Как найти а10 в арифметической прогрессии формула

Как найти а10 в арифметической прогрессии формула

Определение

Арифметическая прогрессия — последовательность чисел, в которой каждое число, начиная со второго, получается из первого добавлением к нему постоянного числа. Данное постоянное число называют разностью арифметической прогрессии.

n-ый элемент арифметической прогрессии

Чтобы найти n-ый элемент, нужно к (n-1) элементу прибавить разность арифметической прогрессии.

    [a_n=a_{n-1}+d,]

где d — разность арифметической прогрессии, a_i — i-ый элемент арифметической прогрессии.

Выразим n-ый элемент арифметической прогрессии через первый член и разность прогрессии.

    [a_{2}=a_{1}+d]

    [a_{3}=a_{2}+d=a_1+d+d=a_1+2d]

    [a_{4}=a_{3}+d=a_1+2d+d=a_1+3d]

    [ldots]

Получаем, что

    [a_n=a_1+d(n-1).]

Пример 1. Найти 10-ый элемент арифметической прогрессии, если её первый элемент равен 2, а разность 0,5.

Решение. 

a_{10}=a_1+d(10-1)=2+0,5(10-1)=2+4,5=6,5.

Ответ: 6,5.

Пример 2. Найти разность арифметической прогрессии, если пятый элемент прогрессии равен 15, а 10-ый — 18-ти.

Решение.

    [a_5=a_1+4d]

    [a_{10}=a_1+9d]

Вычтем из второго уравнения первое: a_{10}-a_5=a_1-a_1+9d-4d.

d=frac{a_{10}-a_5}{9-4}=frac{18-15}{5}=frac{3}{5}=0,6.

Ответ: 0,6.

Сумма арифметической прогрессии

Чтобы найти сумму первых n членов арифметической прогрессии можно воспользоваться следующими формулами:

    [S_n=frac{a_1+a_n}{2}cdot n;]

    [S_n=frac{2a_1+d(n-1)}{2}cdot n.]

Докажем первую формулу.

    [S_n=a_1+a_2+a_3+a_4+ldots+a_{n-3}+a_{n-2}+a_{n-1}+a_{n}]

    [S_n=a_{n}+a_{n-1}+a_{n-2}+a_{n-3}+ldots+a_{4}+a_{3}+a_{2}+a_{1}]

Сложим почленно два последних равенства.

Получаем,

    [S_n+S_n=a_1+a_{n}+a_{2}+a_{n-1}+ldots +a_2+a_{n-1}+a_1+a_n]

Так как, a_k+a_{n-(k-1)}=a_1+d(k-1)+a_n-d(k-1)=a_1+a_n, то 2 cdot S_n=(a_1+a_n) cdot n.

Следовательно,

    [S_n=frac{a_1+a_n}{2}cdot n.]

Пример 3. Найдите сумму натуральных чисел от 1 до 100.

Решение.

    [1+2+3+ldots+98+99+100=(1+100)+(2+99)+(3+98)=101 cdot 50=5050.]

Ответ: 5050.

Пример 4. Первый элемент арифметической прогрессии равен 15, а разность арифметической прогрессии равна 2. Найдите сумму первых 10 элементов данной арифметической прогрессии.

Решение.

S_10=frac{2 cdot 15+2(10-1)}{2}cdot 10 =(30+18)cdot 5=48cdot 5=240.

Ответ: 240.

Пример 5. Арине надо решить 270 задач по геометрии. Ежедневно она решает на одно и то же количество задач больше по сравнению с предыдущим днем. Известно, что в первый день она решила 10 задач, а в последний она запланировала решить 17 задач. Определите за сколько дней она решит все задачи.

Решение. Для решения задачи мы воспользуемся формулой суммы арифметической прогрессии:

    [S_n=frac{a_1+a_n}{2}cdot n.]

По условии задачи: S_n=270, a_1=10, a_n=17. Надо найти n.

    [270=frac{10+17}{2}cdot n;]

    [270=frac{27}{2}cdot n;]

    [n=20.]

Ответ: 20.

Характеристическое свойство арифметической прогрессии

    [a_{n}=frac{a_{n-k}+a_{n+k}}{2}]

Доказательство основывается на том, что

    [a_{n-k}+a_{n+k}=a_n-d cdot k+a_n+d cdot k=2 cdot a_n.]

Пример 6. Выписано несколько последовательных членов арифметической прогрессии:

    […;10; x; 16; 19; … .]

Найдите x.

Решение.

x=frac{16+10}{2}=13

Ответ: 13.

Источник
Определение

Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом.

Другими словами, последовательность (аn) – арифметическая прогрессия, если для любого натурального числа n выполняется условие аn+1=аn+d, где d – некоторое число. Из данного равенства следует, что можно найти это число d, если вычесть из последующего члена предыдущий, то есть d = аn+1–аn. Число d называют разностью арифметической прогрессии.

Арифметической прогрессией, например, является ряд чисел 3; 8; 13; 18….., так как разница между числами равна 5, мы видим, что каждое последующее на 5 больше предыдущего.

Если известен первый член арифметической прогрессии a1 и разность d, то можно вычислить любой член арифметической прогрессии:

a2 = a1 + d;

a3 = a2 + d = a1+2d;

a4 = a3 + d = a1+3d.

Этот ряд можно продолжать до бесконечности, поэтому надо запомнить, что n-ый член арифметической прогрессии можем получить быстрее, если к первому члену прогрессии добавить (n−1) разностей, то есть:

Формула n-ого члена арифметической прогрессии

an = a1 + d(n−1)

где n – порядковый номер члена арифметической прогрессии, a1 – первый член прогрессии, d – разность арифметической прогрессии

Формулу используют, чтобы вычислить заданный член арифметической прогрессии (например, пятнадцатый, двухсотый и т.д.), если известны первый член последовательности и ее разность. Рассмотрим на примерах применение данной формулы.

Пример №1. Найти а20 арифметической прогрессии (аn), если а1=14, d=5. Составляем формулу для а20 и подставляем в нее данные: а20= a1 + d(20−1)=14+5(20−1)=109. Таким образом, мы вычислили, что на 20-ом месте в данной арифметической прогрессии стоит число 109.

Найти а7 арифметической прогрессии (аn), если а1=−8, d=−3. Аналогично работаем, составляя формулу и подставляя в нее данные значения (обращаем внимание на знаки чисел, чтобы не допустить ошибок): а7= a1 + d(7−1)= −8−3(7−1)= −26.

Дана арифметическая прогрессия 10; 12; 14;…… Найти а12. Здесь для нахождения а12 надо сначала найти разность d: d=12−10=2, то есть из последующего вычтем предыдущее. Можно было 14−12, порядок здесь не имеет значения, главное берем два соседних члена прогрессии. Теперь можем составлять формулу и находить а12: а12= a1 + d(12−1)=10+2(12−1)=32.

