, обратная данной
- Алгоритм вывода формулы функции, обратной данной
- Свойства взаимно обратных функций
- Примеры
Функция, обратная данной
По определению (см. §34 справочника для 7 класса)
Функция – это соответствие, при котором каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной.
Пусть некоторое соответствие задано таблицей:
|
x |
-4 |
-3 |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
y |
-2 |
-1,5 |
-1 |
-0,5 |
0 |
0,5 |
1 |
1,5 |
2 |
Множество значений X = {-4;-3;…;4} отображается в множество значений Y = {-2;-1,5;…;2}: $X xrightarrow{f} Y$. При этом каждому значению x соответствует единственное значение y, т.е., данное соответствие f является функцией.
С другой стороны, мы можем рассмотреть обратное отображение $Y xrightarrow{g} X$, заданное той же таблицей. При этом каждому значению y соответствует единственное значение x, т.е., обратное соответствие $g = f^{-1}$ также является функцией.
Функцию $f: X xrightarrow{f} Y$ с областью определения X и областью значений Y называют обратимой, если обратное ей соответствие $g: Y xrightarrow{g} g X$ также является фунцией.
Если функция f обратима, то обратное ей соответствие $g = f^{-1}$ называют обратной функцией к f.
Например: аналитическое выражение для функции $X xrightarrow{f} Y$, заданной таблицей $y = f(x) = frac{x}{2}$. Обратное соответствие $Y xrightarrow{g} X$ также является функцией x = g(y) = 2y.
Функция g – обратная функция к f.
В общем случае формулы функций записывают в виде y(x). При такой записи, функции $y = frac{x}{2}$ и y=2x являются взаимно обратными.
Алгоритм вывода формулы функции, обратной данной
На входе: множества X и Y, для которых оба соответствия $X xrightarrow{f} Y$ и $Y xrightarrow{g} X$ являются функциями.
Шаг 1. В формуле для исходной функции заменить обозначения аргумента и значения: $x rightarrow y$, $y rightarrow x$.
Шаг 2. Из полученной формулы выразить y(x). Искомое выражение для обратной функции найдено.
Шаг 3. Учесть ограничения для области определения и области значений исходной и/или обратной функций.
Например:
1) Пусть исходная функция $y = frac{x}{2}$
Шаг 1. Меняем аргумент и значение: $x = frac{y}{2}$
Шаг 2. Находим y из полученной формулы: y = 2x – искомая обратная функция
Шаг 3. Ограничений на x и y нет
2) Пусть исходная функция y = -2x+3
Шаг 1. Меняем аргумент и значение: x = -2y+3
Шаг 2. Находим y из полученной формулы: $y = frac{-x+3}{2}$ – искомая обратная функция
Шаг 3. Ограничений на x и y нет
3) Пусть исходная функция $y = sqrt{x+1}$
Шаг 1. Меняем аргумент и значение: $x = sqrt{y+1}$
Шаг 2. Находим y из полученной формулы: $y = x^2-1$ – искомая обратная функция
Шаг 3. На исходную функцию накладываются ограничения
на $x:x+1 ge 0 Rightarrow x ge -1$, на $y:y ge 0$
Тогда исходная функция определяется на множествах $y ge -1$, $x ge 0$
4) Пусть исходная функция $y = 2x^2+1$
Шаг 1. Меняем аргумент и значение: $x = 2y^2+1$
Шаг 2. Находим y из полученной формулы: $y = sqrt{frac{x-1}{2}}$ – искомая обратная функция
Шаг 3. На обратную функцию накладываются ограничения
на $x:x-1 ge 0 Rightarrow x ge 1$, на $y:y ge 0$
Тогда исходная функция определяется на множествах $y ge 1$, $x ge 0$
Исходная функция — парабола получает ограничения из-за обратной функции; только в этом случаи функции будут взаимно обратными.
Свойства взаимно обратных функций
Пусть f и g – взаимно обратные функции. Тогда:
1. Область определения функции f является областью значений функции g, а область значений функции f является областью определения функции g.
2. Функции f и g либо одновременно возрастающие, либо одновременно убывающие.
