Данная статья посвящена изучению темы “Рациональные числа”. Ниже приведены определения рациональных чисел, даны примеры, рассказано о том, как определить, является ли число рациональным, или нет.
Рациональные числа. Определения
Прежде чем дать дефиницию рациональных чисел вспомним, какие еще есть множества чисел, и как они связаны между собой.
Натуральные числа, в совокупности с противоположными им и числом ноль образуют множество целых чисел. В свою очередь, совокупность целых дробных чисел образует множество рациональных чисел.
Рациональные числа – числа, которые можно представить в виде положительной обыкновенной дроби ab, отрицательной обыкновенной дроби -ab или числа ноль.
Таким образом, можно оставить ряд свойств рациональных чисел:
- Любое натуральное число является рациональным числом. Очевидно, каждое натуральное число n можно представить в виде дроби 1n.
- Любое целое число, включая число 0, является рациональным числом. Действительно, любое целое положительное и целое отрицательное число легко представляется в виде соответственно положительной или отрицательной обыкновенной дроби. Например, 15=151, -352=-3521.
- Любая положительная или отрицательная обыкновенная дробь ab является рациональным числом. Это следует напрямую из данного выше определения.
- Любое смешанное число является рациональным. Действительно, ведь смешанное число можно представить в виде обыкновенной неправильной дроби.
- Любую конечную или периодическую десятичную дробь можно представить в виде обыкновенной дроби. Поэтому, каждая периодическая или конечная десятичная дробь является рациональным числом.
- Бесконечные и непериодическое десятичные дроби не являются рациональными числами. Их невозможно представить в форме обыкновенных дробей.
Приведем примеры рациональных чисел. Числа 5, 105, 358, 1100055 являются натуральными, положительными и целыми. Сдедовательно, это рациональные числа. Числа -2, -358, -936 представляют собой целые отрицательные числа, и они также рациональны в соответствии с определением. Обыкновенные дроби 35, 87, -358 также являются примерами рациональных чисел.
Приведенное выше определение рациональных чисел можно сформулировать более кратко. Еще раз ответим на вопрос, что такое рациональное число.
Рациональные числа – это такие числа, которые можно представить в виде дроби ±zn, где z – целое число, n – натуральное число.
Можно показать, что данное определение равносильно предыдущему определению рациональных чисел. Чтобы сделать это, вспомним, что черта дроби равносильна знаку деления. С учетом правил и свойств деления целых чисел, можно записать следующие справедливые неравенства:
0n=0÷n=0; -mn=(-m)÷n=-mn.
Таким образом, можно записать:
zn=zn, при z>00, при z=0-zn, при z<0
Собственно, данная запись и является доказательством. Приведем примеры рациональных чисел, основываясь на втором определении. Рассмотрим числа -3, 0, 5, -755, 0,0125 и -135. Все эти числа являются рациональными, так как их можно записать в виде дроби с целым числителем и натуральным знаменателем: -31, 01,-755, 12510000, 85.
Приведем еще одну эквивалентную форму определения рациональных чисел.
Рациональное число – это такое число, которое можно записать в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби.
Данное определение напрямую следует из самого первого определения этого пункта.
Подведем итог и сформулируем резюме по данному пункту:
- Положительные и отрицательные дробные и целые числа составляют множество рациональных чисел.
- Каждое рациональное число можно представить в виде обыкновенной дроби, числитель которой является целым числом, а знаменатель – натуральным числом.
- Каждое рациональное число можно также представить в виде десятичной дроби: конечной или бесконечной периодической.
Какое из чисел является рациональным?
Как мы уже выяснили, любое натуральное число, целое число, правильная и неправильная обыкновенная дробь, периодическая и конечная десятичная дробь являются рациональными числами. Вооружившись этими знаниями можно без труда определить, является ли какое-то число рациональным.