Утверждение

Любая арифметическая прогрессия может быть задана формулой вида an=kn+b, где k и b некоторые числа. Верно и обратное утверждение: если последовательность чисел задана формулой вида an=kn+b, где k и b некоторые числа, то она является арифметической.

Так, например, формула an=5n+1 задает арифметическую прогрессию, в которой разность d равна 1; по данной формуле можно найти любой член последовательности, например, найдем 20-ый член, подставляя в формулу число 20: a20=5×20+1=101.

Свойство арифметической прогрессии

Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов. Формула:

аn=(аn-1+ аn+1):2

Другими словами, используя данное свойство, мы можем найти член арифметической прогрессии, стоящий между двумя известными членами, без использования разности d. Рассмотрим это на примерах.

Пример №2. Найти а10 арифметической прогрессии (аn), если а9=24; а11=38. Здесь используем свойство, так как видим, что у а10 известны соседние члены. Значит, а10=(а9+а11):2=(24+38):2=31. Таким образом, десятый член равен 31.

Дана арифметическая прогрессия …..23; х; 35. Найти х. Применяем свойство для нахождения х: х=(23+35):2=29. Для наглядности запишем, что ряд чисел выглядит так: …23; 29; 35.

Формулы суммы n первых членов арифметической прогрессии

Для нахождения суммы (обозначим ее буквой S) большого количества членов арифметической прогрессии существует формула, позволяющая это сделать быстро.

Формула суммы членов арифметической прогрессии с известными членами

Sn=
(a1+an
)n2

В данной формуле мы видим, что для нахождения суммы нужны первый и последний член прогрессии. Но встречаются случаи, когда аn не известно, но известна разность. Тогда для нахождения суммы применяют вторую формулу.

Формула суммы членов арифметической прогрессии с первым членом и разностью

Sn=2a1+d(n−1)2n

Рассмотрим на примерах применение данных формул.

Пример №3. Найти сумму первых пятидесяти членов арифметической прогрессии (аn), если а1=11, а50=39.

Для решения лучше использовать первую формулу, так как здесь есть первый и последний члены: а1=11, а50=39. Поэтому составляем формулу, подставляем в нее данные значения и вычисляем:

S50=(a1+a50
)502=(11+39)502=25002=1250

Найти сумму первых десяти членов арифметической последовательности 3; 18; …. В данном случае задание можно выполнить двумя способами, как по первой формуле, так и по второй, а затем выяснить, какой способ короче, а значит, рациональнее.

Способ №1 (по первой формуле): надо найти разность d, затем десятый член прогрессии, а затем сумму:

d=18-3=15; а10=3+15(10-1)=138

S10=(a1+a10
)102=(3+138)102=705

Способ №2 (по второй формуле): надо знать разность d, d=18-3=15. Теперь подставим значения во вторую формулу и сосчитаем результат:

S10=2a1+d(10−1)210=2×3+15(10−1)210=705

Результаты в обоих случаях получились у нас одинаковые. А если сравнить два способа, то видно, что второй способ быстрее, тем более что в большинстве случаев разность арифметической прогрессии можно вычислить устно.

Таким образом, выбор формулы для нахождения суммы n первых членов арифметической прогрессии зависит от заданного условия.

Задание OM1420223

Миша решил заказать себе такси. Подача машины и первые пять минут поездки в совокупности стоят 159 рублей, а стоимость каждой последующей минуты поездки фиксирована. Стоимость поездки с 6 по 15 минуту (включительно) составила 80 рублей, а с 6 по 25 минуту – 160 рублей. Найти итоговую стоимость поездки, если она длилась 1 час.

Выпишем, что мы имеем по условию задачи в левый столбец, а в правый запишем то, что из этого следует

Известно Решение
Подача и первые 5 минут – 159 руб –
Стоимость с 6 по 15 минуту – 80 рублей

Стоимость с 6 по 25 минуту – 160 рублей.

 Разница во времени 10 минут стоит 80 руб
Значит, 1 минута стоит 8 руб (80:10=8)
1 час – ? руб 1 час=60 мин; убираем 5 минут, которые включены в подачу машины, значит, надо найти стоимость 55 минут: 55•8=440 руб

Прибавляем стоимость подачи: 440+159=599 рублей

Ответ: 599

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор

Задание OM1420221

В амфитеатре 12 рядов. В первом ряду 18 мест, а в каждом следующем на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько всего мест в амфитеатре?

Из условия задачи видно, что имеем дело с арифметической прогрессией, так как сказано, что в каждом следующем на 2 места больше, чем в предыдущем.

Выписываем, что нам известно и определяем, что нужно найти: всего 12 рядов, значит n=12; в первом ряду 18 мест, значит, а1=18; так как в каждом последующем ряду мест на 2 больше, то разность арифметической прогрессии d=2. Надо найти, сколько всего мест в амфитеатре, т.е. найти сумму арифметической прогрессии S12.

Для нахождения суммы имеем формулу Sn=a1+an2×n, то есть для нашей задачи S12=a1+a122×12. У нас нет а12, найдем его по формуле n-ого члена арифметической прогрессии: a12=a1+d(n-1)=18+2(12-1)=18+22=40. Подставим данные в формулу суммы:

S12=18+402×12=348

Следовательно, 348 мест всего в амфитеатре.

Проверка: можно проверить решение следующим способом, просто прибавляя по 2 места в каждый ряд до 12-ого, а затем сложить количество мест. Записать можно так: 18+20+22+24+26+28+30+32+34+36+38+40=348. Этим же способом, кстати, можно решить задачу, если от волнения забыли про арифметическую прогрессию.

Ответ: 348

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор

Задание 14OM21R

При проведении опыта вещество равномерно охлаждали в течение 10 минут. При этом каждую минуту температура вещества уменьшалась на 80С. Найдите температуру вещества (в градусах Цельсия) через 6 минут после начала проведения опыта, если его начальная температура составляла -60С.

Можно решить данную задачу логическим путем, т.е. без формулы. Так как начальная температура была -6, а потом уменьшалась на 8 градусов в течение 6 минут, то можно сделать следующее:

-6-8=-14 через 1 минуту

-14-8=-22 через 2 минуты

-22-8=-30 через 3 минуты

-30-8=-38 через 4 минуты

-38-8=-46 через 5 минут

-46-8=-54 через 6 минут

Значит, наш ответ -540С

Вторым способом является решение по формуле n-ого члена арифметической прогрессии, которая есть также и в справочном материале, т.е. an=a1+d(n – 1). В данном случае a1=-6; d=-8, n=7 (так как ЧЕРЕЗ 6 минут). Подставим значения в формулу: a7=-61-8(7 – 1). Вычислим: a6=-6-8∙5=-6-48=-54.

Ответ: -54

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор

Задание OM1407

К концу 2008 года в городе проживало 38100 человек. Каждый год число жителей города возрастало на одну и ту же величину. В конце 2016 года в городе проживало 43620 человек. Какова была численность населения этого города к концу 2012 года?

Содержание данной задачи говорит нам о том, что здесь есть арифметическая прогрессия, так как число жителей города возрастало на одну и ту же величину.

Рассмотрим данные:

2008 г – 38100 человек

2012 г – ? человек

2016 г. – 43620 человек

Удобно решить данную задачу способом по формуле связи между любыми двумя членами арифметической прогрессии: d=an−akk−n , где k>n. Число d (разность прогрессии) будет являться ежегодным приростом населения.

Итак, можно вычислить прирост населения с 2008 по 2016 ежегодно:

(43620 – 38100):(2016 – 2008)= 5520:8=690 человек.

Теперь можно найти, сколько человек проживало в конце 2012 года.

38100+690(2016 – 2012)= 40860 человек

Ответ: 40860

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор

Задание OM1406

Митя играет в компьютерную игру. Он начинает с 0 очков, а для перехода на следующий уровень ему нужно набрать не менее 30000 очков. После первой минуты игры добавляется 2 очка, после второй – 4 очка, после третьей – 8 очков и так далее. Таким образом, после каждой следующей минуты игры количество добавляемых очков удваивается. Через сколько минут Митя перейдет на следующий уровень?

Анализируя содержание задачи, можно сказать, что мы имеем дело с геометрической прогрессией, так как после первой минуты игры добавляется 2 очка, после второй – 4 очка, после третьей – 8, а это значит, что с каждой последующей минутой количество очков удваивается. То есть знаменатель геометрической прогрессии q равен 2, b1=2 по условию (после 1 минуты 2 очка). Так как очки суммируются, то будем использовать формулу суммы n первых членов геометрической прогрессии Sn=b1(qn−1)q−1, где Sn>30000, так как для перехода на следующий уровень ему нужно набрать не менее 30000 очков.

Подставляем наши данные в формулу: 2(2n−1)2−1>30000

Упрощаем выражение: так как в знаменателе дроби получается 1, то получим 2(2n-1)>30000; делим обе части на 2: 2n-1>15000; переносим 1 в правую часть и получим: 2n>15001. Теперь надо подобрать число n, при котором будет верно наше неравенство. Делать это можно постепенно, возводя 2 в степени, а можно запомнить, что 210=1024. Тогда легко будет добраться до числа, которое меньше 15001, а это 214=16384, где 16384<15001. Следовательно, наш ответ 14 минут.

Ответ: 14

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор

Задание OM1405

В течение 25 банковских дней акции компании дорожали ежедневно на одну и ту же сумму. Сколько стоила акция компании в последний день этого периода, если в 7-й день акция стоила 777 рублей, а в 12-й день – 852 рубля?

В содержании задачи есть фраза, что акции дорожали ежедневно на одну и ту же сумму, следовательно, имеем арифметическую прогрессию. Итак, определяем, что известно: в 7-й день акция стоила 777 рублей, это а7=777; в 12-й день – 852 рубля, это а12=852. Известно, что акции дорожали 25 дней, а найти надо стоимость акции в последний, т.е. в 25-ый день, значит, будем искать а25.

1 способ:

В данной арифметической прогрессии нет первого члена, не идет речь про сумму, поэтому воспользуемся формулой аn=ak+d(n – k), где n>k. Числа n и k – это порядковые номера. Составим формулу для наших данных и подставим в неё значения: а12=а7+d(12-7); 852=777+d(12 – 7). Упростим выражение и найдем разность d, 852–777= d(12 – 7); 75= d∙5; отсюда d=75:5=15. Итак, мы нашли, что акции ежедневно дорожали на 15 рублей.

Теперь, зная число d, мы можем найти а25 через, например, а12, используя всё ту же формулу. Получаем: а25=а12+d(25-12); а25=852+15(25-12)=852+15∙13= 852+195=1047. Значит, 1047 рублей стоила акция в последний день.

2 способ:

Можно решить данную задачу другим способом по формуле связи между любыми двумя членами арифметической прогрессии: d=an−akk−n , где k>n. Составим формулу для наших а12 и а7, а затем подставим в нее данные: d=a12−a712−7; d=852−77712−7=15. Теперь по этой же формуле найдем а25, связывая его с а12: d=a25−a1225−12; 15=a25−85213; найдем отсюда а25, а25=15∙13+852=1047.

Ответ: 1047

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор

Задание OM1404

Грузовик перевозит партию щебня массой 176 тонн, ежедневно увеличивая норму перевозки на одно и то же число тонн. Известно, что в первый день было перевезено 6 тонн щебня. Определите, сколько тонн щебня было перевезено в последний день, если вся работа была выполнена за 11 дней.

В условии задачи встречаются слова, что норма увеличивалась на одно и то же число. И это значит, что мы имеем арифметическую прогрессию, в которой а1=6, так как в первый день перевезли 6 тонн. Далее, известно, что вся работа была выполнена за 11 дней, значит число n=11. Так как масса всего щебня равна 176, то это число является суммой нашей прогрессии, т.е. S11=176. Требуется найти, сколько тонн было перевезено в последний день, а он – 11, значит, найти надо а11.

Итак, если нам встретилась сумма арифметической прогрессии, значит, нам надо воспользоваться формулой суммы n первых членов арифметической прогрессии Sn=а1+аn2∙n, куда мы и подставим все данные: 176=6+а112∙11.

Разделим обе части на 11, получим 16= 6+а112 ; умножим 16 на 2 (правило пропорции): 32=6+а11. Отсюда найдем а11=32–6=26. Итак, мы нашли, что 26 тонн щебня было перевезено в последний день.

Ответ: 26

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор

Задание OM1403

Для получения витамина D могут быть рекомендованы солнечные ванны. Загорать лучше утром до 10 часов или вечером после 17 часов. Михаилу назначили курс солнечных ванн. Михаил начинает курс с 15 минут в первый день и увеличивает время этой процедуры в каждый следующий день на 15 минут. В какой по счету день продолжительность процедуры достигнет 1 часа 15 минут?

Из содержания данной задачи видно, что время процедуры увеличивалось с каждым днем на одно и то же количество времени – на 15 минут, следовательно, это арифметическая прогрессия. Так как в первый день курс был 15 минут, то а1=15; так как время ежедневно увеличивалось на 15 минут, то значит разность d=15; зная, что продолжительность процедуры должна достигнуть 1 ч 15 мин, т.е. достигнуть 75 минут (1 час=60 мин, плюс 15 минут), то это число 75 и будет являться n членом арифметической прогрессии. Требуется найти, в какой по счету день продолжительность процедуры достигнет этих 75 минут, т.е. найдем число n.

Теперь берем формулу n члена арифметической прогрессии аn=a1+d(n – 1) и подставляем в неё наши данные: 75=15+15(n – 1); упростим данное выражение: 75-15=15(n – 1); 60=15(n – 1); разделим на 15 обе части: 4=n – 1; найдем отсюда, что n=5. Таким образом, на пятый день продолжительность процедуры достигнет 75 минут.

Ответ: 5

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор

Задание OM1402

Улитка ползет от одного дерева до другого. Каждый день она проползает на одно и то же расстояние меньше, чем в предыдущий день. Известно, что за первый и последний дни улитка проползла в сумме 7,5 метров. Определите, сколько дней улитка потратила на весь путь, если расстояние между деревьями равно 60 метрам.

Анализируя содержание задачи, мы видим, что улитка проползала ежедневно на одно и то же расстояние меньше, чем в предыдущий день. А это значит, что имеем арифметическую прогрессию. По условию определяем данные: так как в первый и последний дни она проползла 7,5 м, то имеем, что а1+аn=7,5. Так как расстояние между деревьями равно 60 м, то имеем сумму n первых членов прогрессии, т.е. Sn=60. Так как найти надо количество дней, которое она потратила на весь путь, то искомым числом будет число n.

Зная формулу суммы n первых членов арифметической прогрессии

Sn=а1+аn2∙n, имеем 60=7,5 ∙ n2. Отсюда находим n, умножая сначала 60 на 2 (по определению пропорции), затем 120 делим на 7,5 и получаем, что n=16. Таким образом, улитка потратила на весь путь 16 дней.

Ответ: 16

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор

Задание OM1401

При проведении химической реакции в растворе образуется нерастворимый осадок. Наблюдения показали, что каждую минуту образуется 0,2 г осадка. Найдите массу осадка (в граммах) в растворе спустя семь минут после начала реакции.

При анализе содержания задачи мы видим, что каждую минуту количество осадка увеличивается на одно и то же число, на 0,2 г. А это значит, что имеем арифметическую прогрессию, в которой первый член равен 0,2, так как по условию в первую минуту образовалось 0,2 г осадка. Разность арифметической прогрессии равна также 0,2, так как каждую минуту на это количество увеличивается количество осадков. Найти нужно седьмой член последовательности.

Итак, имеем а1=0,2; d=0,2. Ищем а7. По определению n-ого члена арифметической прогрессии имеем формулу аn=a1+d(n – 1). Подставим в нее наши данные: а7=a1+d(7 – 1)=0,2+0,2·6=1,4

Ответ: 1,4

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор

Даниил Романович | Просмотров: 8.2k

Источник

Арифметическая прогрессия

  1. Понятие арифметической прогрессии
  2. Формула n-го члена арифметической прогрессии
  3. Свойства арифметической прогрессии
  4. Сумма первых n членов арифметической прогрессии
  5. Примеры

п.1. Понятие арифметической прогрессии

Арифметической прогрессией называют числовую последовательность, каждый член которой an, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена an-1 и некоторого постоянного числа d: $$ mathrm{ a_n=a_{n-1}+d, ninmathbb{N}, nleq 2 } $$ Число d называют разностью арифметической прогрессии.

Например:
1. Последовательность 2, 5, 8, 11, 14, … является арифметической прогрессией с разностью d = 3.

2. Последовательность 12, 9, 6, 3, 0, –3, –6, … является арифметической прогрессией с разностью d = –3.

п.2. Формула n-го члена арифметической прогрессии

По определению арифметической прогрессии мы получаем рекуррентную формулу для n-го члена: an = an-1 + d. Из неё можно вывести аналитическую формулу:

a2 = a1 + d, $qquad$ a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d
a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d,…

Получаем:

an = a1 + (n – 1)d

Например:
Найдём a7, если известно, что a1 = 5, d = 3.
По формуле n-го члена получаем: a7 = a1 + 6d = 5 + 6 · 3 = 23

п.3. Свойства арифметической прогрессии

Свойство 1. Линейность

Арифметическая прогрессия является линейной функцией f(n) = kn + b:

an = dn + (a1 – d)

с угловым коэффициентом k = d и свободным членом b = a1 – d.

Свойство 1

Свойство 1

При d > 0 прогрессия линейно возрастает

При d < 0 прогрессия линейно убывает

Следствие: любую арифметическую прогрессию можно задать формулой: $$ mathrm{ a_n=dn+b, ninmathbb{N}, binmathbb{R}, dinmathbb{R}} $$ где d, b – некоторые числа.

Свойство 2. Признак арифметической прогрессии

Для того чтобы числовая последовательность была арифметической прогрессией необходимо и достаточно, чтобы каждый её член, начиная со второго, был средним арифметическим предыдущего и последующего членов: $$ mathrm{ left{a_nright} – text{арифметическая прогрессия} Leftrightarrow a_n=frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}, ninmathbb{N}, n geq 2 } $$ Следствие: каждый член прогрессии является средним арифметическим двух равноудалённых от него членов: $$ mathrm{ a_n=frac{a_{n-k}+a_{n+k}}{2}, ninmathbb{N}, ninmathbb{N}, n geq k+1 } $$

Например:
Найдём a9, если известно, что a7 = 10, a11 = 15
По следствию из признака арифметической прогрессии: (mathrm{a_9=frac{a_7+a_{11}}{2}=frac{10+15}{2}=12,5})

Свойство 3. Равенство сумм индексов

Если {an} – арифметическая прогрессия, то из равенства сумм индексов следует равенство сумм членов: $$ mathrm{ m+k=p+q Rightarrow a_m+a_k=a_p+a_q } $$ Следствие: сумма членов, равноудалённых от концов прогрессии, является постоянной величиной: $$ mathrm{ a_1 + a_n=a_2+a_{n-1}=a_3+a_{n-2}=… } $$

Например:
Найдём a6, если известно, что a2 = 5, a4 = 10, a8 = 20
По равенству сумм индексов a2 + a8 = a4 + a6
Откуда a6 = a2 + a8 – a4 = 5 + 20 – 10 = 15

п.4. Сумма первых n членов арифметической прогрессии

Сумма первых n членов арифметической прогрессии равна произведению среднего арифметического её крайних членов и количества членов: $$mathrm{ S_n=frac{a_1+a_n}{2}n} $$

Если учесть, что an = a1 + d(n – 1), получаем ещё одну формулу для суммы: $$mathrm{ S_n=frac{2a_1+d(n-1)}{2}n} $$

Например:
Найдём сумму первых 100 натуральных чисел: 1 + 2 +…+ 100
В этом случае a1 = 1, a100 = 100, n = 100
(mathrm{ S_{100}=frac{1+100}{2}cdot 100=5050})

п.5. Примеры

Пример 1. Найдите первый член и разность арифметической прогрессии, если:
а) a7 = 10, a15 = 42
Найдем разность данных членов: a15 – a7 = (a1 + 14d) – (a1 + 6d) = 8d
Получаем разность прогрессии: 42 – 10 = 8d ⇒ d = 32 : 8 = 4
7-й член: a7 = a1 + 6d = a1 + 6 · 4 = 10 ⇒ a1 = 10 – 24 = –14
Ответ: a1 = –14, d = 4

б) a10 = 95, S10 = 500
Сумма прогрессии: (mathrm{S_{10}=frac{a_1+a_{10}}{2}cdot 10Rightarrow 500=(a_1+95)cdot 5Rightarrow a_1+95=100Rightarrow a_1=5})
10-й член: (mathrm{a_{10}=a_1+9dRightarrow95=5+9dRightarrow 9d=90Rightarrow d=10})
Ответ: a1 = 5, d = 10

Пример 2. Найдите сумму первых 100 нечётных натуральных чисел.
Чему равно последнее слагаемое этой суммы?
Ищем сумму (mathrm{underbrace{1+3+5+…}_{100 text{слагаемых}}})
По условию a1 = 1, d = 2, n = 100. Получаем:
(mathrm{S_{100}=frac{2a_1+d(n-1)}{2}n=frac{2cdot 1+2cdot 99}{2}cdot 100=10000})
Формула n-го члена данной прогрессии: (mathrm{a_n=a_1+d(n-1)=dn+(a_1-d)=2n-1})
100-й член (mathrm{a_{100}=2cdot 100-1=199})
Ответ: S100 = 10000, a100 = 199

Пример 3*. Сколько членов арифметической прогрессии 10, 16, 22, … находится между числами 110 и 345?
По условию a1 = 10, d = 16 – 10 = 6
Формула n-го члена данной прогрессии an = a1 + d(n – 1) = dn + (a1 – d) = 6n + 4
Заданные числа могут быть членами данной прогрессии или находиться по «соседству» с ними. Подставим их в формулу для n-го члена: begin{gather*} mathrm{ 6k+4=110Rightarrow 6k=106Rightarrow k=17frac23Rightarrow 17lt klt 18 }\ mathrm{ 6m+4=345Rightarrow 6m=341Rightarrow m=56frac56Rightarrow 56lt mlt 57 } end{gather*} Ближайший сосед справа к 100 – это a18 = 6 · 18 + 4 = 112, k = 18
Ближайший сосед слева к 345 – это a56 = 6 · 56 + 4 = 340, m = 56
Свойство 1
Количество членов прогрессии в заданном интервале:

n = m – k + 1 = 56 – 18 + 1 = 39

Ответ: 39

Пример 4. Одиннадцатый член арифметической прогрессии равен 7.
Найдите сумму её первых 21 членов.
По свойству суммы индексов: a11 + a11 = a1 + a21
Откуда a1 + a21 = 2a11 = 14
Искомая сумма: (mathrm{S_{21}=frac{a_1+a_{21}}{2}cdot 21=frac{14}{2}cdot 21=147})
Ответ: 147

Пример 5. Величины углов выпуклого пятиугольника образуют арифметическую прогрессию. Найдите третий член этой прогрессии.
Сумма углов выпуклого пятиугольника S5 = 180° · (5 – 2) = 540°
Если углы образуют арифметическую прогрессию, то: $$ mathrm{ S_5=frac{a_1+a_5}{2}cdot 5=540^circRightarrow a_1+a_5=216^circ } $$ По свойству суммы индексов: a3 + a3 = a1 + a5
Откуда: (mathrm{a_3=frac{a_1+a_5}{2}=108^circ})
Ответ: 108°

Пример 6. При каких значениях x числа x2 – 11, 2x2 + 29, x4 – 139 в заданной последовательности являются членами арифметической прогрессии?
Для последовательных членов получаем уравнение:

a2 – a1 = a3 – a2
(2x2 + 29) – (x2 – 11) = (x4 – 139) – (2x2 + 29)
x4 – 3x2 – 208 = 0 ⇒ (x2 + 13)(x2 – 16) = 0 ⇒ x2 = 16 ⇒ x = ±4

Ответ: x = ±4

Пример 7. Сумма первых трёх членов убывающей арифметической прогрессии равна 9, а сумма их квадратов равна 99. Найдите седьмой член прогрессии.
По условию d < 0 и: $$ left{ begin{array}{ l } mathrm{a_1+a_2+a_3=9} & \ mathrm{a_1^2+a_2^2+a_3^2=99} & end{array}right. $$ Используем свойство прогрессии: (mathrm{a_2=frac{a_1+a_3}{2}}). Получаем из первого уравнения:

3a2 = 9 ⇒ a_2 = 3

Тогда a1 = a2 – d = 3 – d, a3 = a2 + d = 3 + d. Подставляем во второе уравнение:

(3 – d)2 + 32 + (3 + d)2 = 99
9 – 6d + d2 + 9 + 9 + 6d + d2 = 99
2d2 = 72 ⇒ d2 = 36 ⇒ d = ±6

Выбираем отрицательное значение d = –6
1-й член прогрессии: a1 = a2 – d = 3 + 6 = 9
7-й член прогрессии: a7 = a1 + 6d = 9 + 6(–6) = –27
Ответ: x = –27

Источник

Для нахождения любого члена (его часто называют n-й член) арифметической прогрессии используют универсальную формулу:

Формула n-го члена арифметической прогресии

{a_n=a_1+(n-1)cdot d}

a1 – первый член прогрессии,

d – разность прогрессии (разница между членами прогрессии),

n – номер члена.

Пример нахождения члена арифметической прогрессии

Задача 1

Найдите 10-й член арифметической прогрессии 1; 3; 5…

Решение

Первый член прогрессии a1 = 1.

Разность прогрессии можно найти, если вычесть из второго члена первый. В нашем случае d = a2 – a1 = 3 – 1 = 2.

Искомый член прогрессии имеет номер 10, т. е. n = 10. Подставим значения в формулу и получим результат:

a_n=a_1+(n-1)cdot d = 1+(10-1)cdot 2 = 1+18 = 19

Ответ: 19

Ответ легко проверить с помощью калькулятора – проверить . А чтобы найти сумму членов прогрессии используйте калькулятор.

Источник

Арифметическая прогрессия — коротко о главном

Определение арифметической прогрессии:

Арифметическая прогрессия — это числовая последовательность, в которой разница между соседними числами одинакова и равна ( displaystyle d).

Например:

  • ( {{a}_{1}}=3)
  • ( displaystyle {{a}_{2}}=3+d=7~Rightarrow d=7-3=4)
  • ( displaystyle {{a}_{3}}=7+4=11) и т.д.

Арифметическая прогрессия бывает возрастающей (( displaystyle d>0)) и убывающей (( displaystyle d<0)).

Формула нахождения n-ого члена арифметической прогрессии:

( {{a}_{n}}={{a}_{1}}+dleft( n-1 right)) , где ( displaystyle n)– количество чисел в прогрессии.

Как найти член прогрессии, если известны его соседние члены:

( {{text{a}}_{text{n}}}=frac{{{text{a}}_{text{n}+1}}+{{text{a}}_{text{n}-1}}}{2}) — где ( displaystyle n) – количество чисел в прогрессии.

Сумма членов арифметической прогрессии:

1-й способ: ( {{S}_{n}}=frac{left( {{a}_{1}}+{{a}_{n}} right)cdot n}{2}), где ( displaystyle n) – количество значений.

2-й способ: ( displaystyle {{s}_{n}}=frac{2{{a}_{1}}+dleft( n-1 right)}{2}cdot n), где ( displaystyle n) – количество значений.

Числовая последовательность

Итак, сядем и начнем писать какие-нибудь числа. Например: ( displaystyle 4,text{ }7,text{ }-8,text{ }13,text{ }-5,text{ }-6,text{ }0,text{ }ldots )

Писать можно любые числа, и их может быть сколько угодно (в нашем случае их ( displaystyle 7)). Сколько бы чисел мы не написали, мы всегда можем сказать, какое из них первое, какое – второе и так далее до последнего, то есть, можем их пронумеровать.

Это и есть пример числовой последовательности.

Числовая последовательность – это множество чисел, каждому из которых можно присвоить уникальный номер.

Например, для нашей последовательности:

Присвоенный номер характерен только для одного числа последовательности. Иными словами, в последовательности нет трех вторых чисел. Второе число (как и ( displaystyle n)-ное число) всегда одно.

Число с номером ( displaystyle n) называется ( displaystyle n)-ным членом последовательности.

Всю последовательность мы обычно называем какой-нибудь буквой (например, ( displaystyle a)), и каждый член этой последовательности – той же буквой с индексом, равным номеру этого члена: ( displaystyle {{a}_{1}},text{ }{{a}_{2}},text{ }…,text{ }{{a}_{10}},text{ }…,text{ }{{a}_{n}}).

Арифметическая прогрессия — определения

Допустим, у нас есть числовая последовательность, в которой разница между соседствующими числами одинакова и равна d.

Например:

( begin{array}{l}{{a}_{1}}=3\{{a}_{2}}=3+d=7~~~Rightarrow ~d=7-3=4\{{a}_{3}}=7+4=11end{array})

Такая числовая последовательность называется арифметической прогрессией.

Термин «прогрессия» был введен римским автором Боэцием еще в 6 веке и понимался в более широком смысле, как бесконечная числовая последовательность.

Название «арифметическая» было перенесено из теории непрерывных пропорций, которыми занимались древние греки.

Арифметическая прогрессия – это числовая последовательность, каждый член которой равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом. Это число называется разностью арифметической прогрессии и обозначается d.

Попробуй определить, какие числовые последовательности являются арифметической прогрессией, а какие нет:

  • ( displaystyle 3;text{ }6;text{ }9;text{ }12;text{ }15;text{ }17ldots )
  • ( displaystyle 1;text{ }12;text{ }23;text{ }34;text{ }45text{ }ldots )
  • ( displaystyle -5;text{ }-1;text{ }3;text{ }7;text{ }11;text{ }15ldots )
  • ( displaystyle -6;text{ }5;text{ }17;text{ }28;text{ }39ldots )

Разобрался? Сравним наши ответы:

Является арифметической прогрессией – 2, 3.

Не является арифметической прогрессией – 1, 4.

Вернемся к заданной прогрессии (( displaystyle 3;text{ }7;text{ }11;text{ }15;text{ }19ldots )) и попробуем найти значение ее 6-го члена.

Существует два способа его нахождения.

Нахождения n-ого члена арифметической прогрессии

Способ I

Мы можем прибавлять к предыдущему значению числа прогрессии ( d=4) , пока не дойдем до ( displaystyle 6)-го члена прогрессии. Хорошо, что суммировать нам осталось немного – всего три значения:

( begin{array}{l}{{a}_{4}}=11+4=15\{{a}_{5}}=15+4=19\{{a}_{6}}=19+4=23end{array})

Итак, 6-ой член описанной арифметической прогрессии равен 23.

Способ II

А что если нам нужно было бы найти значение ( displaystyle 140)-го члена прогрессии? Суммирование заняло бы у нас не один час, и не факт, что мы не ошиблись бы при сложении чисел.

А теперь очень важно! Чтобы облегчить себе работу, нужно найти закономерность, потом описать ее формулой и потом пользоваться этой формулой, чтобы вычислять в разы быстрее.

Это и есть математика!

Важно научиться находить закономерности, а потом уже запоминать формулы. Потому что, даже если ты забудешь формулу, ты сможешь ее вывести. И, самое главное, ты сможешь проверить подходит та или иная формула для решения задачи, а не просто подставлять их как обезьянка. 

Давай попробуем вывести формулу. Это легко и тебе понравится! Чтобы найти закономерности, надо пользоваться тем, что мы знаем.

Что мы знаем?

  • У нас есть арифметическая прогрессия: 3, 7, 11, 15, 19 и т.д.
  • У нас есть номера прогрессии: 1, 2, 3, 4, 5, и т.д.
  • Мы все время прибавляем 4, значит разница прогрессии d = 4.

Чему равен 2-й член арифметической прогрессии? Попробуй сначала написать числами, а потом в более общем виде, заменив числа буквами.

7=3+4 или 7=3+d

Закономерности пока не видны. Ок. Идем дальше. Чему равен 3-й член арифметической прогрессии?

11=3+4+4 или 11=3+d+d

Похоже что вырисовывается закономерность! Чтобы узнать значение 2-го члена прогрессии, мы прибавляли одно d, а чтобы узнать 3-го — два d! Иными словами, нам надо прибавлять каждый раз на одно d меньше, чем номер члена прогрессии.

Давай проверим? Чему равен 4-й член арифметической прогрессии?

15=3+4+4+4 или 15=3+d+d+d

Бинго! Закономерность подтверждается. Теперь осталось описать закономерность формулой и пользоваться ею!

Если нам нужно найти значение числа прогрессии с порядковым номером n, мы прибавляем к первому члену арифметической прогрессии число d, которое на одно значение меньше порядкового номера искомого числа. 

А теперь запомни эту формулу и используй ее для быстрого счета. А если забудешь — то легко выведешь.

Например, посмотрим, из чего складывается значение ( displaystyle 4)-го члена данной арифметической прогрессии:

( begin{array}{l}{{a}_{4}}={{a}_{1}}+dleft( 4-1 right)\{{a}_{4}}=3+4left( 4-1 right)=15end{array})

Попробуй самостоятельно найти таким способом значение члена ( displaystyle n=6) данной арифметической прогрессии.

Рассчитал? Сравни свои записи с ответом:

( begin{array}{l}{{a}_{6}}={{a}_{1}}+dleft( 6-1 right)\{{a}_{6}}=3+4left( 6-1 right)=3+4cdot 5=3+20=23end{array})

Обрати внимание, что у тебя получилось точно такое же число, как и в предыдущем способе, когда мы последовательно прибавляли ( displaystyle d) к предыдущему значению членов арифметической прогрессии.

Попробуем «обезличить» данную формулу – приведем ее в общий вид и получим:

( {{a}_{n}}={{a}_{1}}+dleft( n-1 right)) – уравнение арифметической прогрессии.

Кстати, таким образом мы можем посчитать и ( displaystyle 140)-ой член данной арифметической прогрессии (да и ( displaystyle 169)-ый тоже можем, да и любой другой вычислить совсем несложно).

Попробуй посчитать значения ( displaystyle 140)-го и ( displaystyle 169)-го членов, применив полученную формулу.

( begin{array}{l}…\{{a}_{140}}={{a}_{1}}+dleft( 140-1 right)\{{a}_{140}}=3+4left( 140-1 right)=3+4cdot 139=3+556=559\{{a}_{169}}={{a}_{1}}+dleft( 169-1 right)\{{a}_{169}}=3+4left( 169-1 right)=3+4cdot 168=3+672=675end{array})

Возрастающие и убывающие арифметические прогрессии

Возрастающие – прогрессии, в которых каждое последующее значение членов больше предыдущего. 

Например:

( displaystyle begin{array}{l}4;text{ }6;text{ }8;text{ }10;text{ }12\-2;text{ }4;text{ }10;text{ }16;text{ }20end{array})

Убывающие – прогрессии, в которых каждое последующее значение членов меньше предыдущего. 

Например:

( displaystyle begin{array}{l}12;text{ }10;text{ }8;text{ }6;text{ }4\4;text{ }0;text{ }-4;text{ }-8;text{ }-12.end{array})

Выведенная формула применяется в расчете членов как в возрастающих, так и в убывающих членах арифметической прогрессии.

Проверим это на практике.

Нам дана арифметическая прогрессия, состоящая из следующих чисел: ( displaystyle 13;text{ }8;text{ }4;text{ }0;text{ }-4.)

Проверим, какое получится ( displaystyle 4)-ое число данной арифметической прогрессии, если при его расчете использовать нашу формулу:

( {{text{a}}_{text{n}}}={{text{a}}_{1}}+text{d}left( text{n}-1 right))

Заметим, что так как арифметическая прогрессия убывающая, то значение ( displaystyle d) будет отрицательным, ведь каждый последующий член меньше предыдущего.

( displaystyle d=8-13=-5)

( {{a}_{4}}={{a}_{1}}+dleft( 4-1 right))

Так как ( displaystyle d=-5), то:
( {{a}_{4}}=13-5left( 4-1 right)=13-15=-2)

Таким образом, мы убедились, что формула действует как в убывающей, так и в возрастающей арифметической прогрессии.

Попробуй самостоятельно найти ( displaystyle 140)-ой и ( displaystyle 169)-ый члены этой арифметической прогрессии.

Сравним полученные результаты:

( begin{array}{l}{{a}_{140}}={{a}_{1}}+dleft( 140-1 right)\{{a}_{140}}=13-5left( 140-1 right)=13-5cdot 139=13-695=-682\{{a}_{169}}={{a}_{1}}+dleft( 169-1 right)\{{a}_{169}}=13-5left( 169-1 right)=13-5cdot 168=13-840=-827end{array})

Свойство арифметической прогрессии (или как найти n-й член прогрессии, зная соседние)

Усложним задачу — выведем свойство арифметической прогрессии.

Допустим, нам дано такое условие:

( displaystyle 4;text{ }x;text{ }12ldots ) — арифметическая прогрессия, найти значение ( displaystyle x).

Легко, скажешь ты и начнешь считать по уже известной тебе формуле:

( {{a}_{n}}={{a}_{1}}+dleft( n-1 right))

Пусть ( displaystyle {{a}_{1}}=4), а ( displaystyle {{a}_{3}}=12), тогда:

( displaystyle begin{array}{l}{{a}_{3}}={{a}_{1}}+dleft( 3-1 right)\12=4+2d~~Rightarrow ~d=frac{12-4}{2}=4\{{a}_{2}}=x={{a}_{1}}+d\{{a}_{2}}=x=4+4=8end{array})

Абсолютно верно.

Получается, мы сначала находим ( displaystyle d), потом прибавляем его к первому числу и получаем искомое ( displaystyle x).

Если прогрессия представлена маленькими значениями, то ничего сложного в этом нет, а если нам в условии даны числа ( displaystyle 4024;~x;6072)?

Согласись, есть вероятность ошибиться в вычислениях.

А теперь подумай, можно ли решить эту задачу в одно действие с использованием какой-либо формулы?

Конечно да, и именно ее мы попробуем сейчас вывести.

Обозначим искомый член арифметической прогрессии как ( {{text{a}}_{text{n}}}), формула его нахождения нам известна – это та самая формула, выведенная нами в начале:

( {{a}_{n}}={{a}_{1}}+dleft( n-1 right)), тогда:

  • предыдущий член прогрессии это ( {{a}_{n}}-d): ( {{a}_{n-1}}={{a}_{1}}+dleft( n-1 right)-d)
  • последующий член прогрессии это ( {{a}_{n}}+d): ( {{a}_{n+1}}={{a}_{1}}+dleft( n-1 right)+d)

Просуммируем предыдущий и последующий члены прогрессии:

( {{a}_{1}}+dleft( n-1 right)-d+{{{a}}_{1}}+text{d}left( text{n}-1 right)+text{d}=2left( {{a}_{1}}+dleft( n-1 right) right)text{ }!!~!!text{ })

Получается, что сумма предыдущего и последующего членов прогрессии – это удвоенное значение члена прогрессии, находящегося между ними.

Иными словами, чтобы найти значение члена прогрессии при известных предыдущих и последовательных значениях, необходимо сложить их и разделить на ( 2).

( {{a}_{n}}=frac{{{a}_{n+1}}+{{a}_{n-1}}}{2}) – свойство членов арифметической прогрессии.

Попробуем посчитать значение ( x), используя выведенную формулу:

( x=frac{4+12}{2}=8)

Все верно, мы получили это же число. Закрепим материал.

Посчитай значение ( x) для прогрессии ( displaystyle 4024;~x;6072) самостоятельно, ведь это совсем несложно.

( x=frac{4024+6072}{2}=5048)

Молодец! Ты знаешь о прогрессии почти все!

Осталось узнать только одну формулу, которую по легендам без труда вывел для себя один из величайших математиков всех времен, «король математиков» – Карл Гаусс…

Сумма первых n членов арифметической прогрессии

Когда Карлу Гауссу было 9 лет, учитель, занятый проверкой работ учеников других классов, задал на уроке следующую задачу:

«Сосчитать сумму всех натуральных чисел от ( displaystyle 1) до ( displaystyle 40) (по другим источникам до ( displaystyle 100)) включительно».

Каково же было удивление учителя, когда один из его учеников (это и был Карл Гаусс) через минуту дал правильный ответ на поставленную задачу, при этом, большинство одноклассников смельчака после долгих подсчетов получили неправильный результат…

Юный Карл Гаусс заметил некоторую закономерность, которую без труда заметишь и ты.

Допустим, у нас есть арифметическая прогрессия, состоящая из ( displaystyle 6)-ти членов: ( displaystyle 6;text{ }8;text{ }10;text{ }12;text{ }14;text{ }16…)

Нам необходимо найти сумму данных ( displaystyle 6) членов арифметической прогрессии.

Конечно, мы можем вручную просуммировать все значения, но что делать, если в задании необходимо будет найти сумму ( displaystyle 100) ее членов, как это искал Гаусс?

Изобразим заданную нам прогрессию. Присмотрись внимательно к выделенным числам и попробуй произвести с ними различные математические действия.

Попробовал? Что ты заметил? Правильно! Их суммы равны

А теперь ответь, сколько всего наберется таких пар в заданной нам прогрессии?

Конечно, ровно половина всех чисел, то есть ( frac{6}{2}=3).

Исходя из того, что сумма двух членов арифметической прогрессии равна ( 22), а подобных равных пар ( 3), мы получаем, что общая сумма равна:

( displaystyle Stext{ }=text{ }22cdot 3text{ }=text{ }66).

Таким образом, формула для суммы первых ( displaystyle n) членов любой арифметической прогрессии будет такой:

( displaystyle {{S}_{n}}=frac{left( {{a}_{1}}+{{a}_{n}} right)cdot n}{2}), где ( displaystyle n) – количество значений.

В некоторых задачах нам неизвестен ( displaystyle n)-й член, но известна разность прогрессии. Попробуй подставить в формулу суммы, формулу ( displaystyle n)-го члена. ( {{a}_{n}}={{a}_{1}}+dleft( n-1 right))

Что у тебя получилось?

( displaystyle {{S}_{n}}=frac{2{{a}_{1}}+dleft( n-1 right)}{2}cdot n), где ( displaystyle n) – количество значений.

Молодец! Теперь вернемся к задаче, которую задали Карлу Гауссу: посчитай самостоятельно, чему равна сумма ( displaystyle 40) чисел, начиная от ( displaystyle 1)-го, и сумма ( displaystyle 100) чисел начиная от ( displaystyle 1)-го.

Сколько у тебя получилось?

У Гаусса получилось, что сумма ( displaystyle 100 ) членов равна ( displaystyle 5050), а сумма ( displaystyle 40 ) членов ( displaystyle 820).

Так ли ты решал?

  • ( {{S}_{40}}=frac{left( 1+40 right)cdot 40}{2}=frac{41cdot 40}{2}=frac{1640}{2}=820)
  • ( {{S}_{100}}=frac{left( 1+100 right)cdot 100}{2}=frac{101cdot 100}{2}=5050)

На самом деле формула суммы членов арифметической прогрессии была доказана древнегреческим ученым Диофантом еще в 3 веке, да и на протяжении всего этого времени остроумные люди вовсю пользовались свойствами арифметической прогрессии.

Например, представь Древний Египет и самую масштабную стройку того времени – строительство пирамиды… На рисунке представлена одна ее сторона.

Где же здесь прогрессия скажешь ты? Посмотри внимательно и найди закономерность в количестве песчаных блоков в каждом ряде стены пирамиды.

Чем не арифметическая прогрессия? Посчитай, сколько всего блоков необходимо для строительства одной стены, если в основание кладется ( displaystyle 6) блочных кирпичей.

Надеюсь, ты не будешь считать, водя пальцем по монитору, ты же помнишь последнюю формулу и все, что мы говорили об арифметической прогрессии?

В данном случае прогрессия выглядит следующим образом:

( displaystyle 6;text{ }5;text{ }4;text{ }3;text{ }2; 1).

Разность арифметической прогрессии ( displaystyle ~=text{ }dtext{ }=text{ }-1).

Количество членов арифметической прогрессии ( displaystyle=6).

Подставим в последние формулы наши данные (посчитаем количество блоков 2 способами).

Разность арифметической прогрессии ( displaystyle ~=text{ }dtext{ }=text{ }-1).

Количество членов арифметической прогрессии ( displaystyle=6).

Подставим в последние формулы наши данные (посчитаем количество блоков 2 способами).

Способ 1.

( begin{array}{l}{{S}_{n}}=frac{left( {{a}_{1}}+{{a}_{n}} right)cdot n}{2}\~~{{S}_{6}}=frac{left( 6+1 right)cdot 6}{2}=frac{7cdot 6}{2}=21\~end{array})

Способ 2.

( displaystyle {{S}_{n}}=frac{2{{a}_{1}}+dleft( n-1 right)}{2}cdot n)

( {{S}_{n}}=frac{2cdot 6+1left( 6-1 right)}{2}cdot 6=frac{12+5cdot 6}{2}=frac{7cdot 6}{2}=frac{42}{2}=21)

А теперь можно и на мониторе посчитать: сравни полученные значения с тем количеством блоков, которое есть в нашей пирамиде.

Сошлось?

Молодец, ты освоил сумму ( displaystyle n)-ных членов арифметической прогрессии.

Конечно, из ( displaystyle 6) блоков в основании пирамиду не построишь, а вот из ( displaystyle 60)?

Попробуй рассчитать, сколько необходимо песчаных кирпичей, чтобы построить стену с таким условием.

Справился?

Верный ответ – ( displaystyle 1830) блоков:

( begin{array}{l}{{S}_{n}}=frac{left( {{a}_{1}}+{{a}_{n}} right)cdot n}{2}\{{S}_{60}}=frac{left( 60+1 right)cdot 60}{2}=frac{61cdot 60}{2}=61cdot 30=1830.end{array})

Источник

Добавить комментарий