Как найди дисперсию доли

Вариация альтернативного (качественного) признака. Правило сложения дисперсий для доли признака.

При
статистическом выражении колеблемости
альтернативных признаков наличие
изучаемого признака обозначается 1,
а его отсутствие – 0.
Доля вариантов, обладающих изучаемым
признаком обозначается р,
а доля вариантов, не обладающих признаком
q.
Следовательно, р+q=1.

Найдем их среднее
значение и дисперсию:

(6.19)

(6.20)

Дисперсия
альтернативного признака равна
произведению доли единиц, обладающих
признаком, и доли единиц, не обладающих
им.

Пример
6.3. На 10000
населения приходится 4000 мужчин и 6000
женщин. Определить среднее квадратическое
отклонение по полу.

Решение:
Доля мужчин в населении p=4000/10000=0,4;
доля женщин q=6000/10000=0,6.
Тогда дисперсия
,
а среднее квадратическое отклонение
.

Пример
6.4. Налоговой
инспекцией одного из районов города
проведено 86 проверок коммерческих фирм
и в 37 обнаружены финансовые нарушения.
Определить среднее квадратическое
отклонение числа нарушений.

Решение:
По условию n=86,
m=37,
тогда доля фирм, в которых обнаружены
нарушения, составит p=37/86=0,43;
q=1-0,43=0,57.
Дисперсия –
,
а среднее квадратическое отклонение.

Правило сложения
дисперсий распространяется и на дисперсии
доли признака, то есть доли единиц с
определенным признаком в совокупности,
разбитой на части (группы).

Внутригрупповая
дисперсия доли определяется
по формуле:

(6.21)

Средняя из
внутригрупповых дисперсий рассчитывается
так:

(6.22)

где
n_i
– численность единиц в отдельных
группах;

Формула
межгрупповой дисперсии имеет следующий
вид:

(6.23)

–доля
изучаемого признака во всей совокупности,
которая определяется по формуле:

(6.24)

Общая дисперсия
определяется по формуле:

(6.25)

Три вида дисперсий
объединены между собой следующим
образом:

(6.26)

Это – правило
сложения дисперсии доли признака.

Пример
6.5. Имеются
следующие данные об удельном весе
основных рабочих в трех цехах фирмы:

Цех	Удельный вес основных рабочих в % (pi)	Численность всех рабочих в %
1 2 3	80 75 90	100 200 150
Итого	–	450

Определить общую
дисперсию доли основных рабочих по всей
фирме, используя правило сложения
дисперсий.

Решение:
1)Определим
долю рабочих в целом по фирме (формула
6.24.).

.

2) Общая дисперсия
доли основных рабочих по фирме в целом
будет равна (формула 6.25):

.

3) Внутрицеховые
дисперсии рассчитаем, применив формулу
6.21.

4)Средняя из
внутригрупповых дисперсий будет равна
(формула 6.22.)

.

5) Межгрупповую
дисперсию определим по формуле 6.23.

.

Проверка вычислений
показывает: 0,154 = 0,15 + 0,004.

Показатели дифференциации и концентрации

Анализ вариации
в рядах распределения целесообразно
дополнить показателями
дифференциации.

Для оценки
дифференциации значений признака ряда
используются децильный
коэффициент дифференциации и коэффициент
фондов.

Децильный
коэффициент
равен отношению девятой децили к первой
децили. Децильный коэффициент широко
применяют при измерении соотношения
уровней дохода 10% наиболее обеспеченного
и 10% наименее обеспеченного населения
(в разах).

Коэффициент
фондов
равен отношению среднего уровня 10-й
децили к среднему уровню 1-й децили. Он
дает более точный уровень дифференциации.

Государственная
статистика регулярно публикует
коэффициент фондов для характеристики
дифференциации доходов. Однако в
исследовательской работе чаще используется
децильный коэффициент дифференциации.
Его применение особенно эффективно в
случае, если, например, в распределении
доходов в начале первого дециля
присутствуют крайне низкие доходы, а
десятый дециль завершается аномально
высокими доходами, которые существенно
влияют на сумму доходов в этих децилях.
В такой ситуации правильнее применять
децильный коэффициент дифференциации,
а не коэффициент фондов.

