Как найти абсолютная погрешность произведения

Погрешность произведения

Пусть в результате измерений получено:

$$ x = x_0 pm Delta x, quad y = y_0 pm Delta y, quad x, y gt 0 $$

Найдём границы для произведения этих величин: z = xy

$$ {left{ begin{array}{c} x_0- Delta x le x le x_0+ Delta x \ y_0- Delta y le y le y_0+ Delta y end{array} right.} Rightarrow (x_0- Delta x)(y_0-Delta y) le xy le (x_0+ Delta x)(y_0+ Delta y) Rightarrow $$

$$ Rightarrow x_0 y_0-( Delta xy_0+x_0 Delta y- Delta x Delta y) le xy le x_0 y_0-( Delta xy_0+x_0 Delta y+ Delta x Delta y) $$

(О правилах умножения двух неравенств, см. §36 данного справочника).

Абсолютные погрешности $Delta x ≪ x_0, Delta y≪y_0$ заметно меньше $x_0$ и $ y_0$, поэтому будем считать, что произведение $Delta x Delta y approx 0$, и им можно пренебречь. Получаем:

$$ x_0 y_0-( Delta xy_0+x_0 Delta y) le xy le x_0 y_0-( Delta xy_0+x_0 Delta y) $$

$$ z = z_0 pm Delta z: z_0 = x_0 y_0, quad Delta z = Delta xy_0+x_0 Delta y $$

$$ δ_z = frac{Delta z}{z_0} = frac{Delta xy_0+x_0 Delta y}{x_0 y_0} = frac{Delta x}{x_0} + frac{Delta y}{y_0} = δ_x+δ_y $$

$$ δ_{xy} = δ_x+δ_y $$

При умножении приближенных величин их относительные погрешности складываются.

Погрешность степени

Пусть в результате измерений получено: $x = x_0 pm Delta x, x gt 0$

Тогда, для квадрата x из выражения для относительной погрешности произведения получаем: $δ_{x^2} = δ_x+δ_x = 2δ_x$.

Для куба: $δ_{x^3 } = δ_{x^2}+δ_x = 2δ_x+δ_x = 3δ_x$.

Для произвольной степени n:

$$ δ_{x^n} = n δ_x $$

При возведении приближенной величины в натуральную степень n, её относительная погрешность увеличивается в n раз.

Погрешность частного

Пусть в результате измерений получено:

$$x = x_0 pm Delta x, quad y = y_0 pm Delta y, quad x,y gt 0 $$

Найдём границы для частного этих величин: $z = frac{x}{y}$

$$ {left{ begin{array}{c} x_0- Delta x le x le x_0 + Delta x \ y_0- Delta y le y le y_0+ Delta y end{array} right.} Rightarrow {left{ begin{array}{c}x_0- Delta x le x le x_0+ Delta x \ frac{1}{y_0-Delta y} ge frac{1}{y} ge frac{1}{y_0+ Delta y} end{array} right.} Rightarrow $$

$$ Rightarrow {left{ begin{array}{c} x_0- Delta x le x le x_0+ Delta x \ frac{1}{y_0+ Delta y} le frac{1}{y} le frac{1}{y_0- Delta y} end{array} right.} Rightarrow frac{x_0- Delta x}{y_0+ Delta y} le frac{x}{y} le frac{x_0+ Delta x}{y_0- Delta y} Rightarrow $$

$$ Rightarrow frac{ (x_0- Delta x)(y_0- Delta y)}{(y_0+ Delta y)(y_0- Delta y)} le frac{x}{y} le frac{(x_0+ Delta x)(y_0+ Delta y)}{(y_0- Delta y)(y_0+ Delta y)} Rightarrow $$

$$ Rightarrow frac{x_0 y_0-( Delta xy_0+x_0 Delta y- Delta x Delta y)}{y_0^2- Delta y^2} le frac{x}{y} le frac{x_0 y_0+( Delta xy_0+x_0 Delta y+ Delta x Delta y)}{y_0^2- Delta y^2} $$

О правилах умножения двух неравенств и обращения положительных сторон, см. §36 данного справочника.

Считаем произведения и квадраты абсолютных погрешностей малыми величинами $Delta x Delta y approx 0, quad Delta y^2 approx 0$, которыми можно пренебречь. Получаем:

$$ frac{x_0 y_0-( Delta xy_0+x_0 Delta y)}{y_0^2} le frac{x}{y} le frac{x_0 y_0+( Delta xy_0+x_0 Delta y)}{y_0^2} $$

$$frac{x_0}{y_0} – left( frac{Delta x}{y_0} + frac{x_0 Delta y}{y_0^2} right) le frac{x}{y} le frac{x_0}{y_0} + left( frac{Delta x}{y_0} + frac{x_0 Delta y}{y_0^2} right) $$

$$ z = z_0 pm Delta z: z_0 = frac{x_0}{y_0}, Delta z = frac{Delta x}{y_0} + frac{x_0 Delta y}{y_0^2}$$

$$ δ_z = frac{Delta z}{z_0} = left( frac{Delta x}{y_0} + frac{x_0 Delta y}{y_0^2}right) : frac{x_0}{y_0} = left( frac{Delta x}{y_0} + frac{x_0 Delta y}{y_0^2}right) cdot frac{y_0}{x_0} = frac{Delta x}{x_0} + frac{Delta y}{y_0} = δ_x+δ_y $$

$$ δ_{frac{x}{y}} = δ_x+δ_y $$

При делении приближенных величин их относительные погрешности складываются.

Примеры

Пример 1. Точное значение выражения:

$$5,31 cdot 4,16+2,19 cdot 1,51 = 22,0896+3,3069 = 25,3965 $$

Считая все величины, входящие в выражение, приближёнными с абсолютной погрешностью $Delta$ x = 0,01, выясните, нужно ли округлять ответ.

Во сколько раз абсолютная погрешность результата больше абсолютной погрешности исходных данных? Во сколько раз относительная погрешность результата больше относительной погрешности сомножителя 5,31?

Обозначим a = 5,31, b = 4,16, c = 2,19, d = 1,51.

Относительные погрешности (округление с избытком):

$$δ_a = frac{0,01}{5,31} cdot 100 text{%} = 0,19 text{%}, quad δ_b = frac{0,01}{4,16} cdot 100 text{%} = 0,25 text{%} $$

$$δ_c = frac{0,01}{2,19} cdot 100 text{%} = 0,46 text{%}, quad δ_d = frac{0,01}{1,51} cdot 100 text{%} = 0,67 text{%} $$

Относительные погрешности произведений:

$$ δ_{ab} = δ_a+δ_b = 0,19 text{%} + 0,25 text{%} = 0,44 text{%} $$

$$ δ_{cd} = δ_c+δ_d = 0,46 text{%} +0,67 text{%} = 1,13 text{%} approx ↑ 1,2 text{%} $$

Абсолютные погрешности произведений:

$$ Delta_{ab} = δ_{ab} cdot ab = 0,0044 cdot 22,0896 approx 0,09719 approx ↑ 0,098 $$

$$ Delta_{cd} = δ_{cd} cdot cd = 0,012 cdot 3,3069 approx 0,03968 approx 0,040 $$

Оставляем в промежуточных оценках 2 значащие цифры для последующего округления. Абсолютная погрешность выражения:

$$ Delta_{ab+cd} = Delta_{ab} + Delta_{cd} = 0,098+0,040 = 0,138 approx ↑ 0,2 $$

Таким образом, ответ нужно округлить до десятых:

$$ 5,31 cdot 4,16+2,19 cdot 1,51 approx 25,4 ± 0,2 $$

Отношение абсолютной погрешности результата к погрешности исходных данных:

$ frac{0,2}{0,01} = 20$ – абсолютная погрешность увеличилась в 20 раз.

Относительная погрешность результата: $δ = frac{0,2}{25,4} cdot 100 text{%} approx 0,79 text{%} $

По отношению к $δ_a: frac{δ}{δ_a} = frac{0,79}{0,19} approx 4,2$ – относительная погрешность результата в 4,2 раза больше.

Пример 2. а) Границы приближенных величин $5 le x le 6,6 le y le 7$. Оцените сумму, разность, произведение и частное этих величин.

б) Считая x и y точными величинами, принимающими значения на заданных отрезках, найдите границы суммы, разности и произведения этих величин.

а) По условию:

$$ {left{ begin{array}{c} x_0-Delta x = 5 \ x_0+Delta x = 6 end{array} right.} Rightarrow {left{ begin{array}{c} 2x_0 = 5+6 = 11 \ 2 Delta x = 6-5 = 1 end{array} right.} Rightarrow {left{ begin{array}{c} x_0 = 5,5 \ Delta x = 0,5 end{array} right.} Rightarrow δ_x = frac{0,5}{5,5} cdot 100 text{%} approx 9,1 text{%} $$

$$ {left{ begin{array}{c} y_0- Delta y = 6 \ y_0+ Delta y = 7 end{array} right.} Rightarrow {left{ begin{array}{c} 2y_0 = 6+7 = 13 \ 2 Delta y = 7-6 = 1 end{array} right.} Rightarrow {left{ begin{array}{c} y_0 = 6,5 \ Delta y = 0,5 end{array} right.} Rightarrow δ_y = frac{0,5}{6,5} cdot 100 text{%} approx 7,7 text{%} $$

Абсолютная погрешность суммы: $Delta_{x+y} = Delta_x+Delta_y = 0,5+0,5 = 1$

$$ x+y = (5,5+6,5) pm 1 = 12 pm 1 $$

Границы суммы: $ 11 le x+y le 13$

Абсолютная погрешность разности: $Delta _{x-y} = Delta _x + Delta _y = 0,5+0,5 = 1$

$$ x-y = (5,5-6,5) pm 1 = -1 pm 1 $$

Границы разности: $-2 le x-y le 0$

Относительная погрешность произведения:

$$δ_{xy} = δ_x+δ_y = 9,1 text{%} +7,7 text{%} = 16,8 text{%} approx 17 text{%}$$

Абсолютная погрешность произведения:

$$ Delta_{xy} = δ_{xy} cdot x_0 y_0 = 0,17 cdot 5,5 cdot 6,5 = 6,0775 approx ↑ 7 $$

$$ xy = (5,5 cdot 6,5) pm 7 approx 36 pm 7 $$

Границы произведения: $29 le xy le 43$

Относительная погрешность частного:

$$ δ_{x/y} = δ_x+δ_y = 9,1 text{%} +7,7 text{%} = 16,8 text{%} approx 17 text{%} $$

Абсолютная погрешность частного:

$$ Delta_{frac{x}{y}} = δ_{frac{x}{y}} cdot frac{x_0}{y_0} = 0,17 cdot frac{5,5}{6,5} approx 0,14 approx ↑ 0,2 $$

$$ frac{x}{y} = left( frac{5,5}{6,5} right) pm 0,2 approx 0,8 pm 0,2 $$

Границы частного: $0,6 le frac{x}{y} le 1,0$

б) Для точных величин получаем следующие границы:

Границы суммы:

$$ {left{ begin{array}{c} 5 le x le 6 \ 6 le y le 7 end{array} right.} Rightarrow 5+6 le x+y le 6+7 Rightarrow 11 le x+y le 13 $$

Границы разности:

$$ {left{ begin{array}{c} 5 le x le 6 \ 6 le y le 7 end{array} right.} Rightarrow {left{ begin{array}{c} 5 le x le 6 \ -7 le -y le -6 end{array} right.} Rightarrow 5-7 le x-y le 6-6 Rightarrow -2 le x-y le 0 $$

Границы произведения:

$$ {left{ begin{array}{c} 5 le x le 6 \ 6 le y le 7 end{array} right.} Rightarrow 5 cdot 6 le xy le 6 cdot 7 Rightarrow 30 le xy le 42 $$

Границы частного:

$$ {left{ begin{array}{c} 5 le x le 6 \ 6 le y le 7 end{array} right.} Rightarrow {left{ begin{array}{c} 5 le x le 6 \ frac{1}{7} le frac{1}{y} le frac{1}{6} end{array} right.} Rightarrow frac{5}{7} le frac{x}{y} le 1 $$

Пример 3. В эксперименте по определению плотности вещества получен объём V = 9, 7 $pm$ 0,05 мл и масса m = 107 $pm$ 2 г. Найдите плотность.

Это свинец или железо?

Плотность:

$$ ρ = frac{m}{V}, ρ_0 = frac{m_0}{V_0} = frac{107 cdot 10^{-3} кг}{9,7 cdot 10^{-6} м^3} approx 11031 frac{кг}{м^3} $$

Относительные погрешности (округление с избытком):

$$ δ_V = frac{0,05}{9,7} cdot 100 text{%} approx 5,2 text{%}, δ_m = frac{2}{107} cdot 100 text{%} approx 1,9 text{%} $$

$$ δ_ρ = δ_V+δ_m = 5,2 text{%} +1,9 text{%} = 7,1 text{%} $$

Абсолютная погрешность для плотности (округление с избытком):

$$ Δ_ρ = δ_ρ cdot ρ_0 = 0,071 cdot 11031 approx 800 frac{кг}{м^3} $$

$$ ρ = 11000 pm 800 frac{кг}{м^3} $$

Это – свинец (табличное значение $ρ_{таб} = 11340 frac{кг}{м^3}$ ).

Погрешности произведения

Относительная погрешность произведения нескольких приближенных чисел, отличных от нуля, не превышает суммы относительных погрешностей этих чисел. Докажем данное утверждение.

f = x1 x2 xn ,

xi > 0 , i =1, ,n .

n

Прологарифмируем данное выражение: ln f = ∑ln xi .

i=1

∆ln f ≈ d(ln x)= (ln x)′∆x = ∆x . Тогда ∆f

n

∆xi

.

Используя свойства модуля

= ∑

x

f

i=1

xi

суммы, получаем

∆f

n

∆x

i

, а

∆x

i

≈δi .

(1.9)

f

≤ ∑

xi

xi

i=1

n

Тогда (1.9) можно

записать

в

виде

δ ≤ ∑δi . В доказательстве

было

i=1

использовано условие, что xi

> 0 . Однако данная формула справедлива для

любых xi ≠ 0 .

Предельная относительная

погрешность

произведения равна

сумме

n

предельных относительных погрешностей сомножителей δ f = ∑δi .

i=1

Предельная абсолютная погрешность произведения вычисляется по формуле

∆ f =		f		δ f .	(1.10)
В частном случае, если f = kx ( k = const , k ≠ 0), то δ f = δx , ∆ f	=		k		∆x .

Правила округления при умножении

1.Выбрать число с наименьшим количеством значащих цифр (n).

2.Округлить остальные приближенные числа так, чтобы каждое из них содержало на одну или две значащие цифры больше, чем у числа из пункта 1

(n+1 или n+2).

– 14 –

3.Провести операцию умножения.

4.Если дальнейшие вычисления не требуются, то округлить произведение до n значащих цифр. Если проводятся дальнейшие преобразования, то произведение округляется до n+1 или n+2 значащих цифр.

5.Провести дальнейшие вычисления и окончательно округлить результат до n значащих цифр.

Пример. Вычислить произведение двух приближенных чисел x1 = 27,12 ,

x2 =14,721 и найти погрешность данной операции.

Произведение	f	= x1 x2 = 399,23352 ≈ 399,234 . Так	как	x1 имеет четыре
значащие цифры,	а	x2 имеет пять значащих цифр,	то	при округлении

произведения оставляются шесть значащих цифр, из которых две – запасные. Вычисляем погрешности: ∆x1 = 0,005, ∆x2 = 0,0005.

δ f

=

∆x1

+

∆x2

=

0,005

+ 0,0005 = 2,1 10−4 .

x2

27,12

x1

14,721

∆ f

=

f

δ f

= 399,234 2,1 10−4 = 0,084 .

Проводим окончательное округление: f

= 399,2 ± 0,08.

Ответ:

f = 399,2 ± 0,08.

Число верных знаков произведения

Пусть

f

= x1 x2 xn , причем n ≤10 ,

а α1,α2 , ,α n – первые ненулевые

значащие

цифры

у

соответствующих переменных x1, x2 , , xn . Любую

переменную

xi

можно

представить

в

следующем

виде:

xi =αi 10mi

+ βi 10mi−1 + , где i=1,2,…,n. Тогда предельную относительную

погрешность

xi

можно вычислить по формуле

δxi =

1

101−Ni , где

Ni –

2 αi

количество

верных

цифр

в

переменной

xi .

Следовательно, предельная

относительная

погрешность

произведения

будет

иметь

вид

– 15 –

δ f

=

1

(

1

+

1

+ +

1

) 101−N , где N – наименьшее количество верных цифр

2

α1

α2

αn

в переменных x , x

2

, , x

n

. Оценив сумму

1

+

1

+ +

1

≤10 с учетом того,

1

α1

α2

αn

что n ≤10 , получаем значение предельной относительной погрешности

δ f ≤ 12 102−N . Таким образом, число верных знаков произведения будет не

менее N-2. При благоприятных обстоятельствах количество верных знаков произведения будет только на один меньше, чем у сомножителей. Поэтому при выполнении операции умножения достаточно взять сомножители с одной или двумя запасными знаками. Далее рассмотрим два примера, которые покажут, какой случай считать благоприятным, а какой – нет.

Пример 1. Вычислить количество верных цифр произведения двух приближенных чисел x1 = 87,34, x2 = 64,721.

Так как x1 имеет четыре значащие цифры, а x2 имеет пять значащих цифр, то наименьшее количество верных цифр равно четырем. Вычисляем

	предельную				относительную	погрешность
	δ f	=	1	(	1	+	1) 101−4	=	7	10	−3 ≤	1	10−3 . В данном случае	получаем, что
	2	8	48	2
					6

произведение имеет на одну верную цифру меньше, чем сомножители. Ответ: данное произведение имеет три верных знака.

Пример 2. Вычислить количество верных цифр произведения двух приближенных чисел x1 =17,34, x2 =14,721. Хотя внешне этот пример похож на пример 1, он имеет определенные особенности. Как и в предыдущем случае, x1 имеет четыре значащие цифры, а x2 имеет пять значащих цифр, и наименьшее количество верных цифр равно четырем. Вычисляем предельную

относительную погрешность δ f	=	1	(1	+	1) 101−4	=10−3 ≤	1	10−2 . В этом
		2	1		1		2

– 16 –

случае количество верных цифр у произведения будет равно двум, и произведение имеет на две верные цифры меньше, чем сомножители.

Ответ: данное произведение имеет два верных знака.

Погрешности частного

Относительная погрешность частного двух приближенных чисел не превышает суммы относительных погрешностей делимого и делителя. Доказательство данного утверждения аналогично доказательству относительной погрешности произведения.

Дано: f

=

x1

, x2 ≠ 0.

x2

Прологарифмируем данное

выражение:

ln f

= ln x1 −ln x2 .

Используя

свойство: ∆ln f ≈ d(ln x)= (ln x)′∆x = ∆xx , получаем

∆f

= ∆x1

− ∆x2 .

f

x

x

2

1

Используя свойства модуля суммы, получаем

∆f

≤

∆x1

+

∆x2

, а

∆xi

≈δi .

(1.11)

f

x1

x2

xi

Тогда (1.11)

можно записать в виде δ ≤ δx1 +δx2 . Следовательно, предельная

относительная погрешность частного равна сумме предельных относительных погрешностей делимого и делителя δ f = δx1 +δx2 .

Предельная абсолютная погрешность частного вычисляется по формуле

∆ f =		f		δ f .	(1.12)
Правила округления при делении аналогичны правилам округления при
умножении.
Пример. Вычислить частное двух		приближенных чисел	x1 = 27,12 ,

x2 =14,721 и найти погрешность данной операции.

– 17 –

Лабораторная работа №1

Методы оценки погрешностей

  I.  Описание работы

Тема: Методы оценки погрешностей приближенных величин.

Задание 1. Округляя точные числа до трех значащих цифр, определить абсолютную и относительную погрешности полученных приближенных чисел.

Дано:

Найти:

Решение:

– приближенное значение числа A

Абсолютная погрешность:

Относительная погрешность:

Ответ: ;

Задание 2. Определить абсолютную погрешность приближенных чисел по их относительной погрешности .

Дано:

Найти:

Решение:

Абсолютная погрешность:

Ответ:

Задание 3. Решить задачу.

При измерении длины с точностью до 5 м получено км, а при определении другой длины с точностью до 0.5 см, получено метров. Какое измерение по своему качеству лучше?

Дано: Км, М, М, См

Сравнить: и

Решение: Итак, по 1-му измерению, результат Км = М с точностью до М ( – абсолютная погрешность величины ).

Тогда относительная погрешность: %

По 2-му измерению, результат Км с точностью до См =М ( – абсолютная погрешность величины ).

Тогда относительная погрешность: %

Так как , то измерение можно считать по качеству лучше, чем .

Ответ: измерение по качеству лучше, чем .

Задание 4. а) Определить количество верных знаков в числе , если известна его предельная абсолютная погрешность

Дано:

Найти:

Решение:

По определению, n первые значащие цифры являются верными в узком смысле, если абсолютная погрешность этого числа не превышает половины единицы разряда младшей цифры, считая слева направо.

Абсолютная погрешность: , поэтому значащие цифры 8 и 4 числа 0,00842 верны в узком смысле.

Ответ: число X имеет две верных цифры в узком смысле (8 и 4), то есть

Б) Определить количество верных знаков в числе , если известна его предельная относительная погрешность .

Дано: %

Найти:

Решение:

Предельная абсолютная погрешность:

Только первая значащая цифра 1 числа A верна в узком смысле.

Ответ: число A имеет одну верную цифру в узком смысле (1), то есть

Задание 5. Найти предельные относительные погрешности, допускаемые при взятии вместо чисел 3.1, 3.14, 3.1416:

А) считая, что у них все записанные знаки являются верными;

Б) зная, что

Провести сравнения погрешностей и сделать необходимые выводы.

Дано: , ,

Найти:

Решение:

А) :

Если считать, что все записанные знаки являются верными в узком смысле, то абсолютная погрешность:

Предельная абсолютная погрешность:

Тогда предельная относительная погрешность:

%

:

Если считать, что все записанные знаки являются верными в узком смысле, то абсолютная погрешность:

Предельная абсолютная погрешность:

Тогда предельная относительная погрешность:

%

:

Если считать, что все записанные знаки являются верными в узком смысле, то абсолютная погрешность:

Предельная абсолютная погрешность:

Тогда предельная относительная погрешность:

%

Б) Пусть (прервем запись числа на 7-м знаке после запятой и считаем полученное число точным значением числа ).

Тогда абсолютная погрешность первого представления числа : .

Относительная погрешность: %

Абсолютная погрешность второго представления числа : .

Относительная погрешность: %

Абсолютная погрешность третьего представления числа : %.

Относительная погрешность: %

Выводы:

1) Можно заметить, что , то есть ;

, то есть ;

, то есть

Иными словами, для трех чисел их «истинная» относительная погрешность ограничена предельной относительной погрешностью, определенной из условия верности знаков чисел. Причем, для каждого числа две оценки отличаются меньше, чем на порядок. Значит, предположение о верности всех знаков чисел Обосновано.

2) Сравнение относительных погрешностей чисел :

показывает,

Что числа Перечислены

В порядке увеличения точности представления числа ,

То есть точнее , точнее .

Ответ: а)

б)

Задание 6. Найти сумму приближенных чисел , , считая в них все знаки верными, т. е. что абсолютная погрешность каждого слагаемого не превосходит половины единицы младшего разряда этого слагаемого. Определить абсолютную и относительную погрешности суммы.

Дано: , ,

Найти:

Решение:

1) Считаем, что в числах , , все знаки верны в узком смысле, то есть

Число с наибольшей абсолютной погрешностью .

2) Остальные числа округлим, сохраняя один запасный десятичный знак по сравнению с ранее выделенным наименее точным слагаемым :

, абсолютная погрешность округления

, абсолютная погрешность округления

3) Сложим все эти числа, учитывая все сохраненные знаки:

4) Полученный результат округлим на один знак (формально):

, абсолютная погрешность округления

5) Полную абсолютную погрешность суммы будем складывать из трех компонентов:

A)  суммы предельных абсолютных погрешностей исходных чисел;

B)  абсолютной величины суммы ошибок округления слагаемых;

C)  заключительной погрешности округления результата.

– абсолютная погрешность суммы.

% – относительная погрешность суммы.

Ответ: ; %.

Задание 7. Найти предельную абсолютную и относительную погрешности при вычислении объема прямого кругового цилиндра, если значения его высоты и радиуса основания имеют все верные знаки.

Дано: ,

Найти:

Решение:

,

Примем

1) Так как в числах и все числа верны, то их абсолютные погрешности:

Число с наибольшей абсолютной погрешностью .

Число R округлим, сохраняя один запасный десятичный знак по сравнению с ранее выделенным наименее точным слагаемым :

, абсолютная погрешность округления (округления не требуется)

2) перемножим числа, учитывая все сохраненные знаки:

3) Полученный результат округляем, сохраняя столько значащих цифр, сколько верных цифр имеется в числе H, то есть 2 значащих цифры:

;

Абсолютная погрешность округления

4) Полную абсолютную погрешность произведения будем складывать из двух слагаемых:

A) предельной абсолютной погрешности произведения до его округления;

B) заключительной погрешности округления произведения.

Абсолютную погрешность произведения до округления вычислим на основе предварительно найденной относительной погрешности произведения округленных сомножителей:

%.

Полная абсолютная погрешность

Теперь перейдем к искомому объему.

(Здесь полученный результат округляем до трех значащих цифр).

– предельная абсолютная погрешность объема.

% – предельная относительная погрешность объема.

Ответ: , , %

Задание 8. Привести пример потери точности при вычитании двух близких чисел.

Решение:

Пусть и – два близких числа; примем, что у них одинаковое число знаков после запятой.

Считаем, что все знаки в числах и верны в узком смысле. Тогда абсолютные погрешности:

Относительные погрешности:

%

%

Так как , то

Абсолютная погрешность результата:

Относительная погрешность результата: %

При вычитании двух близких чисел и относительная погрешность возросла на 3 порядка!

Лабораторная работа №2

Метод Гаусса

  I.  Описание работы

Тема: Решение системы линейных неоднородных алгебраических уравнений методом Гаусса (схема единственного деления).

Задание. Решить систему трех уравнений с тремя неизвестными с точностью искомых неизвестных до .

Промежуточные вычисления вести с двумя запасными знаками.

,

Решение:

Исходные данные и все результаты вычислений запишем в таблицу 1.

Прямой ход

1.  Записываем коэффициенты данной системы в трех строках и четырех столбцах раздела 1 таблицы 1.

2.  Суммируем все коэффициенты по строке и записываем сумму в столбце (столбец контроля), например .

3.  Делим все числа, стоящие в первой строке, на и результаты записываем в 4-й строке раздела 1.

4.  Вычисляем и делаем проверку, если вычисления ведутся с 6 и более знаками после запятой, то числа и не должны отличаться более, чем на единицу последнего разряда:

5.  По формулам вычисляем коэффициенты :

Результаты записываем в первые две строки раздела:

6.  Делаем проверку. Сумма элементов каждой строки не должна отличаться от более, чем на 1-2 единицы последнего разряда. Заметим, что ,

,

,

7.  Делим все элементы 1 строки раздела 2 на и результаты записываем в 3 строке раздела 2.

8.  Делаем проверку:

9.  По формулам вычисляем :

Результаты записываем в 1 строку раздела 3.

10. Делаем проверку:

,

11. Делим все элементы 1 строки раздела 3 на и результаты записываем в следующей (второй) строке этого раздела.

12.  Делаем проверку:

Обратный ход

1.  В разделе 4 записываем единицы

2.  Записываем .

3.  Для вычисления и используем лишь строки разделов, содержащие 1.

4.  Вычислим по формуле: .

5.  Вычислим по формуле:

.

6.  Аналогично проводим обратный ход в контрольной системе. Записываем ,

вычисляем и с заменой и на и соответственно:

Делаем обычную проверку по строкам – должно быть , с точностью до 1-2 единиц последнего разряда.

Действительно:

Заполним таблицу 1 результатами вычислений:

Таблица 1

Раз Дел
1	1 2 3
2	2 3
3	3
4		1 1 1	1	1

Округлим полученное решение до , по требованию задачи:

Окончательную проверку точности полученного решения системы выполним подстановкой этого решения в систему. Должно получиться приближенное тождество с точностью до .

Ответ:

< Предыдущая		Следующая >

Действия с приближенными числами.

На практике пользуются более простыми правилами, которые называются

Правила подсчета цифр:

Задача:

Решение:

Задача:

Решение:

Задача:

Найдите произведение двух приближенных чисел: 0,3862 * 0,85

Решение:

Задача:

Решение:

Задача:

Решение:

Задача:

Решение:

(Лисичкин В.Т., Соловейчик И.Л. Сборник задач по математике с решениями для техникумов (учебное пособие))

При решении некоторых задач возникает необходимость указать верные цифры результата,

т.е. найти границу абсолютной погрешности результата вычислений.

На практике сначала находят относительную погрешность результата, а затем, используют формулу:

Формулы для вычисления границ абсолютной и относительной погрешностей некоторых функций приведены в таблице.

Задача:

 

Решение:

Так как a=0,3862 то ∆a=0,00005  , b = 0,8 значит ∆b=0,05

​​​​​​​

Находим границу абсолютной погрешности произведения по формуле

(Н.В. Богомолов Практические занятия по математике)