Как найди длину одной арки циклоиды

Решение. Заметим, что параметр  t принимает на концах первой арки циклоиды значения и .

Учитывая, что    и  , получаем

Рассмотрим плоскую
линию АВ,
заданную параметрическими уравнениями

где
и– непре-рывные функции. Такую кривую
называют простой, если различным
значениям параметра соответствуют
различные точки кривой, за исключением
значенийи,
которым может соответствовать одна
точка в случае замкнутой кривой. Простой
линией является, например, график функции.

Разобьем эту линию
точками
наn
частей и соединим соседние точки
отрезками прямых. Получим n–звенную
ломанную, вписанную в линию АВ.
Длину k-го
звена ломанной обозначим
(это
расстояние между точкамии).
Длину наибольшего звена обозначим.
Периметр ломанной:.

Определение.
Если при
существует конечный предел,
то:1)
линиюАВ
называют спрямляемой; 2) число l
называют длиной линии.

II Явное задание линии

Теорема 1.
Пусть АВ
– это график
непрерывно-дифференцируемой функции
.
Такая линия спрямляема и её длина
вычисляется по формуле

(1)

Доказательство.
Для определенности считаем, что точка
А
имеет координаты
,
а точкаВ
–
.
Обозначим черезкоординаты точки,
так что абсциссы этих точек дают разбиение
отрезка[a,b]:
.
Длинаk-го
звена ломанной

Как обычно обозначим
,
а к приращению функции применим теорему
Лагранжа:

.

Следовательно,

.

Длина всей ломанной

представляет собой
интегральную сумму для функции
.
Kроме
того, условие
равносильно.
В силу условий теоремы функцияF(x)
непрерывна, следовательно, интегрируема.
Поэтому
,
т.е. длина линииАВ,
есть не

что иное, как
интеграл в правой части формулы (1).
Теорема доказана.

Пример 1.
Вычислить длину части полукубической
параболы
,
расположенной внутри параболы.

Решение.
Находим точки пересечения линий:

(корень


– посторонний, ибо линии распо-

х
ложены в правой полуплоскости).
Уравнения

линий
не изменяются при замене
на(–
y).
Это

означает
симметрию относительно оси Ox.

Поэтому
достаточно вычислить длину части ли-

линии,
лежащей в 1-й четверти. Здесь полукуби-

ческая
парабола – это график функции

.

Подготовительные
вычисления

Итак, искомая
длина:

.

Замечание 1.
Если линия АВ
задана явным уравнением
то её длина выражается формулой

III Параметрическое задание линии

Теорема 2.
Пусть простая линия АВ
задана параметрическими уравнениями

причем функции
и– непрерывно-дифференцируемы. Тогда
линия спрямляема и ее длину можно
вычислить по формуле

(2)

Доказательство.
Обозначим абсциссы крайних точек линии
и пусть.
Для упрощения доказательства будем
считать, чтона,
а, следовательно (в силу непрерывности),
сохраняет знак. Условиеозначает возрастание функции.
Значити
.
В формуле (1) сделаем замену переменной
.
Тогда
и
,
а формула (1) принимает вид

Элементарные
преобразования приводят нас к формуле
(2).

Если же
,
то

убывает на
и.
Та же замена
приведет нас к соотношению

Изменение направления
интегрирования (от
до)
снова приведет нас к формуле (2). Теорема
доказана.

Заметим, что есть
доказательства формулы (2), не использующие
условие знакопостоянства
.
Но они очень громоздкие и используют
такие свойства непрерывных функций,
которые находятся за пределами нашей
программы.

Пример 2.
Вычислить длину одной арки циклоиды

Циклоида – это
плоская кривая, которую описывает
фиксированная точка окружности радиуса
R,
катящаяся без скольжения по прямой
линии.

Решение.
Первая арка циклоиды соответствует
изменению параметра от 0 до
.
Вычислим производныеии найдем сумму их квадратов:

Заметим,
что
,
ибо.
Имеем для искомой длины:

Замечание 2.
Формула (2) естественным образом обобщается
на случай пространственных линий
:

Пример 3.
Найти длину одного витка винтовой линии

Решение.
Первый виток соответствует изменению
параметра от 0 до
.
Имеем для длины:

Соседние файлы в папке MATANALIZ – 2

• #
• #
• #
• #
• #

Длина дуги кривой