Однако на практике часто приходится иметь дело не с числами, а с числовыми выражениями, которые содержат корни, степени и логарифмы. В некоторых случаях ответ на вопрос “рационально ли число?” является далеко не очевидным. Рассмотрим методы ответа на этот вопрос.
Если число задано в виде выражения, содержащего только рациональные числа и арифметические действия между ними, то результат выражения – рациональное число.
Например, значение выражения 2·318-0,250,(3) является рациональным числом и равно 18.
Таким образом, упрощение сложного числового выражения позволяет определить, рационально ли заданное им число.
Теперь разберемся со знаком корня.
Оказывается, что число mn, заданное в видя корня степени n от числа m рационально лишь тогда, когда m является n-ой степенью какого-то натурального числа.
Обратимся к примеру. Число 2 не является рациональным. Тогда как 9, 81 – рациональные числа. 9 и 81 – полные квадраты чисел 3 и 9 соответственно. Числа 199, 28, 151 не являются рациональными числами, так как числа под знаком корня не являются полными квадратами каких-либо натуральных чисел.
Теперь возьмем более сложный случай. Является ли рациональным число 2435? Если возвести 3 в пятую степень, получается 243, поэтому исходное выражение можно переписать так: 2435=355=3. Следовательно, данное число рационально. Теперь возьмем число 1215. Это число нерационально, так как не существует натурального числа, возведение которого в пятую степень даст 121.
Для того, чтобы узнать, является ли логарифм какого-то числа a по основанию b рациональным числом необходимо применить метод от противного. К примеру, узнаем, рационально ли число log25. Предположим, что данное число рационально. Если это так, то его можно записать в виде обыкновенной дроби log25=mn.По свойствам логарифма и свойствам степени справедливы следующие равенства:
5=2log25=2mn5n=2m
Очевидно, последнее равенство невозможно так как в левой и правой частях находятся соответственно нечетное и четное числа. Следовательно, сделанное предположение неверно, и число log25 не является рациональным числом.
Стоит отметить, что при определении рациональности и иррациональности чисел не стоит принимать скоропостижных решений. Например, результат произведения иррациональных чисел не всегда является иррациональным числом. Наглядный пример: 2·2=2.
Также существуют иррациональные числа, возведение которых в иррациональную степень дает рациональное число. В степени вида 2log23 основание и показатель степени являются иррациональными числами. Однако само число является рациональным: 2log23=3.
Рационáльное числó (от лат. ratio «отношение, деление, дробь») — число, которое можно представить в виде обыкновенной дроби 
, где 
— целое число, а 
— натуральное[1]. Пример: 
, где 
, а 
.
Целые числа также могут быть записаны в виде дроби, например:
Поэтому целые числа также являются рациональными. Таким образом, множество рациональных чисел представляет собой расширение множества целых чисел путём добавления к ним дробей.
Понятие дроби возникло несколько тысяч лет назад, когда, сталкиваясь с необходимостью измерять некоторые величины (длину, вес, площадь и т. п.), люди поняли, что целых чисел недостаточно и необходимо ввести понятие доли: половины, трети, четверти и т. п. Дробями и операциями над ними пользовались, например, шумеры, древние египтяне и греки.
Множество рациональных чисел[править | править код]
Множество рациональных чисел обозначается 
(от лат. quotient, «частное») и может быть записано в таком виде:
При этом оказывается, что разные записи могут представлять одну и ту же дробь, например, 
и 
, (все дроби, которые можно получить друг из друга умножением или делением числителя и знаменателя на одно и то же натуральное число, представляют одно и то же рациональное число). Поскольку делением числителя и знаменателя дроби на их наибольший общий делитель можно получить единственное несократимое представление рационального числа, то можно говорить об их множестве как о множестве несократимых дробей со взаимно простыми целым числителем и натуральным знаменателем:
Здесь 
— наибольший общий делитель чисел и .
Множество рациональных чисел является естественным обобщением множества целых чисел. Легко видеть, что если у рационального числа 
знаменатель 
, то 
является целым числом.
Множество рациональных чисел располагается всюду плотно на числовой оси: между любыми двумя различными рациональными числами расположено хотя бы одно рациональное число (а значит, и бесконечное множество рациональных чисел). Тем не менее, оказывается, что множество рациональных чисел имеет счётную мощность (то есть все его элементы можно перенумеровать). Со времён древних греков известно о существовании чисел, не представимых в виде дроби: они доказали в частности, что 
не рациональное число. Недостаточность рациональных чисел для выражения всех величин привела в дальнейшем к понятию вещественного числа. В отличие от множества вещественных чисел (которое соответствует одномерному пространству), множество рациональных чисел имеет меру нуль.
Терминология[править | править код]
Формальное определение[править | править код]
Формально рациональные числа определяются как множество классов эквивалентности пар 
по отношению эквивалентности 
, если 
. При этом операции сложения и умножения определяются следующим образом:
Из определения видно, что никакие операции сложения или умножения не приводят к появлению пары вида 
Связанные определения[править | править код]
Правильные, неправильные и смешанные дроби[править | править код]
Правильной называется дробь, у которой модуль числителя меньше модуля знаменателя. Правильные дроби представляют рациональные числа, по модулю меньшие единицы. Дробь, не являющаяся правильной, называется неправильной и представляет рациональное число, большее или равное единице по модулю.
Неправильную дробь можно представить в виде суммы целого числа и правильной дроби, называемой смешанным числом. Например, 
. Подобная запись (с пропущенным знаком сложения), хотя и употребляется в элементарной арифметике, избегается в строгой математической литературе из-за схожести обозначения смешанной дроби с обозначением произведения целого числа на дробь.
Высота дроби[править | править код]
Высота обыкновенной дроби — это сумма модуля числителя и знаменателя этой дроби.
Высота рационального числа — это сумма модуля числителя и знаменателя несократимой обыкновенной дроби, соответствующей этому числу[2].
Например, чтобы узнать высоту дроби 
, нужно сначала из неё получить несократимую дробь. Несократимая дробь будет выглядеть так: 
. Потом нужно сложить модуль числителя и знаменатель: 
. Значит высота дроби равна 
.
Комментарий[править | править код]
Термин дробное число (дробь) иногда[уточнить] используется как синоним к термину рациональное число, а иногда синоним любого нецелого числа. В последнем случае дробные и рациональные числа являются разными вещами, так как тогда нецелые рациональные числа — всего лишь частный случай дробных.
Свойства[править | править код]
Основные свойства[править | править код]
Множество рациональных чисел удовлетворяют шестнадцати основным свойствам, которые легко могут быть получены из свойств целых чисел.[3]
- Упорядоченность. Для любых рациональных чисел
и () существует правило, позволяющее однозначно идентифицировать между ними одно и только одно из трёх отношений: «», «» или «». Это правило называется правилом упорядочения и формулируется следующим образом:
-
- Операция сложения. Для любых рациональных чисел и () существует бинарная операция сложения, которая ставит им в соответствие некоторое рациональное число . При этом само число называется суммой чисел и и обозначается , а процесс отыскания такого числа называется сложением. Правило сложения имеет следующий вид:
- Операция умножения. Для любых рациональных чисел и () существует бинарная операция умножения, которая ставит им в соответствие некоторое рациональное число . При этом само число называется произведением чисел и и обозначается , а процесс отыскания такого числа также называется умножением. Правило умножения имеет следующий вид:
- Транзитивность отношения порядка. Для любой тройки рациональных чисел , и ) если меньше и меньше , то меньше , а если равно и равно , то равно .
- Коммутативность сложения. От перемены мест рациональных слагаемых сумма не меняется.
- Ассоциативность сложения. Порядок сложения трёх рациональных чисел не влияет на результат.
- Наличие нуля. Существует рациональное число 0, которое сохраняет любое другое рациональное число при суммировании.
- Наличие противоположных чисел. Любое рациональное число имеет противоположное рациональное число, при суммировании с которым даёт 0.
- Коммутативность умножения. От перемены мест рациональных множителей произведение не меняется.
- Ассоциативность умножения. Порядок перемножения трёх рациональных чисел не влияет на результат.
- Наличие единицы. Существует рациональное число 1, которое сохраняет любое другое рациональное число при умножении.
- Наличие обратных чисел. Любое ненулевое рациональное число имеет обратное рациональное число, умножение на которое даёт 1.
- Дистрибутивность умножения относительно сложения. Операция умножения согласована с операцией сложения посредством распределительного закона:
- Связь отношения порядка с операцией сложения. К левой и правой частям рационального неравенства можно прибавлять одно и то же рациональное число.
- Связь отношения порядка с операцией умножения. Левую и правую части рационального неравенства можно умножать на одно и то же положительное рациональное число.
- Аксиома Архимеда. Каково бы ни было рациональное число , можно взять столько единиц, что их сумма превзойдёт .
Дополнительные свойства[править | править код]
Все остальные свойства, присущие рациональным числам, не выделяют в основные, потому что они, вообще говоря, уже не опираются непосредственно на свойства целых чисел, а могут быть доказаны исходя из приведённых основных свойств или непосредственно по определению некоторого математического объекта. Таких дополнительных свойств очень много. Здесь имеет смысл привести лишь некоторые из них.
- Отношение порядка «>» (с противоположным порядком аргументов) также транзитивно.
- Произведение любого рационального числа на ноль равно нулю.
- Рациональные неравенства одного знака можно почленно складывать.
- Множество рациональных чисел является полем (а именно, полем частных кольца целых чисел ) относительно операций сложения и умножения дробей.
- — поле
- В позиционной системе счисления рациональное число представляется периодической дробью. Более того, наличие представления в виде периодической дроби является критерием рациональности вещественного числа.
- Каждое рациональное число является алгебраическим.
- Между любыми двумя различными рациональными числами и существует хотя бы одно рациональное число , такое, что и . (В качестве примера такого числа можно взять .) Ясно, что между и , а также между и тоже существует хотя бы по одному рациональному числу. Отсюда следует, что между любыми двумя различными рациональными числами и существует бесконечно много рациональных чисел. Иначе говоря, не существует двух соседних рациональных чисел. В частности, не существует наименьшего положительного рационального числа.
- Не существует наибольшего и наименьшего рационального числа. Для любого рационального числа найдутся рациональные (и даже целые) числа и такие, что и .
Счётность множества рациональных чисел[править | править код]
Нумерация положительных рациональных чисел
Чтобы оценить количество рациональных чисел, нужно найти мощность их множества. Легко доказать, что множество рациональных чисел счётно. Для этого достаточно привести алгоритм, который нумерует рациональные числа, то есть устанавливает биекцию между множествами рациональных и натуральных чисел.
Примером такого построения может служить следующий простой алгоритм. Составляется бесконечная таблица обыкновенных дробей, на каждой 
-ой строке в каждом 
-ом столбце которой располагается дробь 
. Для определённости считается, что строки и столбцы этой таблицы нумеруются с единицы. Ячейки таблицы обозначаются 
, где — номер строки таблицы, в которой располагается ячейка, а — номер столбца.
Полученная таблица обходится «змейкой» по следующему формальному алгоритму.
Эти правила просматриваются сверху вниз и следующее положение выбирается по первому совпадению.
В процессе такого обхода каждому новому рациональному числу ставится в соответствие очередное натуральное число. То есть дроби 
ставится в соответствие число 1, дроби 
— число 2, и т. д. Нумеруются только несократимые дроби. Формальным признаком несократимости является равенство единице наибольшего общего делителя числителя и знаменателя дроби.
Следуя этому алгоритму, можно занумеровать все положительные рациональные числа. Это значит, что множество положительных рациональных чисел 
счётно. Легко установить биекцию между множествами положительных и отрицательных рациональных чисел, поставив в соответствие каждому рациональному числу противоположное ему. Таким образом множество отрицательных рациональных чисел 
тоже счётно. Их объединение 
также счётно по свойству счётных множеств. Множество же рациональных чисел 
тоже счётно как объединение счётного множества с конечным.
Существуют и другие способы занумеровать рациональные числа. Например, воспользовавшись такими структурами как дерево Калкина — Уилфа, дерево Штерна — Броко или ряд Фарея.
Утверждение о счётности множества рациональных чисел может вызывать некоторое недоумение, так как на первый взгляд складывается впечатление, что оно гораздо обширнее множества натуральных чисел (ведь между любыми двумя натуральными числами находится бесконечное множество рациональных). На самом деле это не так, и натуральных чисел хватает, чтобы занумеровать все рациональные.
Недостаточность рациональных чисел[править | править код]
Гипотенуза такого треугольника не выражается никаким рациональным числом
В геометрии следствием так называемой аксиомы Архимеда (в более общем понимании, чем упомянуто выше) является возможность построения сколь угодно малых (то есть, коротких) величин, выражаемых рациональными числами вида 
. Этот факт создаёт обманчивое впечатление, что рациональными числами можно измерить вообще любые геометрические расстояния. Легко показать, что это не верно.
Из теоремы Пифагора известно, что гипотенуза прямоугольного треугольника выражается как квадратный корень суммы квадратов его катетов. Т. о. длина гипотенузы равнобедренного прямоугольного треугольника с единичным катетом равна , то есть числу, квадрат которого равен 2.
Если допустить, что число представляется некоторым рациональным числом, то найдётся такое целое число и такое натуральное число , что 
, причём дробь несократима, то есть числа и — взаимно простые.
Если , то 
, то есть 
. Следовательно, число 
чётно, но произведение двух нечётных чисел нечётно, что означает, что само число также чётно. А значит найдётся натуральное число 
, такое что число можно представить в виде 
. Квадрат числа в этом смысле 
, но с другой стороны , значит 
, или 
. Как уже показано ранее для числа , это значит, что число — чётно, как и . Но тогда они не являются взаимно простыми, так как оба делятся на 2. Полученное противоречие доказывает, что не есть рациональное число.
Из вышесказанного следует, что существуют отрезки на плоскости, а, значит, и на числовой прямой, которые не могут быть измерены рациональными числами. Это приводит к возможности расширения понятия рациональных чисел до вещественных.
См. также[править | править код]
- Дроби Фарея
- Иррациональные числа
- Непрерывная дробь
Примечания[править | править код]
- ↑ Рациональное число // Большая российская энциклопедия : [в 35 т.] / гл. ред. Ю. С. Осипов. — М. : Большая российская энциклопедия, 2004—2017.
- ↑ Шиханович Ю. А. Введение в современную математику (Начальные понятия). — М.: Наука, 1965. — С. 191. — 376 с.
- ↑ В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Глава 2. Вещественные числа // Математический анализ / Под ред. А. Н. Тихонова. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Проспект, 2006. — Т. 1. — С. 30—31. — 672 с. — ISBN 5-482-00445-7.
Литература[править | править код]
- И.Кушнир. Справочник по математике для школьников. — Киев: АСТАРТА, 1998. — 520 с.
- П. С. Александров. Введение в теорию множеств и общую топологию. — М.: глав. ред. физ.-мат. лит. изд. «Наука», 1977
- И. Л. Хмельницкий. Введение в теорию алгебраических систем
Используемые нами числа подразделяются на различные множества: натуральные, целые, рациональные, комплексные или действительные. Существует также особый пласт бесконечных непериодических чисел, которые составляют иррациональное множество. Определить категорию выбранного числа можно при помощи онлайн-калькулятора.
Рациональные числа
К множеству рациональных относятся числа, которые можно представить в замкнутом виде, то есть в виде обыкновенной дроби. Такие дроби в числителе содержат целые числа, а в знаменателе — натуральные. К множеству натуральных относятся числа, которые мы используем при счете, к примеру, 1, 5 или 120. Целые числа — это расширенное множество натуральных, к которым добавляется нуль, а также отрицательные элементы, например, -5 или -120. Следовательно, рациональное множество содержит нуль, отрицательные и положительные числа.
Также любое рациональное число можно представить в виде бесконечной периодической десятичной дроби. К примеру, 0,6666… является рациональным, так как представляется в замкнутом виде в форме дроби 2/3, а также является бесконечным и периодичным. Число 0,25 легко записать в виде 1/4, а бесконечность и периодичность легко выразить при помощи нулей — 0,2500000…
Таким образом, любая обыкновенная дробь — рациональное число. Любое число, представленное в замкнутом виде, также рациональное. Однако существует целый спектр чисел, которые невозможно представить в виде дробного соотношения или периодической десятичной дроби.
Иррациональные числа
Иррациональное число — это элемент иррационального множества, которое невозможно представить в виде дроби m/n, где m – целое число, а n – натуральное. Об иррациональности некоторых чисел знали с давних времен: античные геометры определили проблему несоизмеримости стороны квадрата и его диагонали, что соответствует иррациональности корня из 2. Кроме того, древние ученые впервые встретились с проблемой подсчета иррационального числа Пи, которое определяется как соотношение длины окружности к ее диаметру.
На протяжении веков предпринимались попытки представить Пи в замкнутом виде, например как 22/7 или 355/113, однако с течением времени математики определяли Пи все точнее и точнее. Сегодня при помощи мощных компьютеров найдено число Пи с точностью 10 триллионов цифр после запятой. Представить Пи в виде соотношения целых чисел или периодичной десятичной дроби невозможно.
К данному множеству относятся следующие элементы:
- корни неквадратных чисел, например, корни из 2, 3, 5 или 7;
- число Пи и выражение типа pix;
- экспоненциальные выражения типа ex;
- натуральные логарифмы для любых положительных чисел больше 1.
Также к иррациональному множеству относятся различные математические константы, такие как золотое и серебряное сечение, экспонента, постоянная Эйлера — Маскерони или постоянная Апери.
Свойства чисел
Арифметические операции с иррациональными числами могут приводить к разным результатам. Так, действия с рациональными и иррациональными числами всегда приводит к образованию новой иррациональности. Однако арифметические операции с двумя иррациональными элементами могут заканчиваться образованием рациональной дроби.
Например, числа 0,3003000300003 и 0,033033303333 иррациональны. Первое образуется по принципу, что после каждой тройки количество нулей постоянно увеличивается. Второе формируется по принципу увеличения количества троек после каждого нуля. Эти числа невозможно представить в виде обыкновенных дробей по отдельности, однако, если сложить их мы получим следующий результат:
0,3003000300003 + 0,033033303333 = 0,3333333333 = 1/3.
В сухом остатке бесконечная периодичная дробь, которую легко выразить в замкнутом виде.
Наш калькулятор позволяет определить тип числа, которое вы можете выразить в виде обыкновенной дроби или корня любой степени из произвольного числа. Программа мгновенно определит множество, к которому относится выбранный элемент. Давайте попробуем на практике.
Примеры использования калькулятора
Определим рациональность нескольких чисел. Калькулятор предлагает нам задать число в виде правильной дроби, которое по определению является рациональным числом. Поэтому определять иррациональность при помощи калькулятора целесообразно только для чисел, выраженных в виде корняn-ной степени. Определим рациональность для следующих выражений:
- квадратный корень из 2 — 1,414, иррациональное;
- кубический корень 27 — 3, рациональное;
- корень пятой степени из 147 — 2,713, иррациональное.
Очевидно, что в некоторых случаях корни могут быть рациональными, что верно для квадратных и кубических чисел.
Заключение
Математические объекты разделяются на разные классы. В повседневной жизни мы оперируем натуральными числами, то есть целыми и положительными числами, которые используем при счете. Рациональные числа используются при измерениях, а иррациональные практически не находят распространения в быту — область их применения лежит в высокой науке. При помощи нашего онлайн-калькулятора вы можете проверить принадлежность любого числа к определенному множеству.
Все слышали о рациональных числах, но не все понимаю, что они из себя представляют. На самом деле все просто.
Рациональное число – это результат деления двух целых чисел. Например, число 2 – результат деления 4 и 2, а число 0,2 – это 2 поделенное на 10. Любое рациональное число мы можем представить для себя в виде дроби m/n, где m является целым числом, n – натуральным числом.
Как выглядят рациональные числа? Это могут быть:
- Дроби (1/2, 5/10)
- Целые числа (1, 2, 5)
- Смешанные числа
- Десятичные дроби (0,14, 4,1)
- Бесконечные периодические дроби (например, при делении 10 на 3, мы получим 3,33333…)
Q – обозначение множества рациональных чисел.
Не каждый студент может себе позволить за семестр в ВУЗе отдать 100 000 ₽. Но круто, что есть гранты на учебу. Грант-на-вуз.рф – это возможность учиться на желанной специальности. По ссылке каждый получит бонус от 300 ₽ до 100 000 ₽ – грант-на-вуз.рф
Свойства рациональных чисел
- Каждое натуральное число является рациональным.
- Каждое целое число является рациональным.
- Рациональные числа следуют правилу сочетательного и переместительного свойства. То есть от перемены мест слагаемых значение суммы не измениться.
a+b=b+a
(a+b)+c=a+(b+c)
a+0=a
a+(-a)=0
Примеры:
2+3=5 и 3+2=5, значит 2+3=3+2.
14+(1+4)=19 и (14+1)+4=19, значит 14+(1+4)=(14+1)+4
- Также эти законы сохраняются при умножении.
a × b = b × a
a × (b × c) = (a × b) × c
а × 1 = а
а × 1/a = 1
а × 0 = 0
а × b = 0
Примеры:
3х4=12 и 4х3=12, значит 3х4=4х3
5х(2х3)=30 и (5х2)х3=30, значит 5х(2х3)= (5х2)х3
- Для рациональных чисел будет справедлив и распределительный закон умножения.
(а + b) × с = ас + bс
(а – b) × с = ас – bс
Примеры:
(4+7)х5=55 и 4х5+7х5=55, значит (4+7)х5=4х5+7х5
Иррациональные числа и корни
Для того, чтобы лучше понять что из себя представляют рациональные числа, следует знать какие числа ими не являются. А точнее, какие числа будут иррациональными. Такие числа невозможно записать в виде простой дроби:
- Число ПИ, которое равно примерно 3,14. Его можно представить в виде дроби, но это значение будет только примерное.
- Некоторые корни. Например, корень из 2 или из 99 нельзя записать в виде дроби
- Золотое сечение, которое примерно равно 1,61. Тут ситуация обстоит так же, как и с числом ПИ.
- Число Эйлера, которое приблизительно равно 2,718, тоже не является рациональным.
Напоминаем про сервис грант-на-вуз.рф. Не упусти свой шанс изучать то, что тебе нравится. Ну или просто сэкономить на учебе. Ты точно получишь от 300 ₽ до 100 000 ₽, перейдя по ссылке грант-на-вуз.рф!
Большинство иррациональных чисел встречается среди корней, но далеко не все корни иррациональные. Например, корнем из числа 4 является число 2, а его можно представить в виде дроби. То есть корень из числа 4 – рациональное число.
Спасибо, что прочитали статью. Не забывайте про подписку на канал, а также рекомендую почитать канал наших друзей:
https://zen.yandex.ru/fgbnuac — последние научные достижения и лучшие образовательные практики.
Хорошего дня и не болейте.
Содержание:
- Определение рационального числа
- Операции над рациональными числами
Рациональные числа появились как форма записи чисел, более “мелких”, нежели
натуральных.
Определение рационального числа
Определение
Рациональное число (лат. ratio – отношение, деление, дробь) –
это число которое может быть представлено в виде дроби $frac{m}{n}$ , где
числитель$m$ – целое число, а
знаменатель
$n$ – натуральное. Множество рациональных чисел $Q$ обозначается (от англ. quotient “частное”) и
может быть записано в виде: $Q=left{frac{m}{n} : m in Z, n in Nright}$ . Числа вида
$frac{m}{n}$ – называют еще
обыкновенными дробями. Если
$m lt n$, то дробь $frac{m}{n}$ называется правильной, если $m geq n$, то – неправильной.
Пример
Задание. Указать какие из записанных чисел являются рациональными:
$$-49 ; 17 ; frac{14}{3} ; frac{3}{4} ; 3,2 ; sqrt[3]{11} ; sqrt{7}$$
Решение. Рациональными будут числа:
$frac{14}{3} ; frac{3}{4}$ а так же
$-49 ; 17 ; 3,2$ так как их можно представить в виде рациональных дробей –
$frac{-49}{1} ; frac{17}{1} ; frac{32}{10}$ соответственно.
Ответ. $-49 ; 17 ; frac{14}{3} ; frac{3}{4} ; 3,2$
Если $m$ – нацело делится на $n$ или $n=1$, то рациональное число $frac{m}{n}$ также будет
целым числом; если при этом
$m$ будет натуральным, то в таком случае дробь $frac{m}{n}$ будет еще и натуральным числом. Поэтому для этих чисел имеет место такая цепочка вложений:
$N subset Z subset Q$ .
Операции над рациональными числами
На множестве рациональных можно ввести четыре арифметические операции:
сложение,
вычитание,
умножение и
деление; которые вычисляются по следующим правилам.
Правило вычисления суммы двух рациональных чисел:
$$frac{m}{n}+frac{p}{q}=frac{m cdot q+n cdot p}{n cdot q}$$
Правило вычисления разности двух рациональных чисел:
$$frac{m}{n}-frac{p}{q}=frac{m cdot q-n cdot p}{n cdot q}$$
Правило вычисления произведения двух рациональных чисел:
$$frac{m}{n} cdot frac{p}{q}=frac{m cdot p}{n cdot q}$$
Правило вычисления частного двух рациональных чисел:
$$frac{m}{n} : frac{p}{q}=frac{m cdot q}{n cdot p}$$
236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 396 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!
Пример
Задание. Найти сумму, разность, произведение и частное чисел
$frac{5}{7}$ и $frac{2}{3}$
Решение. По правилу вычисления суммы двух рациональных чисел:
$$frac{5}{7}+frac{2}{3}=frac{5 cdot 3+7 cdot 2}{7 cdot 3}=frac{15+14}{21}=frac{29}{21}$$
По правилу вычисления разности двух рациональных чисел:
$$frac{5}{7}-frac{2}{3}=frac{5 cdot 3-7 cdot 2}{7 cdot 3}=frac{15-14}{21}=frac{1}{21}$$
По правилу вычисления произведения двух рациональных чисел:
$$frac{5}{7} cdot frac{2}{3}=frac{5 cdot 2}{7 cdot 3}=frac{10}{21}$$
По правилу вычисления частного двух рациональных чисел:
$$frac{5}{7} : frac{2}{3}=frac{5 cdot 3}{7 cdot 2}=frac{15}{14}$$
Ответ.
$$frac{5}{7}+frac{2}{3}=frac{29}{21} ; frac{5}{7}-frac{2}{3}=frac{1}{21}$$
$$frac{5}{7} cdot frac{2}{3}=frac{10}{21} ; frac{5}{7} : frac{2}{3}=frac{15}{14}$$
Читать дальше: что такое сумма чисел.