К
показателям дифференциации близки по
значению показатели концентрации:
коэффициент Джини и коэффициент
Герфиндаля.

Коэффициент
концентрации Джини
рассчитывается по формуле:

,
(6.27)

где
p_i
– накопленная
доля (частость) численности единиц ряда

q_i
–
накопленная доля значений признака,
приходящаяся на все единицы ряда со
значеними признака не более x_i.²

Коэффициент
Джини может принимать значения от 0 до
1, поэтому результат следует разделить
либо на 100, если p_i
или q_i
выражен в процентах, либо на 10000, если
оба показателя выражены в процентах.
Чем больше концентрация признака, тем
ближе коэффициент Джини к 1. Коэффициент
Джини используют для характеристики
степени неравномерности распределения
совокупности (например, населения) по
уровню признака (например, доходов).

Коэффициент
Герфиндаля
вычисляется на основе данных о доле
изучаемого признака в i-той
группе в совокупном объеме признака:

или

(6.28)

где

– доля выручкиi-той
группы в общем объеме всех значений
признака;

–
объём значений признака в i–той
группе.

Показатель
Н
зависит от числа единиц в группах.

Пример
6.6. Имеются данные о полученной
балансовой прибыли 50 крупнейших банков
России (по состоянию на 01.01.1998 г.), (в
млн. руб.)

1	–	974,2	11	–	188,8	21	–	143,9	31	–	85,4	41	–	69,3
2	–	609,2	12	–	187,3	22	–	134,6	32	–	84,5	42	–	66,4
3	–	588,3	13	–	186,8	23	–	120,9	33	–	82,4	43	–	66,2
4	–	562,9	14	–	171,1	24	–	112,2	34	–	79,6	44	–	59,7
5	–	436,3	15	–	167,9	25	–	108,5	35	–	74,3	45	–	59,1
6	–	432,5	16	–	164,3	26	–	101,6	36	–	74,0	46	–	58,3
7	–	283,6	17	–	160,3	27	–	101,3	37	–	73,5	47	–	57,4
8	–	265,8	18	–	159,9	28	–	97,4	38	–	73,2	48	–	53,8
9	–	231,5	19	–	157,5	29	–	97,4	39	–	73,0	49	–	51,4
10	–	211,7	20	–	147,6	30	–	92,0	40	–	71,5	50	–	51,2

Величина балансовой
прибыли Сбербанка России на 01.07.97 –
4353,283 млн. руб.

1. Постройте
   вариационный ряд, образовав 7-8 интервалов
   произвольно.

2. Рассчитайте
   средний размер балансовой прибыли на
   один банк на основе средней арифметической,
   моды и медианы.

3. Рассчитайте
   показатели вариации.

4. Измерьте
   дифференциацию банков на основе
   децильного коэффициента и коэффициента
   фондов.

5. Рассчитайте
   коэффициент концентрации Джини и
   Герфиндаля.

Решение:

1. Распределение
50 банков РФ по размеру балансовой прибыли
(БП) на 01.01.1998 г.

БП, млн. руб. xk-1–xk	Коли-чество банков	Сере-дина интер- вала xi	xifi	На-копл. час-тоты Vi	На-копл. час-тос- ти pi	Доля БП групп банков в общем объеме БП
fi	в % к ито- гу		на- раст. ито- гом, qi
А	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
50-60	7	14	55	385	7	14	0,042	0,042	0,02	116487
60-80	10	20	70	700	17	34	0,076	0,118	0,006	129960
80-100	6	12	90	540	23	46	0,059	0,177	0,003	53016
100-150	8	16	125	1000	31	62	0,109	0,286	0,012	27848
150-300	13	26	225	2925	44	88	0,318	0,604	0,101	21853
300-500	2	4	400	800	46	92	0,087	0,691	0,008	93312
500-800	3	6	650	1950	49	98	0,212	0,902	0,045	651468
800-1000	1	2	900	900	50	100	0,098	1,0	0,010	512656
Итого	50	100	–	9200	–	–	1	–	0,187	1606600

2. Средние показатели:

а) средний размер
балансовой прибыли на один банк рассчитаем
по средней арифметической взвешенной

б) моду рассчитаем
по формуле (5.6)

Модальный интервал
– 150-300, т.к. частота этого интервала,
равная 13, является максимальной.

в) медиану рассчитаем
по формуле (5.5)

Медианный
интервал – 100-150, т.к. накопленная частота
этого интервала, равная 31, – первая
накопленная частота, превышающая
половину суммы частот ряда.

3. Показатели
вариации:

а) дисперсия (по
формуле 6.6)

=

б) среднее
квадратическое отклонение (по формуле
6.7)

в) коэффициент
вариации (по формуле 6.11)

V>35%,
что
свидетельствует о неоднородности
совокупности.

4. Показатели
дифференциации:

а) для нахождения
децильного коэффициента определим
вначале первый и девятый децили по
формуле 5.4

Интервал,
соответствующий первому децилю – 50-60,
т.к. накопленная частота этого интервала,
равная 7, первая накопленная частота,
превышающая 0,1 суммы частот.

Интервал,
соответствующий девятому децилю –
300-500, т.к. накопленная частота этого
интервала, равная 14, первая накопленная
частота, превышающая 0,9 суммы частот.

Тогда
децильный коэффициент составит:

б)
т.к. 10% самых крупных и 10% самых мелких
банков составляют одну и ту же величину
(в нашем примере
),
то фондовый коэффициент составит (по
данным исходной таблицы):

5. Показатели
концентрации:

а) коэффициент
Джини рассчитаем по формуле 6.27, произведя
предварительные расчеты

1,652	1,428
6,018	5,428
13,156	10,974
37,448	25,168
60,808	55,568
82,984	67,718
98	90,02

б) коэффициент
Герфиндаля определим по формуле 6.28 (см.
итог гр 9):

Пример 6.7.
Для иллюстрации принципа расчета
коэффициентов Джини и Герфиндаля
воспользуемся данными выборочного
обследования дневной выручки 20 продуктовых
магазинов (тыс. руб):

Номера мага-зинов i	Значения признака (выручка магазина) хi	Накоп-ленные значения признака	Накоп-ленная доля значений признака qi	Накоп-ленная доля численности единиц ряда: pi
1	9	9	0,022	0,05	0,002	–	0,0005
2	9	18	0,044	0,1	0,007	0,002	0,0005
3	11	29	0,071	0,15	0,014	0,007	0,0007
4	12	41	0,1	0,2	0,025	0,015	0,0009
5	15	56	0,137	0,25	0,041	0,027	0,0013
6	16	72	0,176	0,3	0,062	0,044	0,0015
7	17	89	0,218	0,35	0,087	0,065	0,0017
8	18	107	0,262	0,4	0,118	0,092	0,0019
9	19	126	0,308	0,45	0,154	0,123	0,0021
10	21	147	0,359	0,5	0,198	0,162	0,0026
11	21	168	0,411	0,55	0,246	0,205	0,0026
12	25	193	0,472	0,6	0,307	0,296	0,0037
13	25	218	0,533	0,65	0,373	0,320	0,0037
14	26	244	0,597	0,7	0,447	0,388	0,0040
15	26	270	0,66	0,75	0,528	0,462	0,0040
16	26	296	0,724	0,8	0,615	0,543	0,0040
17	26	322	0,787	0,85	0,709	0,630	0,0040
18	27	349	0,853	0,9	0,811	0,725	0,0044
19	30	379	0,927	0,95	0,927	0,834	0,0054
20	30	409	1,0	1,0	–	0,95	0,0054
					5,670	5,584	0,05528

Коэффициент
Джини равен 0,086, что свидетельствует о
невысоком уровне концентрации выручки
магазинов. Значение коэффициента
Герфиндаля, равное 0,05528, подтверждает
этот вывод.

Следует
отметить, что приведенные расчеты носят
исключительно иллюстративный характер,
поскольку экономический смысл
коэффициентов Джини и Герфиндаля
наиболее полно проявляется лишь при
проведении сравнений исследуемых
явлений во времени и в пространстве.
Например, коэффициента Джини для
характеристики дифференциации доходов
населения в различных регионах РФ или
странах, Коэффициента Герфиндаля для
характеристики концентрации производства,
капитала. Основное достоинство
коэффициента Герфиндаля – его высокая
чувствительность к изменению в суммарном
обороте долей крупнейших участников,
что позволяет отслеживать концентрацию
рыночного оборота и реагирует на число
участников рынка. Коэффициент Герфиндаля
может быть использован в качестве меры
диверсификации кредитного портфеля
банка. Чем меньше значение коэффициента
Герфиндаля, т.е. чем больше диверсифицирован
кредитный портфель, тем ниже могут быть
требования по капиталу к кредитному
портфелю.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Как найти дисперсию?

