Как можно найти нод двух натуральных чисел - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

#хакнем_математика 👈 рубрика, содержащая интересный, познавательный контент по математике как для школьников, так и для взрослых 🥳

Евклид, ок. 1474. Юстус ван Гент

Цикл статей “Дроби”

Первая часть Вторая часть Третья часть

Четвертая часть Пятая часть Шестая часть Седьмая часть Восьмая часть

Здравствуйте, уважаемые читатели!

Предлагаю рассмотреть ещё один способ нахождения Наибольшего Общего Делителя (НОД) двух чисел, известный под названием «АЛГОРИТМ ЕВКЛИДА», использование которого в случаях многозначных чисел часто оказывается значительно рациональнее традиционного способа с разложением чисел на простые множители.

Для начала опишем последовательность шагов алгоритма.

На первом шаге необходимо провести деление бОльшего числа на мЕньшее. Если деление удалось, т.е. остаток оказался равен нулю, то меньшее число и будет Наибольшим Общим Делителем этих двух чисел. В случае ненулевого остатка необходимо продолжить выполнение алгоритма.

На втором шаге необходимо разделить мЕньшее из двух данных чисел (первый делитель) на полученный в первом делении остаток. Если при этом делении получится нулевой остаток, то НОД двух данных чисел равен остатку от деления на первом шаге или, что то же, делителю на втором шаге. В случае ненулевого остатка следует продолжить выполнение алгоритма.

На третьем шаге следует разделить предыдущий делитель (остаток от предпоследнего деления) на остаток, полученный на предыдущем шаге. В случае получения нулевого остатка НОД будет равен остатку, полученному на предыдущем шаге или, что тоже, последнему делителю. В случае получения ненулевого остатка повторять действия на этом шаге вплоть до получения нулевого остатка — в этом случае последний ненулевой остаток или, что то же, последний делитель и будет Наибольшим Общим Делителем.

Замечу, что описание Алгоритма Евклида для нахождения НОД двух натуральных чисел значительно «объёмнее» его исполнения. Найдём, например, НОД (1729; 2584) сначала с использованием традиционного метода с разложением чисел на простые множители, а затем с помощью алгоритма Евклида.

Чтобы реально оценить преимущество алгоритма Евклида, рекомендую самостоятельно проделать разложение этих чисел на простые множители и все остальные операции по нахождению НОД данных чисел этим способом.

Алгоритм Евклида для нахождения НОД двух натуральных чисел, который вы не найдёте в школьных учебниках

А теперь используем алгоритм:

ОТВЕТ: НОД (1729; 2584) = 19.

В заключение отмечу, что алгоритм Евклида тем эффективнее (в сравнении с традиционным), чем больше числа, НОД которых следует найти.

Автор: #себихов_александр 71 год, много лет проработал конструктором-технологом микроэлектронных приборов и узлов в одном из НИИ г. Саратова, затем преподавателем математики и физики.

Читайте наш канал в телеграм – по этой ссылке

Другие статьи автора:

Цикл статей “Дроби”

1 статья 2 статья 3 статья 4 статья 5 статья 6 статья

7 статья 8 статья 9 статья [Текущая]

Источник

Для этого термина существует аббревиатура «НОД», которая имеет и другие значения, см. Нод.

Наибольшим общим делителем (НОД) для двух целых чисел и называется наибольший из их общих делителей^[1]. Пример: для чисел 54 и 24 наибольший общий делитель равен 6.

Наибольший общий делитель существует и однозначно определён, если хотя бы одно из чисел или не равно нулю.

Возможные обозначения наибольшего общего делителя чисел и :

Понятие наибольшего общего делителя естественным образом обобщается на наборы из более чем двух целых чисел.

Связанные определения[править | править код]

Наименьшее общее кратное[править | править код]

Наименьшее общее кратное (НОК) двух целых чисел и — это наименьшее натуральное число, которое делится на и (без остатка). Обозначается НОК(m,n) или [m,n] , а в английской литературе .

НОК для ненулевых чисел и всегда существует и связан с НОД следующим соотношением:

Это частный случай более общей теоремы: если $a_{1},a_{2},dots ,a_{n}$ — ненулевые числа, — какое-либо их общее кратное, то имеет место формула:

$D=[a_{1},a_{2},dots ,a_{n}]cdot left({frac {D}{a_{1}}},{frac {D}{a_{2}}},dots ,{frac {D}{a_{n}}}right)$

Взаимно простые числа[править | править код]

Числа и называются взаимно простыми, если у них нет общих делителей, кроме pm 1 . Для таких чисел НОД. Обратно, если НОД то числа взаимно просты.

Аналогично, целые числа $a_{1},a_{2},dots a_{k}$ , где kgeq 2 , называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель равен единице.

Следует различать понятия взаимной простоты, когда НОД набора чисел равен 1, и попарной взаимной простоты, когда НОД равен 1 для каждой пары чисел из набора. Из попарной простоты вытекает взаимная простота, но не наоборот. Например, НОД(6,10,15) = 1, но любые пары из этого набора не взаимно просты.

Способы вычисления[править | править код]

Эффективными способами вычисления НОД двух чисел являются алгоритм Евклида и бинарный алгоритм.

Кроме того, значение НОД(m,n) можно легко вычислить, если известно каноническое разложение чисел и на простые множители:

$n=p_{1}^{{d_{1}}}cdot dots cdot p_{k}^{{d_{k}}},$

$m=p_{1}^{{e_{1}}}cdot dots cdot p_{k}^{{e_{k}}},$

где $p_{1},dots ,p_{k}$ — различные простые числа, а $d_{1},dots ,d_{k}$ и $e_{1},dots ,e_{k}$ — неотрицательные целые числа (они могут быть нулями, если соответствующее простое отсутствует в разложении). Тогда НОД(n,m) и НОК[n,m] выражаются формулами:

$(n,m)=p_{1}^{{min(d_{1},e_{1})}}cdot dots cdot p_{k}^{{min(d_{k},e_{k})}},$

$[n,m]=p_{1}^{{max(d_{1},e_{1})}}cdot dots cdot p_{k}^{{max(d_{k},e_{k})}}.$

Если чисел более двух: $a_{1},a_{2},dots a_{n}$ , их НОД находится по следующему алгоритму:

$d_{2}=(a_{1},a_{2})$

$d_{3}=(d_{2},a_{3})$

………

$d_{n}=(d_{{n-1}},a_{n})$

— это и есть искомый НОД.

Свойства[править | править код]

Основное свойство: наибольший общий делитель и делится на любой общий делитель этих чисел. Пример: для чисел 12 и 18 наибольший общий делитель равен 6; он делится на все общие делители этих чисел: 1, 2, 3, 6.
Если делится на , то НОД(m, n) = n. В частности, НОД(n, n) = n.
. В общем случае, если , где – целые числа, то .
— общий множитель можно выносить за знак НОД.
Если , то после деления на числа становятся взаимно простыми, то есть, $left({{frac {m}{D}},{frac {n}{D}}}right)=1$ . Это означает, в частности, что для приведения дроби к несократимому виду надо разделить её числитель и знаменатель на их НОД.
Мультипликативность: если $a_{1},a_{2}$ взаимно просты, то:

$(a_{1}cdot a_{2},b)=(a_{1},b)cdot (a_{2},b)$

left{acdot m+bcdot nmid a,bin mathbb{Z } right}

и поэтому

представим в виде линейной комбинации чисел

Это соотношение называется соотношением Безу, а коэффициенты

— коэффициентами Безу. Коэффициенты Безу эффективно вычисляются расширенным алгоритмом Евклида. Это утверждение обобщается на наборы натуральных чисел — его смысл в том, что подгруппа группы

, порождённая набором ${a_{1},a_{2},dots ,a_{n}}$

, — циклическая и порождается одним элементом: НОД(a₁, a₂, … , a_n).

