Как найти абсциссу центра окружности заданной уравнением - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Как найти абсциссу центра окружности формула

Как найти координаты центр окружности??

Инструкция
1
Аналитически окружность задается уравнением вида (x-x0)²+(y-y0)²=R², где x0 и y0 − координаты центра окружности, R − ее радиус. Итак, центр окружности (x0;y0) здесь задан в явном виде.
2
Пример. Установите центр фигуры, заданной в декартовой системе координат уравнением (x-2)²+(y-5)²=25.
Решение. Данное уравнение является уравнением окружности. Ее центр имеет координаты (2;5). Радиус такой окружности равен 5.
3
Уравнение x²+y²=R² соответствует окружности с центром в начале координат, то есть, в точке (0;0). Уравнение (x-x0)²+y²=R² означает, что центр окружности имеет координаты (x0;0) и лежит на оси абсцисс. Вид уравнения x²+(y-y0)²=R² говорит о расположении центра с координатами (0;y0) на оси ординат.
4
Общее уравнение окружности в аналитической геометрии запишется как: x²+y²+Ax+By+C=0. Чтобы привести такое уравнение к выше обозначенному виду, надо сгруппировать члены и выделить полные квадраты: [x²+2(A/2)x+(A/2)²]+[y²+2(B/2)y+(B/2)²]+C-(A/2)²-(B/2)²=0. Для выделения полных квадратов, как можно заметить, требуется добавлять дополнительные величины: (A/2)² и (B/2)². Чтобы знак равенства сохранялся, эти же величины надо вычесть. Прибавление и вычитание одного и того же числа не меняет уравнения.
5
Таким образом, получается: [x+(A/2)]²+[y+(B/2)]²=(A/2)²+(B/2)²-C. Из этого уравнения уже видно, что x0=-A/2, y0=-B/2, R=√[(A/2)²+(B/2)²-C]. Кстати, выражение для радиуса можно упростить. Домножьте обе части равенства R=√[(A/2)²+(B/2)²-C] на 2. Тогда: 2R=√[A²+B²-4C]. Отсюда R=1/2·√[A²+B²-4C].
6
Окружность не может быть графиком функции в декартовой системе координат, так как, по определению, в функции каждому x соответствует единственное значение y, а для окружности таких «игреков» будет два. Чтобы убедиться в этом, проведите перпендикуляр к оси Ox, пересекающий окружность. Вы увидите, что точек пересечения две.
7
Но окружность можно представить как объединение двух функций: y=y0±√[R²-(x-x0)²]. Здесь x0 и y0, соответственно, представляют собой искомые координаты центра окружности. При совпадении центра окружности с началом координат объединение функций принимает вид: y=√[R²-x²].

Как найти абсциссу центра окружности

Найдите абсциссу центра окружности, описанной около треугольника, вершины которого имеют координаты

Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.

Найдите абсциссу центра окружности, описанной около треугольника, вершины которого имеют координаты (8; 0), (0; 6), (8; 6).

Треугольник является прямоугольным. Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, совпадает с серединой гипотенузы. Тогда координаты центра окружности:

Окружность с центром в начале координат

Мы уже разобрали с вами почти все типы заданий входящих в ЕГЭ связанных с координатной плоскостью, рекомендую посмотреть последнюю статью. Эта является её небольшим дополнением, принципы и подходы к решению те же. Рассмотрим задачи:

27693 (94). Какого радиуса должна быть окружность с центром в точке P (8;6), чтобы она касалась:

Окружность с центром в точке Р будет касаться оси абсцисс в точке с координатами (8;0) и её радиус будет равен шести (на эскизе изображена синим цветом).

Окружность с центром в точке Р будет касаться оси ординат в точке с координатами (0;6) и её радиус будет равен восьми (на эскизе изображена красным цветом).

27696 (97). Найдите абсциссу и ординату центра окружности, описанной около прямоугольника ABCD, вершины которого имеют координаты соответственно (–2;–2), (6;–2), (6;4), (–2;4).

Как известно, точка пересечения диагоналей прямоугольника и центр описанной около него окружности совпадают. *По свойству прямоугольника его центр равноудалён от его вершин и сторон.

То есть необходимо определить абсциссу и ординату точки пересечения диагоналей прямоугольника. Сделать это можно разными способами:

1. Найти координаты середины отрезка АС (или CD) по формуле.

2. Построить прямоугольник по данным координатам на листе в клетку, вместе с его диагоналями.

Воспользуемся вторым способом:

По эскизу видно, что центр прямоугольника имеет координаты (2;1). Таким образом, абсцисса центра окружности равна двум, а ордината равна единице.

27699 (700). Найдите абсциссу и ординату центра окружности, описанной около треугольника, вершины которого имеют координаты (8;0), (0;6), (8;6).

Данный треугольник является прямоугольным. О прямоугольном треугольнике и описанной около него окружности нам известно следующее:

Гипотенуза прямоугольного треугольника и диаметр описанной около него окружности совпадают.

Подробнее об этом изложено здесь (пункт 1).

*Данное свойство рекомендую запомнить раз и навсегда, пригодится при решении многих заданий.

Так как АВ является диаметром окружности, то её центр делит этот отрезок пополам. Опытный глаз сразу «увидит», что координаты этой точки (4;3).

Если не увидели, то постройте этот треугольник на листе в клетку по данным координатам и далее вы без труда определите как расположен центр окружности. Абсцисса равна четырём, ордината равна трём.

27692. Окружность с центром в начале координат проходит через точку P (8;6). Найдите ее радиус.

27695. Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольника ABCD, вершины которого имеют координаты соответственно (–2;–2), (6; –2), (6; 4), (–2; 4).

27698. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника, вершины которого имеют координаты (8;0), (0;6), (8;6).

Декартовы координаты точек плоскости. Уравнение окружности

Числовая ось

Прямоугольная декартова система координат на плоскости

Формула для расстояния между двумя точками координатной плоскости

Уравнение окружности на координатной плоскости

Числовая ось

Определение 1 . Числовой осью ( числовой прямой, координатной прямой ) Ox называют прямую линию, на которой точка O выбрана началом отсчёта (началом координат) (рис.1), направление

указано в качестве положительного направления и отмечен отрезок, длина которого принята за единицу длины.

Определение 2 . Отрезок, длина которого принята за единицу длины, называют масштабом .

Каждая точка числовой оси имеет координату , являющуюся вещественным числом. Координата точки O равна нулю. Координата произвольной точки A , лежащей на луче Ox , равна длине отрезка OA . Координата произвольной точки A числовой оси, не лежащей на луче Ox , отрицательна, а по абсолютной величине равна длине отрезка OA .

Прямоугольная декартова система координат на плоскости

Определение 3 . Прямоугольной декартовой системой координат Oxy на плоскости называют две взаимно перпендикулярных числовых оси Ox и Oy с одинаковыми масштабами и общим началом отсчёта в точке O , причём таких, что поворот от луча Ox на угол 90° до луча Oy осуществляется в направлении против хода часовой стрелки (рис.2).

Замечание . Прямоугольную декартову систему координат Oxy , изображённую на рисунке 2, называют правой системой координат , в отличие от левых систем координат , в которых поворот луча Ox на угол 90° до луча Oy осуществляется в направлении по ходу часовой стрелки. В данном справочнике мы рассматриваем только правые системы координат, не оговаривая этого особо.

Если на плоскости ввести какую-нибудь систему прямоугольных декартовых координат Oxy , то каждая точка плоскости приобретёт две координаты – абсциссу и ординату, которые вычисляются следующим образом. Пусть A – произвольная точка плоскости. Опустим из точки A перпендикуляры AA₁ и AA₂ на прямые Ox и Oy соответственно (рис.3).

Определение 4 . Абсциссой точки A называют координату точки A₁ на числовой оси Ox , ординатой точки A называют координату точки A₂ на числовой оси Oy .

Обозначение . Координаты (абсциссу и ординату) точки A в прямоугольной декартовой системе координат Oxy (рис.4) принято обозначать A (x ; y) или A = (x ; y).

Замечание . Точка O , называемая началом координат , имеет координаты O (0 ; 0) .

Определение 5 . В прямоугольной декартовой системе координат Oxy числовую ось Ox называют осью абсцисс , а числовую ось Oy называют осью ординат (рис. 5).

Определение 6 . Каждая прямоугольная декартова система координат делит плоскость на 4 четверти ( квадранта ), нумерация которых показана на рисунке 5.

Определение 7 . Плоскость, на которой задана прямоугольная декартова система координат, называют координатной плоскостью .

Замечание . Ось абсцисс задаётся на координатной плоскости уравнением y = 0 , ось ординат задаётся на координатной плоскости уравнением x = 0.

Формула для расстояния между двумя точками координатной плоскости

Утверждение 1 . Расстояние между двумя точками координатной плоскости

вычисляется по формуле

Доказательство . Рассмотрим рисунок 6.

| A₁A₂| 2 =
= ( x₂ – x₁) 2 + ( y₂ – y₁) 2 .

(1)

что и требовалось доказать.

Уравнение окружности на координатной плоскости

Поскольку расстояние от любой точки окружности до центра равно радиусу, то, в соответствии с формулой (1), получаем:

Уравнение (2) и есть искомое уравнение окружности радиуса R с центром в точке A₀ (x₀ ; y₀) .

Следствие . Уравнение окружности радиуса R с центром в начале координат имеет вид

Как найти абсциссу центра окружности формула

Найдите абсциссу центра окружности, описанной около треугольника, вершины которого имеют координаты

Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.

Нахождение центра и радиуса окружности по общему уравнению окружности

Этот калькулятор проверяет, является ли введенное уравнение общим уравнением окружности, и вычисляет координаты центра и радиуса окружности, если это возможно. Описание способа решения подобных задач находится под калькулятором

Нахождение центра и радиуса окружности по общему уравнению окружности

Уравнение НЕ является общим уравнением окружности

Приведение общего уравнения окружности к стандартному виду

Калькулятор выше можно применять для решения задач на уравнение окружности. Чаще всего вы имеете дело с уравнением окружности, выраженном в так называемом стандартном виде

Из этого уравнения достаточно легко найти центр окружности – это будет точка с координатами (a,b), и радиус окружности – это будет квадратный корень из правой части уравнения.

Однако, если возвести в квадрат выражения в скобках и перенести правую часть налево, то уравнение станет выглядеть примерно так:

Это – уравнение окружности в общем виде. Здесь радиус и центр окружности уже не выделены явно, и в задачах обычно просят их найти именно по общему виду уравнения окружности.

Способ решения такого рода задач следующий:

Перегруппируем слагаемые уравнения

Для каждой скобки применим метод выделения полного квадрата (подробнее смотри тут – Метод выделения полного квадрата), то есть заменим выражение вида на выражение вида . С учетом того, что коэффициенты при квадратах равны единице, а свободный член можно принять за ноль, формула для вычисления h и k упрощаются.

Как видим, выражение в конце это уравнение окружности в стандартном виде, из которого уже легко получить и координаты центра окружности и ее радиус. Если же справа получилось отрицательное число – значит заданное вначале уравнение не является уравнением окружности (бывают задачи и на такую проверку). Калькулятор тоже проверяет это условие.

Для решения обратной задачи – нахождения общего уравнения окружности по координатам центра и радиусу – можно использовать калькулятор Уравнение окружности по заданному центру и радиусу в различных формах

9 класс. Геометрия. Метод координат. Уравнение окружности.

Оглавление
Занятия
Обсуждение
О курсе

Вопросы

Задай свой вопрос по этому материалу!

Поделись с друзьями

Комментарии преподавателя

Решение задач

Выясните, какие из данных уравнений являются уравнениями окружности.

Найдите координаты центра и радиус каждой окружности.

а)

б)

в)

г) ;

д)

Рассмотрим каждое уравнение в отдельности.

а) – окружность,

б) – окружность,

в)
Выделим полный квадрат:

уравнение не является уравнением окружности.

г) .
Выделим полный квадрат:
– окружность,

д)
Выделим полный квадрат:
– окружность,

На окружности, заданной уравнением , найдите точки

а) с абсциссой –4; б) с ординатой 3.

Решение: построим окружность с центром (0;0) радиуса 5 (рис. 1).

Рис. 1. Иллюстрация к задаче

а) Координаты точек окружности с абсциссой –4 являются решениями системы:

Получаем точку и точку

Рис. 2. Иллюстрация к задаче

б) Координаты точек окружности с ординатой 3 являются решениями системы:

Рис. 3. Иллюстрация к задаче

Получаем точку и ту же самую точку

Ответ: .

Запишите уравнение окружности радиуса r с центром в точке А, если

а)

б)

в)

г)

а) Окружность
Ответ:

б) Окружность .
Ответ:

в) Окружность
Ответ:

г) Окружность
Ответ:

Напишите уравнение окружности с центром в начале координат, проходящей через точку

Рис. 4. Иллюстрация к задаче

Найдем радиус, как расстояние ОВ:

Запишем уравнение окружности с центром О(0;0):

Для контроля проверим, удовлетворяют ли полученному уравнению координаты точки В:

значит, точка В лежит на окружности.

Ответ:

Напишите уравнение окружности, проходящей через точку А(1;3), если известно, что центр окружности лежит на оси абсцисс, а радиус равен 5.

Сколько существует таких окружностей?

Дано: А(1;3) – точка окружности,

Найти: уравнение окружности (С; r=5).

Решение: центр искомой окружности удален от точки А(1;3) на расстояние 5, значит, он лежит на окружности с центром в точке А(1;3) радиуса 5, но он еще лежит и на оси Ох. Построим окружность (А(1;3); r=5) (рис. 5).

Рис. 5. Иллюстрация к задаче

Точек, удовлетворяющих нашим условиям, на оси Ох две:

Для определения координат этих точек составим систему:

Запишем уравнения искомых окружностей:

окружность (

окружность ( и построим эти окружности (рис. 6):

Рис. 6. Иллюстрация к задаче

Ответ: две окружности.

Напишите уравнение окружности, проходящей через две заданные точки и В(0;9), если известно, что центр окружности лежит на оси ординат.

Дано: окружности ;

oкружности .

записать уравнение окружности.

Рис. 7. Иллюстрация к задаче

Запишем уравнение окружности так как окружность проходит через точки А и В, то их координаты удовлетворяют уравнению окружности:

Подставим найденные значения в уравнение.

Ответ:

Напишите уравнение окружности с центром в точке А(6;0), проходящей через точку В(-3;2).

Дано: А(6;0) – центр,

окружности.

Найти: уравнение окружности.

Рис. 8. Иллюстрация к задаче

Находим радиус как расстояние АВ:

Запишем уравнение окружности:

Ответ:

Заключение

Итак, мы рассмотрели серию задач по теме «Окружность» и в каждой задаче использовали уравнение окружности.

На следующем уроке мы выведем уравнение прямой.

[spoiler title=”источники:”]

http://planetcalc.ru/9507/

http://www.kursoteka.ru/course/2507/lesson/8218/unit/21023/5

[/spoiler]

Источник

Нахождение центра и радиуса окружности по общему уравнению окружности

Уравнение НЕ является общим уравнением окружности

Приведение общего уравнения окружности к стандартному виду

Из этого уравнения достаточно легко найти центр окружности — это будет точка с координатами (a,b), и радиус окружности — это будет квадратный корень из правой части уравнения.

Это — уравнение окружности в общем виде. Здесь радиус и центр окружности уже не выделены явно, и в задачах обычно просят их найти именно по общему виду уравнения окружности.

Способ решения такого рода задач следующий:

Перегруппируем слагаемые уравнения

Для каждой скобки применим метод выделения полного квадрата (подробнее смотри тут — Метод выделения полного квадрата), то есть заменим выражение вида на выражение вида . С учетом того, что коэффициенты при квадратах равны единице, а свободный член можно принять за ноль, формула для вычисления h и k упрощаются.

Как видим, выражение в конце это уравнение окружности в стандартном виде, из которого уже легко получить и координаты центра окружности и ее радиус. Если же справа получилось отрицательное число — значит заданное вначале уравнение не является уравнением окружности (бывают задачи и на такую проверку). Калькулятор тоже проверяет это условие.

