Как методом гаусса найти общее решение системы

Уважаемые студенты!
Заказать решение задач по 200+ предметам можно здесь всего за 10 минут.

Метод Гаусса

1. Метод Гаусса
   1. Пример 1
   2. Пример 2
2. Несовместность системы (нет решений)
   1. Пример 3
3. Общее и частное решение системы (бесконечное множество решений)
   1. Пример 4

Пусть задана система линейных алгебраических уравнений: $$begin{cases} a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + a_{13} x_3 = b_1 \ a_{21} x_1 + a_{22} x_2 + a_{23} x_3 = b_2 \ a_{31} x_1 + a_{32} x_2 + a_{33} x_3 = b_3 end{cases}. $$

1. Запишем систему уравнений в виде расширенной матрицы, состоящей из коэффициентов и столбца свободных членов. Вертикальная черта используется для удобства оформления. $$ begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & | & b_1 \ a_{21} & a_{22} & a_{23} & | & b_2 \ a_{31} & a_{32} & a_{33} & | & b_3 end{pmatrix} $$
2. С помощью элементарных преобразований матрицы (вычитание одной строки из другой, умноженной на коэффициент, удаление одинаковых и нулевых строк, деление строки на число отличное от нуля) получаем нули под главной диагональю $$ begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & | & b_1 \ 0 & a_{22} & a_{23} & | & b_2 \ 0 & 0 & a_{33} & | & b_3 end{pmatrix} $$
3. Используя элементарные преобразования, изложенные в пункте 2, приводим матрицу к виду содержащему нули везде, кроме главной диагонали $$ begin{pmatrix} a_{11} & 0 & 0 & | & b_1 \ 0 & a_{22} & 0 & | & b_2 \ 0 & 0 & a_{33} & | & b_3 end{pmatrix} $$

Несовместность системы (нет решений)

Если в результате элементарных преобразований появилась нулевая строка вида $$begin{pmatrix} 0&0&0&|&b end{pmatrix} text{ где } b neq 0,$$то система уравнений не имеет решений. На этом алгоритм Гаусса заканчивает свою работу и можно записывать ответ, что система несовместна, то есть нет решений. 

Сегодня разбираемся с методом Гаусса для решения систем линейных алгебраических уравнений. О том, что это за системы, можно почитать в предыдущей статье, посвященной решению тех же СЛАУ методом Крамера. Метод Гаусса не требует каких-то специфических знаний, нужна лишь внимательность и последовательность. Несмотря на то что с точки зрения математики для его применения хватит и школьной подготовки, у студентов освоение этого метода часто вызывает сложности. В этой статье попробуем свести их на нет!

Метод Гаусса

Метод Гаусса – наиболее универсальный метод решения СЛАУ (за исключением ну уж очень больших систем). В отличие от рассмотренного ранее метода Крамера, он подходит не только для систем, имеющих единственное решение, но и для систем, у которых решений бесконечное множество. Здесь возможны три варианта.

1. Система имеет единственное решение (определитель главной матрицы системы не равен нулю);
2. Система имеет бесконечное множество решений;
3. Решений нет, система несовместна.

Итак, у нас есть система (пусть у нее будет одно решение), и мы собираемся решать ее методом Гаусса. Как это работает?

Метод Гаусса состоит из двух этапов – прямого и обратного.

Прямой ход метода Гаусса

Сначала запишем расширенную матрицу системы. Для этого в главную матрицу добавляем столбец свободных членов.

Вся суть метода Гаусса заключается в том, чтобы путем элементарных преобразований привести данную матрицу к ступенчатому (или как еще говорят треугольному) виду. В таком виде под (или над) главной диагональю матрицы должны быть одни нули.

Что можно делать:

1. Можно переставлять строки матрицы местами;
2. Если в матрице есть одинаковые (или пропорциональные) строки, можно удалить их все, кроме одной;
3. Можно умножать или делить строку на любое число (кроме нуля);
4. Нулевые строки удаляются;
5. Можно прибавлять к строке строку, умноженную на число, отличное от нуля.

Обратный ход метода Гаусса

После того как мы преобразуем систему таким образом, одна неизвестная Xn становится известна, и можно в обратном порядке найти все оставшиеся неизвестные, подставляя уже известные иксы в уравнения системы, вплоть до первого.

Когда интернет всегда под рукой, можно решить систему уравнений методом Гаусса онлайн. Достаточно лишь вбить в онлайн-калькулятор коэффициенты. Но согласитесь, гораздо приятнее осознавать, что пример решен не компьютерной программой, а Вашим собственным мозгом.

