Загрузить PDF
Загрузить PDF
Наиболее распространенной формулой для вычисления площади квадрата является следующая: S = a2. Но иногда в задаче дана только диагональ квадрата, то есть отрезок, соединяющий противоположные вершины. Если вы знакомы с прямоугольными треугольниками, для вычисления площади квадрата можно воспользоваться формулой, которая включает диагональ.
-
1
Нарисуйте квадрат. У квадрата четыре равные стороны.[1]
Допустим, что длина каждой стороны равна а. -
2
Посмотрите на основную формулу для вычисления площади квадрата. Площадь квадрата равна произведению длины на ширину. Так как каждая сторона квадрата равна а, формула для вычисления площади квадрата: S = а х а = а2. Эта формула понадобится далее.
-
3
Соедините два противоположных угла квадрата, чтобы провести диагональ. Допустим, что длина диагонали равна d. Диагональ делит квадрат на два прямоугольных треугольника.
-
4
К одному из треугольников примените теорему Пифагора. По теореме Пифагора[2]
можно найти гипотенузу (самую длинную сторону) прямоугольного треугольника:, где а и b — катеты, с — гипотенуза. Разделив квадрат на два прямоугольных треугольника, примените эту формулу к одному из них.
- Катетами прямоугольного треугольника являются стороны квадрата, каждая из которых равна а.
- Гипотенузой является диагональ квадрата, равная d.
-
5
-
6
Воспользуйтесь этой формулой для решения задачи. Полученную формулу S =
можно применять к любым квадратам: просто подставьте в нее значение диагонали (вместо d).
Реклама
-
1
Найдите диагональ по стороне.[3]
Если сторона квадрата равна а, а диагональ равна d, теорема Пифагора запишется так:. По этой формуле можно вычислить диагональ, если сторона квадрата известна.
-
2
-
3
Проверьте правильность формулы. Верность математического вывода формулы S =
не вызывает сомнений, но можно ли проверить правильность формулы наглядно? Допустим, что сторона второго квадрата равна d, то есть диагонали первого квадрата; тогда площадь второго квадрата равна . Так как формула для вычисления площади S = , можно заключить, что площадь второго квадрата в два раза больше площади первого квадрата. Проверьте это наглядно:
- На бумаге нарисуйте первый квадрат. Убедитесь, что все стороны равны.
- Измерьте диагональ. Нарисуйте второй квадрат: каждая его сторона должна быть равна диагонали первого квадрата.
- Нарисуйте копию первого квадрата, а затем вырежьте три квадрата.
- Разрежьте два меньших квадрата так, чтобы они поместились в большем квадрате. Два меньших квадрата должны полностью покрыть больший квадрат, что доказывает, что площадь большего квадрата в два раза больше площади меньшего квадрата.
Реклама
Советы
- Если калькулятора нет, но необходимо получить точное значение √2, извлеките корень вручную. Например, примените метод Ньютона-Рафсона.[4]
- Приведенная формула используется во многих областях, в том числе в кристаллографии, химии и технике. Например, при помощи этой формулы можно вычислить площадь ландшафта, который виден воочию или на фотографии/рисунке. Для этого измерьте пройденный путь, а затем проведите воображаемую диагональ.
- Если вы предпочитаете изучать математику с наглядными примерами или хотите узнать, как использовать диаграммы и графики в искусстве, читайте статьи на сайте wikiHow (например, в категориях «Математика», «Графические программы», «Офисные программы» и других).
Реклама
Об этой статье
Эту страницу просматривали 50 355 раз.
Была ли эта статья полезной?
Площадь квадрата можно найти с помощью двух основных формул:
1) Через сторону.
2) Через диагональ.
Как найти площадь квадрата, если известна его сторона.
Как известно, квадрат – это частный случай прямоугольника, у которого все стороны равны.
Площадь прямоугольника равна произведению 2 его сторон:
Sпр = a * b, a и b – стороны прямоугольника.
В случае с квадратом a = b.
Таким образом, площадь квадрата будет находиться по формуле:
Sкв = a².
Например, если сторона квадрата равна 10 см., то его площадь = 10 * 10 = 100 см².
Как найти площадь квадрата, если известна его диагональ.
Диагональ делит квадрат на 2 прямоугольных треугольника. При этом диагональ является гипотенузой, а стороны квадрата – катетами.
Нам нужно выразить квадрат стороны через теорему Пифагора. Согласно данной теореме:
a*a + b*b = c*c.
a и b – катеты, c – гипотенуза.
В нашем случае a = b, а гипотенуза – это диагональ d.
Перепишем формулу в виде:
2a² = d².
a² = d² / 2.
Таким образом, если известна диагональ квадрата, то его площадь равна половине квадрата этой диагонали.
Например, если диагональ равна 10 см., то площадь квадрата = 10 * 10 / 2 = 50 см².
Кроме стандартного произведения сторон в геометрии есть еще как минимум пять методов, о которых я хочу сейчас рассказать. Итак, поехали!
