Онлайн калькулятор. Площадь параллелограмма построенного на векторах.
Этот онлайн калькулятор позволит вам очень просто найти площадь параллелограмма построенного на векторах.
Воспользовавшись онлайн калькулятором, вы получите детальное решение вашей задачи, которое позволит понять алгоритм решения задач на вычисление площади параллелограмма построенного на векторах и закрепить пройденый материал.
Калькулятор для вычисления площади параллелограмма построенного на векторах
Выберите каким образом задается параллелограмм:
Введите значения векторов: Введите координаты трех любых вершин параллелограмма:
Инструкция использования калькулятора для вычисления площади параллелограмма построенного на векторах
Ввод данных в калькулятор для вычисления площади параллелограмма построенного на векторах
В онлайн калькулятор вводить можно числа или дроби. Более подробно читайте в правилах ввода чисел.
Дополнительные возможности калькулятора вычисления площади параллелограмма построенного на векторах
- Между полями для ввода можно перемещаться нажимая клавиши “влево” и “вправо” на клавиатуре.
Теория. Площадь параллелограмма построенного на векторах.
Вводить можно числа или дроби (-2.4, 5/7, . ). Более подробно читайте в правилах ввода чисел.
Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!
Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.
Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах: онлайн-калькулятор
Для вычисления площади параллелограмма, построенного на векторах, нужны значения этих векторов или координаты точек. Онлайн-калькулятор выдает подробное решение и ответ. В зависимости от введенных данных программа подбирает формулы для расчета в нужной последовательности.
Сервисом пользуются школьники и студенты, когда надо быстро найти площадь параллелограмма – на контрольной, зачете, экзамене. Также по готовому решению задачи удобно изучать новую тему.
- В форме представления параллелограмма выберите способ «Двумя векторами сторон».
- Введите значения векторов в соответствующие поля. Отправьте задание на вычисление кнопкой «Рассчитать».
- Получаем решение и ответ.
- В форме представления параллелограмма выберите способ «Координатами точек».
- Введите координаты вершин в соответствующие поля. Отправьте задание на вычисление кнопкой «Рассчитать».
- Получаем решение и ответ.
Материалы, которые помогут вам лучше разобраться в теме:
Как найти площадь параллелограмма
Чтобы найти площадь параллелограмма, построенного на векторах, необходимо вычислить произведение длин векторов и синуса угла между ними. В заданиях, где длины векторов неизвестны, а даны координаты векторов, необходимо произвести следующие вычисления:
- Найти векторы a ⇀ и b ↔ по точкам.
- Вычислить произведение векторов.
- Рассчитать модуль вектора c → .
- Высчитать площадь S = a → × b →
Использование онлайн-калькулятора позволяет не думать о выборе способа решения, а просто ввести данные и получить поэтапные вычисления и ответ. Такой вариант подойдет учащимся, их родителям, преподавателям, инженерам.
Сервис позволяет узнать, чему равна площадь параллелограмма и других фигур, а также решить задачи на любую тему по алгебре и геометрии. Для этого не придется платить, регистрироваться на сайте, долго ждать. Расчеты производятся онлайн. Вы можете осваивать новую тему или сверяться с собственным решением неограниченное количество раз.
Если тема осталась непонятной, напишите консультанту. Наш сотрудник подберет вам преподавателя по выгодной цене или организует онлайн-помощь на зачете.
Площадь параллелограмма, построенного на векторах – формула и примеры решения задач
Четырехугольник и вектор на плоскости
Каждый школьник понимает, что параллелограмм является специальным видом плоских четырехугольников. Эта фигура состоит из двух пар параллельных пересекающихся отрезков. Она обладает следующими важными свойствами:
- ее противоположные стороны и углы равны друг другу;
- сумма всех четырех углов составляет 360 градусов;
- если просуммировать лишь два смежных (прилежащих к одной стороне) угла, то получится значение 180 градусов;
- любая диагональ делит фигуру на две равные части (треугольники);
- пересечение диагоналей происходит в точке, которая является геометрическим и массовым центром параллелограмма;
- любая секущая, которая проходит через геометрический центр, делит фигуру на две равные по площади части.
Специальные типы
Исходя из определения параллелограмма, как четырехугольника с параллельными и равными по длине противоположными сторонами, можно привести несколько видов фигуры, которые обладают высокой симметрией по отношению к ряду элементарных операций. Это следующие геометрические типы:
- Квадрат. Все четыре стороны его равны по длине между собой, а углы составляют 90 градусов. Он является фигурой с достаточно высокой симметрией, и его площадь вычисляется просто как квадрат длины любой его стороны.
- Прямоугольник. Еще один вид параллелограмма, все углы которого являются прямыми. Его симметрия несколько ниже, чем у квадрата, поскольку длины сторон равны лишь попарно. Площадь фигуры можно вычислить, перемножив длины смежных сторон.
- Ромб. Специальный геометрический тип параллелограмма, который характеризуется тем, что длины всех его сторон являются одинаковыми. Углы фигуры попарно равны и отличаются от 90 градусов (два тупых и два острых).
Направленные отрезки и операция умножения
Площадь параллелограмма через векторы рассчитать легко, если знать понятие направленного отрезка и уметь работать с соответствующими математическими операциями. Поскольку любая точка на плоскости может быть представлена в виде набора двух координат в декартовой прямоугольной системе, то для P и Q можно записать:
P (x1, y1); Q (x2, y2).
