The diagonals of hexagons may be calculated by understanding hexagon structure and correlating the side of a hexagon to its radius. Keep reading to find out how to do the math.
Properties of Regular Hexagons
A hexagon is a six-sided polygon or 6-gon. The word hexagon comes from the Greek hex, meaning six, and gonia, meaning corner or angle.
Properties of regular hexagons:
- interior angles of 120 degrees
- the total of the interior angles of a hexagon is 720 degrees
- each side and the interior angles are equal to each other
- there are no curved sides
- all lines connect to make the shape closed
An irregular hexagon has six unequal sides. A convex hexagon has no angles pointing inward. A concave hexagon has an angle greater than 180 degrees (pointing inward).
Diagonals of Hexagons
To find the diagonals of hexagons, use the formula:
n (n-3)/2, where n is the number of sides of a polygon.
For a hexagon, n = 6, and 6 (6-3) / 2 equals nine diagonals.
A regular hexagon shape has a radius that equals the side length. This creates six triangles. Recall that a radius of a hexagon is the center point of the hexagon to one of its corners.
Also recall that a diagonal is a line joining two opposite corners of a straight-sided shape. For regular hexagons, the nine diagonals form into six equilateral triangles.
Determining the Length of Diagonals in Hexagons
Since the nine diagonals form into six equilateral triangles, and the radius equals the side length, this makes it straightforward to determine the length of each diagonal line. If one side of the hexagon is known, then all sides are known, and the diagonals are calculated using the following basic steps:
Step 1: Determine the Length of One Side of the Hexagon
All the sides are equal in a regular hexagon. If the length of one side is known, then all are. The known, or given, is labeled as “g” (given side).
Step 2: Calculate Diagonal of Hexagon
Note the equation for finding the diagonal of a regular hexagon:
d (diagonal) = 2g (given side)
Multiply the known or given side of the hexagon by two. The product is the length of the diagonal of a regular hexagon.
For example, if the given side equals 10 meters, then the diagonal is: 2(10 meters), or 20 meters.
Diagonals of an Irregular Hexagon
There is no standard formula for finding the diagonals of irregular hexagons.
Although you can calculate the number of diagonals in an irregular hexagon, finding the diagonal measurement of an irregular would require splitting the hexagon into triangles. However, if they are not right triangles, there is not a format for finding the length of the interior side, the diagonal. The Pythagorean Theorem applies only to right triangles.
If each side and angle were given along with the area, then the diagonals could be determined; however, it is unlikely so many variables would be specified in a problem.
The Hexagon in Nature
A beehive is one of the most easily identifiable hexagon structures in nature. In a beehive, there are interconnected hexagons, and this structure was found to be good for packing as it leaves no empty space within the hive. For the same reason, soap bubbles, when lining up, create hexagonal shapes.
When water spins at high velocity, it takes the shape of a hexagon. Likewise, there is a perpetual storm-like cloud in the shape of a hexagon at Saturn’s north pole.
A carbon ring is a hexagon shape with a carbon at each corner. Dragonfly eyes have a hexagonal shape and so do the patterns on a tortoise shell.
Шестиугольник представляет собой геометрическую фигуру, многоугольник, который имеет шесть углов и
шесть сторон.
Также существует правильный шестиугольник. Он обладает следующим свойством: все ребра и углы равны.
Каждый угол составляет 120 градусов. А также он состоит из шести правильных и равных
треугольников.
- Длинная диагональ правильного шестиугольника через
площадь - Котроткая диагональ правильного шестиугольника через
площадь - Длинная диагональ правильного шестиугольника через
сторону - Короткая диагональ правильного шестиугольника через
сторону
Длинная диагональ через площадь
Длинной диагональю на рисунке являются отрезки ВЕ, AD и CF. Все диагонали будут равны между собой.
Это свойство касается как правильной фигуры, так и неправильной. Для нахождения длинной диагонали
правильного шестиугольника понадобится площадь полной фигуры (правильного шестиугольника), которую
можно найти по формуле S = (a * a * √3 * 6) / 4. А диагональ находится по
следующим образом:
D = √((S / 3√3) * 8)
где S — площадь правильного шестиугольника.
Цифр после
запятой:
Результат в:
Пример. Сторона шестиугольника равна 6 см. Тогда площадь: S = (6 * 6 * √3 * 6) / 4 = 54√3 см. D = √((54√3 / 3√3) * 8) = 12 см.
Короткая диагональ через площадь
Короткими диагоналями можно назвать BD, BF, AE или же DF. Для нахождения неизвестной стороны также,
как и в прошлой ситуации, понадобится площадь фигуры, которую возможно найти по следующей формуле:
S = (a * a * √3 * 6) / 4. После этого найденная величина подставляется в
готовую формулу:
D = √((S / √3) * 2)
где S — площадь правильного многоугольника.
Цифр после
запятой:
Результат в:
Пример. Как и в прошлой задаче, ребро равно 6 см. Тогда площадь правильного
шестиугольника = 54√3 см. Далее можно находить и искомую диагональ: D = √((54√3 / √3) * 2) = 6√3
Длинная диагональ через сторону
Длинной диагональю на рисунке являются отрезки ВЕ, AD и CF. Длинную диагональ правильно
шестиугольника можно вычислить и без нахождения площади. Для выполнения математических действий и
нахождения неизвестной переменной надо знать лишь ребро многоугольника:
D = 2a
где a — сторона правильного шестиугольника.
Цифр после
запятой:
Результат в:
Длинная диагональ состоит из двух сторон треугольников, прилегающих друг к другу, поэтому сторону
умножаем на 2.
Пример. В задаче дан правильный шестиугольник. Его ребро равно 3 см. Тогда длинная
диагональ равна 6 см.
Короткая диагональ через сторону
Также существует и другой способ нахождения короткой диагонали, равностороннего шестиугольника.
Например, диагонали BD. Для нахождения достаточно лишь знание стороны фигуры:
D = √(3 * a * a)
где a — сторона правильного шестиугольника.
Цифр после
запятой:
Результат в:
Пример. Сторона АВ равна 10 см. Тогда BD = D = √(3 * 10 * 10) = 10√3 см = 17 см.
Для более простого понимания такой темы, как вычисление диагонали правильного шестиугольника, стоит
для начала увидеть, что данный многоугольник состоит из шести равносторонних и равных между собой
треугольников. (Неправильный шестиугольник условно можно разделить на шесть равнобедренных
треугольник). О – это центр правильного шестиугольника. Он делит диагонали на равные отрезки. Также
точка пересечения длинных диагоналей является центром вписанной и описанных окружностей. Все
диагонали также равны между собой и делят углы на две равные части, то есть выполняют функцию
биссектрисы, а также высоты или медианы, так как были проведены в равнобедренном треугольнике. Таким
образом будет легче находить какие-то неизвестные отрезки.
Однако существует и более сложный метод – через нахождение площади фигуры. Данную формулу запомнить
просто: S = (a * a * √3) / 4 – она необходима, чтобы вычислить площадь
равностороннего треугольника, где величина а является стороной. А вышеупомянутая фигура состоит из
шести таких геометрических фигур, поэтому конечная формула будет выглядеть так: S = (a * a * √3 * 6) / 4
Таким образом, шестиугольник является не такой уж и сложной фигурой, как кажется на первый взгляд.
Достаточно изучить элементарные свойства и запомнить их.
как найти диагонали в правильном шестиугольники? как найти диагонали в правильном шестиугольники?
Ученик
(229),
закрыт
11 лет назад
Владимир
Мастер
(1589)
11 лет назад
Диагональ правильного шестиугольника в два раза больше его стороны.
Диагональ правильного шестиугольника равна диаметру описанной вокруг него окружности.
Диагональ правильного шестиугольника равна диаметру вписанной в него окружности, поделенному на косинус угла 30 градусов.
Ксения Репина
Ученик
(172)
11 лет назад
Диагональ любого многоугольника – это отрезок, соединяющий две не соседние вершины!
В шестиугольнике они могут быть разной длины, могут равняться радиусу описанной окружности, а могут быть и меньше.
