Как найди диагональ ромба зная площадь

Диагонали ромба онлайн

1. Диагонали ромба через высоту и угол

Пусть известны высота и угол ромба (Рис.1).

Покажем, что диагонали ромба через высоту и угол вычисляются по формулам

Формула стороны ромба через высоту и угол имеет следующий вид:

Поскольку диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам точкой их пересечения (свойства 5 и 6 ромба), то треугольник AOB прямоугольный. Тогда из теоремы синусов, имеем:

или, учитывая (small AO=frac{large d_1}{large 2} ,) (small BO=frac{large d_2}{large 2} ,) ( small AB=a ,) ( small sin(90°-frac{alpha}{2})=cos frac{alpha}{2} ,) получим

Подставляя (3) в (4) и (5), и учитывая формулу синуса двойного угла ( small sin alpha=2sin frac{alpha}{2}cos frac{alpha}{2} ,) получим:

Мы вывели формулы диагоналей ромба (1) и (2) через высоту и угол.

2. Диагонали ромба через площадь и высоту

Рассмотрим ромб с высотой h и площадью S (Рис.2).

Покажем, что диагонали ромба через высоту и площадь вычисляются по формулам:

где

В параграфе 1 мы вывели формулы длин диагоналей (6), (7) через высоту и угол. Покажем, что угол ромба через площадь и высоту вычисляется формулой (8).

В статье Сторона ромба мы вывели формулы стороны ромба через площадь и высоту, а также через высоту и угол:

Сравнивая (9) и (10), получим:

Откуда:

или

Заметим, что высота ромба не может быть больше стороны ромба ( ( small h≤a ) ) и, следовательно, ( small h^2≤acdot h=S .)

3. Диагонали ромба через площадь и угол

Выведем формулу вычисления диагоналей ромба через площадь и угол. В статье Площадь ромба были выведены формулы площади ромба через угол и противолежащую диагональ и через угол и диагональ из данного угла:

Из (11) и (12) найдем ( small d_1 ) и ( small d_2: )

4. Диагональ ромба через угол и противолежащую диагональ

Пусть известна один из углов α=∠ABC ромба и противолежащая диагональ d₁=AC (Рис.4). Выведем формулу вычисления диагонали d₂=BD ромба.

Проведем другой диагональ BD. Как было отмечено выше, диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам точкой их пересечения. Кроме этого, диагонали ромба делят углы ромба пополам. Для прямоугольного треугольника AOB, имеем:

Откуда, учитывая, что (small AO=frac{large d_1}{large 2}, ) (small BO=frac{large d_2}{large 2}, ) получим формулу диагонали ромба через угол и противолежащую диагональ:

или

5. Диагональ ромба через угол и диагональ из данного угла

Пусть известны один из углов α=∠ABC ромба и диагональ из данного угла d₂=BD (Рис.5). Выведем формулу вычисления диагонали d₁=AC ромба.

Из формулы (15) найдем d₁:

или

6. Диагонали ромба через сторону и угол

Пусть известны сторона ромба и угол (Рис.6). Найдем диагонали ромба.

В статье Сторона ромба мы вывели формулу стороны ромба через угол и противолежащую диагональ, а также формулу стороны ромба через угол и диагональ из данного угла:

Из формул (17) и (18) найдем d₁ и d₂:

Получили формулы диагоналей ромба через угол и сторону ((19),(20)).

7. Диагонали ромба через площадь и радиус вписанной окружности

Пусть известны площадь ромба и радиус впианной в ромб окружности (Рис.7). Найдем диагонали ромба.

В параграфе 2 мы вывели формулы диагоналей ромба через площадь и высоту. Учитывая, что высота ромба равна радиусу вписанной в ромб окружности, умноженная на 2 (( small h=2r )), формулы (6)−(8) примут следующий вид:

где

Получили формулы длин диагоналей ромба через площадь и радиус вписанной окружности.

Зная площадь ромба и диагональ, можно вычислить вторую диагональ, используя формулу площади, полученную из прямоугольных треугольников, образованных диагоналями. (рис.115.а)
S=(d_1 d_2)/2
d_2=2S/d_1

В тех же прямоугольных треугольниках половины диагоналей являются катетами, а сторона ромба – гипотенузой, поэтому ее можно найти по теореме Пифагора, подставив вместо второй диагонали удвоенную площадь, деленную на первую диагональ.
a^2=〖d_1〗^2/4+〖d_2〗^2/4
a^2=〖d_1〗^2/4+(4S^2)/(4〖d_1〗^2 )
a^2=(〖d_1〗^4+4S^2)/(4〖d_1〗^2 )
a=√(〖d_1〗^4+4S^2 )/(2〖d_1〗^2 )

Чтобы вычислить периметр ромба через площадь и диагональ, нужно умножить полученное для стороны выражение на 4 и сократить дробь.
P=4a=(2√(〖d_1〗^4+4S^2 ))/〖d_1〗^2

Чтобы найти углы α и β у ромба, необходимо вернуться к прямоугольному треугольнику с диагоналями и стороной. Тангенс половины угла α будет равен отношению половины первой диагонали к половине второй диагонали. Угол β можно найти аналогичным путем, или отняв от 180 градусов угол α.
tan⁡〖α/2〗=d_1/2:d_2/2=d_1/d_2 =〖d_1〗^2/2S
tan⁡〖β/2〗=2S/〖d_1〗^2

Высота ромба связана с его стороной и углом α в прямоугольном треугольнике отношением синуса. Подставив вместо стороны ромба выражение через площадь и диагональ, можно рассчитать высоту ромба по следующей формуле. (Рис.115.1)
h=sin⁡α √(〖d_1〗^4+4S^2 )/(2〖d_1〗^2 )

Радиус окружности, вписанной в ромб, повторяет формулу высоты ромба через его площадь и диагональ, увеличивая коэффициент в знаменателе в два раза.
r=sin⁡α √(〖d_1〗^4+4S^2 )/(4〖d_1〗^2 )