Как найти абсциссу четырехугольника

Как найти абсциссу четырехугольника

Точки O(0,0), являются вершинами четырехугольника. Найдите абсциссу точки P пересечения его диагоналей.

Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.

Точки O(0; 0), A(10; 8), B(8; 2), C(2; 6) являются вершинами четырехугольника. Найдите абсциссу точки P пересечения его диагоналей.

Противоположные стороны попарно равны, четырехугольник является параллелограммом, значит, точка P является серединой отрезка CB. Поэтому координаты точки P вычисляются следующим образом:

ГДЗ учебник по алгебре 7 класс Мордкович. §6. Координатная плоскость. Номер №6.28.

Воспользовавшись рис. 6, найдите:

а) координаты вершин изображенного четырехугольника;
б) координаты точек, в которых стороны четырехугольника пересекают оси координат;
в) координаты вершин четырехугольника, расположенного выше нарисованного на 4 единицы;
г) координаты вершин четырехугольника, расположенного левее нарисованного на 3 единицы.

Решение а

координаты вершин изображенного четырехугольника:
(− 3 ;− 4 ),( 5 ;− 4 ),( 3 ; 4 ),(− 1 ; 4 ).

Решение б

координаты точек, в которых стороны четырехугольника пересекают оси координат:
(− 2 ; 0 ),( 0 ;− 4 ),( 4 ; 0 ),( 0 ; 4 ).

Решение в

координаты вершин четырехугольника, расположенного выше нарисованного на 4 единицы:
(− 3 ; 0 ),( 5 ; 0 ),( 3 ; 8 ),(− 1 ; 8 ).

Решение г

координаты вершин четырехугольника, расположенного левее нарисованного на 3 единицы:
(− 6 ;− 4 ),( 2 ;− 4 ),( 0 ; 4 ),(− 4 ; 4 ).

Прямоугольная система координат. Ось абсцисс и ординат

О чем эта статья:

Прямоугольная декартова система координат

Французский математик Рене Декарт предложил вместо геометрических построений использовать математические расчеты. Так появился метод координат, о котором мы сейчас расскажем.

Координаты — это совокупность чисел, которые определяют положение какого-либо объекта на прямой, плоскости, поверхности или в пространстве. Например, координаты школы тоже можно записать числами — они помогут понять, где именно находится наша школа. С точками на плоскости та же история.

Координатой можно назвать номер столика в кафе, широту и долготу на географической карте, положение точки на числовой оси и даже номер телефона друга. Проще говоря, когда мы обозначаем какой-то объект набором букв, чисел или других символов, тем самым мы задаем его координаты.

Прямоугольная система координат — это система координат, которую изобрел математик Рене Декарт, ее еще называют «декартова система координат». Она представляет собой два взаимно перпендикулярных луча с началом отсчета в точке их пересечения.

Чтобы найти координаты, нужны ориентиры, от которых будет идти отсчет. На плоскости в этой роли выступят две числовые оси.

Чертеж начинается с горизонтальной оси, которая называется осью абсцисс и обозначается латинской буквой x (икс). Записывают ось так: Ox. Положительное направление оси абсцисс обозначается стрелкой слева направо.

Затем проводят вертикальную ось, которая называется осью ординат и обозначается y (игрек). Записывают ось Oy. Положительное направление оси ординат показываем стрелкой снизу вверх.

Оси взаимно перпендикулярны, а значит угол между ними равен 90°. Точка пересечения является началом отсчета для каждой из осей и обозначается так: O. Начало координат делит оси на две части: положительную и отрицательную.

• Координатные оси — это прямые, образующие систему координат.
• Ось абсцисс Ox — горизонтальная ось.
• Ось ординат Oy — вертикальная ось.
• Координатная плоскость — плоскость, в которой находится система координат. Обозначается так: x0y.
• Единичный отрезок — величина, которая принимается за единицу при геометрических построениях. В декартовой системе координат единичный отрезок отмечается на каждой из осей. Длина отрезка показывает сколько раз единичный отрезок и его части укладываются в данном отрезке.

Единичные отрезки располагаются справа и слева от оси Oy, вверх и вниз от оси Oy. Числовые значения на оси Oy располагаются слева или справа, на оси Ox — внизу под ней. Чаще всего единичные отрезки двух осей соответствуют друг другу, но бывают задачи, где они не равны.

Оси координат делят плоскость на четыре угла — четыре координатные четверти.

У каждой из координатных четвертей есть свой номер и обозначение в виде римской цифры. Отсчет идет против часовой стрелки:

• верхний правый угол — первая четверть I;
• верхний левый угол — вторая четверть II;
• нижний левый угол — третья четверть III;
• нижний правый угол — четвертая четверть IV;

Чтобы узнать координаты точки в прямоугольной системе координат, нужно опустить от точки перпендикуляр на каждую ось и посчитать количество единичных отрезков от нулевой отметки до опущенного перпендикуляра. Координаты записывают в скобках, первая по оси Ох, вторая по оси Оу.

