Как найди длину кривой - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Приближение длины дуги эллипса с помощью ломаных

Длина кривой (или, что то же, длина дуги кривой) — числовая характеристика протяжённости этой кривой^[1]. Исторически вычисление длины кривой называлось спрямлением кривой (от лат. rectificatio, спрямление).

Определение[править | править код]

Для евклидова пространства длина отрезка кривой определяется как точная верхняя грань длин вписанных в кривую ломаных.

Например, пусть непрерывная кривая gamma в трёхмерном пространстве задана параметрически:

(1)

Приближение кривой ломаными

где , все три функции непрерывны и нет кратных точек, то есть разным значениям соответствуют разные точки кривой. Построим всевозможные разбиения параметрического интервала [a,b] на отрезков: ${displaystyle a=t_{0}<t_{1}<dots <t_{m}=b}$ . Соединение точек кривой ${displaystyle gamma (t_{0}),dots ,gamma (t_{m})}$ отрезками прямых даёт ломаную линию. Тогда длина отрезка кривой определяется как точная верхняя грань суммарных длин всех таких ломаных^[2].

Длина дуги циклоиды (s) в зависимости от её параметра (θ)

Связанные определения[править | править код]

Всякая кривая имеет длину, конечную или бесконечную. Если длина кривой конечна, то говорят, что кривая спрямляемая, в противном случае — неспрямляемая. Снежинка Коха — классический пример ограниченной, но неспрямляемой кривой; более того, любая, сколь угодно малая её дуга неспрямляема^[3].
Параметризация кривой длиной её дуги называется естественной.
Кривая есть частный случай функции из отрезка в пространство. Вариация функции, определяемая в математическом анализе, является обобщением длины кривой (см. ниже).

Свойства[править | править код]

Если все функции в (1) являются функциями ограниченной вариации, то длина кривой существует и конечна.

В математическом анализе выводится формула для вычисления длины отрезка кривой, заданной уравнениями (1), при условии, что все три функции непрерывно дифференцируемы:

$s=int limits _{a}^{b}{sqrt {{x'}^{2}(t)+{y'}^{2}(t)+{z'}^{2}(t)}},dt$

(2)

Формула подразумевает, что

и длина отсчитывается в сторону возрастания параметра t. Если рассматриваются два разных направления отсчёта длины от точки кривой, то часто удобно приписать дуге на одном из этих направлений знак минус.

В n-мерном случае вместо (2) имеем аналогичную формулу:

$s=int limits _{a}^{b}{sqrt {sum limits _{{k=1}}^{n}{f'_{k}}^{2}(t)}},dt$

${displaystyle s=int limits _{a}^{b}{sqrt {1+(f'(x))^{2}}},dx.}$

В полярных координатах

$s=int limits _{a}^{b}{sqrt {r^{2}+left({frac {dr}{dvarphi }}right)^{2}}},dvarphi .$

Формула Крофтона позволяет связать длину кривой на плоскости и интеграл числа её пересечений с прямыми по естественной мере на пространстве прямых.

История[править | править код]

Задача спрямления оказалась гораздо сложнее, чем вычисление площади, и в античные времена единственное успешное спрямление было выполнено для окружности. Декарт даже высказывал мнение, что «отношение между прямыми и кривыми неизвестно и, даже, думаю, не может быть познано людьми»^[4]^[5].

Первым достижением стало спрямление параболы Нейла (1657), выполненное Ферма и самим Нейлом. Вскоре была найдена длина арки циклоиды (Рен, Гюйгенс). Джеймс Грегори (ещё до открытия математического анализа) создал общую теорию нахождения длины дуги, которая немедленно была использована для различных кривых.

Вариации и обобщения[править | править код]

Риманово пространство[править | править код]

В n-мерном римановом пространстве с координатами $x^{1}cdots x^{n}$ кривая задаётся параметрическими уравнениями:

$x^{i}=x^{i}(t)qquad qquad$

((3))

Длина кривой в римановом пространстве задаётся формулой:

$s=int limits _{a}^{b}{sqrt {g_{{ij}}{dx^{i} over dt}{dx^{j} over dt}}},dt$

где : $g_{ij}$ — метрический тензор.
Пример: кривая на поверхности в $mathbb {R} ^{3}$ .

