Как найди площадь куба формула

Определение куба

Куб (или гексаэдр) — это правильный многогранник, который состоит из многоугольников, являющихся квадратами.

Онлайн-калькулятор площади поверхности куба

У куба есть двенадцать ребер, то есть, отрезков, которые являются сторонами квадратов.
Также он имеет восемь вершин и шесть граней.
У куба есть диагональ, соединяющая противоположные вершины.

Формула площади поверхности куба

Площадь поверхности куба – это сумма площадей всех его граней:

S=S1+S2+S3+S4+S5+S6S=S_1+S_2+S_3+S_4+S_5+S_6

Площадь каждой грани одинакова, то есть:

S1=S2=S3=S4=S5=S6=S′S_1=S_2=S_3=S_4=S_5=S_6=S’

S′S’ — площадь любой грани куба.

Тогда полная площадь поверхности куба запишется как:

S=6⋅S′S=6cdot S’

Рассмотрим на примерах разные способы вычисления полной площади поверхности куба.

Формула площади поверхности куба по длине ребра куба

Площадь каждой грани куба вычисляется как площадь квадрата, со стороной ребра куба по формуле:

S′=a⋅a=a2S’=acdot a=a^2

aa — сторона куба.

Отсюда, окончательно площадь поверхности куба:

S=6⋅a2S=6cdot a^2

aa — длина стороны куба.

Пример

Найти площадь поверхности куба, если длина его ребра равна 12 (см.).

Решение

a=12a=12

S=6⋅a2=6⋅122=6⋅144=864S=6cdot a^2=6cdot 12^2=6cdot 144=864 (см. кв.)

Ответ: 864 см. кв.

Формула площади поверхности куба по диагонали куба

По теореме Пифагора, диагональ куба связанна с длиной его ребра по формуле:

d2=a2+a2+a2d^2=a^2+a^2+a^2
d2=3⋅a2d^2=3cdot a^2
d=3⋅ad=sqrt{3}cdot a

Отсюда:

a=d3a=frac{d}{sqrt{3}}

Подставим в формулу для площади:

S=6⋅a2=6⋅(d3)2=2⋅d2S=6cdot a^2=6cdotBig(frac{d}{sqrt{3}}Big)^2=2cdot d^2

S=2⋅d2S=2cdot d^2

dd — диагональ куба.

Пример

Одна четвертая часть диагонали куба равна 2 (см.). Найти площадь поверхности куба.

Решение

14⋅d=2frac{1}{4}cdot d=2

Найдем диагональ:

d=4⋅2=8d=4cdot 2=8

Площадь:

S=2⋅d2=2⋅82=2⋅64=128S=2cdot d^2=2cdot 8^2=2cdot 64=128 (см. кв.)

Ответ: 128 см. кв.

Формула площади поверхности куба по длине диагонали квадрата (грани куба)

По теореме Пифагора, диагональ квадрата ll связанна с его стороной aa:

l2=a2+a2l^2=a^2+a^2
l2=2⋅a2l^2=2cdot a^2
l=2⋅al=sqrt{2}cdot a

Тогда сторона квадрата:

a=l2a=frac{l}{sqrt{2}}

Подставляем в формулу для площади и получаем:

S=6⋅a2=3⋅l2S=6cdot a^2=3cdot l^2

S=3⋅l2S=3cdot l^2

ll — диагональ квадрата (грани куба).

Пример

Одна четвертая часть диагонали квадрата равна 1 (см). Найти площадь поверхности куба, образованного данным четырехугольником.

Решение

14⋅l=1frac{1}{4}cdot l=1

Найдем диагональ квадрата:

l=4⋅1=4l=4cdot 1=4

Тогда площадь:

S=3⋅l2=3⋅42=48S=3cdot l^2=3cdot 4^2=48 (см. кв.)

Ответ: 48 см. кв.

Разберем более сложные примеры.

Формула площади поверхности куба по площади вписанного в куб шара

В куб вписан шар площади SшарS_{text{шар}}. Тогда радиус RR этого шара равен половине длины стороны куба aa:

R=a2R=frac{a}{2}

Площадь шара дается формулой:

Sшар=4⋅π⋅R2S_{text{шар}}=4cdotpicdot R^2

Отсюда найдем радиус шара:

R=Sшар4⋅πR=sqrt{frac{S_{text{шар}}}{4cdotpi}}

Сторона грани куба:

a=2⋅R=2⋅Sшар4⋅πa=2cdot R=2cdotsqrt{frac{S_{text{шар}}}{4cdotpi}}

Наконец площадь поверхности куба:

S=6⋅a2=6⋅SшарπS=6cdot a^2=frac{6cdot S_{text{шар}}}{pi}

S=6⋅SшарπS=frac{6cdot S_{text{шар}}}{pi}

SшарS_{text{шар}} — площадь шара, вписанного в куб.

Пример

В куб вписан шар, площадь которого равна 64 “пи” (см. кв.). Найти полную площадь поверхности куба.

Решение

Sшар=64πS_{text{шар}}=64pi

По формуле:

S=6⋅Sшарπ=6⋅64⋅ππ=384S=frac{6cdot S_{text{шар}}}{pi}=frac{6cdot 64cdotpi}{pi}=384 (см. кв.)

Ответ: 384 см. кв.

Не знаете, кто сможет решить контрольную работу на заказ для вас? Наши эксперты с удовольствием окажут вам помощь!

Тест по теме “Площадь поверхности куба”

В данной публикации мы рассмотрим, как можно найти площадь поверхности куба и разберем примеры решения задач для закрепления материала.

• Формула вычисления площади куба
  • 1. Через длину ребра

  • 2. Через длину диагонали грани

• Примеры задач

Формула вычисления площади куба

1. Через длину ребра

Площадь (S) поверхности куба равна произведению числа 6 на длину его ребра в квадрате.

S = 6 ⋅ a²

Данная формула получена следующим образом:

• Куб – это правильная геометрическая фигура, все грани которого являются равными квадратами с длиной стороны a (одновременно является ребром куба).
• Площадь каждой грани считается так: S = a ⋅ a = a².
• Всего у куба 6 граней, а значит, площадь его поверхности равняется шести площадям одной грани: S = 6 ⋅ a².

2. Через длину диагонали грани

Сторона любой грани куба (ребро) может быть рассчитана через длину ее диагонали по формуле: a=d/√2.

Это значит, что вычислить площадь поверхности фигуры можно так:

S = 6 ⋅ (d/√2)²

Примеры задач

Задание 1
Найдите площадь поверхности куба, если длина его ребра составляет 12 см.

Решение:
Используем первую формулу выше и получаем:
S = 6 ⋅ (12 см)² = 864 см².

Задание 2
Площадь поверхности куба равняется 294 см². Вычислите длину его ребра.

Решение:
Примем ребро куба за a. Из формулы расчета площади следует:

Задание 3
Вычислите площадь поверхности куба, если диагональ его грани равняется 5 см.

Решение:
Воспользуемся формулой, в которой задействована длина диагонали:
S = 6 ⋅ (5 см : √2)² = 75 см².

Была ли эта статья полезной?

Формула площади поверхности куба

Площадь поверхности куба – это сумма площадей всех его граней:

S=S1+S2+S3+S4+S5+S6S=S_1+S_2+S_3+S_4+S_5+S_6S=S1​+S2​+S3​+S4​+S5​+S6​

Площадь каждой грани одинакова, то есть:

S1=S2=S3=S4=S5=S6=S′S_1=S_2=S_3=S_4=S_5=S_6=S’S1​=S2​=S3​=S4​=S5​=S6​=S′

S′S’S′ — площадь любой грани куба.

Тогда полная площадь поверхности куба запишется как:

Рассмотрим на примерах разные способы вычисления полной площади поверхности куба.

Формула площади поверхности куба по длине ребра куба

Площадь каждой грани куба вычисляется как площадь квадрата, со стороной ребра куба по формуле:

S′=a⋅a=a2S’=acdot a=a^2S′=a⋅a=a2

aaa — сторона куба.

Отсюда, окончательно площадь поверхности куба:

S=6⋅a2S=6cdot a^2S=6⋅a2

aaa — длина стороны куба.

Пример

Найти площадь поверхности куба, если длина его ребра равна 12 (см.).

Решение

a=12a=12a=12

S=6⋅a2=6⋅122=6⋅144=864S=6cdot a^2=6cdot 12^2=6cdot 144=864S=6⋅a2=6⋅122=6⋅144=864 (см. кв.)

Ответ: 864 см. кв.

