Как найди площадь сечения в треугольной призме

Объем призмы и другие ее характеристики

Перед вами иллюстрированный гид о призме.

В картинках. С пояснениями к формулам. С примерами.

Определение, виды призм, высота, площадь, объем призмы — все, все, все!

Читайте и делитесь впечатлениями в комментариях!

Призма — коротко о главном

Определение призмы:

Призма – это многогранник, две грани которого (основания) – равные многоугольники, лежащие в параллельных плоскостях, а боковые грани – параллелограммы.

Высота призмы – перпендикуляр, опущенный из одной из вершин призмы на плоскость противоположного основания.

Виды призм:

Параллелепипед — это призма, основанием которой является параллелограмм.

Прямая призма – это призма, у которой боковые ребра перпендикулярны плоскости основания. Другие призмы называются наклонными.

Правильная призма – это прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник. Боковые грани правильной призмы – равные прямоугольники.

Объем призмы

Главная формула объема призмы:
( displaystyle V=S{{ }_{основания}}cdot text{H}),
где ( {{text{S}}_{основания}}) – площадь основания,
( H) – высота.

Необычная формула объема призмы:
( text{V}={{text{S}}_{bot }}cdot l),
где ( {{text{S}}_{bot }}) – площадь сечения, перпендикулярного боковому ребру,
( l) – длина бокового ребра.

Площадь призмы

Площадь полной поверхности призмы – сумма площадей всех граней.
( displaystyle {{text{S}}_{полн. пов.}}={{text{S}}_{боков.пов.}}+2cdot {{text{S}}_{text{основания}.}})

А теперь чуть подробнее…

Что такое призма

Давай ответим сперва картинками:

Смотри: у призмы сверху и снизу два одинаковых многоугольника – они называются основаниями.

Остальные грани называются боковыми.

Плоскости оснований параллельный. Боковые грани – параллелограммы.

Рисуем еще раз.

А теперь рёбра.

Смотри: бывают рёбра основания и боковые рёбра.

Важно знать, что:

Все боковые рёбра призмы равны и параллельны.

А еще:

• Если в основании призмы лежит треугольник, то призма называется треугольной, если четырёхугольник, то четырёхугольной и т.д.;
• Бывают и десятиугольные, и двадцатиугольные призмы, но, к счастью, не в твоих задачах;
• А тебе будут встречаться чаще всего треугольные, четырёхугольные и шестиугольные призмы.

Думаю, теперь мы можем дать более строгое определение призмы.

Высота призмы

Высота призмы – перпендикуляр, опущенный из одной из вершин призмы на плоскость противоположного основания.

И ясно, что та же самая высота получится, если опустить перпендикуляр из любой точки на верхней плоскости.

Согласен?

Объем призмы

Главная формула объема призмы

( displaystyle V=S{{ }_{основания}}cdot text{H}),где ( {{text{S}}_{основания}}) — площадь основания,
( H) — высота.

Необычная формула объема призмы

( text{V}={{text{S}}_{bot }}cdot l),
где ( {{text{S}}_{bot }}) — площадь сечения, перпендикулярного боковому ребру,
( l) — длина бокового ребра.

Площадь призмы

Площадь полной поверхности призмы – сумма площадей всех граней.
( displaystyle {{text{S}}_{полн. пов.}}={{text{S}}_{боков.пов.}}+2cdot {{text{S}}_{text{основания}.}})

Прямая призма

Если боковые рёбра призмы перпендикулярны основанию, то призма называется прямой.

Свойства прямой призмы:

• Все боковые грани прямоугольники;
• Все сечения, проходящие через боковые рёбра, – прямоугольники;
• Даже сечения, проходящие только через одно боковое ребро, – прямоугольники;
• У прямой призмы высота совпадает с боковым ребром.

Правильная призма

Если боковые рёбра призмы перпендикулярны основанию, а в основании лежит правильный многоугольник, то призма называется правильной.

То есть правильная призма – это прямая призма, у которой в основании правильный многоугольник.

Тебе, скорее всего, может встретиться:

Правильная треугольная призма – в основании правильный треугольник, боковые грани – прямоугольники.

Правильная четырёхугольная призма – это ещё и разновидность прямоугольного параллелепипеда – в основании квадрат, боковые грани – прямоугольники.

Правильная шестиугольная призма – в основании правильный шестиугольник, боковые грани – прямоугольники.

Главная формула объема призмы

( displaystyle V=S{{ }_{основания}}cdot text{H})

( {{text{S}}_{основания}}) – площадь основания

( H) – высота

Эта формула верна для любой призмы, но если призма прямая, то ( H) «превращается» в боковое ребро. И тогда

( displaystyle V=S{{ }_{основания}}cdot text{H})

– то же самое, что

( displaystyle V=S{{ }_{основания}}cdot боковое ребро)

Необычная формула объёма призмы

Представь себе, есть ещё одна, «перевёрнутая» формула для объёма призмы:

( Large text{V}={{text{S}}_{bot }}cdot l)

( {{text{S}}_{bot }}) – площадь сечения, перпендикулярного боковому ребру,

( l) – длина бокового ребра

Используется ли эта формула в задачах? Честно говоря, довольно редко, так что можешь ограничиться знанием основной формулы объёма.

Давай теперь для упражнения посчитаем объём самых популярных призм.

Объем правильной треугольной призмы

Пусть дано, что сторона основания равна ( a), а боковое ребро равно ( b).

Найдем объем:

( text{V}={{text{S}}_{Основания}}cdot text{H}={{text{S}}_{text{ABC}}}cdot text{b})

Вспомним, как находить площадь правильного треугольника:

( {{text{S}}_{text{ABC}}}=frac{1}{2}text{a}cdot text{h})

( text{h}=sqrt{{{text{a}}^{2}}-frac{{{text{a}}^{2}}}{4}}=frac{sqrt{3}}{2}text{a})

( {{text{S}}_{text{ABC}}}=frac{1}{2}text{a}cdot frac{sqrt{3}}{2}text{a}=frac{{{text{a}}^{2}}sqrt{3}}{4})

Подставляем в формулу объёма:

( text{V}={{text{S}}_{text{ABC}}}cdot text{b}=frac{{{text{a}}^{2}}text{b}sqrt{3}}{4}).

Объем правильной четырёхугольной призмы

Опять дано: сторона основания равна ( a), боковое ребро равно ( b).

( text{V}={{text{S}}_{text{основания}}}cdot text{H}={{text{S}}_{text{ABC}}}cdot text{b})

Ну, площадь квадрата долго искать не надо:

( displaystyle {{text{S}}_{text{ABCD}}}={{text{a}}^{2}})

Значит, ( displaystyle text{V}={{text{S}}_{text{ABCD}}}cdot text{b}={{text{a}}^{2}}text{b}).

Объем правильной шестиугольной призмы

Площадь поверхности призмы

Площадь боковой поверхности призмы – сумма площадей всех боковых граней.

Есть ли общая формула?

Нет, в общем случае нет. Просто нужно искать площади боковых граней и суммировать их.

Площадь полной поверхности призмы – сумма площадей всех граней.

( displaystyle {{text{S}}_{полн. пов.}}={{text{S}}_{боков.пов.}}+2cdot {{text{S}}_{text{основания}.}})

Формулу можно написать для прямой призмы:

( displaystyle {{text{S}}_{боков.}}=text{H}cdot text{P}), где ( displaystyle P) – периметр основания.

( displaystyle {{text{S}}_{text{полной}}}=text{H}cdot text{P}+2{{text{S}}_{основания}}).

Но всё-таки гораздо проще в каждом конкретном случае сложить все площади, чем запоминать дополнительные формулы.

Для примера посчитаем полную поверхность правильной шестиугольной призмы

Пусть сторона основания равна ( displaystyle a), а боковое ребро равно ( displaystyle b).

Самые бюджетные курсы по подготовке к ЕГЭ на 90+