Как найти абсолютное значение чисел

Распространенной задачей в математике является вычисление того, что называется абсолютным значением данного числа. Как правило, мы используем вертикальные полосы вокруг числа, чтобы отметить это, как видно на рисунке. Мы будем читать левую часть уравнения как «абсолютное значение -4».

Компьютеры и калькуляторы часто используют формат «abs (x)» вместо вертикальных полос для представления абсолютного значения. Эта статья будет использовать этот формат, так как eHow не позволяет использовать вертикальную черту в статьях.

На самом деле нас спрашивают, насколько далеко число находится от нуля на числовой линии. Это чрезвычайно простая тема, которая обычно вводится в средней школе, но в ней есть более сложные приложения по математике для старших классов и колледжей.

Как уже упоминалось во введении, абсолютное значение числа – это его расстояние от нуля на числовой линии. Расстояния всегда положительны, независимо от того, в каком направлении мы идем. Мы никогда не говорим, что проезжаем минус пять миль до магазина.



Абсолютное значение числа – это просто положительная версия числа. Если нас просят вычислить abs (5), мы просто примем к сведению тот факт, что 5 – это пять единиц от 0 в числовой строке. Мы говорим, что abs (5) = 5. «Абсолютное значение 5 – 5».



В качестве другого примера, если нас попросят вычислить abs (-3), мы примем к сведению тот факт, что -3 находится на расстоянии 3 единицы от 0. Это происходит слева от 0 на числовой строке, но все равно 3 ед. Мы говорим, что abs (-3) = 3. «Абсолютное значение -3 равно 3.» Если наше исходное число отрицательное, мы просто отвечаем положительной версией числа.



Иногда ученики путаются и думают, что абсолютное значение подсказывает нам изменить знак числа. Это неправда. Посмотрите на формулу слева. Это говорит нам, что если число положительное или 0, просто оставьте это в покое. Это ответ. Если он отрицательный, ваш ответ отрицательный, что делает его положительным. Помните: ответ на проблему абсолютного значения всегда положительный.

Это все, что нужно для этого на базовом уровне, и, конечно, в младших классах это все, что ученики должны знать. Иногда ученики раздражаются, чувствуя, что это шутка и оскорбление их интеллекта. Хотя представленная задача действительно очень проста, абсолютное значение играет большую роль в последующей математике и используется более сложными способами.

Чтобы представить немного аппетита, представьте, что одна машина заполняет бутылку газировки, а другая машина проверяет, что в ней содержится от 11, 9 до 12, 1 унции. соды (чтобы соответствовать законности маркировки его как 12 унций.) Если х – это фактическое количество унций соды в бутылке, то машина должна убедиться, что абс (х – 12) <0, 1.

Это на самом деле выглядит хуже, чем есть. Мы говорим, что вес соды не должен превышать 0, 1 унции. выше или ниже цели 12 унций. Если он немного выключен, нам все равно, будет ли он немного выше или чуть ниже. Все, что нас беспокоит, это то, что величина ошибки составляет менее 0, 1. Это один из примеров более продвинутого способа использования абсолютного значения. Фактически, проблема, которая очень похожа на это, появилась на старом экзамене SAT.

А пока просто убедитесь, что вы понимаете основную идею о том, как вычислить абсолютное значение, чтобы у вас не было проблем, когда вы снова увидите его в более сложных контекстах.

Нельзя так просто взять и вычислить абсолютное значение

Кажется, задача вычисления абсолютного значения (или модуля) числа совершенно тривиальна. Если число отрицательно, давайте сменим знак. Иначе оставим как есть. На Java это будет выглядеть примерно так:

public static double abs(double value) {
  if (value < 0) {
    return -value;
  }
  return value;
}

Вроде бы это слишком просто даже для вопроса на собеседовании на позицию джуна. Есть ли тут подводные камни?

Вспомним, что в стандарте IEEE-754 вообще и в Java в частности есть два нуля: +0.0 и -0.0. Это такие братья-близнецы, их очень легко смешать и перепутать, но вообще-то они разные. Разница проявляется не только в текстовом представлении, но и в результате выполнения некоторых операций. Например, если поделить единицу на +0.0 и -0.0, то мы получим кардинально разные ответы: +Infinity и -Infinity, отличие между которыми уже сложно игнорировать. Однако, например, в операциях сравнения +0.0 и -0.0 неразличимы. Поэтому реализация выше не убирает минус у -0.0. Это может привести к неожиданным результатам. Например:

double x = -0.0;
if (1 / abs(x) < 0) {
  System.out.println("oops");
}

Казалось бы, обратное к модулю x число не может быть отрицательным, какое бы ни было x. Но в данном случае может. Если у вас есть садистские наклонности, попросите джуна на собеседовании написать метод abs. Когда же он выдаст код вроде того что в начале статьи, можете спросить, выполнится ли при каком-нибудь x условие 1 / abs(x) < 0. После таких собеседований про вашу компанию будут ходить легенды.

Ну ладно, проблему мы нашли. А как её исправить? Наивно добавить if (value < 0 || value == -0.0) не получится, потому что +0.0 == -0.0. В итоге мы сделаем ещё хуже: теперь будет выдаваться -0.0 для положительного нуля на входе. Чтобы надёжно отличить отрицательный нуль, есть метод Double.compare:

public static double abs(double value) {
  if (value < 0 || Double.compare(value, -0.0) == 0) {
    return -value;
  }
  return value;
}

Это работает. Но метод становится ужасно медленным для такой тривиальной операции. Double.compare устроен не так уж просто, нам потребуется пара дополнительных сравнений для положительного числа, три сравнения для -0.0 и целых четыре сравнения для +0.0. Если посмотреть на реализацию Double.compare, можно понять, что нам нужна только часть связанная с doubleToLongBits. Этот метод реинтерпретирует битовое представление double-числа как битовое представление long-числа (и там, и там восемь байт). А со сравнением целых чисел никаких сюрпризов нет. Поэтому можно упростить так:

private static final long MINUS_ZERO_LONG_BITS =
  Double.doubleToLongBits(-0.0);

public static double abs(double value) {
  if (value < 0 ||
      Double.doubleToLongBits(value) == MINUS_ZERO_LONG_BITS) {
    return -value;
  }
  return value;
}

Однако, оказывается, doubleToLongBits тоже не совсем тривиален, потому что он канонизирует NaN’ы. Есть много способов закодировать not-a-number в виде double, но только один из них канонический. Эти разные NaN’ы совсем-совсем близнецы, их не отличишь ни сравнением через Double.compare, никакой операцией, ни строковым представлением. Но в памяти компьютера они выглядят по-разному. Чтобы не было сюрпризов, doubleToLongBits приводит любой NaN к каноническому виду, который записывается в long как 0x7ff8000000000000L. Конечно, это лишние проверки, которые нам здесь тоже не нужны.

Что же делать? Оказывается, можно использовать doubleToRawLongBits, который никаких умностей с NaN‘ами не делает и возвращает всё как есть:

private static final long MINUS_ZERO_LONG_BITS =
  Double.doubleToRawLongBits(-0.0);

public static double abs(double value) {
  if (value < 0 ||
      Double.doubleToRawLongBits(value) == MINUS_ZERO_LONG_BITS) {
    return -value;
  }
  return value;
}

Этот метод JIT-компилятор в идеале может вообще удалить полностью, потому что речь идёт просто про реинтерпретацию набора бит в процессоре, чтобы типы данных сошлись. А сами биты остаются одни и те же и процессору обычно наплевать на типы данных. Хотя говорят, что всё-таки это может привести к пересылке из регистра с плавающей точкой в регистр общего назначения. Но всё равно очень быстро.

Ладно, у нас осталось два ветвления для всех положительных чисел и нулей. Всё равно кажется, что много. Мы знаем, что ветвления — это плохо, если branch predictor не угадает, они могут очень дорого стоить. Можно ли сделать меньше? Оказывается, можно любой нуль превратить в положительный, если вычесть его из 0.0:

System.out.println(0.0-(-0.0)); // 0.0
System.out.println(0.0-(+0.0)); // 0.0

Таким образом, можно написать:

public static double abs(double value) {
  if (value == 0) {
    return 0.0 - value;
  }
  if (value < 0) {
    return -value;
  }
  return value;
}

Зачем так сложно, спросите вы. Ведь можно просто вернуть 0.0 в первом условии. Кроме того, у нас всё равно два сравнения. Однако можно заметить, что для обычных отрицательных чисел 0.0 - value и просто -value дают одинаковый результат. Поэтому первые две ветки легко схлопнуть в одну:

public static double abs(double value) {
  if (value <= 0) {
    return 0.0 - value;
  }
  return value;
}

Отлично, у нас теперь всегда одна ветка. Победа? Но как насчёт сделать всегда ноль веток? Возможно ли это?

Если посмотреть на представление числа double в стандарте IEEE-754, можно заметить, что знак — это просто старший бит. Соответственно, нам нужно просто безусловно сбросить этот старший бит. Остальная часть числа при выполнении этой операции не меняется. В этом плане дробные числа даже проще целых, где отрицательные превращаются в положительные через двоичное дополнение. Сбросить старший бит можно через операцию & с правильной маской. Но для этого надо интерпретировать дробное число как целое (и мы уже знаем как это сделать), а потом интерпретировать назад (для этого есть longBitsToDouble, и он тоже практически бесплатный):

public static double abs(double value) {
  return Double.longBitsToDouble(
    Double.doubleToRawLongBits(value) & 0x7fffffffffffffffL);
}

Этот способ действительно не содержит ветвлений, и профилирование показывает, что пропускная способность метода при определённых условиях увеличивается процентов на 10%. Предыдущая реализация с одним ветвлением была в стандартной библиотеке Java с незапамятных времён, а вот в грядущей Java 18 уже закоммитили улучшенную версию.

В ряде случаев, впрочем, эти улучшения ничего не значат, потому что JIT-компилятор может использовать соответствующую ассемблерную инструкцию при её наличии и полностью проигнорировать Java-код. Например, на платформе ARM используется инструкция VABS. Так что пользы тут мало. Но всё равно интересная статья получилась!

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 18 ноября 2021 года; проверки требует 1 правка.

Абсолю́тная величина́ или мо́дуль числа (в математике) — неотрицательное число, которое, неформально говоря, обозначает расстояние между началом координат и . Обозначается:

В случае вещественного  абсолютная величина есть непрерывная кусочно-линейная функция, определённая следующим образом:

Обобщением этого понятия является модуль, или абсолютная величина^[1], комплексного числа Это число определяется по формуле:

Основные свойства[править | править код]

С геометрической точки зрения, модуль вещественного или комплексного числа есть расстояние между числом и началом координат. В математике широко используется тот факт, что геометрически величина означает расстояние между точками и и, таким образом, может быть использована как мера близости одной (вещественной или комплексной) величины к другой — например, в определении предела по Коши или медианы^[2].

Вещественные числа[править | править код]

Комплексные числа[править | править код]

• Область определения: вся комплексная плоскость.
• Область значений:
• Модуль как комплексная функция не дифференцируема ни в одной точке, поскольку условия Коши-Римана не выполнены.

Алгебраические свойства[править | править код]

Для любых вещественных чисел имеют место следующие соотношения:

Как для вещественных, так и для комплексных имеют место соотношения:

История[править | править код]

Считают, что термин предложил использовать Котс, ученик Ньютона. Лейбниц тоже использовал эту функцию, которую называл модулем и обозначал: mol. Общепринятое обозначение абсолютной величины введено в 1841 году Вейерштрассом. Для комплексных чисел это понятие ввели Коши и Арган в начале XIX века.

В языках программирования[править | править код]

Поскольку эта функция вычисляется достаточно просто (а именно с помощью сравнений и присваиваний), то обычно она входит в стандартный список функций во все языки программирования. Например, в Pascal есть функция abs(x), а в C fabs(x) для вещественного типа. В программе Wolfram Mathematica: Abs[x].

Обобщение[править | править код]

Понятие абсолютной величины можно ввести в произвольном упорядоченном кольце или упорядоченном поле, и свойства её будут аналогичны приведённым выше.

Обобщением понятия модуля можно считать норму элемента многомерного векторного пространства, обозначаемую . Норма вектора в евклидовом пространстве иногда тоже называется модулем. По аналогии с модулем разности чисел, норма разности двух векторов является мерой близости между ними. В отличие от модуля числа, норма вектора может определяться различными способами, однако в случае одномерного пространства норма вектора пропорциональна (часто и равна) модулю его единственной координаты.

См. также[править | править код]

• Модуль комплексного числа
• Модуль вектора
• Норма вектора
• Нормирование
• Нормированное векторное пространство

Примечания[править | править код]

Определение.
Абсолютной
величиной (или
модулем)
числа х называется само число
,
если,
число (
),
если.

Абсолютная величина
числа
обозначается.
Таким образом,,
если,
и,
если.

Из определения
абсолютной величины числа вытекает ряд
ее свойств.

1. .
   Доказательство.
   Если
   ,
   то.
   Если,
   то,
   но,
   т. е..

2. .
   Доказательство.
   Если
   ,
   тои тогда.
   Если,
   то,
   и тогда.

3. .
   Доказательство.
   Если
   ,
   то
   ,
   .
   Отсюда,
   т. е..
   Если,
   то,
   откуда.
   Так как,
   то,
   или,
   откуда,
   т. е..
   Поэтому.
   Получаем, что
   .

Теорема 1.
Пусть
положительное число. Тогда неравенстваиравносильны.((
,


0: х


) 
( – 

х 

)).

Доказательство.
Пусть
.
Если,
то,
поэтому,
таким образом,.
Если,
то,
следовательно,,
откуда.
Объединяя неравенстваи,
получаем, что,.

Пусть
.
Это означает, что одновременно выполняются
неравенстваи.
Из последнего неравенства следует, что.
По определению,есть либо,
либо,
поэтому.

Теорема 2.
Абсолютная
величина суммы двух чисел не больше
суммы абсолютных величин этих чисел,
т. е.
.

Доказательство.
Пусть
,– произвольные числа. По свойству 3 для
них выполняются неравенства:,.
Поэтому, складывая эти неравенства,
получаем.
По предыдущей теореме это равносильно
неравенству.

Из этой теоремы
следует, что абсолютная величина разности
двух чисел не больше суммы абсолютных
величин этих чисел, т. е.
.

Теорема 3.
Абсолютная
величина разности двух чисел не меньше
разности абсолютных величин этих чисел,
т. е.
.

Доказательство.
Для любых чисел
и:.
По предыдущей теореме.
Поэтому.

Аналогично
доказывается утверждение о том, что
абсолютная величина суммы двух чисел
не меньше разности абсолютных величин
этих чисел, т. е.
.

Замечание.
Для любых чисел х и у имеют место легко
проверяемые соотношения
и,
если.
Эти соотношения предлагается доказать
самостоятельно.

1.4. Геометрическое изображение вещественных чисел

Рассмотрим
произвольную прямую. На ней можно указать
два противоположных направления. Выберем
одно из направлений и масштабную единицу
для измерения длин отрезков.

Определение.
Прямая с
выбранным на ней направлением называется
осью.

Рассмотрим на оси
две произвольные точки А и В.

Определение.
Отрезок с граничными точками А и В
называется
направленным, если
указано, какая из этих точек считается
началом, а какая – концом отрезка.

Направленный
отрезок с началом в точке А и концом в
точке В обозначим
и будем считать, что он направлен от
начала отрезка к концу.Нулевыми
направленными отрезками
будем называть те, у которых начало и
конец совпадают. Длина направленного
отрезка
обозначаетсяили.

Для направленных
отрезков, лежащих на оси (или на
параллельных осях), вводится понятие
величины направленного отрезка.

Определение.
Величиной
АВ направленного
отрезка
называется число, равное,
если направления отрезка и оси совпадают,
и,
если эти направления противоположны.

Величины направленных
отрезков
ипри любом направлении оси отличаются
знаками.

Если точки А и В
совпадают, то величина направленного
отрезка
считается равной нулю.

Определение.
Два ненулевых направленных отрезка
называются равными,
если при совмещении начал этих отрезков
совпадают и их концы. Любые два нулевых
направленных отрезка считаются равными.

Над направленными
отрезками определены следующие операции

операция сложения и умножения на число.

О

D

пределение. Суммой
направленных отрезков
иназывается направленный отрезок,
полученный при совмещении началаотрезкас концомотрезка.

В

С

А

Теорема. Величина
суммы направленных отрезков равна сумме
величин слагаемых отрезков.

Доказательство.
Пусть хотя бы один из отрезков
иявляется нулевым, то в этом случае сумма
совпадает с другим отрезком и утверждение
теоремы справедливо. Если оба отрезка
ненулевые, то при совмещении началаотрезкас концомотрезкаполучим, что.
Рассмотрим случай, когда оба отрезкаинаправлены в одну сторону. В этом случае
длина отрезкаравна сумме длин отрезкови,
причем направлениесовпадает с направлением каждого из
отрезкови.
Поэтому справедливо равенство.
Рассмотрим случай, когда отрезкиинаправлены в противоположные стороны.
В этом случае величины отрезковиимеют разные знаки, поэтому.
Направление отрезкасовпадает с направлением наибольшего
по длине из отрезкови,
следовательно, знак величины отрезкасовпадает со знаком числа,
т. е. справедливо равенство.
Теорема доказана.

Основное тождество.
Для любых
трех точек А, В, С, расположенных на оси,
величины направленных отрезков
,иудовлетворяют соотношению.

Это тождество
следует из доказанной выше теоремы.

Определение.
Произведением направленного отрезка
на число
называется направленный отрезок,
обозначаемый
,
длина которого равна произведению числана длину отрезка

и направление которого совпадает с
направлением отрезка

при
и противоположно направлению

при
.

Рассмотрим
произвольную прямую, на которой выбрано
направление и некоторая точка О,
называемая началом координат.

Определение.
Прямая с
выбранным направлением, масштабной
единицей и началом координат называется
координатной
осью.

Пусть М
– произвольная точка на выбранной
прямой.

О

М

Точке М
поставим в соответствие число х,
равное величине ОМ
направленного отрезка
.
Числох
называется координатой
точки М.

Таким образом,
каждой точке координатной прямой
соответствует определенное вещественное
число – ее координата. Верно и обратное
утверждение: любому вещественному числу
х
соответствует некоторая точка М на
координатной прямой, координата которой
равна х.
Следовательно, вещественные числа можно
изображать точками на координатной
прямой. Поэтому около точки на координатной
прямой часто указывают число – ее
координату.

О

х

Пусть точка М₁
имеет
координату х₁,
а точка М₂
– координату х₂.

М₁
(х₁)

О

М₂
(х₂)

Выразим величину
М₁М₂
направленного отрезка
через координаты точекМ₁
и М₂.
Согласно основному тождеству ОМ₁
+ М₁М₂
= ОМ₂.
Тогда М₁М₂
= ОМ₂
– ОМ₁
, но ОМ₁
= х₁,
ОМ₂
= х₂,
поэтому М₁М₂
= х₂
– х₁.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #