Как найти абсциссу точки в треугольнике

A ( ; ), B ( ; ), C ( ; )

Примечание: дробные числа записывайте
через точку, а не запятую.

Округлять до -го знака после запятой.

Как найти координаты точки?

О чем эта статья:

3 класс, 4 класс, 9 класс, 11 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат (в правом нижнем углу экрана).

Понятие системы координат

Координаты — это совокупность чисел, которые определяют положение какого-либо объекта на прямой, плоскости, поверхности или в пространстве. Например, координаты вашей квартиры тоже можно записать числами — они помогут понять, где именно находится тот дом, где вы живете. С точками на плоскости та же история.

Прямоугольная система координат — это система координат, которую изобрел математик Рене Декарт, ее еще называют «декартова система координат». Она представляет собой два взаимно перпендикулярных луча с началом отсчета в точке их пересечения.

Чтобы найти координаты, нужны ориентиры, от которых будет идти отсчет. На плоскости в этой роли выступят две числовые оси.

Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курсы по профильной математике.

Чертеж начинается с горизонтальной оси, которая называется осью абсцисс и обозначается латинской буквой x (икс). Записывают ось так: Ox. Положительное направление оси абсцисс обозначается стрелкой слева направо.

Затем проводят вертикальную ось, которая называется осью ординат и обозначается y (игрек). Записывают ось Oy. Положительное направление оси ординат показываем стрелкой снизу вверх.

Оси взаимно перпендикулярны, а значит угол между ними равен 90°. Точка пересечения является началом отсчета для каждой из осей и обозначается так: O. Начало координат делит оси на две части: положительную и отрицательную.

• Координатные оси — это прямые, образующие систему координат.
• Ось абсцисс Ox — горизонтальная ось.
• Ось ординат Oy — вертикальная ось.
• Координатная плоскость — плоскость, в которой находится система координат. Обозначается так: x0y.
• Единичный отрезок — величина, которая принимается за единицу при геометрических построениях. В декартовой системе координат единичный отрезок отмечается на каждой из осей. Длина отрезка показывает сколько раз единичный отрезок и его части укладываются в данном отрезке.

Оси координат делят плоскость на четыре угла — четыре координатные четверти.

У каждой из координатных четвертей есть свой номер и обозначение в виде римской цифры. Отсчет идет против часовой стрелки:

• верхний правый угол — первая четверть I;
• верхний левый угол — вторая четверть II;
• нижний левый угол — третья четверть III;
• нижний правый угол — четвертая четверть IV;

• Если обе координаты положительны, то точка находится в первой четверти координатной плоскости.
• Если координата х отрицательная, а координата у положительная, то точка находится во второй четверти.
• Если обе координаты отрицательны, то число находится в третьей четверти.
• Если координата х положительная, а координата у отрицательная, то точка лежит в четвертой четверти.

Определение координат точки

Каждой точке координатной плоскости соответствуют две координаты.

Точка пересечения с осью Ох называется абсциссой точки А, а с осью Оу называется ординатой точки А.

Чтобы узнать координаты точки на плоскости, нужно опустить от точки перпендикуляр на каждую ось и посчитать количество единичных отрезков от нулевой отметки до опущенного перпендикуляра.

Координаты точки на плоскости записывают в скобках, первая по оси Ох, вторая по оси Оу.

Смотрим на график и фиксируем: A (1; 2) и B (2; 3).

Особые случаи расположения точек

В геометрии есть несколько особых случаев расположения точек. Лучше их запомнить, чтобы без запинки решать задачки. Вот они:

1. Если точка лежит на оси Oy, то ее абсцисса равна 0. Например,
   точка С (0, 2).
2. Если точка лежит на оси Ox, то ее ордината равна 0. Например,
   точка F (3, 0).
3. Начало координат — точка O. Ее координаты равны нулю: O (0,0).
4. Точки любой прямой, которая перпендикулярна оси абсцисс, имеют одинаковые абсциссы.
5. Точки любой прямой, которая перпендикулярна оси ординат, имеют одинаковые ординаты.
6. Если точка лежит на оси абсцисс, то ее координаты будут иметь вид: (x, 0).
7. Если точка лежит на оси ординат, то ее координаты будут иметь вид: (0, y).

Способы нахождения точки по её координатам

Чтобы узнать, как найти точку в системе координат, можно использовать один из двух способов.

Способ первый. Как определить положение точки D по её координатам (-4, 2):

1. Отметить на оси Ox, точку с координатой -4, и провести через нее прямую перпендикулярную оси Ox.
2. Отметить на оси Oy, точку с координатой 2, и провести через нее прямую перпендикулярную оси Oy.
3. Точка пересечения перпендикуляров и есть искомая точка D. Ее абсцисса равна -4, а ордината — 2.

