Правильный треугольник. Площадь правильного треугольника
Правильный треугольник — треугольник, у которого все стороны равны. Каждый угол правильного треугольника равен 
градусов.
Правильный треугольник называют еще равносторонним.
Каждая из высот правильного треугольника является также его медианой и биссектрисой.
Центры вписанной и описанной окружностей правильного треугольника совпадают.
Пусть сторона правильного треугольника равна 
.
Высота правильного треугольника: 
Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник: 
Радиус описанной окружности в два раза больше: 
Площадь правильного треугольника: 
Все эти формулы легко доказать. Если вы нацелены на решение задач части 
— докажите их самостоятельно.
. Сторона правильного треугольника равна 
. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.
Задача решается в одну строчку. Радиус вписанной окружности 
.
. Найдите радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, высота которого равна 
.
Сравним формулы для высоты правильного треугольника и радиуса вписанной окружности. Очевидно, радиус вписанной окружности равен 
высоты.
Ответ: .
. Сторона правильного треугольника равна . Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
Радиус окружности, описанной вокруг правильного треугольника, равен 
.
Ответ: .
Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Правильный треугольник. Площадь правильного треугольника» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.
Публикация обновлена:
08.05.2023
Содержание:
- Формула
- Примеры вычисления площади равностороннего треугольника
Формула
Чтобы найти площадь равностороннего треугольника (рис. 1), нужно квадрат его стороны умножить на
$sqrt{3}$ и поделить на четыре, то есть
$$mathrm{S}_{Delta}=frac{a^{2} sqrt{3}}{4}$$
Эту формулу легко получить из общей
формулы для площади треугольника
$$mathrm{S}_{Delta A B C}=frac{1}{2} a b sin alpha$$
при условии, что $a=b$ (так как треугольник равносторонний) и
$alpha=60^{circ}$ (угол равностороннего треугольника).
Напомним, что треугольник называется равносторонним, если все его стороны равны.
Примеры вычисления площади равностороннего треугольника
Пример
Задание. Найти площадь равностороннего треугольника
$ABC$, если известно, что его сторона равна 2 дм.
Решение. Подставив заданное значение в формулу, будем иметь:
$mathrm{S}_{Delta A B C}=frac{2^{2} cdot sqrt{3}}{4}=frac{4 cdot sqrt{3}}{4}=sqrt{3}$ (дм2)
Ответ. $mathrm{S}_{Delta A B C}=sqrt{3}$ (дм2)
236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 396 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!
Пример
Задание. Найти площадь равностороннего треугольника
$ABC$, если его высота равна 3 м.
Решение. Сделаем чертеж (рис. 2).
Так треугольник равносторонний, то его высота $BH$ является и
медианой, а это означает, что $AH=HC$ .
Пусть $HC=x$, тогда $AC=2HC=2x=BC$. Рассмотрим прямоугольный треугольник
$BHC$. Записываем для него теорему Пифагора:
$$B C^{2}=B H^{2}+H C^{2}$$
$$(2 x)^{2}=2^{2}+x^{2}$$
Решаем полученное уравнение относительно $x$ :
$4 x^{2}-x^{2}=9 Rightarrow 3 x^{2}=9 Rightarrow x^{2}=3 Rightarrow H C=x=sqrt{3}$ (м)
Отсюда получаем, что
$A C=2 x=2 sqrt{3}$ (м)
А тогда искомая площадь
$mathrm{S}_{Delta A B C}=frac{(2 sqrt{3})^{2} cdot sqrt{3}}{4}=frac{12 sqrt{3}}{4}=3 sqrt{3}$ (м2)
Ответ. $mathrm{S}_{Delta A B C}=3 sqrt{3}$ (м2)
Остались вопросы?
Здесь вы найдете ответы.
Как можно вычислить площадь равсностороннего треугольника?
Согласно формуле, по которой вычисляется площадь S треугольника с равными
сторонами, она равна:
S = √3/4*а, в которой а – это длина стороны фигуры.
Площадь можно также найти следующим образом:
S = a*h/2, где h – это высота.
Высоту можно вычислить, используя теорему Пифагора:
h = а² – (а/2)².
Как можно рассчитать площадь равностороннего треугольника, если известно,
что площадь треугольной фигуры, отсекаемой от него средней линией,
составляет 6 см. кв.?
Обозначим имеющийся треугольник с равными сторонами как АВС. Обозначим
длину стороны как а, и получим, что АВ=ВС=АС=а. Среднюю линию обозначим
как МК. Тогда Sмвк = 6 см. кв.
В случае с равносторонним треугольником:
S = а²√3/4
Зная свойство средней линии треугольника, можно записать следующее
равенство:
МК = АС/2 = а/2.
В этом случае площадь отсекаемого треугольника равна:
Sмвк = (а/2)²*√3/4 = а²√3/16 см.кв.
В условии дано, что Sмвк = 6 см.кв., тогда:
а²√3/16 = 6
а² = 96/√3.
Площадь равностороннего треугольника:
S = а²√3/4 = (96√3)/(4√3) = 96/4 =24 см.кв.
Как можно вычислить площадь равностороннего треугольника при условии, что
его периметр составляет 24 см.?
Найдем сторону равносторонней треугольной фигуры, разделив его периметр на
3:
а = 24:3 = 8 см.
Тогда площадь этой фигуры равна:
S =1/2a²sin 60° = 1/2*64*√3/2 = 16√3 см.кв.
Что представляет собой формула площади равностороннего треугольника?
Обозначив одну из сторон равносторонней треугольной фигуры как а, а
высоту, проведенную к ней, – как h, то формула расчета площади этой фигуры
будет выглядеть так:
S=ah/2.
Принимая во внимание то, что все стороны данной треугольной фигуры равны,
то его высоту можно выразить через сторону и вычислить, используя теорему
Пифагора:
h² = а²-(а/2)² = h² = а²- а²/4 = 3а²/4
h = (а√3)/2
Тогда площадь данной фигуры равна:
S = ½ a* h = ½ a*(а√3)/2 = (a²√3)/4
Как выразить длину стороны а из формулы площади равностороннего
треугольника?
Для расчета площади треугольника, длины всех сторон которого равны,
используется формула:
S=a²√3/4
Перенесем 4 в правую часть равенства:
4S=a²√3.
Тогда:
a² = 4S/√3
а = √4S/√3.
Какая формула используется для вычисления площади равностороннего
треугольника с длиной стороны а?
Если известно, что сторона равносторонней треугольной фигуры равна а, то
его площадь рассчитывается так:
S = а²√3/4.
Каким образом можно привести доказательство теоремы о площади
равностороннего треугольника?
Треугольник имеет два катета – АВ и ВС. Его гипотенуза – ВС. Так как
фигура является равносторонней, то АВ = АС.
Требуется доказать, что площадь треугольной фигуры, стороны которой
одинаковы, равна произведению длин его катетов, разделенному на два.
Превратим имеющийся треугольник в квадрат, проведя перпендикуляр из его
углов, и получим что:
ΔВАС = ΔВСD.
Площадь квадрата равна:
S = а*b.
Диагональ квадрата ВС является гипотенузой треугольника, которая делит
квадрат на 2 равные части. Из этого следует, что площадь треугольника
равна половине площади квадрата. Что и требовалось доказать.
Как вычислить площадь равностороннего треугольника со стороной длиной 9 см.?
Имеется треугольник АВС с равным сторонами.
ВН = 9 см.
Площадь данной фигуры находится по формуле:
S=1/2*АС*ВН,
в которой АС – основание треугольной фигуре, по длине равное любой из
сторон (равносторонний Δ), ВН – высота.
Предположим, что АС = 2а см. Тогда:
АН = АС/2 = ½*2а = а см.
Согласно теореме Пифагора:
АВ² = ВН²+АН².
В данном случае:
(2а)² = 9²+а²
Переносим а² в правую часть уравнения:
4а²-а² = 81
Упрощаем:
3а² = 81.