• Если обе координаты положительны, то точка находится в первой четверти координатной плоскости.
• Если координата х отрицательная, а координата у положительная, то точка находится во второй четверти.
• Если обе координаты отрицательны, то число находится в третьей четверти.
• Если координата х положительная, а координата у отрицательная, то точка лежит в четвертой четверти.

Курсы подготовки к ОГЭ по математике от Skysmart придадут уверенности в себе и помогут освежить знания перед экзаменом.

Координаты точки в декартовой системе координат

Для начала отложим точку М на координатной оси Ох. Любое действительное число x_M равно единственной точке М, которая располагается на данной прямой. При этом начало отсчета координатных прямых всегда ноль.

Каждая точка М, которая расположена на Ох, равна действительному числу x_M. Этим действительным числом и является ноль, если точка М расположена в начале координат, то есть на пересечении Оx и Оу. Если точка удалена в положительном направлении, то число длины отрезка положительно и наоборот.

Число x_M — это координата точки М на заданной координатной прямой.

Пусть точка будет проекцией точки M_x на Ох, а M_y на Оу. Значит, через точку М можно провести перпендикулярные осям Оx и Оу прямые, после чего получим соответственные точки пересечения M_x и M_y.Тогда у точки M_x на оси Оx есть соответствующее число x_M, а M_y на Оу — y_M. Как это выглядит на координатных осях:

Каждой точке М на заданной плоскости в прямоугольной декартовой системе координат соответствует пара чисел (x_M, y_M), которые называются ее координатами. Абсцисса М — это x_M, ордината М — это y_M.

Обратное утверждение тоже верно: каждая пара (x_M, y_M) имеет соответствующую точку на плоскости.

[spoiler title=”источники:”]

http://reshalka.com/uchebniki/7-klass/algebra/mordkovich/250

http://skysmart.ru/articles/mathematic/Os-abstsiss-i-ordinat

[/spoiler]

Ответ:

х=5

Пошаговое объяснение:

Вариант 1 – общее решение:

Для нахождения точки Р  пересечения диагоналей СВ и АО, составим уравнения прямых, СВ и АО.

Каноническое уравнение прямой:

где (х₁, у₁) – координаты первой точки, (х₂, у₂) – координаты второй точки.

Уравнение прямой СВ:

Преобразуем к общему виду:

-4(х-2) = 6(у-6) ⇒ -4х+8-6у+36=0 ⇒ 2х+3у-22=0

Уравнение прямой АО:

Преобразуем к общему виду:

-8(х-10) = -10(у-8) ⇒ -8х+80+10у-80=0 ⇒ 4х-5у=0

Точкой пересечения будет результат решения системы полученных уравнений.

Умножим верхнюю часть системы на -2 и сложим уравнения:

-4х-6у+44+4х-5у=0

-11у=-44

у=4

Тогда: 4х-5*4=0 ⇒ х = 5

Вариант 2 – частный случай:

Рассмотрим фигуру, образованную точками АВОС.

Это – параллелограмм. Докажем это утверждение. Для этого нужно показать, что АВ║ОС и длина АВ = длине ОС (третий признак параллелограмма).

Вычислим векторы:

вектор АВ (8-10;2-8) = (-2;-6)

вектор ОС (2-0;6-0) = (2;6).

Значит вектор АВ = -1 * ОС (векторы параллельны)

Множитель “-1” показывает, что векторы равны по длине, но противоположно направлены.

Т.к. векторы  АВ║ОС и длина АВ = длине ОС, то АВОС – параллелограмм.

т. Р – точка пересечения диагоналей параллелограмма, поэтому делит диагональ АО пополам. Так как т.О лежит в начале координат, то величина абсциссы т. Р будет  в 2 раза меньше абсциссы т. А.

Тогда х=10:2=5

Найти абсциссу точки. Друзья! В этой статье для вас размещено ещё несколько заданий связанных с координатной плоскостью. Решение данного типа задач, входящих в состав ЕГЭ очень простенькое – решаются они практически сходу в течение минуты. Если вы забыли, что такое абсцисса и ордината, то посмотрите эту статью.

Суть рассматриваемых ниже задач такая – даны фигуры на плоскости, заданы координаты  вершин (не всех), необходимо определить абсциссу или ординату неизвестной вершины. Также имеются задачи на определение длины отрезка. Если у вас развито визуальное (зрительное) представление, то решение вы «увидите» сразу посмотрев на эскиз.

Если есть сложности с визуальным представлением фигур на координатной плоскости, то моя вам «универсальная» рекомендация – постройте фигуру по данным координатам на листе в клетку, далее вы без труда определите координаты (местонахождение)  вершины или оговоренной в условии точки и ответите на поставленный вопрос. Посмотрите, как это будет выглядеть такое построение:

Например, абсцисса и ордината точки Р (точка пересечения диагоналей параллелограмма) определяется без труда, соответственно 3 и 4. Рассмотрим задачи:

27673. Точки O (0;0), A (6;8), C (0;6) и B являются вершинами параллелограмма. Найдите ординату точки B.

Точка В смещена относительно точки О в положительном направлении по оси оУ на 2  единицы (также как и точка А смещена относительно точки С), значит её ордината будет равна  0 + 2 = 2.

Ответ: 2

27674. Точки O (0;0), A (6;8), B (4;2) и C являются вершинами параллелограмма. Найдите ординату точки C.

Ордината точки С равна длине стороны ОС. Известно, что противолежащие стороны параллелограмма равны, то есть ОС = АВ = 8 – 2 = 6.

Ответ: 6

Точки O (0;0), A (6;8), B (6;2), C (0;6) являются вершинами четырехугольника. Найдите абсциссу точки P пересечения его диагоналей.

Обратите внимание на то, что в условии сказано, что дан четырёхугольник, то есть как бы подразумевается, что это возможно это и не параллелограмм.

Но по координатам видно, что это не что иное, как параллелограмм.

*Для убедительности можно построить данную фигуру на координатной плоскости  на листе в клетку.

Известно, что точка пересечения диагоналей равноудалена от противолежащих сторон (лежит посередине). Поэтому абсцисса точки Р будет равна 6:2 = 3.

Ответ: 3

27677. Точки О(0;0), А(10;8), С(2;6) и В являются вершинами параллелограмма. Найдите абсциссу точки В.

Абсцисса точки В на 2 меньше абсциссы точки А (также как абсцисса точки О меньше абсциссы точки С), значит она равна 10 – 2 = 8.

Ответ: 8

27679 (80). Точки O (0;0), A (10;8), B (8;2) и C являются вершинами параллелограмма. Найдите абсциссу и ординату точки C.

Точка С смещена относительно точки О в положительном направлении по оси оХ на 2  единицы (также как и точка А смещена относительно точки В), значит её абсцисса равна  0 + 2 = 2.

Точка С смещена относительно точки О в положительном направлении по оси оУ на 6  единиц (также как и точка А смещена относительно точки В), значит её ордината равна шести.

Ответ: абсцисса равна 2, ордината равна 6.

27681 (2). Точки O (0;0), B (8;2), C (2;6) и A являются вершинами параллелограмма. Найдите абсциссу и  ординату точки A.

Точка А смещена относительно точки С в положительном направлении по оси оХ на 8 единиц (также как и точка В смещена относительно точки О), значит её абсцисса равна 2 + 8 = 10.

Точка А смещена относительно точки В в положительном направлении по оси оУ на 6 единиц (также как и точка С смещена относительно точки О), значит её ордината равна 2 + 6 = 8.

Ответ: Абсцисса точки А равна 10, ордината равна 8.

27683 (4). Точки O(0, 0), A(10, 8), B(8, 2), C(2, 6) являются вершинами четырехугольника. Найдите абсциссу и ординату точки P пересечения его диагоналей.

Можно использовать формулу координат середины отрезка. Формула:

Ответ: абсцисса равна 5, ордината равна 4.

27672. Точки O(0;0), B(6;2), C(0;6) и A являются вершинами параллелограмма. Найдите ординату точки A.

Посмотреть решение

27675. Точки O(0;0), A(6;8), B(6;2), C(0;6) являются вершинами четырехугольника. Найдите ординату точки P пересечения его диагоналей.

Посмотреть решение

27678. Точки O(0;0), A(10;8), C(2;6) и B являются вершинами параллелограмма. Найдите ординату точки B.

Посмотреть решение

27685. Точки О(0;0), А(6;8), В(8;2) являются вершинами треугольника. Найдите длину его средней линии CD, параллельной OA.

Рекомендация!

Можно использовать формулу координат середины отрезка, а затем зная их вычислить длину отрезка  по соответствующей формуле. Но будет проще и быстрее построить фигуру на координатной плоскости на листе в клетку и вычислить длину отрезка по теореме Пифагора.

Посмотреть решение

27686. Точки O(0;0), A(10;0), B(8;6), C(2;6) являются вершинами трапеции. Найдите длину ее средней линии DE.

Рекомендация!

Можно использовать формулы координат середины отрезка и затем длины отрезка или построить трапецию н листе в клетку, но в данном случае удобно воспользоваться формулой средней линии трапеции.

Посмотреть решение

На этом всё! Успеха Вам!

С уважением, Александр Крутицких.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.