1. Дано: арифметическая прогрессия а1 = 2; d = -3.
Найти: а10 = ?; S10 = ?.
По формуле нахождения n-го члена, имеем:
аn = а1 + d(n – 1).
а10 = 2 + (-3) * 9 = -25.
Сумма первых десяти членов данной прогрессии найдем по формуле:
Sn = ((а1 + аn) * n) / 2 = ((2 + (-25)) * 10) / 2 = -115.
Ответ: а10 = -25; S10 = -115.
2. Дано: геометрическая прогрессия b1 = 4; q = 1/2.
Найти b6 = ?; S6 = ?.
По формуле нахождения n-го члена геометрической прогрессии, имеем:
bn = b1 * qn – 1.
b6 = 4 * (1/2)5 = 0.125.
По формуле суммы Sn = (bn * q – b1) / (q – 1), определим S6:
S6 = (0,125 * 1/2 – 4) / (1/2 – 1) = 7,875.
Ответ: b6 = 0,125; S6 = 7,875.
Геометрическая прогрессия
- Понятие геометрической прогрессии
- Формула n-го члена геометрической прогрессии
- Свойства геометрической прогрессии
- Сумма первых n членов геометрической прогрессии
- Примеры
п.1. Понятие геометрической прогрессии
Геометрической прогрессией называют числовую последовательность, каждый член которой bn, начиная со второго, равен произведению предыдущего члена bn-1 и некоторого постоянного числа q: $$ mathrm{ b_n=b_{n-1}q, ninmathbb{N}, n ge 2, qne 0, qne 1, b_1ne 0 } $$ Число q называют знаменателем геометрической прогрессии.
Например:
1. Последовательность 1, 3, 9, 27, … является геометрической прогрессией с b1 = 1, q = 3.
2. Последовательность (mathrm{9, -3, 1, -frac13, frac19,…}) является геометрической прогрессией с b1 = 9, (mathrm{q=-frac13}).
п.2. Формула n-го члена геометрической прогрессии
По определению геометрической прогрессии мы получаем рекуррентную формулу для n-го члена: bn = bn-1q. Из неё можно вывести аналитическую формулу:
b2 = b1q, b3 = b2q = (b1q)q = b1q2, b4 = b3q = (b1q2)q = b1q3,…
Получаем:
bn = b1qn-1
Например:
Найдём b5, если известно, что (mathrm{b_1=frac12, q=2}).
По формуле n-го члена получаем: (mathrm{b_5=b_1q^4=frac12cdot 2^4=2^3=8})
п.3. Свойства геометрической прогрессии
Свойство 1. Экспоненциальный рост/падение
Геометрическая прогрессия с положительными первым членом и знаменателем b1 > 0, q > 0 является показательной функцией вида f(n) = kqn: $$ mathrm{ b_n=frac{b_1}{q}q^n } $$
При b1 > 0, q > 1 прогрессия экпоненциально растёт
При b1 > 0, 0 < q < 1 прогрессия экпоненциально падает
Свойство 2. Признак геометрической прогрессии
Для того чтобы числовая последовательность была геометрической прогрессией необходимо и достаточно, чтобы каждый её член, начиная со второго, был средним геометрическим предыдущего и последующего членов: $$ mathrm{ left{b_nright} – text{геометрическая прогрессия} Leftrightarrow b_n=sqrt{b_{n-1}b_{n+1}}, ninmathbb{N}, n geq 2 } $$ Следствие: аждый член прогрессии является средним геометрическим двух равноудалённых от него членов: $$ mathrm{ b_n=sqrt{b_{n-k}b_{n+k}}, ninmathbb{N}, kinmathbb{N}, n geq k+1 } $$
Например:
Найдём b9, если известно, что (mathrm{b_7=frac{1}{16}, b_{11}=4})
По следствию из признака геометрической прогрессии: (mathrm{b_9=sqrt{b_7b_{11}}=sqrt{frac{1}{16}cdot 4}=frac12})
Свойство 3. Равенство сумм индексов
Если {bn} – геометрическая прогрессия, то из равенства сумм индексов следует равенство произведений членов: $$ mathrm{ m+k=p+q Rightarrow b_mb_k=b_pb_q } $$ Следствие: произведение членов, равноудалённых от концов прогрессии, является постоянной величиной: $$ mathrm{ b_1b_n = b_2b_{n-1}=b_3b_{n-2}=… } $$
Например:
Найдём b6, если известно, что b2 = 5, b4 = 10, b8 = 40
По равенству сумм индексов b2b8 = b4b6
Откуда (mathrm{b_6=frac{b_2b_8}{b_4}=frac{5cdot 40}{10}=20})
п.4. Сумма первых n членов геометрической прогрессии
Сумма первых n членов геометрической прогрессии равна $$mathrm{ S_n=frac{b_nq-b_1}{q-1}, qne 1} $$
Если учесть, что bn = b1qn-1, получаем ещё одну формулу для суммы: $$mathrm{ S_n=b_1frac{q^n-1}{q-1}, qne 1} $$
Например:
Найдём сумму первых 10 степеней двойки: 2 + 22 + 23 + … + 210
В этом случае b1 = 2, q = 2, n = 10
Получаем: (mathrm{ S_{10}=2cdot frac{2^{10}-1}{2-1}=2cdot (1024-1)=2046})
п.5. Примеры
Пример 1. Найдите знаменатель геометрической прогрессии и сумму первых 10 членов, если:
а) b5 = 9, b8 = 243
Найдём отношение $$ mathrm{ frac{b_8}{b_5}=frac{b_1cdot q^7}{b_1cdot q^4}=q^3, frac{b_8}{b_5}=frac{243}{9}=27=3^3, q^3=3^3Rightarrow q = 3 } $$ Найдём 1-й член: $$ mathrm{ b_1=frac{b_5}{q^4}=frac{9}{3^4}=frac{3^2}{3^4}=frac{1}{3^2}=frac19 } $$ Сумма: $$ mathrm{ S_{10}=b_1frac{q^{10}-1}{q-1}=frac{3^{10}-1}{9cdot 2}=frac{29524}{9}=3280frac49 } $$ Ответ: q = 3, S10 = (mathrm{3280frac49})
б) b1 = 3, bn = 96, Sn = 189
По формуле суммы: $$ mathrm{ S_{n}=frac{b_nq-b_1}{q-1}Rightarrow 189 =frac{96q-3}{q-1}Rightarrow 189(q-1)=96q-3Rightarrow 93q=186Rightarrow q = 2 } $$ Сумма: $$ mathrm{ S_{10}=b_1frac{q^{10}-1}{q-1}=3cdot frac{2^{10}-1}{2-1}=3cdot 1023=3069 } $$ Ответ: q = 2, S10 = 3069
Пример 2. Между числами (mathrm{40frac12 text{и} 5frac13}) вставьте такие четыре числа, чтобы они вместе с данными числами образовали геометрическую прогрессию.
По условию (mathrm{b_1=40frac12, b_6=5frac13}) $$ mathrm{ frac{b_6}{b_1}=q^5, frac{b_6}{b_1}=5frac13 : 40frac12=frac{16}{3} : frac{81}{2}=frac{16}{3} cdot frac{2}{81}=frac{32}{243}=frac{2^5}{3^5}=left(frac23right)^5 } $$ Знаменатель (mathrm{q=frac23})
Находим промежуточные члены прогрессии: begin{gather*} mathrm{ b_2=b_1q=40frac12cdotfrac23=frac{81}{2}cdot frac23=27, b_3=b_2q=27cdotfrac23=18, }\ mathrm{ b_4=b_3q=18cdotfrac23=12, b_5=b_4q=12cdotfrac23=8 } end{gather*} Ответ: 27, 18, 12 и 8
Пример 3. Найдите первый и последний члены геометрической прогрессии, если: $$ left{ begin{array}{ l } mathrm{b_4-b_2=0,6} & \ mathrm{b_5-b_3=1,2} & \ mathrm{S_n=12,7} & end{array}right. $$ Заметим, что b4=b2q2, b5=b3q2. Для первых двух уравнений получаем: $$ left{ begin{array}{ l } mathrm{b_2q^2-b_2=0,6} & \ mathrm{b_3q^2-b-3=1,2} & end{array}right. Rightarrow left{ begin{array}{ l } mathrm{b_2(q^2-1)=0,6} & \ mathrm{b_3(q^2-1)=1,2} & end{array}right. $$ Делим второе уравнение на первое: $$ mathrm{ frac{b_3(q^2-1)}{b_2(q^2-1)}=frac{1,2}{0,6}Rightarrowfrac{b_3}{b_2}=q=2 } $$ Подставляем найденное значение знаменателя прогрессии в первое уравнение: $$ mathrm{ b_2(2^2-1)=0,6 Rightarrow b_2=frac{0,6}{3}=0,2 Rightarrow b_1=frac{b_2}{q}=frac{0,2}{2}=0,1 } $$ Для третьего уравнения можем записать: begin{gather*} mathrm{ S_n=b_1frac{q^n-1}{q-1}=0,1cdotfrac{2^n-1}{2-1}=frac{2^n-1}{10}=12,7 Rightarrow 2^n-1=127 Rightarrow }\ mathrm{ Rightarrow 2^n=128=2^7 Rightarrow n=7 } end{gather*} 7-й член b7 = b1q6 = 0,1 · 26 = 6,4
Ответ: b1 = 0,1; b7 = 6,4
Пример 4. В геометрической прогрессии, все члены которой положительны, сумма первого и второго членов равна 48, а сумма третьего и четвёртого членов равна 12. Найдите значение n, при котором Sn = 63. $$ text{По условию} left{ begin{array}{ l } mathrm{b_1+b_2=48} & \ mathrm{b_3+b_4=12} & \ mathrm{S_n=63} & end{array}right. $$ Заметим, что b3 = b1q2, b_4=b_2q2. Второе уравнение можно переписать в виде: $$ mathrm{ b_3+b_4=b_1q^2+b2q^2=underbrace{(b_1+b_2)}_{=48} q^2=12 Rightarrow q^2=frac{12}{48}=frac14 Rightarrow q=frac12 } $$ Берём положительное значение q, т.к. по условию все члены положительны.
