Эта страница содержит список первых 500 простых чисел (от 2 до 3571), а также списки некоторых специальных типов простых чисел.
Первые простые числа[править | править код]
2 | 3 | 5 | 7 | 11 | 13 | 17 | 19 | 23 | 29 | 31 | 37 | 41 | 43 | 47 | 53 | 59 | 61 | 67 | 71 |
73 | 79 | 83 | 89 | 97 | 101 | 103 | 107 | 109 | 113 | 127 | 131 | 137 | 139 | 149 | 151 | 157 | 163 | 167 | 173 |
179 | 181 | 191 | 193 | 197 | 199 | 211 | 223 | 227 | 229 | 233 | 239 | 241 | 251 | 257 | 263 | 269 | 271 | 277 | 281 |
283 | 293 | 307 | 311 | 313 | 317 | 331 | 337 | 347 | 349 | 353 | 359 | 367 | 373 | 379 | 383 | 389 | 397 | 401 | 409 |
419 | 421 | 431 | 433 | 439 | 443 | 449 | 457 | 461 | 463 | 467 | 479 | 487 | 491 | 499 | 503 | 509 | 521 | 523 | 541 |
547 | 557 | 563 | 569 | 571 | 577 | 587 | 593 | 599 | 601 | 607 | 613 | 617 | 619 | 631 | 641 | 643 | 647 | 653 | 659 |
661 | 673 | 677 | 683 | 691 | 701 | 709 | 719 | 727 | 733 | 739 | 743 | 751 | 757 | 761 | 769 | 773 | 787 | 797 | 809 |
811 | 821 | 823 | 827 | 829 | 839 | 853 | 857 | 859 | 863 | 877 | 881 | 883 | 887 | 907 | 911 | 919 | 929 | 937 | 941 |
947 | 953 | 967 | 971 | 977 | 983 | 991 | 997 | 1009 | 1013 | 1019 | 1021 | 1031 | 1033 | 1039 | 1049 | 1051 | 1061 | 1063 | 1069 |
1087 | 1091 | 1093 | 1097 | 1103 | 1109 | 1117 | 1123 | 1129 | 1151 | 1153 | 1163 | 1171 | 1181 | 1187 | 1193 | 1201 | 1213 | 1217 | 1223 |
1229 | 1231 | 1237 | 1249 | 1259 | 1277 | 1279 | 1283 | 1289 | 1291 | 1297 | 1301 | 1303 | 1307 | 1319 | 1321 | 1327 | 1361 | 1367 | 1373 |
1381 | 1399 | 1409 | 1423 | 1427 | 1429 | 1433 | 1439 | 1447 | 1451 | 1453 | 1459 | 1471 | 1481 | 1483 | 1487 | 1489 | 1493 | 1499 | 1511 |
1523 | 1531 | 1543 | 1549 | 1553 | 1559 | 1567 | 1571 | 1579 | 1583 | 1597 | 1601 | 1607 | 1609 | 1613 | 1619 | 1621 | 1627 | 1637 | 1657 |
1663 | 1667 | 1669 | 1693 | 1697 | 1699 | 1709 | 1721 | 1723 | 1733 | 1741 | 1747 | 1753 | 1759 | 1777 | 1783 | 1787 | 1789 | 1801 | 1811 |
1823 | 1831 | 1847 | 1861 | 1867 | 1871 | 1873 | 1877 | 1879 | 1889 | 1901 | 1907 | 1913 | 1931 | 1933 | 1949 | 1951 | 1973 | 1979 | 1987 |
1993 | 1997 | 1999 | 2003 | 2011 | 2017 | 2027 | 2029 | 2039 | 2053 | 2063 | 2069 | 2081 | 2083 | 2087 | 2089 | 2099 | 2111 | 2113 | 2129 |
2131 | 2137 | 2141 | 2143 | 2153 | 2161 | 2179 | 2203 | 2207 | 2213 | 2221 | 2237 | 2239 | 2243 | 2251 | 2267 | 2269 | 2273 | 2281 | 2287 |
2293 | 2297 | 2309 | 2311 | 2333 | 2339 | 2341 | 2347 | 2351 | 2357 | 2371 | 2377 | 2381 | 2383 | 2389 | 2393 | 2399 | 2411 | 2417 | 2423 |
2437 | 2441 | 2447 | 2459 | 2467 | 2473 | 2477 | 2503 | 2521 | 2531 | 2539 | 2543 | 2549 | 2551 | 2557 | 2579 | 2591 | 2593 | 2609 | 2617 |
2621 | 2633 | 2647 | 2657 | 2659 | 2663 | 2671 | 2677 | 2683 | 2687 | 2689 | 2693 | 2699 | 2707 | 2711 | 2713 | 2719 | 2729 | 2731 | 2741 |
2749 | 2753 | 2767 | 2777 | 2789 | 2791 | 2797 | 2801 | 2803 | 2819 | 2833 | 2837 | 2843 | 2851 | 2857 | 2861 | 2879 | 2887 | 2897 | 2903 |
2909 | 2917 | 2927 | 2939 | 2953 | 2957 | 2963 | 2969 | 2971 | 2999 | 3001 | 3011 | 3019 | 3023 | 3037 | 3041 | 3049 | 3061 | 3067 | 3079 |
3083 | 3089 | 3109 | 3119 | 3121 | 3137 | 3163 | 3167 | 3169 | 3181 | 3187 | 3191 | 3203 | 3209 | 3217 | 3221 | 3229 | 3251 | 3253 | 3257 |
3259 | 3271 | 3299 | 3301 | 3307 | 3313 | 3319 | 3323 | 3329 | 3331 | 3343 | 3347 | 3359 | 3361 | 3371 | 3373 | 3389 | 3391 | 3407 | 3413 |
3433 | 3449 | 3457 | 3461 | 3463 | 3467 | 3469 | 3491 | 3499 | 3511 | 3517 | 3527 | 3529 | 3533 | 3539 | 3541 | 3547 | 3557 | 3559 | 3571 |
(последовательность A000040 в OEIS).
Проект по проверке проблемы Гольдбаха сообщает, что были вычислены все простые числа до . Это составляет 24 739 954 287 740 860 простых чисел, но они не были сохранены. Существуют известные формулы, позволяющие вычислить количество простых чисел (до заданного значения) быстрее, чем вычисление самих простых чисел. Этот способ был использован, чтобы вычислить, что до находится 1 925 320 391 606 803 968 923 простых числа.
Простые числа Белла[править | править код]
Простые числа, которые являются числом разбиения множества с элементами.
2, 5, 877, 27644437, 35742549198872617291353508656626642567, 359334085968622831041960188598043661065388726959079837. Следующее число имеет 6539 цифр[1]. (последовательность A051131 в OEIS)
Кубические простые числа[править | править код]
Простые числа вида
7, 19, 37, 61, 127, 271, 331, 397, 547, 631, 919, 1657, 1801, 1951, 2269, 2437, 2791, 3169, 3571, 4219, 4447, 5167, 5419, 6211, 7057, 7351, 8269, 9241, 10267, 11719, 12097, 13267, 13669, 16651, 19441, 19927, 22447, 23497, 24571, 25117, 26227, 27361, 33391, 35317 (последовательность A002407 в OEIS).
а также
13, 109, 193, 433, 769, 1201, 1453, 2029, 3469, 3889, 4801, 10093, 12289, 13873, 18253, 20173, 21169, 22189, 28813, 37633, 43201, 47629, 60493, 63949, 65713, 69313, 73009, 76801, 84673, 106033, 108301, 112909, 115249
(последовательность A002648 в OEIS).
Суперпростые числа[править | править код]
Простые числа, находящиеся на позициях последовательности простых чисел с простыми номерами, то есть 2-е, 3-е, 5-е и т. д.
Первые члены последовательности суперпростых чисел: 3, 5, 11, 17, 31, 41, 59, 67, 83, 109, 127, 157, …
Последовательность OEIS:A006450
Простые, состоящие из единиц[править | править код]
Числа-репьюниты, состоящие из 19, 23, 317, 1031, 49081, 86453, 109297, 270343 единиц, являются простыми (последовательность A004023 в OEIS).
Простые, состоящие из единиц и нулей[править | править код]
Кроме простых чисел, состоящих только из единиц, можно отметить и простые числа, состоящие из единиц и нулей. В пределах первых десяти миллионов простыми являются следующие из таких чисел (последовательность A020449 в OEIS):
11, 101, 10111, 101111, 1011001, 1100101 и т. д.
Простые палиндромы[править | править код]
Палиндромами называются числа, которые справа налево и слева направо читаются одинаковым образом, например, 30103.
Среди таких чисел тоже встречаются простые. Ясно, что любой простой палиндром состоит из нечётного количества цифр (за исключением числа 11), так как любой палиндром с чётным количеством цифр всегда делится на 11.
Первыми простыми палиндромами являются такие числа:
2, 3, 5, 7, 11, 101, 131, 151, 181, 191, 313, 353, 373, 383, 727, 757, 787, 797, 919, 929, 10301, 10501, 10601
Простые числа Вильсона[править | править код]
Простые числа , для которых делится нацело на .
Известные простые Вильсона: 5, 13, 563 (последовательность A007540 в OEIS).
Другие простые Вильсона неизвестны. Гарантированно не существует других простых Вильсона, меньших 2⋅1013[2].
Простые числа Вольстенхольма[править | править код]
Простые числа , для которых биномиальный коэффициент .
Известны только эти числа до миллиарда: 16843, 2124679 (последовательность A088164 в OEIS)
Простые числа Кэрола[править | править код]
Простые числа вида .
7, 47, 223, 3967, 16127, 1046527, 16769023, 1073676287, 68718952447, 274876858367, 4398042316799, 1125899839733759, 18014398241046527, 1298074214633706835075030044377087 (последовательность A091516 в OEIS).
Простые числа Каллена[править | править код]
Простые числа вида .
Все известные числа Каллена соответствуют , равному:
- 1, 141, 4713, 5795, 6611, 18496, 32292, 32469, 59656, 90825, 262419, 361275, 481899, 1354828, 6328548, 6679881 последовательность A005849 в OEIS.
Есть предположение, что имеется бесконечно много простых чисел Каллена.
Простые числа Маркова[править | править код]
Простые числа , для которых существуют целые и такие, что .
2, 5, 13, 29, 89, 233, 433, 1597, 2897, 5741, 7561, 28657, 33461, 43261, 96557, 426389, 514229 (последовательность A178444 в OEIS)
Простые числа Мерсенна[править | править код]
Простые числа вида . Первые 12 чисел:
3, 7, 31, 127, 8191, 131071, 524287, 2147483647, 2305843009213693951, 618970019642690137449562111, 162259276829213363391578010288127, 170141183460469231731687303715884105727
(последовательность A000668 в OEIS).
Простые числа Ньюмена — Шэнкса — Уильямса[править | править код]
Простым числом Ньюмена — Шэнкса — Уильямса (NSW) называется простое число , которое можно записать в виде:
Несколько первых NSW-простых: 7, 41, 239, 9369319, 63018038201, 489133282872437279, 19175002942688032928599, 123426017006182806728593424683999798008235734137469123231828679 (последовательность A088165 в OEIS).
Простые числа Прота[править | править код]
Простые числа вида , причём нечётно и (последовательность A080076 в OEIS).
Простые числа Софи Жермен[править | править код]
Простые числа такие, что также простые.
2, 3, 5, 7, 11, 23, 29, 41, 53, 83, 89, 113, 131, 173, 179, 191, 233, 239, 251, 281, 293, 359, 419, 431, 443, 491, 509, 593, 641, 653, 659, 683, 719, 743, 761, 809, 911, 953
(последовательность A005384 в OEIS).
Простые числа Ферма[править | править код]
Это простые числа вида .
Известные простые числа Ферма: 3, 5, 17, 257, 65537 (последовательность A019434 в OEIS).
Простые числа Фибоначчи[править | править код]
Простые числа в последовательности Фибоначчи F0 = 0, F1 = 1,
Fn = Fn−1 + Fn−2.
2, 3, 5, 13, 89, 233, 1597, 28657, 514229, 433494437, 2971215073, 99194853094755497, 1066340417491710595814572169, 19134702400093278081449423917 (последовательность A005478 в OEIS)
Простые числа Чена[править | править код]
Такие простые числа , что либо простое, либо полупростое:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 47, 53, 59, 67, 71, 83, 89, 101, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 157, 167, 179, 181, 191, 197, 199, 211, 227, 233, 239, 251, 257, 263, 269, 281, 293, 307, 311, 317, 337, 347, 353, 359, 379, 389, 401, 409 (последовательность A109611 в OEIS).
Простые числа Пелля[править | править код]
В теории чисел числами Пелля называется бесконечная последовательность целых чисел, являющихся знаменателями подходящих дробей для квадратного корня из 2. Эта последовательность приближений начинается с 1/1, 3/2, 7/5, 17/12, и 41/29, так что последовательность чисел Пелля начинается с 1, 2, 5, 12 и 29. Несколько первых простых чисел Пелля: 2, 5, 29, 5741, … (последовательность A086383 в OEIS).
Простые числа в форме [править | править код]
[3][4]
2, 17, 257, 1297, 65537, 160001, 331777, 614657, 1336337, 4477457, 5308417, 8503057, 9834497, 29986577, 40960001, 45212177, 59969537, 65610001, 126247697, 193877777, 303595777, 384160001, 406586897, 562448657, 655360001 (последовательность A037896 в OEIS).
Сбалансированные простые числа[править | править код]
Простые числа, которые являются средним арифметическим предыдущего простого числа и следующего простого числа:
5, 53, 157, 173, 211, 257, 263, 373, 563, 593, 607, 653, 733, 947, 977, 1103, 1123, 1187, 1223, 1367, 1511, 1747, 1753, 1907, 2287, 2417, 2677, 2903, 2963, 3307, 3313, 3637, 3733, 4013, 4409, 4457, 4597, 4657, 4691, 4993, 5107, 5113, 5303, 5387, 5393 (последовательность A006562 в OEIS).
Уникальные простые числа[править | править код]
Простые числа , длина периодической дроби которых от уникальна (ни одно другое простое число не даёт такое же):
3, 11, 37, 101, 9091, 9901, 333667, 909091, 99990001, 999999000001, 9999999900000001, 909090909090909091, 1111111111111111111, 11111111111111111111111, 900900900900990990990991
(последовательность A040017 в OEIS).
Факториальные простые[править | править код]
Это простые числа вида для некоторого :
2, 3, 5, 7, 23, 719, 5039, 39916801, 479001599, 87178291199, 10888869450418352160768000001, 265252859812191058636308479999999, 263130836933693530167218012159999999, 8683317618811886495518194401279999999 (последовательность A088054 в OEIS).
Праймориальные простые числа[править | править код]
Простые числа вида p# ± 1:
- pn# − 1 является простым для n = 2, 3, 5, 6, 13, 24, … последовательность A057704 в OEIS
- pn# + 1 является простым для n = 1, 2, 3, 4, 5, 11, … последовательность A014545 в OEIS
Центрированные квадратные простые числа[править | править код]
Числа вида :
5, 13, 41, 61, 113, 181, 313, 421, 613, 761, 1013, 1201, 1301, 1741, 1861, 2113, 2381, 2521, 3121, 3613, 4513, 5101, 7321, 8581, 9661, 9941, 10513, 12641, 13613, 14281, 14621, 15313, 16381, 19013, 19801, 20201, 21013, 21841, 23981, 24421, 26681 (последовательность A027862 в OEIS).
Центрированные треугольные простые числа[править | править код]
Числа вида :
19, 31, 109, 199, 409, 571, 631, 829, 1489, 1999, 2341, 2971, 3529, 4621, 4789, 7039, 7669, 8779, 9721, 10459, 10711, 13681, 14851, 16069, 16381, 17659, 20011, 20359, 23251, 25939, 27541, 29191, 29611, 31321, 34429, 36739, 40099, 40591, 42589 (последовательность A125602 в OEIS).
Центрированные десятиугольные простые числа[править | править код]
Простые числа, которые можно представить в виде :
11, 31, 61, 101, 151, 211, 281, 661, 911, 1051, 1201, 1361, 1531, 1901, 2311, 2531, 3001, 3251, 3511, 4651, 5281, 6301, 6661, 7411, 9461, 9901, 12251, 13781, 14851, 15401, 18301, 18911, 19531, 20161, 22111, 24151, 24851, 25561, 27011, 27751 (последовательность A090562 в OEIS).
Примечания[править | править код]
- ↑ 93074010508593618333…(6499 other digits)…83885253703080601131 Архивная копия от 6 февраля 2015 на Wayback Machine, The Largest Known Primes — primes.utm.edu
- ↑ A Search for Wilson primes. Дата обращения: 20 декабря 2012. Архивировано 7 апреля 2018 года.
- ↑ Lal, M. Primes of the Form n4 + 1 (англ.) // Mathematics of Computation (англ.) (рус. : journal. — American Mathematical Society, 1967. — Vol. 21. — P. 245—247. — ISSN 1088-6842. — doi:10.1090/S0025-5718-1967-0222007-9. Архивировано 13 января 2015 года.
- ↑ Bohman, J. New primes of the form n4 + 1 (англ.) // BIT Numerical Mathematics (англ.) (рус. : journal. — Springer, 1973. — Vol. 13, no. 3. — P. 370—372. — ISSN 1572-9125. — doi:10.1007/BF01951947.
Литература[править | править код]
- Генри С. Уоррен, мл. Глава 16. Формулы для простых чисел // Алгоритмические трюки для программистов = Hacker’s Delight. — М.: Вильямс, 2007. — 288 с. — ISBN 0-201-91465-4.
Ссылки[править | править код]
- Списки простых и факторизованных составных чисел
Here are all the 3 digit prime numbers, i.e. all prime numbers between 101-1,000.
100s
One Hundred One
One Hundred Three
One Hundred Seven
One Hundred Nine
One Hundred Thirteen
One Hundred Twenty-Seven
One Hundred Thirty-One
One Hundred Thirty-Seven
One Hundred Thirty-Nine
One Hundred Forty-Nine
One Hundred Fifty-One
One Hundred Fifty-Seven
One Hundred Sixty-Three
One Hundred Sixty-Seven
One Hundred Seventy-Three
One Hundred Seventy-Nine
One Hundred Eighty-One
One Hundred Ninety-One
One Hundred Ninety-Three
One Hundred Ninety-Seven
One Hundred Ninety-Nine
101 | 103 | 107 | 109 | 113 |
127 | 131 | 137 | 139 | 149 |
151 | 157 | 163 | 167 | 173 |
179 | 181 | 191 | 193 | 197 |
199 |
200s
Two Hundred Eleven
Two Hundred Twenty-Three
Two Hundred Twenty-Seven
Two Hundred Twenty-Nine
Two Hundred Thirty-Three
Two Hundred Thirty-Nine
Two Hundred Forty-One
Two Hundred Fifty-One
Two Hundred Fifty-Seven
Two Hundred Sixty-Three
Two Hundred Sixty-Nine
Two Hundred Seventy-One
Two Hundred Seventy-Seven
Two Hundred Eighty-One
Two Hundred Eighty-Three
Two Hundred Ninety-Three
211 | 223 | 227 | 229 | 233 |
239 | 241 | 251 | 257 | 263 |
269 | 271 | 277 | 281 | 283 |
293 |
300s
Three Hundred Seven
Three Hundred Eleven
Three Hundred Thirteen
Three Hundred Seventeen
Three Hundred Thirty-One
Three Hundred Thirty-Seven
Three Hundred Forty-Seven
Three Hundred Forty-Nine
Three Hundred Fifty-Three
Three Hundred Fifty-Nine
Three Hundred Sixty-Seven
Three Hundred Seventy-Three
Three Hundred Seventy-Nine
Three Hundred Eighty-Three
Three Hundred Eighty-Nine
Three Hundred Ninety-Seven
307 | 311 | 313 | 317 | 331 |
337 | 347 | 349 | 353 | 359 |
367 | 373 | 379 | 383 | 389 |
397 |
400s
Four Hundred One
Four Hundred Nine
Four Hundred Nineteen
Four Hundred Twenty-One
Four Hundred Thirty-One
Four Hundred Thirty-Three
Four Hundred Thirty-Nine
Four Hundred Forty-Three
Four Hundred Forty-Nine
Four Hundred Fifty-Seven
Four Hundred Sixty-One
Four Hundred Sixty-Three
Four Hundred Sixty-Seven
Four Hundred Seventy-Nine
Four Hundred Eighty-Seven
Four Hundred Ninety-One
Four Hundred Ninety-Nine
401 | 409 | 419 | 421 | 431 |
433 | 439 | 443 | 449 | 457 |
461 | 463 | 467 | 479 | 487 |
491 | 499 |
500s
Five Hundred Three
Five Hundred Nine
Five Hundred Twenty-One
Five Hundred Twenty-Three
Five Hundred Forty-One
Five Hundred Forty-Seven
Five Hundred Fifty-Seven
Five Hundred Sixty-Three
Five Hundred Sixty-Nine
Five Hundred Seventy-One
Five Hundred Seventy-Seven
Five Hundred Eighty-Seven
Five Hundred Ninety-Three
Five Hundred Ninety-Nine
503 | 509 | 521 | 523 | 541 |
547 | 557 | 563 | 569 | 571 |
577 | 587 | 593 | 599 |
600s
Six Hundred One
Six Hundred Seven
Six Hundred Thirteen
Six Hundred Seventeen
Six Hundred Nineteen
Six Hundred Thirty-One
Six Hundred Forty-One
Six Hundred Forty-Three
Six Hundred Forty-Seven
Six Hundred Fifty-Three
Six Hundred Fifty-Nine
Six Hundred Sixty-One
Six Hundred Seventy-Three
Six Hundred Seventy-Seven
Six Hundred Eighty-Three
Six Hundred Ninety-One
601 | 607 | 613 | 617 | 619 |
631 | 641 | 643 | 647 | 653 |
659 | 661 | 673 | 677 | 683 |
691 |
700s
Seven Hundred One
Seven Hundred Nine
Seven Hundred Nineteen
Seven Hundred Twenty-Seven
Seven Hundred Thirty-Three
Seven Hundred Thirty-Nine
Seven Hundred Forty-Three
Seven Hundred Fifty-One
Seven Hundred Fifty-Seven
Seven Hundred Sixty-One
Seven Hundred Sixty-Nine
Seven Hundred Seventy-Three
Seven Hundred Eighty-Seven
Seven Hundred Ninety-Seven
701 | 709 | 719 | 727 | 733 |
739 | 743 | 751 | 757 | 761 |
769 | 773 | 787 | 797 |
800s
Eight Hundred Nine
Eight Hundred Eleven
Eight Hundred Twenty-One
Eight Hundred Twenty-One
Eight Hundred Twenty-Seven
Eight Hundred Twenty-Nine
Eight Hundred Thirty-Nine
Eight Hundred Fifty-Three
Eight Hundred Fifty-Seven
Eight Hundred Fifty-Nine
Eight Hundred Sixty-Three
Eight Hundred Seventy-Seven
Eight Hundred Eighty-One
Eight Hundred Eighty-Three
Eight Hundred Eighty-Seven
809 | 811 | 821 | 823 | 827 |
829 | 839 | 853 | 857 | 859 |
863 | 877 | 881 | 883 | 887 |
900s
Nine Hundred Seven
Nine Hundred Eleven
Nine Hundred Nineteen
Nine Hundred Twenty-Nine
Nine Hundred Thirty-Seven
Nine Hundred Forty-One
Nine Hundred Forty-Seven
Nine Hundred Fifty-Three
Nine Hundred Sixty-Seven
Nine Hundred Seventy-One
Nine Hundred Seventy-Seven
Nine Hundred Eighty-Three
Nine Hundred Ninety-One
Nine Hundred Ninety-Seven
907 | 911 | 919 | 929 | 937 |
941 | 947 | 953 | 967 | 971 |
977 | 983 | 991 | 997 |
All in all, there are 143 prime numbers from 101-1,000. This means that 143/900 or around 1 in 6 numbers from 101-1,000 are prime. 757 numbers are composite.
Простые числа — целые, положительные числа, больше либо равные 2, которые на цело делятся только на себя и на 1.
* – обязательно заполнить
Таблица простых чисел от 1 до 1000:
2 | 3 | 5 | 7 | 11 | 13 | 17 | 19 | 23 | 29 |
31 | 37 | 41 | 43 | 47 | 53 | 59 | 61 | 67 | 71 |
73 | 79 | 83 | 89 | 97 | 101 | 103 | 107 | 109 | 113 |
127 | 131 | 137 | 139 | 149 | 151 | 157 | 163 | 167 | 173 |
179 | 181 | 191 | 193 | 197 | 199 | 211 | 223 | 227 | 229 |
233 | 239 | 241 | 251 | 257 | 263 | 269 | 271 | 277 | 281 |
283 | 293 | 307 | 311 | 313 | 317 | 331 | 337 | 347 | 349 |
353 | 359 | 367 | 373 | 379 | 383 | 389 | 397 | 401 | 409 |
419 | 421 | 431 | 433 | 439 | 443 | 449 | 457 | 461 | 463 |
467 | 479 | 487 | 491 | 499 | 503 | 509 | 521 | 523 | 541 |
547 | 557 | 563 | 569 | 571 | 577 | 587 | 593 | 599 | 601 |
607 | 613 | 617 | 619 | 631 | 641 | 643 | 647 | 653 | 659 |
661 | 673 | 677 | 683 | 691 | 701 | 709 | 719 | 727 | 733 |
739 | 743 | 751 | 757 | 761 | 769 | 773 | 787 | 797 | 809 |
811 | 821 | 823 | 827 | 829 | 839 | 853 | 857 | 859 | 863 |
877 | 881 | 883 | 887 | 907 | 911 | 919 | 929 | 937 | 941 |
947 | 953 | 967 | 971 | 977 | 983 | 991 | 997 |
Список простых чисел от 1 до 1000:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997
* – обязательно заполнить
125 – составное и, соответсвенно, натуральное число.
Разложение на простые множители числа 125
125 = 5 * 5 * 5
В столбик:
Алгоритмы поиска простых чисел
Время на прочтение
6 мин
Количество просмотров 133K
«Самое большое простое число 232582657-1. И я с гордостью утверждаю, что запомнил все его цифры… в двоичной форме».
Карл Померанс
Натуральное число называется простым, если оно имеет только два различных делителя: единицу и само себя. Задача поиска простых чисел не дает покоя математикам уже очень давно. Долгое время прямого практического применения эта проблема не имела, но все изменилось с появлением криптографии с открытым ключом. В этой заметке рассматривается несколько способов поиска простых чисел, как представляющих исключительно академический интерес, так и применяемых сегодня в криптографии.
Решето Эратосфена
Решето Эратосфена — алгоритм, предложенный древнегреческим математиком Эратосфеном. Этот метод позволяет найти все простые числа меньше заданного числа n. Суть метода заключается в следующем. Возьмем набор чисел от 2 до n. Вычеркнем из набора (отсеим) все числа делящиеся на 2, кроме 2. Перейдем к следующему «не отсеянному» числу — 3, снова вычеркиваем все что делится на 3. Переходим к следующему оставшемуся числу — 5 и так далее до тех пор пока мы не дойдем до n. После выполнения вышеописанных действий, в изначальном списке останутся только простые числа.
Алгоритм можно несколько оптимизировать. Так как один из делителей составного числа n обязательно
, алгоритм можно останавливать, после вычеркивания чисел делящихся на
.
Иллюстрация работы алгоритма из Википедии:
Сложность алгоритма составляет
, при этом, для хранения информации о том, какие числа были вычеркнуты требуется
памяти.
Существует ряд оптимизаций, позволяющих снизить эти показатели. Прием под названием wheel factorization состоит в том, чтобы включать в изначальный список только числа взаимно простые с несколькими первыми простыми числами (например меньше 30). В теории предлагается брать первые простые примерно до
. Это позволяет снизить сложность алгоритма в
раз. Помимо этого для уменьшения потребляемой памяти используется так называемое сегментирование. Изначальный набор чисел делится на сегменты размером
и для каждого сегмента решето Эратосфена применяется по отдельности. Потребление памяти снижается до
.
Решето Аткина
Более совершенный алгоритм отсеивания составных чисел был предложен Аткином и Берштайном и получил название Решето Аткина. Этот способ основан на следующих трех свойствах простых чисел.
Свойство 1
Если n — положительное число, не кратное квадрату простого числа и такое, что
. То n — простое, тогда и только тогда, когда число корней уравнения
нечетно.
Свойство 2
Если n — положительное число, не кратное квадрату простого числа и такое, что
. То n — простое, тогда и только тогда, когда число корней уравнения
нечетно.
Свойство 3
Если n — положительное число, не кратное квадрату простого числа и такое, что
. То n — простое, тогда и только тогда, когда число корней уравнения
нечетно.
Доказательства этих свойств приводятся в этой статье.
На начальном этапе алгоритма решето Аткина представляет собой массив A размером n, заполненный нулями. Для определения простых чисел перебираются все
. Для каждой такой пары вычисляется
,
,
и значение элементов массива
,
,
увеличивается на единицу. В конце работы алгоритма индексы всех элементов массива, которые имеют нечетные значения либо простые числа, либо квадраты простого числа. На последнем шаге алгоритма производится вычеркивание квадратов оставшихся в наборе чисел.
Из описания алгоритма следует, что вычислительная сложность решета Аткина и потребление памяти составляют
. При использовании wheel factorization и сегментирования оценка сложности алгоритма снижается до
, а потребление памяти до
.
Числа Мерсенна и тест Люка-Лемера
Конечно при таких показателях сложности, даже оптимизированное решето Аткина невозможно использовать для поиска по-настоящему больших простых чисел. К счастью, существуют быстрые тесты, позволяющие проверить является ли заданное число простым. В отличие от алгоритмов решета, такие тесты не предназначены для поиска всех простых чисел, они лишь способны сказать с некоторой вероятностью, является ли определенное число простым.
Один из таких методов проверки — тест Люка-Лемера. Это детерминированный и безусловный тест простоты. Это означает, что прохождение теста гарантирует простоту числа. К сожалению, тест предназначен только для чисел особого вида
, где p — натуральное число. Такие числа называются числами Мерсенна.
Тест Люка-Лемера утверждает, что число Мерсенна
простое тогда и только тогда, когда p — простое и
делит нацело
-й член последовательности
задаваемой рекуррентно:
для
.
Для числа
длиной p бит вычислительная сложность алгоритма составляет
.
Благодаря простоте и детерминированности теста, самые большие известные простые числа — числа Мерсенна. Самое большое известное простое число на сегодня —
, его десятичная запись состоит из 24,862,048 цифр. Полюбоваться на эту красоту можно здесь.
Теорема Ферма и тест Миллера-Рабина
Простых чисел Мерсенна известно не очень много, поэтому для криптографии с открытым ключом необходим другой способ поиска простых чисел. Одним из таким способов является тест простоты Ферма. Он основан на малой теореме Ферма, которая гласит, что если n — простое число, то для любого a, которое не делится на n, выполняется равенство
. Доказательство теоремы можно найти на Википедии.
Тест простоты Ферма — вероятностный тест, который заключается в переборе нескольких значений a, если хотя бы для одного из них выполняется неравенство
, то число n — составное. В противном случае, n — вероятно простое. Чем больше значений a использовано в тесте, тем выше вероятность того, что n — простое.
К сожалению, существуют такие составные числа n, для которых сравнение
выполняется для всех a взаимно простых с n. Такие числа называются числам Кармайкла. Составные числа, которые успешно проходят тест Ферма, называются псевдопростыми Ферма. Количество псевдопростых Ферма бесконечно, поэтому тест Ферма — не самый надежный способ определения простых чисел.
Тест Миллера-Рабина
Более надежных результатов можно добиться комбинируя малую теорему Ферма и тот факт, что для простого числа p не существует других корней уравнения
, кроме 1 и -1. Тест Миллера-Рабина перебирает несколько значений a и проверяет выполнение следующих условий.
Пусть p — простое число и
, тогда для любого a справедливо хотя бы одно из условий:
- Существует целое число r < s такое, что
По теореме Ферма
, а так как
из свойства о корнях уравнения
следует что если мы найдем такое a, для которого одно из условий не выполняется, значит p — составное число. Если одно из условий выполняется, число a называют свидетелем простоты числа n по Миллеру, а само число n — вероятно простым.
Чем больше свидетелей простоты найдено, тем выше вероятность того, что n — простое. Согласно теореме Рабина вероятность того, что случайно выбранное число a окажется свидетелем простоты составного числа составляет приблизительно
.
Следовательно, если проверить k случайных чисел a, то вероятность принять составное число за простое
.
Сложность работы алгоритма
, где k — количество проверок.
Благодаря быстроте и высокой точности тест Миллера-Рабина широко используется при поиске простых чисел. Многие современные криптографические библиотеки при проверке больших чисел на простоту используют только этот тест и, как показал Мартин Альбрехт в своей работе , этого не всегда оказывается достаточно.
Он смог сгенерировать такие составные числа, которые успершно прошли тест на простоту в библиотеках OpenSSL, CryptLib, JavaScript Big Number и многих других.
Тест Люка и Тест Baillie–PSW
Чтобы избежать уязвимости, связанные с ситуациями, когда сгенерированное злоумышленником составное число, выдается за простое, Мартин Альбрехт предлагает использовать тест Baillie–PSW. Несмотря на то, что тест Baillie–PSW является вероятностным, на сегодняшний день не найдено ни одно составное число, которое успешно проходит этот тест. За нахождение подобного числа в 1980 году авторы алгоритма пообещали вознаграждение в размере $30. Приз пока так и не был востребован.
Ряд исследователей проверили все числа до
и не обнаружили ни одного составного числа, прошедшего тест Baillie–PSW. Поэтому, для чисел меньше
тест считается детерминированным.
Суть теста сводится к последовательной проверке числа на простоу двумя различными методами. Один из этих методов уже описанный выше тест Миллера-Рабина. Второй — тест Люка на сильную псевдопростоту.
Тест Люка на сильную псевдопростоту
Последовательности Люка — пары рекуррентных последовательностей
, описываемые выражениями:
Пусть
и
— последовательности Люка, где целые числа P и Q удовлетворяют условию
Вычислим символ Якоби:
.
Найдем такие r, s для которых выполняется равенство
Для простого числа n выполняется одно из следующих условий:
- n делит
- n делит для некоторого j < r
В противном случае n — составное.
Вероятность того, что составное число n успешно пройдет тест Люка для заданной пары параметров P, Q не превышает 4/15. Следовательно, после применения теста k раз, эта вероятность составляет
.
Тесты Миллера-Рабина и Люка производят не пересекающиеся множества псевдопростых чисел, соответственно если число p прошло оба теста, оно простое. Именно на этом свойстве основывается тест Baillie–PSW.
Заключение
В зависимости от поставленной задачи, могут использоваться различные методы поиска простых чисел. К примеру, при поиске больших простых чисел Мерсенна, сперва, при помощи решета Эратосфена или Аткина определяется список простых чисел до некоторой границы, предположим, до
. Затем для каждого числа p из списка, с помощью теста Люка-Лемера, на простоту проверяется
.
Чтобы сгенерировать большое простое число в криптографических целях, выбирается случайное число a и проверяется тестом Миллера-Рабина или более надежным Baillie–PSW. Согласно теореме о распределении простых чисел, у случайно выбранного числа от 1 до n шанс оказаться простым примерно равен
. Следовательно, чтобы найти простое число размером 1024 бита, достаточно перебрать около тысячи вариантов.
P.S. Исходники
Реализацию всех описанных алгоритмов на Go можно посмотреть на GitHub.
Что такое простое число, определение, что такое простое число, примеры и напишем скрипт, который будет определять простое это число или нет – онлайн! + можем составить списки простых чисел, или кому нравится- таблицу. Но список лучше!
Что такое простое число
Для простого числа есть формулировка – простое число такое, которое делится на 1 и на себя!
Примеры простых чисел :
Начнем с самого первого числа – 1.
Почему 1 не является простым?
Простые – это все, которые делятся только на себя и на единицу за исключением единицы. Единицу нельзя назвать простым числом, так как простое имеет 2 делителя, а единица 1. Число 1 не относят ни к простым, ни к составным.
Для школьного курса – этого объяснения(я думаю) будет достаточно!
Является ли число 2 простым!?
2 делится на 2 :
2 : 2 = 1
И 2 делится на 1 :
2 : 1 = 2
Больше, число 2 ни на что не делится! Значит число 2 простое.
Является ли число 3 простым!?[h3]
3 делится на 3 :
3 : 3 = 1
И 3 делится на 1 :
3 : 1 = 3
Больше, число 3 ни на что не делится! Значит число 3 простое.
Является ли число 4 простым!?
4 делится на 4 :
4 : 4 = 1
И 4 делится на 1 :
4 : 1 = 4
Но! 4 делится и на 2 :
4 : 2 = 2
Значит число 4 не является простым.
Список простых однозначных чисел
2
3
5
7
Определить простое число или нет онлайн.
Если вам требуется разложить число на множители, то мы делали отдельную страницу.
Далее напишем маленький скриптик. который будет определять – число простое или нет!
Для определения простоты числа – в поле ввода набираем число, которое требуется проверить и нажимаем отправить!
Определение простоты числа онлайн
Список простых двузначных чисел
11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97,
Список простых трехзначных чисел
101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997,
Список простых четырехзначных чисел
1009, 1013, 1019, 1021, 1031, 1033, 1039, 1049, 1051, 1061, 1063, 1069, 1087, 1091, 1093, 1097, 1103, 1109, 1117, 1123, 1129, 1151, 1153, 1163, 1171, 1181, 1187, 1193, 1201, 1213, 1217, 1223, 1229, 1231, 1237, 1249, 1259, 1277, 1279, 1283, 1289, 1291, 1297, 1301, 1303, 1307, 1319, 1321, 1327, 1361, 1367, 1373, 1381, 1399, 1409, 1423, 1427, 1429, 1433, 1439, 1447, 1451, 1453, 1459, 1471, 1481, 1483, 1487, 1489, 1493, 1499, 1511, 1523, 1531, 1543, 1549, 1553, 1559, 1567, 1571, 1579, 1583, 1597, 1601, 1607, 1609, 1613, 1619, 1621, 1627, 1637, 1657, 1663, 1667, 1669, 1693, 1697, 1699, 1709, 1721, 1723, 1733, 1741, 1747, 1753, 1759, 1777, 1783, 1787, 1789, 1801, 1811, 1823, 1831, 1847, 1861, 1867, 1871, 1873, 1877, 1879, 1889, 1901, 1907, 1913, 1931, 1933, 1949, 1951, 1973, 1979, 1987, 1993, 1997, 1999, 2003, 2011, 2017, 2027, 2029, 2039, 2053, 2063, 2069, 2081, 2083, 2087, 2089, 2099, 2111, 2113, 2129, 2131, 2137, 2141, 2143, 2153, 2161, 2179, 2203, 2207, 2213, 2221, 2237, 2239, 2243, 2251, 2267, 2269, 2273, 2281, 2287, 2293, 2297, 2309, 2311, 2333, 2339, 2341, 2347, 2351, 2357, 2371, 2377, 2381, 2383, 2389, 2393, 2399, 2411, 2417, 2423, 2437, 2441, 2447, 2459, 2467, 2473, 2477, 2503, 2521, 2531, 2539, 2543, 2549, 2551, 2557, 2579, 2591, 2593, 2609, 2617, 2621, 2633, 2647, 2657, 2659, 2663, 2671, 2677, 2683, 2687, 2689, 2693, 2699, 2707, 2711, 2713, 2719, 2729, 2731, 2741, 2749, 2753, 2767, 2777, 2789, 2791, 2797, 2801, 2803, 2819, 2833, 2837, 2843, 2851, 2857, 2861, 2879, 2887, 2897, 2903, 2909, 2917, 2927, 2939, 2953, 2957, 2963, 2969, 2971, 2999, 3001, 3011, 3019, 3023, 3037, 3041, 3049, 3061, 3067, 3079, 3083, 3089, 3109, 3119, 3121, 3137, 3163, 3167, 3169, 3181, 3187, 3191, 3203, 3209, 3217, 3221, 3229, 3251, 3253, 3257, 3259, 3271, 3299, 3301, 3307, 3313, 3319, 3323, 3329, 3331, 3343, 3347, 3359, 3361, 3371, 3373, 3389, 3391, 3407, 3413, 3433, 3449, 3457, 3461, 3463, 3467, 3469, 3491, 3499, 3511, 3517, 3527, 3529, 3533, 3539, 3541, 3547, 3557, 3559, 3571, 3581, 3583, 3593, 3607, 3613, 3617, 3623, 3631, 3637, 3643, 3659, 3671, 3673, 3677, 3691, 3697, 3701, 3709, 3719, 3727, 3733, 3739, 3761, 3767, 3769, 3779, 3793, 3797, 3803, 3821, 3823, 3833, 3847, 3851, 3853, 3863, 3877, 3881, 3889, 3907, 3911, 3917, 3919, 3923, 3929, 3931, 3943, 3947, 3967, 3989, 4001, 4003, 4007, 4013, 4019, 4021, 4027, 4049, 4051, 4057, 4073, 4079, 4091, 4093, 4099, 4111, 4127, 4129, 4133, 4139, 4153, 4157, 4159, 4177, 4201, 4211, 4217, 4219, 4229, 4231, 4241, 4243, 4253, 4259, 4261, 4271, 4273, 4283, 4289, 4297, 4327, 4337, 4339, 4349, 4357, 4363, 4373, 4391, 4397, 4409, 4421, 4423, 4441, 4447, 4451, 4457, 4463, 4481, 4483, 4493, 4507, 4513, 4517, 4519, 4523, 4547, 4549, 4561, 4567, 4583, 4591, 4597, 4603, 4621, 4637, 4639, 4643, 4649, 4651, 4657, 4663, 4673, 4679, 4691, 4703, 4721, 4723, 4729, 4733, 4751, 4759, 4783, 4787, 4789, 4793, 4799, 4801, 4813, 4817, 4831, 4861, 4871, 4877, 4889, 4903, 4909, 4919, 4931, 4933, 4937, 4943, 4951, 4957, 4967, 4969, 4973, 4987, 4993, 4999, 5003, 5009, 5011, 5021, 5023, 5039, 5051, 5059, 5077, 5081, 5087, 5099, 5101, 5107, 5113, 5119, 5147, 5153, 5167, 5171, 5179, 5189, 5197, 5209, 5227, 5231, 5233, 5237, 5261, 5273, 5279, 5281, 5297, 5303, 5309, 5323, 5333, 5347, 5351, 5381, 5387, 5393, 5399, 5407, 5413, 5417, 5419, 5431, 5437, 5441, 5443, 5449, 5471, 5477, 5479, 5483, 5501, 5503, 5507, 5519, 5521, 5527, 5531, 5557, 5563, 5569, 5573, 5581, 5591, 5623, 5639, 5641, 5647, 5651, 5653, 5657, 5659, 5669, 5683, 5689, 5693, 5701, 5711, 5717, 5737, 5741, 5743, 5749, 5779, 5783, 5791, 5801, 5807, 5813, 5821, 5827, 5839, 5843, 5849, 5851, 5857, 5861, 5867, 5869, 5879, 5881, 5897, 5903, 5923, 5927, 5939, 5953, 5981, 5987, 6007, 6011, 6029, 6037, 6043, 6047, 6053, 6067, 6073, 6079, 6089, 6091, 6101, 6113, 6121, 6131, 6133, 6143, 6151, 6163, 6173, 6197, 6199, 6203, 6211, 6217, 6221, 6229, 6247, 6257, 6263, 6269, 6271, 6277, 6287, 6299, 6301, 6311, 6317, 6323, 6329, 6337, 6343, 6353, 6359, 6361, 6367, 6373, 6379, 6389, 6397, 6421, 6427, 6449, 6451, 6469, 6473, 6481, 6491, 6521, 6529, 6547, 6551, 6553, 6563, 6569, 6571, 6577, 6581, 6599, 6607, 6619, 6637, 6653, 6659, 6661, 6673, 6679, 6689, 6691, 6701, 6703, 6709, 6719, 6733, 6737, 6761, 6763, 6779, 6781, 6791, 6793, 6803, 6823, 6827, 6829, 6833, 6841, 6857, 6863, 6869, 6871, 6883, 6899, 6907, 6911, 6917, 6947, 6949, 6959, 6961, 6967, 6971, 6977, 6983, 6991, 6997, 7001, 7013, 7019, 7027, 7039, 7043, 7057, 7069, 7079, 7103, 7109, 7121, 7127, 7129, 7151, 7159, 7177, 7187, 7193, 7207, 7211, 7213, 7219, 7229, 7237, 7243, 7247, 7253, 7283, 7297, 7307, 7309, 7321, 7331, 7333, 7349, 7351, 7369, 7393, 7411, 7417, 7433, 7451, 7457, 7459, 7477, 7481, 7487, 7489, 7499, 7507, 7517, 7523, 7529, 7537, 7541, 7547, 7549, 7559, 7561, 7573, 7577, 7583, 7589, 7591, 7603, 7607, 7621, 7639, 7643, 7649, 7669, 7673, 7681, 7687, 7691, 7699, 7703, 7717, 7723, 7727, 7741, 7753, 7757, 7759, 7789, 7793, 7817, 7823, 7829, 7841, 7853, 7867, 7873, 7877, 7879, 7883, 7901, 7907, 7919, 7927, 7933, 7937, 7949, 7951, 7963, 7993, 8009, 8011, 8017, 8039, 8053, 8059, 8069, 8081, 8087, 8089, 8093, 8101, 8111, 8117, 8123, 8147, 8161, 8167, 8171, 8179, 8191, 8209, 8219, 8221, 8231, 8233, 8237, 8243, 8263, 8269, 8273, 8287, 8291, 8293, 8297, 8311, 8317, 8329, 8353, 8363, 8369, 8377, 8387, 8389, 8419, 8423, 8429, 8431, 8443, 8447, 8461, 8467, 8501, 8513, 8521, 8527, 8537, 8539, 8543, 8563, 8573, 8581, 8597, 8599, 8609, 8623, 8627, 8629, 8641, 8647, 8663, 8669, 8677, 8681, 8689, 8693, 8699, 8707, 8713, 8719, 8731, 8737, 8741, 8747, 8753, 8761, 8779, 8783, 8803, 8807, 8819, 8821, 8831, 8837, 8839, 8849, 8861, 8863, 8867, 8887, 8893, 8923, 8929, 8933, 8941, 8951, 8963, 8969, 8971, 8999, 9001, 9007, 9011, 9013, 9029, 9041, 9043, 9049, 9059, 9067, 9091, 9103, 9109, 9127, 9133, 9137, 9151, 9157, 9161, 9173, 9181, 9187, 9199, 9203, 9209, 9221, 9227, 9239, 9241, 9257, 9277, 9281, 9283, 9293, 9311, 9319, 9323, 9337, 9341, 9343, 9349, 9371, 9377, 9391, 9397, 9403, 9413, 9419, 9421, 9431, 9433, 9437, 9439, 9461, 9463, 9467, 9473, 9479, 9491, 9497, 9511, 9521, 9533, 9539, 9547, 9551, 9587, 9601, 9613, 9619, 9623, 9629, 9631, 9643, 9649, 9661, 9677, 9679, 9689, 9697, 9719, 9721, 9733, 9739, 9743, 9749, 9767, 9769, 9781, 9787, 9791, 9803, 9811, 9817, 9829, 9833, 9839, 9851, 9857, 9859, 9871, 9883, 9887, 9901, 9907, 9923, 9929, 9931, 9941, 9949, 9967, 9973,
Почему отрицательные числа – не являются простыми
Специально пошел посмотреть, что пишут на вопрос – “Почему отрицательные сила – не являются простыми” – сложно, долго, неэффективно, непонятно!
Вот вам простое и понятное объяснение:
Отрицательные числа не могут быть простыми, потому, что они делятся на
1
на себя
и положительную версию себя.
А это противоречит определению простого числа.