Вариации и обобщения[править | править код]

Понятие делимости целых чисел естественно обобщается на произвольные коммутативные кольца, такие, как кольцо многочленов или гауссовы целые числа. Однако, определить НОД(a, b) как наибольший из общих делителей , нельзя, так как в таких кольцах, вообще говоря, не определено отношение порядка. Поэтому в качестве определения НОД берётся его основное свойство:

Наибольшим общим делителем НОД(a, b) называется тот общий делитель, который делится на все остальные общие делители

Для натуральных чисел новое определение эквивалентно старому. Для целых чисел НОД в новом смысле уже не однозначен: противоположное ему число тоже будет НОД. Для гауссовых чисел число различных НОД возрастает до 4.

НОД двух элементов коммутативного кольца, вообще говоря, не обязан существовать. Например, для нижеследующих элементов и кольца не существует наибольшего общего делителя:

a=4=2cdot 2=left(1+{sqrt {-3}}right)left(1-{sqrt {-3}}right),qquad b=left(1+{sqrt {-3}}right)cdot 2.

В евклидовых кольцах наибольший общий делитель всегда существует и определён с точностью до делителей единицы, то есть количество НОД равно числу делителей единицы в кольце.

См. также[править | править код]

Бинарный алгоритм вычисления НОД
Делимость
Алгоритм Евклида
Наименьшее общее кратное

Литература[править | править код]

Виноградов И. М. Основы теории чисел. М.-Л.: Гос. изд. технико-теоретической литературы, 1952, 180 с.

Примечания[править | править код]

↑ Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 3. страница 857

Источник

Рассмотрим два основных метода нахождения НОД двумя основными способами: с использованием алгоритма Евклида и путем разложения на простые множители. Применим оба метода для двух, трех и большего количества чисел.

Алгоритм Евклида для нахождения НОД

Алгоритм Евклида позволяет с легкостью вычислить наибольший общий делитель для двух положительных чисел. Формулировки и доказательство алгоритма Евклида мы привели в разделе «Наибольший общий делитель: определитель, примеры».

Суть алгоритма заключается в том, чтобы последовательно проводить деление с остатком, в ходе которого получается ряд равенств вида:

a=b·q1+r1, 0<r1<bb=r1·q2+r2, 0<r2<r1r1=r2·q3+r3, 0<r3<r2r2=r3·q4+r4, 0<r4<r3⋮rk-2=rk-1·qk+rk, 0<rk<rk-1rk-1=rk·qk+1

Мы можем закончить деление тогда, когда rk+1=0, при этом rk=НОД(a, b).

Пример 1

Найдите наибольший общий делитель чисел 64 и 48.

Решение

Введем обозначения: a=64, b=48.

На основе алгоритма Евклида проведем деление 64 на 48.

Получим 1 и остаток 16. Получается, что q1=1, r1=16.

Вторым шагом разделим 48 на 16, получим 3. То есть q2=3, а r2=0. Таким образом число 16 – это наибольший общий делитель для чисел из условия.

Ответ: НОД(64, 48)=16.

Пример 2

Чему равен НОД чисел 111 и 432?

Решение

Делим 432 на 111. Согласно алгоритму Евклида получаем цепочку равенств 432=111·3+99, 111=99·1+12, 99=12·8+3, 12=3·4.

Таким образом, наибольший общий делитель чисел 111 и 432 – это 3.

Ответ: НОД(111, 432)=3.

Пример 3

Найдите наибольший общий делитель чисел 661 и 113.

Решение

Проведем последовательно деление чисел и получим НОД(661, 113)=1. Это значит, что 661 и 113 – это взаимно простые числа. Мы могли выяснить это до начала вычислений, если бы обратились к таблице простых чисел.

Ответ: НОД(661, 113)=1.

Нахождение НОД с помощью разложения чисел на простые множители

Для того, чтобы найти наибольший общий делитель двух чисел методом разложения на множители, необходимо перемножить все простые множители, которые получаются при разложении этих двух чисел и являются для них общими.

Пример 4

Если мы разложим числа 220 и 600 на простые множители, то получим два произведения: 220=2·2·5·11 и 600=2·2·2·3·5·5. Общими в этих двух произведениях будут множители 2,2 и 5. Это значит, что НОД(220, 600)=2·2·5=20.

Пример 5

Найдите наибольший общий делитель чисел 72 и 96.

Решение

Найдем все простые множители чисел 72 и 96:

72361893122233

96482412631222223

Общими для двух чисел простые множители: 2, 2, 2 и 3. Это значит, что НОД(72, 96)=2·2·2·3=24.

Ответ: НОД(72, 96)=24.

Правило нахождения наибольшего общего делителя двух чисел основано на свойствах наибольшего общего делителя, согласно которому НОД(m·a1, m·b1)=m·НОД(a1, b1), где m– любое целое положительное число.

Нахождение НОД трех и большего количества чисел

Независимо от количества чисел, для которых нам нужно найти НОД, мы будем действовать по одному и тому же алгоритму, который заключается в последовательном нахождении НОД двух чисел. Основан этот алгоритм на применении следующей теоремы: НОД нескольких чисел a1, a2, …, ak равен числу dk, которое находится при последовательном вычислении НОД(a1, a2)=d2, НОД(d2, a3)=d3, НОД(d3, a4)=d4, …, НОД(dk-1, ak)=dk.

Пример 6

Найдите наибольший общий делитель четырех чисел 78, 294, 570 и 36.

Решение

Введем обозначения: a1=78, a2=294, a3=570, a4=36.

Начнем с того, что найдем НОД чисел 78 и 294: d2=НОД(78, 294)=6.

Теперь приступим к нахождению d3=НОД(d2, a3)=НОД(6, 570). Согласно алгоритму Евклида 570=6·95. Это значит, что d3=НОД(6, 570)=6.

Найдем d4=НОД(d3, a4)=НОД(6, 36). 36 делится на 6 без остатка. Это позволяет нам получить d4=НОД(6, 36)=6.

d4=6, то есть, НОД(78, 294, 570, 36)=6.

Ответ: НОД(78, 294, 570, 36)=6.

А теперь давайте рассмотрим еще один способ вычисления НОД для тех и большего количества чисел. Мы можем найти НОД, перемножив все общие простые множители чисел.

Пример 7

Вычислите НОД чисел 78, 294, 570 и 36.

Решение

Произведем разложение данных чисел на простые множители: 78=2·3·13, 294=2·3·7·7, 570=2·3·5·19, 36=2·2·3·3.

Для всех четырех чисел общими простыми множителями будут числа 2 и 3.

Получается, что НОД(78, 294, 570, 36)=2·3=6.

Ответ: НОД(78, 294, 570, 36)=6.

Нахождение НОД отрицательных чисел

Если нам приходится иметь дело с отрицательными числами, то для нахождения наибольшего общего делителя мы можем воспользоваться модулями этих чисел. Мы можем так поступить, зная свойство чисел с противоположными знаками: числа n и -n имеют одинаковые делители.

Пример 8

Найдите НОД отрицательных целых чисел −231 и −140.

Решение

Для выполнения вычислений возьмем модули чисел, данных в условии. Это будут числа 231 и 140. Запишем это кратко: НОД(−231, −140)=НОД(231, 140). Теперь применим алгоритм Евклида для нахождения простых множителей двух чисел: 231=140·1+91; 140=91·1+49; 91=49·1+42; 49=42·1+7 и 42=7·6. Получаем, что НОД(231, 140)=7.

А так как НОД(−231, −140)=НОД(231, 140), то НОД чисел −231 и −140 равен 7.

Ответ: НОД(−231, −140)=7.

Пример 9

Определите НОД трех чисел −585, 81 и −189.

Решение

Заменим отрицательные числа в приведенном перечне на их абсолютные величины, получим НОД(−585, 81, −189)=НОД(585, 81, 189). Затем разложим все данные числа на простые множители: 585=3·3·5·13, 81=3·3·3·3 и 189=3·3·3·7. Общими для трех чисел являются простые множители 3 и 3. Получается , что НОД(585, 81, 189)=НОД(−585, 81, −189)=9.

Ответ: НОД(−585, 81, −189)=9.

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Источник

Наибольшим общим делителем (НОД) двух целых чисел называется наибольший из их общих делителей. К примеру для чисел 12 и 8, наибольшим общим делителем будет 4.

Как найти НОД?

Способов найти НОД несколько. Мы рассмотрим один из часто используемых в математике — это нахождение НОД при помощи разложения чисел на простые множители. В общем случае алгоритм будет выглядеть следующим образом:

разложить оба числа на простые множители (подробнее о разложении чисел на простые множители смотрите тут);
выбрать одинаковые множители, входящие в оба разложения;
найти их произведение.

Примеры нахождения наибольшего общего делителя

Рассмотрим приведенный алгоритм на конкретных примерах:

Пример 1: найти НОД 12 и 8

1. Раскладываем 12 и 8 на простые множители:

2. Выбираем одинаковые множители, которые есть в обоих разложениях. Это: 2 и 2

3. Перемножаем эти множители и получаем: 2 · 2 = 4

Ответ: НОД (8; 12) = 2 · 2 = 4.

Пример 2: найти НОД 75 и 150

Этот пример, как и предыдущий с легкостью можно высчитать в уме и вывести ответ 75, но для лучшего понимания работы алгоритма, проделаем все шаги:

1. Раскладываем 75 и 150 на простые множители:

2. Выбираем одинаковые множители, которые есть в обоих разложениях. Это: 3, 5 и 5

3. Перемножаем эти множители и получаем: 3 · 5 · 5 = 75

Ответ: НОД (75; 150) = 3 · 5 · 5 = 75.

Частный случай или взаимно простые числа

Нередко встречаются ситуации, когда оба числа взаимно простые, т.е. общий делитель равен единице. В этом случае, алгоритм будет выглядеть следующим образом:

Пример 3: найти НОД 9 и 5

1. Раскладываем 5 и 9 на простые множители:

Видим, что одинаковых множителей нет, а значит, что это частный случай (взаимно простые числа). Общий делитель — единица.

Источник

Ответы к учебнику для 6 класса. А. Г. Мерзляк

Переход на главную страницу сайта

Вопросы к параграфу

1. Какое число называют наибольшим общим делителем двух чисел?

Наибольший общий делитель двух чисел (НОД) — это наибольшее число, на которое нацело делятся оба этих числа.

2. Как можно найти НОД двух натуральных чисел, используя их разложения на простые множители?

Чтобы найти наибольший общий делитель (НОД) надо:

Разложить оба числа на простые множители и записать их в виде произведения степеней.

Определить степени, основания которых являются одинаковыми в обоих произведениях.

Выбрать из каждой пары степеней с одинаковыми основаниями степень с меньшим показателем.

Перемножить выбранные степени.

Полученное число и будет НОД двух данных чисел.

Например найдём наибольший общий множитель для чисел 18 и 24, используя данное правило:

1. Разложим оба числа на простые множители и записать их в виде произведения степеней.

2. Определим степени, основания которых являются одинаковыми в обоих произведениях (соответствующие одинаковые основания степеней подчёркнуты линиями зелёного и фиолетового цвета).

3. Выберем из каждой пары степеней с одинаковыми основаниями степень с меньшим показателем.

4. Перемножить выбранные степени.

Значит набольший общий делитель чисел 18 и 24 равен 6.

Ответ: НОД (18, 24) = 6

3. Какие числа называют взаимно простыми?

Взаимно простые — это числа, у которых наибольший общий делитель равен 1.

4. Чему равен наибольший общий делитель двух чисел, одно из которых кратно другому?

Если одно из чисел кратно другому, то наибольшим общим делителем будет меньшее из этих чисел.

Решаем устно

1. Какие из чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 11, 14, 15, 17, 31, 32, 33 являются простыми, а какие — составными?

Простые числа:

1, 2, 3, 5, 11, 17, 31.

Составные числа:

4, 6, 10, 14, 15, 32, 33.

2. Назовите все простые значения х, при которых будет верным неравенство 40 < х < 50.

41, 43, 47, 49.

3. Назовите все составные значения у, при которых будет верным неравенство 15 < у < 25.

19, 18, 20, 21, 22, 24.

4. Какие одинаковые цифры надо поставить вместо звёздочек, чтобы было верным равенство 2,* + 4,* = 7,6?

Надо поставить цифры 8, так как 2,8 + 4,8 = 7,6.

5. Является ли данное разложение на множители разложением на простые множители:

1) 120 = 2 • 3 • 4 • 5

Нет, так как разложение на простые множители записывается в виде степеней, основаниями у которых являются простые числа, а число 4 — составное число.

2) 567 = 7 • 9

Нет, так как разложение на простые множители записывается в виде степеней, основаниями у которых являются простые числа, а число 9 — составное число.

3) 180 = 3 • 6 • 10

Нет, так как разложение на простые множители записывается в виде степеней, основаниями у которых являются простые числа, а числа 6 и 10 — составные.

6. Сколько всего делителей у числа а, если а = 3 • 5 • 19?

Делителями числа являются все возможные произведения его простых делителей, а также единицы:

1
3
3 • 5
3 • 19
3 • 5 • 19
5
5 • 19 = 95

Ответ: у этого числа всего 7 делителей.

Упражнения

138. Найдите наибольший общий делитель чисел:

139. Найдите наибольший общий делитель чисел:

140. Найдите наибольший общий делитель чисел а и b:

1) а = 2 • 2 • 3 • 5 • 7 • 19 и b = 2 • 3 • 3 • 7 • 11 • 13;

НОД(a, b) = 2 • 3 • 7 = 42

2) $a=2^{3}cdot 3^{2}cdot 7^{3}cdot 11^{2}cdot 19$ и $b=2^{2}cdot 3^{5}cdot 11^{2}cdot 19^{3}$

НОД(a, b) = 2² • 3² • 11² • 19 = 4 • 9 • 121 • 19 = 82 764

141. Найдите наибольший общий делитель чисел:

142. Найдите наибольший общий делитель чисел:

143. Среди данных пар чисел выберите пары взаимно простых чисел. Для пар чисел, не являющихся взаимно простыми, укажите наибольший общий делитель.

144. Составьте все пары взаимно простых чисел из чисел 12, 14, 33, 25.

Разложим числа на простые множители:

Взаимно простыми называются числа, у которых наибольший общий множитель равен 1. Значит взаимно простыми будут следующие пары чисел:

12 и 25;
14 и 33;
14 и 25;
33 и 25.

145. Составьте все пары взаимно простых чисел из чисел 15, 16, 21, 77.

Разложим числа на простые множители:

15 и 16;
15 и 77;
16 и 21;
16 и 77.

146. Запишите все правильные дроби со знаменателем 15, у которых числитель и знаменатель — взаимно простые числа.

$frac{1}{15}, frac{2}{15}, frac{4}{15}, frac{7}{15}, frac{8}{15}, frac{11}{15}, frac{13}{15}, frac{14}{15.}$

147. Запишите все неправильные дроби с числителем 16, у которых числитель и знаменатель — взаимно простые числа.

$frac{16}{1}, frac{16}{3}, frac{16}{5}, frac{16}{7}, frac{16}{9}, frac{16}{11}, frac{16}{13}, frac{16}{15}.$

148. Докажите, что:

1) числа 364 и 495 — взаимно простые

Числа 364 и 495 не имеют общих множителей, больших 1.

2) числа 380 и 399 не являются взаимно простыми

Числа 380 и 399 имеют общий множитель больший, чем 1. Это число 19. Значит они не являются взаимно простыми числами.

149. Докажите, что:

1) числа 945 и 572 — взаимно простые

Числа 945 и 572 не имеют общих множителей, больших 1.

2) числа 1 095 и 738 не являются взаимно простыми

Числа 1 095 и 738 имеют общий множитель больший, чем 1. Это число 3. Значит они не являются взаимно простыми числами.

150. Используя цифры 2, 3, 4, запишите все возможные двузначные числа (цифры в каждом двузначном числе должны быть различными). Из полученных чисел выпишите пары взаимно простых чисел.

Из цифр 2, 3, 4 можно записать двузначные числа (если цифры ы каждом различны):

23, 24,
32, 34,
42, 43.

Из них взаимно простыми будут пары чисел:

23 и 24;
23 и 32;
23 и 34;
23 и 42;
23 и 43;
43 и 24;
43 и 32;
43 и 34;
43 и 42.

Так как 223 и 43 — простые числа, а остальные числа чётные — значит между собой не могут быть взаимно простыми.

151. Напишите три нары составных чисел такие, что в парах числа являются взаимно простыми.

Например, такими числами могут быть:

16 и 25;
80 и 81;
28 и 333.

152. Между учениками 6 класса поделили поровну 155 тетрадей и 62 ручки. Сколько в этом классе учеников?

Разложим числа 155 и 62 на простые множители:

Наибольший общий делитель для этих чисел равен 31: НОД (155, 62) = 31.

Значит в классе 31 ученик.

Ответ: 31 ученик.

153. На автомобили погрузили 96 контейнеров с картофелем и 64 контейнера с капустой. Сколько было автомобилей, если известно, что их не меньше 20 и на всех автомобилях было одинаковое количество контейнеров с картофелем и одинаковое количество контейнеров с капустой?

1) Найдём все общие делители для чисел 96 и 64:

2) Значит общими делителями для чисел 96 и 64 могут быть числа:

3) Из чисел 2, 4, 8, 16 и 32 только число 32 > 20. Значит всего могло быть только 32 автомобиля.

Ответ: 32 автомобиля.

154. Между школьными библиотеками разделили 92 толковых и 138 орфографических словарей русского языка. Сколько было школ, если известно, что их не менее 25 и все школы получили одинаковые комплекты, состоящие из словарей двух видов?

1) Найдём все общие делители для чисел 92 и 138:

2) Значит общими делителями для чисел 92 и 138 могут быть числа:

2
23
2 • 23 = 46

3) Из чисел 2, 23 и 46 только число 46 > 25. Значит всего могло быть только 46 школ.

Ответ: 46 школ.

155. Для новогодних подарков приобрели 96 шоколадок, 72 апельсина и 84 банана. Какое наибольшее количество одинаковых подарков можно из них составить, если необходимо использовать все продукты? Сколько в отдельности шоколадок, апельсинов и бананов будет в каждом подарке?

1) Найдём наибольший общий делитель (НОД) для чисел 96, 72 и 84:

Значит наибольшее количество подарков, которые можно сформировать из всех продуктов, будет 12 штук.

2) Посчитаем, сколько шоколадок, апельсинов и бананов будет в каждом подарке:

96 : 12 = 8 (шт.) — шоколадок будет в каждом подарке.
72 : 12 = 6 (шт.) — апельсинов будет в каждом подарке.
84 : 12 = 7 (шт.) — бананов будет в каждом подарке.

Ответ: Всего получиться 12 подарков, в каждом подарке будет по: 8 шоколадок, 6 апельсинов и 7 бананов.

156. Из 156 жёлтых, 234 белых и 390 красных роз составляли букеты. Какое наибольшее количество одинаковых букетов можно составить, если необходимо использовать все цветы?

Найдём наибольший общий делитель (НОД) для чисел 156, 234 и 390:

Значит наибольшее количество букетов, которые можно составить, если необходимо использовать все цветы — 78 штук.

Ответ: 78 букетов.

Упражнения для повторения

157. Используя цифры 2, 5 и 9 (цифры не могут повторяться), запишите трехзначное число, которое:

1) кратно 2

952 или 892 — чтобы число было кратно 2, на конце должна быть чётная цифра.

2) кратно 5

295 или 925 — чтобы число было кратно 5, а конце должна быть цифра 5 или 0, но среди заданных цифр нуля нет.

Можно ли с помощью этих цифр записать число, кратное 3

Чтобы число делилось на 3 надо, чтобы сумма его цифр делилась на 3.

2 + 5 + 9 = 7 + 9 = 16 — не делится на 3, значит ни одно трёхзначное число, составленное из этих цифр, не будет делится на 3.

158. Какую цифру можно поставить вместо звёздочки в записи 1*8, чтобы полученное число делилось нацело на 18?

