Как найти активную мощность трехфазной цепи треугольником

Мощность трехфазной
системы равна сумме мощностей ее
отдельных фаз:

Р=РАВВССА

Q=QAB+QBC+QCA

При симметричной
нагрузке мощности отдельных фаз равны
между собой, следовательно,

Р = 3Рф
= 3 UфIФ
cosφ

Q=
3Qф
= 3 UфIФ
sinφ

S = 3 UфIФ

Учитывая, что при
соединении треугольником Uл
= Uф
и IЛ
=

получаем

Р =

UЛIЛ
cosφ

Q=

UЛIЛ
sinφ

S =

UЛIЛ

Таким образом
мощности трехфазной цепи при соединении
«звездой» и «треугольником» рассчитываются
по одинаковым формулам.

3.7. Измерения мощности потребляемой трехфазными электроприемниками.

Измерение активной
мощности в трехфазной системе при
симметричной нагрузке может быть
осуществлено измерением мощности в
одной любой фазе с последующим умножением
полученного значения на три (рис. 3.10).

Рис. 3.10 (a,б).
Схемы измерения активной мощности в
симметричных трехфазных цепях: а)
соединение звездой; б) соединение
треугольником.

Активная мощность,
потребляемая каждой схемой, определятся
по формуле:

P=3W,
где W
– показания ваттметра.

В несимметричной
четырехпроводной трехфазной системе,
активная мощность определяется методом
трех ваттметров (рис. 3.11)

Рис. 3.11 Схема
измерения мощности в четырехпроводных
цепях трехфазного тока.

Активная мощность,
потребляемая цепью, определяется как
арифметическая сумма показаний всех
ваттметров

P
= W1
+ W2
+ W3

В трехпроводных
системах трехфазного тока при любой
нагрузке для определения мощности
широко применяют схему измерения
мощности двумя ваттметрами.

Схема включения
ваттметров показана на рис. 3.12.

На схеме токовые
обмотки ваттметров включены в линейные
провода А и В, а обмотки напряжений
включены на линейные напряжения UAC
и UBC.

Рис.3.12 Схема
измерения мощности в трехпроводных
системах двумя ваттметрами

Поясним принцип
работы схемы. Известно, что мгновенная
мощность системы равна сумме мгновенных
мощностей, потребляемых всеми фазами:

р=uAiA+
uBiB
+ uCiC
(1)

Так как сумма
мгновенных значений токов в трехпроводной
системе

iA+iB+iC
= 0, то

iC
=
– (iA+iB)
(2)

Подставляя
(2) в
(1) получим
уравнение:

р
= uAiA+
uBiB

uC(
iA+iB)
= iA(uA-uC)
+ iB(uB-uC)=
iAuAC+iBuBC

П

ри
переходе от мгновенных значений токов
и напряжений к их действующим значениям
уравнение (2) принимает вид:

Р
= IAUAC
cos( IAUAC)
+ IBUBC
cos
(IAUBC)
= W1+W2

При симметричной
нагрузке линейные токи IA,
IB
и IC
равны между собой, также равны между
собой и линейные напряжения UAC
и UBC.

С помощью векторной
диаграммы покажем, что действительно
Р = W1+W2.

Построим векторную
диаграмму токов и напряжений при
симметричной нагрузке электроприемника,
исходя из равенств:

Рис. 3.13. Векторная
диаграмма при соединении потребителей
звездой.

Т
аким
образом, показания первого и второго
ваттметров равны:

W
1=IAUACcos

= IЛUЛ
cos (φ-30o)

W2=IВUВСcos

= IЛUЛ
cos (φ+30o).

W1
+
W2
= IЛUЛ
cos (φ-30o)
+ IЛUЛ
cos (φ+30o)
= IЛUЛ
(cosφ cos30о
+ sinφ sin30o
+ cosφ cos30о
sinφ
sin30o)
= 2 IЛUЛ
cosφ
cos30о
=

cosφ = P (см.
разделы
3.4, 3.6).

По разности
показаний ваттметров можно определить
реактивную мощность трехфазной системы.
Действительно

W1-W2
= IЛUЛcos(φ-30o)
– IЛUЛcos(φ+30o)
= IЛUЛ
(cosφ
cos30о+
sinφsin30o
– cosφ
cos30о+
sinφ
sin30o)
= 2 IЛUЛ
sinφsin30o)
= IЛUЛsinφ,
(3)

Выше было получено
выражение для определения реактивной
мощности Q
трехфазной цепи. Независимо от вида
соединения фаз

Q=

UЛ
IЛ
sinφ
(4)

Сравнивая (3) и (4)
получаем

Q=

(W1-W2)

при φ = ±60 один из
ваттметров будет показывать нулевое
значение мощности. Вся мощность трехфазной
системы, при этом, определяется по
показаниям второго ваттметра.

при φ = >60 один из
ваттметров покажет отрицательное
значение мощности. Для снятия показаний
ваттметров, в этом случае, необходимо
изменить направление тока в токовой
обмотке ваттметра и полученное показание
взять в расчет со знаком минус.

48

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #

Содержание:

Трехфазные цепи:

Многофазной системой называется совокупность электрических цепей, называемых фазами, в которой действуют синусоидальные напряжения одной частоты, отличающиеся друг от друга по фазе. Чаще всего применяются симметричные многофазные системы, напряжения которых равны по величине и сдвинуты по фазе на угол Трехфазные цепи

Трехфазная система

Наибольшее распространение имеет трехфазная система, созданная русским ученым М. О. Доливо-Добровольским (1891 г.); он изобрел и разработал все звенья этой системы — генераторы, трансформаторы, линии передачи и двигатели трехфазного тока.

Трехфазные цепи

Простейший трехфазный генератор (рис. 12.1) подобен рассмотренному в  источнику однофазного напряжения; он состоит из трех одинаковых плоских витков или катушек, называемых фазами генератора, вращающихся в однородном магнитном поле с равномерной угловой скоростью ω вокруг оси, перпендикулярной к направлению магнитных линий. В каждой фазе следует различать начало и конец. Считая, что все катушки намотаны в одном направлении, например по часовой стрелке, можно принять за начало начальный зажим катушки или, наоборот, конечный, но принятое условие должно быть одинаковым для всех фаз. Цепи нагрузки подключаются к генератору с помощью щеток, наложенных на кольца, соединенные с катушками аналогично рис. 6.1 (на рис. 12.1 они не показаны).

Три фазы трехфазного генератора расположены под углом Трехфазные цепи друг к другу; первой, или фазой А, можно назвать любую из трех фаз, второй — фазу В, начало которой HB сдвинуто в пространстве относительно начала первой НА на угол Трехфазные цепи против направления вращения, третьей — фазу С, начало которой Нc сдвинуто относительно начала второй HB также на Трехфазные цепи в том же направлении.

При вращении в фазах будут индуктироваться э. д. с.; период Т этих э. д. с. обороту. Катушки одинаковы, поэтому (амплитуды) э. д. с. фаз будут также одинаковы. Так как фазы сдвинуты друг относительно друга в пространстве на угол Трехфазные цепи, т. е. на 1/3 полного оборота, их э. д. с. будут сдвинуты во времени на Т/3 — треть периода, что соответствует фазному сдвигу, равному:

Трехфазные цепи

Если за начальный взять момент времени, когда плоскость первой катушки перпендикулярна линиям магнитной индукции (см. рис. 12.1), э. д. с. (отсчитываемая, например, от конца к началу)

Трехфазные цепи

и э. д. с. двух других катушек (отсчитываемые в том же направлении), отставая по фазе на углы Трехфазные цепи и 2•Трехфазные цепи, будут равны:

Трехфазные цепи

Временная диаграмма э. д. с. изображена на рис. 12.2. Если вектор э. д. с. первой фазы направить по оси вещественных комплексной плоскости (рис. 12.3), комплексы э. д. с. симметричной системы будут иметь вид:

Трехфазные цепи

Комплексный множитель

Трехфазные цепи
является оператором поворота вектора на угол 2π/3 в положительном направлении. Тогда

Трехфазные цепи

Следовательно,

Трехфазные цепи

т. е. сумма векторов симметричной системы равна нулю. Это значит, что равна нулю в любой момент времени и алгебраическая сумма мгновенных значений, что можно видеть и из рис. 12.2, если взять сумму ординат трех синусоид для любой абсциссы.

Трехфазные цепи

Если в цепь каждой фазы генератора включить одинаковые по величине и характеру сопротивления (рис. 12.4), то токи фаз будут равны по величине и сдвинуты по фазе относительно своих напряжений на один и тот же угол ϕ:

Трехфазные цепи

Они также образуют трехфазную симметричную систему векторов.

При неодинаковой нагрузке фаз максимальные значения токов и фазные сдвиги будут различны, и система токов будет несимметричной.

В электроизмерительной технике и автоматике применяется также двухфазная система, векторная диаграмма э д. с. которой показана на рис. 12.5. Хотя э. д. с. Трехфазные цепи по величине равны, двухфазная система несимметрична, так как сумма Трехфазные цепи

Трехфазные цепи

Показанная на рис. 12.4 несвязанная трехфазная система, при которой отдельные фазы не соединены между собой, на практике не применяется — генераторы и приемники связывают или в звезду, или в треугольник.

Соединение звездой

При соединении генератора звездой вместе соединяются концы фаз, образуя нулевую (нейтральную) точку 0. К началам фаз генератора с помощью трехпроводной линии передачи присоединяется приемник. Если последний также соединен звездой, нулевые точки генератора и приемника могут быть соединены нулевым (нейтральным) проводом (рис. 12.6).

Трехфазные цепи

Различают величины, относящиеся к фазам генератора и приемника — фазные напряжения и токи, и к линейным проводам — линейные напряжения и токи. Так как линейные провода соединены последовательно с фазами генератора и приемника, линейные токи в звезде равны соответствующим фазным токам.

Для получения симметричных соотношений между величинами следует выбирать положительные направления токов во всех фазах единообразно; обычно направляют токи от генератора к приемнику (см. рис. 12.6), т. е. в сторону движения энергии. В соответствии с аналогом закона Ома Трехфазные цепи положительные направления фазных напряжений совпадают с направлением токов. Положительные направления линейных напряжений могут быть выбраны произвольно, а также единообразно. Произволен также выбор направления тока на нулевом проводе.

Если выбрать направление тока в нулевом проводе от нулевой очки приемника к нулевой точке генератора (см. рис. 12.6), мгновенное значение iN и комплекс IN этого тока в общем случае будут:

Трехфазные цепи

На рис. 12.7, а изображена диаграмма фазных напряжений на фиемнике в соответствии с принятым на рис. 12.6 направлением гоков, сходящихся в нулевой точке О’ приемника.

Трехфазные цепи

Эта диаграмма называется топографической, так как ее точкам А, В, С, О’ соответствуют одноименные точки цепи. Векторы и комплексные линейные напряжения Трехфазные цепи направлены, как это обычно принято, от точки, соответствующей первому индексу, к точке, соответствующей второму индексу; линейные напряжения равны разности соответствующих фазных напряжений:

Трехфазные цепи

а их мгновенные значения

Трехфазные цепи

Из этих соотношений вытекает, что сумма линейных напряжений равна нулю.

Топографическая векторная диаграмма рис. 12.7, а, в которой векторы фазных напряжений сходятся в одной точке, соответствующей нулевой точке приемника, обычно заменяется диаграммой рис. 12.7, б, где эти векторы выходят из этой же точки; так как при этом все векторы фазных и линейных напряжений изменяют свои направления на обратные, приведенные выше соотношения между напряжениями сохраняются.

При симметричной системе фазных напряжений векторы линейных напряжений образуют равносторонний треугольник; нулевая точка совпадает с его центром тяжести (рис. 12.8) и линейное напряжение

Трехфазные цепи

г. е. по абсолютной величине линейные напряжения в Трехфазные цепи раз больше разных.

Далее сначала рассматриваются цепи без взаимной индукции между фазами и между фазами и нулевым проводом.

В звезде с нулевым проводом (см. рис. 12.6), если пренебречь его сопротивлением (ZN = 0), а также сопротивлением, линейных проводов, фазные напряжения приемника будут, очевидно равны фазным напряжениям генератора; их векторные диаграммы совпадут (см. рис. 12.7, б). Следовательно, фазные комплексные токи будут определяться фазными комплексными напряжениями генератора и комплексными сопротивлениями или проводимостями тех же фаз приемника:

Трехфазные цепи

т. е. соединение звездой с нулевым проводом без сопротивления обеспечивает независимую работу фаз.

При симметричной системе фазных напряжений и одинаковой нагрузке фаз система фазных токов будет симметричной и ток IN нулевого провода, равный сумме токов, будет также равен нулю независимо от величины сопротивления этого провода.

Трехфазные цепи

В звезде с нулевым проводом, имеющим сопротивление ZN в общем случае, когда Трехфазные цепи между нулевыми точками генератора и приемника возникает узловое напряжение Трехфазные цепи что вызывает на векторной диаграмме (рис. 12.9) смещение точки О’, соответствующей нулевой точке приемника, относительно точки 0, соответствующей нулевой точке генератора. То, что вектор Трехфазные цепи на рис. 12.9 направлен от 0 к О’, т. е. против направления IN, объясняется указанным выше изменением направления векторов всех напряжений (см. рис. 12.7, а и б). В соответствии с методом узловых напряжений 

Трехфазные цепи

где Трехфазные цепи —фазные напряжения генератора; Трехфазные цепи — проводимости фаз, YN — проводимость нулевого провода.

В звезде без нулевого провода YN =0 и

Трехфазные цепи

Фазные напряжения на приемнике и токи (см. рис. 12.9):

Трехфазные цепи

Выражения для узлового напряжения показывают, что Трехфазные цепи будет изменяться при изменении нагрузки в любой фазе; вместе с Трехфазные цепи будут изменяться напряжения всех фаз приемника, а следовательно, и все токи. Таким образом, звезда без нулевого провода, а также звезда с нулевым проводом, имеющим сопротивление, не обеспечивает независимой работы фаз.

В случае звезды без нулевого провода фазные напряжения на приемнике могут быть выражены через линейные напряжения:

Трехфазные цепи

Выражения для Трехфазные цепи можно получить, пользуясь круговой перестановкой индексов:

Трехфазные цепи

Приведенный вывод выражений для фазных напряжений на приемнике через фазные или линейные напряжения генератора справедлив для общего случая несимметричных систем фазных и линейных напряжений.

Трехфазные цепи

Примером неодинаковой нагрузки фаз может служить прибор для определения порядка следования фаз (рис. 12.10). Он представляет собой три одинаковые по величине проводимости, соединенные в звезду, — две лампы накаливания и конденсатор; тогда, считая, что проводимости ламп линейны,

Трехфазные цепи

где а — абсолютное значение проводимостей. При симметричной системе фазных напряжений генератора, если вектор UА направлен по оси вещественных величин (UA = U), узловое напряжение

Трехфазные цепи

Тогда комплексные напряжения на лампах будут:

Трехфазные цепи

На рис. 12.9 показана векторная диаграмма для рассматриваемой цепи. Векторы токов Трехфазные цепи совпадают по фазе с напряжениями Трехфазные цепи ток IB опережает напряжение Uв по фазе на π/2.

Трехфазные цепи

Действующие значения напряжений на лампах и их отношение будут:

Трехфазные цепи

Поэтому лампа, включенная в фазу С, будет светиться ярче лампы, включенной в фазу А, т. е. фазы следуют друг за другом в следующем порядке: яркая лампа, тусклая лампа, конденсатор.

При индуктивных связях между фазами приемника и между его фазами и нулевым проводом должны быть учтены э. д. с. взаимной индукции. Так, например, для соединения звездой с нулевым проводом или без него по схеме рис. 12.11, а при взаимной индукции только между фазами уравнение по второму закону Кирхгофа для фазы А приемника будет иметь вид:

Трехфазные цепи

уравнения для второй и третьей фаз можно получить путем круговой перестановки индексов А, В, С.

Если нагрузка фаз одинакова, т. е.Трехфазные цепи

Трехфазные цепи(12.1)

Если, кроме того, нулевой провод отсутствует или при его наличии система фазных напряжений симметрична, то сумма токов 1А + 1в + 1С=0, и уравнение (12.1) получит вид:

Трехфазные цепи

г. е. в этом случае цепь рис. 12.11, а эквивалентна схеме рис. 12.11, б без индуктивных связей, но с индуктивностью фаз приемника, равной L — М.

Для дальнейшего представляет интерес случай, когда есть нулевой провод, а все фазные напряжения генератора равны между собой и совпадают по фазе: Трехфазные цепи (так называемая нулевая система); тогда, очевидно, все токи также будут равны между собой:

Трехфазные цепи

и уравнение (12.1) получит вид:

Трехфазные цепи

Это значит, что в данном случае цепь рис. 12.11, а эквивалентна схеме рис. 12.11, в без индуктивной связи, но с индуктивностью фаз приемника, равной L + 2М. Ток нулевого провода будет, очевидно, равен 3I.

Соединение треугольником

Чтобы соединить генератор в треугольник, нужно связать конец каждой фазы с началом следующей; в результате фазы генератора образуют замкнутый контур. При таком соединении симметричного генератора с отключенной нагрузкой (рис. 12.12) ток внутри него не возникает, так как сумма его э. д. c., образующих симметричную систему, равна нулю.

Трехфазные цепи

Соединив приемник также в треугольник (рис. 12.13), можно видеть, что фазные напряжения генератора и приемника одновременно являются и линейными, линейные же токи Трехфазные цепи — отличны от фазных токов Трехфазные цепи Для получения симметричных соотношений между линейными и фазными токами следует выбирать их положительные направления единообразно. Для всех линейных токов обычно выбирается направление от генератора к приемнику, для фазных — по направлению обхода контура, например, против часовой стрелки для приемника (рис. 12.13). Тогда по первому закону Кирхгофа для приемника получаются следующие соотношения для мгно венных значений и комплексных токов:

Трехфазные цепи

Для генератора соотношения между линейными и фазными токами аналогичны. Таким образом, линейные токи равны разностям соответствующих фазных токов.

Трехфазные цепи

Из полученных соотношений видно, что сумма линейных токов равна нулю:

Трехфазные цепи

Для симметричной системы фазных токов (рис. 12.14)

Трехфазные цепи

т. е. по абсолютной величине линейные токи в Трехфазные цепи раз больше фазных.

Токи в фазах приемника будут определяться линейными напряжениями и сопротивлениями или прово-димостями фаз приемника:

Трехфазные цепи

По приведенным соотношениям фазных токов могут быть определены линейные токи.

Если пренебречь сопротивлением проводов, напряжения генератора будут равны напряжениям приемника и фазы будут работать независимо друг от друга: всякое изменение сопротивления какой-либо фазы приемника вызовет изменение тока этой фазы и токов двух примыкающих к этой фазе линейных проводов, но никак не отразится на токах других фаз.

Если сопротивление линейных проводов не равно нулю (рис. 12.15, а), то из-за падения напряжения в них треугольник не обеспечивает независимой работы фаз. Изменение, например, сопротивления фазы АВ вызовет изменение фазного тока IAB, а следовательно, и линейных токов IА и IB. При этом изменятся падения напряжения в линейных проводах А и В, что при неизменных линейных напряжениях на зажимах генератора вызовет изменение напряжений на всех трех фазах приемника; следовательно, должны измениться также токи Трехфазные цепи тех фаз, сопротивление которых оставалось неизменным.

Для расчета цепи рис. 12.15, а при заданных линейных напряжениях, помимо методов уравнений Кирхгофа, наложения, контурных токов и узловых напряжений, при отсутствии взаимной индукции можно применить метод преобразования. Треугольник ZAB, ZBC. ZCA преобразуют в эквивалентную звезду ZA, ZB, Zc по формулам, соответствующим (рис. 12.15, б):

Трехфазные цепи

Объединяя в каждой фазе сопротивление линии и приемника, приводят схему к звезде (рис. 12.15, в), после определения токов которой возвращаются к цепи рис. 12.15, б, находя фазные и линейные напряжения на звезде ZA, ZB, Zc, а затем — к исходному треугольнику (см. рис. 12.15, а), чтобы найти его фазные токи.

Трехфазные цепи

Приведенные выше выражения для расчета соединения треугольником справедливы для общего случая несимметричной системы напряжений генератора.

При наличии взаимной индукции, одинаковой нагрузке фаз и симметричной системе напряжений (рис. 12.16, а) система фазных токов будет также симметричной, тогда

Трехфазные цепи

и уравнение по второму закону Кирхгофа примет вид:

Трехфазные цепи

т. е. в этом случае цепь рис. 12.16, а эквивалентна схеме рис. 12.16, б без индуктивной связи, но с индуктивностью фаз приемника, равной L – М.

Мощность трехфазных систем и ее измерение

Мгновенная мощность трехфазной системы, как и всякой сложной цепи, равна сумме мощностей отдельных приемников, т. е. сумме мощностей фаз. Мгновенная мощность симметричной и одинакова нагруженной трехфазной системы

Трехфазные цепи

Сумма трех косинусоид, сдвинутых по фазе на угол Трехфазные цепи равна нулю, в чем можно убедиться, построив и сложив векторы, изображающие эти функции. Следовательно,

Трехфазные цепи

т. е. мгновенная мощность симметричной одинаково нагруженной трехфазной системы постоянна, тогда как мощность однофазной системы изменяется во времени с двойной частотой по сравнению с частотой напряжения и тока.

Многофазная система, мгновенная мощность которой постоянна, называется уравновешенной. Интересно отметить, что несимметричная двухфазная система с равными напряжениями (см. рис. 12.5) в случае одинаковой нагрузки фаз также является уравновешенной:

Трехфазные цепи

Из-за уравновешенности трехфазные и двухфазные двигатели имеют постоянный вращающий момент, тогда как момент однофазных двигателей пульсирует с двойной частотой.

Выражение для мощности уравновешенной трехфазной системы может быть преобразовано. В симметричной звезде

Трехфазные цепи

В симметричном треугольнике

Трехфазные цепи

В обоих случаях выражения для мощности получились одинаковыми.

Для измерения мощности трехфазной симметричной и одинаково нагруженной системы достаточен один ваттметр, включенный в одну из фаз и измеряющий ее мощность. Аналогично включается однофазный счетчик электрической энергии, Для получения мощности и, соответственно, энергии трехфазной системы показания этих приборов следует утроить.

В общем случае несимметричной системы и неодинаковой нагрузки мгновенная мощность р есть величина переменная, т. е. такая система является неуравновешенной. Средняя мощность этой системы равна сумме средних мощностей отдельных фаз:

Трехфазные цепи

Следовательно, средняя мощность в данном случае может быть измерена тремя ваттметрами, включенными в каждую фазу, как это показано на рис. 12.17, а, для звезды с нулевым проводом (точками обозначены условные «начала» параллельных и последовательных цепей ваттметров).

Трехфазные цепи

В случае трех проводной системы можно ограничиться двумя ваттметрами, включенными так, как показано на рис. 12.17, б для измерения средней мощности трехфазной системы, соединенной треугольником. Мгновенные мощности, усредняемые первым и вторым ваттметрами, соответственно равны:

Трехфазные цепи

Так как Трехфазные цепи сумма этих мощностей

Трехфазные цепи

При переходе к средним мощностям получается, что сумма показаний ваттметров

Трехфазные цепи

т. е. равна мощности системы. Вывод справедлив и для звезды без нулевого провода, так как она может быть заменена эквивалентным треугольником.

Реактивная и полная мощности симметричной и одинаково нагруженной трехфазной системы равны суммам соответствующих мощностей всех фаз:

Трехфазные цепи

В общем случае несимметричной и неодинаково нагруженной трехфазной системы суммирование реактивных и полных мощностей фаз не дает величин, характерных для нагрузки генератора в целом, как это было в однофазной цепи с одним источником энергии. Предлагаемые в литературе определения реактивной и полной мощностей трехфазной несимметричной и неодинаково нагруженной системы чисто условны и потому здесь не рассматриваются.

Сравнение трехфазных и однофазной cиcтем

Сопротивление линейных и нулевого проводов, соединяющих генератор и приемник, обычно мало по сравнению с сопротивлением фаз приемника, и выводы, сделанные по поводу независимости работы фаз при соединении звездой и треугольником, можно обобщить следующим образом:

  1. в звезде с нулевым проводом и в треугольнике токи фаз практически мало зависят друг от друга и поэтому эти схемы следует применять при неодинаковой нагрузке фаз;
  2. звезда без нулевого провода может применяться только при одинаковой нагрузке фаз.

Необходимо отметить, что схема соединений генератора и приемника может быть различной, и один из них может быть соединен треугольником, другой — звездой без нулевого провода.

Представляет интерес сравнение расхода металла с удельным сопротивлением р на провода однофазной и трехфазной линий передачи (рис. 12.18) той же мощности Р на то же расстояние l при одинаковом cosϕ и том же к. п. д., т. е. тех же потерях в линии Рл = kP, где k — относительная потеря мощности, и одинаковом линейном напряжении U.

Трехфазные цепи

Для однофазной двухпроводной линии (рис. 12.18, а) Р = UI0 cosϕ; отсюда ток I0, потери Рл и сопротивление r0 одного провода:

Трехфазные цепи

Следовательно, сечение s0 и объем V0 проводов соответственно равны:

Трехфазные цепи

Отсюда видно, что формула для сечения двухпроводной линии переменного тока отличается от аналогичной формулы для линии постоянного тока  наличием множителя Трехфазные цепи в знаменателе, приводящему к тем большему увеличению расхода металла, чем ниже коэффициент мощности Трехфазные цепи.

Для трехфазной трехпроводной линии (рис. 12.18, б и в) Трехфазные цепи и аналогично

Трехфазные цепи

а сечение sT и объем VT проводов:

Трехфазные цепи

В знаменателе этих выражений также присутствует множитель Трехфазные цепи.

Из формул для s0 и sT видна эффективность высокого напряжения и большого коэффициента мощности — сечения обратно пропорциональны квадратам этих величин. Вместе с тем очевидно, что стоимость изоляции проводов растет с ростом напряжения. В результате экономически оптимальное напряжение U оказывается тем выше, чем больше передаваемая мощность Р и длина l линии.

Соотношение объемов металла линий: однофазной двухпроводной V0 и трехфазных —- трехпроводной Vr и четырехпроводной с нулевым проводом половинного сечения Трехфазные цепи (рис. 12.18, г) будет

Трехфазные цепи

Таким образом, при одинаковом линейном напряжении звезда без нулевого провода и треугольник, очевидно, дают одинаковый расход металла на линию передачи и экономию в 25% по сравнению с однофазной линией, а нулевой провод половинного сечения вызывает перерасход металла, но все же система остается легче однофазной на 12,5%.

Соединение звездой с нулевым проводом имеет важное преимущество: помимо трехфазных приемников, рассчитанных на линейное напряжение, оно позволяет включать однофазные приемники и на линейное, и на фазное напряжение.

Если приемники работают при одинаковом фазном напряжении, линейное напряжение звезды будет в Трехфазные цепи раз больше, чем треугольника, что уменьшит расход металла в 3 раза.

Основным преимуществом трехфазной системы по сравнению с однофазной является возможность легко создавать вращающееся магнитное поле, используемое, в частности, в трехфазных асинхронных двигателях, наиболее простых по конструкции и в эксплуатации.

Пульсирующее и вращающееся магнитные поля

Электрические индуктивные машины переменного тока в большинстве случаев имеют магнитопровод в виде двух коаксиальных цилиндров, набранных из стальных листов и разделенных воздушным зазором (рис. 12 19). Внешний цилиндр S является статором, внутренний R — ротором.

Трехфазные цепи

Если по обмотке статора, уложенной в его пазы н распределенной на части, например одной трети его окружности (рис. 12.19), будет проходить постоянный ток, магнитный поток, замыкающийся через статор, воздушный зазор и ротор будет постоянным. Приближенно магнитную индукцию можно считать распределенной по окружности статора по синусоидальному закону (сплошная линия на рис. 12.20); она имеет максимальные значения Вm по оси обмотки и равна нулю на нейтральной линии, перпендикулярной к оси обмотки. Такое синусоидально распределенное в зазоре машины поле можно условно изобразить постоянным вектором Вm (рис. 12.21), аналогично тому, как ранее это было сделано для величин, изменяющихся по синусоиде во времени.

Трехфазные цепи

Если по обмотке статора пропускать переменный ток, синусоидальное распределение магнитного поля сохранится, но поле будет пульсирующим, т. е. изменяющимся во времени по синусоидальному закону (см. рис. 12.20). Принимая за начало счета времени момент, когда индукция по оси обмотки максимальна, пульсирующее поле можно условно изобразить вектором Трехфазные цепи Согласно формуле Эйлера,

Трехфазные цепи (12.2)

Это значит, что пульсирующее синусоидально распределенное поле может быть представлено в виде суммы двух также синусоидально распределенных полей Трехфазные цепи, постоянных во времени, но вращающихся с угловой скоростью ω в разные стороны; последнее видно из противоположных знаков показателей степени множителей вращения. Поле Трехфазные цепи, вращающееся в положительном направлении вращения векторов, называется прямым, поле Трехфазные цепи — обратным. Вращающиеся векторы, условно изображающие эти поля, на рис. 12.21 показаны для момента начала счета времени.

Разложение пульсирующего поля на два вращающихся используется, например, в однофазных двигателях, где прямое поле, воздействуя на ротор, приводит его во вращение, а обратное поле экранируется.

В трехфазных машинах на статор наложены три обмотки, показанные в разрезе на рис. 12.22, занимающие каждая треть его окружности; следовательно, эти обмотки и их оси сдвинуты в пространстве на угол 2π/3. Обмотки обтекаются токами, векторы которых образуют симметричную трехфазную систему. Тогда выражение для поля первой фазы А совпадает с выражением (12.2) при том же начале счета времени

Пусть обмотка, обтекаемая током второй фазы В, т. е. током, отстающим от тока первой фазы на угол 2π/3, сдвинута в пространстве вперед по направлению вращения прямого поля на тот же угол, что учитывается множителем Трехфазные цепи. Тогда выражение для поля фазы В получает вид:

Трехфазные цепи

Аналогично записывается поле третьей фазы С, но так как она обтекается током, опережающим по фазе ток фазы А на угол 2π/3, и сдвинута в пространстве на тот же угол назад, знаки всех углов 2π/3 изменяются на обратные.

Результирующее поле определяется наложением полей всех трех фаз:

Трехфазные цепи
Отсюда видно, что все прямые поля трех обмоток арифметически складываются, тогда как обратные поля в сумме дают нуль и в машине возникает вращающееся поле, постоянное во времени. Амплитуда вращающегося поля в полтора раза превышает амплитуду пульсирующего поля отдельных обмоток, а фаза совпадает с фазой прямого поля обмотки первой фазы А.

В трехфазных двигателях вращающееся поле также используется для приведения во вращение ротора; из-за постоянства мощности в трехфазных системах и, следовательно, вращающего момента, а также отсутствия обратного поля эти двигатели имеют значительное преимущество перед однофазными.

Основы метода симметричных составляющих

Метод симметричных составляющих, предложенный Фортескью, позволяет сравнительно просто рассчитывать несимметричные, в частности, аварийные режимы в трехфазных системах и машинах. До предложения этого метода для таких расчетов надо было решать дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами или оперировать с сопротивлениями, зависящими от токов.

Трехфазные цепи

В общем случае симметричной трехфазной системой векторов называется система, состоящая из трех равных по величине векторов, причем каждый вслед идущий вектор сдвинут относительно предыдущего на угол Трехфазные цепи где k — любое целое число. Система Трехфазные цепи (рис. 12.23, a), у которой угол сдвига между вслед идущими векторами Трехфазные цепи имеет прямой порядок следования фаз в направлении вращения векторов и называется прямой системой.

Симметричные системы линейных и фазных напряжений и токов, рассмотренные выше, были именно прямыми системами. Система Трехфазные цепи (рис. 12.13, в), в которой угол сдвига между вслед идущими векторами Трехфазные цепи имеет обратный порядок следования фаз и называется обратной системой. Система векторов Трехфазные цепи совпадающих по фазе (Трехфазные цепит. е. β = 0) называется нулевой системой (рис. 12.23, б).

Система векторов, сдвинутых по фазе на угол Трехфазные цепи является также прямой системой и т. д. Таким образом, все многообразие симметричных трехфазных систем сводится к трем системам, изображенным на рис. 12.23.

Пользуясь оператором Трехфазные цепи поворота вектора на угол 2π/3 в положительном направлении и приняв за основные вектор A1 прямой системы, вектор A2 обратной системы и вектор A0 нулевой системы, через них можно выразить остальные векторы:

Трехфазные цепи(12.3)

Пусть задана несимметричная система трех векторов А, В, С. Далее доказывается, что каждый вектор этой системы может быть представлен в виде суммы трех векторов, являющихся составляющими прямой, обратной и нулевой систем:

Трехфазные цепи (12.4)

Подстановка уравнений (12.3) в уравнения (12.4) дает:

Трехфазные цепи (12.5)

Система уравнений (12.5) решается относительно А0, А1, A2 однозначно:

Трехфазные цепи (12.6)

Отсюда и следует, что несимметричную систему векторов можно разложить на три симметричные системы.

Из первого уравнения системы (12.6) видно, что если сумма векторов несимметричной системы равна нулю, будут равны нулю и векторы нулевой системы. Следовательно, несимметричные системы линейных напряжений и линейных токов при отсутствии нулевого провода содержат только прямую и обратную составляющие.

Определение симметричных составляющих несимметричной системы векторов по выражениям (12.6) может быть выполнено также графически. Пусть задана несимметричная система векторов фазных напряжений Трехфазные цепи (рис. 12.24, а). Во все три суммы напряжений (см. систему 12.6) вектор UА входит без изменений, а векторы Uв и Uс во второй и третьей суммах повернуты на угол 2π/3 или 4π/3. Следует начертить вектор UB, из его конца (т. е. стрелки) — вектор UA, а из конца UА — вектор Uс (рис. 12.24, б). Если вектор U в повернуть на угол 2π/3 и 4π/3 вокруг его конца, примыкающего к началу вектора UА, а вектор Uс — вокруг начала, совпадающего с концом вектора UА, суммы векторов по выражениям (12.6) будут равны утроенным искомым векторам:

Трехфазные цепи

Далее очевидным построением определяются все векторы трех симметричных систем.

Аналогично производится разложение несимметричной системы токов.

Трехфазные цепи

Симметричные составляющие несимметричной трехфазной системы напряжений и токов могут быть определены экспериментально. Например, для измерения нулевой составляющей системы фазных напряжений надо однообразно включить на фазные напряжения трансформаторы малой мощности, вторичные обмотки которых и вольтметр соединяются последовательно (рис. 12.25). Тогда, считая для простоты, что у трансформаторов коэффициент трансформации напряжения равен единице, суммарное напряжение, измеряемое вольтметром,

Трехфазные цепи

т. е. пропорционально напряжению нулевой системы.

Для измерения напряжения прямой последовательности (рис. 12.26) трансформаторы включаются на одинаковые по величине полные сопротивления z — трансформатор фазы А на активное сопротивление ZA=r, фазы В на активно-индуктивное сопротивление Трехфазные цепи, фазы С — на активно-емкостное сопротивление Трехфазные цепи. Чтобы вторичные токи трансформаторов В и С были сдвинуты по фазе относительно напряжений Трехфазные цепи на дополнительные до π углы — соответственно Трехфазные цепи, что соответствует умножению на операторы Трехфазные цепи вторичные обмотки этих трансформаторов включаются так, как показано на рис. 12.26.

Цепи нагрузок всех трех трансформаторов соединяются параллельно и замыкаются на амперметр. Последний измеряет суммарный ток

Трехфазные цепи

пропорциональный напряжению U1 системы прямой последовательности.

Если поменять местами нагрузки фаз В и С, суммарный ток

Трехфазные цепи

будет пропорционален напряжению U2 системы обратной последовательности.

Рассмотренные схемы называются фильтрами симметричных составляющих. Они применяются в схемах защиты трехфазных энергетических систем от аварийных режимов, вызывающих несимметрию токов и напряжений отдельных фаз.

Трехфазные цепи

Разложение на симметричные составляющие позволяет весьма просто решать задачи на расчет трехфазных цепей при одинаковой нагрузке фаз с взаимной индукцией между ними при несимметричной системе напряжений, что широко используется в теории электрических машин. Система напряжений разлагается на симметричные составляющие, для каждой из них находят токи фаз и применяют метод наложения. При этом сопротивление фаз приемника для каждой составляющей может быть различным. Например, для цепи рис. 12.11, соединенной в звезду с нулевым проводом, сопротивление фаз для нулевой системы напряжений:

Трехфазные цепи

а для прямой и обратной составляющих, являющихся симметричными трехфазными системами, сопротивления

Трехфазные цепи

только для статических устройств, например для трансформаторов. Во вращающихся машинах прямая система токов создает магнитное поле, вращающееся в одном направлении с ротором, а обратная система токов — в противоположном; это приведет к неравенству Трехфазные цепи. Таким образом, в общем случае

Трехфазные цепи

После определения комплексных токов каждой составляющей они пофазно суммируются и дают систему действительных токов фаз.

При неодинаковой нагрузке фаз приемника расчет усложняется, так как тогда каждая из симметричных составляющих системы такое зависит от всех составляющих систем напряжений. Эти задачи рассматриваются в литературе, посвященной расчету аварийных режимов в трехфазных электрических сетях и системах.

Можно показать, что в самом общем случае несимметрии средняя мощность всей цепи равна сумме средних мощностей нулевой, прямой и обратной составляющих:

Трехфазные цепи

Трехфазные цепи

Трехфазная система ЭДС:

Производство, передача и распределение электрической энергии осуществляется в основном трехфазным током в трехфазных цепях. Широкое распространение в качестве нагрузки в трехфазных цепях получили трехфазные потребители. В трехфазных цепях используются трехфазные трансформаторы. Электрическую энергию в трехфазных цепях производят трехфазные генераторы, создающие синусоидальные ЭДС одинаковой частоты, в трехфазных системах.

Трехфазной называется система трех ЭДС одинаковой частоты, Вдвинутых друг относительно друга по фазе так, что сумма углов сдвига равна Трехфазные цепи или 360°.

Трехфазная система ЭДС называется симметричной, если ЭДС трех фаз сдвинуты друг относительно друга на угол Трехфазные цепи и амплитуды этих трех ЭДС одинаковы по величине:

Трехфазные цепи

Комплексы этих ЭДС

Трехфазные цепи

Получение симметричной трехфазной системы ЭДС осуществляется в трехфазном электромашинном генераторе (рис. 16.1а), в Котором три жестко скрепленные под углом 120° обмотки пересекают магнитное поле с частотой Трехфазные цепи вращаясь (в данном случае) против часовой стрелки.

Начала обмоток трехфазного генератора обозначаются прописными буквами Трехфазные цепи а концы их соответственно Трехфазные цепи (т.е. в трехфазном генераторе имеется три обмотки: Трехфазные цепи и Трехфазные цепи рис. 16.1а).

Трехфазные цепи

Таким образом, при вращении в магнитном поле жестко скрепленных обмоток в них индуктируются одинаковые ЭДС Трехфазные цепи одинаковой частоты Трехфазные цепи и сдвинутые на 120°.

Векторная диаграмма такой симметричной системы ЭДС изображена на рис. 16.1б. Как видно из векторной диаграммы, мгновенное значение ЭДС в обмотке CZ можно записать в виде

Трехфазные цепи

а комплекс этой ЭДС

Трехфазные цепи

т. е. логично, чтобы начальная фаза Трехфазные цепи превышала Трехфазные цепи

К каждой обмотке трехфазного генератора может быть подключена нагрузка с сопротивлениями Трехфазные цепи

Если при этом три обмотки генератора электрически не соединены (рис. 16.2а), то такая трехфазная система называется несвязанной. Несвязанная трехфазная система практического применения не нашла.

Практическое применение нашла связанная трехфазная система (рис. 16.2б). Эта система экономически и энергетически более рациональна, так как используется три или четыре соединительных провода вместо шести и получить можно два различных напряжения, фазное и линейное, вместо одного.

Трехфазные цепи

Каждая обмотка трехфазного генератора со своей нагрузкой и соединительными проводами называется фазой (рис. 16.2). В трехфазной системе различают три фазы А, В и С (международные обозначения — прописные буквы).

Положительное направление ЭДС и токов в каждой фазе на рис. 16.26 указаны стрелками.

В связанных трехфазных системах применяется соединение обмоток генератора и потребителя звездой F или треугольником Е.
 

Соединение обмоток генератора звездой

При соединении обмоток генератора звездой концы обмоток X, Yи Z элeктpичecки соединяются в одну точку 0 (рис. 16.3а), которая называется нулевой, или нейтральной. При этом генератор с потребителем соединяется тремя или четырьмя проводами.

Провода, подключенные к началам обмоток генератора (А, В и С, называют линейными проводами, а провод, подключенный к нулевой точке 0, называется нулевым, или нейтральным.
Трехфазные цепи
В связанных трехфазных системах различают фазные и линейные напряжения и токи.

Фазным называется напряжение между началом и концом обмотки генератора или между нулевым и линейным проводом. Обозначаются фазные напряжения прописными буквами с индексами фаз Трехфазные цепиТрехфазные цепи (рис. 16.3а). Так как сопротивление обмоток генератора мало, то фазные напряжения практически не отличаются от ЭДС в обмотках генератора.

Линейным называется напряжение между началами обмоток генератора или между линейными проводами. Обозначаются линейные напряжения Трехфазные цепи (рис. 16.3а).

Можно определить зависимость между линейными и фазными напряжениями при соединении обмоток генератора звездой.

Мгновенные значения фазных напряжений равны разностям потенциалов между началами и концами соответствующих обмоток, т.е:

Трехфазные цепиТрехфазные цепиТрехфазные цепиТрехфазные цепи

Мгновенные значения, линейных напряжений равны разностям потенциалов между началами соответствуют:Трехфазные цепиТрехфазные цепиТрехфазные цепиТрехфазные цепи

Потенциалы концов обмоток одинаковы Трехфазные цепи так как все они соединены электрически в одну точку.

Тогда

Трехфазные цепиТрехфазные цепиТрехфазные цепи

То есть мгновенное значение линейных напряжений определяется разностью мгновенных значений двух соответствующих фазных напряжений.

При соединении обмоток генератора звездой действующее значение линейного напряжения определяется геометрической разностью двух соответствующих фазных напряжений. На этом основании построена векторная диаграмма напряжений (рис. 16.3б) для соединения обмоток генератора звездой. К такому же результат) приводит определение комплексов линейных напряжений символическим методом:

Трехфазные цепиТрехфазные цепиТрехфазные цепи

Трехфазные цепи

При симметричной системе ЭДС фазные напряжения равны по величине Трехфазные цепи и сдвинуты по фазе на угол 120°. По векторной диаграмме (рис. 16.3б) определяется линейное напряжение (рис. 16.4).

Линейное напряжение Трехфазные цепи при симметричной системе ЭДС трехфазного генератора определяется равенством

Трехфазные цепи

Из диаграммы (рис. 16.4) определяется вектор (комплекс) Трехфазные цепи

Трехфазные цепи

При симметричной системе ЭДС линейное напряжение трехфазного генератора, обмотки которого соединены звездой, в Трехфазные цепи раза больше фазного напряжения:

Трехфазные цепи

Если говорят о напряжении генератора 127/220 В, то имеется в виду, что фазное напряжение в трехфазной цепи 127 В, а линейное — 220 В. В сети с напряжением 220/380 В фазное напряжение 220 В, а линейное — 380 В. Очевидно, что обмотки генератора такой симметричной цепи соединены звездой и отношение напряжений получится равным

Трехфазные цепи

В связанных трехфазных системах фазным называется ток, провидящий по обмотке (фазе) генератора Трехфазные цепи а линейным считается ток, проходящий по линейному проводу Трехфазные цепи

Как видно на рис. 16.3а, при соединении обмоток генератора звездой линейный ток Трехфазные цепи равен фазному току Трехфазные цепи

Трехфазные цепи
 

Соединение обмоток генератора треугольником

При соединении обмоток генератора треугольником (рис. 16.5а) конец обмотки фазы А соединяется с началом обмотки фазы В, конец обмотки фазы В соединяется к началом обмотки фазы С, конец обмотки фазы С соединяется с началом обмотки фазы А и к точкам соединения подключаются линейные провода.
Трехфазные цепи

При соединении обмоток генератора треугольником (рис. 16.5а) трехфазная цепь трехпроводная.

Как следует из схемы соединения обмоток треугольником (рис. 16.5а), линейное напряжение Трехфазные цепи равно фазному напряжению Трехфазные цепи

То есть Трехфазные цепи

Из схемы (рис. 16.5а) следует, что три обмотки генератора, соединенные треугольником, образуют замкнутый контур, ток в котором при отсутствии нагрузки (холостой ход) определяется выражением

Трехфазные цепи

где Трехфазные цепи – комплексы (векторы) ЭДС фаз генератора; Трехфазные цепи — комплексы сопротивлений обмоток генератора Трехфазные цепи т.е. каждая обмотка обладает активным R и индуктивным X сопротивлениями.

Так как сопротивления обмоток малы, падением напряжения на них можно пренебречь и считать, что напряжение на каждой обмотке генератора равно ее ЭДС.

При симметричной системе ЭДС и правильном соединении обмоток генератора треугольником (рис. 16.5а) геометрическая сумма ЭДС (комплексов) обмоток генератора, образующих замкнутый контур, равна нулю (рис. 16.5б). Следовательно, и ток в замкнутом контуре обмоток, соединенных треугольником, также равен нулю Трехфазные цепи при холостом ходе независимо от величины внутреннего сопротивления обмоток Трехфазные цепи

Если обмотки симметричного генератора соединены «неправильным» треугольником, т. е. неправильно подключить начало и конец хотя бы одной из обмоток, например Трехфазные цепи (рис. 16.5’а), то геометрическая сумма ЭДС в замкнутом контуре обмоток будет равна удвоенному значению ЭДС одной фазы (рис. 1б.5’б). С учетом малого внутреннего сопротивления обмоток генератора ток в замкнутом контуре достигает катастрофической величины даже при отсутствии нагрузки (холостой ход). Таким образом, соединена, обмоток трехфазного генератора «неправильным» треугольником равносильно короткому замыканию в замкнутом контуре обмоток.
Трехфазные цепи
 

Соединение потребителей звездой

При соединении звездой потребителя и генератора (рис. 16.6) трехфазная система представляет собой сложную цепь с двумя узловыми точками Трехфазные цепи Точка 0 — нейтральная точка генератора, а 0′ — нейтральная точка потребителя. Напряжение между этими узловыми точками Трехфазные цепи называется напряжением смещения нейтрали.
Трехфазные цепи
Соединение генератора и потребителя звездой может быть с нулевым проводом (рис. 16.6б), т.е. четырехпроводная цепь, и без нулевого провода (рис. 16.6а), т.е. трехпроводная цепь.

Величину напряжения смещения нейтрали Трехфазные цепи определяют методом узлового напряжения (см. (4.9)) в символической (геометрической) форме:

Трехфазные цепи

где Трехфазные цепи – комплекс (вектор) напряжения смещения нейтрали; Трехфазные цепи комплексы (векторы) ЭДС в обмотках соответствующих фаз генератора; Трехфазные цепи – комплексы проводимостей соответствующих фаз:

Трехфазные цепи

где Трехфазные цепи – комплексы сопротивлений фаз потребителя, включая внутреннее сопротивление обмоток генератора и сопротивление соединительных проводов; Трехфазные цепи — комплекс проводимости нулевого провода, a Трехфазные цепи — комплекс его сопротивления.

Напряжение U’ на каждой фазе потребителя, соединенного звездой (рис. 16.6а), с учетом напряжения смещения нейтрали, определяют следующим образом:

Трехфазные цепи

где Трехфазные цепи — комплексы (векторы) напряжений на фазах потребителей.

На основании (16.15) строится векторная диаграмма напряжений (рис. 16.7), на которой вектор напряжения смещения нейтрали взят произвольно. Из векторной диаграммы (рис. 16.7) следует, что при наличии напряжения смещения нейтрали напряжения на фазах потребителя, соединенного звездой, различны по величине и по начальной фазе даже при симметричной системе ЭДС в обмотках генератора.

Трехфазные цепи

Очевидно (рис. 16.7), что напряжения на фазах потребителя, соединенного звездой, будут одинаковыми по величине Трехфазные цепиТрехфазные цепи если напряжение смещения нейтрали отсутствует, т.е. Трехфазные цепи  при симметричной системе ЭДС генератора.

Напряжение смещения нейтрали отсутствует, т. е. Трехфазные цепи при равномерной (симметричной) нагрузке фаз или при наличии нулевого провода.

Рассмотрим эти условия:

1. Равномерная нагрузка фаз.

Равномерной называют нагрузку, при которой комплексы сопротивлений фаз равны между собой.

То есть Трехфазные цепи

или Трехфазные цепи

Тогда Трехфазные цепи так как при симметричной системе ЭДС сумма Трехфазные цепи (см. рис. 16.5б).

Так как комплекс сопротивления фазы Трехфазные цепи то равномерной считается нагрузка, при которой сопротивления фаз одинаковы по величине Трехфазные цепи по характеру (активный, индуктивный или емкостной) и имеют одинаковый угол сдвига фаз Трехфазные цепи

2. Наличие нулевого провода.

При наличии нулевого провода, соединяющего нейтральные точки 0 и 0′ (рис. 16.6б), Трехфазные цепи

Тогда Трехфазные цепи

В обоих случаях (1 и 2) напряжения на фазах потребителя, подключенного к трехфазному генератору с симметричной системой ЭДС, одинаковы по величине. При этом величина напряжения Трехфазные цепи на каждой фазе потребителя, соединенного звездой, в Трехфазные цепи раза меньше линейного напряжения, т. е.

Трехфазные цепи

Ток в нулевом проводе Трехфазные цепи (рис. 16.66) при соединении потребителей звездой определяется геометрической суммой токов в фазах потребителя:

Трехфазные цепи

Токи в фазах потребителя определяются по формулам

Трехфазные цепи

Очевидно, что при равномерной нагрузке фазТрехфазные цепиТрехфазные цепи токи в фазах равны по величине «сдвинуты, как и напряжения, по фазе на 120°. Следовательно, их геометрическая сумма Трехфазные цепи равна нулю, т.е. Трехфазные цепи (см. рис. 16.5б, где вместо Трехфазные цепи подставить Трехфазные цепи).

Таким образом, при равномерной нагрузке фаз нулевой провод не нужен.

При неравномерной нагрузке фаз отсутствие нулевого провода приводит к неодинаковым по величине напряжениям на каждой фазе потребителя (рис. 16.7). При этом на фазе с большим сопротивлением Z будет большее напряжение U’.

Так как отсутствие нулевого провода при неравномерной нагрузке фаз потребителя, соединенного звездой, нарушает режим работы потребителей U’, то предохранитель в нулевой провод не ставят.

Следовательно, нулевой провод служит для выравнивания напряжений на фазах потребителя при неравномерной нагрузке фаз.

При соединении потребителей звездой ток каждой фазы потребителя Трехфазные цепи (рис. 16.16) равен линейному току трехфазной цепи Трехфазные цепи

Трехфазные цепи
 

Соединение потребителей треугольником

При соединении потребителя треугольником (рис. 16.8) к каждой фазе потребителя приложено линейное напряжение трехфазной цепи

Трехфазные цепи

Трехфазные цепи

Так как при симметричной системе ЭДС все линейные напряжения равны по величине и сдвинуты на угол 120° по фазе, то и напряжения на каждой фазе потребителя, соединенного треугольником, равны по величине Трехфазные цепи и сдвинуты по фазе на угол 120°, независимо от характера нагрузки.

При соединении потребителей треугольником линейные токи обозначаются прописными буквами с индексами фаз, т. е. Трехфазные цепи а токи в фазах потребителя Трехфазные цепи

Воспользовавшись первым законом Кирхгофа, линейные токи можно определить выражениями (рис. 16.8)

Трехфазные цепи

Линейный ток при соединении потребителей треугольником определяется геометрической разностью двух фазных токов, сходящихся с линейным в одной узловой точке (рис. 16.8).

Фазные токи потребителя, соединенного треугольником, определяются:

Трехфазные цепи

При симметричной системе ЭДС генератора Трехфазные цепи и равномерной нагрузке фаз потребителя Трехфазные цепи токи в фазах потребителя равны между собой по величине Трехфазные цепи и, так лее как напряжения на фазах потребителя, сдвинуты друг относительно друга по фазе на угол 120° (рис. 16.9).

Трехфазные цепи

Таким образом, при равномерной нагрузке фаз и симметричной системе ЭДС при соединении потребителей треугольником линейный ток в трехфазной цепи в Трехфазные цепи раза больше фазного тока:

Трехфазные цепи
 

Мощность трехфазного тока

Активная мощность, отдаваемая трехфазным генератором и потребляемая трехфазным потребителем, определяется суммой активных мощностей каждой фазы потребителя:

Трехфазные цепи

Аналогичное определение можно отнести и к реактивной мощности трехфазного тока, т. е.

Трехфазные цепи

Полная, или кажущаяся, мощность трехфазного потребителя равна

Трехфазные цепи=

Очевидно, что при равномерной нагрузке фаз Трехфазные цепиТрехфазные цепи активная мощность трехфазного тока равна утроенному значению активной мощности каждой фазы

Трехфазные цепи

Однако на практике удобней оперировать линейными величинами, так как доступными являются линейные провода, а не обмотки генератора или двигателя.

При соединении потребителя звездой при равномерной нагрузке фаз

Трехфазные цепи

Тогда Трехфазные цепи

При соединении потребителей треугольником при равномерной нагрузке фаз

Трехфазные цепи

Тогда Трехфазные цепи

Таким образом, при равномерной нагрузке фаз при соединении потребителей звездой и треугольником мощности трехфазного тока определяются выражениями:Трехфазные цепи

При неравномерной нагрузке фаз полная, или кажущаяся, мощность трехфазного тока может быть определена суммой полных мощностей каждой фазы, выраженной в комплексной форме, а именно

Трехфазные цепи

Равномерную нагрузку в трехфазных цепях обеспечивают электрические двигатели трехфазного тока, обмотки которых могут гь соединены или звездой, или треугольником.

Топографическая диаграмма

Напряжение между отдельными точками трехфазной цепи можно найти графически путем построения так называемой топографической диаграммы.

Топографическая диаграмма — это векторная диаграмма, поенная так, чтобы каждой точке цепи соответствовала определенная точка на диаграмме и чтобы вектор, проведенный в эту точку из начала координат, выражал по величине и фазе потенциал соответствующей точки цепи. Отрезок, соединяющий любые две точки на этой диаграмме, определяет напряжение между соответствующими точками цепи. Если топографическая диаграмма встроена в определенном масштабе, то по ней можно определить искомое напряжение и ток по величине и по фазе.

При построении топографической диаграммы для трехфазной цепи удобно принять за точку с нулевым потенциалом нулевую, или нейтральную, точку генератора. Этой точке генератора соответствует начало координат топографической диаграммы.

Топографическая диаграмма для трехфазной цепи, изображенной на рис. 16.6, построена при условии, что точка 0 на диаграмме (рис. 16.10) соответствует нулевой точке генератора, потенциал которой равен нулю, т. е. Трехфазные цепи

Из точки 0 откладываются в определенном масштабе напряжений Трехфазные цепи векторы фазных ЭДС Трехфазные цепи в результате чего получаются точки А, В и С на топографической диаграмме. Эти точки на диаграмме соответствуют началам обмоток генератора, Соединенного звездой точками А, В и С цепи. 

Отрезок Трехфазные цепи равный разности векторов Трехфазные цепипредставляет собой линейное напряжение Трехфазные цепи (падением напряжения на внутреннем сопротивлении обмотки генератора пренебрегаем, т.е. Трехфазные цепи). Аналогично отрезки Трехфазные цепи на топографической диаграмме изображают линейные напряжения Трехфазные цепи соответственно.

Отложив из точки 0 (начало координат) вектор напряжения смещения нейтрали Трехфазные цепи (отрезок Трехфазные цепи), определяют потенциал нулевой точки потребителя 0′ на диаграмме. Тогда отрезки Трехфазные цепиТрехфазные цепи выражают напряжение на фазах потребителя Трехфазные цепи

Если напряжение смешения нейтрали Трехфазные цепи отсутствует Трехфазные цепи то точка 0′ (нулевая точка потребителя) на топографической диаграмме совпадет с точкой 0 (нулевой точкой генератора). Тогда векторы напряжений на фазах потребителя Трехфазные цепи  равны по величине и по фазе векторам ЭДС генератора Трехфазные цепи

Применение топографической диаграммы для расчета трехфазной цепи рассмотрено в примере 16.1 настоящей главы.

Пример 16.1

Трехфазные цепиТрехфазные цепи

К трехфазной трехпроводной сети с линейным напряжением Трехфазные цепи 220 В подключен потребитель, соединенный звездой, с сопротивлениями Трехфазные цепи 10 Ом (рис. 16.11).

Определить напряжение и ток каждой фазы потребителя в каждом из трех режимов:

1. Потребители соединены звездой, как показано на рис. 16.11.

2. Обрыв в фазе А, т. е. Трехфазные цепи

3. Короткое замыкание в фазе А, т. е. Трехфазные цепи

Решение

Решение этой задачи производится с помощью построения топографической диаграммы для каждого режима.

1. Так как в данном режиме имеет место равномерная нагрузка фаз Трехфазные цепи следовательно, напряжение смещения нейтрали Трехфазные цепи равно нулю Трехфазные цепи и точка 0′ на топографической диаграмме совпадает с точкой 0 (рис. 16.12). 

Пренебрегая внутренним сопротивлением обмоток генератора Трехфазные цепи определяют напряжение на каждой фазе потребителя при симметричной системе ЭДС:

Трехфазные цепи

так как Трехфазные цепи

Toк каждой фазы потребителя будет равен

Трехфазные цепи

Линейные токи в каждом линейном проводе также равны между собой и равны фазным токам каждой фазы, т.е. Трехфазные цепи

2. При обрыве в фазе А схема трехфазной цепи обретает следующий вид (рис. 16.13а), а топографическая диаграмма показана на рис. 16.13б.

Таким образом, точка 0′ на топографической диаграмме при обрыве в фазе А как бы опустилась на вектор линейного напряжения Трехфазные цепи разделив его величину поровну между Трехфазные цепи т. е.
Трехфазные цепи

Напряжение на оборванной фазе А, т. е. напряжение между точками 0′ и А в схеме, как следует из топографической диаграммы рис. 16.13б), будет равно

Трехфазные цепи

Токи в фазах: Трехфазные цепи

Трехфазные цепи

Трехфазные цепи

Токи в линейных проводах:

Трехфазные цепи

3. При коротком замыкании фазы А схема трехфазной цепи показана на рис. 16.14а, топографическая диаграмма на рис. 16.14б.

Таким образом, точка 0′ на топографической диаграмме при коротком замыкании фазы как бы поднялась в точку А Трехфазные цепи и фазные напряжения Трехфазные цепи совпали с векторами линейных напряжений Трехфазные цепи соответственно и стали равными им по величине, т.е. Трехфазные цепи
Трехфазные цепи

Трехфазные цепи

Токи в фазах будут равны Трехфазные цепи Трехфазные цепи
Ток в коротко замкнутой фазе Трехфазные цепи т. е. ток в проводе, соединяющем точку 0′ и А, определяется геометрической суммой токов Трехфазные цепи (рис. 16.14б), т.е.

Трехфазные цепи

Напряжение Трехфазные цепи и токи Трехфазные цепи в режимах 2 и 3 легко определить из схем рис. 16.13а и 16.14а, не прибегая к топографическим диаграммам.

Пример 16.2

К соединенному звездой генератору с фазным напряжением 127 В подключен потребитель, соединенный треугольником. Активное сопротивление каждой фазы потребителя R = 8 Ом, индуктивное Трехфазные цепи = 6 Ом (рис. 16.15а).

Трехфазные цепи

Определить ток в каждой фазе генератора, отдаваемую им мощность и построить векторную диаграмму.

Решение

Эту задачу можно решить, не прибегая к символическому методу и построению топографической диаграммы.

Напряжение на каждой фазе потребителя Трехфазные цепи равно линейному напряжению генератора Трехфазные цепи

Трехфазные цепи

Сопротивление каждой фазы потребителя равно

Трехфазные цепи

Ток каждой фазы потребителя (нагрузка равномерная):

Трехфазные цепи

В каждой фазе генератора проходит линейный ток потребителя, единенного треугольником, т.е. (см. рис. 16.15а)

Трехфазные цепи

Отдаваемая генератором мощность (активная мощность) равна

Трехфазные цепи

Так как Трехфазные цепи

Угол Трехфазные цепи (Приложение 10).

Таким образом, ток фазы потребителя отстает от напряжения на угол 37°, так как нагрузка индуктивного характера.

Вычисленные величины легли в основу построения векторной диаграммы (рис. 16.15б).

Пример 16.3

Параметры трехфазного потребителя, соединенного звездой, имеют следующие значения: Трехфазные цепиТрехфазные цепи Линейное напряжение сети симметричной системы ЭДС Трехфазные цепи

Трехфазные цепи

Определить:

1) напряжение на каждой фазе потребителя;

2) токи каждой фазы потребителя;

3) мощности Трехфазные цепи цепи. Построить векторную диаграмму.

Решение

Допустим, что обмотки генератора соединены звездой, тогда напряжение каждой фазы генератора (при симметричной системе ЭДС)

Трехфазные цепи
Напряжение на каждой обмотке генератора в комплексной форме:

Трехфазные цепи

Сопротивление Трехфазные цепи каждой фазы потребителя:

Трехфазные цепи

Проводимости Трехфазные цепи каждой фазы потребителя:

Трехфазные цепи

Трехфазные цепи

Напряжение смещения нейтрали Трехфазные цепи при отсутствии нулевого провода, т. е. при Трехфазные цепи будет равно

Трехфазные цепи

Трехфазные цепи

При вычислении Трехфазные цепи принято: Трехфазные цепиТрехфазные цепи и  Трехфазные цепи Напряжение на каждой фазе потребителя (16.15):

Трехфазные цепи

Токи в каждой фазе потребителя:
Трехфазные цепи
Мощности каждой фазы потребителя:

Трехфазные цепи

Мощность всей трехфазной нагрузки:

Трехфазные цепи

Трехфазные цепи

Векторная диаграмма рассматриваемой цепи изображена на рис. 16.17.

Пример 16.4

К трехфазной сети с линейным напряжением Трехфазные цепи подключены двигатель Д и однофазные силовые потребители (рис. 16.18).

Обмотки трехфазного двигателя мощностью Трехфазные цепи кВт и Трехфазные цепи = 0,76 соединены треугольником. Однофазные силовые потребители с параметрами: Трехфазные цепи Трехфазные цепи — соединены звездой.

Определить: показания амперметров Трехфазные цепи мощность Р, потребляемую всей нагрузкой; показания вольтметров.

Трехфазные цепи

В линейном проводе С сгорел предохранитель (обрыв линейного провода С). Как при этом изменится показание вольтметpa Трехфазные цепи, если оборвется и нулевой провод? Как изменится показание вольтметра Трехфазные цепи

Решение

Расчет трехфазной цепи (рис. 16.18) можно осуществить, не прибегая к символическому методу и построению топографической диаграммы.

Амперметр Трехфазные цепи включен в линейный провод С, подводящий 1ние к двигателю, обмотки которого соединены треугольником и представляют равномерную нагрузку фаз; следовательно (см. (16.29))

Трехфазные цепи

Амперметр Трехфазные цепи измеряет ток в фазе В силового потребителя, соединенного звездой. При наличии нулевого провода напряжение на каждой фазе потребителя Трехфазные цепи тогда ток в фазе В будет равен

Трехфазные цепи

так как Трехфазные цепи

Показания амперметра Трехфазные цепи включенного в фазу С силового потребителя:

Трехфазные цепи

так как Трехфазные цепи

Амперметр Трехфазные цепи включен в нулевой провод, ток в котором Трехфазные цепи определяется геометрической суммой токов в фазах силового потребителя, соединенного звездой (см. (16.19) и рис. 16.19).

Для вычисления геометрической суммы токов фаз необходимо построить векторную диаграмму токов (рис. 16.19).

При наличии нулевого провода напряжения на фазах сдвинуты на угол 120°. Угол сдвига фаз между током и напряжением, исходя из условий, для всех трех фаз одинаков (это видно из заданных параметров силового потребителя):

Трехфазные цепи

Следовательно, фазные токи сдвинуты так же, как и напряжения, на угол 120°. Величины токов определены: Трехфазные цепи На основании этих данных можно построить векторную диаграмму токов (рис. 16.19).

На векторной диаграмме складываются геометрически Трехфазные цепи и получается суммарный ток, равный 14,7 А.

Поскольку этот суммарный ток находится в противофазе с током Трехфазные цепи то ток в нулевом проводе Трехфазные цепи равен 7,3 А:

Трехфазные цепи

Следовательно, амперметр Трехфазные цепи покажет ток 7,3 А.

Для расчета мощности Р, потребляемой всей нагрузкой, вычисляется активная мощность каждого силового потребителя:

Трехфазные цепи

Трехфазные цепи

Тогда активная мощность, потребляемая всей нагрузкой, будет равна

Трехфазные цепи

При обрыве линейного провода С и нулевого провода две фазы силового потребителя А и В кажутся соединенными последовательно и подключенными к личному напряжению Трехфазные цепи=380 В. Так как сопротивления этих фаз равны по величине, то это линейное напряжение распределится между ними поровну, т.е.

Трехфазные цепи

Таким образом, вольтметр Трехфазные цепи покажет напряжение 190 В вместо 220 В, которое он показывал до обрыва.

При обрыве линейного провода С фазы В и С двигателя окажутся соединенными последовательно и подключенными к линейному напряжению Трехфазные цепи Так как сопротивления обмоток двигателя равны между собой, то линейное напряжение Трехфазные цепи распределится поровну между обмотками В и С двигателя, т.е.

Трехфазные цепи

Таким образом, вольтметр Трехфазные цепи покажет напряжение 190 В вместо 380 В, которое он показывал до обрыва.
 

Вращающееся магнитное поле двухфазного тока

Двухфазным током называется совокупность двух однофазных токов, сдвинутых по фазе на угол Трехфазные цепи друг относительно друга (рис. 17.3б):   

Трехфазные цепи
Трехфазные цепи
Эти токи создают в обмотках переменные магнитные потоки, сдвинутые по фазе также на угол 90°:

Трехфазные цепи

Таким образом, если по двум неподвижно скрепленным под углом 90° обмоткам пропустить двухфазный ток, то внутри этих обмоток (рис. 17.3а) создается вращающееся магнитное поле двухфазного тока.

Как видно (рис. 17.3б), постоянный магнитный поток Трехфазные цепи одной фазы) вращается против часовой стрелки, если при указанном расположении обмоток первый ток Трехфазные цепи опережает второй ток Трехфазные цепи по фазе.

Нетрудно убедиться в том, что если бы второй ток Трехфазные цепи опережал первый Трехфазные цепи то магнитное поле вращалось бы в обратную сторону. Вращающееся магнитное поле двухфазного тока широко применяется для пуска и работы однофазных машин переменного тока.
 

Пульсирующее магнитное поле

Если по неподвижной катушке (обмотке) машины пропустить синусоидальный токТрехфазные цепи то внутри этой катушки создается пульсирующее магнитное поле, т. е. поле, изменяющееся по величине и направлению, но расположенное в одной плоскости (рис. 17.4).

Трехфазные цепи

Пульсирующее магнитное поле, к видно из рис. 17.4, можно рассматривать как два магнитных поля, вращающихся в разные стогны. Поэтому в машинах, в которых используется пульсирующее магнитное поле, отсутствует пусковой момент. Для работы таких машин его необходимо создать. Пусковой момент в таких машинах создают или механически, или за счет пусковой обмотки, по которой в момент пуска пропускают импульс тока, сдвинутого по фазе относительно основного синусоидального тока, проходящего по катушке (обмотке) машины (аналогично двухфазному току).

Определение трёхфазных цепей

Наряду с однофазными источниками существуют источники энергии, содержащие две, три, четыре и т.д., характеризуемые тем, что их ЭДС, имея одинаковую частоту, сдвинуты друг относительно друга на некоторый угол. Такие генераторы называются многофазными, а электрические цепи с такими источниками – многофазными.

Трёхфазный генератор

Трёхфазные цепи получили наибольшее практическое применение. В связи с этим основные исследования многофазных цепей будем проводить на примере трёхфазных. Рассмотрим вопрос реализации трёхфазного источника, которым является трёхфазный генератор (рис. 4.1).

Трехфазные цепи

Рис. 4.1. Трёхфазный генератор

Для упрощения понимания принципа работы генератора обмотки (фазы) представлены одним витком. В качестве ротора генератора выбран постоянный магнит. Каждая из обмоток имеет начало – клеммы Трехфазные цепи и конец – Трехфазные цепи Обмотки в пространстве сдвинуты друг относительно друга на 120°, из чего следует, что максимумы ЭДС в них достигаются в разные моменты времени, отстоящие друг от друга на одну треть периода Трехфазные цепиТрехфазные цепи где Трехфазные цепи — угловая частота вращения ротора.

Последовательность, в которой ЭДС достигают максимума в соответствующих фазах, носит название порядка чередования фаз. Прямым порядком чередования фаз называют последовательность Трехфазные цепи при которой фаза Трехфазные цепи отстает от фазы Трехфазные цепи на Трехфазные цепи и фаза Трехфазные цепи отстает от фазы Трехфазные цепи на Трехфазные цепи На рис. 4.2 изображен график мгновенных значений ЭДС для прямого порядка чередования фаз. Изменение направления вращения ротора трёхфазного генератора на противоположное меняет эту последовательность чередования фаз, и она станет уже Трехфазные цепи

Трехфазные цепи

Рис. 4.2. Графики мгновенных значений ЭДС фаз Трехфазные цепи

Запишем мгновенные значения ЭДС, индуктируемые в фазах при вращении ротора генератора:

Трехфазные цепи

Поскольку ЭДС каждой фазы генератора синусоидальна, то их можно изобразить на комплексной плоскости в виде векторов соответствующих фазных ЭДС: Трехфазные цепи (рис. 4.3).

Трехфазные цепи

Рис. 4.3. Векторная диаграмма фазных ЭДС

Важным обстоятельством является то, что система векторов фазных ЭДС генератора на комплексной плоскости образует симметричную трехлучевую звезду и сумма этих векторов в любой момент времени равна нулю.

При подключении к каждой из фаз генератора нагрузки по ней будет протекать ток. Таким образом, реализуется трёхфазная система.

Способы соединения фаз генератора и нагрузки

Соединение фаз генератора и нагрузки четырехпроводной звездой:

При соединении фаз генератора звездой все концы или начала соединяют в одну общую точку. На рис. 4.4.а показана несвязанная трёхфазная система, в которой каждая фаза генератора и приемника образует отдельную электрическую цепь и поэтому для связи генератора и приемника требуется 6 проводов.

Трехфазные цепи

Рис. 4.4. Соединение звездой а) несвязанная трёхфазная система, b) четырехпроводная звезда

При соединении звездой количество проводов уменьшится до 4-х. Причем провод, соединяющий общие (нейтральные или нулевые) точки фаз генератора Трехфазные цепи и приемника  называется нейтральным или нулевым. Остальные провода, соединяющие фазы генератора и приемника – линейные.

Токи, протекающие по фазам генератора или приемника, называются фазными токами, токи, протекающие по проводам, соединяющим фазы генератора и приемника, – линейными токам, ток, протекающий по нейтральному проводу – нейтральным.

Напряжение между началом и концом фазы генератора или приемника называется фазным, напряжение между двумя фазами или линиями – линейным.

Для этого способа соединения между линейными и фазными параметрами цепи существуют следующие соотношения:

Трехфазные цепи

Установим взаимосвязь между комплексами линейных и фазных напряжений источника (рис. 4.5).

Трехфазные цепи

Рис. 4.5. Векторно-топографическая диаграмма трёхфазной цепи при соединении приёмников звездой при симметричной активной нагрузке

В дальнейших рассуждениях фазные ЭДС заменим напряжениями на фазах источника:

Трехфазные цепи

Выберем любой равнобедренный треугольник, образованный двумя фазными и линейным напряжениями и опустим перпендикуляр из вершины Трехфазные цепи на основание. Перпендикуляр является медианой и биссектрисой.

Из любого прямоугольного треугольника получим:

Трехфазные цепи

то есть:

Трехфазные цепи

Это второе важное соотношение для соединения звездой.

Частным случаем такого соединения является соединение «звезда-звезда» без нулевого провода.

Соединение фаз генератора и нагрузки треугольником

Вторым базовым способом соединения фаз генератора и нагрузки является соединение типа «треугольник-треугольник» (рис. 4.6).

Трехфазные цепи

Рис. 4.6. Соединение «треугольник-треугольник»

При соединении треугольником существует следующее соотношение:

Трехфазные цепи

Установим взаимосвязь между фазными и линейными токами:

Трехфазные цепи

Построим векторную диаграмму токов и напряжений приемника (рис. 4.7) для данного способа соединения.

Трехфазные цепи

Рис. 4.7. Векторно-топографическая диаграмма трёхфазной цепи при соединении

Рассмотрев любой треугольник токов, можно, аналогично напряжениям при соединении звездой, сделать вывод (только для симметричной нагрузки):

Трехфазные цепи

Помимо вышеназванных существуют и комбинированные способы соединения: «звезда-треугольник», «треугольник-звезда».

Режимы работы трёхфазных цепей

Различают симметричный и несимметричный режимы работы трехфазной цепи. При. симметричном режиме сопротивления трех фаз одинаковы и ЭДС образуют трехфазную. симметричную систему. В этом случае токи фаз а, в, с будут равны по величине и сдвинуты по угол 120 градусов.

Соединение «звезда-звезда» с нулевым проводом и без нулевого провода

Поскольку трёхфазные цепи являются совокупностью однофазных цепей, то для их расчета используются все ранее рассмотренные специальные методы, в том числе и комплексный метод расчета. Следовательно, расчет трёхфазных цепей можно иллюстрировать построением векторных диаграмм токов нагрузки и топографических диаграмм напряжений.

Наиболее рациональным методом расчета такой цепи может считаться метод двух узлов. Для выбранных положительных направлений напряжений и токов на схеме (рис. 4.8) составим соответствующую систему уравнений для расчета токов. приемников треугольником и симметричной активной нагрузке

Трехфазные цепи

Трехфазные цепи

Трехфазные цепи

Рис. 4.8. Соединение фаз генератора и приемника по схеме «четырехпроводная звезда»

1. Симметричная нагрузка.

Нагрузка считается симметричной, если комплексные сопротивления ее фаз равны:

Трехфазные цепи

Четырехпроводная звезда.

Для простоты в качестве потребителей фаз нагрузки будем рассматривать активные сопротивления Трехфазные цепи Наличие нулевого провода делает одинаковыми потенциалы узлов Трехфазные цепи и Трехфазные цепи если сопротивлением нулевого провода можно пренебречь Трехфазные цепи значит Трехфазные цепи При этом фазные токи равны, а фазные напряжения на нагрузке будут полностью повторять фазные напряжения генератора. Для фазы Трехфазные цепи

Трехфазные цепи

Аналогично для фаз Трехфазные цепи и Трехфазные цепи

Трехфазные цепи

Исходя из сказанного, построим топографическую диаграмму фазных напряжений и векторную диаграмму токов (рис. 4.9).

Трехфазные цепи

Рис. 4.9. Векторно-топографическая диаграмма для симметричной нагрузки в трех- и четырехпроводной системах

Трехпроводная звезда.

Трехфазные цепи

При симметричной нагрузке, как и в четырехпроводной схеме, фазы приемника работают независимо друг от друга и нулевой провод не нужен. Диаграмма в данном случае будет абсолютно той же, что и для четырехпроводной звезды.

2. Несимметричная нагрузка.

Четырехпроводная звезда.

Пусть Трехфазные цепи

Трехфазные цепи

На векторно-топографической диаграмме токов и напряжений (рис. 4.10) показано суммирование фазных токов.

Трехфазные цепи

Рис. 4.10. Векторно-топографическая диаграмма для несимметричной нагрузки

Трехпроводная звезда.

Пусть Трехфазные цепи Из-за неравенства проводимостей ветвей Трехфазные цепи не равно нулю, то есть между точками Трехфазные цепи и Трехфазные цепи появляется разность потенциалов – смещение нейтрали. При этом фазные напряжения на нагрузках уже не будут повторять систему фазных напряжений генератора. Поэтому задача сводится к расчету положения точки Трехфазные цепи на комплексной плоскости относительно Трехфазные цепи Для его определения можно воспользоваться формулой узлового напряжения и теоретически ее рассчитать. Однако это можно сделать, основываясь на экспериментальных данных, суть которых состоит в следующем: производят измерения напряжений на фазах нагрузки; в выбранном масштабе для напряжений проводят дуги окружностей радиусами, равными измеренным фазным напряжениям из точек Трехфазные цепи Точка пересечения этих трех дуг и даст искомое местоположение точки Трехфазные цепи внутри треугольника, ограниченного линейными напряжениями (рис. 4.11).

Трехфазные цепи

Рис. 4.11. Определение смещения нулевой точки Трехфазные цепи

Соединив точки Трехфазные цепи и Трехфазные цепи отрезком, получим смещение нейтрали. По найденным фазным напряжениям приемника направляем векторы токов. Должно выполняться равенство:

Трехфазные цепи

По результатам выполненных построений можно сделать главный вывод: если заведомо известно, что нагрузка несимметрична или может таковою стать, необходимо использовать четырехпроводную схему.

3. Обрыв фазы.

Трехфазные цепи

Четырёхпроводная звезда.

Трехфазные цепи

Векторная диаграмма (рис. 4.12) иллюстрирует работу четырехпроводной системы.

Трехфазные цепи

Рис. 4.12. Векторно-топографическая диаграмма для обрыва фазы в четырехпроводной системе

Трехпроводная звезда.

Трехфазные цепи

Напряжение смещения Трехфазные цепи можно также определить методом засечек, как это показано на рис. 4.13.

Трехфазные цепи

Рис. 4.13. Векторно-топографическая диаграмма для обрыва фазы в трехпроводной системе

По первому закону Кирхгофа:

Трехфазные цепи

Поскольку Трехфазные цепи то

Трехфазные цепи

Токи в фазах Трехфазные цепи и Трехфазные цепи должны находиться в противофазе.

4. Короткое замыкание фазы.

Трехфазные цепи

Четырехпроводная звезда.

В четырехпроводной системе при коротком замыкании фазы приемника получаем короткое замыкание фазы источника.

Трехпроводная звезда:

Трехфазные цепи

Фазные напряжения приемника:

Трехфазные цепи

т.е. фазные напряжения увеличились до линейных напряжений, соответственно, токи в фазах:

Трехфазные цепи

возросли в Трехфазные цепи раз. Ток в закороченной фазе определится по первому закону Кирхгофа:

Трехфазные цепи

Построение векторно-топографической диаграммы для короткого замыкания показано на рис. 4.14.

5. Разнородная нагрузка.

Общий принцип построения векторных диаграмм токов и топографических диаграмм напряжений остается тем же. Единственное отличие будет состоять в появлении фазовых сдвигов между токами и напряжениями на фазах нагрузки в зависимости от ее характера.

Трехфазные цепи

Рис. 4.14. Векторно-топографическая диаграмма для короткого замыкания фазы Трехфазные цепи в трехпроводной системе

По схеме трехпроводной звезды включают трёхфазные симметричные приемники, например, трёхфазные асинхронные и синхронные двигатели.

Соединение потребителей треугольником

Рассмотрим различные режимы работы приемника при соединении его фаз треугольником (рис. 4.15).

Трехфазные цепи

Рис. 4.15. Соединение фаз приемника треугольником

Вновь будем считать, что в качестве потребителей в фазах включены активные сопротивления (для простоты построений).

Симметричный режим.

Трехфазные цепи

На рис. 4.7 построена векторная диаграмма для симметричной нагрузки при соединении фаз приемника треугольником.

Токи равны по модулю и отличаются только по фазе:

Трехфазные цепи

Линейные токи:

Трехфазные цепи

Несимметричный режим:

Трехфазные цепи

Фазы по-прежнему работают независимо друг от друга и поэтому токи будут:

Трехфазные цепи

Линейные токи определяются соответственно по формулам (4.9). Векторная диаграмма представлена на рис. 4.16.

Трехфазные цепи

Рис. 4.16. Векторно-топографическая диаграмма для несимметричной нагрузки приемников, соединенных треугольником

Обрыв фазы

Трехфазные цепи

На рис. 4.17 построена векторная диаграмма при соединении приемников треугольником для обрыва фазы.

Трехфазные цепи

Рис. 4.17. Векторно-топографическая диаграмма для обрыва фазы при соединении приемников треугольником

Соотношения для токов:

Трехфазные цепи

При разнородной нагрузке методика расчета не меняется.

Расчет мощности в трёхфазных цепях

Рассмотрим расчет мощности при соединении приемников по схеме четырехпроводной звезды и допустим, что нагрузка несимметрична. Если учесть, что сопротивление нейтрального провода не равно нулю и активное, имеем:

Трехфазные цепи

При симметричной нагрузке для трех- и четырехпроводной системы получим:

Трехфазные цепи

Трехфазные цепи

При соединении фаз приемника треугольником и несимметричной нагрузке имеем:

Трехфазные цепи

При симметричной нагрузке:

Трехфазные цепи

При этом необходимо учесть, что одинаковые формулы для расчета мощности при разном способе соединения фаз нагрузки (4.10-4.12) и (4.13- 4.15) не означают одинаковые численные значения.

Пример. Пусть трёхфазный приемник с сопротивлением фазы Трехфазные цепи соединен «звездой», тогда активная мощность будет:

Трехфазные цепи

Теперь фазы того же приемника соединим «треугольником» и подключим к тому же трёхфазному источнику:

Трехфазные цепи

Итог очевиден:

Трехфазные цепи

Измерение мощности в трёхфазных цепях

Для измерения активной мощности в симметричной трехфазной цепи достаточно одного ваттметра, включенного на измерение мощности одной из фаз.

Соединение приемников по схеме четырехпроводной звезды

В схеме (рис. 4.18) однофазные ваттметры включаются в каждую фазу, причем через токовые катушки протекают линейные токи, а катушки напряжения ваттметров включены между нулевым проводом и соответствующими линейными проводами.

Трехфазные цепи

Рис. 4.18. Схема включения ваттметров для измерения мощности в четырехпроводной системе

Так как активная мощность – это вещественная часть полной мощности:

Трехфазные цепи

то суммарная мощность трех ваттметров может быть представлена выражением:

Трехфазные цепи

или

Трехфазные цепи

В случае симметричной нагрузки для измерения мощности, потребляемой ею, достаточно воспользоваться одним ваттметром, показание которого нужно утроить.

Соединение приемников по схеме трехпроводной звезды или треугольником

В этом случае измерить мощность трёхфазного приемника можно с помощью двух ваттметров (рис. 4.19).

Трехфазные цепи

Рис. 4.19. Схема измерения активной мощности двумя ваттметрами

Покажем это:

Трехфазные цепи

Если учесть, что:

Трехфазные цепи

получим:

Трехфазные цепи

Окончательно имеем:

Трехфазные цепи

Оба ваттметра выполняются в одном корпусе, и прибор имеет две пары выводов для токовых катушек и две пары выводов – для катушек напряжения. Включают трёхфазный ваттметр по приведенной на рис. 4.19 схеме или по любой схеме с циклической заменой фаз.

Метод симметричных составляющих

Любую несимметричную трёхфазную систему можно разложить на три симметричные трёхфазные системы: прямой, обратной и нулевой последовательностей фаз. Такое разложение широко применяется при анализе работы трёхфазных машин и, в особенности, при расчете токов короткого замыкания в трёхфазных системах.

Пусть дана несимметричная трёхфазная система векторов Трехфазные цепи (рис. 4.20).

Трехфазные цепи

Рис. 4.20. Несимметричная трёхфазная система векторов

Каждый из векторов этой системы можно представить в виде суммы трех составляющих:

Трехфазные цепи

На рис. 4.21 изображены системы указанных выше последовательностей.

Трехфазные цепи

Рис. 4.21. Симметричные системы векторов прямой (a), обратной (b) и нулевой (с) последовательностей

Векторы прямой, обратной и нулевой последовательностей подчиняются следующим соотношениям:

Трехфазные цепи

где Трехфазные цепи

Коэффициент Трехфазные цепи называется поворотным множителем

Подставим соотношения (4.19) в систему уравнений (4.18). Тогда получим:

Трехфазные цепи

Решение системы уравнений (4.20) относительно Трехфазные цепи дает:

Трехфазные цепи

Симметричные составляющие можно определить графически, если на векторной диаграмме несимметричной системы векторов выполнить построения в соответствии с системой уравнений (4.21).

Фильтры симметричных составляющих

Симметричные составляющие несимметричных систем можно определить не только аналитически или графически, но и при помощи электрических схем, называемых фильтрами симметричных составляющих.

Эти фильтры применяются в схемах, защищающих электрические установки. Степень асимметрии системы токов и напряжений не должна превосходить известные пределы, т.е. составляющие нулевой и обратной последовательностей системы напряжений и токов при нормальных режимах должны быть меньше некоторых наперед заданных величин, определяемых для каждой конкретной установки индивидуально.

Возможность выделить при помощи электрических схем отдельные симметричные составляющие позволяет осуществить воздействие любой из них на приборы, защищающие установку, которые, будучи соответствующим образом отрегулированы, отключат или всю установку, или её часть, как только величина соответствующей составляющей превысит допустимый предел.

В качестве примера на рис. 4.22 приведены схемы фильтров нулевой последовательности линейных токов и фазных напряжений.

Трехфазные цепи

Рис. 4.22. Схемы фильтров нулевой последовательности

В схеме (рис. 4.22,a) вторичные обмотки трансформаторов напряжения включены последовательно и поэтому вольтметр определяет сумму фазных напряжений, т.е. утроенную составляющую нулевой последовательности системы фазных напряжений.

В схеме (рис. 4.22,b) вторичные обмотки трансформаторов тока включены параллельно и поэтому амперметр измеряет сумму линейных токов, то есть утроенную составляющую нулевой последовательности линейных токов.

  • Периодические несинусоидальные напряжения и токи в линейных цепях
  • Нелинейные цепи переменного тока
  • Переходные процессы
  • Переходные процессы в линейных цепях
  • Четырехполюсники
  • Линейные диаграммы
  • Круговые диаграммы
  • Цепи с взаимной индукцией

С мощностью трехфазного тока/напряжения путаются даже профессионалы – электрики, энергетики и инженера. Причем некоторые просто не знают как правильно, другие знают как, но не знают почему.

Как в том анекдоте, когда у мужчины спрашивают сколько будет 1/2 плюс 1/2. Он отвечает: “Чувствую, что литр, но доказать не могу!” :))

Между тем, там всё очень просто, на уровне школьной физики. Все что потребуется это закон Ома и знание основных свойств трехфазного напряжения. Никаких законов Кирхгофа, никаких решений систем уравнения не потребуется!

Нам потребуется только соотношением между линейным (МЕЖфазным) напряжением (380В) и фазным (220в), которые различаются в √3 раз: Uл=√3*Uф

Подробно можно ознакомиться в статье:

Сумятицу в этот вопрос вносит Википедия, в которой даны следующие одинаковые формулы для мощности подключения звездой и треугольником:

Мощность переменного тока и трехфазного напряжения. Различие схем подключения "звезда" и "треугольник". Обясняю простыми словами

На основе которых некоторые “специалисты” делают вывод о том, что мощности не различаются. Другие каким-то образом умудряются различать их в √3 раз, третьи еще как-то.

Мощность при подключении звездой

Чтобы понять как правильно, возьмём 3-фазную линию и будем последовательно (по времени) подключать нагрузку через нулевой провод.

Мощность переменного тока и трехфазного напряжения. Различие схем подключения "звезда" и "треугольник". Обясняю простыми словами
  1. В 1-м случаи потребляемая мощность будет равна: Pа = Uф²/R, где R – сопротивление нагрузки. При этом через нагрузку будет течь ток Ia и такой же ток будет теч через линию.
  2. Если на другую фазу подключить точно такую же нагрузку, то мощность и ток через 1 нагрузку не изменится, так как не изменится напряжение и его фаза на её концах.
    При этом:
    *
    Ток через нагрузку линии С будет равен току и мощности через нагрузку А (Ia = Iс)
    * Мощность, снимаемая нагрузкой С, будет равна мощности снимаемой на нагрузке А (Pс = U²ф/R = Pа)
    *
    Ток в линии ИЗМЕНИТСЯ.
  3. То же самое произойдет при подключении нагрузки В.
    При этом:
    *
    Ток через нагрузку линии В будет равен току и мощности через нагрузку А и С (Ib = Ia = Iс)
    *
    Мощность, снимаемая нагрузкой В, будет равна мощности снимаемой на нагрузке А и С (Pb = U²ф/R = Pс = Pа)
    *
    Ток в линии ИЗМЕНИТСЯ.
    *
    При условии что все нагрузки одинаковые, ТОК ЧЕРЕЗ НУЛЕВОЙ ПРОВОД ЗАНУЛИТСЯ.
  4. Суммарная мощность будет равна:
    P = Pa +Pb +Pс = 3 * U²ф / R =
    U²л / R

Мощность при подключении звездой

Проделаем аналогичную процедуру, но ТУ ЖЕ САМУЮ НАГРУЗКУ будем подключать треугольников, подключая её не между фазой и нулем, а между двумя фазами.

Мощность переменного тока и трехфазного напряжения. Различие схем подключения "звезда" и "треугольник". Обясняю простыми словами
  1. В 1-м случаи потребляемая мощность будет равна: Pbc = U²л/R, где R – сопротивление нагрузки. При этом через нагрузку будет течь ток Ibc и такой же ток будет течь через линию.
  2. Если на другую фазу подключить точно такую же нагрузку, то мощность и ток через 1 нагрузку не изменится, так как не изменится напряжение и его фаза на её концах.
    При этом:
    *
    Ток через нагрузку линии AB будет равен току и мощности через нагрузку линии BC (Ibc = Iab)
    * Мощность, снимаемая нагрузкой AB, будет равна мощности снимаемой на нагрузке BC (Pab = U²л/R = Pbc)
    *
    Ток в линии ИЗМЕНИТСЯ.
  3. То же самое произойдет пр подключении нагрузки AC.
    При этом:
    *
    Ток через нагрузку линии AC будет равен току и мощности через нагрузку BC и AB (Iac = Ibc = Iab)
    *
    Мощность, снимаемая нагрузкой AC, будет равна мощности снимаемой на нагрузке BC и AB (Paс = U²л/R = Pbc = Pаb)
    *
    Ток в линии ИЗМЕНИТСЯ.
  4. Суммарная мощность будет равна:
    P = Paс +Pbс +Paс =
    3 * U²л / R

Сравнивая с мощностью при подключения звездой, видно, что при подключении треугольником она в 3 раза выше.

Закон Ома для трехфазной цепи

Вид закона Ома для трехфазной цепи, точнее выражение для мощности, на первый взгляд, может вызвать недоумение:

P = √3 * Uл * Iл

Откуда взялся корень из трех?

В реальности же в нём нет ничего необычного, достаточно переписать в правильном виде.

Подключение звездой

Очень простым и наглядным получается вид выражения для мощности для подключения звездой. Перепишем его в следующем виде

P = 3 * (Uл/√3) * Iл = 3 * Uф * Iл

И тогда сразу видно, что это просто суммарная мощность через 3 независимые линии с напряжением и током .

Более того, при наличии нулевого провода можно очень просто получить выражение для разных нагрузок на разных фазах (разные токи):

P = Uф * Σ Iл, где сумма токов ведётся по всем трём линиям.

Подключения треугольником

С подключением треугольником получается не так наглядно:

P = 3 * Uл * (Iл/√3) = Uл * Σ (Iл/√3).

То есть, это так же сумма мощностей трех линий, но только часть тока в каждой линии относится к нагрузке этой линии. Другая часть тока – это “обратный” ток с других линий (некий аналог тока по нулевому проводу).

Надеюсь, вопросов не осталось, но если это не так, смело задавайте в комментариях.

Можно посмотреть видео версию

Алексей
__________________________
Подписывайтесь на канал, впереди много интересного
Ставьте 👍🏻 чтобы мои статьи были у вас в ленте
Ваша Беседка ☀️
_________________________
Мои статьи на тему экономики ищите по тегу #экономика_и_энергетика_беседка

Добавить комментарий