Понятие минора и алгебраического дополнения было рассмотрено нами в теме «Как вычислить определитель матрицы третьего порядка». В данной статье разберем тему более подробно, а также научимся вычислять миноры и алгебраические дополнения матриц высших порядков.
Сначала рекомендуется повторить вычисление определителей второго, третьего и высших порядков.
Минор
Минором MijM_{ij} к элементу aija_{ij} определителя nn-го порядка называется определитель (n−1)(n-1)-го порядка, который получается из исходного определителя вычеркиванием ii-той строки и jj-того столбца.
Таким образом, минор — это определитель, который остается после вычеркивания определенной строки и определенного столбца. Например, M12M_{12} получается вычеркиванием 1-й строки и 2-го столбца, M34M_{34} — вычеркиванием 3-й строки и 4-го столбца.
Алгоритм нахождения миноров
- вычеркиваем i-ю строку;
- вычеркиваем j-й столбец;
- записываем определитель, который получили в результате действий 1 и 2.
Пример 1
Найти минор M34M_{34} к элементу a34a_{34} определителя ∣21−23−121213−1543−31∣begin{vmatrix}2&1&-2&3\-1&2&1&2\1&3&-1&5\4&3&-3&1end{vmatrix}.
Те строки и столбцы, которые будем вычеркивать, выделим зеленым цветом.
M34=∣21−23−121213−1543−31∣=∣21−2−12143−3∣=2⋅2⋅(−3)+1⋅1⋅4+(−2)⋅3⋅(−1)−(−2)⋅2⋅4−1⋅(−3)⋅(−1)−2⋅1⋅3=−12+4+6+16−3−6=5M_{34}=begin{vmatrix}2&1&-2&color{green}3\-1&2&1&color{green}2\color{green}1&color{green}3&color{green}-1&color{green}5\4&3&-3&color{green}1end{vmatrix}=begin{vmatrix}2&1&-2\-1&2&1\4&3&-3end{vmatrix}=2cdot2cdot(-3)+1cdot1cdot4+(-2)cdot3cdot(-1)-(-2)cdot2cdot4-1cdot(-3)cdot(-1)-2cdot1cdot3=-12+4+6+16-3-6=5.
Пример 2
Найти миноры матрицы K=(03−122100−2−102−5711)K= begin{pmatrix}0&3&-1&2\2&1&0&0\-2&-1&0&2\-5&7&1&1end{pmatrix}.
Те строки и столбцы, которые будем вычеркивать, выделим зеленым цветом.
M11=(03−122100−2−102−5711)=∣100−102711∣=1⋅(−1)1+1∣0211∣=1⋅(−1)2∣0211∣=∣0211∣=1⋅(−1)2+1⋅2=1⋅(−1)3⋅2=−2M_{11}= begin{pmatrix}color{green}0&color{green}3&color{green}-1&color{green}2\color{green}2&1&0&0\color{green}-2&-1&0&2\color{green}-5&7&1&1end{pmatrix}=begin{vmatrix}1&0&0\-1&0&2\7&1&1end{vmatrix}=1cdot(-1)^{1+1}begin{vmatrix}0&2\1&1end{vmatrix}=1cdot(-1)^{2}begin{vmatrix}0&2\1&1end{vmatrix}=begin{vmatrix}0&2\1&1end{vmatrix}=1cdot(-1)^{2+1}cdot2=1cdot(-1)^{3}cdot2=-2,
M12=(03−122100−2−102−5711)=∣200−202−511∣=2⋅(−1)1+1∣0211∣=2⋅(−1)2∣0211∣=2∣0211∣=2⋅(−1)2+1⋅2=2⋅(−1)3⋅2=−4M_{12}= begin{pmatrix}color{green}0&color{green}3&color{green}-1&color{green}2\2&color{green}1&0&0\-2&color{green}-1&0&2\-5&color{green}7&1&1end{pmatrix}=begin{vmatrix}2&0&0\-2&0&2\-5&1&1end{vmatrix}=2cdot(-1)^{1+1}begin{vmatrix}0&2\1&1end{vmatrix}=2cdot(-1)^{2}begin{vmatrix}0&2\1&1end{vmatrix}=2begin{vmatrix}0&2\1&1end{vmatrix}=2cdot(-1)^{2+1}cdot2=2cdot(-1)^{3}cdot2=-4,
M13=(03−122100−2−102−5711)=∣210−2−12−571∣=2⋅(−1)⋅1+0⋅7⋅(−2)+1⋅2⋅(−5)−0⋅(−1)⋅(−5)−2⋅2⋅7−1⋅1⋅(−2)=−2−10−28+2=−38M_{13}= begin{pmatrix}color{green}0&color{green}3&color{green}-1&color{green}2\2&1&color{green}0&0\-2&-1&color{green}0&2\-5&7&color{green}1&1end{pmatrix}=begin{vmatrix}2&1&0\-2&-1&2\-5&7&1end{vmatrix}=2cdot(-1)cdot1+0cdot7cdot(-2)+1cdot2cdot(-5)-0cdot(-1)cdot(-5)-2cdot2cdot7-1cdot1cdot(-2)=-2-10-28+2=-38,
M14=(03−122100−2−102−5711)=∣210−2−10−571∣=1⋅(−1)3+3∣21−2−1∣=0M_{14}= begin{pmatrix}color{green}0&color{green}3&color{green}-1&color{green}2\2&1&0&color{green}0\-2&-1&0&color{green}2\-5&7&1&color{green}1end{pmatrix}=begin{vmatrix}2&1&0\-2&-1&0\-5&7&1end{vmatrix}=1cdot(-1)^{3+3}begin{vmatrix}2&1\-2&-1end{vmatrix}=0,
M21=(03−122100−2−102−5711)=∣3−12−102711∣=3⋅0⋅1+2⋅1⋅(−1)+(−1)⋅2⋅7−2⋅0⋅7−(−1)⋅1⋅(−1)−3⋅2⋅1=−2−14−1−6=−23M_{21}= begin{pmatrix}color{green}0&3&-1&2\color{green}2&color{green}1&color{green}0&color{green}0\color{green}-2&-1&0&2\color{green}-5&7&1&1end{pmatrix}=begin{vmatrix}3&-1&2\-1&0&2\7&1&1end{vmatrix}=3cdot0cdot1+2cdot1cdot(-1)+(-1)cdot2cdot7-2cdot0cdot7-(-1)cdot1cdot(-1)-3cdot2cdot1=-2-14-1-6=-23,
M22=(03−122100−2−102−5711)=∣0−12−202−511∣=0⋅0⋅1+(−1)⋅2⋅(−5)+2⋅1⋅(−2)−2⋅0⋅(−5)−(−1)⋅1⋅(−2)−0⋅2⋅1=10−4−2=4M_{22}= begin{pmatrix}0&color{green}3&-1&2\color{green}2&color{green}1&color{green}0&color{green}0\-2&color{green}-1&0&2\-5&color{green}7&1&1end{pmatrix}=begin{vmatrix}0&-1&2\-2&0&2\-5&1&1end{vmatrix}=0cdot0cdot1+(-1)cdot2cdot(-5)+2cdot1cdot(-2)-2cdot0cdot(-5)-(-1)cdot1cdot(-2)-0cdot2cdot1=10-4-2=4,
M23=(03−122100−2−102−5711)=∣032−2−12−571∣=0⋅(−1)⋅1+3⋅2⋅(−5)+2⋅7⋅(−2)−2⋅(−1)⋅(−5)−3⋅1⋅(−2)−0⋅2⋅7=−30−28−10+6=−62M_{23}= begin{pmatrix}0&3&color{green}-1&2\color{green}2&color{green}1&color{green}0&color{green}0\-2&-1&color{green}0&2\-5&7&color{green}1&1end{pmatrix}=begin{vmatrix}0&3&2\-2&-1&2\-5&7&1end{vmatrix}=0cdot(-1)cdot1+3cdot2cdot(-5)+2cdot7cdot(-2)-2cdot(-1)cdot(-5)-3cdot1cdot(-2)-0cdot2cdot7=-30-28-10+6=-62,
M24=(03−122100−2−102−5711)=∣03−1−2−10−571∣=0⋅(−1)⋅1+3⋅0⋅(−5)+(−1)⋅7⋅(−2)−(−1)⋅(−1)⋅(−5)−3⋅1⋅(−2)−0⋅0⋅7=14+5+6=25M_{24}= begin{pmatrix}0&3&-1&color{green}2\color{green}2&color{green}1&color{green}0&color{green}0\-2&-1&0&color{green}2\-5&7&1&color{green}1end{pmatrix}=begin{vmatrix}0&3&-1\-2&-1&0\-5&7&1end{vmatrix}=0cdot(-1)cdot1+3cdot0cdot(-5)+(-1)cdot7cdot(-2)-(-1)cdot(-1)cdot(-5)-3cdot1cdot(-2)-0cdot0cdot7=14+5+6=25,
M31=(03−122100−2−102−5711)=∣3−12100711∣=1⋅(−1)2+1∣−1211∣=1⋅(−1)3∣−1211∣=−∣−1211∣=−(−1−2)=3M_{31}= begin{pmatrix}color{green}0&3&-1&2\color{green}2&1&0&0\color{green}-2&color{green}-1&color{green}0&color{green}2\color{green}-5&7&1&1end{pmatrix}=begin{vmatrix}3&-1&2\1&0&0\7&1&1end{vmatrix}=1cdot(-1)^{2+1}begin{vmatrix}-1&2\1&1end{vmatrix}=1cdot(-1)^{3}begin{vmatrix}-1&2\1&1end{vmatrix}=-begin{vmatrix}-1&2\1&1end{vmatrix}=-(-1-2)=3,
M32=(03−122100−2−102−5711)=∣0−12200−511∣=2⋅(−1)2+1∣−1211∣=2⋅(−1)3∣−1211∣=−2∣−1211∣=−2(−1−2)=6M_{32}= begin{pmatrix}0&color{green}3&-1&2\2&color{green}1&0&0\color{green}-2&color{green}-1&color{green}0&color{green}2\-5&color{green}7&1&1end{pmatrix}=begin{vmatrix}0&-1&2\2&0&0\-5&1&1end{vmatrix}=2cdot(-1)^{2+1}begin{vmatrix}-1&2\1&1end{vmatrix}=2cdot(-1)^{3}begin{vmatrix}-1&2\1&1end{vmatrix}=-2begin{vmatrix}-1&2\1&1end{vmatrix}=-2(-1-2)=6,
M33=(03−122100−2−102−5711)=∣032210−571∣=0⋅1⋅1+3⋅0⋅(−5)+2⋅7⋅2−2⋅1⋅(−5)−0⋅0⋅7−3⋅1⋅2=28+10−6=32M_{33}= begin{pmatrix}0&3&color{green}-1&2\2&1&color{green}0&0\color{green}-2&color{green}-1&color{green}0&color{green}2\-5&7&color{green}1&1end{pmatrix}=begin{vmatrix}0&3&2\2&1&0\-5&7&1end{vmatrix}=0cdot1cdot1+3cdot0cdot(-5)+2cdot7cdot2-2cdot1cdot(-5)-0cdot0cdot7-3cdot1cdot2=28+10-6=32,
M34=(03−122100−2−102−5711)=∣03−1210−571∣=0⋅1⋅1+3⋅0⋅(−5)+(−1)⋅7⋅2−(−1)⋅1⋅(−5)−3⋅1⋅2−0⋅0⋅7=−14−5−6=−25M_{34}= begin{pmatrix}0&3&-1&color{green}2\2&1&0&color{green}0\color{green}-2&color{green}-1&color{green}0&color{green}2\-5&7&1&color{green}1end{pmatrix}=begin{vmatrix}0&3&-1\2&1&0\-5&7&1end{vmatrix}=0cdot1cdot1+3cdot0cdot(-5)+(-1)cdot7cdot2-(-1)cdot1cdot(-5)-3cdot1cdot2-0cdot0cdot7=-14-5-6=-25,
M41=(03−122100−2−102−5711)=∣3−12100−102∣=1⋅(−1)2+1∣−1202∣=1⋅(−1)3∣−1202∣=−∣−1202∣=−(−1)⋅(−1)1+1⋅2=1⋅(−1)2⋅2=2M_{41}= begin{pmatrix}color{green}0&3&-1&2\color{green}2&1&0&0\color{green}-2&-1&0&2\color{green}-5&color{green}7&color{green}1&color{green}1end{pmatrix}=begin{vmatrix}3&-1&2\1&0&0\-1&0&2end{vmatrix}=1cdot(-1)^{2+1}begin{vmatrix}-1&2\0&2end{vmatrix}=1cdot(-1)^{3}begin{vmatrix}-1&2\0&2end{vmatrix}=-begin{vmatrix}-1&2\0&2end{vmatrix}=-(-1)cdot(-1)^{1+1}cdot2=1cdot(-1)^{2}cdot2=2,
M42=(03−122100−2−102−5711)=∣0−12200−202∣=2⋅(−1)2+1∣−1202∣=2⋅(−1)3∣−1202∣=−2∣−1202∣=−2⋅(−1)⋅(−1)1+1⋅2=2⋅(−1)2⋅2=4M_{42}= begin{pmatrix}0&color{green}3&-1&2\2&color{green}1&0&0\-2&color{green}-1&0&2\color{green}-5&color{green}7&color{green}1&color{green}1end{pmatrix}=begin{vmatrix}0&-1&2\2&0&0\-2&0&2end{vmatrix}=2cdot(-1)^{2+1}begin{vmatrix}-1&2\0&2end{vmatrix}=2cdot(-1)^{3}begin{vmatrix}-1&2\0&2end{vmatrix}=-2begin{vmatrix}-1&2\0&2end{vmatrix}=-2cdot(-1)cdot(-1)^{1+1}cdot2=2cdot(-1)^{2}cdot2=4,
M43=(03−122100−2−102−5711)=∣032210−2−12∣=0⋅1⋅2+3⋅0⋅(−2)+2⋅(−1)⋅2−2⋅1⋅(−2)−3⋅2⋅2−0⋅0⋅(−1)=−4+4−12=−12M_{43}= begin{pmatrix}0&3&color{green}-1&2\2&1&color{green}0&0\-2&-1&color{green}0&2\color{green}-5&color{green}7&color{green}1&color{green}1end{pmatrix}=begin{vmatrix}0&3&2\2&1&0\-2&-1&2end{vmatrix}=0cdot1cdot2+3cdot0cdot(-2)+2cdot(-1)cdot2-2cdot1cdot(-2)-3cdot2cdot2-0cdot0cdot(-1)=-4+4-12=-12,
M44=(03−122100−2−102−5711)=∣03−1210−2−10∣=0M_{44}= begin{pmatrix}0&3&-1&color{green}2\2&1&0&color{green}0\-2&-1&0&color{green}2\color{green}-5&color{green}7&color{green}1&color{green}1end{pmatrix}=begin{vmatrix}0&3&-1\2&1&0\-2&-1&0end{vmatrix}=0.
Алгебраическое дополнение
Алгебраическим дополнением AijA_{ij} к элементу aija_{ij} определителя n-го порядка называется число Aij=(−1)i+j⋅MijA_{ij}=(-1)^{i+j}cdot M_{ij}, где i,ji, j — соответствующие строка и столбец, а MijM_{ij} — минор к элементу aija_{ij}.
Алгоритм нахождения алгебраических дополнений
- найти сумму номеров строки (i)(i) и столбца (j)(j);
- найти минор MijM_{ij} по алгоритму нахождения миноров, который представлен выше;
- подставить значения, полученные на шагах 1 и 2, в формулу Aij=(−1)i+j⋅MijA_{ij}=(-1)^{i+j}cdot M_{ij}.
Пример 1
Найти алгебраическое дополнение A34A_{34} к элементу a34a_{34} определителя
∣21−23−121213−1543−31∣begin{vmatrix}2&1&-2&3\-1&2&1&2\1&3&-1&5\4&3&-3&1end{vmatrix}.
A34=(−1)3+4⋅M34=(−1)7⋅∣21−23−121213−1543−31∣=−∣21−2−12143−3∣=−(2⋅2⋅(−3)+1⋅1⋅4+(−2)⋅3⋅(−1)−(−2)⋅2⋅4−1⋅(−3)⋅(−1)−2⋅1⋅3)=−(−12+4+6+16−3−6)=−5A_{34}=(-1)^{3+4}cdot M_{34}=(-1)^{7}cdot
begin{vmatrix}2&1&-2&color{green}3\-1&2&1&color{green}2\color{green}1&color{green}3&color{green}-1&color{green}5\4&3&-3&color{green}1end{vmatrix}=-begin{vmatrix}2&1&-2\-1&2&1\4&3&-3end{vmatrix}=-(2cdot2cdot(-3)+1cdot1cdot4+(-2)cdot3cdot(-1)-(-2)cdot2cdot4-1cdot(-3)cdot(-1)-2cdot1cdot3)=-(-12+4+6+16-3-6)=-5.
Пример 2
Найти алгебраические дополнения матрицы K=(03−122100−2−102−5711)K= begin{pmatrix}0&3&-1&2\2&1&0&0\-2&-1&0&2\-5&7&1&1end{pmatrix}.
Те строки и столбцы, которые будем вычеркивать, выделим зеленым цветом.
A11=(−1)1+1⋅M11=(−1)1+1⋅∣100−102711∣=(−1)2∣100−102711∣=∣100−102711∣=−2A_{11}=(-1)^{1+1}cdot M_{11}=(-1)^{1+1}cdotbegin{vmatrix}1&0&0\-1&0&2\7&1&1end{vmatrix}=(-1)^{2}begin{vmatrix}1&0&0\-1&0&2\7&1&1end{vmatrix}=begin{vmatrix}1&0&0\-1&0&2\7&1&1end{vmatrix}=-2,
A12=(−1)1+2⋅M12=(−1)1+2⋅∣200−202−511∣=(−1)3⋅∣200−202−511∣=−∣200−202−511∣=−(−4)=4A_{12}=(-1)^{1+2}cdot M_{12}=(-1)^{1+2}cdotbegin{vmatrix}2&0&0\-2&0&2\-5&1&1end{vmatrix}=(-1)^{3}cdotbegin{vmatrix}2&0&0\-2&0&2\-5&1&1end{vmatrix}=-begin{vmatrix}2&0&0\-2&0&2\-5&1&1end{vmatrix}=-(-4)=4,
A13=(−1)1+3⋅M13=(−1)1+3⋅∣210−2−12−571∣=(−1)4⋅∣210−2−12−571∣=∣210−2−12−571∣=−38A_{13}=(-1)^{1+3}cdot M_{13}=(-1)^{1+3}cdot begin{vmatrix}2&1&0\-2&-1&2\-5&7&1end{vmatrix}=(-1)^{4}cdot begin{vmatrix}2&1&0\-2&-1&2\-5&7&1end{vmatrix}=begin{vmatrix}2&1&0\-2&-1&2\-5&7&1end{vmatrix}=-38,
A14=(−1)1+4⋅M14=(−1)1+4⋅∣210−2−10−571∣=(−1)5⋅∣210−2−10−571∣=−∣210−2−10−571∣=0A_{14}=(-1)^{1+4}cdot M_{14}=(-1)^{1+4}cdotbegin{vmatrix}2&1&0\-2&-1&0\-5&7&1end{vmatrix}=(-1)^{5}cdot begin{vmatrix}2&1&0\-2&-1&0\-5&7&1end{vmatrix}=-begin{vmatrix}2&1&0\-2&-1&0\-5&7&1end{vmatrix}=0,
A21=(−1)2+1⋅M21=(−1)2+1⋅∣3−12−102711∣=(−1)3⋅∣3−12−102711∣=−∣3−12−102711∣=−(−23)=23A_{21}=(-1)^{2+1}cdot M_{21}=(-1)^{2+1}cdotbegin{vmatrix}3&-1&2\-1&0&2\7&1&1end{vmatrix}=(-1)^{3}cdotbegin{vmatrix}3&-1&2\-1&0&2\7&1&1end{vmatrix}=-begin{vmatrix}3&-1&2\-1&0&2\7&1&1end{vmatrix}=-(-23)=23,
A22=(−1)2+2⋅M22=(−1)2+2⋅∣0−12−202−511∣=(−1)4⋅∣0−12−202−511∣=∣0−12−202−511∣=4A_{22}=(-1)^{2+2}cdot M_{22}=(-1)^{2+2}cdotbegin{vmatrix}0&-1&2\-2&0&2\-5&1&1end{vmatrix}=(-1)^{4}cdotbegin{vmatrix}0&-1&2\-2&0&2\-5&1&1end{vmatrix}=begin{vmatrix}0&-1&2\-2&0&2\-5&1&1end{vmatrix}=4,
A23=(−1)2+3⋅M23=(−1)2+3⋅∣032−2−12−571∣=(−1)5⋅∣032−2−12−571∣=−∣032−2−12−571∣=−(−62)=62A_{23}=(-1)^{2+3}cdot M_{23}=(-1)^{2+3}cdotbegin{vmatrix}0&3&2\-2&-1&2\-5&7&1end{vmatrix}=(-1)^{5}cdotbegin{vmatrix}0&3&2\-2&-1&2\-5&7&1end{vmatrix}=-begin{vmatrix}0&3&2\-2&-1&2\-5&7&1end{vmatrix}=-(-62)=62,
A24=(−1)2+4⋅M24=(−1)2+4⋅∣03−1−2−10−571∣=(−1)6⋅∣03−1−2−10−571∣=∣03−1−2−10−571∣=25A_{24}=(-1)^{2+4}cdot M_{24}=(-1)^{2+4}cdotbegin{vmatrix}0&3&-1\-2&-1&0\-5&7&1end{vmatrix}=(-1)^{6}cdotbegin{vmatrix}0&3&-1\-2&-1&0\-5&7&1end{vmatrix}=begin{vmatrix}0&3&-1\-2&-1&0\-5&7&1end{vmatrix}=25,
A31=(−1)3+1⋅M31=(−1)3+1⋅∣3−12100711∣=(−1)4⋅∣3−12100711∣=∣3−12100711∣=3A_{31}=(-1)^{3+1}cdot M_{31}=(-1)^{3+1}cdotbegin{vmatrix}3&-1&2\1&0&0\7&1&1end{vmatrix}=(-1)^{4}cdotbegin{vmatrix}3&-1&2\1&0&0\7&1&1end{vmatrix}=begin{vmatrix}3&-1&2\1&0&0\7&1&1end{vmatrix}=3,
A32=(−1)3+2⋅M32=(−1)3+2⋅∣0−12200−511∣=(−1)5⋅∣0−12200−511∣=−∣0−12200−511∣=−6A_{32}=(-1)^{3+2}cdot M_{32}=(-1)^{3+2}cdotbegin{vmatrix}0&-1&2\2&0&0\-5&1&1end{vmatrix}=(-1)^{5}cdotbegin{vmatrix}0&-1&2\2&0&0\-5&1&1end{vmatrix}=-begin{vmatrix}0&-1&2\2&0&0\-5&1&1end{vmatrix}=-6,
A33=(−1)3+3⋅M33=(−1)3+3⋅∣032210−571∣=(−1)6⋅∣032210−571∣=∣032210−571∣=32A_{33}=(-1)^{3+3}cdot M_{33}=(-1)^{3+3}cdotbegin{vmatrix}0&3&2\2&1&0\-5&7&1end{vmatrix}=(-1)^{6}cdotbegin{vmatrix}0&3&2\2&1&0\-5&7&1end{vmatrix}=begin{vmatrix}0&3&2\2&1&0\-5&7&1end{vmatrix}=32,
A34=(−1)3+4⋅M34=(−1)3+4⋅∣03−1210−571∣=(−1)7⋅∣03−1210−571∣=−∣03−1210−571∣=−(−25)=25A_{34}=(-1)^{3+4}cdot M_{34}=(-1)^{3+4}cdotbegin{vmatrix}0&3&-1\2&1&0\-5&7&1end{vmatrix}=(-1)^{7}cdotbegin{vmatrix}0&3&-1\2&1&0\-5&7&1end{vmatrix}=-begin{vmatrix}0&3&-1\2&1&0\-5&7&1end{vmatrix}=-(-25)=25,
A41=(−1)4+1⋅M41=(−1)4+1⋅∣3−12100−102∣=(−1)5⋅∣3−12100−102∣=−∣3−12100−102∣=−2A_{41}=(-1)^{4+1}cdot M_{41}=(-1)^{4+1}cdotbegin{vmatrix}3&-1&2\1&0&0\-1&0&2end{vmatrix}=(-1)^{5}cdotbegin{vmatrix}3&-1&2\1&0&0\-1&0&2end{vmatrix}=-begin{vmatrix}3&-1&2\1&0&0\-1&0&2end{vmatrix}=-2,
A42=(−1)4+2⋅M42=(−1)4+2⋅∣0−12200−202∣=(−1)6⋅∣0−12200−202∣=∣0−12200−202∣=4A_{42}=(-1)^{4+2}cdot M_{42}=(-1)^{4+2}cdotbegin{vmatrix}0&-1&2\2&0&0\-2&0&2end{vmatrix}=(-1)^{6}cdotbegin{vmatrix}0&-1&2\2&0&0\-2&0&2end{vmatrix}=begin{vmatrix}0&-1&2\2&0&0\-2&0&2end{vmatrix}=4,
A43=(−1)4+3⋅M43=(−1)4+3⋅∣032210−2−12∣=(−1)7⋅∣032210−2−12∣=−∣032210−2−12∣=−(−12)=12A_{43}=(-1)^{4+3}cdot M_{43}=(-1)^{4+3}cdotbegin{vmatrix}0&3&2\2&1&0\-2&-1&2end{vmatrix}=(-1)^{7}cdotbegin{vmatrix}0&3&2\2&1&0\-2&-1&2end{vmatrix}=-begin{vmatrix}0&3&2\2&1&0\-2&-1&2end{vmatrix}=-(-12)=12,
A44=(−1)4+4⋅M44=(−1)4+4⋅∣03−1210−2−10∣=(−1)8⋅∣03−1210−2−10∣=∣03−1210−2−10∣=0A_{44}=(-1)^{4+4}cdot M_{44}=(-1)^{4+4}cdotbegin{vmatrix}0&3&-1\2&1&0\-2&-1&0end{vmatrix}=(-1)^{8}cdotbegin{vmatrix}0&3&-1\2&1&0\-2&-1&0end{vmatrix}=begin{vmatrix}0&3&-1\2&1&0\-2&-1&0end{vmatrix}=0.
Задачи на заказ недорого по любому предмету от наших экспертов!
Тест по теме «Минор матрицы и алгебраическое дополнение матрицы»
Минор и алгебраическое дополнение матрицы.
Определение.
Минором Mij к элементу aij определителя n-го порядка называется определитель (n – 1)-го порядка, полученный из исходного определителя вычеркиванием i-той строки и j-того столбца.
Пример 1.
Найти миноры матрицы A
Решение:
| M11 = |
|
= |
|
| M11 = |
|
= 1·3 – 0·0 = 3 – 0 = 3 |
| M12 = |
|
= -4·3 – 0·2 = -12 -0 = -12 |
| M13 = |
|
= -4·0 – 1·2 = 0 – 2 = -2 |
| M21 = |
|
= 7·3 – 1·0 = 21 – 0 = 21 |
| M22 = |
|
= 5·3 – 1·2 = 15 – 2 = 13 |
| M23 = |
|
= 5·0 – 7·2 = 0 – 14 = -14 |
| M31 = |
|
= 7·0 – 1·1 = 0 – 1 = -1 |
| M32 = |
|
= 5·0 – 1·(-4) = 0 + 4 = 4 |
| M33 = |
|
= 5·1 – 7·(-4) = 5 + 28 = 33 |
Определение.
Алгебраическим дополнением Aij к элементу aij определителя n-го порядка называется число
Aij = (-1)i + j · Mij
Свойства алгебраического дополнения матрицы
-
Сумма произведений элементов строки (столбца) определителя на алгебраические дополнения к элементам этой строки (столбца) равна определителю матрицы:
n Σ aij·Aij = det(A) j = 1 -
Сумма произведений элементов строки (столбца) определителя на алгебраические дополнения к элементам другой строки (столбца) равна нулю:
n Σ akj·Aij = 0 (i ≠ k) j = 1 -
Сумма произведений элементов “произвольной” строки на алгебраические дополнения к элементам i-той строки определителя равна определителю, в котором вместо i-той строки записана “произвольная” строка.
Пример 2.
Найти алгебраические дополнения матрицы A
Решение:
A11 = (-1)1 + 1·M11 = (-1)2·
10
03
= 1·3 – 0·0 = 3 – 0 = 3
A12 = (-1)1 + 2·M12 = (-1)3·
-40
23
= -(-4·3 – 0·2) = -(-12 -0) = 12
A13 = (-1)1 + 3·M13 = (-1)4·
-41
20
= -4·0 – 1·2 = 0 – 2 = -2
A21 = (-1)2 + 1·M21 = (-1)3·
71
03
= -(7·3 – 1·0) = -(21 – 0) = -21
A22 = (-1)2 + 2·M22 = (-1)4·
51
23
= 5·3 – 1·2 = 15 – 2 = 13
A23 = (-1)2 + 3·M23 = (-1)5·
57
20
= -(5·0 – 7·2) = -(0 – 14) = 14
A31 = (-1)3 + 1·M31 = (-1)4·
71
10
= 7·0 – 1·1 = 0 – 1 = -1
A32 = (-1)3 + 2·M32 = (-1)5·
51
-40
= -(5·0 – 1·(-4)) = -(0 + 4) = -4
A33 = (-1)3 + 3·M33 = (-1)6·
57
-41
= 5·1 – 7·(-4) = 5 + 28 = 33
В данной публикации мы рассмотрим определение и свойства алгебраического дополнения матрицы, приведем формулу, с помощью которой его можно найти, а также разберем пример для лучшего понимания теоретического материала.
- Определение и нахождение алгебраического дополнения
- Свойства алгебраического дополнения
Определение и нахождение алгебраического дополнения
Алгебраическое дополнение Aij к элементу aij определителя n-го порядка – это число Aij = (-1)i+j · Mij, где M – это минор матрицы.
Пример
Вычислим алгебраическое дополнение A32 к a32 определителя ниже:
Решение
Свойства алгебраического дополнения
1. Если просуммировать произведения элементов произвольной строки и алгебраических дополнений к элементам строки i определителя, то получится определитель, в котором вместо строки i стоит данная произвольная строка.
2. Если просуммировать произведения элементов строки (столбца) определителя и алгебраических дополнений к элементами другой строки (столбца), то получится ноль.
3. Сумма произведений элементов строки (столбца) определителя и алгебраических дополнений к элементам данной строки (столбца) равняется определителю матрицы.
7
Лекция
2.
Миноры
матриц.
В лекции
1 было
использовано понятие дополнительного
минора матрицы. Дадим определение
минора матрицы.
Определение.
Если в матрице А выделить несколько
произвольных строк и столько же
произвольных столбцов, то определитель,
составленный из элементов, расположенных
на пересечении этих строк и столбцов
называется минором
матрицы А.
Если выделено s
строк и s
столбцов, то полученный минор называется
минором порядка s.
Заметим,
что вышесказанное применимо не только
к квадратным матрицам, но и к прямоугольным.
Пример:
выделим 1,3 столбики и 2,4 строку. Тогда
минор
.
Если
вычеркнуть из исходной квадратной
матрицы А выделенные строки и столбцы,
то определитель полученной матрицы
будет являться дополнительным минором.
Алгебраические
дополнения.
Определение.
Алгебраическим
дополнением
минора матрицы называется его
дополнительный
минор,
умноженный на (-1) в степени, равной сумме
номеров строк и номеров столбцов минора
матрицы.
В
частном случае, алгебраическим дополнением
элемента матрицы называется его минор,
взятый со своим знаком, если сумма
номеров столбца и строки, на которых
стоит элемент, есть число четное и с
противоположным знаком, если нечетное.
Алгебраическое
дополнение элемента aij
матрицы
вычисляется по формуле:
Aij=
,
где
Mij
– дополнительный минор элемента матрицы
aij.
Обратная
матрица.
Определим
операцию деления матриц как операцию,
обратную умножению.
Определение.
Если существуют
квадратные матрицы Х и А, удовлетворяющие
условию:
XA
= AX = E,
где
Е – единичная матрица, то матрица Х
называется обратной
к матрице А
и обозначается А-1.
Каждая
квадратная матрица с определителем, не
равным нулю имеет обратную матрицу и
притом только одну.
Рассмотрим
общий подход к нахождению обратной
матрицы.
Исходя
из определения произведения матриц,
можно записать:
AX
= E
,
i=(1,n), j=(1,n),
eij
=
0, i
j,
eij
= 1,
i = j .
Таким
образом, получаем систему уравнений:
,
Решив
эту систему, находим элементы матрицы
Х.
Пример.
Дана матрица А =
,
найти А-1.
Таким
образом, А-1=
.
Однако, такой
способ не удобен при нахождении обратных
матриц больших порядков, поэтому обычно
применяют следующую формулу:
где
Мji–
дополнительный
минор
элемента аji
матрицы А, а
Аji
– алгебраическое дополнение элемента
аji.
Алгоритм
вычисления обратной матрица в соответствии
с предыдущей формулой:
1.
Вычисляем матрицу, состоящую из
алгебраических дополнений исходной
матрицы. Такая матрица называется обычно
присоединенной матрицей
2.
Транспонируем присоединенную матрицу.
3.
Делим результат пункта 2 на детерминант
исходной матрицы.
Пример.
Дана матрица А =
,
найти А-1.
det
A = 4 – 6 = -2.
M11=4;
M12=
3; M21=
2; M22=1
А11=4;
А12=
-3; А21=
-2; А22=1
x11=
-2; x12=
1; x21=
3/2; x22=
-1/2
Таким
образом, А-1=
.
Cвойства
обратных матриц.
Укажем
следующие свойства обратных матриц:
-
(A-1)-1
= A;
2)
(AB)-1
= B-1A-1
3)
(AT)-1
= (A-1)T.
Пример.
Дана матрица А =
,
найти А3.
А2
= АА =
=
;
A3
=
=
.
Отметим,
что матрицы
и
являются перестановочными.
Пример.
Вычислить определитель
.
= -1
= -1(6 – 4) – 1(9 – 1) +
2(12 – 2) = -2 – 8 + 20 = 10.
МАГИЯ
НЕПОНЯТНА.
DOWN
HERE!!!
=
=
2(0 – 2) – 1(0 – 6) = 2.
=
= 2(-4) – 3(-6) = -8 + 18 = 10.
Значение
определителя: -10 + 6 – 40 = -44.
Базисный
минор матрицы и ранг матрицы.
Как
было сказано выше,
минором матрицы порядка s называется
определитель матрицы, образованной из
элементов исходной матрицы, находящихся
на пересечении каких – либо выбранных
s
строк и s
столбцов.
Определение.
В матрице порядка mn
минор порядка r называется базисным,
если он не равен нулю, а все миноры
порядка r+1
и выше равны нулю, или не существуют
вовсе.
Столбцы и строки
матрицы, на которых стоит базисный
минор, также называются базисными.
В
матрице может быть несколько различных
базисных миноров, имеющих одинаковый
порядок.
Определение.
Порядок базисного минора матрицы
называется рангом
матрицы и
обозначается Rg
A,
rang
А или rank
A.
Очень
важным свойством элементарных
преобразований
матриц является то, что они не
изменяют
ранг матрицы.
Определение.
Матрицы, полученные в результате
элементарного преобразования, называются
эквивалентными.
Надо
отметить, что равные
матрицы и эквивалентные
матрицы – понятия совершенно различные.
Теорема.
Наибольшее число линейно независимых
столбцов в матрице равно числу линейно
независимых строк.
Т.к.
элементарные преобразования не изменяют
ранг матрицы, то можно существенно
упростить процесс нахождения ранга
матрицы.
CANNOT
UNDERSTAND DIS KIND OF MAGICK!!!
Пример.
Определить ранг матрицы.
,
RgA
= 2.
Пример:
Определить ранг матрицы.
,
Rg
= 2.
Пример.
Определить ранг матрицы.
,
Rg
= 2.
Если
с помощью элементарных преобразований
не удается найти матрицу, эквивалентную
исходной, но меньшего размера, то
нахождение ранга матрицы следует
начинать с вычисления миноров наивысшего
возможного порядка. В вышеприведенном
примере – это миноры порядка 3. Если
хотя бы один из них не равен нулю, то
ранг матрицы равен порядку этого минора.
Теорема о
базисном миноре.
Теорема.
В произвольной
матрице А каждый столбец (строка) является
линейной комбинацией столбцов (строк),
в которых расположен базисный минор.
Таким
образом, ранг произвольной матрицы А
равен максимальному числу линейно
независимых строк (столбцов) в матрице.
Если
А- квадратная матрица и detA
= 0, то по крайней мере один из столбцов
– линейная комбинация остальных
столбцов. То же самое справедливо и для
строк. Данное утверждение следует из
свойства линейной зависимости при
определителе равном нулю.
Матричный
метод решения систем линейных
алгебраических уравнений.
Матричный
метод применим к решению систем уравнений,
где число уравнений равно числу
неизвестных.
Метод
удобен для решения систем невысокого
порядка.
Метод
основан на применении свойств умножения
матриц.
Пусть
дана система линейных алгебраических
уравнений:
Здесь:
aij–
коэффициенты системы уравнений, bi–
правые части или свободные члены системы
уравнений, хi–
неизвестные.
Составим
матрицы: A
=
;
B
=
;
X
=
,
где
А – матрица коэффициентов системы, В –
столбик свободных членов (правых частей),
Х – столбик неизвестных.
Систему
уравнений можно записать:
AX
= B.
Сделаем
следующее преобразование: A-1AX
= A-1B,
т.к. А-1А
= Е, то ЕХ
= А-1В,
т.е.
Х
= А-1В
Для
применения данного метода необходимо
находить обратную
матрицу,
что может быть связано с вычислительными
трудностями при решении систем высокого
порядка.
Пример.
Решить систему уравнений:
Х
=
,
B
=
,
A
=
Найдем
обратную матрицу А-1.
=
det A =
5(4-9)
+ 1(2 – 12) – 1(3 – 8) = -25 – 10 +5 = -30.
M11
=
= -5; M21
=
= 1; M31
=
= -1;
M12
=
M22
=
M32
=
M13
=
M23
=
M33
=
A-1
=
;
Cделаем
проверку:
AA-1
=
=E.
Находим
матрицу Х.
Х
=
=
А-1В
=
=
.
Итак
решение системы: x
=1; y
= 2; z
= 3.
Несмотря на
ограничения возможности применения
данного метода и сложность вычислений
при больших значениях коэффициентов,
а также систем высокого порядка, метод
может быть легко реализован на ЭВМ.
Минор и алгебраическое дополнение матрицы
Содержание:
- Что такое минор и алгебраическое дополнение матрицы
- Общие понятия, основные формулы
- Решение миноров и алгебраических дополнений
Что такое минор и алгебраическое дополнение матрицы
Минор Mij к элементу aij определителя n-го порядка является определителем (n−1)-го порядка, получающимся из начального определителя после исключения i-той строки и j-того столбца.
Исходя из определения, минор представляет собой определитель, который остается после того, как вычеркнуть конкретную строку и конкретный столбец. К примеру, M12 будет получен в результате устранения первой строки и второго столбца. Для того чтобы получить M34 следует вычеркнуть третью строку и четвертый столбец.
Найти миноры с помощью вычерков можно, следуя алгоритму:
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
- устранение i-ой строки;
- вычерк j-ого столбца;
- запись определителя, который получился по итогам проделанных манипуляций.
Алгебраическое дополнение Aij к элементу aij определителя n-го порядка представляет собой число (A_{ij}=(-1)^{i+j}Mij), в котором i, j являются соответствующими строкой и столбцом, а Mij — минором к рассматриваемому элементу.
Порядок действия при определении алгебраического дополнения следующий:
- определение суммы номеров строки ( i ) и столбца ( j );
- поиск минора Mij, с помощью применения алгоритма вычисления миноров, который был рассмотрен выше;
- подстановка значений, которые были получены на первом и втором этапах расчета, в формулу (A_{ij}=(-1)^{i+j}Mij.)
Общие понятия, основные формулы
Предположим, что существует какая-то квадратная матрица или квадратная матрица n-го порядка:
(A_{ntimes n})
(Минор M_{ij} элемента a_{ij} матрицы A_{ntimes n}) будет являться определитель матрицы, которая получается из матрицы A в результате устранения i-й строки и j-го столбца, которые расположены таким образом, что их пересечение совпадает с элементом (a_{ij}.)
В качестве доказательства можно рассмотреть такую квадратную матрицу четвертого порядка:
(A=left( begin{array} {cccc} 1 & 0 & -3 & 9\ 2 & -7 & 11 & 5 \ -9 & 4 & 25 & 84\ 3 & 12 & -5 & 58 end{array} right))
Необходимо определить минор для элемента (a_{32}), то есть (M_{32}). В первую очередь следует записать минор (M_{32}), а затем рассчитать его. Порядок действий для составления (M_{32}) включает вычерк из матрицы A третьей строки и второго столбца. Данное действие обусловлено тем, что элемент (a_{32}) расположен там, где третья строка и второй столбец пересекаются. Таким образом, была получена новая матрица с определителем в виде искомого минора (M_{32}).
Данный минор достаточно просто рассчитать с помощью теоремы для вычисления определителей второго и третьего порядков. Расчет будет следующий:
(M_{32}=left| begin{array} {ccc} 1 & -3 & 9\ 2 & 11 & 5 \ 3 & -5 & 58 end{array} right|= 1cdot 11cdot 58+(-3)cdot 5cdot 3+2cdot (-5)cdot 9-9cdot 11cdot 3-(-3)cdot 2cdot 58-5cdot (-5)cdot 1=579)
Таким образом, минор элемента (a_{32}) равен 579, то есть (M_{32}=579)
Примечание
Нередко в тематической литературе вместо «минор элемента матрицы» употребляют понятие «минор элемента определителя». Смысл выражения сохраняется. Таким образом, для вычисления минора элемента (a_{ij}) требуется исключить из начального определителя i-ю строку и j-й столбец. Элементы, которые остались, следует записать в новый определитель, который представляет собой минор элемента (a_{ij}.)
В качестве примера можно рассчитать минор элемента (a_{12}) определителя:
(left| begin{array} {ccc} -1 & 3 & 2\ 9 & 0 & -5 \ 4 & -3 & 7 end{array} right|)
В первую очередь нужно записать искомый минор (M_{12}). Для этого можно исключить из заданного определителя первую строку и второй столбец:
Вычислить минор целесообразно с помощью формулы для расчета определителей второго и третьего порядков:
(M_{12}=left| begin{array} {cc} 9 & -5\ 4 & 7 end{array} right|=9cdot 7-(-5)cdot 4=83)
В результате минор элемента (a_{12}) составит 83, то есть (M_{12}=83)
Предположим, что существует какая-то квадратная матрица (A_{ntimes n}), то есть квадратная матрица n-го порядка. Алгебраическое дополнение (A_{ij}) элемента (a_{ij}) матрицы (A_{ntimes n}) можно определить, используя формулу:
(A_{ij}=(-1)^{i+j}cdot M_{ij},)
где (M_{ij}) является минором элемента (a_{ij}.)
В качестве примера можно рассчитать алгебраическое дополнение элемента (a_{32}) матрицы:
(A=left( begin{array} {cccc} 1 & 0 & -3 & 9\ 2 & -7 & 11 & 5 \ -9 & 4 & 25 & 84\ 3 & 12 & -5 & 58 end{array} right))
В результате необходимо получить значение для (A_{32}). В предыдущем примере уже был расчет для минора (M_{32}=579), поэтому целесообразно в данной задаче использовать имеющиеся данные:
Как правило, при определении алгебраических дополнений не требуется выполнять отдельный расчет минора перед вычислением непосредственно дополнения. К примеру, если требуется определить (A_{12}) при условии, что:
(A=left( begin{array} {ccc} -5 & 10 & 2\ 6 & 9 & -4 \ 4 & -3 & 1 end{array} right))
Необходимо записать справедливое равенство:
(A_{12}=(-1)^{1+2}cdot M_{12}=-M_{12})
Рассчитать (M_{12}) легко с помощью вычерка первой строки и второго столбца матрицы А. Поэтому нет необходимости вводить лишнее обозначение для минора. Достаточно сразу записать уравнение для алгебраического дополнения (A_{12}):
Решение миноров и алгебраических дополнений
Миноры и алгебраические дополнения встречаются в задачах не только с квадратными матрицами, но и прямоугольными. Во втором случае матрицы отличаются тем, что количество строк не обязательно совпадает с количеством столбцов. К примеру, записана матрица:
(A_{mtimes n})
В рассматриваемой матрице m строк и n столбцов. Минор k-го порядка матрицы (A_{mtimes n}) представляет собой определитель с элементами, расположенными на пересечении k строк и k столбцов матрицы A. Следует учитывать, что при этом k≤ m и k≤ n.
В качестве примера можно рассмотреть матрицу:
(A=left( begin{array} {cccc} -1 & 0 & -3 & 9\ 2 & 7 & 14 & 6 \ 15 & -27 & 18 & 31\ 0 & 1 & 19 & 8\ 0 & -12 & 20 & 14\ 5 & 3 & -21 & 9\ 23 & -10 & -5 & 58 end{array} right))
Можно записать для нее какой-то минор третьего порядка. Для этого следует отобрать какие-то три строки и три столбца рассматриваемой матрицы. Выберем для расчета строки №2, №4, №6 и столбцы №1, №2, №4. Данные строки и столбцы будут пересекаться в том месте, где расположены элементы искомого минора.
(M=left|begin{array} {ccc} 2 & 7 & 6 \ 0 & 1 & 8 \ 5 & 3 & 9 end{array} right|.)
Расположение миноров первого порядка будет совпадать с пересечением одной строки и одного столбца. Таким образом, выводим равенство миноров первого порядка элементам рассматриваемой матрицы.
Минор k-го порядка матрицы (A_{mtimes n}=(a_{ij})) является ключевым в том случае, когда главная диагональ рассматриваемого минора включает исключительно ключевые диагональные элементы матрицы A.
Примечание
Главные диагональные элементы представляют собой такие элементы матрицы, которые содержат индексы, равные( a_{11}, a_{22}, a_{33}) и так далее. К примеру, матрица А, которая рассматривается в примере, содержит элементы (a_{11}=-1, a_{22}=7, a_{33}=18, a_{44}=8.)
(left( begin{array} {cccc} {-1} & 0 & -3 & 9\ 2 &{7} & 14 & 6 \ 15 & -27 & {18} & 31\ 0 & 1 & 19 & {8}\ 0 & -12 & 20 & 14\ 5 & 3 & -21 & 9\ 23 & -10 & -5 & 58 end{array} right))
В том случае, когда в матрице А исключены строки и столбцы, которые соответствуют номерам 1 и 3, их пересечение будет совпадать с элементами минора второго порядка. Главная диагональ этого минора будет содержать лишь диагональные элементы матрицы А. К примеру, такими элементами являются элементы ( a_{11}=-1) и (a_{33}=18) матрицы A. Таким образом, главный минор второго порядка будет равен:
(M=left|begin{array} {cc} {-1} & -3 \ 15 & {18} end{array} right|)
В том случае, если выбрать строки и столбцы с другими номерами, получится другой главный минор второго порядка.
Можно предположить, что какой-то минор M k-го порядка матрицы A_{mtimes n} обладает ненулевым значением, то есть Mneq 0. В данном случае, для всех миноров с порядками выше, чем k, справедливо равенство нулю. Тогда минор M является базисным, а строки и столбцы, содержащие элементы базисного минора, носят названием базисных строк и базисных столбцов.
В качестве примера можно рассмотреть следующую матрицу:
(A=left( begin{array} {ccc} -1 & 0 & 3 & 0 & 0 \ 2 & 0 & 4 & 1 & 0\ 1 & 0 & -2 & -1 & 0\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 end{array} right))
Запись минора рассматриваемой матрицы с элементами, распложенными на месте, где пересекаются строки №1, №2, №3 и столбцы №1, №3, №4, представляет собой минор третьего порядка и имеет следующий вид:
(; M=left|begin{array} {ccc} -1 & 3 & 0 \ 2 & 4 & 1 \ 1 & -2 & -1 end{array} right|)
Рассчитать значение искомого минора можно, используя правило для расчета определителей второго и третьего порядков:
(M=left| begin{array} {ccc} -1 & 3 & 0\ 2 & 4 & 1 \ 1 & -2 & -1 end{array} right|=4+3+6-2=11)
В результате:
(M=11neq 0)
Далее можно попытаться записать какой-либо минор с порядком выше, чем 3. Для составления минора четвертого порядка необходимо воспользоваться четвертой строкой, элементы которой имеют нулевые значения. Исходя из этого, можно заключить, что любой минор четвертого порядка обладает нулевой строкой. Таким образом, значение каждого из миноров четвертого порядка равно нулю. Записать миноры пятого порядка и выше не представляется возможным по причине наличия в матрице А всего четырех строк.
По результатам вычислений удалось определить минор третьего порядка с ненулевым значением. Одновременно с этим, миноры более высоких порядков равны нулю, из чего можно сделать вывод: рассматриваемый минор является базисным. Строки №1, №2, №3 матрицы А, которые содержат элементы данного минора, являются базисными строками, а столбцы №1, №3, №4 матрицы А — базисными столбцами.
Пример, который был рассмотрен, является тривиальным. Однако с его помощью удобно продемонстрировать смысл базисного минора. В реальных условиях базисных миноров может быть более одного, а решение подобных задач на нахождение подобного минора существенно сложнее и объемнее.
Еще одним важным термином является окаймляющий минор. Для раскрытия понятия можно предположить, что какой-то минор k-го порядка M матрицы (A_{mtimes n}) находится в месте, где пересекаются k строки и k столбцы. Если прибавить к совокупности данных строк и столбцов дополнительные строку и столбец, то минор (k+1)-го порядка, который получился в результате, представляет собой окаймляющий минор для минора M.
В качестве примера можно рассмотреть матрицу:
(A=left( begin{array} {ccccc} -1 & 2 & 0 & -2 & -14\ 3 & -17 & -3 & 19 & 29\ 5 & -6 & 8 & -9 & 41\ -5 & 11 & 19 & -20 & -98\ 6 & 12 & 20 & 21 & 54\ -7 & 10 & 14 & -36 & 79 end{array} right))
В первую очередь нужно записать минор второго порядка с элементами, расположенными в месте, где пересекаются строки №2 и №5, а также столбцы №2 и №4.
(M=left|begin{array} {ccc} -17 & 19 \ 12 & 21 end{array} right|)
К комплекту строк с элементами минора М требуется прибавить одну строку №1, а к столбцам — столбец №5. В результате манипуляций получится новый минор M’ третьего порядка с элементами, расположенными там, где пересекаются строки №1, №2, №5 и столбцы №2, №4, №5.
(M’=left|begin{array} {ccc} 2 & -2 & -14 \ -17 & 19 & 29 \ 12 & 21 & 54 end{array} right|)
Минор M’ представляет собой окаймляющий минор для минора M. Таким же образом, путем добавления к комплекту строк с элементами минора М строки №4, а к совокупности столбцов — столбца №3, можно записать минор M”, то есть минор третьего порядка.
( M”=left|begin{array} {ccc} -17 & -3 & 19 \ 11 & 19 & -20 \ 12 & 20 & 21 end{array} right|.)
Минор M”, аналогично предыдущему, представляет собой окаймляющий минор для минора M.
Предположим, что существует какой-то минор M k-го порядка матрицы (A_{ntimes n}.)
Определитель (n-k)-го порядка с элементами, полученными из матрицы A путем исключения строк и столбцов, которые содержали минор M, называется минором, дополнительным к минору M.
В качестве примера можно рассмотреть квадратную матрицу пятого порядка:
(A=left( begin{array}{ccccc} -1 & 2 & 0 & -2 & -14\ 3 & -17 & -3 & 19 & 29\ 5 & -6 & 8 & -9 & 41\ -5 & 11 & 16 & -20 & -98\ -7 & 10 & 14 & -36 & 79 end{array} right))
В рассматриваемой матрице можно выбрать строки №1 и №3, столбцы №2 и №5. Пересечение данных строк и столбцов будет совпадать с элементами минора М второго порядка.
( M=left|begin{array}{cc} 2 & -14 \ -6 & 41 end{array} right|)
Далее следует исключить из матрицы А строки №1 и №3, а также столбцы №2 и №5. На пересечении данных компонентов расположены элементы минора М. Элементы, которые остались нетронутыми, сформируют минор M’.
(M’=left|begin{array} {ccc} 3 & -3 & 19 \ -5 & 16 & -20 \ -7 & 14 & -36 end{array}right|)
Минор M’ с порядком, соответствующим 5-2=3, представляет собой минор, являющийся дополнительным к минору M.
Запись алгебраического дополнения к минору M квадратной матрицы (A_{ntimes n}) имеет следующий вид:
((-1)^{alpha}cdot M’)
В данном случае alpha является суммой номеров строк и столбцов матрицы A, содержащих элементы минора M, а M’ является дополнительным к минору M. Термин «алгебраическое дополнение к минору M», как правило, формулируют таким образом: «алгебраическое дополнение минора M».
В качестве примера можно рассмотреть матрицу А. Ранее для рассматриваемой матрицы был определен в ходе расчетов минор второго порядка:
(M=left| begin{array} {ccc} 2 & -14 \ -6 & 41 end{array} right|)
Дополнительным к данному минору является такой минор третьего порядка:
(M’=left| begin{array} {ccc} 3 & -3 & 19\ -5 & 16 & -20 \ -7 & 14 & -36 end{array} right|)
В качестве обозначения алгебраического дополнения минора M целесообразно использовать: M^*
Исходя из определения, получим:
(M^*=(-1)^alphacdot M’)
Параметр alpha представляет собой сумму номеров строк и столбцов, которым соответствует минор М. Расположение данного минора соответствует пересечению строк №1, №3 и столбцов №2, №5. Таким образом:
(alpha=1+3+2+5=11)
В результате можно записать:
(M^*=(-1)^{11}cdot M’=-left| begin{array} {ccc} 3 & -3 & 19\ -5 & 16 & -20 \ -7 & 14 & -36 end{array} right|)
Благодаря формуле для расчета определителей второго и третьего порядков, представляется возможным вычислить алгебраическое дополнение:
(M^*=-left| begin{array} {ccc} 3 & -3 & 19\ -5 & 16 & -20 \ -7 & 14 & -36 end{array} right|=-30)