Дисперсия – это мера разброса значений случайной величины $X$ относительно ее математического ожидания $M(X)$ (см. как найти математическое ожидание случайной величины). Дисперсия показывает, насколько в среднем значения сосредоточены, сгруппированы около $M(X)$: если дисперсия маленькая – значения сравнительно близки друг к другу, если большая – далеки друг от друга (см. примеры нахождения дисперсии ниже).

Если случайная величина описывает физические объекты с некоторой размерностью (метры, секунды, килограммы и т.п.), то дисперсия будет выражаться в квадратных единицах (метры в квадрате, секунды в квадрате и т.п.). Ясно, что это не совсем удобно для анализа, поэтому часто вычисляют также корень из дисперсии – среднеквадратическое отклонение $sigma(X)=sqrt{D(X)}$, которое имеет ту же размерность, что и исходная величина и также описывает разброс.

Еще одно формальное определение дисперсии звучит так: “Дисперсия – это второй центральный момент случайной величины” (напомним, что первый начальный момент – это как раз математическое ожидание).

Формула дисперсии случайной величины

Дисперсия случайной величины Х вычисляется по следующей формуле:
$$
D(X)=M(X-M(X))^2,
$$
которую также часто записывают в более удобном для расчетов виде:
$$
D(X)=M(X^2)-(M(X))^2.
$$

Эта универсальная формула для дисперсии может быть расписана более подробно для двух случаев.

Если мы имеем дело с дискретной случайной величиной (которая задана перечнем значений $x_i$ и соответствующих вероятностей $p_i$), то формула принимает вид:
$$
D(X)=sum_{i=1}^{n}{x_i^2 cdot p_i}-left(sum_{i=1}^{n}{x_i cdot p_i} right)^2.
$$
Если же речь идет о непрерывной случайной величине (заданной плотностью вероятностей $f(x)$ в общем случае), формула дисперсии Х выглядит следующим образом:
$$
D(X)=int_{-infty}^{+infty} f(x) cdot x^2 dx – left( int_{-infty}^{+infty} f(x) cdot x dx right)^2.
$$

Пример нахождения дисперсии

Рассмотрим простые примеры, показывающие как найти дисперсию по формулам, введеным выше.

Пример 1. Вычислить и сравнить дисперсию двух законов распределения:
$$
x_i quad 1 quad 2 \
p_i quad 0.5 quad 0.5
$$
и
$$
y_i quad -10 quad 10 \
p_i quad 0.5 quad 0.5
$$

Для убедительности и наглядности расчетов мы взяли простые распределения с двумя значениями и одинаковыми вероятностями. Но в первом случае значения случайной величины расположены рядом (1 и 2), а во втором – дальше друг от друга (-10 и 10). А теперь посмотрим, насколько различаются дисперсии:
$$
D(X)=sum_{i=1}^{n}{x_i^2 cdot p_i}-left(sum_{i=1}^{n}{x_i cdot p_i} right)^2 =\
= 1^2cdot 0.5 + 2^2 cdot 0.5 – (1cdot 0.5 + 2cdot 0.5)^2=2.5-1.5^2=0.25.
$$
$$
D(Y)=sum_{i=1}^{n}{y_i^2 cdot p_i}-left(sum_{i=1}^{n}{y_i cdot p_i} right)^2 =\
= (-10)^2cdot 0.5 + 10^2 cdot 0.5 – (-10cdot 0.5 + 10cdot 0.5)^2=100-0^2=100.
$$
Итак, значения случайных величин различались на 1 и 20 единиц, тогда как дисперсия показывает меру разброса в 0.25 и 100. Если перейти к среднеквадратическому отклонению, получим $sigma(X)=0.5$, $sigma(Y)=10$, то есть вполне ожидаемые величины: в первом случае значения отстоят в обе стороны на 0.5 от среднего 1.5, а во втором – на 10 единиц от среднего 0.

