Чтобы узнать, на сколько приближенное значение отличается от точного, надо из большего числа вычесть меньшее. Иначе говоря, надо найти модуль разности точного и приближенного значений. Этот модуль разности называют абсолютной погрешностью.
Абсолютной погрешностью, или, короче, погрешностью приближенного числа, называется разность между этим числом и его точным значением (из большего числа вычитается меньшее).
Пример 1. На предприятии 1284 рабочих и служащих. При округлении этого числа до 1300 абсолютная погрешность составляет 1300 – 1284 = 16. При округлении до 1280 абсолютная погрешность составляет 1284 – 1280 = 4.
Относительной погрешностью приближенного числа называется отношение абсолютной погрешности приближенного числа к самому этому числу.
Пример 2. В школе 197 учащихся. Округляем это число до 200. Абсолютная погрешность составляет 200 – 197 = 3. Относительная погрешность равна (frac{3}{197}) или, округленно, (frac{3}{197}) = 1,5 %.
В большинстве случаев невозможно узнать точное значение приближенного числа, а значит, и точную величину погрешности. Однако почти всегда можно установить, что погрешность (абсолютная или относительная) не превосходит некоторого числа.
Материал по математике на тему “Абсолютная и относительная погрешность”
Разработка содержит определения и примеры по теме.
Описание разработки
Практическая деятельность человека неразрывно связана с числами, которые можно получать тремя способами: в результате измерений, счета и выполнения математических операций.
Однако:
– Любое измерение нельзя выполнить точно: ошибку дает либо прибор, либо наблюдатель.
– Счет дает точные результаты, только если количество предметов невелико и если оно постоянно во времени.
– Далеко не все математические операции можно выполнить абсолютно точно.
В этих случаях мы имеем дело с приближенными числами. Но при вычислениях важно знать отклонение приближенного значения величины от ее точного значения, для этого вводится понятие абсолютной погрешности приближения.
Определение.
Абсолютной погрешностью приближения называется модуль разности между точным значением величины и ее приближенным значением.
Δ = |а-х|, где Δ – абсолютная погрешность
a – точное значение величины
x – приближенное значение
Δ = |а-х| → a – x= ± Δ → a = x ± Δ
Пример. Найти абсолютную погрешность приближения 0,44 числа 4/9.
Δ = |4/9-0,44| = |4/9-11/25|=|100-99/225| = 1/225
На практике во многих случаях точное значение бывает неизвестно, поэтому абсолютную погрешность найти нельзя. Однако можно дать оценку абсолютной погрешности, если известны приближения с избытком и с недостатком.
Определение Границей абсолютной погрешности Δ приближения называется такое положительное число h больше которого абсолютная погрешность быть не может.
Δ = |а-х| ≤ h
Пример. 1/225=0,004444 < 0,0045
x – Δ – Нижняя граница (Н. Г.)
x + Δ – Верхняя граница (В. Г.)
Приближенные числа, как и точные записываются как правило при помощи десятичных дробей.
Но если в записи точного числа все его цифры верные, то в приближенном некоторые его цифры верные, а другие являются сомнительными.
Определение. Цифра называется верной (точно значащей), если абсолютная погрешность числа не превосходит единицы того разряда в котором записана эта цифра.
В противном случае она называется сомнительной.
Пример. x = 3,7412 ± 0,002.
Определить верные и сомнительные цифры.
В. Г. = 3,7412 + 0,002 = 3,7432
Н. Г. = 3,7412 – 0,002 = 3,7392
Верные – 3 и 7, сомнительные 4,1 и 2.
Замечания.
1) В записи приближенного числа сохраняются только верные цифры. x = 3,7
2) Если в десятичной дроби последние верные цифры нули, то они остаются в записи числа.
x = 0,301 ±0,001
В. Г. = 0,302 Н. Г. = 0, 300 → x = 0,30
3) В десятичной записи числа значащими цифрами называются все его верные цифры, начиная с первой слева отличной от нуля.
0, 583; 38,57; 38,507; 29,830
Весь материал – в документе.
Содержимое разработки
Тема: Абсолютная и относительная погрешность.
Практическая деятельность человека неразрывно связана с числами, которые можно получать тремя способами: в результате измерений, счета и выполнения математических операций.
Однако:
– Любое измерение нельзя выполнить точно: ошибку дает либо прибор, либо наблюдатель.
– Счет дает точные результаты, только если количество предметов невелико и если оно постоянно во времени.
– Далеко не все математические операции можно выполнить абсолютно точно.
В этих случаях мы имеем дело с приближенными числами. Но при вычислениях важно знать отклонение приближенного значения величины от ее точного значения, для этого вводится понятие абсолютной погрешности приближения.
Определение. Абсолютной погрешностью приближения называется модуль разности между точным значением величины и ее приближенным значением.
Δ = 
, где Δ – абсолютная погрешность
a – точное значение величины
x – приближенное значение
Δ = 
a – x= 
Δ a = x Δ
Пример. Найти абсолютную погрешность приближения 0,44 числа 4/9.
Δ = 
= 
На практике во многих случаях точное значение бывает неизвестно, поэтому абсолютную погрешность найти нельзя. Однако можно дать оценку абсолютной погрешности, если известны приближения с избытком и с недостатком.
Определение Границей абсолютной погрешности Δ приближения называется такое положительное число h больше которого абсолютная погрешность быть не может.
Δ = 
h
Пример. 
0,0045
x – Δ – Нижняя граница (Н.Г.)
x + Δ – Верхняя граница (В.Г.)
Приближенные числа, как и точные записываются как правило при помощи десятичных дробей. Но если в записи точного числа все его цифры верные, то в приближенном некоторые его цифры верные, а другие являются сомнительными.
Определение. Цифра называется верной (точно значащей), если абсолютная погрешность числа не превосходит единицы того разряда в котором записана эта цифра. В противном случае она называется сомнительной.
Пример. x = 3,7412 0,002
Определить верные и сомнительные цифры.
В.Г. = 3,7412 + 0,002 = 3,7432
Н.Г. = 3,7412 – 0,002 = 3,7392
Верные – 3 и 7, сомнительные 4,1 и 2.
Замечания.
-
В записи приближенного числа сохраняются только верные цифры. x = 3,7
-
Если в десятичной дроби последние верные цифры нули, то они остаются в записи числа.
x = 0,301 0,001
В.Г. = 0,302 Н.Г. = 0, 300 x = 0,30
3) В десятичной записи числа значащими цифрами называются все его верные цифры, начиная с первой слева отличной от нуля.
0, 583; 38,57; 38,507; 29,830
Правило округления чисел: Если первая слева отбрасываемая цифра меньше 5, то округляют с недостатком, если это цифра 5 или больше, то округляют с избытком.
Пример. 5,739 (с точностью до 0,01) 
5,74
3, 53 (с точностью до целых) 4
30253 (с точностью до 1000) 30000
Но абсолютной погрешности не достаточно для полной характеристики приближения.
Если измерять расстояние между двумя городами, которое равно 100 км, с точность до 1 м, то это будет точное измерение, а если с точность до 1м измерена длина участка земли, которая равна 10м, то это грубое измерение.
Определение. Относительной погрешностью называется отношение абсолютной погрешности к приближенному значению измеряемой величины. Обычно выражается в процентах.
ω = 
; ω% = 
Т.о. для более полной оценки точности измерений необходимо определить, какую часть, или сколько процентов, составляет абсолютная погрешность от значения данной величины.
Пример. Сравнить точность двух измерений .
d = 4 0,3; H = 600 0,3
ω(d) = 
ω(H) = 
Второе измерение более точное.
-80%
Скачать разработку
Сохранить у себя:
Материал по математике на тему “Абсолютная и относительная погрешность” (61 КB)
Похожие файлы
-
Научно-исследовательская работа по математике “Решение уравнений содержащих переменную под знаком модуля”
-
Сборник методических указаний по выполнению практических работ по учебной дисциплине «Математика»
-
Рабочая программа по математике (алгебра, 9 класс)
-
Календарно-тематическое планирование по математике 8 класс
-
Рабочая программа по математике (7 класс)
АБСОЛЮТНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ И ЕЕ ГРАНИЦА.
ЗАПИСЬ ПРИБЛИЖЕННОГО ЧИСЛА.
ВЕРНЫЕ И ЗНАЧАЩИЕ ЦИФРЫ ЧИСЛА
х – точное число
а – приближенное число
Разность х – а между точным числом х и приближенным числом а называется погрешностью приближения.
Модуль погрешности называется абсолютной погрешностью и обозначается ∆:
| х – а | = ∆
Погрешность и абсолютная погрешность имеют ту же размерность, что и рассматриваемая величина
Граница абсолютной погрешности ∆а – положительное число, которое больше или равно абсолютной погрешности или:
| х – а | ≤ ∆а
Если задана граница абсолютной погрешности ∆а, то число а есть приближенное значение числа х с точностью до ∆а и записывают
х = а ± ∆а, например: 94,5 ± 0,3
В отличие от абсолютной погрешности, граница абсолютной погрешности не определяется однозначно, поэтому на практике выбирается такое значение границы абсолютной погрешности, которое удобно для вычислений и обеспечивает максимальную точность.
Цифра приближенного числа а, записанного в виде десятичной дроби, называется верной (точной), если граница абсолютной погрешности числа не превышает (меньше или равно) единицы того разряда, в котором стоит эта цифра. В противном случае она называется сомнительной, например:
25,63 ± 0,2
Граница погрешности 0,2 , поэтому рассмотрим
цифру 5, разряд единицы, единица разряда 1 и 0,2 < 1 (граница погрешности не превышает единицу разряда), значит цифра 5 – верная, тогда цифра десятков – 2 данного числа тоже верная.
Цифра 6, разряд десятые, единица разряда 0,1 и 0,2 > 0,1 (граница погрешности превышает единицу разряда), значит цифра 6 – сомнительная. Значит и цифра 3 (сотые) будет также сомнительной
2 и 5 – верные цифры, 6 и 3 – сомнительные цифры числа
Запись чисел с сохранением только верных цифр широко используется во всех математических таблицах, в справочниках (физика, астрономия, техника). При этом, по записи приближенного числа можно оценить погрешность приближения, например:
табличные данные: температура кипения золота – 2700 ºС, значит граница абсолютной погрешности 1 ºС, температура кипения йода – 182,8 ºС, значит граница абсолютной погрешности 0,1 ºС.
Записи приближенных чисел 0,3; 0,30; 0,300 – неравносильны, т.к. приближенное число 0,3 имеет погрешность не более 0,1;
приближенное число 0,30 имеет погрешность не более 0,01;
приближенное число 0,300 имеет погрешность не более 0,001.
Если целое число содержит в конце нули, не являющиеся верными цифрами, то их заменяют множителем 10р, где р – число таких нулей.
В записи приближенных чисел принято соблюдать следующие правила:
- Оставлять в записи приближенного числа только верные цифры;
- Если в десятичной дроби последние верные цифры нули, то их надо выписать;
- Если число содержит в конце нули, не являющиеся верными цифрами, то они должны быть заменены на 10р , где р – число нулей, которые надо заменить
Например,
Записать правильно следующие приближенные числа:
- а = 0,075 ± 0,000005 – здесь погрешность меньше, чем 0,00001 (0,000005<0,00001), значит а = 0,07500 (последние верные цифры нули и их надо выписать, см. правило)
- а = 746000000 ± 5000 здесь погрешность меньше, чем 10000 (5000<10000), значит последние четыре нуля не являются верными цифрами и их надо заменить на 10р а = 74600·104
- а = 0,35 ∆а = 0,00005 – здесь погрешность меньше, чем 0,0001 значит
а = 0,3500 (последние верные цифры нули)
- а = 765000 ∆а = 5 – здесь погрешность 5<10 значит а = 76500·10, т.к. последний нуль не является верной цифрой
- а = 0,3700 ∆а = 0,05 – здесь погрешность 0,05<0,1 и цифра 7 не является верной, она отбрасывается, значит а = 0,4
В некоторых заданиях необходимо наоборот определить абсолютную погрешность по записи приближенного числа, например,
Указать абсолютную погрешность приближенных чисел:
- а = 14,5 ·10, значит ∆а = 10
- а = 34,20 т.к. последний нуль является верной цифрой, то ∆а = 0,01
- а = 263·104 , значит ∆а = 10000
Число в стандартном виде записывают так:
а = а0, а1 а2 … аk ·10m , где 1 ≤ а0 ≤ 10,
а0, а1 а2 … аk – все верные цифры числа,
показатель m – называется порядком числа.
Если число, записанное в виде десятичной дроби содержит все верные цифры, то все его цифры, начиная с первой слева отличной от нуля, называют значащими, например:
7,03 – три значащие цифры
4400 – четыре значащие цифры
0,000270 – три значащие цифры (нули, расположенные левее первой, отличной от нуля цифры, не считаются значащими 0,000270).
Округление числа – это замена его числом с меньшим количеством значащих цифр. При округлении числа до m значащих цифр отбрасывают все цифры, стоящие правее m-ой значащей цифры, заменяя их на нули (при сохранении разряда). При этом, если первая из отбрасываемых цифр ≥ 5, то последнюю оставшуюся цифру увеличивают на единицу,
например:
Округлить число с заданной точностью:
- с точностью до 10-3 (10-3 = 0,001)
1,5783
Значащие цифры – 1, 5, 7 и 8, цифра 3 – сомнительная, т.к. 0,001 > 0,0001 (единицы разряда)
1,5783 ≈ 1,578 (последняя из отбрасываемых цифр 3<5, значит предыдущую оставляем без изменений)
23,4997
Значащие цифры – 2, 3, 4, 9 и 9, цифра 7 – сомнительная
7>5, значит предыдущую увеличиваем на 1, получим
23,4997 ≈ 23,500
- с точностью до 10-2 (10-2 = 0,01)
4,761 ≈ 4,76
31,009 ≈ 31,01
- с точностью до 103 (103 = 1000)
159734 ≈ 160000 = 160·103
28,34 ≈ 0 – ни одна из цифр не является значащей 1000 > 10, т.к. задана точность 1000, а заданное число меньше, чем погрешность.
Лисичкин В.Т., Соловейчик И.Л. Сборник задач по математике с решениями для техникумов (учебное пособие)
Абсолютная и относительная погрешность
4.2
Средняя оценка: 4.2
Всего получено оценок: 2177.
4.2
Средняя оценка: 4.2
Всего получено оценок: 2177.
Абсолютную и относительную погрешность используют для оценки неточности в производимых расчетах с высокой сложностью. Также они используются в различных измерениях и для округления результатов вычислений. Рассмотрим, как определить абсолютную и относительную погрешность.
Опыт работы учителем математики – более 33 лет.
Абсолютная погрешность
Абсолютной погрешностью числа называют разницу между этим числом и его точным значением.
Рассмотрим пример: в школе учится 374 ученика. Если округлить это число до 400, то абсолютная погрешность измерения равна 400-374=26.
Для подсчета абсолютной погрешности необходимо из большего числа вычитать меньшее.
Существует формула абсолютной погрешности. Обозначим точное число буквой А, а буквой а – приближение к точному числу. Приближенное число – это число, которое незначительно отличается от точного и обычно заменяет его в вычислениях. Тогда формула будет выглядеть следующим образом:
Δа=А-а. Как найти абсолютную погрешность по формуле, мы рассмотрели выше.
На практике абсолютной погрешности недостаточно для точной оценки измерения. Редко когда можно точно знать значение измеряемой величины, чтобы рассчитать абсолютную погрешность. Измеряя книгу в 20 см длиной и допустив погрешность в 1 см, можно считать измерение с большой ошибкой. Но если погрешность в 1 см была допущена при измерении стены в 20 метров, это измерение можно считать максимально точным. Поэтому в практике более важное значение имеет определение относительной погрешности измерения.
Записывают абсолютную погрешность числа, используя знак ±. Например, длина рулона обоев составляет 30 м ± 3 см. Границу абсолютной погрешности называют предельной абсолютной погрешностью.
Относительная погрешность
Относительной погрешностью называют отношение абсолютной погрешности числа к самому этому числу. Чтобы рассчитать относительную погрешность в примере с учениками, разделим 26 на 374.
Получим число 0,0695, переведем в проценты и получим 7 %. Относительную погрешность обозначают процентами, потому что это безразмерная величина. Относительная погрешность – это точная оценка ошибки измерений. Если взять абсолютную погрешность в 1 см при измерении длины отрезков 10 см и 10 м, то относительные погрешности будут соответственно равны 10 % и 0,1 %. Для отрезка длиной в 10 см погрешность в 1 см очень велика, это ошибка в 10 %. А для десятиметрового отрезка 1 см не имеет значения, всего 0,1 %.
Различают систематические и случайные погрешности. Систематической называют ту погрешность, которая остается неизменной при повторных измерениях. Случайная погрешность возникает в результате воздействия на процесс измерения внешних факторов и может изменять свое значение.
Правила подсчета погрешностей
Для номинальной оценки погрешностей существует несколько правил:
- при сложении и вычитании чисел необходимо складывать их абсолютные погрешности;
- при делении и умножении чисел требуется сложить относительные погрешности;
- при возведении в степень относительную погрешность умножают на показатель степени.
Приближенные и точные числа записываются при помощи десятичных дробей. Берется только среднее значение, поскольку точное может быть бесконечно длинным. Чтобы понять, как записывать эти числа, необходимо узнать о верных и сомнительных цифрах.
Верными называются такие цифры, разряд которых превосходит абсолютную погрешность числа. Если же разряд цифры меньше абсолютной погрешности, она называется сомнительной. Например, для дроби 3,6714 с погрешностью 0,002 верными будут цифры 3,6,7, а сомнительными – 1 и 4. В записи приближенного числа оставляют только верные цифры. Дробь в этом случае будет выглядеть таким образом – 3,67.
Что мы узнали?
Абсолютные и относительные погрешности используются для оценки точности измерений. Абсолютной погрешностью называют разницу между точным и приближенным числом. Относительная погрешность – это отношение абсолютной погрешности числа к самому числу. На практике используют относительную погрешность, так как она является более точной.
Тест по теме
Доска почёта
Чтобы попасть сюда – пройдите тест.
-
Светлана Лобанова-Асямолова
10/10
-
Валерий Соломин
10/10
-
Анастасия Юшкова
10/10
-
Ксюша Пономарева
7/10
-
Паша Кривов
10/10
-
Евгений Холопик
9/10
-
Guzel Murtazina
10/10
-
Максим Аполонов
10/10
-
Olga Bimbirene
9/10
-
Света Колодий
10/10
Оценка статьи
4.2
Средняя оценка: 4.2
Всего получено оценок: 2177.
А какая ваша оценка?
При
приближенных измерениях и вычислениях
возникает потребность в характеристике
качества
проделанной работы. Для этой цели знание
только абсолютной погрешности оказывается
недостаточным. Для оценки качества
измерений или вычислений вводится
понятие относительной
погрешности.
О
п р е д е л е н и е. Отношение
абсолютной погрешности приближения к
модулю приближенного значения величины
а (а ≠ 0) называется относительной
погрешностью приближения.
(1)
Введенное
таким образом число,
δа
часто называют предельной
относительной погрешностью.
Формула
(1) связывает абсолютную и относительную
погрешности чисел. Из нее, в частности,
следует важное соотношение:
.
Из-за
неоднозначности абсолютной погрешности
относительная погрешность приближенного
числа также не единственна. Как и
абсолютную погрешность, относительную
погрешность записывают с одной-двумя
значащими цифрами и округляют при
необходимости с избытком.
Она является безразмерной величиной и
потому часто выражается в процентах:
.
Пусть
А
– точное значение некоторой числовой,
векторной или функциональной величины,
а
– известное приближение к нему, т.е.
приближенное значение для А.
Обозначаем: А
≈ а
или а
≈ А.
А
принято называть
точным
числом (вектором, функцией), а его
приближение а
– приближенным
числом (вектором, функцией).
О
п р е д е л е н и е. Разность А
– а
(или а
– А)
между точным и приближенным значениями
величины называется абсолютной
погрешностью
значения а.
Абсолютная
погрешность дает ценную информацию о
неизвестном точном значении А:
оно находится от известного приближения
а
на расстоянии, не большем чем Δа.
.
Следовательно,
найдя приближенное значение а
и
его абсолютную погрешность Δа,
узнаем, что точное значение А
располагается на отрезке
,
т.е. находится «в пределах от
до
».
Абсолютная
погрешность является основной
характеристикой точности вычислений.
О
п р е д е л е н и е. Если известна абсолютная
погрешность Δа
приближенного значения а,
то а
называют приближением
к А с точностью до Δа.
Абсолютную
погрешность не следует записывать с
большим количеством значащих цифр.
П
р а в и л о. В
записи абсолютной погрешности обычно
оставляют одну или две значащие цифры.
Округление при этом всегда производится
с избытком.
Абсолютную
погрешность можно записывать в так
называемой плавающей
форме
m
· 10p.
4. Общие правила проведения вычислений.
В
вычислительной практике важно получить
результат с требуемой точностью при
наименьшей затрате труда. Трудоемкость
вычислений границ погрешностей результата
заставила выработать простые приемы
практически надежного ведения приближенных
вычислений – правила
подсчета приближенных вычислений.
При
сложении:
в
сумме сохраняют столько десятичных
знаков, сколько их имеется в том слагаемом,
где десятичных знаков меньше.
При
вычитании:
в
разности сохраняют столько десятичных
знаков, сколько их содержится в том из
данных, где десятичных знаков меньше.
При
умножении:
в
произведении сохраняют столько значащих
цифр, сколько их имеется в том из
множителей, где значащих цифр меньше.
При
делении:
в
частном сохраняют столько значащих
цифр, сколько их имеется в том из данных,
где значащих цифр меньше.
При
возведении в квадрат или куб
приближенного
значения числа в результате следует
сохранять столько значащих цифр, сколько
верных значащих цифр имеет основание
степени.
При
извлечении квадратного или кубического
корня
из приближенного значения числа в
результате следует сохранять столько
значащих цифр, сколько верных значащих
цифр имеет подкоренное число.
Соседние файлы в папке Контрольные работы
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