Пример решения системы уравнений методом Гаусс

А теперь – пример, чтобы все стало наглядно и понятно. Пусть дана система линейных уравнений, и нужно решить ее методом Гаусса:

Сначала запишем расширенную матрицу:

Теперь займемся преобразованиями. Помним, что нам нужно добиться треугольного вида матрицы. Умножим 1-ую строку на (3). Умножим 2-ую строку на (-1). Добавим 2-ую строку к 1-ой и получим:

Затем умножим 3-ую строку на (-1). Добавим 3-ую строку к 2-ой:

Умножим 1-ую строку на (6). Умножим 2-ую строку на (13). Добавим 2-ую строку к 1-ой:

Вуаля – система приведена к соответствующему виду. Осталось найти неизвестные:

Система в данном примере имеет единственное решение. Решение систем с бесконечным множеством решений мы рассмотрим в отдельной статье. Возможно, сначала Вы не будете знать, с чего начать преобразования матрицы, но после соответствующей практики набьете руку и будете щелкать СЛАУ методом Гаусса как орешки. А если Вы вдруг столкнетесь со СЛАУ, которая окажется слишком крепким орешком, обращайтесь к нашим авторам! Заказать недорого  реферат вы можете, оставив заявку в Заочнике. Вместе мы решим любую задачу!

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 3 февраля 2022 года; проверки требуют 14 правок.

Ме́тод Га́усса — классический метод решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Назван в честь немецкого математика Карла Фридриха Гаусса. Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе треугольного вида, из которой последовательно, начиная с последних (по номеру), находятся все переменные системы^[1].

История[править | править код]

Хотя в настоящее время данный метод повсеместно называется методом Гаусса, он был известен и до К. Ф. Гаусса. Первое известное описание данного метода — в китайском трактате «Математика в девяти книгах».

Описание метода[править | править код]

Пусть исходная система выглядит следующим образом:

Её можно записать в матричном виде:

где

Матрица называется основной матрицей системы,  — столбцом свободных членов.

Тогда, согласно свойству элементарных преобразований над строками, основную матрицу этой системы можно привести к ступенчатому виду (эти же преобразования нужно применять к столбцу свободных членов):

где

При этом будем считать, что базисный минор (ненулевой минор максимального порядка) основной матрицы находится в верхнем левом углу, то есть в него входят только коэффициенты при переменных ^[2].

Тогда переменные называются главными переменными. Все остальные называются свободными.

Если хотя бы одно число , где , то рассматриваемая система несовместна, т. е. у неё нет ни одного решения.

Пусть для любых .

Перенесём свободные переменные за знаки равенств и поделим каждое из уравнений системы на свой коэффициент при самом левом (, где  — номер строки):

,

где

Если свободным переменным системы (2) придавать все возможные значения и решать новую систему относительно главных неизвестных снизу вверх (то есть от нижнего уравнения к верхнему), то мы получим все решения этой СЛАУ. Так как эта система получена путём элементарных преобразований над исходной системой (1), то по теореме об эквивалентности при элементарных преобразованиях системы (1) и (2) эквивалентны, то есть множества их решений совпадают.

Следствия: 1: Если в совместной системе все переменные главные, то такая система является определённой. 2: Если количество переменных в системе превосходит число уравнений, то такая система является либо неопределённой, либо несовместной.

Критерий совместности[править | править код]

Упомянутое выше условие для всех может быть сформулировано в качестве необходимого и достаточного условия совместности:

Напомним, что рангом совместной системы называется ранг её основной матрицы (либо расширенной, так как они равны).

Теорема Кронекера — Капелли. Система совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы. Следствия: Количество главных переменных равно рангу системы и не зависит от её решения. Если ранг совместной системы равен числу переменных данной системы, то она определена.

Алгоритм[править | править код]

Блок-схема представлена на рисунке. Данный рисунок — адаптированный для написания программы на языке C/C++, где a — расширенная матрица, последний столбец в которой — столбец свободных членов. Количество строк — n.

Описание[править | править код]

Алгоритм решения СЛАУ методом Гаусса подразделяется на два этапа.

• На первом этапе осуществляется так называемый прямой ход, когда путём элементарных преобразований над строками систему приводят к ступенчатой или треугольной форме, либо устанавливают, что система несовместна. Для этого среди элементов первого столбца матрицы выбирают ненулевой, перемещают содержащую его строку в крайнее верхнее положение, делая эту строку первой. Далее ненулевые элементы первого столбца всех нижележащих строк обнуляются путём вычитания из каждой строки первой строки, домноженной на отношение первого элемента этих строк к первому элементу первой строки. После того, как указанные преобразования были совершены, первую строку и первый столбец мысленно вычёркивают и продолжают, пока не останется матрица нулевого размера. Если на какой-то из итераций среди элементов первого столбца не нашёлся ненулевой, то переходят к следующему столбцу и проделывают аналогичную операцию.
• На втором этапе осуществляется так называемый обратный ход, суть которого заключается в том, чтобы выразить все получившиеся базисные переменные через небазисные и построить фундаментальную систему решений, либо, если все переменные являются базисными, то выразить в численном виде единственное решение системы линейных уравнений. Эта процедура начинается с последнего уравнения, из которого выражают соответствующую базисную переменную (а она там всего одна) и подставляют в предыдущие уравнения, и так далее, поднимаясь по «ступенькам» наверх. Каждой строчке соответствует ровно одна базисная переменная, поэтому на каждом шаге, кроме последнего (самого верхнего), ситуация в точности повторяет случай последней строки.

Метод Гаусса требует арифметических операций.

Этот метод опирается на:

Теорема (о приведении матриц к ступенчатому виду). Любую матрицу путём элементарных преобразований только над строками можно привести к ступенчатому виду.

Простейший случай[править | править код]

В простейшем случае алгоритм выглядит так:

• Прямой ход:

• Обратный ход. Из последнего ненулевого уравнения выражаем базисную переменную через небазисные и подставляем в предыдущие уравнения. Повторяя эту процедуру для всех базисных переменных, получаем фундаментальное решение.

Пример[править | править код]

Покажем, как методом Гаусса можно решить следующую систему:

Обнулим коэффициенты при во второй и третьей строчках. Для этого прибавим к ним первую строчку, умноженную на и , соответственно:

Теперь обнулим коэффициент при в третьей строке, вычтя из неё вторую строку, умноженную на :

В результате мы привели исходную систему к треугольному виду, тем самым закончив первый этап алгоритма.

На втором этапе разрешим полученные уравнения в обратном порядке. Имеем:

из третьего;

из второго, подставив полученное

из первого, подставив полученные и .

Таким образом, исходная система решена.

В случае, если число уравнений в совместной системе получилось меньше числа неизвестных, то тогда ответ будет записываться в виде фундаментальной системы решений.

Реализация алгоритма на языке программирования C#[править | править код]

namespace Gauss_Method
{
    class Maths
    {
        /// <summary>
        /// Метод Гаусса (Решение СЛАУ)
        /// </summary>
        /// <param name="Matrix">Начальная матрица</param>
        /// <returns></returns>
        public static double[] Gauss(double[,] Matrix)
        {
            int n = Matrix.GetLength(0); //Размерность начальной матрицы (строки)
            double[,] Matrix_Clone = new double[n, n + 1]; //Матрица-дублер
            for (int i = 0; i < n; i++)
                for (int j = 0; j < n + 1; j++)
                    Matrix_Clone[i, j] = Matrix[i, j];

            // Прямой ход (Зануление нижнего левого угла)
            for (int k = 0; k < n; k++) //k-номер строки
            {
                for (int i = 0; i < n + 1; i++) //i-номер столбца
                    Matrix_Clone[k, i] = Matrix_Clone[k, i] / Matrix[k, k]; //Деление k-строки на первый член !=0 для преобразования его в единицу
                for (int i = k + 1; i < n; i++) //i-номер следующей строки после k
                {
                    double K = Matrix_Clone[i, k] / Matrix_Clone[k, k]; //Коэффициент
                    for (int j = 0; j < n + 1; j++) //j-номер столбца следующей строки после k
                        Matrix_Clone[i, j] = Matrix_Clone[i, j] - Matrix_Clone[k, j] * K; //Зануление элементов матрицы ниже первого члена, преобразованного в единицу
                }
                for (int i = 0; i < n; i++) //Обновление, внесение изменений в начальную матрицу
                    for (int j = 0; j < n + 1; j++)
                        Matrix[i, j] = Matrix_Clone[i, j];
            }