Способ второй. Как определить положение точки D (-4, 2):

1. Сместить прямую по оси Ox влево на 4 единицы, так как у нас
   перед 4 стоит знак минус.
2. Подняться из этой точки параллельно оси Oy вверх на 2 единицы, так как у нас перед 2 стоит знак плюс.

Чтобы легко и быстро находить координаты точек или строить точки по координатам, скачайте готовую систему координат и храните ее в учебнике:

Примеры решений по аналитической геометрии на плоскости

В этом разделе вы найдете бесплатные примеры решений задач по аналитической геометрии на плоскости об исследовании треугольника (заданного вершинами или сторонами): уравнения сторон, углы, площадь, уравнения и длины высот, медиан, биссектрис и т.п.

Решения задач о треугольнике онлайн

Задача 1. Даны вершины треугольника $A (-2, 1), B (3, 3), С (1, 0)$. Найти:
а) длину стороны $AB$;
б) уравнение медианы $BM$;
в) $cos$ угла $BCA$;
г) уравнение высоты $CD$;
д) длину высоты $СD$;
е) площадь треугольника $АВС$.

Задача 2. Найти длину высоты $AD$ в треугольнике с вершинами $A(3,2), B(2,-5), C(-6,-1)$ и написать уравнение перпендикуляра, опущенного из точки $C$ на прямую $AB$.

Задача 3. Даны вершины $A(1,1), B(7,5), C(4,5)$ треугольника. Найти:
1) длину стороны $AB$;
2) внутренний угол $A$ в радианах с точностью до 0,01;
3) уравнение высоты, проведенной через вершину $C$;
4) уравнение медианы, проведенной через вершину $C$;
5) точку пересечения высот треугольника;
6) длину высоты, опущенной из вершины $C$;
7) систему линейных неравенств, определяющую внутреннюю область треугольника.
Сделать чертеж.

Задача 4. Даны уравнения двух сторон треугольника $4x-5y+9=0$ и $x+4y-3=0$. Найти уравнение третьей стороны, если известно, что медианы этого треугольника пересекаются в точке $P(3,1)$.

Задача 5. Даны две вершины $A(-3,3)$, $B(5,-1)$ и точка $D(4,3)$ пересечения высот треугольника. Составить уравнения его сторон.

Задача 6. Найти углы и площадь треугольника, образованного прямыми $у = 2х$, $y = -2х$ и $у = х + 6$.

Задача 7. Найти точку пересечения медиан и точку пересечения высот треугольника: $А(0, – 4)$, $В(3, 0)$ и $С(0, 6)$.

Задача 8. Вычислить координаты точек середины отрезков, являющихся медианами треугольника $ABC$, если $A(-6;1)$, $B(4;3)$, $C(10;8)$.

[spoiler title=”источники:”]

http://skysmart.ru/articles/mathematic/kak-najti-koordinaty-tochki

http://www.matburo.ru/ex_ag.php?p1=agtr

[/spoiler]

Координаты на плоскости:

Возьмем на плоскости две взаимно перпендикулярные прямые, пересекающиеся в точке

Определение: Координатными осями на плоскости называются две взаимно перпендикулярные прямые, на которых установлены: 1) направления, 2) масштаб и 3) общая точка отсчета.

Назовем одну из осей осью или осью абсцисс, другую—осью или осью ординат. Точку их пересечения назовем началом координат.

Возьмем произвольную точку , лежащую на плоскости, и опустим из нее перпендикуляры на оси координат, т. е. найдем ее проекции на оси. Обозначим проекцию на ось через , а проекцию на ось через . Обозначим координату точки (по оси ) через , а координату точки (по оси ) через . Введем определение:

Определение. Абсциссой точки называется координата ее проекции на ось . Ординатой точки называется координата ее проекции на ось .

Абсциссу точки обычно обозначают буквой , ординату— буквой . Точку , имеющую абсциссу и ординату , обозначают следующим образом: пишут скобку и в ней на первом месте ставят абсциссу, на втором ординату и разделяют эти два числа запятой или точкой с запятой. Таким образом, запись точки выглядит так: .

Координатные оси разделяют плоскость на четыре части, которые называют четвертями.

Первой четвертью называется та часть плоскости, в которой абсцисса и ордината положительны.

Второй четвертью — та часть, в которой абсцисса отрицательна, а ордината положительна.

Третьей четвертью—та часть, в которой абсцисса и ордината отрицательны, и, наконец, четвертой,—та часть, в которой абсцисса положительна, а ордината отрицательна (рис. 7). На рис. 8 указаны Заметим, что абсцисса по абсолютной величине равна расстоянию точки от оси ординат, так как (см. рис. 7), а ордината — расстоянию точки от оси абсцисс, так как .

Пример:

Найти точку (рис. 9).

Решение:

Возьмем на оси точку с координатой , ее координатный отрезок . На оси возьмем точку с координатным отрезком . Восставим перпендикуляры к осям из точек и , точка их пересечения и даст искомую точку .

Пример:

Найти расстояние между точками и . Иначе говоря, нужно найти длину отрезка (рис. 10).

Решение:

Обозначим проекцию точки на ось через , а ее проекцию на ось — через . Проекцию точки на ось обозначим через и через — ее проекцию на ось . Тогда . Из точки проведем прямую, параллельную оси , до пересечения с прямой в точке . Рассмотрим треугольник По теореме Пифагора имеем . to , , как противоположные стороны прямоугольников; кроме того, на основании формулы (3 из § 1) направленные отрезки , и будут равны Подставляя полученные выражения в , получим

откуда

т. е. расстояние между двумя точками равно корню квадратному из суммы квадратов разностей, координат.

Примечание. Расстояние между двумя точками, так же как длина отрезка, всегда положительно, поэтому в формуле (1) перед квадратным корнем берут только знак плюс.

Пример:

Найти расстояние между точками и .

Решение:

Применяя формулу (1), получим

Пример:

Найти длину отрезка , если даны и .

Решение:

Применяя формулу (1), получим

Пример:

Найти точку , делящую отрезок в отношении , если известны координаты точек и .

Решение:

По условию задачи надо найти такую точку , чтобы было выполнено равенство

Обозначим, как и выше, проекции точки на оси через и , а проекции точки —через и ; тогда (рис. 11).

Кроме того, обозначим координаты искомой точки через и , а ее проекции на оси — через и , т. е.

Так как прямые и параллельны между собой, то на основании теоремы о пропорциональных отрезках можно записать, что

Но поэтому, подставляя в равенство , будем иметь уравнение

решая которое найдем абсциссу точки :

Рассуждая аналогично о проекциях на оси , т.е. о точках и , по- лучим ординату точки , делящей отрезок в отношении ,

Итак, искомая точка имеет координаты, определяемые равенствами (2) и (3).

Пример:

Найти точку, делящую в отношении 1:2 отрезок , где и .

Здесь .

Решение:

Применяя формулы (2) и (3), получим:

• Заказать решение задач по высшей математике

Пример:

Найти точку, делящую расстояние между точками и в отношении 3:1.

Здесь .

Решение:

По формулам (2) и (3) находим:

Следствие (из формул (2) и (3)). Если точка делит отрезок пополам, то , поэтому

т. е. абсцисса середины отрезка равна средней арифметической абсцисс его начала и конца; ордината середины отрезка равна средней арифметической ординат его начала и конца.

Пример:

Даны три вершины треугольника: , и . Найти длину биссектрисы угла (рис. 12).

Решение:

Найдем длины сторон и . Для этого применим формулу (1):

Обозначим точку пересечения биссектрисы угла с противоположной стороной через , а ее координаты—через и . Помня, что биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам, можно утверждать, что точка делит отрезок в отношении ; поэтому, применяя формулы (2) и (3), получим:

т.е. (5,6).

Теперь вычисляем длину биссектрисы как расстояние между точками и :

Пример:

Найти точку пересечения медиан треугольника, вершинами которого являются точки , (рис. 13).

Решение:

Точка пересечения медиан делит каждую из медиан в отношении 2:1, считая от вершины треугольника. Обозначим через середину стороны ; по формулам (4) и (5) можно найти ее координаты:

т. е. . Точка пересечения медиан делит отрезок в отношении 2:1, поэтому ее координаты найдутся по формулам (2) и (3):

Итак, искомая точка Задача 5. Записать условие того, что точка находится на расстоянии 5 от точки . По формуле (1) имеем

или, возводя обе части равенства в квадрат, получим

Это равенство есть уравнение с двумя неизвестными и . Этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на расстоянии 5 от точки . Иначе говоря, ему удовлетворяют координаты любой точки, принадлежащей геометрическому месту точек, расстояние которых от точки равно 5. Это геометрическое место есть окружность.

Следовательно, можно сказать, что уравнение есть уравнение окружности с центром в точке и радиуса 5.

В следующих главах будут рассмотрены уравнения с двумя неизвестными и и те линии (геометрические места), точки которых имеют координаты, удовлетворяющие этим уравнениям.

было в ЕГЭ

в условии
в решении
в тексте к заданию
в атрибутах

Категория

Атрибут

Всего: 251    1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–100 …

Добавить в вариант

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

---

Всего: 251    1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–100 …

Похоже, вы используете блокировщик рекламы. Наш сайт существует и развивается
только за счет дохода от рекламы.

Пожалуйста, добавьте нас в исключения блокировщика.

на главную

Как найти координаты точки

Поддержать сайт