Как можно найти период колебаний формула

Период
Размерность	T
Единицы измерения
СИ	с

Пери́од колеба́ний — наименьший промежуток времени, за который система совершает одно полное колебание (то есть возвращается в то же состояние^[1], в котором она находилась в первоначальный момент, выбранный произвольно).

В принципе совпадает с математическим понятием периода функции, но имея в виду под функцией зависимость физической величины, совершающей колебания, от времени.

Это понятие в таком виде применимо как к гармоническим, так и к ангармоническим строго периодическим колебаниям (а приближенно — с тем или иным успехом — и непериодическим колебаниям, по крайней мере к близким к периодичности).

В случае, когда речь идет о колебаниях гармонического осциллятора с затуханием, под периодом понимается период его осциллирующей составляющей (игнорируя затухание), который совпадает с удвоенным временным промежутком между ближайшими прохождениями колеблющейся величины через ноль. В принципе, это определение может быть с большей или меньшей точностью и пользой распространено в некотором обобщении и на затухающие колебания с другими свойствами.

Обозначения: обычное стандартное обозначение периода колебаний: (хотя могут применяться и другие, наиболее часто это , иногда и т. д.).

Единицы измерения: секунда и, в принципе, вообще единицы измерения времени.

Период колебаний связан соотношением взаимной обратности с частотой:

Для волновых процессов период связан кроме того очевидным образом с длиной волны

где  — скорость распространения волны (точнее^[2] — фазовая скорость).

В квантовой физике период колебаний прямо связан с энергией (поскольку в квантовой физике энергия объекта — например, частицы — есть частота^[3] колебаний его волновой функции).

Теоретическое вычисление периода колебаний той или иной физической системы сводится, как правило, к нахождению решения динамических уравнений (уравнения), описывающего эту систему. Для категории линейных систем (а приближенно — и для линеаризуемых систем в линейном приближении, которое зачастую является очень хорошим) существуют стандартные сравнительно простые математические методы, позволяющие это сделать (если известны сами физические уравнения, описывающие систему).

Для экспериментального определения периода используются часы, секундомеры, частотомеры, стробоскопы, строботахометры, осциллографы. Также применяются биения, метод гетеродинирования в разных видах, используется принцип резонанса. Для волн можно померить период косвенно — через длину волны, для чего применяются интерферометры, дифракционные решётки итп. Иногда требуются и изощренные методы, специально разработанные для конкретного трудного случая (трудность могут представлять как само измерение времени, особенно если речь идет о предельно малых или наоборот очень больших временах, так и трудности наблюдения колеблющейся величины).

Периоды колебаний в природе[править | править код]

Представление о периодах колебаний различных физических процессов дает статья Частотные интервалы (учитывая то, что период в секундах есть обратная величина частоты в герцах).

Некоторое представление о величинах периодов различных физических процессов также может дать шкала частот электромагнитных колебаний (см. Электромагнитный спектр) .

Периоды колебаний слышимого человеком звука находятся в диапазоне

от 5·10⁻⁵с до 0,2с

(четкие границы его несколько условны).

Периоды электромагнитных колебаний, соответствующих разным цветам видимого света — в диапазоне

от 1,1·10⁻¹⁵с до 2,3·10⁻¹⁵с.

Поскольку при экстремально больших и экстремально маленьких периодах колебаний методы измерения имеют тенденцию становятся всё более косвенными (вплоть до плавного перетекания в теоретические экстраполяции), трудно назвать четкую верхнюю и нижнюю границы для периода колебаний, измеренного непосредственно. Какую-то оценку для верхней границы может дать время существования современной науки (сотни лет), а для нижней — период колебаний волновой функции самой тяжелой из известных сейчас частиц.

В любом случае границей снизу может служить планковское время, которое столь мало, что по современным представлениям не только вряд ли может быть вообще как-то физически измерено^[4], но и вряд ли в более-менее обозримом будущем представляется возможность приблизиться к измерению величин даже намного порядков больших, а границей сверху — время существования Вселенной — более десяти миллиардов лет.

Периоды колебаний простейших физических систем[править | править код]

Пружинный маятник[править | править код]

Период колебаний пружинного маятника может быть вычислен по следующей формуле:

,

где  — масса груза,  — жёсткость пружины.

Математический маятник[править | править код]

Период малых колебаний математического маятника:

где  — длина подвеса (к примеру, нити),  — ускорение свободного падения. Отсюда видно, что период колебаний маятника зависит только от длины подвеса и ничего более.

Период малых колебаний (на Земле) математического маятника длиной 1 метр с хорошей точностью^[5] равен 2 секундам.

Физический маятник[править | править код]

Период малых колебаний физического маятника:

где  — момент инерции маятника относительно оси вращения,  — масса маятника,  — расстояние от оси вращения до центра масс.

Крутильный маятник[править | править код]

Период колебаний крутильного маятника:

где  — момент инерции маятника относительно оси кручения, а  — вращательный коэффициент жёсткости маятника.

Электрический колебательный (LC) контур[править | править код]

Период колебаний электрического колебательного контура (формула Томсона):

,

где  — индуктивность катушки,  — ёмкость конденсатора.

Эту формулу вывел в 1853 году английский физик Уильям Томсон.

Примечания[править | править код]

Ссылки[править | править код]

• [bse.sci-lib.com/article088257.html Период колебаний] — статья из Большой советской энциклопедии

Некоторые внешние ссылки в этой статье ведут на сайты, занесённые в спам-лист. Эти сайты могут нарушать авторские права, быть признаны неавторитетными источниками или по другим причинам быть запрещены в Википедии. Редакторам следует заменить такие ссылки ссылками на соответствующие правилам сайты или библиографическими ссылками на печатные источники либо удалить их (возможно, вместе с подтверждаемым ими содержимым). Список проблемных ссылок bse.sci-lib.com/article088257.html

Что такое колебательный процесс 

Колебания — это движения или процессы, которые повторяются с определенным интервалом времени.

Систему, совершающую колебания, называют колебательной системой или осциллятором.

Исходя из физической природы, колебательные процессы бывают механического, электромагнитного и других видов.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Свободные или собственные колебания — колебания, которые наблюдают в системе, предоставленной себе после выведения из равновесного состояния.

Вынужденными колебаниями называют колебания, происходящие под действием внешней силы, изменяющейся периодически.

При механических колебаниях, которые относят к категории вынужденных:

(F=F_{0}cos cot)

Гармоническими колебаниями называют колебания, определяемые физической величиной, которая изменяется, согласно закону синуса или косинуса.

Разные периодические процессы, повторяющиеся в течение равных временных интервалов, могут быть записаны в виде суммы или суперпозиции гармонических колебаний.

Определение периода колебаний, формула

Колебательный процесс можно представить в виде уравнения. Тогда гармоническое колебание значения х будет представлено следующей формулой:

(x(t)=Atimes cos left(omega _{0}t+phi _{0} right))

Где (x(t)) является отклонением колеблющейся физической величины от равновесного значения;

А представляет собой амплитуду гармонических колебаний;

(omega _{0}) равно циклической или круговой частоте колебаний;

(phi _{0}) является начальной фазой колебаний, характерной для момента времени t=0, что можно определить с помощью выбора начала отсчета времени;

(cp(t)=(co_{0}t+cp_{0})) описывает фазу колебаний в момент времени t, определяется в радианах, соответствует значению колеблющейся величины в данное время.

В случае, когда имеется какая-либо материальная точка с массой m, характеристика х будет соответствовать смещению тела из равновесного положения. Следует заметить, что амплитуда и частота гармонических колебаний обладают постоянными значениями. Исходя из того, что cos меняет значение в интервале от +1 до -1, параметр х будет изменяться от +А до –А. Так как:

(cos left(alpha +2pi right)=cos alpha,)

то х остается без изменений при фазе колебаний, получающей приращение в $$2pi$$

Период колебаний Т представляет собой минимальный временной интервал, в течение которого колебательная система возвращается в то состояние, в котором она находилась в начальный момент времени, определенный произвольно.

В этом случае фаза будет увеличена на (2pi:)

(omega _{0}(t+T)+phi _{0}=left(omega _{0}t+phi _{0} right)+2pi)

Из данного равенства можно вычислить период колебаний:

(T=frac{2pi }{omega _{0}})

Частота колебаний v является величиной, которая обратна периоду колебаний. Это количество полных колебаний, выполняемых за единицу времени:

(v=frac{omega _{0}}{2pi})

 

На графике изображены гармонические колебания, где а — зависимость смещения х от времени /, б — зависимость скорости vx от времени С, в — зависимость ускорения ах от времени t.

Единицей частоты в СИ является герц (Гц). Это частота периодического периода, в котором в течение 1 секунды выполняется одно полное колебание.

Можно представить, что материальная точка совершает прямолинейные гармонические колебания, относительно оси Х около равновесного положения, которое является началом отсчета координат. Так как движения частицы колебательные, ей присуще скорость и ускорение. Характеристики данного процесса будут записаны таким образом:

Смещение (x=Atimes cos left(omega _{0}t+phi _{0} right))

Скорость (v_{x}=dot{x}=-Aomega _{0}times sin left(omega _{0} t+phi_{0} right)=Aomega _{0}times cos left(omega _{0} t+phi_{0} +frac{pi }{2}right))

Ускорение

(a_{x}=dot{v_{x}}=ddot{x}=-Aomega _{0}times cos left(omega _{0} t+phi_{0} right)=Aomega _{0}^{2}times cos left(omega _{0} t+phi_{0} +pi right))

Как найти период для физического маятника

В случае, когда углы отклонения (varphi) небольшие, физический маятник будет совершать гармонические колебания. Можно считать его вес, приложенным к центру тяжести в точке С. Сила возврата маятника в равновесное положение является составляющей силы тяжести — сила F:

(F=mgtimes sin varphi)

Отрицательное значение правой части уравнения означает, что сила F ориентирована по направлению уменьшения угла (alpha)

Учитывая малый угол (varphi) уравнение можно записать в следующем виде:

(F=mgtimesvarphi)

С помощью основного уравнения динамики, описывающее вращательное движение, можно вывести закон движения физического маятника:

(J=ml^{2})

При условии невозможности определения момента силы в явном виде, дифференциальное уравнение колебаний физического маятника будет записано в такой форме:

(frac{d^{2}varphi }{dt^{2}}+frac{mgl}{J}varphi =0)

В результате сравнения полученного выражения и уравнения гармонических колебаний, получим:

(alpha _{x}(t)+omega ^{2}x(t)=0)

Таким образом, получается, что формула циклической частоты пружинного маятника имеет следующий вид:

(omega =sqrt{frac{mgl}{J}})

В таком случае для расчета периода колебаний математического маятника будет использоваться формула:

(T =frac{2pi }{omega }=2pi sqrt{frac{J}{mgl}})

Исходя из расчетов, можно сделать следующие выводы:

1. Период пружинного маятника (T =2pi sqrt{frac{m}{k}})
2. Период математического маятника (T =2pi sqrt{frac{L}{g}})
3. Период крутильного маятника (T =2pi sqrt{frac{I}{K}})

В приведенных формулах:

• T — период физического маятника;
• J — момент силы маятника относительно оси вращения;
• l — расстояние от оси вращения до центра масс;
• m — масса маятника;
• g=9.8 — ускорение свободного падения.

Примеры решений

Решение

(T =frac{t}{N}=frac{120}{60}=2)

(V=frac{1}{T}=frac{1}{2}=0.5)

Ответ: период колебаний маятника равен 2 секундам, а частота составляет 0,5 Гц.

 

Решение

А = 20

Т = 0,8

(V=frac{1}{T}=frac{1}{0,8}=1,25)

(x(t)=Asin 2pi Vt=0.2sin 2pi times 1.25t=0.2sin 2.5pi t)

Ответ: амплитуда колебаний маятника составляет 0,2 метра, период колебаний соответствует 0,8 с, частота колебаний равна 1,25 Гц, уравнение координаты будет записано в следующем виде: (x(t)=0.2sin 2.5pi t)

Решение

Период колебаний математического маятника рассчитывается по формуле:

(T =2pi sqrt{frac{L}{g}})

Согласно определению:

(V=frac{1}{T})

Тогда:

(T=frac{1}{V})

Получим равенство:

(frac{1}{V}=2pi sqrt{frac{l}{g}})

Для того чтобы выразить длину маятника, необходимо возвести обе части равенства в квадрат:

(frac{1}{V^{2}}=4pi ^{2}times frac{l}{g}Rightarrow l=frac{g}{4pi ^{2}V^{2}})

(l=frac{1.5}{4*3.14 ^{2}*0.5^{2}}approx 0.16)

Ответ: длина математического маятника примерно составляет 0,16 метра.

Период и частота колебаний, теория и онлайн калькуляторы

Период и частота колебаний

Период колебаний

За время равное периоду колебаний фаза изменяется на величину равную $2pi $, поэтому:

[T=frac{2pi }{{omega }_0}left(1right).]

Разные периодические процессы, (процессы, повторяющиеся через равные промежутки времени) можно представить в виде совокупности наложенных гармонических колебаний.

Гармонические колебания некоторого параметра $xi $ описываются уравнением:

[xi =A{cos ({omega }_0t+varphi ) } left(2right),]

где $A={xi }_{max}$ – амплитуда колебаний; ${omega }_0$ – циклическая (круговая) частота колебаний; $varphi $ – начальная фаза колебаний (фаза при $t=0$); $({omega }_0t+varphi )$ –
фаза колебаний. Величина $xi $ лежит в пределах $-Ale sle $+A.

Формулы для вычисления периода простейших колебательных систем

Период колебаний пружинного маятника определим как:

[T=2pi sqrt{frac{m}{k}} left(3right),]

на упругой пружине, жесткость которой равна $k,$ подвешен груз массой $m$.

Период колебаний математического маятника зависит от ускорения свободного падения ($g$) и длины подвеса ($l$)

[T=2pi sqrt{frac{l}{g}}left(4right).]

Формула для вычисления периода колебаний физического маятника представляет собой выражение:

[T=2pi sqrt{frac{J}{mga}left(5right),}]

где $J$ – момент инерции маятника относительно оси вращения; $a$ – расстояние от центра масс тела до оси вращения.

Единицами измерения периода служат единицы времени, например секунды.

[left[Tright]=c.]

Частота колебаний

Частота – это количество полных колебаний, которые колебательная система совершает за единицу времени.

[nu =frac{1}{T}left(6right).]

Частота колебаний связана с циклической частотой как:

[{omega }_0=2pi nu left(7right).]

Единицей измерения частоты в Международной системе единиц (СИ) является герц или обратная секунда:

[left[nu right]=с^{-1}=Гц.]

Примеры задач с решением

Читать дальше: полная энергия колебаний.

Период колебаний, формула

Повторяющиеся движения или процессы, которые воспроизводят все состояния предыдущего цикла являются периодическими.
Одной из характеристик периодических процессов или колебаний является период.

Период колебаний — Это время за которое периодический процесс проходит полностью один цикл.

Для того чтобы найти период колебаний, необходимо взять определенный временной интервал и подсчитать количество циклов, после чего воспользоваться формулой:

Если

то

[ T = frac{∆t}{N} = frac{1}{f} ]

Пример определения периода колебаний

Например возьмем кусочек пластилина и подвесим его на нитке.
Отведем нитку от положения равновесия и отпустим. На сотовом телефоне в момент отпускания запустим секундомер.
Отсчитаем 10 циклов, т.е. нить 10 раз вернется в ту же точку из которой мы ее отпустили.
Секундомер показал 14.35 секунд, соответственно приблизительный период колебаний нити 1.435 секунд.

Вычислить, найти период колебаний по формуле 1

Как найти период колебаний зная частоту

Период колебаний, формула	стр. 533

Период колебаний можно найти как

$T = frac{t}{n}$,

где $t$ – время всех колебаний, $n$ – их количество.

Закономерности, связанные с колебаниями, удобно изучать с помощью модели движущегося в горизонтальной плоскости пружинного маятника, поскольку внутри такой системы действует всего одна сила – сила упругости пружины (ее весом и силами сопротивления среды можно пренебречь). Такое устройство относится к т.н. линейным гармоническим осцилляторам – системам, графиком зависимости скорости тела от времени для которых является синусоида.

Функция силы от времени, действующая в пружинном маятнике, может быть выражена как:

$F(t) = m cdot a (t) = -m cdot omega^2 cdot x$ (t), где:

• $m$ – масса,
• $a$ – ускорение,
• $omega$ – круговая частота гармонических колебаний,
• $x$ – приращение длины в данный момент времени.

Сила упругости зависит лишь от коэффициента упругости пружины и растяжения пружины:

$F_{упр} = -k cdot x$

Объединив эти две формулы, получим:

$m cdot a = -kx = m cdot omega_0^2 cdot x$,

Величина $omega_0$ называется собственной частотой колебательной пружинного маятника. Ее можно выразить, исходя из вышеизложенного, как

$omega_0 = sqrtfrac{k}{m}$.

Период колебаний связан с собственной частотой отношением

$T = frac{2pi}{omega_0}$,

где $2pi$ – длина одного цикла, выраженная в радианах. Из этого можно выразить период как зависимость от массы и упругости:

$T = 2pi cdot sqrtfrac{m}{k}$.

Для других колебательных систем класса гармонических осцилляторов (математического маятника, крутильного маятника) периоды колебаний находятся аналогично. Различаются лишь системы сил, действующие на тело. Так, период колебаний математического маятника зависит (при небольших углах отклонения от вертикали) от длины подвеса.