Общее метрическое пространство[править | править код]

В более общем случае произвольного метрического пространства (X,rho) длиной кривой называется вариация задающего кривую отображения, то есть длина кривой определяется согласно формуле:

$s=sup sum limits _{{k=0}}^{m}rho (gamma (x_{{k+1}}),gamma (x_{k})),$

где верхняя грань берётся, как и ранее, по всем разбиениям $a=x_{0}<x_{1}<dots <x_{m}=b$ отрезка [a,b] .

См. также[править | править код]

Дифференциальная геометрия кривых
Объём
Определённый интеграл
Площадь
Дуга окружности
Кривая Пеано

Примечания[править | править код]

↑ Длина // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 2.
↑ Шибинский, 2007, с. 199.
↑ Шибинский, 2007, с. 201—202.
↑ Ренэ Декарт. Геометрия. С приложением избранных работ П. Ферма и переписки Декарта / Перевод, примечания и статьи А. П. Юшкевича. — М.—Л.: Гостехиздат, 1938. — С. 49. — 297 с. — (Классики естествознания).
↑ Оригинал цитаты на французском языке: «la proportion qui est entre les droites et les courbes n’étant pas connue, et même, je crois, ne le pouvant être par les hommes», см. Descartes, René. Discours de la méthode…. — 1637. — С. 340.

Литература[править | править код]

Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). — М.: Наука, 1973.
Мерзон Г. А., Ященко И. В. Длина, площадь, объем. — МЦНМО, 2011. — ISBN 9785940577409.
Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления в трёх томах. — Изд. 6-е. — М.: Наука, 1966.
Шибинский В. М. Примеры и контрпримеры в курсе математического анализа. Учебное пособие. — М.: Высшая школа, 2007. — 543 с. — ISBN 978-5-06-005774-4.

Источник

При вычислении любой длины следует помнить, что это величина конечная, то есть просто число. Если имеется в виду длина дуги кривой, то такая задача решается с помощью определенного интеграла (в плоском случае) или криволинейного интеграла первого рода (по длине дуги). Дуга АВ будет обозначаться UАВ.

Первый случай (плоский). Пусть UАВ задана плоской кривой y = f(x). Аргумент функции изменятся в пределах от а до b и она непрерывно дифференцируема этом отрезке. Найдем длину L дуги UАВ (см. рис. 1а). Для решения этой задачи разбейте рассматриваемый отрезок на элементарные отрезки ∆xi, i=1,2,…,n. В результате UАВ разобьется на элементарные дуги ∆Ui, участков графика функции y=f(x) на каждом из элементарных отрезков. Найдете длину ∆Li элементарной дуги приближенно, заменив ее соответствующей хордой. При этом можно приращения заменить дифференциалами и использовать теорему Пифагора. После вынесения из квадратного корня дифференциала dx получите результат, приведенный на рисунке 1b.

Как вычислить длину кривой

Второй случай (дуга UАВ задана параметрически). x=x(t), y=y(t), tє[α,β]. Функции x(t) и y(t) имеют непрерывные производные на отрезке этом отрезке. Найдите их дифференциалы. dx=f’(t)dt, dy=f’(t)dt. Подставьте эти дифференциалы в формулу для вычисления длины дуги в первом случае. Вынесите dt из квадратного корня под интегралом, положите х(α)=а, x(β)=b и придете к формуле для вычисления длины дуги в данном случае (см. рис. 2а).

Третий случай. Дуга UАВ графика функции задана в полярных координатах ρ=ρ(φ) Полярный угол φ при прохождении дуги изменяется от α до β. Функция ρ(φ)) имеет непрерывную производную на отрезке ее рассмотрения. В такой ситуации проще всего использовать данные, полученные на предыдущем шаге. Выберите φ в качестве параметра и подставьте в уравнения связи полярных и декартовых координат x=ρcosφ y=ρsinφ. Продифференцируйте эти формулы и подставьте квадраты производных в выражение на рис. 2а. После небольших тождественных преобразований, основанных в основном, на применении тригонометрического тождества (cosφ)^2+(sinφ)^2=1, получите формулу для вычисления длины дуги в полярных координатах (см. рис.2b).

Четвертый случай (пространственная кривая, заданная параметрически). x=x(t), y=y(t), z=z(t) tє[α,β]. Строго говоря, здесь следует применить криволинейный интеграл первого рода (по длине дуги). Криволинейные интегралы вычисляют переводом их в обычные определенные. В результате ответ останется практическим таким же как и случае два, с тем лишь отличием, что под корнем появится добавочное слагаемое – квадрат производной z’(t) (см рис. 2с).

Примеры:

Пример 1. Пусть в прямоугольных координатах дана плоская кривая АВ, уравнение которой у=ƒ(х), где а≤х≤ b.

Под длиной дуги АВ понимается предел, к которому стремится длина ломаной линии, вписанной в эту дугу, когда число звеньев ломаной неограниченно возрастает, а длина наибольшего звена ее стремится к нулю. Покажем, что если функция у=ƒ(х) и ее производная у’ = ƒ'(х) непрерывны на отрезке [а; b], то кривая АВ имеет длину, равную

Применим схему I (метод сумм).

1. Точками х₀= а, х₁…, х_n = b (х₀ < x₁ < …< х_n) разобьем отрезок [а; b] на n частей (см. рис. 183). Пустьэтим точкам соответствуют точки М₀ = А, M₁,…,M_n =В на кривой АВ. Проведем хорды М₀M₁, M₁M₂,…, М_n-1М_n, длины которых обозначим соответственно через ΔL₁, AL₂,…, ΔL_n. Получим ломаную M₀M₁M₂ … M_n-ιM_n, длина которой равна L_n=ΔL₁ + ΔL₂+…+ ΔL_n =

2. Длину хорды (или звена ломаной) ΔL₁ можно найти по теореме Пифагора из треугольника с катетами Δx_i и Δу_i:

По теореме Лагранжа о конечном приращении функции Δу_i=ƒ'(с_i)•Δх_i, где ci є (x_i-1;x_i). Поэтому

а длина всей ломаной M₀M₁… М_n равна

3.Длина l кривой АВ, по определению, равна

Заметим, что при ΔL_i→0 также и Δx_i →0 ΔLi =и, следовательно, |Δx_i|<ΔL_i).

Функция непрерывна на отрезке [а; b], так как, по условию, непрерывна функция ƒ'(х). Следовательно, существует предел интегральной суммы (41.4), когда max Δx_i→ 0:

Таким образом,или в сокращенной записи l =

Если уравнение кривой АВ задано в параметрической форме

где x(t) и y(t) — непрерывныефункции с непрерывными производными и х(а) = а, х(β) = b, то длина l кривой АВ находится по формуле

Формула (41.5) может быть получена из формулы (41.3) подстановкой x = x(t),dx = x'(t)dt,

Пример 2. Определить длину окружности x² + y² = r². Решение. Вычислим сначала длину четвертой части окружности, лежащей в первом квадранте. Тогда уравнение дуги AB будет, откуда,следовательно,

Длина всей окружности L = 2πr.

Пример 3. Найти длину дуги кривой y² = x³ от x = 0 до x = 1 (y > 0). Решение. Дифференцируя уравнение кривой, найдем y’ = (3/2)x^1/2, откуда

Пример 4. Пусть кривая лежит в плоскости x0y и описывается уравнением y = f(x).

Для нахождения длины дуги этой кривой, заключенной между точками с абсциссами a и b, разобьем дугу на столь малые элементы, чтобы каждый из них можно было аппроксимируовать прямолинейным участком (см. рисунок 1).

Рис. 1. Аппроксимация элемента дуги кривой прямолинейным участком.

Длину dL бесконечно малого участка можно выразить через dx и dy с помощью теоремы Пифагора:

(1)

где y ‘ – производная функции y = f(x) по переменной x.

Длина дуги равна сумме длин составляющих ее элементов:

Пример 5.

Источник

2.1. Определение спрямляемой кривой и длины кривой

Пусть
на плоскости задана кривая
.
Разобьём эту кривую точкаминачастей и впишем в кривую ломаную,
соединяющую эти точки. Длинаэтой ломанной равна сумме длин
прямолинейных звеньев, соединяющих
точки разбиения:.
Устремим теперь количествоточек разбиения к бесконечности так,
чтобы максимальная длина звенастремилась к нулю. Если при этом
существует конечный предел последовательности
длин ломаных,
не зависящий от способа разбиения
кривой, то кривая называется спрямляемой,
а значение этого предела называется
длиной кривой.

2.2. Длина кривой в декартовых координатах

Пусть
теперь кривая
_–график
функции
,
имеющей непрерывную производную,.
Тогда длина кривой, заданной декартовым
уравнением,,
определяется формулой.

Типовой
пример

Найти
длину отрезка параболы
от точкидо точки.

►Здесь
,
поэтому

◄.

2.3.
Кривая задана параметрически
.
Заменим впеременнуюна переменную.
Так как,
то.
Итак, длина кривой, заданной параметрически,
определяется формулой.

Типовой
пример

Вычислить
длину дуги кривой, заданной параметрическими
уравнениями
.

►Используем
формулу
.
Вычислим,.

Тогда
.◄

2.4. Кривая задана в полярных координатах

Случай,
когда кривая задаётся уравнением
,,
легко сводится к предыдущему. Так как,
то, рассматривая полярный уголкак параметр, получим,

поэтому

Типовой
пример

Найти
длину кардиоиды
.

►Имеем
,
поэтому.
Ответ явно бессмысленен. Где ошибка?
Ошибка в том, что упущен знак модуля при
извлечении корня из.
Правильное решение:

Однако,
как и в предыдущих случаях, проще
воспользоваться симметрией фигуры,
найти длину верхней ветви и удвоить её:
◄

3. Объёмы тел вращения

3.1.
Вычисление объёма тела по площадям
поперечных сечений
Пусть тело
расположено в пространстве между
плоскостямии,
и дляизвестна площадь его поперечного сечения.
Объём этого тела.

3.2. Объём тела, получающегося при вращении кривой вокруг координатной оси

Если
объём
получается в результате вращения кривой,,
вокруг оси,
то, очевидно,,
поэтому.

Типовой
пример

Вычислить
объем тела, полученного вращением кривых
ивокруг оси.

►Выполним
рисунок

Находим
точку пересечения кривых:
;
;

.
Объем искомого тела получится вычитанием
из объема тела, полученного вращением
кривой
,
объема тела, полученного вращением
кривой:

ед.
куб. 
ед. куб. ◄

3.3.
Объём тела, получающийся при вращении
сектора, ограниченного кривой
и двумя полярными радиусамии,
вокруг полярной осинаходится
по формуле
.

Типовой
пример

Найти
объём тора, полученного вращением
окружности
вокруг полярной оси.

►

.◄

4. Площадь поверхности вращения

Площадь
поверхности вращения, образующейся при
вращении вокруг оси
дифференцируемой кривой, определяется
по формулам (в зависимости от способа
задания кривой)

(–
длина окружности кольца,–
его ширина).

Типовой
пример

Найти
площадь тора, образующегося при вращении
окружности
вокруг оси.

►Имеем
.◄

§4. Определенный интеграл в экономике

1. Экономический смысл определенного интеграла

Пусть
функция
описывает изменение производительности
некоторого производства с течением
времени. Найдем объем продукции,
произведенной за промежуток времени.
Если производительность не изменяется
с течением времени (– постоянная функция), то объем продукции,
произведенной за некоторый промежуток
времени,
задается формулой.
В общем случае справедливо равенство,
где,
которое оказывается тем более точным,
чем меньше.
Разобьем отрезокна промежутки времени точками:.
Для величины объема продукции,
произведенной за промежуток времени,
имеем,
где,,.

Тогда

При стремлении
к нулю каждое из использованных
приближенных равенств становится все
более точным, поэтому
.

Используя
определение определенного интеграла,
окончательно получаем:
,
т.е. если
– производительность труда в момент,
то

есть объем выпускаемой продукции за
промежуток
.

Величина
и объем продукции, произведенной за
промежуток
,
численно равны площади под графиком
функции,
описывающей изменение производительности
труда с течением времени, на промежутке.

Пример

Известно,
что численность населения определяется
формулой
,
где
–
число жителей в начальный момент
времени. Известно также, что потребление
населением в единицу времени некоторого
продукта пропорционально числу жителей.
Пусть коэффициент пропорциональности
равен
,
тогда функция потреблениябудет иметь вид:.
Найти объем продукта, необходимого для
потребления на промежуток времени.

►В
малый промежуток времени
количество жителей будем считать
постоянным, следовательно, за этот
элементарный промежуток времени
потребляется количество продукта.
Интегрируя это равенство, получим
количествопродукта, необходимое для населения на
весь промежуток времени отдо
.◄

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Если кривая задана уравнением в полярной системе координат, где функция является гладкой непрерывной на промежутке , тогда длина дуги кривой равняется определенному интегралу, рассчитанному по формуле

В формуле длины дуги в полярных координатах под интегралом имеем корневую функцию от суммы квадратов радиуса и его производной. Вычисления в определенной мере дружат с предыдущими публикациями, из них Вы уже знаете как вычислить длину дуг, которые заданы в декартовой системе координат и параметрически.
Примеры подобрано из программы практикума для студентов мех-мата Львовского национального университета имени Ивана Франко.
Первый номер в примерах отвечает номеру основного задания из сборника М. В. Заболоцький и др. “Практикум из математического анализа” (рядом стоит номер из сборника Б. П. Демидовича ).

Для изучения основных моментов схема интегрирования и формулы вычисления дуги кривой, заданной в параметрической форме повторяются из примера в пример. Часть заданий обязательно проиллюстрируем графиками кривых.

Как найти длину дуги кривой, заданной в полярных координатах?

Пример 2.132 (2446) Найти длину дуги кривой (спираль Архимеда) .
Вычисление: Найдем производную по переменной заданной функции: r’=a
Пределы интегрирования известны за условием: [0;2pi].
Запишем подынтегральную функцию:

Вычислим длину дуги полярной кривой на заданном отрезке:

Пример 2.133 (2447) Найти длину дуги кривой (), .
Вычисление: Найдем производную по переменной заданной функции:
Запишем пределы интегрирования:
при , при , поэтому
(получим несвойственный интеграл I рода, который совпадающий).
Запишем подынтегральную функцию:

Вычислим длину дуги кривой на заданном отрезке:

Пример 2.134 (2448) Найти длину дуги кривой (кардиоида) (Смотри 2.107).
Вычисление: Найдем производную по переменной заданной функции:

Пределы интегрирования: [0;Pi].
(найдем длину половины кривой и умножим на 2).
Запишем подынтегральную функцию:

Вычислим длину дуги кривой на заданном отрезке:

Пример 2.135 (2450) Найти длину дуги кривой .
Вычисление: Найдем производную по переменной заданной функции:

Пределы интегрирования: [0;3Pi], поскольку задана кривая замкнутая в этих пределах.
Выпишем подынтегральную функцию:

Интегрированием вычислим длину дуги кривой на заданном отрезке:

Пример 2.136 (2449) Найти длину дуги кривой (парабола)
Вычисление: Найдем производную по “фи” заданной функции:

Пределы интегрирования известны из начального условия:
для параболы
Выпишем подынтегральную функцию:

Вычислим длину дуги кривой на заданном отрезке:

* Метод Остроградського :

Возьмем производную от каждой части равенства (из каждого слагаемого), где

приравниваем коэффициенты при каждой переменной из двух частей равенства:

Получаем
(см. выше).

Пример 2.137 (2452.1) Найти длину дуги кривой ,
Вычисление: Найдем производную по переменной заданной функции:

Пределы интегрирования известны: rє[0;5].
Выпишем подынтегральную функцию:

Вычислим длину дуги кривой на заданном отрезке:

Пример 2.138 (2452) Найти длину дуги кривой ,
Вычисление: Найдем производную по переменной заданной функции:

Пределы интегрирования равны: [1;3].
Выпишем подынтегральную функцию:

Вычислим длину дуги кривой на заданном отрезке:

Пример 2451 Найти длину дуги кривой ,
Вычисление: Найдем производную по переменной заданной функции:

Пределы интегрирования известны за условием: [0;2pi].
Запишем подынтегральную функцию:

Вычислим длину дуги кривой на заданном отрезке:

Пример 2452.2 Найти длину дуги кривой

Вычисление: Найдем производную по переменной “r” заданной функции:

Пределы интегрирования равны: [0;R].
Запишем подынтегральную функцию: