Как найди радиус вписанной окружности в ромб - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно вычислить радиус окружности, вписанной в ромб. Также разберем примеры решения задач для закрепления изложенного материала.

Формулы вычисления радиуса вписанной в ромб окружности
- Через диагонали и сторону
- Через диагонали
- Через сторону и угол
- Через высоту
Примеры задач

Формулы вычисления радиуса вписанной в ромб окружности

Через диагонали и сторону

Радиус r вписанной в ромб окружности равняется произведению его диагоналей, деленному на сторону, умноженную на 4.

d₁ и d₂ – диагонали ромба;
a – сторона ромба.

Через диагонали

Радиус r вписанной в ромб окружности можно найти, зная только длины его обеих диагоналей:

Эту формулу можно получить, если сторону a в формуле выше выразить через диагонали (согласно одному из свойств ромба):

Через сторону и угол

Радиус окружности r, вписанной в ромб, равняется половине произведения его стороны и синуса любого угла.

Через высоту

Радиус вписанного в ромб круга равняется половине его высоты.

h (или GF) – высота ромба;
h = 2r.

Примеры задач

Задание 1
Известно, что диагонали ромба равны 6 и 8 см. Найдите радиус окружности, вписанной в него.

Решение
Применим соответствующую формулу, подставив в нее известные значения:

Задание 2
Вычислите радиус вписанного в ромб круга, если его сторона равна 11 см, а один из углов – 30°.

Решение
В данном случае мы можем воспользоваться последней из рассмотренных выше формул:

Источник

Окружность, вписанная в ромб

Ромб — это параллелограмм с четырьмя равными сторонами.

Квадрат — частный случай ромба; это ромб, все углы которого прямые.

Вписанная в ромб окружность — это окружность, которая лежит внутри ромба и касается всех его сторон.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Окружность можно вписать в многоугольник, у которого равны суммы противолежащих сторон. Ромб соответствует этому условию, поэтому в ромб можно вписать окружность.

окружность вписанная ромб

Свойства ромба и вписанной окружности

в любой ромб можно вписать окружность;
точка пересечения диагоналей ромба является центром окружности, вписанной в ромб.

Как найти радиус, основные способы

Радиус вписанной окружности, если известны диагонали и сторона

Радиус r вписанной в ромб окружности равен произведению его диагоналей, деленному на периметр или на сторону, умноженную на 4.

Формула 1

(r=frac{d_1d_2}Р=frac{d_1d_2}{4a})

где r — радиус вписанной окружности,

d₁ и d₂ — диагонали ромба,

a — сторона ромба,

Р — периметр ромба.

Формула 1

У изображенного ромба АВСD сторона равна а. Большая диагональ BD равна (d_1), меньшая диагональ АС равна (d_2). Радиус вписанной окружности:

(r=frac{d_1d_2}{4a}=frac{BDcdot AC}{4cdot АВ}).

Если известны только диагонали ромба

Формула 2

(r=frac{d_1d_2}{2sqrt{left(d_1right)^2+left(d_2right)^2}})

где r — радиус вписанной окружности,

d₁ и d₂ — диагонали ромба.

Эту формулу можно получить из предыдущей.

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом, делятся точкой пересечения пополам, и разбивают ромб на четыре прямоугольных треугольника.

Рассмотрим один из таких треугольников — ΔАВО. Сторона ромба АВ является гипотенузой ΔАВО.

Если известны диагонали ромба BD, равная (d_1) и АС, равная (d_2), то катеты ВО и АО ΔАВО будут равны (frac{d_1}2) и (frac{d_2}2) соответственно.

Выразим гипотенузу АВ треугольника АВО через его катеты ВО и АО.

Согласно теореме Пифагора (АВ=sqrt{ВО^2+АО^2}=sqrt{left(frac{d_1}2right)^2+left(frac{d_2}2right)^2}).

Подставив в формулу (r=frac{d_1d_2}p=frac{d_1d_2}{4a}) значение (а=sqrt{left(frac{d_1}2right)^2+left(frac{d_2}2right)^2}) и упростив выражение,

получаем (r=frac{d_1d_2}{2sqrt{left(d_1right)^2+left(d_2right)^2}}).

Если известны сторона и угол

окружность вписанная ромб формула 3

Радиус окружности, вписанной в ромб, равен половине произведения его стороны и синуса любого внутреннего угла ромба.

Формула 3

(r=frac{acdotsinalpha}2=frac{acdotsinbeta}2)

где r — радиус вписанной окружности,

α и β — внутренние углы ромба,

a — сторона ромба.

Если известна высота ромба

окружность вписанная ромб формула 4

Радиус вписанной в ромб окружности равен половине его высоты.

Формула 4

(r=frac h2)

где r — радиус вписанной окружности,

h — высота ромба.

Из этой формулы следует, что высота ромба равна диаметру вписанной в него окружности.

Если известны площадь ромба и его сторона

Формула 5

(r=frac S{2a}=frac Sр)

где r — радиус вписанной окружности,

S — площадь ромба,

a — сторона ромба,

р — полупериметр ромба.

Вычисление радиуса через отрезки m и n

отрезки м н

Вписанная окружность касается стороны ромба. Точка касания делит сторону ромба на два отрезка. Пусть это будут отрезки m и n.

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны, ΔАОD — прямоугольный. Высота ΔАОD к стороне АD равна радиусу вписанной в ромб АВСD окружности.

По свойству высоты прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе, (ОК=sqrt{АКcdot КD}).

Следовательно, радиус вписанной в ромб окружности равен среднему пропорциональному между отрезками, на которые делит сторону ромба точка касания.

Формула 6

(r=sqrt{mcdot n})

где r — радиус вписанной окружности,

m и n — отрезки, на которые делит сторону ромба точка касания.

Задачи с решениями

Задача 1

Дано: ромб с диагоналями 6 см и 8 см.

Найти: радиус вписанной в ромб окружности.

Решение: так как известны диагонали ромба,

применим формулу (r=frac{d_1d_2}{2sqrt{left(d_1right)^2+left(d_2right)^2}}).

(r=frac{6cdot8}{2sqrt{6^2+8^2}}=2,4 (см).)

Ответ: радиус вписанной в ромб окружности равен 2,4 см.

Задача 2

Дано: ромб, сторона которого равна 16 см, а острый угол ромба — 30°.

Найти: радиус вписанной в ромб окружности.

Решение: применим формулу (r=frac{acdotsinalpha}2.)

(r=frac{16cdot0,5}2=frac82=4 (см).)

Ответ: радиус вписанной в ромб окружности равен 4 см.

Источник

Какими свойствами обладает вписанная в ромб окружность? Как найти её радиус?

Центр вписанной в ромб окружности — точка пересечения его диагоналей.

Радиус вписанной в ромб окружности можно найти по общей формуле

$[r = frac{S}{p},]$

где S — площадь ромба, p — его полупериметр.

Так как полупериметр ромба равен p=2a, где a — сторона ромба, эту формулу можно записать как

$[r = frac{S}{{2a}}]$

С учётом формул для нахождения площади ромба:

$[r = frac{{{a^2}sin alpha }}{{2a}} = frac{1}{2}asin alpha ,]$

где α — угол ромба (причем α может быть как острым, так и тупым).

$[r = frac{{frac{1}{2}{d_1} cdot {d_2}}}{{2a}} = frac{{{d_1} cdot {d_2}}}{{4a}},]$

где d1и d2 — диагонали ромба.

Таким образом, еще две формулы радиуса вписанной в ромб окружности:

$[r = frac{1}{2}asin alpha ,]$

$[r = frac{{{d_1} cdot {d_2}}}{{4a}}]$

Так как диаметр вписанной окружности равен высоте ромба, радиус равен половине высоты ромба:

$[r = frac{1}{2}h]$

Если известно, что точка касания вписанной окружности делит сторону ромба на отрезки, то радиус можно выразить через длины этих отрезков.

Так как диагонали ромба взаимно перпендикулярны и радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен стороне, то по свойству высоты прямоугольного треугольника из треугольника AOD имеем

Следовательно, радиус вписанной в ромб окружности есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делит сторону точка касания:

Источник

1. Формулы радиуса вписанной окружности если известны: диагональ, стороны и угол

a – сторона ромба

D – большая диагональ

d – меньшая диагональ

α – острый угол

О – центр вписанной окружности

r – радиус вписанной окружности

Формула радиуса вписанной окружности в ромб через диагонали ( r ) :

Формула радиуса вписанной окружности в ромб через сторону и угол ( r ) :

Формула радиуса вписанной окружности в ромб через диагональ и угол ( r ) :

Формула радиуса вписанной окружности в ромб через диагональ и сторону ( r ) :

2. Радиус вписанной окружности ромба, равен половине его высоты

a – сторона ромба

h – высота

О – центр вписанной окружности

r – радиус вписанной окружности

Формула радиуса вписанной окружности в ромб ( r ) :

Подробности

Опубликовано: 10 сентября 2011

Обновлено: 13 августа 2021

Источник

Радиус вписанной окружности в ромб

1. Формулы радиуса вписанной окружности если известны: диагональ, стороны и угол

a – сторона ромба

D – большая диагональ

d – меньшая диагональ

α – острый угол

О – центр вписанной окружности

r – радиус вписанной окружности

Формула радиуса вписанной окружности в ромб через диагонали ( r ) :

Формула радиуса вписанной окружности в ромб через сторону и угол ( r ) :

Формула радиуса вписанной окружности в ромб через диагональ и угол ( r ) :

Формула радиуса вписанной окружности в ромб через диагональ и сторону ( r ) :

2. Радиус вписанной окружности ромба, равен половине его высоты

a – сторона ромба

h – высота

О – центр вписанной окружности

r – радиус вписанной окружности

Формула радиуса вписанной окружности в ромб ( r ) :

Нахождение радиуса вписанной в ромб окружности

Формулы вычисления радиуса вписанной в ромб окружности

Через диагонали и сторону

d₁ и d₂ – диагонали ромба;
a – сторона ромба.

Через диагонали

Радиус r вписанной в ромб окружности можно найти, зная только длины его обеих диагоналей:

Через сторону и угол

Радиус окружности r, вписанной в ромб, равняется половине произведения его стороны и синуса любого угла.

Через высоту

Радиус вписанного в ромб круга равняется половине его высоты.

Примеры задач

Задание 1
Известно, что диагонали ромба равны 6 и 8 см. Найдите радиус окружности, вписанной в него.

Решение
Применим соответствующую формулу, подставив в нее известные значения:

Задание 2
Вычислите радиус вписанного в ромб круга, если его сторона равна 11 см, а один из углов – 30°.

Решение
В данном случае мы можем воспользоваться последней из рассмотренных выше формул:

Вписанная в ромб окружность

Какими свойствами обладает вписанная в ромб окружность? Как найти её радиус?

Центр вписанной в ромб окружности — точка пересечения его диагоналей.

Радиус вписанной в ромб окружности можно найти по общей формуле

где S — площадь ромба, p — его полупериметр.

Так как полупериметр ромба равен p=2a, где a — сторона ромба, эту формулу можно записать как

С учётом формул для нахождения площади ромба:

где α — угол ромба (причем α может быть как острым, так и тупым).

где d1и d2 — диагонали ромба.

Таким образом, еще две формулы радиуса вписанной в ромб окружности:

Так как диаметр вписанной окружности равен высоте ромба, радиус равен половине высоты ромба:

[spoiler title=”источники:”]

Нахождение радиуса вписанной в ромб окружности

Вписанная в ромб окружность

[/spoiler]

Источник

Формулы вычисления радиуса вписанной в ромб окружности

Через диагонали и сторону

Через диагонали

Через сторону и угол

Через высоту

Примеры задач

Окружность, вписанная в ромб

Свойства ромба и вписанной окружности

Как найти радиус, основные способы

Радиус вписанной окружности, если известны диагонали и сторона

Если известны только диагонали ромба

Если известны сторона и угол

Если известна высота ромба

Если известны площадь ромба и его сторона

Вычисление радиуса через отрезки m и n

Задачи с решениями

Радиус вписанной окружности в ромб

Нахождение радиуса вписанной в ромб окружности

Формулы вычисления радиуса вписанной в ромб окружности

Через диагонали и сторону

Через диагонали

Через сторону и угол

Через высоту

Примеры задач

Вписанная в ромб окружность

Вам также может понравиться

Как найти свое отделение сбербанка

Как найти человека проживающего в воронеже

Как найти электронную сервисную книжку автомобиля

Добавить комментарий Отменить ответ