Отсюда:
а² = 81/3 = 27
а=√27=√9×3=3√3 см.
Теперь можно найти площадь:
S=1/2*9*3√3=1/2*27/√3=27√3/2=13,5√3 см.кв.
Какому числу равна площадь равностороннего треугольника с основанием длиной
6 см.?
Известна формула расчета площади треугольника:
S=1/2*h*b.
Проведем высоту h, которая в равностороннем треугольнике представляет
собой также биссектрису и медиану.
Воспользуемся теоремой Пифагора для вычисления высоты:
h = √(36-9) = √27 см.
Тогда:
S = h*3 = 3√27 см.кв.
Возможно ли привести доказательство того, что площадь равностороннего
треугольника равна √3*a²/4, в которой длина его стороны обозначена как а?
Доказать, что приведенное в задании утверждение является верным, можно,
если превратить имеющуюся треугольную фигуру в параллелограмм/, площадь
которого равна произведению длины стороны и высоты.
Параллелограмм состоит из двух треугольников, которые равны. Это значит,
что площадь одной из треугольных фигур находится так:
S = a*h /2.
Высоту можно выразить через определение синуса.
Все углы в равносторонней треугольной фигуре равны и составляют 60
градусов (180/3).
sin(60) = V3/2.
Из определения синуса следует:
h/a = sin(60).
Это значит, что:
h = a*V3/2.
Значит:
S = a*a*V3/4.
Почему площадь равностороннего треугольника равна a^2√3/4?
Известно, что площадь любого треугольника можно найти по формуле:
S = 1/2*a*b*sinA,
в которой стороны треугольника обозначены как а и b, а угол, образованный
ими, – как А.
Доказано, что каждый угол равносторонней треугольной фигуры составляют 60
градусов (sin60 =sqrt(3)/2), а его стороны имеют одинаковые длины. Если
подставить эти значения в формулу, то получим:
S = a22√3/4.
Как найти площадь равностороннего треугольника при условии, что длина каждой
его стороны составляет 12 см.?
Площадь треугольника с равными сторонами вычисляется по формуле:
S = √3/4*a².
В данном случае:
S= √3/4*12²= √3*144 /4*1 = 36√3 ≈ 62,35 см.кв.
Согласно формуле Герона:
S = √(р(р-а)(р-a)(p-a))
Для данного треугольника:
Р = 12*3 = 36 см.
Р = р/2 = 36/2 = 18 см.
Тогда:
S = √ (18× (18-12)³) = √(18*6³) = √(18×216)=√3888 ≈ 62,35 см. кв.
Как вычислить площадь правильного равностороннего треугольника, зная радиус
круга R?
Площадь треугольника с одинаковыми сторонами считается как:
S = a²√3/4.
Радиус r окружности, которая вписана в данный Δ, равен a√3/6. Значит:
а = 2√3r.
Считаем площадь треугольника:
S = 4*3r²√3/4 = 3√3r².
Радиус R окружности, которая описана около правильной треугольной фигуры,
равен a/√3. Следовательно, а = R√3.
В этом случае:
S = R²*3√3/4 = 3√3R²/4.
Известно, что площадь правильного треугольника равна 100√3 м.кв. Как
вычислить его сторону?
Площадь треугольника равна:
(a²√3)/4.
В данном случае:
100√3=(a²√3)/4
Тогда:
a²√3=400√3.
Находим а:
a²√3 = 400√3
a² = 400
a = 20 см.
Чему равна площадь правильного треугольника при условии, что диаметр
окружности, вписанной в него, = 10 см.?
Если d = 10 см., то r = 10/2 = 5 см.
Известно, что:
r = а√3/6, где а – это длина стороны правильного Δ.
Значит:
5 = а√3/6.
Отсюда:
а = 30/√3 = 10√3 см.
Тогда:
SΔ = a²√3/4 =(10√3)³ *√3/4 = 75√3 см. кв.
Чему равна площадь правильного треугольника со стороной 4 дм.?
Известно, что:
S = 1/2 * a * a sin 60 = 1/2 * 4 * 4 * √3/2 = 4√3 дм.кв.
Площадь также можно найти так:
S = a²√3/4 = 16√3/4 = 4√3 дм.кв.
Как найти площадь правильного треугольника, зная, что длина описанной около
него окружности равна 4Пи см.?
Длина окружности через радиус находится так:
L=2πR.
Значит:
R=L/2π=4π/2π=2 у.е.
Имеем правильный треугольник, значит длина его стороны:
a=R*√3=2√3 у.е.
Можем найти SΔ:
S = √3/4a² = √3/43*3 = 3√3 у.е.кв.
Чему равна площадь правильного треугольника и его стороны, если его высота =
14 см.?
В правильном треугольнике длины всех сторон одинаковы. Это значит, что
каждую из них можно обозначить как х. Тогда:
Р (периметр) = х + х + х = 3х см.
Площадь будет равна:
S = 1/2 h * x = 14/2*x = 7х см.кв.
Как найти площадь правильного треугольника с равными сторонами при условии,
что радиус круга R?
Площадь треугольной фигуры с равными сторонами считается как:
S = a²√3/4.
Радиус окружности, вписанной в этот Δ, составляет a√3/6. Тогда а = 2√3r.
Находим площадь треугольника:
S = 4*3r²√3/4 = 3√3r².
Радиус R окружности, которая описана около правильного Δ, составляет a/√3.
Это означает, что а = R√3.
Теперь можем высчитать площадь треугольника:
S = R²*3√3/4 = 3√3R²/4.
Как найти площадь правильного треугольника при условии, что расстояние от
его центра до вершины составляет 2 м.?
Центр правильно треугольной фигуры также является центральной точкой
описанной около нее окружности. Ее радиус представляет собой расстояние от
центра до вершины фигуры:
а=R√3=2√3
Все углы в правильном треугольнике являются одинаковыми и равны по 60
градусов (180/3).
Площадь треугольной фигуры рассчитывается как:
а²sin60°/2=(2√3)²√3/2/2=6√3 м.кв.
Как найти площадь правильного треугольника, если определено, что сторона
имеет длину, аналогичную длине стороны ромба с диагоналями 10 см. и 12 см.?
Предположим, что BD = 10 см., а АС = 12 см.
Диагонали ромба перпендикулярны и делятся на две равные части, пересекаясь
в определенной точке.
ΔАВО: ∠АОВ = 90°, АО = АС/2 = 6, ВО = BD/2 = 5.
Согласно теореме Пифагора:
АВ = √(АО² + ВО²) = √(36 + 25) = √41.
Треугольник имеет равные стороны, длина каждой из которых аналогична длине
стороны ромба:
а = √41.
Тогда:
SΔ = a²√3/4 = 41√3/4 см.кв.
Как найти площадь правильного треугольника периметром 6 см.?
Если длина стороны правильного треугольника указана, то его площадь
вычисляется следующим образом:
S = a²√3/4.
Согласно определению правильного треугольника, длины всех его сторон
одинаковые. Исходя из этого можно найти его сторону, разделив периметр на
три:
а = 6/3 = 2 см.
Ищем площадь, подставив в равенство значение а:
S = 2²√3/4 = S 4√3/4 = √3 см.кв.
Как найти площадь правильного треугольника при условии, что окружность,
которая вписана в него, имеет радиус длиной 4 см.?
Площадь треугольника, имеющего стороны одинаковой длины, может быть
рассчитана через длину его стороны без применения формулы радиуса
окружности, которая вписана в него. Для данной фигуры верно утверждение о
том, что высота, биссектриса и медиана делятся в точке пересечения в
отношении 2:1. При схематичном изображении можно увидеть, что треугольная
фигура АВС включает 6 треугольников с прямыми углами, которые имеют
одинаковый катет (R) и гипотенузу (АО=ВО=СО). Следовательно, площадь
треугольника АВС будет представлять собой сумму площадей всех 6
треугольников, формирующих его.
Какова формула вычисления площади равностороннего треугольника со стороной
а?
Если сказано, что сторона равносторонней треугольной фигуры равна а, то
его площадь можно найти:
S = a²√3/4.
Как определить, чему равна длина стороны треугольника с равными сторонами,
зная формулу, по которой вычисляется площадь равностороннего треугольника
(S=√3/4 а²) и то, что она равна 9√3см²?
Если S=√3/4 а², то в данном случае S=9√3, что означает: 9√3=√3/4 а².
Выразим а²:
а² = 9√3:√3/4 = 9√3 x 4√3 = 36
а = +-√36 = +- 6.
Так как длина стороны не может быть отрицательным числом, то a = 6 см.
Какой вид имеет формула, которая отражает зависимость площади
равностороннего треугольника от длины его сторон?
Доказано, что равносторонний треугольник имеет равные углы по 60 градусов.
Также известна формула вычисления площади данной фигуры путем умножения
длин двух его сторон и синуса угла, который они образуют:
S = 1/2*a*a*sin 60 = a²√3/4 см.кв.
Чему равна площадь равностороннего треугольника и длина его медианы, если
известно, что его сторона составляет а?
Если указано, что длина стороны равностороннего треугольника составляет а,
то его площадь равна:
S=a²√3/4.
Медиана, проведенная в треугольнике с равными сторонами, также
представляет собой его биссектрису и высоту. Из этого следует, что:
h=a√3/2.
Ответ: Площадь треугольника = a²√3/4 см.кв., его медиана = a√3/2 см.
Как определить площадь равностороннего треугольника со стороной, длина
которой составляет 8√2 см?
В случае с треугольником с равными сторонами, высота представляет собой
также медиану, делящую на две равные части сторону, на которую она
опущена. Если применить в данном случае теорему Пифагора, то высота равна:
h = √((8√2)²-(4√2)²)=4√6 см.
Теперь есть возможность найти площадь:
S = (1/2)*8√2*4√6 = 32√3 см. кв.
Площадь также можно найти по формуле для треугольника с равными сторонами:
S =(√3/4)*a² или S =(√3/4)*128 = 32√3 см. кв.
Дано два равносторонних треугольника, площадь одного из которых превышает
площадь другого в три раза. Чему будет равна сторона второго равностороннего
треугольника, при условии, что сторона первого из них составляет 1 см.?
Для расчета площади треугольника с равными сторонами есть формула:
S = a²√3/4.
Найдем площадь меньшего из треугольников, подставив значение а:
S₁ = 12 √3/4 = √3/4 см.кв.
Известно, что площадь второго треугольника больше площади первой фигуры в
три раза. Тогда:
S₂ = 3√3/4.
Очевидно, что сторона большего треугольника составляет √3 см.
Сторона равностороннего треугольника равна 14 см. Чему будет равна его
площадь, умноженная на √3?
Формула площади для треугольника с равными сторонами:
S = а²*√3/4.
Подставляем значение а:
S = 14²*√3/4 = 49√3 см. кв.
Умножаем полученное число на √3:
49√3*√3 = 49*3 = 147 см.
Читать дальше: как найти площадь круга.
Правильный (равносторонний, или равноугольный) треугольник — это правильный многоугольник с тремя сторонами, простейший из правильных многоугольников. Все стороны правильного треугольника равны между собой, все углы также равны и составляют 60°. В равностороннем треугольнике высота является и биссектрисой, и медианой.
Содержание
- 1 Свойства
- 2 Правильный сферический треугольник
- 3 Теоремы о равностороннем треугольнике или содержащие его
- 4 См. также
- 5 Примечания
Свойства[править | править код]
Правильный тетраэдр состоит из четырёх правильных треугольников.
Пусть a — сторона правильного треугольника, R — радиус описанной окружности, r — радиус вписанной окружности.
- Радиус вписанной окружности правильного треугольника, выраженный через его сторону:
- Радиус описанной окружности правильного треугольника, выраженный через его сторону:
- Периметр правильного треугольника:
- Высоты, медианы и биссектрисы правильного треугольника:
- Площадь правильного треугольника рассчитывается по формулам:
- Радиус описанной окружности равен двойному радиусу вписанной окружности:
- Правильными треугольниками можно замостить плоскость.
- В правильном треугольнике окружность девяти точек совпадает с вписанной окружностью.
Правильный сферический треугольник[править | править код]
Для любого значения в интервале от 60 до 180 градусов существует правильный сферический треугольник с равными этому значению углами.
Теоремы о равностороннем треугольнике или содержащие его[править | править код]
- Задача Наполеона
- Прямая Симсона одно из свойств
- Теорема Вивиани
- Теорема Морли
- Теорема Наполеона
- Теорема Помпею
- Теоремы Тебо 2 и 3
- Точки Аполлония
- Точки Торричелли
См. также[править | править код]
- Замечательные прямые треугольника
- Замечательные точки треугольника
- Равнобедренный треугольник
- Теорема Чевы
- Треугольник
- Треугольник Рёло
Примечания[править | править код]
Символ Шлефли |
|
|---|---|
| Многоугольники |
|
| Звёздчатые многоугольники |
|
| Паркеты на плоскости |
|
| Правильные многогранники и сферические паркеты |
|
| Многогранники Кеплера — Пуансо |
|
| Соты |
{4,3,4} |
| Четырёхмерные многогранники |
|
Равносторонним, или правильным, называется треугольник, в котором все стороны одинаковой длины, а все три угла равны 60°.
В таком треугольнике центр вписанной и описанной окружности находятся в одной точке, а радиус описанной окружности равняется двойному радиусу вписанной: 
Для нахождения площади равностороннего треугольника можно применять различные формулы.
1.Через сторону…
Учитывая, что все стороны равны и зная их длину, можно легко найти значение по формуле площади правильного треугольника:
Эта формула выводится из обычной формулы площади треугольника через синус угла.
| Сторона треугольника = | |
| Ответ: Площадь треугольника= 21.218 |
Пример расчета площади равностороннего треугольника через сторону.
Задача:
дан равносторонний треугольник со стороной a= 5 см. Найдите площадь
Решение:
Площадь треугольника будет равна 10,6 квадратных сантиметра
2.Через описанную окружность…
Можно найти значение через радиус описанной окружности. Он может быть дан условиями или рассчитываться исходя из радиуса вписанной окружности по приведенной выше формуле:
| Радиус описанной окружности = | |
| Ответ: Площадь треугольника= 10.000 |
2.Через вписанную окружность…
Также есть формула нахождения площади, через радиус вписанной окружности.
Рассмотрим пример расчета площади правильного треугольника через вписанную окружность.
Задача
: дан правильный треугольник, в который вписана окружность. Сторона a= 4 см, радиус R = 2,5 см. Рассчитайте площадь через радиус описанной окружности.
Решение
: мы уже знаем, что радиус описанной окружности вдвое больше радиуса вписанной. Найдем его:
Теперь подставим найденное значение в формулу:
Получаем, что площадь треугольника равна 32,9 кв. см
Как посчитать площадь треугольника:
Через сторону
Через сторону и высоту
Через высоту
Укажите размеры:
Результат:
Решение:
Ссылка на страницу с результатом:
# Теория
Треугольник – это геометрическая фигура, образованная тремя отрезками соединяющихся тремя точками, у которой все углы внутренние.
Равносторонний треугольник – это треугольник у которого длины всех сторон равны.
Треугольники по своей форме бывают прямоугольный, равнобедренный, равносторонний, разносторонний.
Формула площади равностороннего треугольника
Посчитать площадь равностороннего треугольника можно посчитать тремя способами.
Площадь равностороннего треугольника расчитывается по одной из формул:
a
a
a
h
Через сторону и высоту:
S = dfrac{1}{2}ah
Через сторону:
S = dfrac{sqrt{3}}{4} a^2
Через высоту:
S = dfrac{h^2}{sqrt{3}}
- S – площадь треугольника
- a – равные стороны
- b – основание треугольника
- h – высота
Похожие калькуляторы:
Войдите чтобы писать комментарии
