Как найти активное давление

7.2.1. Общие положения

Давление грунта на стены зависит от их конструктивных особенностей (наклона и жесткости стены, наличия разгружающих элементов и т.д.), от свойств грунта, взаимодействующего со стеной, от величины и направления перемещений, поворота и прогиба стены [2].

Активное давление грунта σa реализуется при смещении стены от грунта и соответствует минимальному значению давления. Пассивное давление грунта σр реализуется при смещении стены на грунт и соответствует максимальному значению давления. При отсутствии перемещений стены реализуется давление покоя σ₀. Изменение давления грунта в зависимости от перемещения стены и представлено на рис. 7.6.

Рис. 7.6. Изменение давления грунта на подпорную стенку в зависимости от ее перемещения

7.2.2. Характеристики грунта, используемые при определении давления грунта

На стенки действует боковое давление грунта нарушенного сложения. Характеристики этого грунта выражаются через соответствующие характеристики грунта ненарушенного сложения следующими соотношениями [3]:

γ’_I = 0,95γ_I; φ’_I = 0,9φ_I;

c‘_I = 0,5c_I (но не более 7 кПа);

γ’_II = 0,95γ_II; φ’_II = 0,9φ_II;

c‘_II = 0,5c_II (но не более 10 кПа);

где γ_I, φ_I, c_I, γ_II, φ_II, c_II — соответственно удельный вес, угол внутреннего трения и удельное сцепление грунтов ненарушенного сложения для расчетов по первой и второй группам предельных состояний, определяемые в соответствии со СНиП 2.02.01-83.

7.2.3. Активное давление грунта

А. НЕСВЯЗНЫЙ ГРУНТ

В случае свободной от нагрузки наклонной поверхности засыпки и наклонной тыловой грани стены горизонтальная σ_ah и вертикальная σ_av составляющие активного давления грунта на глубине z (рис. 7.7) определяются по формулам [3, 4]:

где γ — расчетное значение удельного веса грунта; α — угол наклона тыловой грани стены к вертикали, принимаемый со знаком плюс при отклонении от вертикали в сторону стены; δ — угол трения грунта на контакте со стенкой, принимаемый для стен с повышенной шероховатостью равным φ, для мелкозернистых водонасыщенных песков и при наличии на поверхности вибрационных нагрузок равным 0, в остальных случаях равным 0,5φ (здесь φ — расчетное значение угла внутреннего трения грунта); λ_a — коэффициент активного давления грунта:

здесь ρ — угол наклона поверхности грунта к горизонту, принимаемый со знаком плюс при отклонении этой поверхности от горизонтали вверх: |ρ| ≤ φ.

В частном случае для гладкой вертикальной тыловой грани и горизонтальной поверхности грунта коэффициент активного давления вычисляется по формуле

Равнодействующие горизонтального Е_ah и вертикального E_av давлений грунта для стен высотой Н определяются как площади соответствующих треугольных эпюр давлений (рис. 7.7) по формулам:

Б. СВЯЗНЫЙ ГРУНТ

Горизонтальная σ’_ah и вертикальная σ’_av составляющие активного давления связного грунта на глубине z (см. рис. 7.7) определяются по формулам:

где σ_ch — давление связности:

здесь с — удельное сцепление грунта;

Рис. 7.7. К определению активного давления грунта на стенку

а — несвязного; б — связного

Если значение K, вычисленное по формуле (7.10), меньше нуля, в расчетах принимается K = 0.

В частном случае при горизонтальной поверхности засыпки (ρ = 0) и вертикальной задней грани (α = 0) (или расчетной плоскости) горизонтальная составляющая активного давления грунта на глубине z определяется по формуле

σ’_ah = γzλ_a + c(λ_a – 1)/tgφ.

Равнодействующая горизонтального Е‘_ah и вертикального E‘_av давлений грунта для стен высотой Н (см. рис. 7.7) определяется по формулам;

где

В. ДАВЛЕНИЕ НА СТЕНЫ ОТ НАГРУЗКИ НА ПОВЕРХНОСТИ ЗАСЫПКИ

Сплошная равномерно распределенная нагрузка q (рис. 7.8, а). Горизонтальная σ_qh и вертикальная σ_qv составляющие активного давления грунта от этой нагрузки на глубине z для связных и несвязных грунтов определяются по формулам:

Сплошная (на всей призме обрушения) равномерно распределенная нагрузка q, приложенная на расстоянии а от стены (рис. 7.8, б). Горизонтальная σ_qh и вертикальная σ_qv, составляющие активного давления грунта от этой нагрузки определяются при z ≥ a/(tgα + tgΘ) по формулам (7.14) и (7.15), а при 0 ≤ z ≤ a/(tgα + tgΘ) (где Θ = 45° – φ/2) σ_qh = σ_qv = 0.

Полосовая (ширина полосы b) нагрузка q, приложенная в пределах призмы обрушения на расстоянии а от стены (рис. 7.8, в). Горизонтальная σ_qh и вертикальная σ_qv составляющие активного давления грунта от этой нагрузки определяются при a/(tgα + tgΘ) ≤ z ≤ (a + b)/(tgα + tgΘ) по формулам (7.14) и (7.15), а при 0 ≤ z ≤ a/(tgα + tgΘ) и z>(a + б)/(tgα + tgΘ), σ_qh = σ_qv = 0.

При расчете подпорных стен давления от нагрузок на поверхности засыпки, вычисленные по формулам (7.14) и (7.15), добавляются к давлениям от грунта, вычисленным по формулам (7.1), (7.2) и (7.7), (7.8).

Г. ДАВЛЕНИЕ ГРУНТА НА УГОЛКОВЫЕ ПОДПОРНЫЕ СТЕНЫ

Для уголковых подпорных стен активное давление грунта на условную поверхность определяется по двум возможным вариантам:

• – для длинной опорной плиты в предположении образования симметричной призмы обрушения (рис. 7.9, а, условная поверхность ab);
• – для короткой опорной плиты — несимметричной призмы обрушения (рис. 7.9, б, условная поверхность abc).

Рис. 7.8. К определению давления грунта от нагрузки на поверхности засыпки

Рис. 7.9. К определению активного давления грунта на угловые подпорные стены

а — при симметричной призме обрушения; б — при несимметричной призме обрушения

В обоих случаях вес грунта, заключенного между условной поверхностью и тыловой поверхностью стены, добавляется к весу стены в расчетах на устойчивость, которые выполняются так же, как и для массивных стен: α = Θ = 45°— φ/2; δ = φ.

7.2.4. Пассивное давление грунта

При горизонтальной поверхности грунта и равномерно распределенной нагрузке на поверхности горизонтальная σ_ph и вертикальная σ_pv составляющие пассивного давления на глубине z от поверхности определяются по формулам:

где q — нагрузка, равномерно распределенная на поверхности; λ_ph — коэффициент горизонтальной составляющей пассивного давления, определяемый при горизонтальной поверхности грунта по формуле

В частном случае при α = δ = 0

1. Определение активного и пассивного давлений грунта.

Активное давление.

Рассмотрим
простейший случай активного давления
при горизонтальной поверхности
однородного грунта и гладкой вертикальной
грани стенки, контактирующей с грунтом.
Элемент грунта, выделенный вертикальными
и горизонтальными площадками (рис. 6.3,
а), примыкающий к гладкой грани (τ = 0),
будет являться главным элементом. На
гранях этого элемента действуют главные
напряжения σ_z
и σ_x.

Рис.
6.3. Активное
давление грунта на вертикальную гладкую
стенку:

а —
главный элемент грунта у стенки в призме
обрушения;

б, в — давление
несвязного грунта; г, д — то же,
связного грунта.

Учитывая, что при
смещении стенки от грунта σ_x
уменьшается, а σ_z
остается неизменным (σ_z
= q
+ γz
= const
при z
= const)
и при этом σ_x
< σ_z,
то эти напряжения, как главные,
соответственно обозначаются σ_z
= σ₁,
σ_x
= σ₃.
Так как грунт за стенкой считается
находящимся в состоянии предельного
равновесия, то σ_z
и σ_x
должны удовлетворять условию предельного
равновесия, в качестве которого
применяется обычно условие Кулона.
Используя это условие в форме зависимости
(3.20^/),
получим широко применяемое выражение
для интенсивности активного давления

е_а
= σ_x
= σ₃
= σ₁∙tg²–
2с∙tg=

= (q
+ γ_гр
z)tg²–
2c∙tg.
(6.1)

По зависимости
(6.1) в случае несвязного
грунта (с =
0) при q
> 0 эпюра интенсивности активного
давления будет трапецеидальной (рис.
6.3, б), при q
= 0 — треугольной (рис. 6.3, в), а
равнодействующая активного давления,
численно равная площади эпюры е_а,
при q
≠ 0
определяется выражением

Е_а
=
tg².
(6.2)

Как и давление покоя
Е₀, давление Е_а, определяемое
по формуле (6.2) и другим (см. ниже), является
суммарным давлением (равнодействующей
давления) на единицу длины (обычно на 1
погонный метр) стены в направлении,
перпендикулярном плоскости хz.

Как показывают
эксперименты, выполненные с несвязными
грунтами, треугольная («классическая»)
эпюра активного давления при q
= 0 (рис. 6.3,в) наблюдается, если контактная
грань стены по всей высоте получает
смещение U ≥ U_а.
В частности, при смещении стены с
поворотом от грунта, «мгновенный» центр
поворота в этом случае должен находиться
ниже подошвы стенки (ниже т.К, рис. 6.3,а),
чтобы U_к
≥ U_а.
В реальных сооружениях указанные условия
обычно обеспечиваются.

Для связного
грунта при q
= 0 зависимость (6.1) дает в верхней части
отрицательные значения давления (рис.
6.3, г), т.е. формально не грунт давит на
стенку, а стена, смещаясь, как бы тянет
за собой грунт, чего, естественно, не
может быть в действительности, между
стеной и грунтом образуется щель. Это
объясняется тем, что при получении
зависимости (6.1) принималось существование
везде предельного состояния, а на самом
деле связный грунт может в пределах
высоты, называемой критической, держать
вертикальный откос, не находясь в
предельном состоянии. Критическая
высота h_к —
высота
свободно стоящего вертикального откоса
из связного грунта — легко определяется
из зависимости (6.1), принимая в ней е_а
= 0 при q
= 0 и z
= h_к,
откуда получаем

h_к
=

. (6.3)

Определение
активного давления связного грунта
следует выполнять, полагая наличие
вертикальной
щели в
пределах высоты h_к
(рис. 6.3, д). При q
= 0 суммарное активное давление с учетом
(6.1) и (6.3) определяется как площадь
треугольника на рис. 6.3, д по зависимости

При смещении стенки
от засыпки в ней образуется призма
обрушения, сползающая по поверхности
скольжения, наклоненной
к горизонтали под углом
(45⁰
+ φ/2) (рис. 6.3, а), который легко определяется
при использовании построения круга
Мора для предельного состояния грунта
(см. раздел 3.2, рис. 3.4). Призма обрушения
на поверхности засыпки имеет размер

l
= mn = h∙tg.

Изложенный способ
определения e_a(z)
и E_a
справедлив только для случая однородной
засыпки грунта за стенкой. Для более
сложных случаев засыпки и нагрузок
применяют различные инженерные приемы,
некоторые из них приводятся ниже.

При наличии
горизонта грунтовых вод
(ГГВ) в случае засыпки из несвязного
грунта угол внутреннего трения φ
практически не меняется и необходимо
учитывать только взвешивание грунта
водой, т.е. ниже ГГВ должен приниматься
удельный вес взвешенного
в воде грунта γ_взв
(см. раздел 3.3). Тогда активное давление
в т.2 (рис. 6.4, а) будет

e_a
(2) = γ_грh^/
∙tg²,

а в т.3 — e_a
(3) = (γ_гр∙h^/
+ γ_взв
∙h^//
)∙tg².

Эпюра активного
давления в т.2 имеет излом тем больший,
чем больше разница между γ_гр
и γ_взв.

Рис. 6.4.
Влияние горизонта грунтовых вод (а)
и

слоистости засыпки
(б)
на активное давление.

При слоистой
засыпке в
каждой точке перехода из слоя в слой
должны определяться две величины
давления, в точках немного выше и ниже
границы раздела слоев. Так, для схемы
на рис. 6.4,б в т.2 активное давление будет:
выше границы — e_a
= γ^/_гр∙h^/
∙tg²,
ниже границы — e_a
= γ^/_гр∙h^/
∙tg² —
2c^//∙tg.
B результате на эпюре в т.2 возникает
скачок давления, причем если грунт
нижележащий прочнее вышележащего, то
скачок направлен в сторону уменьшения
давления (рис. 6.4, б, в) и наоборот (рис.
6.4, г). При большой величине с
возможно даже получение отрицательного
давления e_a
(рис.6.4, в), что свидетельствует о
способности связного грунта держать
на этом участке вертикальный откос с
образованием условной щели.

Показанные на рис.
6.3 и 6.4 эпюры получены, исходя из соотношения
(3.20^/)
между главными напряжениями, записанного
в форме (6.1) для определения интенсивности
активного давления e_a
и затем величины равнодействующей E_a.
В более сложных случаях (наклонная
поверхность грунта и грань стенки и
т.п.) использование зависимости (6.1)
становится невозможным и широкое
распространение получил метод
Кулона,
основанный на гипотезе плоской поверхности
скольжения.

В
расчетной
схеме метода Кулона
принимается, что грунт несвязный,
поверхность скольжения плоская (рис.
6.5, а).

Рис. 6.5.
Расчетная схема метода Ш. Кулона.

По плоскости
обрушения принимается состояние
предельного равновесия, т.е. выполняется
условие Кулона, в соответствии с чем
равнодействующая R
напряжений на поверхности скольжения
отклоняется от нормали к ней на угол
внутреннего трения грунта φ. При
учете трения грунта о шероховатую грань
стенки равнодействующая активного
давления E_a
принимается отклоненной от нормали к
поверхности стены на заданный угол ω,
который обычно меньше φ (в случае гладкой
стены ω = 0). На
выделенную призму обрушения действуют
силы E_a,
R,
известные по направлению, и вес призмы
G,
который при принятом угле наклона
плоскости скольжения θ известен по
направлению и величине. Величина E_a
легко находится из условия равновесия,
т.е. из условия замыкания силового
треугольника на рис. 6.5, б. В треугольнике
стороны относятся как синусы противоположных
углов, откуда

E_a
= G,
(6.4)

где ε — угол,
образуемый тыловой (контактной с грунтом)
гранью стены с вертикальной плоскостью
(рис. 6.5, а).

Анализ
зависимости (6.4) показывает, что E_a
как функция угла θ имеет эстремум
(максимум). Экстремальное значение E_a
и принимается за истинную
величину активного давления. Отвечающий
истинному давлению угол θ находим из
условия

.
(6.5)

Задача определения
активного давления по зависимости (6.4)
при подстановке θ из условия (6.5) для
простых случаев, например, для плоской
наклонной поверхности засыпки (рис.
6.5, а, пунктир), решается аналитически.
Величина E_a
определяется по формуле

Е_а
=

, (6.6)

где
z
=
,

α — угол наклона
поверхности засыпки к горизонту, причем
в случае восходящего откоса (рис. 6.5, а,
пунктир) α > 0, в случае нисходящего
(падающего) откоса α < 0.

При значениях α =
0, ω = 0, ε = 0 из зависимости (6.5) получаем
θ =
и
суммарное активное давление Е_а
по зависимости (6.4) совпадает с величиной
Е_а
по формуле (6.2).

Графические решения
задачи поиска θ с наибольшим Е_а
позволяют получить активное давление
в более общих случаях неплоской
поверхности засыпки и действующих на
поверхность внешних нагрузок. На рис.
6.6 представлен графический способ К.
Кульмана. В этом способе проводятся
последовательно поверхности скольжения
под разными углами θ (рис. 6.6, а) и строятся
соответствующие силовые треугольники
(рис. 6.6, б). При построении любого
треугольника известны величина и
направление G
(в G
включаются вес грунта и внешние нагрузки,
попадающие в призму обрушения при
соответствующем принятом θ), направления
R
и Е_а
(принимаются также, как и в методе
Кулона). В результате построений получают
огибающую всех величин Е_а,
проводят к ней вертикальную касательную,
что соответствует выполнению условия
(6.5), и находят искомое максимальное
значение Е_а.

Заметим, что в
способах Кулона и Кульмана получают
только равнодействующую активного
давления. Эпюру давления обычно принимают
треугольной формы с давлением, линейно
нарастающим с глубиной.

Рис.
6.6.
Графическое определение активного
давления по К. Кульману.

Пассивное
давление.

При принудительном
смещении (внешними нагрузками) стены
на грунт в главном элементе у гладкой
грани стенки (рис. 6.3, а) возникающие
горизонтальные напряжения σ_x
превышают вертикальные σ_z,
т.е. в этом случае σ_x
= σ₁,
σ_z
= σ₃.
Поэтому условие предельного равновесия
элемента принимаем в форме (3.20) и для
интенсивности пассивного давления
получаем зависимость

e_п
= σ_z
∙tg²()
+ 2c∙tg().

Для схемы рис. 6.3,
а имеем σ_z
= q
+ γ_гр∙z
и величину

e_п
= (q
+ γ_гр∙z)tg²()
+ 2c∙tg(),
(6.7)

a равнодействующая
пассивного давления определяется
выражением

E_п
= (q∙h
+γ_гр∙h²)
tg²()+
2c∙h∙tg().
(6.8)

В
случае несвязного грунта (с
= 0) и отсутствии нагрузки q
на поверхности засыпки эпюра пассивного
давления будет согласно (6.7) треугольной,
а при наличии нагрузки q
или сцепления с
≠ 0 — трапецеидальной. Заметим, что
при q = 0, с
= 0 и
φ = 30⁰
величина пассивного давления
e_п
= γ_гр∙z∙tg²60⁰
превышает в 9 раз величину активного
давления e_a
= γ_гр∙z∙tg²30⁰.
Поверхность скольжения, ограничивающая
призму выпора, наклонена к горизонту
под углом θ =
.

Рис. 6.7.
Влияние гибкости стены на давление
грунта:

1, 2 – активное и
пассивное давление по методу Кулона,

3 – эпюры наблюдаемых
давлений

Для
определения пассивного давления в
случае шероховатых наклонных стен и
наклонной поверхности грунта может
также применяться расчетная схема
Кулона, в которой принимается выпор
грунта по плоской поверхности скольжения.
Расчетная схема аналогична приведенной
на рис. 6.5 с учетом, что силы трения по
поверхности скольжения имеют
противоположное случаю активного
давления направление. Поэтому зависимость,
аналогичная (6.4), в этом случае принимает
вид

Е_п
= G.

Для
определения Е_п
применим также графический вариант
Кульмана с использованием построения,
аналогичного приведенному на рис. 6.6
для активного давления при противоположном
направлении сил трения по поверхности
скольжения.

Приведенные выше
способы определения активного и
пассивного давлений относятся к жестким
массивным сооружениям (стенкам),
контактная с грунтом грань которых при
смещениях остается плоской.

В случаях
изгибаемых сооружений
(тонкие стены, шпунтовые ограждения и
др.) деформации изгиба существенно
влияют на распределение контактных
давлений. Так в случае изгибаемой стены
(рис. 6.7, а) в местах расположения
неподвижных опор (т. А, Б) происходит
возрастание давления выше активного,
а на участках наибольших горизонтальных
смещений U, наоборот, давление становится
меньше активного. Это объясняется
проявлением «арочного» эффекта в
грунтах, вызванного прогибом стенки.
При прогибах стены, показанной на рис.
6.7, б, давление перераспределяется по
ее высоте: уменьшается в пролетной
части, где стена прогибается, и
увеличивается (концентрируется) в зоне
опоры (т. А) и ниже уровня дна котлована.
Действительное очертание эпюры пассивного
давления на заглубленном в грунт участке
стены также не соответствует рассчитанному
по формуле (6.8). Для учета влияния
деформаций изгиба стенки на распределение
контактного давления на нее были
предложены различные инженерные методики
решения контактных задач для изгибаемых
тонких стенок как сооружений конечной
жесткости (глава 4).

В настоящее время
при расчетах изгибаемых конструкций,
подобных представленным на рис. 6.7,
успешно применяются программные
комплексы, перечисленные в гл. 4. Наиболее
совершенные из них позволяют моделировать
тонкие конструкции, определять
напряженно-деформированное состояние
грунта с учетом формирования областей
предельного напряженного состояния.

Определение
давления грунта методом теории предельного
равновесия
(ТПР) выполняется путем численного
интегрирования (В.В.Соколовский, 1960)
уравнений, включающих в случае плоской
задачи два дифференциальных уравнения
равновесия (3.2) и уравнение Кулона в
форме (3.22). Имеются решения для случая
горизонтальной поверхности засыпки из
однородного грунта и для различных
значений угла ε наклона контактной
грани стенки к вертикали и угла трения
ω грунта о стенку [12].

В случае стены с
гладкой вертикальной контактной гранью,
т.е. при ε = 0, ω = 0 (рис. 6.3, а) активное и
пассивное давления по решению ТПР
совпадает соответственно с величинами
давлений по формулам (6.2) и (6.8) приближенного
метода (метода Кулона). При значениях ε
≠ 0, ω ≠ 0 отличие в величине активного
давления по ТПР и приближенному методу
Кулона незначительное и вполне допустимо
определять активное давление по
зависимости (6.6). Влияние сил трения
грунта о стенку и наклона стенки, т.е.
углов ω и ε, существенно отражается на
величине пассивного давления. Приближенные
решения при значительных величинах ω,
ε завышают пассивный отпор по сравнению
с решением ТПР и к использованию решения
Кулона для определения пассивного
давления следует относиться осторожно
[9].

Соседние файлы в папке МГ Бугров

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Рассмотрим простейший случай активного давления при горизонтальной поверхности однородного грунта за вертикальным сооружением (стенкой) и идеально гладкой поверхности стенки, т. е. случай, когда по поверхности стенки касательные напряжения равны нулю. Тогда элемент грунта, вырезанный по главным площадкам, будет располагаться на контактной поверхности, как показано на рис. 6.3, а, и а_х = о’ = а₃, а а₂ = в” = а₁.

Так как грунт за стенкой считается находящимся в состоянии предельного равновесия, то можно использовать зависимость Кулона в форме (2.48), т. е. в виде зависимости между главными напряжениями. При действии активных сил только от собственного веса грунта и равномерно распределенной нагрузки можно сделать очевидное предположение, что в этом случае всегда сг₂ > о_х, тогда по зависимости (2.48), т. е. при а’ <. а” а’ = а_х = ог₂{§²(45°—ф/2) —2с1§(45° — ф/2), или учитывая, что = ст₂ = у_гр2 + </, получим широко применяемое выражение для активного давления.

Рис. 6.3. Активное давление грунта на вертикальную гладкую стенку:

а — линии скольжения; б, б-—давление несвязного грунта; г, д — давление связного

Высоты засыпки возникают отрицательные давления грунта (рис. 6.3, г), т. е. формально не грунт давит на стенку, а стенка как бы тянет за собой грунт, что, конечно, никак не соответствует действительности. Это объясняется тем, что при решении задачи принято существование везде предельного напряженного состояния, а на самом деле связный грунт может в пределах высоты, называемой критической, держать вертикальный откос и не находиться в предельном напряженном состоянии. Критическая высота свободно стоящего вертикального откоса 1г_к из связного грунта (рис. 6.3, г) легко определится из уравнения (6.1), принимая в нем при = 0 и г = Н_к а_х = 0, т. е.

По этой причине определение активного давления связного грунта следует производить, полагая наличие вертикальной щели между стенкой и засыпкой в пределах слоя толщины, равной критической высоте Н_к (рис. 6.3, 5). Тогда при ^ = 0 и Н_к < Н активное давление с учетом (6.1) и (6.3) определится как площадь треугольника на рис. 6.3, д, т. е.

Как было показано в § 2.3 и на рис. 2.14, в каждом элементе грунта, находящемся в предельном состоянии, образуются две площадки скольжения, направленные к главным площадкам под углами 45° +
+ ф/2 и 45° — ф/2. В условиях активного давления однородного грунта (ст_ж < сг_г) и идеально гладкой вертикальной стенки представляющая интерес для рассматриваемой задачи система прямолинейных площадок скольжения будет расположена к горизонтали под углом 45 + ф/2 (рис. 6.3, а). Вторая система прямолинейных площадок под углом 90 + ф к первой на рис. 6.3, а не приводится. Самая заглубленная площадка скольжения позволяет выделить максимальную

Рис. 6.4. Расчетная схема Ш. Кулона

призму обрушения грунта ктп и определить зону ее распространения по поверхности засыпки I = тп = (45° — ф/2).

В заключение рассмотрения этой простейшей задачи следует отметить, что принятие плоских поверхностей скольжения и получаемые решения (6.1) и (6.2) полностью соответствуют в этом частном случае строгим решениям теории предельного равновесия, элементы которой будут изложены в гл. 9. При поступательном перемещении вертикальной стенки или ее повороте вокруг нижнего ребра и малой ее шероховатости результаты расчета по зависимостям (6.1) и (6.2) хорошо согласуются с опытными данными.

В более сложных случаях, например при наличии сил трения грунта о грань наклонной стенки, образующиеся поверхности скольжения криволинейны и необходимо использовать соответствующие решения теории предельного равновесия. Однако в ряде практических задач широкое распространение получили приближенные решения, основанные на расчетной схеме, предложенной в простейшем варианте (без учета сил трения грунта о стенку) в 1773 г. Ш. Кулоном.

В расчетной схеме Кулона принимается, что грунт, несвязный„ поверхность скольжения плоская и ограничивает клин обрушения * являющийся жестким — недеформируемым телом (рис. 6.4, а). По плоскости обрушения и контактной поверхности клина обрушения с сооружением принимается, что имеет место состояние предельного равновесия, т. е. выполняется условие прочности Кулона, например, в форме (2.36). Поэтому равнодействующая активного давления Е_а будет отклонена от нормали к поверхности стенки на угол со, равный углу трения грунта о стенку, а равнодействующая напряжений на поверхности скольжения отклонится от нормали к ней на угол внутреннего трения грунта <р.