Чтобы число делилось на 18 надо, чтобы число было чётным и сумма его цифр делилась на 9. Проверим последовательно все возможные варианты цифр на месте звёздочки:

если вместо звёздочки поставить 0, то получим чётное число 108, а 1 + 8 = 9 делится на 9 — значит на месте звёздочки может быть цифра 0;
если вместо звёздочки поставить 1, то получим чётное число 118, а 1 + 1 + 8 = 10 не делится на 9 — значит на месте звёздочки не может быть цифра 1;
если вместо звёздочки поставить 2, то получим чётное число 128, а 1 + 2 + 8 = 11 не делится на 9 — значит на месте звёздочки не может быть цифра 2;
если вместо звёздочки поставить 3, то получим чётное число 138, а 1 + 3 + 8 = 12 не делится на 9 — значит на месте звёздочки не может быть цифра 3;
если вместо звёздочки поставить 4, то получим чётное число 148, а 1 + 4 + 8 = 13 не делится на 9 — значит на месте звёздочки не может быть цифра 4;
если вместо звёздочки поставить 5, то получим чётное число 158, а 1 + 5 + 8 = 14 не делится на 9 — значит на месте звёздочки не может быть цифра 5;
если вместо звёздочки поставить 6, то получим чётное число 168, а 1 + 6 + 8 = 15 не делится на 9 — значит на месте звёздочки не может быть цифра 6;
если вместо звёздочки поставить 7, то получим чётное число 178, а 1 + 7 + 8 = 16 не делится на 9 — значит на месте звёздочки не может быть цифра 7;
если вместо звёздочки поставить 8, то получим чётное число 188, а 1 + 8+ 8 = 17 не делится на 9 — значит на месте звёздочки не может быть цифра 8;
если вместо звёздочки поставить 9, то получим чётное число 198, а 1 + 9 + 8 = 18 делится на 9 — значит на месте звёздочки может быть цифра 9.

Ответ: вместо звездочки можно поставить цифру 0 или 9.

159. Запишите число 19 в виде суммы трёх простых чисел.

19 = 3 + 5 + 11

160. Если к некоторому двузначному числу справа дописать нуль, то данное число увеличится на 432. Найдите это число.

Пусть х — искомое двузначное число, тогда 10х — число, которое получиться из искомого, если справа к нему дописать нуль. Мы знаем, что 10х на 432 больше, чем х. Можем составить уравнение:

Значит искомое число равно 48.

Ответ: 48.

161. Найдите числа, которых недостаёт в цепочке вычислений:

Составим уравнения и решим их:

Ответ: a = 0,05; b = 0,34; c = 0,04.

Составим уравнения и решим их:

Ответ: a = 1,5; x = 0,4; y = 0,05.

Задача от мудрой совы

162. Барон Мюнхгаузен рассказывал, что он разрезал арбуз на четыре части, а после того, как его съели, осталось пять корок. Может ли такое быть, если корки не ломать?

Да, это возможно. Для того, чтобы разрезать арбуз на 4 части, а потом получить 5 корок, надо:

вырезать сердцевину арбуза, например в виде цилиндра (на рисунке обозначено красными линиями), чтобы после того, как этот кусок будет съеден, осталось 2 корки — верхняя и нижняя;
разрезать оставшуюся часть арбуза ещё на 3 части (на рисунке линии разрезов обозначены синим).

Итого получиться:

4 куска — 1 центральный и 3 боковых
5 корок — верхняя, нижняя и 3 боковых.

Ответ: да, это возможно.

Ответы к учебнику для 6 класса. А. Г. Мерзляк

Переход на главную страницу сайта

Источник

Цикл статей “Дроби”

Другие статьи автора:

Цикл статей “Дроби”

Связанные определения[править | править код]

Наименьшее общее кратное[править | править код]

Взаимно простые числа[править | править код]

Способы вычисления[править | править код]

Свойства[править | править код]

Вариации и обобщения[править | править код]

См. также[править | править код]

Литература[править | править код]

Примечания[править | править код]

Алгоритм Евклида для нахождения НОД

Нахождение НОД с помощью разложения чисел на простые множители

Нахождение НОД трех и большего количества чисел

Нахождение НОД отрицательных чисел

Как найти НОД?

Примеры нахождения наибольшего общего делителя

Частный случай или взаимно простые числа

Вопросы к параграфу

Решаем устно

Упражнения

Упражнения для повторения

Задача от мудрой совы

Вам также может понравиться

Как найти массу при падении имея скорость

Как найти объем данных формула

Как найти свой стиль музыки

Добавить комментарий Отменить ответ