Как можно найти ускорение материальной точки - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Ускорение
${displaystyle {vec {a}}={frac {mathrm {d} {vec {v}}}{mathrm {d} t}}}$
Размерность	LT⁻²
Единицы измерения
СИ	м/с²
СГС	см/с²
Примечания
векторная величина

Падающий мяч при отсутствии сопротивления воздуха ускоряется, то есть движется все быстрее и быстрее.

Ускоре́ние (обычно обозначается латинскими буквами a (от лат. acceleratio) или w) — физическая величина, определяющая быстроту изменения скорости тела, то есть первая производная от скорости по времени. Ускорение является векторной величиной, показывающей, на сколько изменяется вектор скорости тела при его движении за единицу времени:

Например, тела, свободно падающие вблизи поверхности Земли вдоль вертикали, в случаях, когда испытываемое ими сопротивление воздуха мало, увеличивают свою скорость примерно на 9,8 м/с за секунду, то есть их ускорение примерно равно 9,8 м/с². При непрямолинейном движении учитывается изменение не только величины скорости, но и её направления: скажем, ускорение тела, движущегося по окружности с постоянной по модулю скоростью, не равно нулю: имеется постоянное по модулю (и переменное по направлению) ускорение, направленное к центру окружности.

Единицей ускорения в Международной системе единиц (СИ) служит метр в секунду за секунду (русское обозначение: м/с²; международное: m/s²).

Ускорение в кинематике точки[править | править код]

Наиболее общий случай[править | править код]

Ускорение и связанные величины[править | править код]

Вектор ускорения материальной точки в любой момент времени находится путём однократного дифференцирования по времени вектора скорости материальной точки (или двукратного дифференцирования радиус-вектора):

$vec a = {dvec v over dt} = {d^2vec r over dt^2}.$

Если на траектории точки известны координаты и вектор скорости в какой-либо момент времени t₀, а также зависимость ускорения от времени то, интегрируя это уравнение, можно получить координаты и скорость точки в любой момент времени t (как до, так и после момента t₀):

${displaystyle {vec {v}}(t)={vec {v}}_{0}+int _{t_{0}}^{t}{vec {a}}(tau )dtau ,}$

${displaystyle {vec {r}}(t)={vec {r}}_{0}+(t-t_{0}){vec {v}}_{0}+int _{t_{0}}^{t}int _{t_{0}}^{xi }{vec {a}}(tau )dtau dxi .}$

Производная ускорения по времени, то есть величина, характеризующая скорость изменения ускорения, называется рывок:

$vec j=frac {mathrm{d} vec a} {mathrm{d}t},$

где

— вектор рывка.

Анализ движения по кривой[править | править код]

Траекторию движения материальной точки на малом участке можно считать плоской. Вектор ускорения vec a можно разложить по сопутствующему базису

$vec a = {a}_tau {vec tau} + {a}_n {vec n} + {a}_b {vec b} = frac{dv}{dt}{vec tau} + frac{v^2}{R} {vec n} + {a}_b {vec b} ,$

где

— величина скорости,

— единичный касательный к траектории вектор, направленный вдоль скорости (касательный орт),

— орт главной нормали к траектории, который можно определить как единичный вектор в направлении

— орт бинормали к траектории, перпендикулярный одновременно ортам

(то есть ортогональный к мгновенной плоскости траектории),

— радиус кривизны траектории.

Слагаемое ${a}_b{vec b},$ называемое бинормальным ускорением, всегда равно нулю. Это можно считать прямым следствием определения векторов можно сказать, что они выбираются именно так, чтобы первый всегда совпадал с нормальным ускорением, второй же был ортогонален первому.

Векторы ${a}_tau{vec tau}$ и ${a}_n{vec n}$ называются касательным (тангенциальным) и нормальным ускорениями соответственно.

Итак, учитывая сказанное выше, вектор ускорения при движении по любой траектории можно записать как:

$vec a = {a}_tau {vec tau} + {a}_n {vec n} = frac{dv}{dt}{vec tau} + frac{v^2}{R} {vec n}.$

Важные частные случаи[править | править код]

Равноускоренное движение[править | править код]

Если вектор vec a не меняется со временем, движение называют равноускоренным. При равноускоренном движении вышеприведённые общие формулы упрощаются до следующего вида:

$vec r(t) = vec r_0 + (t-t_0)vec v_0 + {(t-t_0)^2over 2}vec a.$

Частным случаем равноускоренного движения является случай, когда ускорение равно нулю в течение всего времени движения. В этом случае скорость постоянна, а движение происходит по прямолинейной траектории (если скорость тоже равна нулю, то тело покоится), поэтому такое движение называют прямолинейным и равномерным.

Равноускоренное движение точки всегда является плоским, а твёрдого тела — плоскопараллельным (поступательным). Обратное, вообще говоря, неверно.

Равноускоренное движение при переходе в другую инерциальную систему отсчёта остаётся равноускоренным.

Случай равноускоренного движения, когда ускорение (постоянное) и скорость направлены по одной прямой, но в разных направлениях, называется равнозамедленным движением. Равнозамедленное движение всегда одномерно. Движение можно рассматривать как равнозамедленное лишь до того момента, пока скорость не станет равной нулю. Кроме того, всегда существуют инерциальные системы отсчёта, в которых движение не является равнозамедленным.

Прямолинейное движение[править | править код]

Важным частным случаем движения с ускорением является прямолинейное движение, когда ускорение в любой момент времени коллинеарно скорости (например, случай падения тела с вертикальной начальной скоростью). В случае прямолинейного движения можно выбрать одну из координатных осей вдоль направления движения и заменить радиус-вектор и векторы ускорения и скорости на скаляры. При этом, при постоянном ускорении из приведённых выше формул вытекает, что

${displaystyle v^{2}=v_{0}^{2}+2,as.}$

Здесь v₀ и v — начальная и конечная скорость тела, a — его ускорение, s — пройденный телом путь.

Ряд практически важных формул связывают затраченное время, пройденный путь, достигнутую скорость и ускорение при равноускоренном прямолинейном движении с нулевой ( ${displaystyle v_{0}=0}$ ) начальной скоростью:

$t = sqrt{frac{2 s}{a}} = frac{v}{a} = frac{2s}{v}, qquadqquad s = frac{vt}{2}=frac{a t^2}{2} = frac{v^2}{2a},$

$v = sqrt{2 , a s} = at = frac{2s}{t}, qquadqquad a = frac{v}{t} = frac{2s}{t^2} = frac{v^2}{2s},$

так что любые две из этих величин определяют две другие (здесь предполагается, что время отсчитывается от начала движения: t₀ = 0).

Движение по окружности[править | править код]

Равномерное движение по окружности. Ускорение всегда перпендикулярно скорости и направлено к центру.

Пример неравномерного движения по окружности (математический маятник). Ускорение, складывающееся из тангенциальной и центростремительной компонент, в разные моменты изменяется от полностью касательного до полностью нормального к траектории.

Вектор ускорения

$vec a = frac{d vec v}{dt}$

при движении точки по окружности можно разложить на два слагаемых (компоненты):

Тангенциальное или касательное ускорение (обозначается иногда и т. д., в зависимости от того, какой буквой в конкретном тексте принято обозначать ускорение) направлено по касательной к траектории. Является составляющей вектора ускорения vec a, коллинеарной вектору мгновенной скорости. Характеризует изменение скорости по модулю.

$vec a_tau = frac{vec v}{|vec v|} cdot frac{d |vec v|}{dt}.$

Центростремительное или нормальное ускорение vec a_n (также обозначается иногда и т. д.) возникает (не равно нулю) всегда при движении точки не только по окружности, но и по любой траектории с ненулевой кривизной. Является составляющей вектора ускорения vec a, перпендикулярной вектору мгновенной скорости. Характеризует изменение скорости по направлению. Вектор нормального ускорения всегда направлен к мгновенной оси вращения,

$vec a_n = {|vec v|} cdot frac{d}{dt}frac{vec v}{|vec v|},$

а модуль равен

$|vec a_n| = omega ^2 r = {v^2 over r},$

где ω — угловая скорость относительно центра вращения, а r — радиус окружности.

Кроме этих двух компонент, используется также понятие угловое ускорение, показывающее, на сколько изменилась угловая скорость за единицу времени, и, аналогично линейному ускорению, вычисляемое следующим образом:

Направление вектора здесь показывает, увеличивается или уменьшается модуль скорости. Если векторы углового ускорения и угловой скорости сонаправлены (или хотя бы их скалярное произведение положительно), значение скорости растёт, и наоборот.

В частном случае равномерного движения по окружности векторы углового ускорения и тангенциального ускорения равны нулю, а центростремительное ускорение постоянно по модулю.

Ускорение при сложном движении[править | править код]

Говорят, что материальная точка (тело) совершает сложное движение, если она движется относительно какой-либо системы отсчёта, а та, в свою очередь, движется относительно другой, «лабораторной», системы отсчёта. Тогда абсолютное ускорение тела в лабораторной системе равно сумме относительного, переносного и кориолисова ускорений:

${displaystyle {vec {a}}={vec {a}}_{r'}+{vec {a}}_{e}+2left[{vec {omega }}times {vec {v}}_{r'}right].}$

Последний член содержит векторное произведение угловой скорости вращения движущейся системы отсчёта и скорости материальной точки в этой движущейся системе.

Ускорения в кинематике твёрдого тела[править | править код]

Связь ускорений двух точек абсолютно твёрдого тела A и B можно получить из формулы Эйлера для скоростей этих точек:

$vec{v}_B = vec{v}_A + left[vec{omega}timesvec{AB}right],$

где — вектор угловой скорости тела. Продифференцировав её по времени, получаем формулу Ривальса^[1]^[2] (Marc-Joseph-Émilien Rivals, 1833–1889^[3]):

$vec{a}_B = vec{a}_A + left[vec{omega}times left[ vec{omega}times vec{AB}right] right] + left[ vec{varepsilon}times vec{AB} right],$

где — вектор углового ускорения тела.

Второе слагаемое называется осестремительным ускорением, а третье — вращательным ускорением^[1].

Создание ускорения. Динамика точки[править | править код]

Первый закон Ньютона постулирует существование инерциальных систем отсчёта. В этих системах отсчёта равномерное прямолинейное движение имеет место в том случае, когда тело (материальная точка) не подвергается никаким внешним воздействиям в процессе своего движения. На основе этого закона возникает ключевое для механики понятие силы как такого внешнего воздействия на тело, которое выводит его из состояния покоя или влияет на скорость его движения. Таким образом, постулируется, что причиной возникновения ненулевого ускорения в инерциальной системе отсчёта всегда является некоторое внешнее силовое воздействие^[4].

Классическая механика[править | править код]

Второй закон Ньютона применительно к нерелятивистскому движению (то есть к движению со скоростями, много меньшими скорости света) утверждает, что ускорение материальной точки всегда пропорционально приложенной к ней и порождающей ускорение силе, причём коэффициент пропорциональности всегда один и тот же независимо от вида силового воздействия (он называется инертной массой материальной точки):

Если известны масса материальной точки и (как функция времени) сила, действующая на неё, то из второго закона Ньютона известно и её ускорение: При постоянстве силы ускорение также будет постоянным. Скорость и координаты точки в любой момент времени можно получить, проинтегрировав ускорение по формулам из раздела о кинематике точки при заданных начальных скорости и координатах.

Релятивистская механика[править | править код]

В релятивистской физике второй закон Ньютона записывается в форме

${displaystyle m{frac {d}{dt}}{frac {vec {v}}{sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}={vec {F}}}$

что делает нахождение ускорения более сложной задачей, чем в классическом случае. В частности, длительное движение с постоянным ускорением принципиально невозможно (иначе скорость точки в конце концов превысит скорость света), а неизменность силы не означает неизменности ускорения: оно будет стремиться к нулю при нарастании скорости. Тем не менее, если зависимость всё же найдена, расчёт и осуществим по тем же формулам, что и в нерелятивистском пределе.

Ускорение в теории относительности[править | править код]

В теории относительности движение тела с переменной скоростью вдоль мировой линии в 4-мерном пространстве-времени характеризуется определённой величиной, аналогичной ускорению. В отличие от обычного (трёхмерного) вектора ускорения, 4-вектор ускорения (называемый 4-ускорением) a_i является второй производной от 4-вектора координат x_i не по времени, а по пространственно-временному интервалу τ (или, что то же самое, по собственному времени) вдоль мировой линии тела:

$a^i = frac {d^2 x^i}{dtau^2} = frac{du^i}{dtau} .$

В любой точке мировой линии 4-вектор ускорения всегда ортогонален к 4-скорости:

Это означает, в частности, что 4-скорости меняются не по модулю, а лишь по направлению: независимо от направления в пространстве-времени 4-скорость любого тела равна по модулю скорости света. Геометрически, 4-ускорение совпадает с кривизной мировой линии и является аналогом нормального ускорения в классической кинематике.

В классической механике значение ускорения не изменяется при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой, то есть ускорение инвариантно относительно преобразований Галилея. В релятивистской механике 4-ускорение является 4-вектором, то есть при преобразованиях Лоренца изменяется аналогично пространственно-временным координатам.

“Обычный” трёхмерный вектор ускорения vec{w} (то же, что в предыдущих разделах, обозначение заменено во избежание путаницы с 4-ускорением), определяемый как производная “обычной” трёхмерной скорости vec{v} по координатному времени , применяется и в рамках релятивистской кинематики, но инвариантом преобразований Лоренца не является. В мгновенно сопутствующей инерциальной системе отсчёта 4-ускорение — это При действии постоянной силы ускорение точки vec{w} уменьшается с ростом скорости, однако 4-ускорение остаётся неизменным (такой случай именуют релятивистски равноускоренным движением, хотя “обычное” ускорение при этом не постоянно).

Измерения ускорений[править | править код]

Используемые единицы[править | править код]

метр на секунду в квадрате (метр в секунду за секунду), м/с², производная единица системы СИ;
сантиметр на секунду в квадрате (сантиметр в секунду за секунду), см/с², производная единица системы СГС, имеет также собственное наименование гал, или галилео (применяется преимущественно в гравиметрии);
g (произносится «же»), стандартное ускорение свободного падения на поверхности Земли, равное по определению 9,80665 м/с². В технических расчётах, не требующих точности выше 2 %, часто используется приближение g ≈ 10 м/с².

Преобразования между различными единицами ускорения

	м/с²	фут/с²	g	см/с²
1 м/с² =	1	3,28084	0,101972	100
1 фут/с² =	0,304800	1	0,0310810	30,4800
1 g =	9,80665	32,1740	1	980,665
1 см/с² =	0,01	0,0328084	0,00101972	1

Технические средства[править | править код]

Приборы для измерения ускорения называются акселерометрами. Они не «детектируют» ускорение непосредственно, а измеряют силу реакции (укр.) (рус. опоры, возникающую при ускоренном движении. Поскольку аналогичные силы сопротивления возникают в поле тяготения, с помощью акселерометров можно измерять также гравитацию.

Акселерографы — приборы, измеряющие и автоматически записывающие (в виде графиков) значения ускорения поступательного и вращательного движения.

Значения ускорения в некоторых случаях[править | править код]

Значения ускорений различных движений:^[5]

Вид движения	Ускорение, м/с²
Центростремительное ускорение Солнечной системы при орбитальном движении в Галактике	2,2⋅10⁻¹⁰
Центростремительное ускорение Земли при орбитальном движении вокруг Солнца	0,0060
Центростремительное ускорение Луны при орбитальном движении вокруг Земли	0,0027
Пассажирский лифт	0,9—1,6
Поезд метро	1
Автомобиль «Жигули»	1,5
Бегун на коротких дистанциях	1,5
Велосипедист	1,7
Конькобежец	1,9
Мотоцикл	3—6
Аварийное торможение автомобиля	4—6
Усэйн Болт, максимальное ускорение	8^[6]
Гоночный автомобиль	8—9
Торможение при открытии парашюта	30 (3 g)
Запуск и торможение космического корабля	40—60 (4—6 g)
Манёвр реактивного самолёта	до 100 (до 10 g)
Свая после удара копром	300 (30 g)
Поршень двигателя внутреннего сгорания	3×10³
Пуля в стволе винтовки	2,5×10⁵
Микрочастицы в ускорителе	(2—50)×10¹⁴
Электроны между катодом и анодом трубки цветного телевизора (20 кВ, 0,5 м)	≈7×10¹⁵
Электроны при соударении с люминофором трубки цветного телевизора (20 кВ)	≈10²²
Альфа-частицы в атомном ядре	≈10²⁷

Примечание: здесь g ≈ 10 м/с².

Понятие “обобщённое ускорение”[править | править код]

Если динамика механической системы описывается не в декартовых, а в обобщённых координатах $q_{i}$ (например, в гамильтоновой или в лагранжевой формулировках механики), то можно ввести обобщённые ускорения $ddot{q_i}$ — первые производные по времени обобщённых скоростей $dot{q_i}$ или вторые производные по времени обобщённых координат; например, если в качестве одной из обобщённых координат выбран угол, то обобщённым ускорением будет соответствующее угловое ускорение. Размерность обобщённых ускорений в общем случае не равна LT⁻².

См. также[править | править код]

Ускорение свободного падения
Собственное ускорение
Релятивистски равноускоренное движение
Приливное ускорение
Кориолисово ускорение
Рывок (кинематика)

Примечания[править | править код]

↑ ¹ ² Маркеев А. П. Теоретическая механика. — М.: ЧеРо, 1999. — С. 59. — 572 с.
↑ Обзор результатов Ривальса: Appendice au Mémoire de M. Bresse // Journal de l’École polytechnique. — 1853. — Т. 20. — С. 109—115. Архивировано 9 марта 2016 года.
↑ Joulin L. Notice biographique sur M. le commandant Rivals // Mémoires de l’Académie royale des sciences, inscriptions et belles-lettres de Toulouse. — 1891. — Т. 3, вып. 9. — С. 535—539. Архивировано 8 марта 2016 года.
↑ Для того, чтобы использовать уравнение движения в форме, совпадающей с формой уравнения второго закона Ньютона, применительно к ускорениям, возникающим в неинерциальных системах отсчёта даже в отсутствие каких-либо воздействий на тело, вводят фиктивные силы инерции. Например, пусть тело массой m покоится в инерциальной системе отсчёта на некотором расстоянии R от оси. Если привести систему отсчёта во вращение с угловой скоростью ω вокруг этой оси, то система становится неинерциальной, а тело будет совершать видимое вращательное движение с линейной скоростью v=ωR по окружности вокруг оси. Для его описания во вращающейся системе отсчёта необходимо ввести центростремительное ускорение, которое можно формально считать результатом действия одной из сил инерции — силы Кориолиса, равной по модулю 2mvω и направленной к оси, перпендикулярно оси и скорости тела; при этом она наполовину компенсируется действием другой силы инерции — центробежной силы, равной по модулю mvω и направленной от оси вращения.
↑ Кошкин Н.И., Ширкевич М.Г. Справочник по элементарной физике. — 10-е, испр. и доп.. — М.: Наука, 1988. — С. 61. — 256 с. — ISBN 5-02-013833-9.
↑ График зависимости ускорения У. Болта от времени Архивная копия от 10 мая 2013 на Wayback Machine — забег на 100 м на летних Олимпийских играх 2008 года в Пекине

Ссылки[править | править код]

Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Механика. — Издание 5-е, стереотипное. — М.: Физматлит, 2004. — 224 с. — («Теоретическая физика», том I). — ISBN 5-9221-0055-6.
David C. Cassidy, Gerald James Holton, and F. James Rutherford. Understanding physics. — Birkhäuser (англ.) (рус., 2002. — ISBN 978-0-387-98756-9.
Pauli W. Theory of Relativity. — Dover, 1981. — ISBN 978-0-486-64152-2.

Источник

В очередной раз меня попросили решить пару задачек по физике, и я вдруг обнаружил, что не могу решить их с ходу. Немного погуглив, я обнаружил, что сайты в топе выдачи содержат сканы одного и того же учебника и не описывают конкретных примеров решений задачи о том, как найти вектор скорости и ускорения материальной точки. По-этому я решил поделиться с миром примером своего решения.

Траектория движения материальной точки через радиус-вектор

Подзабыв этот раздел математики, в моей памяти уравнения движения материальной точки всегда представлялись при помощи знакомой всем нам зависимости y(x) , и взглянув на текст задачи, я немного опешил когда увидел векторы. Оказалось, что существует представление траектории материальной точки при помощи радиус-вектора – вектора, задающего положение точки в пространстве относительно некоторой заранее фиксированной точки, называемой началом координат.

Формула траектория движения материальной точки помимо радиус-вектора описывается так же ортами – единичными векторами i, j , k в нашем случае совпадающими с осями системы координат. И, наконец, рассмотрим пример уравнения траектории материальной точки (в двумерном пространстве):

Что интересного в данном примере? Траектория движения точки задается синусами и косинусами, как вы думаете, как будет выглядеть график в всем нам знакомом представлении y(x) ? “Наверное какой-то жуткий”, подумали вы, но все не так сложно как кажется! Попробуем построить траекторию движения материальной точки y(x), если она движется по представленному выше закону:

Здесь я заметил квадрат косинуса, если вы в каком-нибудь примере видите квадрат синуса или косинуса, это значит что нужно применять основное тригонометрическое тождество, что я и сделал (вторая формула) и преобразовал формулу координаты y, чтобы вместо синуса подставить в нее формулу изменения x:

В итоге жуткий закон движения точки оказался обычной параболой, ветви которой направлены вниз. Надеюсь, вы поняли примерный алгоритм построения зависимости y(x) из представления движения через радиус-вектор. Теперь перейдем к нашему главному вопросу: как же найти вектор скорости и ускорения материальной точки, а так же их модули.

Вектор скорости материальной точки

Всем известно, что скорость материальной точки – это величина пройденного пути точкой за единицу времени, то есть производная от формулы закона движения. Чтобы найти вектор скорости нужно взять производную по времени. Давайте рассмотрим конкретный пример нахождения вектора скорости.

Пример нахождения вектора скорости

Имеем закон перемещения материальной точки:

Теперь нужно взять производную от этого многочлена, если вы забыли как это делается, то вот вам таблица производных различных функций. В итоге вектор скорости будет иметь следующий вид:

Все оказалось проще, чем вы думали, теперь найдем вектор ускорения материальной точки по тому же самому закону, представленному выше.

Как найти вектор ускорения материальной точки

Вектор ускорения точки это векторная величина, характеризующая изменение с течением времени модуля и направления скорости точки. Чтобы найти вектор ускорения материальной точки в нашем примере, нужно взять производную, но уже от формулы вектора скорости, представленной чуть выше:

Модуль вектора скорости точки

Теперь найдем модуль вектора скорости материальной точки. Как вы знаете из 9-го класса, модуль вектора – это его длина, в прямоугольных декартовых координатах равна квадратному корню из суммы квадратов его координат. И откуда же из полученного нами выше вектора скорости взять его координаты спросите вы? Все очень просто:

Теперь достаточно только подставить время, указанное в задаче и получить конкретное числовое значение.

Модуль вектора ускорения

Как вы поняли из написанного выше (и из 9-го класса), нахождение модуля вектора ускорения происходит тем же образом, что и модуля вектора скорости: извлекаем корень квадратный из суммы квадратов координат вектора, все просто! Ну и вот вам, конечно же, пример:

Как вы видите, ускорение материальной точки по заданному выше закону не зависит от времени и имеет постоянную величину и направление.

Еще примеры решений задачи нахождения вектора скорости и ускорения

А вот тут вы можете найти примеры решения и других задач по физике на тему “механика твердых тел”. А для тех, кто не совсем понял как найти вектор скорости и ускорения, вот вам еще парочка примеров из сети без всяких лишних объяснений, надеюсь, они вам помогут.

Если у вас возникли какие-нибудь вопросы, вы можете задать их в комментариях.

Источник

Ускорение материальной точки

3.9

Средняя оценка: 3.9

Всего получено оценок: 327.

3.9

Средняя оценка: 3.9

Всего получено оценок: 327.

Большинство движений в Природе являются неравномерными, они происходят с ускорением или замедлением. Рассмотрим понятие «ускорение материальной точки» более подробно.

Неравномерное движение

При равномерном движении материальная точка проходит за одинаковые промежутки времени одинаковые расстояния, и измерение скорости на любом участке дает одно и то же значение.

При неравномерном движении ситуация иная. Измерение скорости в различные моменты времени дает различные результаты. Нередок случай, когда мгновенная скорость в любой точке пути отличается от мгновенной скорости в любой другой точке. Возникает вопрос определения не только координаты, но и скорости в каждый момент времени и в каждой точке пути для неравномерного движения.

Рис. 1. Примеры неравномерного движения.

Типичным примером неравномерного движения является свободное падение тел. За первые 0.1с падения тело проходит только 5см пути, и мгновенная скорость в конце этого промежутка составит 0,98 м/с. А в конце первой секунды тело пройдет 5м пути, и мгновенная скорость в этот момент будет равна 9,8 м/с. Как получить значение имеющейся мгновенной скорости в любой момент времени ?

Ускорение

Для исследования свободного падения можно измерять мгновенную скорость через равный промежуток времени (например, через 0.1с), и результаты представить в виде таблицы. В первом столбце будет момент времени, во втором – мгновенная скорость. В третьем столбце вычислим разницу мгновенной скорости между текущим и предыдущим моментом времени.

Получим :

t(сек)	v(м/с)	Δv(м/с)
0.0	0.00	–
0.1	0.98	0.98
0.2	1.96	0.98
0.3	2.94	0.98
0.4	3.92	0.98
0.5	4.91	0.98

Сразу бросается в глаза, что цифры в последнем столбце таблицы одинаковы. Это означает, что, хотя скорость постоянно меняется, разница скорости за одинаковый промежуток времени составляет одинаковую величину. Следовательно, для вычисления скорости в любой момент времени можно ввести специальную меру – ускорение.

Ускорение материальной точки равно отношению изменения скорости материальной точки к промежутку времени, за который это изменение произошло.

$$overrightarrow a= {overrightarrow v – overrightarrow v_0over t}$$

Из представленной формулы можно получить единицу измерения ускорения. Поскольку в системе СИ скорость измеряется в метрах в секунду, а время в секундах, то при делении получим метр в секунду за секунду (или метр в секунду в квадрате). Записывается, как $м/с^2$.

Рис. 2. Ускорение в физике.

Также из этой формулы видно, что ускорение – это векторная величина, и направление ускорения материальной точки совпадает с направлением изменения скорости. При этом и величину, и направление этого изменения необходимо получать с помощью правил сложения векторов. В частности, если конечная скорость больше начальной, и направлена в том же направлении, то и ускорение будет направлено туда же. Если конечная скорость меньше начальной, то ускорение будет направлено в противоположную сторону. В случае, если вектора начальной и конечной скоростей не параллельны, для определения результата следует либо пользоваться правилом параллелограмма, либо проецировать вектора на оси координат, и складывать или вычитать проекции в зависимости от их направления, а потом по проекциям получать результат.

Рис. 3. Сложение векторов.

Что мы узнали?

При неравномерном движении скорость тела изменяется. Для характеристики быстроты этого изменения вводится специальная величина – ускорение. Ускорение равно отношению изменения скорости за некоторый промежуток времени к величине этого промежутка.

Тест по теме

Доска почёта

Чтобы попасть сюда – пройдите тест.

Лза Якимова

5/5
Ярослав Никульшин

4/5

Оценка доклада

3.9

Средняя оценка: 3.9

Всего получено оценок: 327.

А какая ваша оценка?

Источник

При движении
материальной точки ее скорость

может изменяться со временем. Для
характеристики изменения скорости
вводят ускорение
как производную по времени вектора
скорости:

(1.14)

или в проекциях
на декартовы оси координат

.
(1.15)

Ускорение

,
в отличие от скорости

,
может иметь любую ориентацию по отношению
к направлению движения материальной
точки. Очевидно, что модуль ускорения
связан с его проекциями соотношением

.
(1.16)

По аналогии с
п.1.3.3 вводят средний вектор ускорения

,
его модуль

и среднее ускорение

.

В общем случае,
когда изменяется как модуль скорости

,
так и ее направление (случай неравномерного
криволинейного движения), движение
характеризуют с помощью естественных
составляющих вектора

,
который называется полным
ускорением.

Представим вектор
скорости в естественном виде:

,
(1.17)

где

– модуль скорости, а

– орт скорости.

Используя определение
(1.14), получим

.
(1.18)

Первую составляющую

в правой части равенства (1.18) обозначим

,
(1.19)

а вторую

.
(1.20)

Смысл составляющей

достаточно очевиден: она характеризует
быстроту изменения со временем модуля
скорости. Модуль этой составляющей
равен

,
а направлена она по касательной к
траектории в направлении движения

,
если скорость по модулю возрастает

,
и в противоположном движению направлении

,
если скорость по модулю убывает

.
Поэтому эта естественная составляющая
ускорения называется тангенциальным
(касательным) ускорением.

Вторая составляющая

характеризует быстроту изменения
вектора скорости по направлению (см.
(1.13) из п. 1.3.3 и ниже).

Для выяснения
величины и направления составляющей

рассмотрим для простоты плоское
криволинейное движение (рис 1.4). Будем
считать, что точки 1 и 2, соответствующие
моментам времени t и
t+t, лежат на
траектории достаточно близко друг к
другу. В этом случае длину дуги траектории
S между токами
1 и 2 можно считать приближенно дугой
окружности радиуса R. Перене-

Рис.
1.4

сем параллельно
орт

в точку 1. Из рис. 1.4 видно, что треугольник
12С и треугольник, образованный ортами

,

и приращением

,
подобны. Следовательно,

Поэтому с учетом

получим

Величину
составляющей

найдем из (1.20) с помощью ряда равенств

то есть

.
(1.21)

Легко видеть, что
при t

вектор

,
а значит и

,
направлены перпендикулярно касательной
к траектории

к центру дуги S
окружности. Введя единичный вектор
нормали

,
выражению (1.21) можно придать вид

. (1.22)

В случае произвольной
криволинейной траектории R
означает радиус кривизны траектории в
данной ее точке:

.
(1.23)

Из-за своего
направления составляющая

называется нормальным
(центростремительным) ускорением.

Теперь соотношению
(1.18) можно придать вид (рис 1.5)

Рис.1.5

,
(1.24)

а так как

,
то

(1.25)

Соотношения
(1.25) определяют величину и направление
полного ускорения

В качестве
примера рассмотрим один из результатов,
вытекающих из соотношений (1.19), (1.22) и
(1.24).

Пусть тангенциальное
ускорение равно нулю

,
а модуль нормального ускорения постоянен
.
Условие

означает, что

,
то есть модуль скорости

.
Поэтому движение равномерное.

Теперь из условия

следует, что радиус кривизны траектории
R тоже постоянен, что для плоской кривой
означает, что траектория есть окружность
(в общем случае – винтовая линия).

Выводы: Ускорение
характеризует быстроту изменения
вектора скорости и равно производной
скорости по времени. При криволинейном
движении вектор ускорения имеет две
составляющие: тангенциальное и нормальное
ускорение. Тангенциальное ускорение
характеризует скорость изменения модуля
скорости и направлено по касательной
к траектории движения. Нормальное
ускорение характеризует скорость
изменения вектора скорости по направлению
и направлено по нормали к касательной
к центру кривизны траектории точки.

Контрольные
вопросы

1.7. Опишите
движения материальной точки, исходя из
условий а) a_=0,
a_n=0;
б) a_=const,
a_n=0;
в) a_=а_(t),
a_n=0;
г) a_=0,
a_n=const.

1.8. Возможно ли
движение при условии

?

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Ускорение – это величина, которая характеризует быстроту изменения скорости.

Например, автомобиль, трогаясь с места, увеличивает скорость движения, то есть движется ускоренно. Вначале его скорость равна нулю. Тронувшись с места, автомобиль постепенно разгоняется до какой-то определённой скорости. Если на его пути загорится красный сигнал светофора, то автомобиль остановится. Но остановится он не сразу, а за какое-то время. То есть скорость его будет уменьшаться вплоть до нуля – автомобиль будет двигаться замедленно, пока совсем не остановится. Однако в физике нет термина «замедление». Если тело движется, замедляя скорость, то это тоже будет ускорение тела, только со знаком минус (как вы помните, скорость – это векторная величина).

Среднее ускорение

Среднее ускорение> – это отношение изменения скорости к промежутку времени, за который это изменении произошло. Определить среднее ускорение можно формулой:

Рис. 1.8. Среднее ускорение.В СИ единица ускорения – это 1 метр в секунду за секунду (или метр на секунду в квадрате), то есть

Метр на секунду в квадрате равен ускорению прямолинейно движущейся точки, при котором за одну секунду скорость этой точки увеличивается на 1 м/с. Иными словами, ускорение определяет, насколько изменяется скорость тела за одну секунду. Например, если ускорение равно 5 м/с², то это означает, что скорость тела каждую секунду увеличивается на 5 м/с.

Мгновенное ускорение

Мгновенное ускорение тела (материальной точки) в данный момент времени – это физическая величина, равная пределу, к которому стремится среднее ускорение при стремлении промежутка времени к нулю. Иными словами – это ускорение, которое развивает тело за очень короткий отрезок времени:

При ускоренном прямолинейном движении скорость тела возрастает по модулю, то есть

v₂ > v₁

а направление вектора ускорения совпадает с вектором скорости

Если скорость тела по модулю уменьшается, то есть

v₂ < v₁

то направление вектора ускорения противоположно направлению вектора скорости Иначе говоря, в данном случае происходит замедление движения, при этом ускорение будет отрицательным (а < 0). На рис. 1.9 показано направление векторов ускорения при прямолинейном движении тела для случая ускорения и замедления.

Рис. 1.9. Мгновенное ускорение.

При движении по криволинейной траектории изменяется не только модуль скорости, но и её направление. В этом случае вектор ускорение представляют в виде двух составляющих (см. следующий раздел).

Тангенциальное ускорение

Тангенциальное (касательное) ускорение – это составляющая вектора ускорения, направленная вдоль касательной к траектории в данной точке траектории движения. Тангенциальное ускорение характеризует изменение скорости по модулю при криволинейном движении.

Рис. 1.10. Тангенциальное ускорение.

Направление вектора тангенциального ускорения (см. рис. 1.10) совпадает с направлением линейной скорости или противоположно ему. То есть вектор тангенциального ускорения лежит на одной оси с касательной окружности, которая является траекторией движения тела.

Нормальное ускорение

Нормальное ускорение – это составляющая вектора ускорения, направленная вдоль нормали к траектории движения в данной точке на траектории движения тела. То есть вектор нормального ускорения перпендикулярен линейной скорости движения (см. рис. 1.10). Нормальное ускорение характеризует изменение скорости по направлению и обозначается буквой Вектор нормального ускорения направлен по радиусу кривизны траектории.

Полное ускорение

Полное ускорение при криволинейном движении складывается из тангенциального и нормального ускорений по правилу сложения векторов и определяется формулой:

(согласно теореме Пифагора для прямоугольно прямоугольника).

Направление полного ускорения также определяется правилом сложения векторов:

Источник

Ускорение в кинематике точки[править | править код]

Наиболее общий случай[править | править код]

Ускорение и связанные величины[править | править код]

Анализ движения по кривой[править | править код]

Важные частные случаи[править | править код]

Равноускоренное движение[править | править код]

Прямолинейное движение[править | править код]

Движение по окружности[править | править код]

Ускорение при сложном движении[править | править код]

Ускорения в кинематике твёрдого тела[править | править код]

Создание ускорения. Динамика точки[править | править код]

Классическая механика[править | править код]

Релятивистская механика[править | править код]

Ускорение в теории относительности[править | править код]

Измерения ускорений[править | править код]

Используемые единицы[править | править код]

Технические средства[править | править код]

Значения ускорения в некоторых случаях[править | править код]

Понятие “обобщённое ускорение”[править | править код]

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

Ссылки[править | править код]

Траектория движения материальной точки через радиус-вектор

Вектор скорости материальной точки

Пример нахождения вектора скорости

Как найти вектор ускорения материальной точки

Модуль вектора скорости точки

Модуль вектора ускорения

Еще примеры решений задачи нахождения вектора скорости и ускорения

Ускорение материальной точки

Неравномерное движение

Ускорение

Что мы узнали?

Тест по теме

Оценка доклада

Среднее ускорение

Мгновенное ускорение

Тангенциальное ускорение

Нормальное ускорение

Полное ускорение

Вам также может понравиться

Мне нравиться мальчик а я ему нет как все исправить

Как найти работу трейдеру

Как найти массу покоя фотона

Добавить комментарий Отменить ответ