В результате на сползающий клин действуют: сила веса призмы обрушения С при заданном угле наклона поверхности скольжения 9, известная по величине и направлению; активное давление грунта Е_а, известное по направлению, и равнодействующая напряжений на плоскости скольжения а также известная по направлению при заданном угле 0.

Величина Е_а легко находится из условия равновесия, т. е. замыкания силового треугольника на рис. 6.4, б. В треугольнике стороны относятся как синусы противоположных углов, откуда

Е_а = 6 5Ш (б — <р)/зш (90° -|- ш -{- г -} ® — 6), (6.5)

где е — угол, образуемый тыловой гранью стенки с вертикальной плоскостью.

Рис. 6.5. Активное давление на наклонную стенку при плоской поверхности засыпки (а) и при различных наклонах поверхности засыпки (б, в)

Однако наклон плоскости скольжения б был выбран произвольно, и поэтому необходимо найти такую величину этого угла, при котором лктивное давление будет максимальным, т. е. выполнить условие, что на пой плоскости

йЕ_а1й б = 0. (6.6)

.4 а дач а определения Е_а из условия (6.6) решается для простейших случаев аналитически, а для более сложных — иногда графически.

При горизонтальной поверхности грунта, вертикальной (е = 0) и гладкой (ю=0) стенках по зависимости (6.5) условие (6.6) приводит к решению б = 45 + (р/2, и выражение для Е_а, по Кулону, в точности совпадает с (6.2), полученным на основе строгого решения теории предельного равновесия и предельных соотношений между главными напряжениями.

Представляет интерес случай определения активного давления на наклонную шероховатую стенку при плоской поверхности засыпки (рис. 6.5). Аналогичным путем, определяя в формуле (6.5) величину а из геометрии призмы обрушения и выполняя условие (6.6), было Получено

_Е _ Чгрк² С05² (у — 0 ₇^а 2(1+ VI)^{2 сок2 г со8} (^е + “)  где I. = Ып((р + со)5т(ф — а)]/[соз(е + ю)со5(е — а)]; а — угол наклона поверхности грунта засыпки к горизонту.

Углы е и а при отклонении тыловой грани от вертикали или по- нерхности засыпки от горизонтали против часовой стрелки (см.

I>ис. 6.5) принимаются со знаком плюс, при отклонении по часовой ( грелке — со знаком минус. С увеличением крутизны откоса (+а) иктивное давление возрастает (рис. 6.5, б). В случае падающего откоса (—а), наоборот, с увеличением его крутизны активное давление по сравнению с давлением при горизонтальной засыпке (а = 0) существенно уменьшается. Формула (6.7) неприменима при крутых откосах (а > ф), которые сами по себе неустойчивы, и для стен с очень пологой задней гранью (при е > 70—65°). В стенках с очень пологой гранью обрушения смещение грунта происходит не по поверхности контакта стены с грунтом, а по поверхности скольжения, проходящей
внутри массива грунта, а оставшаяся часть грунта перемещается вместе со стенкой.

Рис. 6.6. Графический способ определения давления грунта (К- Кульман)

Графические решения задачи поиска 9 с наибольшим Е_а позволяют получить активное давление в более общих случаях действующих нагрузок и при любой поверхности засыпки грунта за стенкой. Например, в способе К- Кульмана, проводя последовательно плоскости скольжения под различными углами 9 (рис. 6.6, а) и строя соответствующие силовые треугольники (рис. 6.6, б), можно получить огибающую всех величин Е_&, а проведя к ней вертикальную касательную, т. е. выполнив графически условие (6.6), найти максимальное значение Е_&. Все возможные внешние нагрузки входят в величину С.

В способах, основанных на гипотезе Кулона, т. е. для жесткого смещающегося клина, можно получить только равнодействующую активного давления. Эпюру активного давления обычно принимают треугольной формы, пропорциональной глубине расположения рассматриваемой точке грунта засыпки.