3. Если f – нечётная, то и g – нечётная.
4. Графики f и g симметричны относительно биссектрисы 1-й четверти y = x.
5. Справедливы тождества f(g(x) ) = x и g(f(x) ) = x.
Например:
Графики пар взаимно обратных функций, найденных выше:
Примеры
Пример 1. Задайте формулой функцию, обратную данной.
а) y = 5x-4
Меняем аргумент и значение: x = 5y-4
Получаем: $y = frac{x+4}{5}$ – искомая обратная функция
б) y = -3x+2
Меняем аргумент и значение: x = -3y+2
Получаем: $y = frac{-x+2}{3}$ – искомая обратная функция
в) y = 4x+1, где $-1 le x le 5$
Меняем аргумент и значение: x = 4y+1
Получаем: $y = frac{x-1}{4}$
Требуем, чтобы: $-1 le y le 5 Rightarrow -1 le frac{x-1}{4} le 5 Rightarrow -4 le x-1 le 20 Rightarrow -3 le x le 21$
Итак, искомая обратная функция: $y = frac{x-1}{4}$, где -3 $le x le 21$
г) $y=- frac{1}{2} x+7$, где $2 le x le 9$
Меняем аргумент и значение: $x=-frac{1}{2} y+7$
Получаем: y = 2(-x+7) = -2x+14
Требуем, чтобы: $2 le y le 9 Rightarrow 2 le -2x+14 le 9 Rightarrow -12 le -2x le -5 Rightarrow$
$6 ge x ge 2,5 Rightarrow 2,5 le x le 6$
$y = -2x+14,где 2,5 le x le 6$ – искомая обратная функция
Пример 2. Найдите функцию, обратную данной.
Постройте график исходной и обратной функции в одной системе координат.
|
а) $y=x^2,x le 0$ Обратная функция $x = y^2 Rightarrow y = pm sqrt{x}$ При этом $y le 0$ Поэтому выбираем $y = – sqrt{x}$ – искомая обратная функция |
 |
|
б) y = x-3, $-1 le x le 4$ Обратная функция $x = y-3 Rightarrow y = x+3$ При этом $-1 le y le 4 Rightarrow -1 le x+3 le 4$ $Rightarrow -4 le x le 1$ y = x+3, $-4 le x le 1$ – искомая обратная функция |
 |
|
в) $y = frac{1}{x+1} $ Обратная функция $x = frac{1}{y+1} Rightarrow y = frac{1}{x} -1$ |
 |
|
г) $y = 1+ sqrt{x-3}$ Область определения: $x ge 3$ Область значений: $y ge 1$ Обратная функция: $x = 1+ sqrt{y-3} Rightarrow y = (x-1)^2+3$ Область определения: $x ge 1$ Область значений: $y ge 3$ |
 |
Download Article
Download Article
A mathematical function (usually denoted as f(x)) can be thought of as a formula that will give you a value for y if you specify a value for x. The inverse of a function f(x) (which is written as f-1(x))is essentially the reverse: put in your y value, and you’ll get your initial x value back.[1]
Finding the inverse of a function may sound like a complex process, but for simple equations, all that’s required is knowledge of basic algebraic operations. Read on for step-by-step instructions and an illustrative example.
-
1
Write your function, replacing f(x) with y if necessary. Your formula should have y on one side of the equals sign by itself with the x terms on the other side of the equals sign. If you have an equation that’s already written in terms of y and x (for instance, 2 + y = 3x2), all you need to do is solve for y by isolating it on one side of the equals sign.[2]
- Example: If we have a function f(x) = 5x – 2, we would rewrite it as y = 5x – 2 simply by replacing the “f(x)” with a y.
- Note: f(x) is the standard function notation, but if you’re dealing with multiple functions, each one gets a different letter to make telling them apart easier. For example, g(x) and h(x) are each common identifiers for functions.
-
2
Solve for x. In other words, perform the necessary mathematical operations to isolate x by itself on one side of the equal sign. Basic algebraic principles will guide you here: if x has a numeric coefficient, divide both sides of the equation by this number; if a certain number is added to the x term(s) on one side of the equals sign, subtract this number from both sides, and so on.[3]
- Remember, you can perform any operation on one side of the equation as long as you perform the operation on every term on both sides of the equal sign.
- Example: To continue our example, first, we’d add 2 to both sides of the equation. This gives us y + 2 = 5x. We’d then divide both sides of the equation by 5, yielding (y + 2)/5 = x. Finally, to make it easier to read, we’ll rewrite the equation with “x” on the left side: x = (y + 2)/5.
Advertisement
-
3
Switch the variables. Replace x with y and vice versa. The resulting equation is the inverse of the original function. In other words, if we substitute a value for x into our original equation and get an answer, when we substitute that answer into the inverse equation (again for x), we’ll get our original value back![4]
- Example: After switching x and y, we’d have y = (x + 2)/5
-
4
Replace y with “f-1(x).” Inverse functions are usually written as f-1(x) = (x terms) . Note that in this case, the -1 exponent doesn’t mean we should perform an exponent operation on our function. It’s just a way of indicating that this function is the inverse of our original.[5]
- Since taking x to the -1st power gives the fraction 1/x, you can also think of f-1(x) as a way of writing “1/f(x),” which also signifies the inverse of f(x).
-
5
Check your work. Try substituting a constant into the original function for x. If you found the correct inverse, you should be able to plug the result into the inverse function and get your original x-value as the result.[6]
- Example: Let’s substitute 4 for x in our original equation. This gives us f(x) = 5(4) – 2, or f(x) = 18.
- Next, let’s substitute our answer, 18, into our inverse function for x. If we do this, we get y = (18 + 2)/5, which simplifies to y = 20/5, which further simplifies to y = 4. 4 is our original x-value, so we know we’ve calculated the correct inverse function.
Advertisement
Add New Question
-
Question
Where do I use inverse functions?
For one thing, any time you solve an equation. To solve x+4 = 7, you apply the inverse function of f(x) = x+4, that is g(x) = x-4, to both sides (x+4)-4 = 7-4 . To solve 2^x = 8, the inverse function of 2^x is log2(x), so you apply log base 2 to both sides and get log2(2^x)=log2(8) = 3. To solve x^2 = 16, you want to apply the inverse of f(x)=x^2 to both sides, but since f(x)=x^2 isn’t invertible, you have to split it into two cases. If x is positive, g(x) = sqrt(x) is the inverse of f, but if x is negative, g(x) = -sqrt(x) is the inverse. So the solutions are x = +4 and -4.
-
Question
What inverse operations do I use to solve equations?
Danoyachtcapt
Top Answerer
The inverse of any number is that number divided into 1, as in 1/N.
Ask a Question
200 characters left
Include your email address to get a message when this question is answered.
Submit
Advertisement
-
Note that the inverse of a function is usually, but not always, a function itself.[7]
-
You can freely substitute back and forth for f(x) = y and f^(-1)(x) = y when you’re performing algebraic operations on your functions. But keeping the original function and the inverse function straight can get confusing, so if you’re not actively working with either function, try to stick to the f(x) or f^(-1)(x) notation, which helps you tell them apart.
Advertisement
References
About This Article
Thanks to all authors for creating a page that has been read 153,919 times.
Did this article help you?
Get all the best how-tos!
Sign up for wikiHow’s weekly email newsletter
Subscribe
You’re all set!
Нахождение формулы для функции, обратной данной
Пользуясь формулой (y = f(x)), следует выразить (x) через (y), а в полученной формуле (x = g(y)) заменить (x) на (y), а (y) на (x).
Пример:
найти функцию, обратную для функции
y=x2,x∈0;+∞)
.
Функция
y=x2
возрастает на промежутке
0;+∞)
. Делаем вывод, что обратная функция существует. Если значения (x) принадлежат промежутку
0;+∞)
, то
x=y
. Заменим (x) на (y), а (y) на (x), получим обратную функцию
y=x,x∈0;+∞)
. Обратная функция определена на промежутке
0;+∞)
и её график симметричен графику функции
y=x2,x∈0;+∞)
относительно прямой (y=x).