Ясно, что для более сложных распределений, где число значений больше и вероятности не одинаковы, картина будет более сложной, прямой зависимости от значений уже не будет (но будет как раз оценка разброса).

Пример 2. Найти дисперсию случайной величины Х, заданной дискретным рядом распределения:
$$
x_i quad -1 quad 2 quad 5 quad 10 quad 20 \
p_i quad 0.1 quad 0.2 quad 0.3 quad 0.3 quad 0.1
$$

Снова используем формулу для дисперсии дискретной случайной величины:
$$
D(X)=M(X^2)-(M(X))^2.
$$
В случае, когда значений много, удобно разбить вычисления по шагам. Сначала найдем математическое ожидание:
$$
M(X)=sum_{i=1}^{n}{x_i cdot p_i} =-1cdot 0.1 + 2 cdot 0.2 +5cdot 0.3 +10cdot 0.3+20cdot 0.1=6.8.
$$
Потом математическое ожидание квадрата случайной величины:
$$
M(X^2)=sum_{i=1}^{n}{x_i^2 cdot p_i}
= (-1)^2cdot 0.1 + 2^2 cdot 0.2 +5^2cdot 0.3 +10^2cdot 0.3+20^2cdot 0.1=78.4.
$$
А потом подставим все в формулу для дисперсии:
$$
D(X)=M(X^2)-(M(X))^2=78.4-6.8^2=32.16.
$$
Дисперсия равна 32.16 квадратных единиц.

Пример 3. Найти дисперсию по заданному непрерывному закону распределения случайной величины Х, заданному плотностью $f(x)=x/18$ при $x in(0,6)$ и $f(x)=0$ в остальных точках.

Используем для расчета формулу дисперсии непрерывной случайной величины:
$$
D(X)=int_{-infty}^{+infty} f(x) cdot x^2 dx – left( int_{-infty}^{+infty} f(x) cdot x dx right)^2.
$$
Вычислим сначала математическое ожидание:
$$
M(X)=int_{-infty}^{+infty} f(x) cdot x dx = int_{0}^{6} frac{x}{18} cdot x dx = int_{0}^{6} frac{x^2}{18} dx =
left.frac{x^3}{54} right|_0^6=frac{6^3}{54} = 4.
$$
Теперь вычислим
$$
M(X^2)=int_{-infty}^{+infty} f(x) cdot x^2 dx = int_{0}^{6} frac{x}{18} cdot x^2 dx = int_{0}^{6} frac{x^3}{18} dx = left.frac{x^4}{72} right|_0^6=frac{6^4}{72} = 18.
$$
Подставляем:
$$
D(X)=M(X^2)-(M(X))^2=18-4^2=2.
$$
Дисперсия равна 2.

Другие задачи с решениями по ТВ

Вычисление дисперсии онлайн

Как найти дисперсию онлайн для дискретной случайной величины? Используйте калькулятор ниже.

• Введите число значений случайной величины К.
• Появится форма ввода для значений $x_i$ и соответствующих вероятностей $p_i$ (десятичные дроби вводятся с разделителем точкой, например: -10.3 или 0.5). Введите нужные значения (проверьте, что сумма вероятностей равна 1, то есть закон распределения корректный).
• Нажмите на кнопку “Вычислить”.
• Калькулятор покажет вычисленное математическое ожидание $M(X)$ и затем искомое значение дисперсии $D(X)$.

Видео. Полезные ссылки

Видеоролики: что такое дисперсия и как найти дисперсию

Если вам нужно более подробное объяснение того, что такое дисперсия, как она вычисляется и какими свойствами обладает, рекомендую два видео (для дискретной и непрерывной случайной величины соответственно).

Полезные ссылки

Не забывайте сначала прочитать том, как найти математическое ожидание. А тут можно вычислить также СКО: Калькулятор математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения.

Что еще может пригодиться? Например, для изучения основ теории вероятностей – онлайн учебник по ТВ. Для закрепления материала – еще примеры решений задач по теории вероятностей.

А если у вас есть задачи, которые надо срочно сделать, а времени нет? Можете поискать готовые решения в решебнике или заказать в МатБюро: