При нахождении наименьшего общего знаменателя при сложении (вычитании) обыкновенных дробей учащиеся часто поступают нерационально, принимая в качестве общего знаменателя произведение знаменателей исходных дробей.
Можно использовать следующий прием, использующий навык сокращения дробей
Пример 1. Найти сумму дробей с разными знаменателями
Составили дробь из знаменателей дробей слагаемых и после ее сокращения на 7 получили дополнительные множители к дробям слагаемым:
2 – дополнительный множитель к дроби со знаменателем 21,
3 – дополнительный множитель к дроби со знаменателем 14
Т.е. дополнительные множители соответствуют исходным знаменателям “крест-накрест”
Пример 2. Найти разность дробей с разными знаменателями
Составили дробь из знаменателей, сократили ее и получили дополнительные множители, которые соответствуют исходным знаменателям “крест-накрест”, как в пропорции
Способ можно применять для нахождения наименьшего общего кратного двух чисел (это очевидно, т.к. наименьший общий знаменатель является наименьшим общим кратным исходных знаменателей)
Пример 3. Найти наименьшее общее кратное
Составили дробь из чисел, для которых надо найти наименьшее общее кратное, сократили ее последовательно (сначала на 2, потом на 7, потом на 3) – получили несократимую дробь.
Числитель составленной дроби умножаем на знаменатель дроби после сокращения (84 умножаем на 3).
Знаменатель составленной дроби умножаем на числитель дроби после сокращения (126 умножаем на 2).
В обоих случаях получаем наименьшее общее кратное при условии, что получена именно несократимая дробь.
Алгоритм усложняется, если надо найти общий знаменатель трех и более дробей. В этом случае надо найти общий знаменатель первых двух дробей, потом найти общий знаменатель результата и следующей дроби и т.д.
Алгоритм можно применять также при сложении (вычитании) алгебраических дробей.
Как известно, обыкновенная дробь состоит из числителя и знаменателя. Знаменатель — это натуральное число находящееся под чертой:
a — числитель, b — знаменатель.
Общий знаменатель
Общий знаменатель — это любое натуральное число, которое без остатка делится на все знаменатели дробей, т.е. является их общим кратным. Для нескольких дробей можно найти бесконечно много общих знаменателей.
Пример 1: найти общий знаменатель для дробей
1 2
и
1 3
Для нахождения общего знаменателя достаточно найти числа кратные и двойке и тройке. Это будет: 6, 12, 18 и т.д. К примеру, 4, 8, 10 кратны двойке, но не кратны тройке — поэтому не будут являться общим знаменателем.
Наименьший общий знаменатель дробей
Зная, что такое общий знаменатель, нетрудно догадаться, что наименьший общий знаменатель — это наименьшее число, которое делится без остатка на все знаменатели дробей.
Возвращаясь к предыдущему примеру, можно с уверенностью сказать, что 12 будет общим знаменателем двойки и тройки, но наименьшим не будет. Наименьшим общим знаменателем будет — 6.
Таким образом: наименьший общий знаменатель двух дробей:
1 2
и
1 3
— является 6.
Как найти наименьший общий знаменатель?
Бывают ситуации когда в уме найти наименьший общий знаменатель сложно. Для этого есть алгоритм, который сводится к нахождению наименьшего общего кратного (НОК). НОК и будет являться НОЗ. Для нахождения НОК необходимо:
- разложить оба знаменателя на простые множители;
- выписать множители входящее в одно из разложений и добавить отсутствующие множители из второго разложения;
- вычислить их произведение.
Пример 2: Найти НОК чисел 12 и 8.
Согласно алгоритму раскладываем оба числа на простые множители:
Берем множители из первого разложения — 2, 2, 3. И добавляем отсутствующие из второго. В нашем случае во втором 3 двойки, но т.к. в первом разложении уже присутствуют 2 двойки — то недостающей будет одна. Таким образом получается набор цифр 2, 2, 3, 2 — которые необходимо перемножить. Отсюда 2 · 2 · 3 · 2 = 24.
Ответ: НОК (12; 8) = 24.
Пример 3: Найти НОК чисел 388 и 142.
Данный пример, с точки зрения вычислений сложнее, однако наглядно демонстрирует важность понимания алгоритма:
Аналогично, берем множители из первого разложения — 2, 2, 97. И добавляем отсутствующие из второго — 71. Отсюда 2 · 2 · 97 · 71 = 27548.
Ответ: НОК (388; 142) = 27548.
Практическое применение
На практике нахождение наименьшего общего знаменателя, используется, к примеру, при арифметических действиях с дробями (сложение, вычитание), при сравнении дробей и других задачах, где необходимо, как найти НОЗ, так и привести дроби к общему знаменателю.
Приведение дробей к общему знаменателю
Правило приведения дробей к общему знаменателю:
- Найти наименьший общий знаменатель дробей (НОЗ);
- Для каждой дроби найти дополнительный множитель (НОЗ разделить на каждый знаменатель);
- Умножаем числитель на дополнительный множитель.
Пример 4: привести дроби
4 12
и
3 8
к наименьшему общему знаменателю.
- Согласно алгоритму находим НОЗ для знаменателей 12 и 8. Выше, во втором примере, мы уже находили НОК для 12 и 8. Как уже было сказано ранее НОЗ = НОК. Таким образом, НОЗ = 24.
- Находим дополнительные множители:
24 : 12 = 2
24 : 8 = 3
- Умножаем числители на дополнительные множители:
4 · 2 = 8
3 · 3 = 9
Таким образом:
Смотрите также:
- Смотрите также
- Калькуляторы
- Последние примеры
Оцените материал:
Загрузка…
Калькулятор приводит несколько дробей к общему знаменателю.
Просто введите дроби и получите подробное решение и ответ.
Можно вводить две, три дроби и более. Числители и знаменатели дробей должны быть натуральными числами.
Как привести дроби к общему знаменателю?
Чтобы выполнить с дробями такие операции, как сравнение, сложение и вычитание, дроби нужно привести к
общему знаменателю.
Пример. Привести к общему знаменателю дроби 
и 
Решение. Находим наименьшее общее кратное знаменателей дробей. НОК(12, 8) = 24. Это число и будет новым
знаменателем.
Чтобы знаменатели обеих дробей стали равны 24, числитель и знаменатель первой дроби нужно домножить на 2 =
24:12, а числитель и знаменатель второй дроби — на 3 = 24:8.
Приводим к общему знаменателю первую дробь:
![[frac{1}{12} = frac{1cdot2}{12cdot2} = frac{2}{24}.]](https://umath.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c777c0d8b1e2ee34cda5c2d7b81f0407_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
Приводим к общему знаменателю вторую дробь:
![[frac{3}{8}=frac{3cdot3}{8cdot3} = frac{9}{24}.]](https://umath.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-53b4ae9993b17ade0d854c4727becd0e_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
Общий знаменатель трёх дробей
Если к общему знаменателю требуется привести три дроби и более, то алгоритм действий в таком случае аналогичен
алгоритму для двух дробей.
Чтобы разобраться лучше, рассмотрим пример.
Пример. Привести к общему знаменателю три дроби 
и 
Решение. Сначала найдём наименьшее общее кратное знаменателей дробей.
Число 12 делится на знаменатели всех дробей, и это наименьшее такое число. Поэтому НОК(3, 4, 6) = 12.
Число 12 будет новым знаменателем.
Чтобы знаменатели дробей стали равны 12,
числитель и знаменатель первой дроби нужно домножить на 4 = 12:3,
числитель и знаменатель второй дроби — на 3 = 12:4,
а числитель и знаменатель третьей дроби — на 2 = 12:6.
Приводим дроби к общему знаменателю и получаем:
![[frac{2}{3} = frac{2cdot4}{3cdot4} = frac{8}{12},]](https://umath.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7646ecd7398011cd9ae776c67ac44466_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
![[frac{1}{4}=frac{1cdot3}{4cdot3} = frac{3}{12},]](https://umath.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c94233a410b546ab100df187555d37b0_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
![[frac{5}{6}=frac{5cdot2}{6cdot2} = frac{10}{12}.]](https://umath.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e7ecdd627efd58f0742b34c282915b56_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
Всё — дроби приведены! Пожалуй, самая большая сложность — правильно найти (или угадать) число,
которое будет новым знаменателем.
Загрузить PDF
Загрузить PDF
Для сложения или вычитания дробей с разными знаменателями (числа, стоящие под дробной чертой) сначала необходимо найти их наименьший общий знаменатель (НОЗ). Таким числом будет наименьшее кратное, которое встречается в списке кратных каждого знаменателя, то есть число, делящееся нацело на каждый знаменатель.[1]
Также вы можете вычислить наименьшее общее кратное (НОК) двух или более знаменателей. В любом случае речь идет о целых числах, методы нахождения которых весьма схожи. Определив НОЗ, вы сможете привести дроби к общему знаменателю, что в свою очередь позволит вам складывать и вычитать их.
-
1
Перечислите кратные каждого знаменателя. Составьте список из нескольких кратных для каждого знаменателя в уравнении. Каждый список должен состоять из произведения знаменателя на 1, 2, 3, 4 и так далее.
- Пример: 1/2 + 1/3 + 1/5
- Кратные 2: 2 * 1 = 2; 2 * 2 = 4; 2 * 3 = 6; 2 * 4 = 8; 2 * 5 = 10; 2 * 6 = 12; 2 * 7 = 14; и так далее.
- Кратные 3: 3 * 1 = 3; 3 * 2 = 6; 3 *3 = 9; 3 * 4 = 12; 3 * 5 = 15; 3 * 6 = 18; 3 * 7 = 21; и так далее.
- Кратные 5: 5 * 1 = 5; 5 * 2 = 10; 5 * 3 = 15; 5 * 4 = 20; 5 * 5 = 25; 5 * 6 = 30; 5 * 7 = 35; и так далее.
-
2
Определите наименьшее общее кратное. Просмотрите каждый список и отметьте любые кратные числа, которые являются общими для всех знаменателей. После выявления общих кратных определите наименьший знаменатель.
- Обратите внимание, что если общий знаменатель не найден, возможно, потребуется продолжить выписывать кратные до тех пор, пока не появится общее кратное число.
- Лучше (и легче) пользоваться этим методом в том случае, когда в знаменателях стоят небольшие числа.
- В нашем примере общим кратным всех знаменателей является число 30: 2 * 15 = 30; 3 * 10 = 30; 5 * 6 = 30
- НОЗ = 30
-
3
Перепишите исходное уравнение. Для того чтобы привести дроби к общему знаменателю, при этом не изменив их значения, умножьте каждый числитель (число, стоящее над дробной чертой) на число, равное частному от деления НОЗ на соответствующий знаменатель.
- Пример: (15/15) * (1/2); (10/10) * (1/3); (6/6) * (1/5)
- Новое уравнение: 15/30 + 10/30 + 6/30
-
4
Решите полученное уравнение. После нахождения НОЗ и изменения соответствующих дробей, просто решите полученное уравнение. Не забудьте упростить полученный ответ (если это возможно).
- Пример: 15/30 + 10/30 + 6/30 = 31/30 = 1 1/30
Реклама
-
1
Перечислите делители каждого знаменателя. Делитель – это целое число, которое делит нацело данное число.[4]
Например, делителями числа 6 являются числа 6, 3, 2, 1. Делителем любого числа является 1, потому что любое число делится на единицу.- Пример: 3/8 + 5/12
- Делители 8: 1, 2, 4, 8
- Делители 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12
-
2
Найдите наибольший общий делитель (НОД) обоих знаменателей. Перечислив делители каждого знаменателя, отметьте все общие делители. Самый большой общий делитель является наибольшим общим делителем, который понадобится вам для решения задачи.
- В нашем примере общими делителями для знаменателей 8 и 12 являются числа 1, 2, 4.
- НОД = 4.
-
3
Перемножьте знаменатели между собой. Если вы хотите использовать НОД для решения задачи, сначала перемножьте знаменатели между собой.
- Пример: 8 * 12 = 96
-
4
Разделите полученное значение на НОД. Получив результат перемножения знаменателей, разделите его на вычисленный вами НОД. Полученное число будет наименьшим общим знаменателем (НОЗ).
- Пример: 96 / 4 = 24
-
5
Разделите НОЗ на исходный знаменатель. Для вычисления множителя, который требуется для приведения дробей к общему знаменателю, разделите найденный вами НОЗ на исходный знаменатель. Умножьте числитель и знаменатель каждой дроби на этот множитель. Вы получите дроби с общим знаменателем.
- Пример: 24 / 8 = 3; 24 / 12 = 2
- (3/3) * (3/8) = 9/24; (2/2) * (5/12) = 10/24
- 9/24 + 10/24
-
6
Решите полученное уравнение. НОЗ найден; теперь вы можете сложить или вычесть дроби. Не забудьте упростить полученный ответ (если это возможно).
- Пример: 9/24 + 10/24 = 19/24
Реклама
-
1
Разложите каждый знаменатель на простые множители. Разложите каждый знаменатель на простые множители, то есть простые числа, которые при перемножении дают исходный знаменатель. Напомним, что простые множители – это числа, которые делятся только на 1 или самих себя.[6]
- Пример: 1/4 + 1/5 + 1/12
- Простые множители 4: 2 * 2
- Простые множители 5: 5
- Простые множители 12: 2 * 2 * 3
-
2
Подсчитайте число раз каждый простой множитель есть у каждого знаменателя. То есть определите, сколько раз каждый простой множитель появляется в списке множителей каждого знаменателя.
- Пример: Есть две 2 для знаменателя 4; нуль 2 для 5; две 2 для 12
- Есть нуль 3 для 4 и 5; одна 3 для 12
- Есть нуль 5 для 4 и 12; одна 5 для 5
-
3
Возьмите только наибольшее число раз для каждого простого множителя. Определите наибольшее число раз наличия каждого простого множителя в любом знаменателе.
- Например: наибольшее число раз для множителя 2 – 2 раза; для 3 – 1 раз; для 5 – 1 раз.
-
4
Запишите по порядку найденные в предыдущем шаге простые множители. Не записывайте число раз наличия каждого простого множителя во всех исходных знаменателях – делайте это с учетом наибольшего числа раз (как описано в предыдущем шаге).
- Пример: 2, 2, 3, 5
-
5
Перемножьте эти числа. Результат произведения этих чисел равен НОЗ.
- Пример: 2 * 2 * 3 * 5 = 60
- НОЗ = 60
-
6
Разделите НОЗ на исходный знаменатель. Для вычисления множителя, который требуется для приведения дробей к общему знаменателю, разделите найденный вами НОЗ на исходный знаменатель. Умножьте числитель и знаменатель каждой дроби на этот множитель. Вы получите дроби с общим знаменателем.
- Пример: 60/4 = 15; 60/5 = 12; 60/12 = 5
- 15 * (1/4) = 15/60; 12 * (1/5) = 12/60; 5 * (1/12) = 5/60
- 15/60 + 12/60 + 5/60
-
7
Решите полученное уравнение. НОЗ найден; теперь вы можете сложить или вычесть дроби. Не забудьте упростить полученный ответ (если это возможно).
- Пример: 15/60 + 12/60 + 5/60 = 32/60 = 8/15
Реклама
-
1
Преобразуйте каждое смешанное число в неправильную дробь. Для этого умножьте целую часть смешанного числа на знаменатель и сложите с числителем – это будет числитель неправильной дроби. Целое число тоже превратите в дробь (просто поставьте 1 в знаменателе).
- Пример: 8 + 2 1/4 + 2/3
- 8 = 8/1
- 2 1/4, 2 * 4 + 1 = 8 + 1 = 9; 9/4
- Переписанное уравнение: 8/1 + 9/4 + 2/3
-
2
Найти наименьший общий знаменатель. Вычислите НОЗ любым способом, описанным в предыдущих разделах. Для этого примера мы будем использовать метод “перечисление кратных”, в котором выписываются кратные каждого знаменателя и на их основе вычисляется НОЗ.
- Обратите внимание, что вам не нужно перечислять кратные для 1, так как любое число, умноженное на 1, равно самому себе; иными словами, каждое число является кратным 1.
- Пример: 4 * 1 = 4; 4 * 2 = 8; 4 * 3 = 12; 4 * 4 = 16; т.д.
- 3 * 1 = 3; 3 * 2 = 6; 3 * 3 = 9; 3 * 4 = 12; т.д.
- НОЗ = 12
-
3
Перепишите исходное уравнение. Числители и знаменатели исходных дробей умножьте на число, равное частному от деления НОЗ на соответствующий знаменатель.
- Например: (12/12) * (8/1) = 96/12; (3/3) * (9/4) = 27/12; (4/4) * (2/3) = 8/12
- 96/12 + 27/12 + 8/12
-
4
Решите уравнение. НОЗ найден; теперь вы можете сложить или вычесть дроби. Не забудьте упростить полученный ответ (если это возможно).
- Пример: 96/12 + 27/12 + 8/12 = 131/12 = 10 11/12
Реклама
Что вам понадобится
- Карандаш
- Бумага
- Калькулятор (по желанию)
Об этой статье
Эту страницу просматривали 222 990 раз.