Загрузить PDF
Загрузить PDF
Нахождение числа диагоналей является важнейшим навыком, который пригодится при решении геометрических задач. Это не так сложно, как кажется – просто нужно запомнить формулу. Диагональ – это отрезок, соединяющий любые две несмежные вершины многоугольника.[1]
Многоугольник – это любая фигура с как минимум тремя сторонами. При помощи несложной формулы можно найти количество диагоналей в любом многоугольнике, например, с 4 сторонами или с 4000 сторон.
-
1
Запомните названия многоугольников. Сначала нужно найти число сторон многоугольника. Это можно сделать по названию любого многоугольника. Вот названия самых распространенных многоугольников:[2]
- Четырехугольник: 4 стороны
- Пятиугольник: 5 сторон
- Шестиугольник: 6 сторон
- Семиугольник: 7 сторон
- Восьмиугольник: 8 сторон
- Девятиугольник: 9 сторон
- Десятиугольник: 10 сторон
- Обратите внимание, что у треугольника диагоналей нет.[3]
-
2
Нарисуйте многоугольник. Чтобы найти число диагоналей в квадрате, нарисуйте его. Самый простой способ найти число диагоналей – это нарисовать правильный многоугольник (в таком многоугольнике все стороны равны) и посчитать количество диагоналей. Запомните: неправильный многоугольник будет иметь такое же количество диагоналей, что и правильный (при одинаковом числе сторон).[4]
- Чтобы нарисовать многоугольник, воспользуйтесь линейкой; нарисуйте замкнутую фигуру со сторонами одинаковой длины.
- Если вы не знаете, как выглядит многоугольник, поищите картинки в интернете. Например, знак «Стоп» – это восьмиугольник.
-
3
Нарисуйте диагонали. Диагональ – это отрезок, соединяющий любые две несмежные вершины многоугольника.[5]
Из одной (любой) вершины многоугольника проведите диагонали к другим (несмежным) вершинам.- В квадрате проведите одну диагональ из нижнего левого угла в правый верхний угол, а вторую – из нижнего правого угла в левый верхний угол.
- Нарисуйте диагонали разных цветов, чтобы быстрее посчитать их.[6]
- Обратите внимание, что применять этот метод к многоугольникам, у которых больше 10 сторон, довольно сложно.
-
4
Посчитайте диагонали. Можно считать диагонали во время того, как вы рисуете их, или после того, как они нарисованы. Отмечайте диагонали, которые уже посчитаны, чтобы не запутаться (особенно когда диагоналей много и они пересекаются).
- У квадрата всего две диагонали – по одной на каждые две вершины.[7]
- У шестиугольника 9 диагоналей: по три диагонали на каждые три вершины.
- У семиугольника 14 диагоналей. Если у многоугольника больше семи сторон, посчитать диагонали довольно сложно, потому что их слишком много.
- У квадрата всего две диагонали – по одной на каждые две вершины.[7]
-
5
Каждую диагональ считайте только один раз. Из каждой вершины выходит несколько диагоналей, но это не значит, что число диагоналей равно произведению числа вершин на число диагоналей, выходящих из каждой вершины. Поэтому аккуратно считайте диагонали.[8]
- Например, у пятиугольника (5 сторон) только 5 диагоналей. Из каждой вершины выходит 2 диагонали; если умножить число вершин на число диагоналей, выходящих из каждой вершины, получите 10. Это неверный ответ, как если бы вы посчитали каждую диагональ дважды.
-
6
Попрактикуйтесь в определении числа диагоналей на некоторых примерах. Нарисуйте разные многоугольники и посчитайте их диагонали. Этот метод применим и к неправильным многоугольникам. В случае вогнутого многоугольника некоторые диагонали лежат вне границ фигуры.[9]
- У шестиугольника 9 диагоналей.
- У семиугольника 14 диагоналей.
Реклама
-
1
Запишите формулу. Формула для вычисления числа диагоналей многоугольника: d = n(n-3)/2, где d – число диагоналей, n – число сторон многоугольника.[10]
Используя распределительное свойство, эту формулу можно записать так: d = (n2 – 3n)/2. Можно пользоваться любой формой представленной формулы.- Эта формула для вычисления числа диагоналей многоугольника.
- Обратите внимание, что эта формула не применима к треугольникам, потому что у треугольников диагоналей нет.[11]
-
2
Определите число сторон многоугольника. Чтобы использовать приведенную формулу, нужно знать число сторон многоугольника. Число сторон можно выяснить по названию многоугольника. Ниже приведены части названий многоугольников.[12]
- Четырех (4), пяти (5), шести (6), семи (7), восьми (8), девяти (9), десяти (10), одиннадцати (11), двенадцати (12), тринадцати (13 ), четырнадцати (14), пятнадцати (15) и так далее.
- Если сторон слишком много, то в название многоугольника включается цифра. Например, если у многоугольника 44 стороны, он называется 44-угольником.
- Если дан рисунок многоугольника, просто посчитайте его стороны.
-
3
Подставьте число сторон в формулу. Сделайте это после того, как найдете число сторон многоугольника. Число сторон подставьте вместо n.[13]
- Например. У двенадцатиугольника 12 сторон.
- Запишите формулу: d = n(n-3)/2
- Подставьте число сторон: d = (12(12 – 3))/2
-
4
Решите уравнение. Для этого не забудьте про определенный порядок выполнения математических операций. Начните с вычитания, затем умножьте, а потом разделите. В итоге вы получите число диагоналей многоугольника.[14]
- Например: (12(12 – 3))/2
- Вычитание: (12*9)/2
- Умножение: (108)/2
- Деление: 54
- У двенадцатиугольника 54 диагонали.
-
5
Попрактикуйтесь на других примерах. Чем больше задач вы решите, тем лучше уясните процесс вычисления. Также вы наверняка запомните формулу для вычисления числа диагоналей, что пригодится на экзамене. Не забывайте, что представленная формула применима к многоугольнику, у которого больше трех сторон.
- Шестиугольник (6 сторон): d = n(n-3)/2 = 6(6-3)/2 = 6*3/2 = 18/2 = 9 диагоналей.
- Десятиугольник (10 сторон): d = n(n-3)/2 = 10(10-3)/2 = 10*7/2 = 70/2 = 35 диагоналей.
- Двадцатиугольник (20 сторон): d = n(n-3)/2 = 20(20-3)/2 = 20*17/2 = 340/2 = 170 диагоналей.
- 96-угольник (96 сторон): 96(96-3)/2 = 96*93/2 = 8928/2 = 4464 диагоналей.
Реклама
Об этой статье
Эту страницу просматривали 175 018 раз.
Была ли эта статья полезной?
Шестиугольник – это шестигранный многоугольник. Правильный шестиугольник означает, что каждая сторона формы равна друг другу, в то время как неправильный шестиугольник имеет шесть неравных сторон. Форма имеет девять диагоналей, линии между внутренними углами. Хотя не существует стандартной формулы для нахождения диагоналей неправильных шестиугольников, для правильных шестиугольников девять диагоналей образуют шесть равносторонних треугольников, что позволяет легко определять длину каждой диагональной линии. Если известна одна сторона шестиугольника, то известны все стороны, и диагонали легко вычисляются.
Определите длину одной стороны шестиугольника. Для правильных шестиугольников все стороны равны: Таким образом, каждая сторона имеет одинаковую длину, и если одна сторона известна, то все равны. Известное или данное обозначено как «g» (заданная сторона).
Выпишите уравнение для нахождения диагонали правильного шестиугольника: d (диагональ) = 2g (заданная сторона).
Умножьте известную или заданную сторону шестиугольника на 2. Произведение – это длина диагонали правильного шестиугольника.
Хотя вы можете рассчитать количество диагоналей в неправильном шестиугольнике, для нахождения диагонального измерения неправильного потребуется сначала разбить шестиугольник на четыре треугольника. Однако, если они не являются правильными треугольниками, которые они вряд ли будут, нет формального для определения длины внутренней стороны, которая была бы диагональю. Теорема Пифагора применима только к прямоугольным треугольникам. если бы каждая сторона и угол были указаны вместе с площадью, то можно было бы определить диагонали, но это много переменных, которые можно принять.