Для решения обратной задачи — нахождения общего уравнения окружности по координатам центра и радиусу — можно использовать калькулятор Уравнение окружности по заданному центру и радиусу в различных формах

Декартовы координаты точек плоскости. Уравнение окружности

Числовая ось

Определение 2 . Отрезок, длина которого принята за единицу длины, называют масштабом .

Прямоугольная декартова система координат на плоскости

Замечание . Точка O , называемая началом координат , имеет координаты O (0 ; 0) .

Формула для расстояния между двумя точками координатной плоскости

Утверждение 1 . Расстояние между двумя точками координатной плоскости

вычисляется по формуле

Доказательство . Рассмотрим рисунок 6.

| A₁A₂| 2 =
= ( x₂ – x₁) 2 + ( y₂ – y₁) 2 .

(1)

что и требовалось доказать.

Уравнение окружности на координатной плоскости

Уравнение (2) и есть искомое уравнение окружности радиуса R с центром в точке A₀ (x₀ ; y₀) .

Следствие . Уравнение окружности радиуса R с центром в начале координат имеет вид

Как определить абсциссу центра окружности заданной уравнением

Найдите абсциссу центра окружности, описанной около треугольника, вершины которого имеют координаты

Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.

источники:

http://www.resolventa.ru/demo/him/diagege.htm

http://ege.sdamgia.ru/problem?id=59755

Источник

bold{mathrm{Basic}}

bold{alphabetagamma}

bold{mathrm{ABGamma}}

bold{sincos}

bold{gedivrightarrow}

bold{overline{x}spacemathbb{C}forall}

bold{sumspaceintspaceproduct}

bold{begin{pmatrix}square&square\square&squareend{pmatrix}}

bold{H_{2}O}

square^{2}

x^{square}

sqrt{square}

nthroot[msquare]{square}

frac{msquare}{msquare}

log_{msquare}

theta

infty

int

frac{d}{dx}

ge	le	cdot	div	x^{circ}	(square)	\|square\|	(f:circ:g)	f(x)	ln	e^{square}
left(squareright)^{‘}	frac{partial}{partial x}	int_{msquare}^{msquare}	lim	sum	sin	cos	tan	cot	csc	sec

alpha	beta	gamma	delta	zeta	eta	theta	iota	kappa	lambda	mu
nu	xi	pi	rho	sigma	tau	upsilon	phi	chi	psi	omega

A	B	Gamma	Delta	E	Z	H	Theta	K	Lambda	M
N	Xi	Pi	P	Sigma	T	Upsilon	Phi	X	Psi	Omega

sin	cos	tan	cot	sec	csc	sinh	cosh	tanh	coth	sech
arcsin	arccos	arctan	arccot	arcsec	arccsc	arcsinh	arccosh	arctanh	arccoth	arcsech

begin{cases}square\squareend{cases}	begin{cases}square\square\squareend{cases}	=	ne	div	cdot	times	<	>	le	ge
(square)	[square]	▭:longdivision{▭}	times twostack{▭}{▭}	+ twostack{▭}{▭}	– twostack{▭}{▭}	square!	x^{circ}	rightarrow	lfloorsquarerfloor	lceilsquarerceil

overline{square}	vec{square}	in	forall	notin	exist	mathbb{R}	mathbb{C}	mathbb{N}	mathbb{Z}	emptyset
vee	wedge	neg	oplus	cap	cup	square^{c}	subset	subsete	superset	supersete

int	intint	intintint	int_{square}^{square}	int_{square}^{square}int_{square}^{square}	int_{square}^{square}int_{square}^{square}int_{square}^{square}	sum	prod
lim	lim _{xto infty }	lim _{xto 0+}	lim _{xto 0-}	frac{d}{dx}	frac{d^2}{dx^2}	left(squareright)^{‘}	left(squareright)^{”}	frac{partial}{partial x}

(2times2)	(2times3)	(3times3)	(3times2)	(4times2)	(4times3)	(4times4)	(3times4)	(2times4)	(5times5)
(1times2)	(1times3)	(1times4)	(1times5)	(1times6)	(2times1)	(3times1)	(4times1)	(5times1)	(6times1)	(7times1)

mathrm{Радианы}	mathrm{Степени}	square!	(	)	%	mathrm{очистить}
arcsin	sin	sqrt{square}	7	8	9	div
arccos	cos	ln	4	5	6	times
arctan	tan	log	1	2	3	–
pi	e	x^{square}	0	.	bold{=}	+

Подпишитесь, чтобы подтвердить свой ответ

Войдите, чтобы сохранять заметки

Войти

Номер Строки

Примеры

центр:x^2+y^2=1
центр:x^2-6x+8y+y^2=0
центр:(x-2)^2+(y-3)^2=16
центр:x^2+(y+3)^2=16
центр:(x-4)^2+(y+2)^2=25
Показать больше

Описание

Пошаговое вычисление центра окружности по заданному уравнению

circle-function-center-calculator

Блог-сообщения, имеющие отношение к Symbolab

Practice, practice, practice

Math can be an intimidating subject. Each new topic we learn has symbols and problems we have never seen. The unknowing…

Введите Задачу

Сохранить в блокнот!

Войти

Источник

Если окружность задана уравнением вида

$[{(x - a)^2} + {(y - b)^2} = {R^2},]$

найти центр (a;b) и радиус R такой окружности несложно.

Примеры.

Определить по уравнению окружности координаты её центра и радиуса:

$[1){(x - 3)^2} + {(y - 7)^2} = 4;]$

$[2){(x + 2)^2} + {(y - 5)^2} = 1;]$

$[3){x^2} + {(y + 3)^2} = 9;]$

$[4){(x - 6)^2} + {y^2} = 5;]$

$[5){x^2} + {y^2} = 11.]$

Решение:

$[1){(x - 3)^2} + {(y - 7)^2} = 4;]$

a=3, b=7, R²=4.

Таким образом, центр данной окружности — точка (3;7), радиус R=2.

$[2){(x + 2)^2} + {(y - 5)^2} = 1;]$

a=-2, b=5, R²=1. Окружность с центром в точке (-2;5) и радиусом 1.

$[3){x^2} + {(y + 3)^2} = 9;]$

a=0, b=-3, R²=9.

Центр окружности — (0;-3), радиус R=3.

$[4){(x - 6)^2} + {y^2} = 5;]$

a=6, b=0, R²=5.

Центр — в точке (6;0), радиус R=√5.

$[5){x^2} + {y^2} = 11.]$

Это уравнение задаёт окружность с центром в начале координат. Центр — O(0;0), радиус R=√11.

Чтобы найти центр и радиус окружности, заданной уравнением вида

$[{x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0,]$

нужно дополнить его до полных квадратов, чтобы привести к привычному виду.

Для этого сначала сгруппируем слагаемые

$[({x^2} - 2ax) + ({y^2} - 2by) + c = 0,]$

затем прибавим и вычтем квадрат второго слагаемого из формулы квадрата разности (2ax- удвоенное произведение первого слагаемого на второе. Первое — x, второе — a)

$[({x^2} - 2ax + {a^2}) - {a^2} + ({y^2} - 2by + {b^2}) - {b^2} + c = 0.]$

Отсюда

$[{(x - a)^2} + {(y - b)^2} + c - {a^2} - {b^2} = 0,]$

$[{(x - a)^2} + {(y - b)^2} = {a^2} + {b^2} - c.]$

При a²+b²-c>0 это уравнение задаёт окружность с радиусом

$[R = sqrt {{a^2} + {b^2} - c} .]$

При a²+b²-c=0 уравнению удовлетворяют координаты единственной точки (a;b).

При a²+b²-c<0 нет ни одной точки, удовлетворяющей этому уравнению.

Примеры.

Найти координаты центра и радиус окружности:

$[1){x^2} + {y^2} + 10x - 6y - 15 = 0;]$

$[2){x^2} + {y^2} - 5x + 4 = 0;]$

$[3)3{x^2} + 3{y^2} - 4x - 9y + 4 = 0.]$

Решение:

$[1){x^2} + {y^2} + 10x - 6y - 15 = 0]$

Группируем слагаемые

$[({x^2} + 10x) + ({y^2} - 6y) - 15 = 0]$

Выделяем в уравнении полные квадраты. В первых скобках удвоенное слагаемое 10x представляем как 10x=2·a·5 (чтобы получить 2ab для формулы a²+2ab+b²=(a+b)²). Получается, что b=5. Если прибавить и вычесть b², результат не изменится:

$[{x^2} + 10x = ({x^2} + 2 cdot x cdot 5 + {5^2}) - {5^2}.]$

Аналогично

$[{y^2} - 6y = ({y^2} - 2 cdot y cdot 3 + {3^2}) - {3^2}.]$

Таким образом,

$[({x^2} + 2 cdot x cdot 5 + {5^2}) - {5^2} + ({y^2} - 2 cdot y cdot 3 + {3^2}) - {3^2} - 15 = 0]$

$[{(x + 5)^2} + {(y - 3)^2} - 25 - 9 - 15 = 0]$

$[{(x + 5)^2} + {(y - 3)^2} = 49]$

Центром этой окружности является точка (-5;3), радиус R=7.

$[2){x^2} + {y^2} - 5x + 4 = 0]$

$[({x^2} - 5x) + {y^2} + 4 = 0]$

$[({x^2} - 2 cdot x cdot 2,5 + {2,5^2}) - {2,5^2} + {y^2} + 4 = 0]$

$[{(x - 2,5)^2} + {y^2} + 4 - 6,25 = 0]$

$[{(x - 2,5)^2} + {y^2} = 2,25]$

Центр окружности — точка (2,5;0), радиус R=1,5.

$[3)3{x^2} + 3{y^2} - 4x - 9y + 4 = 0]$

Разделим обе части уравнения на 3:

$[{x^2} + {y^2} - frac{4}{3}x - 3y + frac{4}{3} = 0]$

Далее — аналогично

$[({x^2} - frac{4}{3}x) + ({y^2} - 3y) + frac{4}{3} = 0]$

$[({x^2} - 2 cdot x cdot frac{2}{3} + {(frac{2}{3})^2}) - {(frac{2}{3})^2} + ({y^2} - 2 cdot y cdot frac{3}{2} + {(frac{3}{2})^2}) - ]$

$[ - {(frac{3}{2})^2} + frac{4}{3} = 0]$

$[{(x - frac{2}{3})^2} + {(y - frac{3}{2})^2} - frac{{{4^{backslash 4}}}}{9} - frac{{{9^{backslash 9}}}}{4} + frac{{{4^{backslash 12}}}}{3} = 0]$

$[{(x - frac{2}{3})^2} + {(y - frac{3}{2})^2} = frac{{49}}{{36}}]$

Центр этой окружности лежит в точке

$[(frac{2}{3};frac{3}{2}),R = frac{7}{6}.]$

Источник

Нахождение центра и радиуса окружности по общему уравнению окружности

Коэффициенты a, b, c, d, e уравнения

Введите коэффициенты a, b, c, d, e в указанном порядке ax² + by² + cx + dy + e = 0

Точность вычисления

Знаков после запятой: 2

Уравнение после выделения полного квадрата

Уравнение НЕ является общим уравнением окружности

Приведение общего уравнения окружности к стандартному виду

Калькулятор выше можно применять для решения задач на уравнение окружности. Чаще всего вы имеете дело с уравнением окружности, выраженном в так называемом стандартном виде

Из этого уравнения достаточно легко найти центр окружности – это будет точка с координатами (a,b), и радиус окружности – это будет квадратный корень из правой части уравнения.

Однако, если возвести в квадрат выражения в скобках и перенести правую часть налево, то уравнение станет выглядеть примерно так:

Это – уравнение окружности в общем виде. Здесь радиус и центр окружности уже не выделены явно, и в задачах обычно просят их найти именно по общему виду уравнения окружности.

Способ решения такого рода задач следующий:

Перегруппируем слагаемые уравнения
Для каждой скобки применим метод выделения полного квадрата (подробнее смотри тут – Метод выделения полного квадрата), то есть заменим выражение вида на выражение вида . С учетом того, что коэффициенты при квадратах равны единице, а свободный член можно принять за ноль, формула для вычисления h и k упрощаются.