Где числа x1, y1, x2 и y2 являются соответствующими координатами для точек P и Q по осям абсцисс и ординат. Чтобы получить вектор PQ-, который будет направлен из P в точку Q, необходимо из координат Q попарно вычесть значения для P:
PQ- = Q — P = (x2-x1, y2-y1).
Координаты направленного отрезка на плоскости определяются так же, как и для точки, набором из двух чисел. Чтобы построить такой вектор в системе координат, необходимо его начало расположить в точке (0, 0), а конец со стрелкой будет располагаться в точке (x2-x1, y2-y1). Из этой геометрической интерпретации следует, что существует бесконечное множество направленных отрезков, которые эквивалентны между собой. Получаются они друг из друга с помощью параллельного переноса по всей плоскости координат.
Как и числа, направленные отрезки также можно складывать между собой, вычитать и умножать. Рассматривая вопрос построение параллелограмма на векторах и нахождения его площади, необходимо изучить свойства векторного произведения. Оно представляет собой вектор, перпендикулярный плоскости, в которой лежат исходные направленные отрезки. Пусть a- и b- необходимо умножить векторно. Результатом произведения будет следующий вектор c-:
c- = [a-*b-] = |a-|*|b-|*sin (alfa).
Здесь alfa — угол между a- и b-, а |a-| и |b-| – длины соответствующих направленных отрезков.
Направление c- принято определять с помощью правила правой руки. Оно гласит: если четыре пальца ладони направить от конца первого умножаемого вектора к концу второго, то оттопыренный большой палец укажет направление результирующего векторного умножения.
Координаты вектора c- можно вычислить также, если воспользоваться понятием определителя матрицы. Пусть a- имеет координаты (a1, a2), а b- = (b1, b2), тогда формула для определения c- запишется в следующем виде:
c- = (0, 0, (a1*b2-b1*a2)).
Вектор c- имеет первые две нулевые координаты, поскольку он перпендикулярен плоскости, в которой находятся a- и b-.
Формула площади из геометрии
Чтобы получить формулу площади параллелограмма на векторах, необходимо вспомнить, как рассчитывается эта величина для треугольника. Если известна одна сторона (основание a) и высота, которая на нее опущена (h), то получается простое выражение:
Где S3 — площадь треугольника. Поскольку две таких плоских фигуры, которые соединены одной из своих сторон, образуют четырехугольник-паралелограм, то для него рассмотренную величину можно вычислить по формуле:
Пусть вторая сторона параллелограмма равна b, тогда с высотой h она связана через определение тригонометрической функции синус:
sin (alfa) = h/b => h = b*sin (alfa).
Если подставить это равенство в выражение для S4, то нахождение площади фигуры сведется к расчету произведения двух его смежных сторон и синуса угла между ними:
Поскольку угол alfa изменяется от 0 до 180 градусов, то функция синус всегда имеет положительное значение. Этой формулой часто пользуются на практике. Распространение инженерных калькуляторов позволяет быстро и с высокой точностью вычислять синусы любых углов.
Построение параллелограмма
Определить площадь четырехугольника с попарно параллельными сторонами можно не только через длины его сторон. Если внимательно посмотреть на формулу для S4, то можно заметить, что она идентична по виду векторному произведению направленных отрезков.
Пусть имеется два вектора a- и b-. Угол между ними равен alfa. Если их начала совместить в одной точке на плоскости, затем, от конца a- продолжить вектор b-, а из b- начертить a-, то получится параллелограмм, побудованый на a- и b-. Очевидно, что модуль векторного произведения этих направленных отрезков будет равен площади полученной фигуры:
S4 = a*b*sin (alfa) = |[a-*b-]|.
Применяя координатное выражение этого произведения, можно записать следующую формулу для площади:
Где a- = (a1,a2) и b-=(b1,b2). Знак модуля необходим потому, что по правилу правой руки могут получаться отрицательные векторы. Площадь же является всегда величиной положительной.
Преимущество последней записанной формулы для S4 по сравнению с выражением, где необходимо знать длины и углы, заключается в том, что ее использование не требует никаких предварительных вычислений. Достаточно лишь знать координаты конца и начала образующих параллелограмм векторов.
Задача с тремя точками
Чтобы научиться пользоваться записанной простой формулой, следует решить простую задачу. Имеется три точки, координаты которых следующие:
На вершинах этих точек следует построить параллелограмм, а затем, рассчитать его площадь S4.
Задачу проще всего решать через использование векторов. Выберем произвольную точку из трех заданных. Пусть это будет A. Из нее выходит два вектора: AB- и AC-. Их координаты определяются таким образом:
AB- = (2−1, 0-(-1)) = (1, 1); AC- = (-4−1, 3- (-1)) = (-5, 4).
Чтобы определить площадь параллелограмма на этих векторах, следует применить формулу для их векторного произведения. Порядок умножения направленных отрезков не имеет значения. Получается следующий результат:
S4 = [AB-*AC-] = 1*4 — (-5)*1 = 9.
Результат получен в единицах квадратных соответствующей двумерной системы координат.
Если была выбрана в качестве исходной не точка A, а B или C, то получился бы тот же результат, что можно доказать, проделав аналогичные вычисления.
Диагонали фигуры
Некоторые задачи по геометрии параллелограммов в качестве начального условия предлагают знание одной или двух его диагоналей. По этим данным необходимо вычислить характеристики всей фигуры, включая ее площадь. Решать такие задачи также удобно с использованием понятия векторов.
Если дана диагональ, выраженная вектором f- и основание, представленное направленным отрезком a-, то формула для площади параллелограмма имеет вид:
Где beta — угол между a- и f-. Видно, что это выражение не отличается от предыдущих для S4. Доказать его справедливость несложно, если рассмотреть построенные на указанных векторах треугольники и использовать признаки их подобия.
Другой случай, когда даны обе диагонали параллелограмма f- и e-. Воспользовавшись геометрическими построениями на плоскать, можно показать справедливость следующего выражения:
Здесь teta — это угол пересечения e- и f-. Таким образом, чтобы вычислить площадь параллелограмма, диагоналями которого служат вектора, следует вычислить половину модуля их векторного произведения.
Пример решения
Все разнообразие задач на определение площади параллелограмма сводится к знанию единственной формулы векторного произведения. Пусть известны две диагонали фигуры. Они имеют координаты:
Чтобы определить величину S4, достаточно без промежуточных вычислений воспользоваться формулой векторного произведения заданных направленных отрезков:
В связи с развитием интернета, всегда можно использовать калькулятор-онлайн для расчета величины S4. Соответствующий электронный ресурс можно знайти, воспользовавшись любой поисковой системой в браузере.
Трехмерное пространство
В пространственной системе координат каждый вектор задается тремя числами, поэтому их векторное произведение c- также будет представлять набор трех цифр. Построенный в пространстве параллелограмм на двух векторах будет иметь площадь, равную длине направленного отрезка c-. Для расчета его модуля следует использовать известное выражение: сумма квадратов трех координат под корнем.
Таким образом, площадь параллелограмма проще всего вычислять, используя операцию умножения векторов. Этот метод является универсальным не только для задач на плоскости, но и для решения проблем в трехмерной системе координат.
[spoiler title=”источники:”]
http://zaochnik.com/online-calculators/operacii-nad-vektorami/ploshad-parallelogramma-postroennogo-na-vektorah/
http://nauka.club/matematika/geometriya/ploshchad-parallelogramma-postroennogo-na-vektorakh.html
[/spoiler]
Онлайн калькулятор. Площадь параллелограмма построенного на векторах.
Этот онлайн калькулятор позволит вам очень просто найти площадь параллелограмма построенного на векторах.
Воспользовавшись онлайн калькулятором, вы получите детальное решение вашей задачи, которое позволит понять алгоритм решения задач на вычисление площади параллелограмма построенного на векторах и закрепить пройденый материал.
Калькулятор для вычисления площади параллелограмма построенного на векторах
Выберите каким образом задается параллелограмм:
Введите значения векторов: Введите координаты трех любых вершин параллелограмма:
Инструкция использования калькулятора для вычисления площади параллелограмма построенного на векторах
Ввод данных в калькулятор для вычисления площади параллелограмма построенного на векторах
В онлайн калькулятор вводить можно числа или дроби. Более подробно читайте в правилах ввода чисел.
Дополнительные возможности калькулятора вычисления площади параллелограмма построенного на векторах
- Между полями для ввода можно перемещаться нажимая клавиши “влево” и “вправо” на клавиатуре.
Теория. Площадь параллелограмма построенного на векторах.
Вводить можно числа или дроби (-2.4, 5/7, . ). Более подробно читайте в правилах ввода чисел.
Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!
Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.
Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах: онлайн-калькулятор
Для вычисления площади параллелограмма, построенного на векторах, нужны значения этих векторов или координаты точек. Онлайн-калькулятор выдает подробное решение и ответ. В зависимости от введенных данных программа подбирает формулы для расчета в нужной последовательности.
Сервисом пользуются школьники и студенты, когда надо быстро найти площадь параллелограмма – на контрольной, зачете, экзамене. Также по готовому решению задачи удобно изучать новую тему.
- В форме представления параллелограмма выберите способ «Двумя векторами сторон».
- Введите значения векторов в соответствующие поля. Отправьте задание на вычисление кнопкой «Рассчитать».
- Получаем решение и ответ.
- В форме представления параллелограмма выберите способ «Координатами точек».
- Введите координаты вершин в соответствующие поля. Отправьте задание на вычисление кнопкой «Рассчитать».
- Получаем решение и ответ.
Материалы, которые помогут вам лучше разобраться в теме:
Как найти площадь параллелограмма
Чтобы найти площадь параллелограмма, построенного на векторах, необходимо вычислить произведение длин векторов и синуса угла между ними. В заданиях, где длины векторов неизвестны, а даны координаты векторов, необходимо произвести следующие вычисления:
- Найти векторы a ⇀ и b ↔ по точкам.
- Вычислить произведение векторов.
- Рассчитать модуль вектора c → .
- Высчитать площадь S = a → × b →
Использование онлайн-калькулятора позволяет не думать о выборе способа решения, а просто ввести данные и получить поэтапные вычисления и ответ. Такой вариант подойдет учащимся, их родителям, преподавателям, инженерам.
Сервис позволяет узнать, чему равна площадь параллелограмма и других фигур, а также решить задачи на любую тему по алгебре и геометрии. Для этого не придется платить, регистрироваться на сайте, долго ждать. Расчеты производятся онлайн. Вы можете осваивать новую тему или сверяться с собственным решением неограниченное количество раз.
Если тема осталась непонятной, напишите консультанту. Наш сотрудник подберет вам преподавателя по выгодной цене или организует онлайн-помощь на зачете.
Площадь параллелограмма, построенного на векторах – формула и примеры решения задач
Четырехугольник и вектор на плоскости
Каждый школьник понимает, что параллелограмм является специальным видом плоских четырехугольников. Эта фигура состоит из двух пар параллельных пересекающихся отрезков. Она обладает следующими важными свойствами:
- ее противоположные стороны и углы равны друг другу;
- сумма всех четырех углов составляет 360 градусов;
- если просуммировать лишь два смежных (прилежащих к одной стороне) угла, то получится значение 180 градусов;
- любая диагональ делит фигуру на две равные части (треугольники);
- пересечение диагоналей происходит в точке, которая является геометрическим и массовым центром параллелограмма;
- любая секущая, которая проходит через геометрический центр, делит фигуру на две равные по площади части.
Специальные типы
Исходя из определения параллелограмма, как четырехугольника с параллельными и равными по длине противоположными сторонами, можно привести несколько видов фигуры, которые обладают высокой симметрией по отношению к ряду элементарных операций. Это следующие геометрические типы:
- Квадрат. Все четыре стороны его равны по длине между собой, а углы составляют 90 градусов. Он является фигурой с достаточно высокой симметрией, и его площадь вычисляется просто как квадрат длины любой его стороны.
- Прямоугольник. Еще один вид параллелограмма, все углы которого являются прямыми. Его симметрия несколько ниже, чем у квадрата, поскольку длины сторон равны лишь попарно. Площадь фигуры можно вычислить, перемножив длины смежных сторон.
- Ромб. Специальный геометрический тип параллелограмма, который характеризуется тем, что длины всех его сторон являются одинаковыми. Углы фигуры попарно равны и отличаются от 90 градусов (два тупых и два острых).
Направленные отрезки и операция умножения
Площадь параллелограмма через векторы рассчитать легко, если знать понятие направленного отрезка и уметь работать с соответствующими математическими операциями. Поскольку любая точка на плоскости может быть представлена в виде набора двух координат в декартовой прямоугольной системе, то для P и Q можно записать:
P (x1, y1); Q (x2, y2).
Где числа x1, y1, x2 и y2 являются соответствующими координатами для точек P и Q по осям абсцисс и ординат. Чтобы получить вектор PQ-, который будет направлен из P в точку Q, необходимо из координат Q попарно вычесть значения для P:
PQ- = Q — P = (x2-x1, y2-y1).
Координаты направленного отрезка на плоскости определяются так же, как и для точки, набором из двух чисел. Чтобы построить такой вектор в системе координат, необходимо его начало расположить в точке (0, 0), а конец со стрелкой будет располагаться в точке (x2-x1, y2-y1). Из этой геометрической интерпретации следует, что существует бесконечное множество направленных отрезков, которые эквивалентны между собой. Получаются они друг из друга с помощью параллельного переноса по всей плоскости координат.
Как и числа, направленные отрезки также можно складывать между собой, вычитать и умножать. Рассматривая вопрос построение параллелограмма на векторах и нахождения его площади, необходимо изучить свойства векторного произведения. Оно представляет собой вектор, перпендикулярный плоскости, в которой лежат исходные направленные отрезки. Пусть a- и b- необходимо умножить векторно. Результатом произведения будет следующий вектор c-:
c- = [a-*b-] = |a-|*|b-|*sin (alfa).
Здесь alfa — угол между a- и b-, а |a-| и |b-| – длины соответствующих направленных отрезков.
Направление c- принято определять с помощью правила правой руки. Оно гласит: если четыре пальца ладони направить от конца первого умножаемого вектора к концу второго, то оттопыренный большой палец укажет направление результирующего векторного умножения.
Координаты вектора c- можно вычислить также, если воспользоваться понятием определителя матрицы. Пусть a- имеет координаты (a1, a2), а b- = (b1, b2), тогда формула для определения c- запишется в следующем виде:
c- = (0, 0, (a1*b2-b1*a2)).
Вектор c- имеет первые две нулевые координаты, поскольку он перпендикулярен плоскости, в которой находятся a- и b-.
Формула площади из геометрии
Чтобы получить формулу площади параллелограмма на векторах, необходимо вспомнить, как рассчитывается эта величина для треугольника. Если известна одна сторона (основание a) и высота, которая на нее опущена (h), то получается простое выражение:
Где S3 — площадь треугольника. Поскольку две таких плоских фигуры, которые соединены одной из своих сторон, образуют четырехугольник-паралелограм, то для него рассмотренную величину можно вычислить по формуле:
Пусть вторая сторона параллелограмма равна b, тогда с высотой h она связана через определение тригонометрической функции синус:
sin (alfa) = h/b => h = b*sin (alfa).
Если подставить это равенство в выражение для S4, то нахождение площади фигуры сведется к расчету произведения двух его смежных сторон и синуса угла между ними:
Поскольку угол alfa изменяется от 0 до 180 градусов, то функция синус всегда имеет положительное значение. Этой формулой часто пользуются на практике. Распространение инженерных калькуляторов позволяет быстро и с высокой точностью вычислять синусы любых углов.
Построение параллелограмма
Определить площадь четырехугольника с попарно параллельными сторонами можно не только через длины его сторон. Если внимательно посмотреть на формулу для S4, то можно заметить, что она идентична по виду векторному произведению направленных отрезков.
Пусть имеется два вектора a- и b-. Угол между ними равен alfa. Если их начала совместить в одной точке на плоскости, затем, от конца a- продолжить вектор b-, а из b- начертить a-, то получится параллелограмм, побудованый на a- и b-. Очевидно, что модуль векторного произведения этих направленных отрезков будет равен площади полученной фигуры:
S4 = a*b*sin (alfa) = |[a-*b-]|.
Применяя координатное выражение этого произведения, можно записать следующую формулу для площади:
Где a- = (a1,a2) и b-=(b1,b2). Знак модуля необходим потому, что по правилу правой руки могут получаться отрицательные векторы. Площадь же является всегда величиной положительной.
Преимущество последней записанной формулы для S4 по сравнению с выражением, где необходимо знать длины и углы, заключается в том, что ее использование не требует никаких предварительных вычислений. Достаточно лишь знать координаты конца и начала образующих параллелограмм векторов.
Задача с тремя точками
Чтобы научиться пользоваться записанной простой формулой, следует решить простую задачу. Имеется три точки, координаты которых следующие:
На вершинах этих точек следует построить параллелограмм, а затем, рассчитать его площадь S4.
Задачу проще всего решать через использование векторов. Выберем произвольную точку из трех заданных. Пусть это будет A. Из нее выходит два вектора: AB- и AC-. Их координаты определяются таким образом:
AB- = (2−1, 0-(-1)) = (1, 1); AC- = (-4−1, 3- (-1)) = (-5, 4).
Чтобы определить площадь параллелограмма на этих векторах, следует применить формулу для их векторного произведения. Порядок умножения направленных отрезков не имеет значения. Получается следующий результат:
S4 = [AB-*AC-] = 1*4 — (-5)*1 = 9.
Результат получен в единицах квадратных соответствующей двумерной системы координат.
Если была выбрана в качестве исходной не точка A, а B или C, то получился бы тот же результат, что можно доказать, проделав аналогичные вычисления.
Диагонали фигуры
Некоторые задачи по геометрии параллелограммов в качестве начального условия предлагают знание одной или двух его диагоналей. По этим данным необходимо вычислить характеристики всей фигуры, включая ее площадь. Решать такие задачи также удобно с использованием понятия векторов.
Если дана диагональ, выраженная вектором f- и основание, представленное направленным отрезком a-, то формула для площади параллелограмма имеет вид:
Где beta — угол между a- и f-. Видно, что это выражение не отличается от предыдущих для S4. Доказать его справедливость несложно, если рассмотреть построенные на указанных векторах треугольники и использовать признаки их подобия.
Другой случай, когда даны обе диагонали параллелограмма f- и e-. Воспользовавшись геометрическими построениями на плоскать, можно показать справедливость следующего выражения:
Здесь teta — это угол пересечения e- и f-. Таким образом, чтобы вычислить площадь параллелограмма, диагоналями которого служат вектора, следует вычислить половину модуля их векторного произведения.
Пример решения
Все разнообразие задач на определение площади параллелограмма сводится к знанию единственной формулы векторного произведения. Пусть известны две диагонали фигуры. Они имеют координаты:
Чтобы определить величину S4, достаточно без промежуточных вычислений воспользоваться формулой векторного произведения заданных направленных отрезков:
В связи с развитием интернета, всегда можно использовать калькулятор-онлайн для расчета величины S4. Соответствующий электронный ресурс можно знайти, воспользовавшись любой поисковой системой в браузере.
Трехмерное пространство
В пространственной системе координат каждый вектор задается тремя числами, поэтому их векторное произведение c- также будет представлять набор трех цифр. Построенный в пространстве параллелограмм на двух векторах будет иметь площадь, равную длине направленного отрезка c-. Для расчета его модуля следует использовать известное выражение: сумма квадратов трех координат под корнем.
Таким образом, площадь параллелограмма проще всего вычислять, используя операцию умножения векторов. Этот метод является универсальным не только для задач на плоскости, но и для решения проблем в трехмерной системе координат.
[spoiler title=”источники:”]
http://zaochnik.com/online-calculators/operacii-nad-vektorami/ploshad-parallelogramma-postroennogo-na-vektorah/
http://nauka.club/matematika/geometriya/ploshchad-parallelogramma-postroennogo-na-vektorakh.html
[/spoiler]
Площадь параллелограмма, построенного на векторах, равняется произведению длин этих векторов на угол угла, который лежит между ними.
Хорошо, когда по условиям даны длины этих самых векторов. Однако бывает и так, что применить формулу площади параллелограмма, построенного на векторах можно только после расчетов по координатам.
Если повезло, и по условиям даны длины векторов, то нужно просто применить формулу, которую мы уже подробно разбирали в статье площадь параллелограмма. Площадь будет равняться произведению модулей на синус угла между ними:
Рассмотрим пример расчета площади параллелограмма построенного на векторах.
Вернемся к проблеме, когда длины векторов не указаны в условиях. Если ваш параллелограмм лежит в декартовой системе координат, то потребуется сделать следующее.
Расчет длин сторон фигуры, заданной координатами
Для начала находим координаты векторов и отнимаем от координат конца соответствующие координаты начала. Допустим координаты вектора a(x1;y1;z1), а вектора b(x3;y3;z3).
Теперь находим длину каждого вектора. Для этого каждую координату необходимо возвести в квадрат, потом сложить полученные результаты и из конечного числа извлечь корень. По нашим векторам будут следующие расчеты:
Теперь потребуется найти скалярное произведение наших векторов. Для этого их соответствующие координаты множатся и складываются.
Имея длины векторов и их скалярное произведение, мы можем найти косинус угла, лежащего между ними 
.
Теперь можем найти синус этого же угла: 
Теперь у нас есть все необходимые величины, и мы можем запросто найти площадь параллелограмма построенного на векторах по уже известной формуле.
Здравствуйте, дорогие читатели канала. В этой статье рассмотрим решение 25 задачи из ОГЭ по математике.
Задача: В параллелограмме ABCD проведена диагональ AC. Точка O является центром окружности, вписанной в треугольник ABC. Расстояния от точки O до точки A и прямых AD и AC соответственно равны 25, 14 и 7. Найдите площадь параллелограмма ABCD
Решение:
Выполним построение чертежа и напишем, что нам известно:
Начнем решать задачу с “конца”, т.е. с того что нам нужно найти.
1) Площадь параллелограмма можно найти двумя способами:
2) Рассмотрим первую формулу площади параллелограмма. На рисунке нам не хватает высоты. Продолжим OF до стороны ВС получим EF=h.
В этой формуле мы не знаем сторону AD.
3) Рассмотрим вторую формулу площади параллелограмма через площадь треугольника.
Площадь треугольника с вписанной окружностью можно найти по следующей формуле:
Для того чтобы найти полупериметр, проведем еще один радиус ON окружности к стороне АВ.
Теперь подставим значение полупериметра в формулу площади треугольника, получаем:
Чтобы найти АК рассмотрим прямоугольный треугольник АОК.
Значит площадь параллелограмма через треугольник равна:
4) Из второго и третьего пункта возьмем получившиеся формулы площади параллелограмма, приравняем их и найдем сторону AD = BC:
Теперь ответим на главный вопрос задачи. Площадь параллелограмма равна:
Если вы знаете способ решения легче, пишите в комментариях.
Спасибо что дочитали. Вы меня очень поддержите, если поставите лайк и подпишитесь на мой блог.
Содержание:
- Формулы
- Примеры вычисления площади параллелограмма
Формулы
Первый способ. Чтобы найти площадь параллелограмма (рис. 1), нужно найти произведение стороны
$a$ параллелограмма на высоту
$h_a$, проведенную к этой стороне, то есть
Второй способ. Чтобы найти площадь параллелограмма, надо найти произведение двух его смежных сторон
$a$ и $b$, умноженное на синус угла
$alpha$ между ними (рис. 2):
$$mathrm{S}=a b sin alpha$$
Третий способ. Чтобы найти площадь параллелограмма, надо найти полупроизведение его диагоналей
$d_1$ и $d_2$ на синус угла $beta$ между ними (рис. 3):
$$mathrm{S}=frac{1}{2} d_{1} d_{2} sin beta$$
Примеры вычисления площади параллелограмма
Пример
Задание. Найти площадь параллелограмма, если его сторона равна 2 см, а высота, проведенная к этой стороне – 3 см.
Решение. Искомая площадь равна
$S=2 cdot 3 = 6$ (см2)
Ответ. $S=6$ (см2)
236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!
Пример
Задание. Найти площадь параллелограмма, одна сторона которого равна 4 см, вторая на 3 см
больше и тупой угол параллелограмма равен $120^{circ}$.
Решение. Найдем вторую сторону параллелограмма:
$b=4+3=7$ (см)
Так как сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна
$180^{circ}$, то делаем вывод, что угол между сторонами равен
$$alpha=180^{circ}-120^{circ}=60^{circ}$$
Тогда искомая площадь равна
$mathrm{S}=4 cdot 7 cdot sin 60^{circ}=28 cdot frac{sqrt{3}}{2}=14 sqrt{3}$ (см2)
Ответ. $mathrm{S}=14 sqrt{3}$ (см2)
Остались вопросы?
Здесь вы найдете ответы.
Каким образом можно доказать утверждение о том, что площадь параллелограмма
есть число, получаемое в результате умножения длин двух его сторон,
являющихся смежными, и синуса угла, который образуется между ними?
Параллелограмм следует расположить по горизонтали. Обозначим его верхнее
основание как АВ, а противоположное ему основание – как CD. Из точек ВЕ и
AF проведем перпендикулярные прямые на нижнее основание фигуры. В
результате получится прямоугольник ABEF. Площадь образовавшейся
прямоугольной фигуры равна площади параллелограмма по той причине, что
параллелограмм ABCD и фигура с прямыми углами ABEF являются
равносоставленными, о чем свидетельствует равенство треугольников ВEC и
DAF.
Площадь (S) прямоугольника представляет собой произведение длин сторон EF
и FA, которое, в свою очередь, равно:
CD*AD*sin(CDA)
Именно это и требовалось доказать.
Параллелограмм имеет смежные стороны длиной 26 см и 32 см. Один из углов
данной фигуры равен 150 градусам. Каким способом можно вычислить площадь
параллелограмма?
Обозначим имеющийся параллелограмм как АВСD. Тогда одна его сторона АВ
равна 26 см, а другая АD – 32 см. Угол АВС параллелограмма составляет 150
градусов.
Принимая во внимание тот факт, что сумма внутренних односторонних углов
параллелограмма равна 180 градусов, можно говорить о том, что его угол ВАD
составляет 30 градусов. Проведем высоту ВК, и в итоге получим треугольник
АВК с прямым углом. Длина опущенной высоты как катета, расположенного
противоположно углу в 30 градусов, равна 13 см. Площадь (S)
параллелограмма есть число, полученное в результате умножения длины высоты
на длину стороны. Это значит, что:
S (АВСD) = 13 *32 = 416 см кв.
Ответ: Площадь параллелограмма равна 416 см кв.
Прямая АС проведена через середины двух сторон параллелограмма, которые
являются смежными. Данная прямая отсекает от параллелограмма два
треугольника – FMD и АDС. Площадь одного из отсеченных треугольников
составляет 32 см кв. Как высчитать площадь параллелограмма?
Прямая АС представляет собой диагональ биссектрисы. В этом случае
образовавшиеся посредством ее проведения треугольники FMD и АDС являются
подобными по причине наличия общего угла А и равенства сторон. На
основании этого можно говорить о том, что:
SADC=1/2*ab*sin a
SFDM=1/2 *2a*2b sin a
SADC / SFDM= 32/x
1/4=32/x
x=128
Теперь можно рассчитать площадь параллелограмма (S), которая будет равна
2*х:
S = 128*2 = 256 см кв.
Ответ: Площадь параллелограмма равна 256 см кв.
Параллелограмм имеет стороны, длины которых составляют 10 см и 6 см. Данные
стороны образуют угол, равный 150 градусам. Как рассчитать площадь
параллелограмма в этом случае?
Обозначим угол в 150 градусов буквой В. Зная о том, что внутренние
односторонние углы параллелограмма в сумме дают 180 градусов, можно
вычислить второй угол А. Он будет равен:
∠А = 180-150 = 30 градусов.
Теперь следует провести высоту ВВ1, которая образует треугольник АВВ1,
являющийся прямоугольным. Длина ВВ1 будет равна половине длины стороны,
равной 6 см:
ВВ1 = 6/2 = 3 см.
Тогда площадь (S) параллелограмма можно рассчитать, умножив длину ВВ1 на
10 см (длина смежной стороны):
S = 3*10 = 30 см кв.
Ответ: Площадь параллелограмма равна 30 см кв.
Проведенные диагонали делят параллелограмм на четыре треугольных фигуры.
Площадь одной из них равна 7 м кв. Каким образом можно найти площадь
параллелограмма?
Обозначим имеющийся параллелограмм как ABCD. Точкой пересечения его
диагоналей является точка О. Образованные диагоналями треугольные фигуры
ABO, BCO, CDO, DAO являются одинаковыми по площади. Об этом
свидетельствует тот факт, что диагонали параллелограмма делятся ровно
пополам в точке их пересечения. Свидетельством того, что все четыре
треугольника имеют одинаковые площади, выступает равенство синусов смежных
углов. Площадь является ½ числа, которое получено в результате умножения
длин сторон треугольника и синуса угла, образованного между ними.
Параметры, которые отвечают вычислению площадей треугольников, равны, а
это означает равенство и самих площадей.
Если площади всех четырех треугольных фигур равны, то площадь самого
параллелограмма будет в четыре раза превышать площадь любого из них. Это
значит, что площадь (S) параллелограмма может быть вычислена следующим
образом:
S = 4*7 = 28 м кв.
Ответ: Площадь параллелограмма равна 28 м кв.
Дан параллелограмм ABCD, на одной из сторон которого АВ поставлена точка М.
Известно, что площадь треугольника MCD составляет 38 см кв. Как найти
площадь параллелограмма?
Площадь (S) параллелограмма рассчитывается путем умножения длины его
основания на длину его высоты.
Прямые МС и МD, проведенные из точки М, делят параллелограмм на
треугольники. Площадь первого из них вычисляется как:
S₁ = 1/2 * a * h = 38 см кв.
Формула для расчета площади второго треугольника выглядит так:
S₂ = 1/2 * a₁* h
Площадь третьего треугольника можно найти следующим образом:
S₃ = 1/2 *a₃* h,
где а =а₁ + а₂
Теперь через площади образованных треугольников можно вычислить площадь
параллелограмма:
S = S₁ + S₂ + S₃ = 1/2 *(a * h +a₁ * h +a₂ * h) = 1/2 * (a * h + h(a₁ +
a₂)) = 1/2 * (a * h + a * h) = 2 * 38 = 76 см. кв.
Ответ: Площадь параллелограмма равна 76 см кв.
Длина основания параллелограмма составляет 5 см, а его высота равна 3 см.
Как найти площадь параллелограмма?
Формула расчета площади параллелограмма (S) включает длину его высоты и
длину его основания. Данные элементы нужно перемножить, для того чтобы
вычислить площадь фигуры:
S = a*h= 5*6=30 см кв.
Ответ: Параллелограмм имеет площадь 30 см кв.
Имеется параллелограмм ABCD. Посередине его стороны АВ поставлена точка Е,
из которой проведена прямая, образующая треугольник CDE площадью 36 см кв.
Каким образом можно найти площадь параллелограмма?
На продолжение стороны CD опустим перпендикуляр ЕН из точки Е. Он
представляет собой высоту для параллелограмма ABCD и треугольника CDE.
Известно, что площадь (S) параллелограмма является произведением длины его
стороны и высоты, которая на нее опущена. Площадь треугольника
представляет собой ½ от числа, которое получилось в результате умножения
длины стороны на высоту, опущенную на нее. На основании этого можно
сделать вывод о том, что:
S(ABCD) = EH*CD
S(∆CDE) = ½*EH*CD => 2*S(∆CDE) = EH*CD.
Из этого следует, что:
2*S(∆CDE) = S(ABCD) = 2*36 ед² = 72 ед. кв.
Ответ: Площадь параллелограмма составляет 72 кв. ед.
В каком виде представлена формула, которая предназначена для вычисления
площади параллелограмма?
Для получения возможности рассчитать, чему равна площадь (S)
параллелограмма, нужно располагать сведениями о длине его основания (а) и
высоты (h). В этом случае площадь можно высчитать при помощи следующей
формулы:
S = а* h.
Как найти площадь параллелограмма через синус, если известно, что длины его
сторон равны 8 см и 10 см, а синус одного из его углов составляет 0,05?
Формула, которая предназначена для вычисления площади параллелограмма (S)
через синус, выглядит следующим образом:
S = a × b × sin A
В данной формуле буквами a и b обозначены стороны параллелограмма,
являющиеся смежными, а А означает угол, который образован между этими
сторонами.
Доказано, что синусы смежных углов являются равными. Это значит, что синус
тупого угла равен синусу острого угла.
Площадь параллелограмма вычисляем следующим образом:
S = 8 × 10 × 0,05 = 4 см кв.
Ответ: Параллелограмм имеет площадь, равную 4 см кв.
Имеется параллелограмм ABCD, в котором опущена высота на его сторону АВ. Ее
длина равна 12 см. При этом длина AD составляет 24 см. Каким образом можно
высчитать значение синуса угла А?
Высота, опущенная на сторону АВ параллелограмма, обозначена как СК.
Полученный в результате треугольник КВС имеет прямой угол.
Sin B=АВ/ВС.
В этом случае ВС=AD=24 см. Так, синус угла В равен:
sinВ=12/24=1/2, что соответствует углу 30 градусов.
В параллелограмме проведены диагонали, длины которых равны 5 см и 28 см.
Между ними образован угол, составляющий 30 градусов. Как можно найти площадь
параллелограмма через синус в данном случае?
Площадь любой из четырехугольных фигур может быть вычислена, если известны
длины ее диагоналей и синус угла, образованного между ними. Для этого
нужно произвести умножение упомянутых величин, а затем разделить
полученное число на 2. В случае с параллелограммом, обозначенным как ABCD,
площадь рассчитывается по этой же формуле:
S = 1/2 AC*BD*sin∠AOB = ½*28*5*sin30° = 14*5*1/2 = 7*5 = 35 кв. см.
Ответ: Площадь параллелограмма равна 35 см кв.
Представляется ли возможным высчитать площадь параллелограмма при условии,
что длины двух его диагоналей и образованный в месте их пересечения угол
являются известными величинами?
Площадь параллелограмма (S) представляет собой половину числа, полученного
после умножения друг на друга длин проведенных в нем диагоналей, которое
умножено на синус образовавшегося в итоге их пересечения угла:
S = ½*d 1*d 2*sin α
Возможно ли рассчитать площадь параллелограмма по диагоналям, длины которых
равны 6 см и 4 см? При этом известно, что образованный ими угол является
прямым.
Для определения площади параллелограмма через известные длины проведенных
в нем диагоналей применяется приведенная ниже формула:
S = ½*d 1*d 2*sin α,
где диагонали фигуры обозначены как d 1 и d 2, а синус образованного в
результате их пересечения угла – sin α.
Подставим в указанное равенство величины, приведенные в задании:
S = 1/2 * 4 см * 6 см * sin 90° = 12 см кв.
Ответ: Площадь параллелограмма, вычисленная через диагонали, равна 12 см
кв.
На одной из сторон параллелограмма ABCD, обозначенной как ВС, отмечена точка
М. Чему будет равна площадь параллелограмма при условии, что площадь
треугольника МАD составляет 21 см кв.?
Под площадью параллелограмма (S) понимается величина, полученная в
результате умножения длины его стороны (b) на высоту (h), которая опущена
к ней. В виде формулы это выглядит следующим образом:
S =b*h
Площадь треугольной фигуры представляет собой ½ числа, полученного
произведением длины стороны на высоту, которая к ней проведена:
S=1/2*b*h,
Отсюда получаем, что:
b*h=2Sт=2*21=42 см кв.
Если говорить о треугольнике МАD, то в нем сторона АD представлена в
качестве стороны b, как и в случае с параллелограммом. Высота указанного
треугольника будет также представлять собой высоту параллелограмма. Это
обусловлено тем, что точка М расположена на стороне, которая
противоположна стороне ВС. Из этого следует, что площадь параллелограмма
равна 42 см кв.
Ответ: Площадь параллелограмма равна 42 см кв.
Параллелограмм ABCD имеет стороны длиной 10 см и 14 см, а также острый угол
в 60 градусов. Каким образом можно вычислить площадь параллелограмма?
В параллелограмме ABCD нужно провести высоту ВН на сторону AD. После этого
получается треугольник АВН с углом в 90 градусов. Можно рассчитать, чему
равен еще один угол данного треугольника:
АВН = 90-60 = 30
ВН = АВ*sin60 = 10*корень3/2 = 5*корень3
Таким образом, можно узнать, чему будет равна площадь параллелограмма:
S = AD*ВН = 14*5*√3 = 70*√3 см кв.
Ответ: Площадь параллелограмма составляет 70*√3 см кв.
Дан параллелограмм, через середины пары смежных сторон которого проведена
прямая. Она отсекает треугольную фигуру площадью 32 см кв. Чему в данном
случае равна площадь параллелограмма?
АС представляет собой диагональ биссектрисы. В этом случае оба
треугольника FMD и ADC являются подобными по той причине, что они имеют
общий угол А и их стороны равны. Из этого следует, что:
S ADC = 1/2*ab*sina
S FDM=1/2 *2a*2bsina
Отношение площадей двух треугольников выглядит как:
S ADC / S FDM= 32/x
1/4=32/x
x=128
Теперь можно высчитать площадь параллелограмма:
S = 128*2 = 256 см кв.
Читать дальше: как найти площадь трапеции.