            // Обратный ход (Зануление верхнего правого угла)
            for (int k = n - 1; k > -1; k--) //k-номер строки
            {
                for (int i = n; i > -1; i--) //i-номер столбца
                    Matrix_Clone[k, i] = Matrix_Clone[k, i] / Matrix[k, k];
                for (int i = k - 1; i > -1; i--) //i-номер следующей строки после k
                {
                    double K = Matrix_Clone[i, k] / Matrix_Clone[k, k];
                    for (int j = n; j > -1; j--) //j-номер столбца следующей строки после k
                        Matrix_Clone[i, j] = Matrix_Clone[i, j] - Matrix_Clone[k, j] * K;
                }
            }

            // Отделяем от общей матрицы ответы
            double[] Answer = new double[n];
            for (int i = 0; i < n; i++)
                Answer[i] = Matrix_Clone[i, n];

            return Answer;
        }
    }
}

Применение и модификации[править | править код]

Помимо аналитического решения СЛАУ, метод Гаусса также применяется для:

Достоинства метода[править | править код]

• Для матриц ограниченного размера — менее трудоёмкий по сравнению с другими методами.
• Позволяет однозначно установить, совместна система или нет, и если совместна, найти её решение.
• Позволяет найти максимальное число линейно независимых уравнений — ранг матрицы системы^[3].

Устойчивость метода Гаусса[править | править код]

Метод Гаусса для плохо обусловленных матриц коэффициентов является вычислительно неустойчивым. Например, для матриц Гильберта метод приводит к очень большим ошибкам даже при небольшой размерности этих матриц. Уменьшить вычислительную ошибку можно с помощью метода Гаусса с выделением главного элемента, который является условно устойчивым^[4]. Широкое применение метода Гаусса связано с тем, что плохо обусловленные матрицы встречаются на практике относительно редко.

Неоптимальность метода Гаусса[править | править код]

В 1969 году Штрассен доказал, что большие матрицы можно перемножить за время ^[5]. Отсюда вытекает, что обращение матриц и решение СЛАУ можно осуществлять алгоритмами асимптотически более быстрыми по порядку, чем метод Гаусса. Таким образом, для больших СЛАУ метод Гаусса не оптимален по скорости.

См. также[править | править код]

• Метод Гаусса — Жордана
• Метод Крамера
• Система линейных алгебраических уравнений
• Теорема Кронекера — Капелли
• Фундаментальная система решений
• Элементарные преобразования матрицы
• Метод Гаусса (оптимизация)
• Метод покоординатного спуска (Гаусса — Зейделя)
• Метод Якоби

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

• И. М. Виноградов. Гаусса метод // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. — 1977—1985.
• Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра: Учебник для вузов. — 6-е изд., стер. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 280 с.
• Амосов А. А., Дубинский Ю. А., Копченова Н. П. Вычислительные методы для инженеров. — М.: Мир, 1998.
• Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. Г. Численные методы. — 8-е изд.|место = М. |издательство = Лаборатория Базовых Знаний |год = 2000 |страницы = |isbn =}}
• Волков Е. А. Численные методы. — М.: Физматлит, 2003.
• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. — М.: Наука, 1970. — С. 575—576.
• Кремер Н. Ш., Путко Б. А., Тришин И. М., Фридман М. Н. Высшая математика для экономистов / Под ред. Н. Ш. Кремера. — 3-е изд. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007. — 479 с. — ISBN 5-238-00991-7.

Ссылки[править | править код]

• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT & Flannery, BP (2007), Section 2.2, Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd ed.), New York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8

Рассмотрим
ещё один метод решения систем линейных
уравнений (17). С помощью элементарных
преобразований над строками расширенная
матрица системы (17)

может быть приведена к виду

. (21)

Эта
матрица является расширенной матрицей
системы

(22)

которая
эквивалентна исходной системе (17).
Проанализируем систему уравнений (22).

Если
хотя бы одно из чисел
,…,
отлично от нуля, то система (22), а
следовательно, и система (17) несовместны,
так как
.

Если
же
…,
то система совместна, так как
,
и из системы (22) можно выразить базисные
неизвестные, в данном случае

через свободные неизвестные
.

4.2.1
Пример.
Методом Гаусса исследовать совместность
и найти общее решение системы (20).

Решение.

С
помощью элементарных преобразований
строк расширенную
матрицу

системы уравнений (20)
приведём к
виду, подобному (21):

.

Очевидно,
что

(система уравнений (20) совместна). Выберем
какой-нибудь не равный нулю минор второго
порядка полученной матрицы
,
например, минор
.
Тогда
,

– базисные неизвестные,

и

– свободные неизвестные. Запишем систему
уравнений, которая является эквивалентной
исходной и соответствует полученной
расширенной матрице:

Выразим
из второго уравнения системы базисную
переменную

через свободную

и аналогичным образом из первого
уравнения найдём базисную переменную

как функцию свободных переменных

и
:

,
.