Формула 1. Площади квадрата через его диагональ
Выводится элементарно через один из прямоугольных треугольников.
Формула 2. Через периметр
Получается подстановкой в стандартную формулу площади значения а = p/4.
Формула 3. Через отрезок из вершины квадрата к середине противоположной стороны
Аналогично всё выводится из прямоугольного треугольника ABE.
Формула 4. Через радиус вписанной окружности
Очевидно, что радиус вписанной окружности равен половине стороны квадрата, исходя из чего, и выводится формула.
Формула 5. Через радиус описанной окружности
Вот такая тривиальная геометрия в это солнечное субботнее утро. Спасибо за внимание, уважаемые Читатели!
Читайте также:
{S = a ^2}
На этой странице вы найдете удобный калькулятор для расчета площади квадрата и формулы, которые помогут найти площадь квадрата через его сторону, диагональ, периметр, а также радиусы вписанной и описанной окружности.
Квадрат – четырёхугольник, у которого все углы прямые (90 градусов) и все стороны равны между собой. Из-за своих свойств квадрат часто называют правильным четырехугольником.
Содержание:
- калькулятор площади квадрата
- формула площади квадрата через сторону
- формула площади квадрата через диагональ
- формула площади квадрата через радиус вписанной окружности
- формула площади квадрата через радиус описанной окружности
- формула площади квадрата через периметр
- примеры задач
Формула площади квадрата через сторону
S = a ^2
a – сторона квадрата
Формула площади квадрата через диагональ
S=dfrac{d^2}{2}
d – диагональ квадрата
Формула площади квадрата через радиус вписанной окружности
S = 4r^2
r – радиус вписанной окружности
Формула площади квадрата через радиус описанной окружности
S = 2R^2
R – радиус описанной окружности
Формула площади квадрата через периметр
S = dfrac{P^2}{16}
P – периметр квадрата
Примеры задач на нахождение площади квадрата
Задача 1
Найдите площадь квадрата если его диагональ равна 1.
Решение
Для решения задачи воспользуемся формулой.
S = dfrac{d^2}{2} = dfrac{1^2}{2} = dfrac{1}{2} = 0.5 : см^2
Ответ: 0.5 см²
Проверим ответ на калькуляторе .
Задача 2
Найдите площадь квадрата, описанного вокруг окружности радиуса 83.
Решение
Для решения этой задачи используем формулу площади квадрата через радиус описанной окружности.
S = 2R^2 = 2 cdot 83^2 = 2 cdot 6889 = 13778 : см^2
Ответ: 13778 см²
Проверим ответ с помощью калькулятора .
Задача 3
Найдите площадь квадрата если его сторона равна 8 см.
Решение
Используем первую формулу.
S = a ^2 = 8 ^2 = 64 : см^2
Ответ: 64 см²
Проверим результат на калькуляторе .
Задача 4
Найдите площадь квадрата периметр которого равен 456 см.
Решение
Используем формулу для площади квадрата через периметр.
S = dfrac{P^2}{16} = dfrac{456^2}{16} = dfrac{456 cdot cancel{456}^{ : 57}}{cancel{16}^{ : 2}} = dfrac{57 cdot cancel{456}^{ : 228}}{cancel{2}^{ : 1}} = 57 cdot 228 = 12996 : см^2
Ответ: 12996 см²
Проверка .
Задача 5
Найдите площадь квадрата со стороной 15 см.
Решение
Воспользуемся формулой площади квадрата через сторону.
S = a ^2 = 15 ^2 = 225 : см^2
Ответ: 225 см²
Проверка .
Площадь квадрата (по диагонали): онлайн-калькулятор
Квадрат – это правильный четырёхугольник, у которого все стороны и углы равны. У квадрата две диагонали, соединяющие несмежные вершины фигуры. Расчет площади квадрата по диагонали онлайн-калькулятором производится по формуле S=12*d2, где d – диагональ квадрата
Чтобы найти площадь квадрата по диагонали онлайн, понадобится несколько простых действий:
- указать размер диагонали и единицы измерения;
- выбрать, в каких единицах необходимо рассчитать площадь;
- получить ответ после нажатия на кнопку «Найти».
Вычисление площади квадрата по диагонали онлайн
При отсутствии данных о длине стороны квадрата можно найти площадь фигуры другим способом. В данном случае можно не прибегать к услугам программных средств и все действия произвести самостоятельно. Но если величина диагонали содержит несколько знаков, то при возведении ее в квадрат есть вероятность допустить ошибку.
Рассчитать площадь квадрата по диагонали онлайн понадобится:
- школьникам, которые выполняют домашнее задание по геометрии;
- родителям для быстрого контроля;
- учителям, проверяющим работы класса;
- студентам, которым важен точный ответ, на который опираются дальнейшие вычисления.
Сервис выдает последовательное решение задачи с точным ответом. С помощью сайта Zaochnik можно осуществлять подготовку к занятиям без привлечения репетиторов, траты средств и лишнего времени.