Из первого уравнения $$ mathrm{ b_1+b_2=b_1(1+q)=48 Rightarrow b_1=frac{48}{1+frac12}=48cdotfrac23=32 } $$ Для третьего уравнения можем записать: begin{gather*} mathrm{ S_n=b_1frac{q^n-1}{q-1}=b_1frac{1-q^n}{1-q}=32cdotfrac{1-frac{1}{2^n}}{1-frac12}=64left(1-frac{1}{2^n}right)=63 }\ mathrm{ 64-frac{64}{2^n}=63 Rightarrow 1=frac{2^6}{2^n} Rightarrow n=6 } end{gather*} Ответ: 6
Пример 5. Бактерия, попав в организм, делится надвое каждые 20 мин. Сколько бактерий будет в организме через сутки?
Сутки – это 24 · 60 = 1440 мин, или n = 1440 : 20 = 72 цикла деления.
По условию необходимо найти
N = N0 · 2n, где N0 = 1
N = 272 = 4 722 366 482 869 645 213 696 ≈ 4,7 · 1021
Ответ: 4,7 · 1021 бактерий
Геометрическая прогрессия – это числовая последовательность, в которой все ее члены расположены в порядке, подчиняющемся определенной закономерности. Формула геометрической прогрессии определяет, что каждое следующее число будет получено умножением предыдущего на знаменатель прогрессии – постоянное число, не меняющее свое значение в пределах одной последовательности.
bn=b1 q(n-1)
В зависимости от знаменателя прогрессии, выписанные члены геометрической прогрессии могут давать различный вид ряда. Если знаменатель является числом положительным, больше 1 (k > 1), тогда он будет увеличивать значение каждого следующего числа. Такая прогрессия будет монотонно возрастать на протяжении всего ряда. Если знаменатель – положительный, но находится между 0 и 1 (0 < k < 1), тогда он будет каждый раз уменьшать значение следующего члена, и такая прогрессия будет называться бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.
Если для все возрастающей последовательности, можно только найти сумму первых членов геометрической прогрессии, то сумма членов бесконечно убывающей прогрессии будет равна вполне конкретному числовому значению, которое может рассчитать калькулятор. Третий случай представлен отрицательным знаменателем (k < 0), тогда прогрессия становится знакочередующейся, то есть первые члены геометрической прогрессии определяют порядок знаков для всей последовательности чисел. Как знаменатель геометрической прогрессии, так и первый член геометрической прогрессии по определению не могут быть равны нулю.
Существует всего несколько формул геометрической прогрессии, из которых можно вывести все необходимые для решения конкретных задач:
• Формула первого члена геометрической прогрессии;
• Формула n члена геометрической прогрессии;
• Формула суммы первых членов геометрической прогрессии;
• Формула суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии;
• Формула знаменателя геометрической прогрессии.
Таким образом, если условиями задана геометрическая прогрессия с хотя бы двумя параметрами из всех выше представленных, для нее можно будет найти любую из всех прочих переменных.
Геометрическая прогрессия — это числовая последовательность b1, b2, … , bn, …, для которой для каждого натурального n выполняется равенство:
bn+1 = bn ⋅ q
где q – это знаменатель геометрической прогрессии, q ≠ 0 и bn ≠ 0.
Пример: последовательность чисел 3, 12, 48, 192, 768, … является геометрической прогрессией со знаменателем q = 4.
Знаменатель определяет вид геометрической прогрессии:
- Если q > 0, тогда все члены геометрической прогрессии имеют один и тот же знак, равный знаку b1
Пример: последовательность чисел 1, 2, 4, 8, 16, … со знаменателем q = 2.
- Если q < 0, тогда знаки членов геометрической прогрессии чередуются
Пример: последовательность чисел 2, –6, 18, –54, 162, … со знаменателем q = –3.
- Если –1 < q < 1, тогда геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей
Пример: последовательность чисел 400, 200, 100, 50, 25, … со знаменателем q = 0.5.
Основные формулы геометрической прогрессии
Знаменатель геометрической прогрессии
Знаменатель геометрической прогрессии можно вычислить с помощью текущего и следующего членов геометрической прогрессии по формуле:
q = bn+1 / bn
Члены геометрической прогрессии
Общая формула для вычисления n-ого члена геометрической прогрессии по первому члену и знаменателю:
bn = b1 ⋅ qn – 1
Следующий член геометрической прогрессии можно найти по предыдущему члену и знаменателю:
bn+1 = bn ⋅ q
Предыдущий член геометрической прогрессии можно найти по следующему члену и знаменателю:
bn-1 = bn / q
Также член геометрической прогрессии можно найти, если известны следующий и предыдущий члены:
bn = √bn-1 ⋅ bn+1, где n > 1
Сумма геометрической прогрессии
Сумма первых n членов геометрической прогрессии равна
Sn = b1 ⋅ (1 — qn) / (1 — q), где q ≠ 1
Также сумму можно вычислить, используя другую формулу:
Sn = (b1 — bn ⋅ q) / (1 — q), где q ≠ 1
Решение задач на геометрическую прогрессию
Рассмотрим несколько типичных задач, посвященных геометрической прогрессии.
Задача 1:
Дана геометрическая прогрессия 3, 6, 12, … . Найти 8-ой член геометрической прогрессии и сумму первых 10 членов.
Решение:
b1 = 3
q = 6 / 3 = 2
b8 = b1 ⋅ q7 = 3 ⋅ 27 = 3 ⋅ 128 = 384
S10 = b1 ⋅ (1 — q10) / (1 — q) = 3 ⋅ (1 — 210) / (1 — 2) = 3 ⋅ (1 — 1024) / (–1) = 3069
Ответ: 384 и 3069
Задача 2:
Число 486 является членом геометрической прогрессии 2, 6, 18, … . Найдите его номер.
Решение:
Применив формулу для вычисления n-ого члена геометрической прогрессии, можно получить n:
486 = 2 ⋅ 3n – 1
243 = 3n – 1
35 = 3n – 1
n — 1 = 5
n = 6
Ответ: 6
Задача 3:
Сумма n первых членов геометрической прогрессии равна –93. b1 = –3, q = 2. Найти n.
Решение:
Чтобы вычислить число членов геометрической прогрессии, можно воспользоваться формулой ее суммы:
Sn = b1 ⋅ (1 — qn) / (1 — q)
–93 = –3 ⋅ (1 — 2n) / (1 — 2)
–93 = –3 ⋅ (1 — 2n) / (–1)
–31 = 1 — 2n
2n = 32
n = 5
Ответ: 5
Задача нахождения n-го члена геометрической прогрессии встречается довольно часто. Для вас мы создали онлайн сервис, позволяющий сделать это мгновенно в режиме онлайн. Просто введите данные и получите результат.
Формула n члена геометрической прогрессии
{b_n=b_1 cdot q^{n-1}}
b1 – первый член прогрессии,
bn – член прогрессии под номером n,
q – знаменатель прогрессии
Пример нахождения члена геометрической прогрессии
Задача 1
Найдите 7-й член геометрической прогрессии 2; 4; 8; …
Решение
Первый член прогрессии b1 = 2.
Разность прогрессии можно найти, если разделить второй ее член на первый. В нашем случае q = b2 / b1 = 4 / 2 = 2.
Искомый член прогрессии имеет номер 7, т. е. n = 7. Подставим значения в формулу и получим результат:
b_n=b_1 cdot q^{n-1} = 2 cdot 2^{7-1} = 2 cdot 2^{6} = 2 cdot 64 = 128
Ответ: 128
Ответ легко проверить с помощью калькулятора – проверить .
На нашем сайте вы так же можете рассчитать сумму и произведение членов геометрической прогрессии.