Формула площади поверхности куба по диагонали куба

По теореме Пифагора, диагональ куба связанна с длиной его ребра по формуле:

d2=a2+a2+a2d^2=a^2+a^2+a^2d2=a2+a2+a2d2=3⋅a2d^2=3cdot a^2d2=3⋅a2d=3⋅ad=sqrt{3}cdot ad=3​⋅a

Отсюда:

a=d3a=frac{d}{sqrt{3}}a=3​d​

Подставим в формулу для площади:

S=6⋅a2=6⋅(d3)2=2⋅d2S=6cdot a^2=6cdotBig(frac{d}{sqrt{3}}Big)^2=2cdot d^2S=6⋅a2=6⋅(3​d​)2=2⋅d2

S=2⋅d2S=2cdot d^2S=2⋅d2

ddd — диагональ куба.

Пример

Одна четвертая часть диагонали куба равна 2 (см.). Найти площадь поверхности куба.

Решение

14⋅d=2frac{1}{4}cdot d=241​⋅d=2

Найдем диагональ:

d=4⋅2=8d=4cdot 2=8d=4⋅2=8

Площадь:

S=2⋅d2=2⋅82=2⋅64=128S=2cdot d^2=2cdot 8^2=2cdot 64=128S=2⋅d2=2⋅82=2⋅64=128 (см. кв.)

Ответ: 128 см. кв.

Формула площади поверхности куба по длине диагонали квадрата (грани куба)

По теореме Пифагора, диагональ квадрата lll связанна с его стороной aaa:

l2=a2+a2l^2=a^2+a^2l2=a2+a2l2=2⋅a2l^2=2cdot a^2l2=2⋅a2l=2⋅al=sqrt{2}cdot al=2​⋅a

Тогда сторона квадрата:

a=l2a=frac{l}{sqrt{2}}a=2​l​

Подставляем в формулу для площади и получаем:

S=6⋅a2=3⋅l2S=6cdot a^2=3cdot l^2S=6⋅a2=3⋅l2

S=3⋅l2S=3cdot l^2S=3⋅l2

lll — диагональ квадрата (грани куба).

Пример

Одна четвертая часть диагонали квадрата равна 1 (см). Найти площадь поверхности куба, образованного данным четырехугольником.

Решение

14⋅l=1frac{1}{4}cdot l=141​⋅l=1

Найдем диагональ квадрата:

l=4⋅1=4l=4cdot 1=4l=4⋅1=4

Тогда площадь:

S=3⋅l2=3⋅42=48S=3cdot l^2=3cdot 4^2=48S=3⋅l2=3⋅42=48 (см. кв.)

Ответ: 48 см. кв.

Разберем более сложные примеры.

Формула площади поверхности куба по площади вписанного в куб шара

В куб вписан шар площади SшарS_{text{шар}}Sшар​. Тогда радиус RRR этого шара равен половине длины стороны куба aaa:

R=a2R=frac{a}{2}R=2a​

Площадь шара дается формулой:

Sшар=4⋅π⋅R2S_{text{шар}}=4cdotpicdot R^2Sшар​=4⋅π⋅R2

Отсюда найдем радиус шара:

R=Sшар4⋅πR=sqrt{frac{S_{text{шар}}}{4cdotpi}}R=4⋅πSшар​​​

Сторона грани куба:

a=2⋅R=2⋅Sшар4⋅πa=2cdot R=2cdotsqrt{frac{S_{text{шар}}}{4cdotpi}}a=2⋅R=2⋅4⋅πSшар​​​

Наконец площадь поверхности куба:

S=6⋅a2=6⋅SшарπS=6cdot a^2=frac{6cdot S_{text{шар}}}{pi}S=6⋅a2=π6⋅Sшар​​

S=6⋅SшарπS=frac{6cdot S_{text{шар}}}{pi}S=π6⋅Sшар​​

SшарS_{text{шар}}Sшар​ — площадь шара, вписанного в куб.

Пример

В куб вписан шар, площадь которого равна 64 “пи” (см. кв.). Найти полную площадь поверхности куба.

Решение

Sшар=64πS_{text{шар}}=64piSшар​=64π

По формуле:

S=6⋅Sшарπ=6⋅64⋅ππ=384S=frac{6cdot S_{text{шар}}}{pi}=frac{6cdot 64cdotpi}{pi}=384S=π6⋅Sшар​​=π6⋅64⋅π​=384 (см. кв.)

Ответ: 384 см. кв.

Знаете ответ?