Теперь
пусть
,
,
где
.
Тогда общее решение исходной системы
уравнений имеет вид:

.

4.2.2
Пример.
Методом Гаусса исследовать совместность
и найти общее решение системы

Решение.

С
помощью элементарных преобразований
строк расширенную матрицу

приведём к
виду

.

Итак,

(система уравнений совместна и имеет
единственное решение, так как
).
Полученной
матрице соответствует система

которая
эквивалентна исходной. Из данной системы
следует, что
,
,
.
Итак, общее решение
.

4.3 Упражнения

4.3.1
Исследовать следующие системы уравнений
и в случае совместности найти общее и
одно частное решение:

4.3.2
Методом Гаусса исследовать следующие
системы уравнений и в случае совместности
найти общее решение:

4.4 Контрольные задания

Рекомендуемая
литература
[1, гл. 5, § 4], [2, гл. 1, § 1.11, § 1.16
– 1.17], [3, гл. 3, § 3.4,
§ 3.7].

4.4.1
Исследовать
следующие системы уравнений и в случае
совместности найти общее решение:

5 Однородные и неоднородные системы линейных уравнений

Цель
занятия:
выработка навыков построения
фундаментальной системы решений и общих
решений однородной и неоднородной
систем уравнений.

5.1 Структура общего решения однородных и неоднородных систем

5.1.1
Определение.
Если в (17)
,
то система уравнений называется
однородной и имеет вид:

(23)

Система
(23) всегда совместна, т. к. она имеет
нулевое (тривиальное) решение
.
Приведём условия, при которых система
(23) имеет ненулевые решения.

5.1.2
Теорема.
Для того чтобы система (23) имела ненулевые
решения, необходимо и достаточно, чтобы
ранг её основной матрицы был меньше
числа неизвестных.

Отсюда
следует, что если
,
то нулевое решение будет единственным
решением системы (23). Если же
,
то система (23) в соответствии с (п. 4.1.2.4)
имеет бесконечно много решений.
Предположим, что

и

– базисные неизвестные системы (23),

– свободные неизвестные. Тогда общее
решение системы (23) будет иметь вид (19).
Выберем

решений (23), полученных из общего решения
так: одно из значений свободных переменных
полагаем равным 1, а остальные – равными
0:

,
,
…,
. (24)

Эти
решения образуют систему решений
однородной системы (23), обладающую
следующим свойством: произвольное
решение системы (23) может быть единственным
образом представлено в виде

, (25)

где

некоторые числа.

5.1.3
Определение.
Любой набор из

решений однородной системы (23), обладающих
указанным свойством, называется
фундаментальной системой решений
системы (23).

Формула (25) определяет
структуру общего решения однородной
системы (23).

5.1.4
Определение.
Если в (17) среди свободных членов

()
хотя бы один отличен от нуля, то система
уравнений называется неоднородной.

Структура
общего решения неоднородной системы
уравнений определяется следующей
теоремой.

5.1.5
Теорема.
Общее решение неоднородной системы
может быть представлено в виде

, (26)

где

– частное решение неоднородной системы
уравнений,

– общее
решение соответствующей однородной
системы.

5.1.6
Пример.
Найти общее решение и фундаментальную
систему решений однородной системы
линейных уравнений:

Решение.

Имеем
,
.
В качестве
базисного минора возьмём
.
Наша система эквивалентна следующей:

где
,

– базисные
неизвестные;

,

– свободные неизвестные.

Откуда

;
.

Теперь
пусть
,
,
где
.
Тогда общее решение исходной системы
уравнений имеет вид:

.

Из
общего решения находим фундаментальную
систему решений:

,
.

С
использованием фундаментальной системы
общее решение может быть записано в
виде
.

5.1.7
Пример.
Найти общее решение неоднородной системы
уравнений, используя фундаментальную
систему решений соответствующей
однородной:

Решение.

С
помощью элементарных преобразований
строк расширенную матрицу

приведём к
виду

.

Имеем
,
.
В качестве базисного минора возьмём
.
Наша система эквивалентна следующей:

где

– базисные
неизвестные;

– свободные
неизвестные.

Откуда

;
.

Теперь
пусть
,
где
.
Тогда общее решение исходной системы
уравнений имеет вид:

,

т. е.
,
где

– частное решение, а столбцы
,
,

образуют фундаментальную систему
решений соответствующей однородной
системы.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #