Как исправить неправильную дробь на правильную

При решении примеров, связанных с дробными выражениями, часто приходится выполнять упрощения и различные арифметические операции. Зная, как перевести неправильную дробь в правильную, можно узнать, сколько целых частей содержится в числе, тем самым сделать вычисление проще. Такое действие актуально и при умножении или делении смешанных выражений. Метод преобразования довольно прост и не требует заучивания каких-либо сложных формул.

Оглавление:

• Общие сведения
• Способ деления
• Классический метод
• Преобразование на математическом калькуляторе

Общие сведения

При выполнении каких-либо математических расчётов часто приходится иметь дело с нецелыми числами. Одним из видов их записи является дробь. По сути, это отношение двух чисел. Пусть есть круг, разделённый на четыре равные части. Если в нём закрасить одну из них, то выполненное действие можно записать как ¼. То есть из целого выделили одну часть. Если закрасить два круга, то запись примет вид: 2/4. Фактически дробное выражение обозначает операцию обратную умножению, другими словами — деление.

Число, которое располагается слева, называют числителем. Он обозначает, сколько долей от целого была забрано. Поэтому его называют делимым. Число же, стоящее справа, называют знаменателем или делителем. Существует и другая форма записи — десятичная. В этом способе используют запятую, отделяя целую часть от десятичной. Например, ½ — это дробная запись, а 0,5 — десятичная. Причём эти две формы обозначения равнозначные. Так, если выполнить операцию деления, один разделить на два, то получится 0,5.

Существуют несколько типов дробей. По способу записи их разделяют на четыре вида:

1. Правильные — дробные числа, у которых значение числителя меньше чем знаменателя: x/y, где x < y.
2. Неправильные — дроби, в записи которых величина делимого превышает значение делителя: x/y, где x > y.
3. Смешанные — выражения, состоящие из целого и дробного числа. По сути, такая дробь обозначает их сумму: Z (X/Y) = Z + (X/Y).
4. Составные — содержат в записи несколько операций деления: (x/z)/y; (x/y)/(s/z).

Так как дроби — это способ записи чисел, то с ними можно выполнять любые математические действия. Например, складывать, вычитать, умножать, логарифмировать, возводить в степень и так далее. Причём для удобства выполнения операций часто приходится выполнять преобразования по переводу выражений из одного вида в другой.

Существуют специальные алгоритмы и правила, позволяющие как из неправильной дроби сделать правильную, так и преобразовать смешанное выражение.

Выполнение превращений относится к элементарным операциям и в ряде случаев позволяет значительно упростить решение примеров. Так, на первый взгляд, громоздкое выражение после преобразования становится простым и легко решаемым. При этом существуют и так называемые онлайн-калькуляторы. Это сервисы, выполняющие автоматический перевод из одного вида дроби в другой.

Способ деления

Любую неправильную дробь можно представить, как сумму натурального числа и правильного выражения. В отличие от записи, в которой числитель больше знаменателя, неправильное дробное выражение представляет собой число, которое больше либо равно единице. Одним из способов выполнить переход является простое деление. Выполнять его удобно с помощью метода «уголок».

Для этого сначала первую цифру числителя делят на знаменатель. Если результат действия не целое число, то операцию выполняют для двух первых знаков. То число, на которое числитель делится нацело, записывают под делителем. Это и будет значение целой доли. Затем определяют остаток. Вычисляют его по следующему алгоритму:

• умножают целое число на делитель;
• результат операции записывают под значением знаменателя;
• находят результат вычитания результата умножения из делимого.

Таким образом, первое число образует целую часть, второе записывают в числитель, а знаменатель оставляют без изменения. Например, 15/4. Так как 15 разделить на четыре без остатка нельзя, то подбирается ближайшее целое число. Им будет 12, так как 3 * 4 = 12. Если взять четыре, то при умножении получится 16, а это выражение уже превышает значение числителя. Затем из пятнадцати нужно вычесть двенадцать: 15 — 12 = 3. Все нужные вычисления выполнены, остаётся только записать правильно ответ: 3 (¾).

Вот ещё один пример. Преобразовать неправильную дробь: 78/32. По аналогии с предыдущим заданием превращение выполняют в два этапа. На первом находят целую составляющую, а на втором — дробную. Итак, ближайшее цело число к 78 при умножении на 32 будет 64: 32 * 2 = 64. Отсюда следует: 78 — 64 = 14. Значит, результат превращения будет иметь вид: 78/32 = 2 (14/32).

Как видно, ничего сложного в рассмотренном способе нет.

Главное — правильно подобрать число, на которое нацело делится числитель. Чаще всего им являются простые цифры. Но при этом, конечно же, всё зависит от конкретно рассматриваемого примера.

Классический метод

Этот способ считается классическим и обычно, если необходимо превратить неправильную дробь в выражение другого вида, используют его. Суть метода заключается в следующем. Пусть имеется неправильная дробь вида x/y, где икс превышает по значению игрек. Чтобы выполнить преобразование, нужно знать, что при делении числа само на себя получается единица. Например, 234/234 = 1, 6/6 = 1.

Используя это знание, исходную дробь нужно представить в виде суммы единицы и правильного выражения. Для этого в первом слагаемом в числителе пишут число, равняющееся знаменателю, то есть c/n = (n/n) + (?/n). Теперь нужно определить числитель во втором слагаемом.

По правилам сложения дробей с одинаковым знаменателем, при их суммировании последний остаётся без изменения, а над числителями выполняется нужное арифметическое действие. Таким образом, чтобы найти неизвестное, следует записать равенство: c/n = (n/n) + (?/n). Из правила сложения следует, что искомый числитель можно определить, как разницу между c и n. Теперь остаётся переписать исходную дробь как обычную смешанную: 1 ((c — n)/n).

Чтобы стало более понятно можно рассмотреть несколько конкретных примеров. Пусть нужно выполнить преобразование для дроби: 5/3. В соответствии с рассмотренным методом необходимо выражение представить в виде суммы: 3/3 + x/3. Теперь, чтобы найти неизвестное, следует из исходного числителя вычесть делимое, стоящее в первом слагаемом: 5 — 3 = 2. Значит, преобразование можно представить так: 5/3 = (3/3) + (2/3) = 1 + (2/3) = 1 (2/3).

Вот ещё один пример: 7/2 = (2/2) + (7 — 2)/2 = 1 + 5/2 = 1 + (2/2) + (3/2) = 1 + 1 + 2/2 + ½ = 3 (½). Как видно из второго примера, превратить дробь в неправильную не всегда получается в одно действие. В этом примере понадобилось три раза представлять выражение в виде суммы. Поэтому этот способ неудобно использовать при работе с длинными числами из-за большого числа выполняемых операций.

Следует отметить, что можно осуществлять и обратные действия, то есть переводить дробь в неправильную. Для этого целую часть нужно умножить на знаменатель дробной части, а после полученный результат сложить с числителем.

Полученная сумма будет являться числителем преобразованного выражения. Знаменатель же остаётся без изменения.

Например, 5 (4/7) = (5 * 7 + 4)/7 = 39/7.

Преобразование на математическом калькуляторе

Превращать неправильную дробь в правильную несложно. Но бывает так, что приходится иметь дело с большими числами. При этом преобразование может занять довольно длительное время. В таком случае хорошим выходом будет использовать математический калькулятор. Его принцип работы основан на алгоритмах превращения дроби из одного вида в другой. Это программа, занимающаяся расчётами, адаптирована под различные веб-браузеры и выполня ет вычисления в режиме реального времени.

Достоинства математических калькуляторов, умеющих преобразовывать дроби ещё и в том, что, кроме непосредственно результата действий, они выводят на экран подробное описание решения. Это помогает пользователю даже со слабой подготовкой научиться самостоятельно выполнять преобразования. Кроме этого, калькуляторы содержат необходимый минимум теоретической информации и даже примеры простых превращений. При этом они умеют выполнять и другие операции. Например, переводить смешанную дробь в неправильное число или выполнять какое-либо другое математическое действие.

Пользоваться математическими калькуляторами удобно будет как инженерам, которым необходимо быстро и правильно выполнить то или иное преобразование и учащимся.

Для первых это возможность не отвлекаться на расчёты и быть уверенным в правильности вычислений, а для вторых — подспорье в учёбе. Ведь с помощью такого калькулятора можно проверить самостоятельно полученный результат, а в случае необходимости найти и устранить ошибку.

Таким образом, чтобы преобразовать дробь можно применить два способа: классический и деления. Какой из них предпочтительно использовать зависит от конкретного примера. Но если вдруг перевод вызовет трудности, всегда можно воспользоваться программой для автоматического расчёта.