Как найти абсциссы точек пересечения парабол

Расположение графика квадратного трёхчлена относительно осей координат

В §28 данного справочника мы показали, что квадратный трёхчлен можно представить в виде:

$$ ax^2+bx+c = a(x+ frac{b}{2a})^2-frac{D}{4a}, D = b^2-4ac $$

Мы получаем:

  • ось симметрии $x = -frac{b}{2a}$
  • вершину параболы на оси симметрии $(–frac{b}{2a}; -frac{D}{4a})$
  • точку пересечения (0;c) с осью OY

Любая парабола $y = ax^2+bx+c, a ≠ 0$ пересекается с осью OY в единственной точке (0;c).

Количество точек пересечения параболы $y = ax^2+bx+c$ с осью OX зависит от знака дискриминанта.

Если $D gt 0$, парабола имеет две точки пересечения с $x_1,2 = frac{-b pm sqrt{D}}{2a}$ на оси OX.

Если D = 0, парабола имеет одну точку пересечения $x_0 = -frac{b}{2a}$, которая лежит на оси OX и является вершиной параболы.

Если $D lt 0$ у параболы нет ни одной точки пересечения с осью OX.

Точки пересечения параболы с осью OX

$a gt 0$

$a lt 0$

$D gt 0$

Расположение графика квадратного трёхчлена относительно осей координат рис.1 Расположение графика квадратного трёхчлена относительно осей координат рис.2

$x_(1,2) = frac{-b pm sqrt{D}}{2a}$

D = 0

Расположение графика квадратного трёхчлена относительно осей координат рис.3 Расположение графика квадратного трёхчлена относительно осей координат рис.4

$x_0 = -frac{b}{2a}$

$ D lt 0 $

Расположение графика квадратного трёхчлена относительно осей координат рис.5 Расположение графика квадратного трёхчлена относительно осей координат рис.6

${ varnothing }$-нет пересечений

Точки пересечения двух парабол

На практике часто возникает задача «перехвата» одного тела другим, т.е. поиска точек пересечения двух траекторий; а тела в поле тяготения Земли нередко движутся по параболе.

Точки пересечения двух парабол

Поэтому исследовать возможные точки пересечения двух парабол – важная прикладная задача. Пусть уравнения парабол:

$$ y = a_1 x^2+b_1 x+c_1, quad y = a_2 x^2+b_2 x+c_2 $$

В точках пересечения выполняется равенство:

$$ a_1 x^2+b_1 x+c_1 = a_2 x^2+b_2 x+c_2 $$

$$ (a_1-a_2 ) x^2+(b_1-b_2 )x+(c_1-c_2 ) = 0 $$

Если ввести обозначения $A = a_1-a_2, B = b_1-b_2, C = c_1-c_2$, получаем уравнение:

$$ Ax^2+Bx+C = 0 $$

Количество решений этого уравнения в зависимости от нулевых и ненулевых значений параметров равно 11 и описывается схемой общего алгоритма решений квадратного уравнения (см.§25 данного справочника).

A = B = C = 0

$ a_1 = a_2, b_1 = b_2, $

$ c_1 = c_2 $

Две параболы совпадают

Бесконечное множество общих точек, $x in Bbb R$

Бесконечное множество общих точек

$A = B = 0, C neq 0$

$ a_1 = a_2, b_1 = b_2, $

$ c_1 neq c_2 $

Параболы имеют вид

$y = ax^2+bx+c_1$

$ y = ax^2+bx+c_2 $

У них общая ось симметрии

$ x = -frac{b}{2a}$, одна парабола находится над другой.

Ветки сходятся только на бесконечности.

Точек пересечения нет

Точек пересечения нет

$A = 0, B neq 0, C = 0$

$ a_1 = a_2, b_1 neq b_2 $

$ c_1 = c_2 $

Параболы имеют вид

$y = ax^2+b_1 x+c$

$ y = ax^2+b_2 x+c $

Обе проходят через точку (0;c).

Это – единственная точка пересечения.

Одна точка пересечения

(0;c)

Одна точка пересечения

$A = 0, B neq 0, C neq 0$

$ a_1 = a_2, b_1 neq b_2 $

$ c_1 neq c_2 $

Параболы имеют вид

$y = ax^2+b_1 x+c_1$

$ y = ax^2+b_2 x+c_2 $

Абсцисса точки пересечения

$ x = – frac{C}{B} = -frac{c_1-c_2}{b_1-b_2}$

Одна точка пересечения (касание)

Одна точка пересечения (касание)

$A neq 0, B = 0, C = 0$

$ a_1 neq a_2, b_1 = b_2 $

$ c_1 = c_2 $

Параболы имеют вид

$ y = a_1 x^2+bx+c$

$ y = a_2 x^2+bx+c $

Пересекаются при x=0 (точка касания)

Одна точка пересечения (касание) (0;c)

Точек пересечения нет

$A neq 0, B = 0, C neq 0$

$ a_1 neq a_2, b_1 = b_2 $

$ c_1 neq c_2 $

Параболы имеют вид

$ y = a_1 x^2+bx+c_1$

$ y = a_2 x^2+bx+c_2 $

Не пересекаются, если

$- frac{c_1-c_2}{a_1-a_2} lt 0 $

Две точки пересечения

Две точки пересечения

Если

$- frac{c_1-c_2}{a_1-a_2} gt 0 $

Пересекаются в двух точках

$$ x_{1,2} = pm sqrt{-frac{c_1-c_2}{a_1-a_2}} $$

Две точки пересечения

Две точки пересечения, одна из которых (0;c)

$A neq 0, B neq 0, C = 0$

$ a_1 neq a_2, b_1 neq b_2 $

$ c_1 = c_2 $

Параболы имеют вид

$$ y = a_1 x^2+b_1 x+c $$

$$ y = a_2 x^2+b_2 x+c $$

Две точки пересечения

$ x_1 = 0 $

$$x_2 = -frac{b_1-b_2}{a_1-a_2}$$

Две точки пересечения,

одна из которых (0;c)

Две точки пересечения, одна из которых (0;c)

$A neq 0, B neq 0, C neq 0$

$ a_1 neq a_2, b_1 neq b_2 $

$ c_1 neq c_2 $

Все параметры парабол разные

Ищем дискриминант:

$$ D = B^2-4AC $$

Если $D gt 0$

Две точки пересечения

$$ x_1,2 = frac{-B pm sqrt{D}}{2A} $$

Две точки пересечения

Две точки пересечения

Если D = 0

Одна точка пересечения (касание)

$$ x_0 = -frac{B}{2A} $$

Одна точка пересечения

(касание)

Одна точка пересечения

Если $D lt 0$

Точек пересечения нет

Точек пересечения нет

Точек пересечения нет

Внимание!

Если две параболы не совпадают, то они могут иметь 1) две точки пересечения; 2) одну точку пересечения; 3) ни одной точки пересечения.

Иметь ровно 3, 4, 5 и т.д. точек пересечения две параболы не могут!

Примеры

Пример 1. Найдите точки пересечения параболы с осями координат:

$а) y = 3x^2+2x-1$

Пример 1. а)

Пересечение с осью OY: ${left{ begin{array}{c} x = 0 \ y = -1end{array} right.}$

Пересечение с осью OX:

$$ 3x^2+2x-1 = 0 Rightarrow (3x-1)(x+1) = 0 Rightarrow $$

$ Rightarrow left[ begin{array}{cc} {left{ begin{array}{c} x = frac{1}{3} \ y = 0 end{array} right.} \ {left{ begin{array}{c} x = -1 \ y = 0 end{array} right.} end{array} right.$ – две точки пересечения

$б) y = -4x^2-3x+1$

Пример 1. б)

Пересечение с осью OY: ${left{ begin{array}{c} x = 0 \ y = 1end{array} right.}$

Пересечение с осью OX:

$$ -4x^2-3x+1 = 0 Rightarrow 4x^2+3x-1 = 0 $$

$$ (4x-1)(x+1) = 0 Rightarrow$$

$ Rightarrow left[ begin{array}{cc} {left{ begin{array}{c} x = frac{1}{4} \ y = 0 end{array} right.} \ {left{ begin{array}{c} x = -1 \ y = 0 end{array} right.} end{array} right.$ – две точки пересечения

$в) y = 5x^2-2x+1$

Пример 1. в)

Пересечение с осью OY: ${left{ begin{array}{c} x = 0 \ y = 1end{array} right.}$

Пересечение с осью OX:

$$ 5x^2-2x+1 = 0 $$

$$ D = 2^2-4 cdot 5 cdot 1 = 4-20 = -16 lt 0 $$

Парабола не пересекает ось OX

$ г) y = -x^2+4x-4 $

Пример 1. г)

Пересечение с осью OY: ${left{ begin{array}{c} x = 0 \ y = -4end{array} right.}$

Пересечение с осью OX:

$$ -x^2+4x-4 = 0 Rightarrow x^2-4x+4 = 0 Rightarrow $$

$$ Rightarrow (x-2)^2 = 0 Rightarrow {left{ begin{array}{c} x = 2 \ y = 0 end{array} right.}$$ – одна точка пересечения

Пример 2*. Даны две параболы

$$ y = 2x^2+5x+1 и y = x^2+3x+k $$

Найдите такое значение параметра k, чтобы параболы

1) имели две точки пересечения; 2) имели одну точку пересечения; 3) не пересекались.

По условию

$$ a_1 = 2, b_1 = 5, c_1 = 1, a_2 = 1, b_2 = 3, c_2 = k $$

$$ a_1 neq a_2, b_1 neq b_2 $$

A = 2-1 = 1, B = 5-3 = 2, C = 1-k

Нам необходимо рассмотреть 4 последних случая из представленных выше, в таблице §29.

1) Параболы имеют две точки пересечения в двух случаях:

1 случай: $c_2 = c_1$, k = 1

Пример 2* 1 случай

$$x_1 = 0, x_2 = -frac{B}{A} = -2$$

$${left{ begin{array}{c} y = 2x^2+5x+1 \ y = x^2+3x+1 end{array} right.} Rightarrow left[ begin{array}{cc} {left{ begin{array}{c} x_1 = 0 \ y_1 = 1end{array} right.} \ {left{ begin{array}{c} x_2 = -2 \ y_2 = -1 end{array} right.} end{array} right.$$

2 случай: $c_2 ≠ c_1, D gt 0$

$$ D = B^2-4AC = 2^2-4 cdot 1 cdot (1-k) = 4k gt 0 Rightarrow k gt 0 $$

Пример 2* 2 случай

Например, k = 4

$$ D = 4k = 16 = 4^2 $$

$$ x_1,2 = frac{-B pm sqrt{D}}{2A} = frac{-2 pm 4}{2} = left[ begin{array}{cc} x_1 = -3\ x_2 = 1 end{array} right. $$

Оба случая можем объединить требованием $k gt 0$.

2) Параболы имеют одну точку пересечения, если:

$$ D = 4k = 0 Rightarrow k = 0 $$

Пример 2 случай 2)

$${left{ begin{array}{c} y = 2x^2+5x+1 \ y = x^2+3x end{array} right.} $$

$$ x_0 = frac{-B}{2A} = -1 $$

3) Параболы не имеют общих точек, если:

$$ D = 4k lt 0 Rightarrow k lt 0 $$

Пример 2* 3)

Например, k = -1

Ответ: 1) $k gt 0$; 2) k = 0; 3) $k lt 0$

Пример 3. Две параболы с общей вершиной

Найдите соотношение параметров двух парабол, при котором они будут пересекаться в одной точке – вершине парабол.

Пусть уравнения парабол:

$$ y = a_1 x^2+b_1 x+c_1, y = a_2 x^2+b_2 x+c_2 $$

Координаты вершин:

$$ left( -frac{b_1}{2a_1}, – frac{D_1}{4a_1} right), left(- frac{b_2}{2a_2},- frac{D_2}{4a_2} right) $$

По условию:

$$ {left{ begin{array}{c} -frac{b_1}{2a_1} = -frac{b_2}{2a_2} \ -frac{D_1}{4a_1} = -frac{D_2}{4a_2} end{array} right.} Rightarrow {left{ begin{array}{c} frac{b_1}{a_1} = frac{b_2}{2a_2} \ frac{D_1}{a_1} = frac{D_2}{a_2} end{array} right.} $$

Получаем две пропорции, которым параметры уравнений должны удовлетворять одновременно.

Пример 4. Используя результаты примера 3, найдите две параболы, у которых такая же вершина, как у $y = frac{x^2}{2}-3x+1$.

Координаты вершины:

$$ x_0 = – frac{b}{2a} = – frac{-3}{2 cdot frac{1}{2}} = 3, D = b^2-4ac = 3^2-4 cdot frac{1}{2} cdot 1 = 7 $$

$$ y_0 = – frac{D}{4a} = – frac{7}{4 cdot frac{1}{2}} = -3,5 $$

Уравнение искомой параболы: $y = ax^2+bx+c$

Пропорции для параметров (см. пример 3):

$$ {left{ begin{array}{c} frac{b}{a} = frac{-3}{1/2} = -6 \ frac{D}{a} = frac{7}{1/2} = 14 end{array} right.} Rightarrow {left{ begin{array}{c} b = -6a \ D = 14a end{array} right.} $$

Пусть для искомых двух парабол a=1 и a=-0,2 (можно взять любые другие значения). Получаем:

$$ {left{ begin{array}{c} a = 1 \ b = -6a = -6 \ D = 14a = 14 end{array} right.} Rightarrow {left{ begin{array}{c} a = 1 \ b = -6 \ b^2-4ac = 14 end{array} right.} Rightarrow {left{ begin{array}{c} a = 1 \ b = -6 \ 36-4c = 14 end{array} right.} Rightarrow {left{ begin{array}{c} a = 1 \ b = -6 \ c = frac{36-14}{4} = 5,5 end{array} right.}$$

$$ y = x^2-6x+5,5 $$

$$ {left{ begin{array}{c} a = -0,2 \ b = -6a = 1,2 \ D = 14a = -2,8 end{array} right.} Rightarrow {left{ begin{array}{c} a = -0,2 \ b = 1,2 \ 1,2^2-4 cdot (-0,2)c = -2,8 end{array} right.} Rightarrow {left{ begin{array}{c} a = -0,2 \ b = 1,2 \ c = – frac{1,44+2,8}{0,8} = -5,3 end{array} right.} $$

$$ y = -0,2x^2+1,2x-5,3 $$

Параболы

$$ y = frac{x^2}{2}-3x+1, y = x^2-6x+5,5, y = -0,2x^2+1,2x-5,3 $$

имеют общую вершину (3;-3,5)

Пример 4.

Пример 5. Комета движется по параболической траектории, которая в выбранной системе координат описывается уравнением $y = frac{x^2}{3}-2x+5$.

Космический аппарат запускается из начала координат и также движется по параболической траектории. Рассчитайте уравнение этой траектории так, чтобы её вершина совпала с вершиной траектории кометы.

Координаты вершины траектории кометы:

$$ x_0 = -frac{b}{2a} = -frac{-2}{2 cdot frac{1}{3}} = 3, D = b^2-4ac = 2^2-4 cdot frac{1}{3} cdot 5 = – frac{8}{3} $$

$$ y_0 = – frac{D}{4a} = – frac{-8/3}{4 cdot 1/3} = 2 $$

Уравнение траектории космического аппарата: $y = ax^2+bx+c$.

Аппарат запускается из начала координат, т.е. его траектория пересекается с осью OY в точке (0;0). Значит, в уравнении параболы c = 0.

Пропорции для параметров (см. пример 3) с учетом c = 0:

$$ {left{ begin{array}{c} frac{b}{a} = frac{-2}{1/3} = -6 \ frac{D}{a} = frac{-frac{8}{3}}{frac{1}{3}} = -8 end{array} right.} Rightarrow {left{ begin{array}{c} b = -6a \ D = b^2-4a underbrace{c}_{text{= 0 }} = b^2 = -8a end{array} right.} Rightarrow {left{ begin{array}{c} b = -6a \ b^2 = -8a end{array} right.} Rightarrow $$

$$ {left{ begin{array}{c} b = frac{-8a}{-6a} = frac{4}{3} \ a = -frac{b}{6} = -frac{2}{9} end{array} right.} $$

Уравнение траектории космического аппарата с «перехватом» кометы в вершине:

$$ y = -frac{2}{9} x^2+ frac{4}{3} x $$

Пример 5.

В предыдущем уроке мы подробно разобрали,
как построить параболу.
В этом уроке мы разберем, как решать типовые задачи на квадратичную функцию.


Как найти нули квадратичной функции

Запомните!
!

Чтобы найти координаты точек нулей функции, нужно
в исходную функцию подставить вместо «y» число
ноль.

Рассмотрим задачу.

Найти нули квадратичной
функции «y = x2 − 3».

Подставим в исходную функцию вместо «y» ноль и решим полученное
квадратное уравнение.

0 = x2 − 3
x2 − 3 = 0

x1;2 =

0 ±
02 − 4 · 1 · (−3)
2 · 1

x1;2 =

x1;2 =

x1;2 =

x1;2 = ±√3

Ответ: нули функции «y = x2 − 3» :
    

x1 = √3;
    

x2 = 3 .

Как найти при каких значениях
«x» квадратичная функция принимает заданное
числовое значение

Запомните!
!

Чтобы найти при каких значениях «x» квадратичная функция принимает заданное числовое значение,
нужно:

  • вместо «y» подставить в функцию заданное числовое значение;
  • решить полученное квадратное уравнение относительно «x».

Рассмотрим задачу.

При каких значениях «x» функция
«y = x2 − x − 3» принимает значение
«−3»
.

Подставим в исходную функцию
«y = x2 − x − 3» вместо «y = −3» и
найдем «x».

y = x2 − x − 3

−3 = x2 − x − 3
x2 − x − 3 = −3
x2 − x − 3 + 3 = 0
x2 − x = 0
x1;2 =

1 ±
12 − 4 · 1 · 0
2 · 1

x1;2 =

x1;2 =

x1 = x2 =
x1 = x2 =
x1 = 1 x2 = 0

Ответ: при «x = 0» и
«x = 1» функция «y = x2 − x − 3»
принимает значение «y = −3».

Как найти координаты точек пересечения параболы и прямой

Запомните!
!

Чтобы найти точки пересечения параболы с прямой нужно:

  • приравнять правые части функций (те части функций, в которых содержатся «x»);
  • решить полученное уравнение относительно «x»;
  • подставить полученные числовые значения «x»
    в любую из функций и найти координаты точек по оси «Оy».

Рассмотрим задачу.

Найти координаты точек пересечения параболы «y = x2»
и прямой «y = 3 − 2x».

Приравняем правые части функций и решим
полученное уравнение относительно «x».

x2 = 3 − 2x
x2 − 3 + 2x = 0
x2 + 2x − 3 = 0

x1;2 =

−2 ±
22 − 4 · 1 · (−3)
2 · 1

x1;2 =

x1;2 =

x1;2 =

x1 = x2 =
x1 = x2 =
x1 = 1 x2 = −3

Теперь подставим в любую из заданных функций (например, в
«y = 3 − 2x») полученные
числовые значения «x», чтобы найти координаты
«y» точек пересечения.


1)   x = −3
y = 3 − 2x
y(−3) = 3 − 2 · (−3) = 3 − (−6) = 3 + 6 = 9
(·) A (−3; 9)
— первая точка пересечения.


2)   x = 1
y = 3 − 2x
y(1) = 3 − 2 · 1 = 3 − 2 = 1
(·) B (1; 1)
— вторая точка пересечения.

Запишем полученные точки пересечения с их координатами в ответ.

Ответ: точки пересечения параболы
«y = x2»
и прямой «y = 3 − 2x»:
(·) A (−3; 9) и
(·) B (1; 1).

Как определить, принадлежит ли точка графику функции параболы

Запомните!
!

Чтобы проверить принадлежность точки параболе нет необходимости строить график функции.

Достаточно подставить координаты точки в формулу функции (координату по оси
«Ox» вместо
«x», а координату по оси
«Oy» вместо «y») и выполнить арифметические расчеты.

  • Если получится верное равенство, значит, точка принадлежит графику функции.
  • Если получится неверное равенство, значит, точка
    не принадлежит графику функции.

Рассмотрим задачу:

Не строя графика функции «y = x2», определить, какие точки принадлежат ему:
(·) А(2; 6),    
(·) B(−1; 1)
.

Подставим в функцию
«y = x2»

координаты точки (·) А(2; 6).


y = x2
6 = 22
6 = 4


(неверно)

Значит, точка (·) А(2; 6)
не принадлежит графику функции
«y = x2».

Подставим в функцию
«y = x2»

координаты точки (·) B(−1; 1).


y = x2
1 = (−)12
1 = 1


(верно)

Значит, точка (·) B(−1; 1)
принадлежит графику функции
«y = x2».


Как найти точки пересечения параболы с осями координат

Рассмотрим задачу

Найти координаты точек пересечения параболы
«y = x2 −3x + 2» с осями координат
.

Сначала определим точки пересечения функции с осью «Ox».
На графике функции эти точки выглядят так:

точки пересечения с осью Ox

Как видно на рисунке выше, координата «y» точек пересечения с осью «Ox»
равна нулю, поэтому подставим «y = 0» в
исходную функцию «y = x2 −3x + 2»
и найдем их координаты по оси «Ox».

0 = x2 −3x + 2
x2 −3x + 2 = 0

x1;2 =

3 ±
32 − 4 · 1 · 2
2 · 1

x1;2 =

x1;2 =

x1;2 =

x1 = x2 =
x1 = x2 =
x1 = 2 x2 = 1

Запишем координаты точек пересечения графика с осью «Ox»:
(·) A (2; 0) и
(·) B (1; 0).

Теперь найдем координаты точки пересечения с осью «Oy».

точки пересечения с осью Oy

Как видно на рисунке выше, координата «x»
точки пересечения с осью «Oy» равна нулю.

Подставим «x = 0»
в исходную функцию
«y = x2 −3x + 2»
и найдем координату точки по оси
«Oy».

y(0) = 02 − 3 · 0 + 2 = 2

Выпишем координаты полученной точки: (·) C (0; 2)

Запишем в ответ все координаты точек пересечения параболы с осями.

Ответ: точки пересечения с осью «Ox»:
(·) A (2; 0) и
(·) B (1; 0).
С осью «Oy»: (·)C (0; 2).


Как определить при каких значениях x функция принимает
положительные или
отрицательные значения

Напоминаем, что когда в задании говорится «функция принимает
значения» — речь идет о
значениях«y».
Другими словами, необходимо ответить на вопрос: при каких значениях
«x», координата
«y» положительна или отрицательна.

Запомните!
!

Чтобы по графику функции определить, где функция принимает положительные или отрицательные значения нужно:

  • провести прямые через точки в местах, где график пересекает ось «Ox»;
  • определить положительные или отрицательные значения принимает функция на промежутках между проведенными прямыми;
  • записать ответ для каждого промежутка относительно «x».

Рассмотрим задачу.

С помощью графика квадратичной функции, изображенного на рисунке, ответить:
При каких значениях «x» функция принимает 1) положительные значения; 2) отрицательные значения.

положительные и отрицательные значения функциии

Проведем через точки, где график функции пересекает ось «Ox» прямые.

положительные и отрицательные значения функциии с доп. прямыми

Определим области, где функция принимает отрицательные или положительные значения.

положительные и отрицательные значения на графике

Подпишем над каждой полученной областью, какие значения принимает
«x» в каждой из выделенных областей.

положительные и отрицательные значения на графике c подписью относительно x

Ответ: при «x < −1» и
«x > 2» функция принимает отрицательные значения;
при «−1 < x < 2» функция принимает
положительные значения.


Ваши комментарии

Важно!
Галка

Чтобы оставить комментарий, вам нужно войти на наш сайт при помощи

«ВКонтакте».

Пришелец пожимает плечами

Оставить комментарий:


Как вычислять координаты точек пересечения парабол

Параболы на плоскости могут пересекаться в одной или двух точках, либо вообще не иметь точек пересечения. Поиск таковых точек — типичная задача алгебры, входящая в программу школьного курса.

Как вычислять координаты точек пересечения парабол

Инструкция

Убедитесь в том, что по условиям задачи вам известны уравнения обеих парабол. Парабола — это кривая на плоскости, задаваемая уравнением следующего вида y = ax² + bx + c (формула 1), где a, b и c – некоторые произвольные коэффициенты, причем коэффициент a ≠ 0. Таким образом, две параболы будут заданы посредством формул y = ax² + bx + c и y = dx² + ex + f. Пример — заданы параболы с формулами y = 2x² – x – 3 и y = x² -x + 1.

Теперь вычтите из одного из уравнений параболы другое. Произведите, таким образом, расчет следующего вида: ax² + bx + c – (dx² + ex + f) = (a-d)x² + (b-e)x + (c-f). Получился полином второй степени, коэффициенты которого вы легко можете вычислить. Чтобы найти координаты точек пересечения парабол, достаточно поставить знак равенства нулю и найти корни получившегося квадратного уравнения (a-d)x² + (b-e)x + (c-f) = 0 (формула 2). Для приведенного выше примера получим y = (2-1)x² -x + x + (-3 – 1) = x² – 4 = 0.

Корни квадратного уравнения (формула 2) ищем по соответствующей формуле, которая есть в любом учебнике алгебры. Для приведенного примера существует два корня x = 2 и x = -2. Кроме того, в формуле 2 значение коэффициента при квадратичном члене (a-d) может быть равным нулю. В этом случае уравнение окажется не квадратным, а линейным и всегда будет иметь один корень. Заметьте, в общем случае квадратное уравнение (формула 2) может иметь два корня, один корень, либо вовсе не иметь ни одного — в последнем случае параболы не пересекаются и задача не имеет решения.

Если, все же, найден один или два корня, их значения нужно подставить в формулу 1. В нашем примере подставляем вначале x = 2, получаем y = 3, затем подставляем x = -2, получаем y = 7. Две получившиеся точки на плоскости (2;3) и (-2;7) и являются координатами пересечения парабол. Других точек пересечения у этих парабол нет.

Обратите внимание

Особым случаем является поиск точек пересечения тождественно равных парабол, то есть двух парабол, задаваемых одинаковыми уравнениями. В этом случае можно сказать, что параболы совпадают, все точки у них общие.

Источники:

  • координаты точки параболы

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.

Как найти координаты точек пересечения графика функции: примеры решения

Автор статьи

Ирина Алексеевна Антоненко

Эксперт по предмету «Математика»

Задать вопрос автору статьи

В практике и в учебниках наиболее распространены нижеперечисленные способы нахождения точки пересечения различных графиков функций.

Первый способ

Первый и самый простой – это воспользоваться тем, что в этой точке координаты будут равны и приравнять графики, а из того что получится можно найти $x$. Затем найденный $x$ подставить в любое из двух уравнений и найти координату игрек.

Пример 1

Найдём точку пересечения двух прямых $y=5x + 3$ и $y=x-2$, приравняв функции:

$5x = x- 2$;

$4x = -2$;

$x=-frac{1}{2}$

Теперь подставим полученный нами икс в любой график, например, выберем тот, что попроще — $y=x-2$:

$y=-frac{1}{2} – 2 = – 2frac12$.

Точка пересечения будет $(-frac{1}{2};- 2frac12)$.

Второй способ

Второй способ заключается в том, что составляется система из имеющихся уравнений, путём преобразований одну из координат делают явной, то есть, выражают через другую. После это выражение в приведённой форме подставляется в другое.

Пример 2

Узнайте, в каких точках пересекаются графики параболы $y=2x^2-2x-1$ и пересекающей её прямой $y=x+1$.

Решение:

Составим систему:

$begin{cases} y=2x^2-2x-1 \ y= x + 1 \ end{cases}$

Второе уравнение проще первого, поэтому подставим его вместо $y$:

$x+1 = 2x^2 – 2x-1$;

$2x^2 – 3x – 2 = 0$.

Вычислим, чему равен x, для этого найдём корни, превращающие равенство в верное, и запишем полученные ответы:

$x_1=2; x_2 = -frac{1}{2}$

Подставим наши результаты по оси абсцисс по очереди во второе уравнение системы:

$y_1= 2 + 1 = 3; y_2=1 – frac{1}{2} = frac{1}{2}$.

Точки пересечения будут $(2;3)$ и $(-frac{1}{2}; frac{1}{2})$.

Третий способ

«Как найти координаты точек пересечения графика функции: примеры решения» 👇

Перейдём к третьему способу — графическому, но имейте в виду, что результат, который он даёт, не является достаточно точным.

Для применения метода оба графика функций строятся в одном масштабе на одном чертеже, и затем выполняется визуальный поиск точки пересечения.

Данный способ хорош лишь в том случае, когда достаточно приблизительного результата, а также если нет каких-либо данных о закономерностях рассматриваемых зависимостей.

Пример 3

Найдите точку пересечения графиков на общем рисунке.

Точка пересечения двух функций. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 1. Точка пересечения двух функций. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Решение:

Тут всё просто: ищем точки пересечения пунктиров, опущенных с графиков с осями абсцисс и ординат и записываем по порядку. Здесь точка пересечения равна $(2;3)$.

Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу

Поиск по теме

Дата последнего обновления статьи: 07.05.2023

Точки пересечения графиков функций

В алгебре и начале анализа можно встретить множество задач на поиск точек пересечения графиков функций с помощью их построения или другими методами. Благодаря определенному алгоритму действий, найти ответ достаточно просто. В большинстве случаев решение заключается в определении корней различного вида уравнений.

График функции (y = f(x)) является множеством точек ((x; y)), координаты которых связаны соотношением (y = f(x).)

Равенство (y = f(x)) называют уравнением данного графика. Таким образом, график функции представляет собой множество точек (x; y), где x — является аргументом, а y — определяется как значение функции, соответствующее данному аргументу.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

В том случае, когда графики пересекаются в какой-то точке, можно сделать вывод о существовании общего решения системы уравнений. Определить координаты точки можно с помощью графического или аналитического метода. В первом случае требуется построить график уравнения с переменной. Аналитический метод поиска координат точек, в которых графики функций пересекаются, подразумевает решение уравнения, а найденные корни и являются искомыми точками.

Как найти координаты, примеры решения

Существует несколько способов решения подобных задач:

  1. Поиск точек пересечения графиков функций заключается в приравнивании обеих функций друг к другу. При этом все члены с х переносят в левую сторону, а оставшиеся – в правую. Затем остается найти корни уравнения, которое получилось после преобразований.
  2. Второй метод состоит в записи системы уравнения для ее последующего решения с помощью подстановки одной функции в другую.
  3. Третий способ подразумевает построение графиков функций, чтобы определить точки их пересечения визуально.

В качестве примера можно рассмотреть две линейные функции:

(f(x) = k_1 x+m_1)

(g(x) = k_2 x + m_2)

Данные функции являются прямыми. Их можно графически изобразить, если принять какие-либо два значения (x_1) и (x_2) и найти (f(x_1)) и ((x_2)). Далее действия необходимо повторить с функцией (g(x)). Затем достаточно легко определить визуально координаты точки пересечения рассматриваемых функций.

Важно отметить, что для линейных функций характерна лишь одна точка пересечения только в том случае, когда (k_1 neq k_2). В противном случае (k_1=k_2), а функции будут параллельными друг другу, в связи с тем, что k является коэффициентом угла наклона. При( k_1 neq k_2) и (m_1=m_2) точка пересечения будет соответствовать (M(0;m)). Данная закономерность упрощает решение многих подобных задач.

Задача № 1

Имеются функции: (f(x) = 2x-5)

(g(x)=x+3)

Требуется определить координаты точки, в которой пересекаются графики рассматриваемых функций.

Решение

В первую очередь стоит отметить, что функции являются линейными. Важно обратить внимание на коэффициент угла наклона рассматриваемых функций:

(k_1 = 2)

(k_2 = 1)

Заметим, что:

(k_1 neq k_2)

По этой причине имеется лишь одна точка пересечения графиков функций. Определить ее можно путем решения уравнения:

(f(x)=g(x))

(2x-5 = x+3)

Необходимо перенести члены с x в левую часть, а остальные – в правую:

(2x – x = 3+5)

(x = 8)

В результате удалось найти x=8, что соответствует абсциссе точки пересечения графиков. Требуется определить ординату y с помощью подстановки x = 8 в любое из уравнений – в (f(x)), либо в (g(x)):

(f(8) = 2cdot 8 – 5 = 16 – 5 = 11)

Таким образом, M (8;11) – представляет собой точку, в которой пересекаются графики пары линейных функций.

Ответ: M (8;11)

Задача № 2

Записаны две функции: (f(x)=2x-1)

(g(x) = 2x-4.)

Необходимо определить точки, в которых графики рассматриваемых функций пересекаются.

Решение

Угловые коэффициенты:

(k_1 = k_2 = 2)

Таким образом, линейные функции параллельны между собой, что объясняет отсутствие точек пересечения их графиков.

Ответ: графики функций параллельны, точки пересечения отсутствуют.

Задача № 3

Требуется определить координаты точки, в которой пересекаются графики следующих функций: (f(x)=x^2-2x+1)

(g(x)=x^2+1)

Решение

В данном случае функции являются нелинейными. Поэтому алгоритм решения задачи будет несколько отличаться от предыдущих примеров. В первую очередь следует приравнять уравнения:

(x^2-2x+1=x^2+1)

Далее необходимо разнести в разные стороны уравнения члены с x и без него:

(x^2-2x-x^2=1-1)

(-2x=0)

(x=0)

Таким образом, будет определена абсцисса искомой точки. Затем необходимо найти ординату у. Для этого нужно подставить (x = 0) в какое-либо из двух начальных уравнений. К примеру:

(f(0)=0^2-2cdot 0 + 1 = 1)

M (0;1) является точкой, в которой пересекаются графики функций.

Ответ: M (0;1)

Приравнивание функций друг к другу и нахождение корней

Выяснить, имеют ли точки пересечения графики функций, можно путем сравнения соответствующих тождеств и решения уравнения. Однако при этом допускается получение различных равенств с неизвестными. Тогда целесообразно воспользоваться специальными методиками.

Когда уравнение относится к первой степени или является линейным, решение получить достаточно просто. Метод заключается в переносе переменных величин в одну часть уравнения, а известных – в другую. Алгоритм действий:

  • раскрытие скобок, приведение подобных коэффициентов;
  • перенос членов с неизвестными в одну сторону, а с известными – в другую;
  • математические преобразования;
  • определение корня.

Квадратные уравнения решают с помощью одного из способов:

  • разложение на множители;
  • выделение полного квадрата;
  • поиск дискриминанта;
  • теорема Виета.

В первом случае представляется возможным понизить степень при неизвестной величине. Второй метод заключается в выделении квадрата по одной из формул сокращенного умножения. Каждая из этих методик реализуема при наличии знаний соответствующих тождеств, в том числе правил разложения на множители.

Третий способ состоит в поиске корней через дискриминант (Д), который является дополнительным параметром, позволяющим сразу решить задачу. Дискриминант определяется с помощью формулы:

((-S)^2-4PU)

В том случае, когда Д>0, переменная может иметь пару значений, которые превращают равенство в справедливое тождество. Если Д=0, то корень является единственным. Когда Д<0, искомое тождество с неизвестными не имеет решений.

Квадратные уравнения решают таким образом:

  • выполнение необходимых алгебраических преобразований, в том числе раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых;
  • выбор наиболее оптимального способа решения и его реализация;
  • проверка корней с помощью их подстановки в начальное выражение.

Примечание

Распространенной ошибкой является пренебрежение проверкой результатов решения. Некорректные действия могут привести к образованию ложных корней.

Существует несколько методик решения тождеств кубического и биквадратного типов:

  • понижение степени, то есть разложение на множители;
  • замена переменной.

Первый вариант решения подразумевает выполнение преобразований для последующего применения одной из формул сокращенного умножения. Такой способ применяют нечасто. Второй способ состоит в том, что при решении необходимо ввести переменную с более низкой степенью, которая упрощает выражение. Порядок действий при этом следующий:

  • выполнение математических преобразований;
  • выражение переменной через другую;
  • решение квадратного или линейного уравнения;
  • подстановка промежуточных корней, которые получилось найти на третьем шаге, во второй;
  • вычисление искомых корней;
  • проверка;
  • исключение ложных решений;
  • запись ответа.

Путем составления системы уравнений

Данный метод определения точек пересечения графиков функций предполагает запись системы уравнения. К примеру:

К примеру

Источник: static-interneturok.cdnvideo.ru

Решение системы уравнений представляет собой пару чисел (х, у), являющуюся одновременно решением для первого и второго уравнения системы. Решить систему уравнений – значит, отыскать все ее решения, либо установить их отсутствие.

Порядок действий при решении системы уравнений можно рассмотреть на примере:

Порядок действий при решении системы уравнений можно рассмотреть на примере

Источник: static-interneturok.cdnvideo.ru 

Решение будет иметь следующий вид:

Решение будет иметь следующий вид

Источник: static-interneturok.cdnvideo.ru

Данные уравнения являются линейными, поэтому график каждого из них представляет собой прямую. График первого уравнения проходит через точки (0; 1) и (-1; 0). График второго уравнения проходит через точки (0; -1) и (-1; 0). Прямые пересекаются в точке (-1; 0), это и является решением системы уравнений.

Прямые пересекаются в точке

Источник: static-interneturok.cdnvideo.ru

Решение системы представляет сбой единственную пару чисел:

Решение системы представляет сбой единственную пару чисел:

Источник: static-interneturok.cdnvideo.ru 

Если подставить данные числа в любое из уравнений, то получится справедливое равенство. Таким образом, имеется единственное решение линейной системы. Можно записать отчет: (-1;0).

В процессе решения линейной системы можно столкнуться с разными ситуациями:

  • система обладает единственным решением, прямые пересекаются;
  • решения системы отсутствуют. прямые параллельны;
  • система обладает бесчисленным множеством решений, прямые совпадают.

При рассмотрении частного случая системы p(x; y) и q(x; y) являются линейными выражениями от x и y.

В задачах нередко требуется решить нелинейную систему уравнений. К примеру, необходимо решить следующую систему:

К примеру, необходимо решить следующую систему

Источник: static-interneturok.cdnvideo.ru

Решение имеет следующий вид:

Решение имеет следующий вид

Источник: static-interneturok.cdnvideo.ru

График первого уравнения будет иметь вид прямой, а второго – являться окружностью. Можно построить первый график по точкам:

Можно построить первый график по точкам

Источник: static-interneturok.cdnvideo.ru

Центр окружности в точке О(0; 0), радиус равен 1.

Графики пересекаются в точке А(0; 1) и в точке В(-1; 0).

Ответ: (0; 1); (-1; 0).

Можно решить систему графическим способом:

Можно решить систему графическим способом

Источник: static-interneturok.cdnvideo.ru

В первую очередь необходимо построить график первого уравнения, который будет представлять собой окружность с центром в точке О (0; 0) и радиусом 2. График второго уравнения является параболой, которая смещена относительно начала координат на 2 вверх, то есть ее вершина – точка (0; 2).

График второго уравнения является параболой

Источник: static-interneturok.cdnvideo.ru

Графики обладают одной общей точкой А(0; 2). Данная точка является решением системы. Если подставить два числа в уравнение, можно проверить корректность ответа и записать его. Ответ: (0; 2).

В качестве еще одного примера можно решить следующую систему:

В качестве еще одного примера можно решить следующую систему

Источник: static-interneturok.cdnvideo.ru

Первым шагом является построение графика первого уравнения, который будет представлять собой окружность с центром в точке О (0; 0) и радиусом 1.

Первым шагом является построение графика первого уравнения

Источник: static-interneturok.cdnvideo.ru

Далее необходимо построить график функции:

Далее необходимо построить график функции

Источник: static-interneturok.cdnvideo.ru

График будет являться ломанной:

График будет являться ломанной

Источник: static-interneturok.cdnvideo.ru

Далее следует сместить ее на 1 вниз по оси oy. В результате получится график функции:

В результате получится график функции

Источник: static-interneturok.cdnvideo.ru

При помещении обоих графиков в одну систему координат получится следующая ситуация:

При помещении обоих графиков в одну систему координат получится следующая ситуация

Источник: static-interneturok.cdnvideo.ru

Таким образом, получились три точки пересечения: А(1; 0), т. В(-1; 0), т. С(0; -1)

Нахождение через графическое построений функций

Любой определенный график задают с помощью соответствующей функции. Найти точки, в которых пересекаются графики, можно путем решения уравнения, имеющего вид:

(f1(x)=f2(x))

Решение данного уравнения будет являться искомой точкой.

Решение данного уравнения будет являться искомой точкой

Источник: st03.kakprosto.ru

Построить график можно с помощью бумаги и ручки. В процессе необходимо обратить внимание на то, что количество точек пересечения пары графиков определяется видом функции. Линейные функции обладают лишь одной точкой пересечения, линейная и квадратная – двумя, квадратные – двумя, либо четырьмя.

В общем случае двух линейных функций можно предположить, что:

(y1=k1x+b1)

(y2=k2x+b2)

Для поиска точки пересечения графиков необходимо решить уравнение:

(y1=y2 или k1x+b1=k2x+b2)

После преобразований получится, что:

(k1x-k2x=b2-b1.)

Далее нужно выразить x:

(x=(b2-b1)/(k1-k2).)

При известной координате точки по оси абсцисс следует определить координату по оси ординат. Таким образом, можно найти координаты точки пересечения графиков:

(((b2-b1)/(k1-k2); k1(b2-b1)/(k1-k2)+b2))

График функции y = f (х) представляет собой множество точек плоскости, координаты (х, у) которых соответствуют выражению y = f(x). График функции наглядно иллюстрирует поведение и свойства функции. Для построения графика определяют несколько значений довода х и для них рассчитывают соответствующие значения функции y=f(x). Для больше точного и наглядного построения графика следует обнаружить его точки пересечения с осями координат.

С целью определить точку пересечения графика функции с осью y, нужно определить значение функции при х=0, то есть обнаружить f(0). В качестве примера можно рассмотреть график линейной функции, изображенной на рисунке:

В качестве примера можно рассмотреть график линейной функции

Источник: st03.kakprosto.ru

В данном случае при х=0 ((y=a*0+b)) функция равна b. Таким образом, график пересекает ось ординат (ось Y) в точке (0,b). Когда пересекается ось абсцисс (ось Х) функция равна 0, то есть (y=f(x)=0). Для того чтобы определить х, следует решить уравнение (f(x)=0). В случае линейной функции получаем уравнение (ax+b=0), откуда и находим (x=-b/a). В результате можно сделать вывод, что ось Х пересекается в точке ((-b/a,0).)

При наличии квадратичной зависимости y от х, уравнение (f(x)=0) обладает двумя корнями. Таким образом, ось абсцисс пересекается два раза. В случае периодической зависимости y от х, например, (y=sin(x)), график функции обладает бесконечным количеством точек пересечения с осью Х. Проверить корректность расчета координат точек, в которых пересекаются графики функций, можно с помощью подстановки найденных значений х в выражение f(x). Значение выражения при любом из вычисленных х должно быть равно 0.

Добавить комментарий