Как найти алгебраическое дополнение матрицы а23

Понятие минора и алгебраического дополнения было рассмотрено нами в теме «Как вычислить определитель матрицы третьего порядка». В данной статье разберем тему более подробно, а также научимся вычислять миноры и алгебраические дополнения матриц высших порядков.

Сначала рекомендуется повторить вычисление определителей второго, третьего и высших порядков.

Минор

Минором MijM_{ij} к элементу aija_{ij} определителя nn-го порядка называется определитель (n−1)(n-1)-го порядка, который получается из исходного определителя вычеркиванием ii-той строки и jj-того столбца.

Таким образом, минор — это определитель, который остается после вычеркивания определенной строки и определенного столбца. Например, M12M_{12} получается вычеркиванием 1-й строки и 2-го столбца, M34M_{34} — вычеркиванием 3-й строки и 4-го столбца.
Алгоритм нахождения миноров

1. вычеркиваем i-ю строку;
2. вычеркиваем j-й столбец;
3. записываем определитель, который получили в результате действий 1 и 2.

Пример 1

Найти минор M34M_{34} к элементу a34a_{34} определителя ∣21−23−121213−1543−31∣begin{vmatrix}2&1&-2&3\-1&2&1&2\1&3&-1&5\4&3&-3&1end{vmatrix}.

Те строки и столбцы, которые будем вычеркивать, выделим зеленым цветом.

M34=∣21−23−121213−1543−31∣=∣21−2−12143−3∣=2⋅2⋅(−3)+1⋅1⋅4+(−2)⋅3⋅(−1)−(−2)⋅2⋅4−1⋅(−3)⋅(−1)−2⋅1⋅3=−12+4+6+16−3−6=5M_{34}=begin{vmatrix}2&1&-2&color{green}3\-1&2&1&color{green}2\color{green}1&color{green}3&color{green}-1&color{green}5\4&3&-3&color{green}1end{vmatrix}=begin{vmatrix}2&1&-2\-1&2&1\4&3&-3end{vmatrix}=2cdot2cdot(-3)+1cdot1cdot4+(-2)cdot3cdot(-1)-(-2)cdot2cdot4-1cdot(-3)cdot(-1)-2cdot1cdot3=-12+4+6+16-3-6=5.

Пример 2

Найти миноры матрицы K=(03−122100−2−102−5711)K= begin{pmatrix}0&3&-1&2\2&1&0&0\-2&-1&0&2\-5&7&1&1end{pmatrix}.

Те строки и столбцы, которые будем вычеркивать, выделим зеленым цветом.

M11=(03−122100−2−102−5711)=∣100−102711∣=1⋅(−1)1+1∣0211∣=1⋅(−1)2∣0211∣=∣0211∣=1⋅(−1)2+1⋅2=1⋅(−1)3⋅2=−2M_{11}= begin{pmatrix}color{green}0&color{green}3&color{green}-1&color{green}2\color{green}2&1&0&0\color{green}-2&-1&0&2\color{green}-5&7&1&1end{pmatrix}=begin{vmatrix}1&0&0\-1&0&2\7&1&1end{vmatrix}=1cdot(-1)^{1+1}begin{vmatrix}0&2\1&1end{vmatrix}=1cdot(-1)^{2}begin{vmatrix}0&2\1&1end{vmatrix}=begin{vmatrix}0&2\1&1end{vmatrix}=1cdot(-1)^{2+1}cdot2=1cdot(-1)^{3}cdot2=-2,

M12=(03−122100−2−102−5711)=∣200−202−511∣=2⋅(−1)1+1∣0211∣=2⋅(−1)2∣0211∣=2∣0211∣=2⋅(−1)2+1⋅2=2⋅(−1)3⋅2=−4M_{12}= begin{pmatrix}color{green}0&color{green}3&color{green}-1&color{green}2\2&color{green}1&0&0\-2&color{green}-1&0&2\-5&color{green}7&1&1end{pmatrix}=begin{vmatrix}2&0&0\-2&0&2\-5&1&1end{vmatrix}=2cdot(-1)^{1+1}begin{vmatrix}0&2\1&1end{vmatrix}=2cdot(-1)^{2}begin{vmatrix}0&2\1&1end{vmatrix}=2begin{vmatrix}0&2\1&1end{vmatrix}=2cdot(-1)^{2+1}cdot2=2cdot(-1)^{3}cdot2=-4,

M13=(03−122100−2−102−5711)=∣210−2−12−571∣=2⋅(−1)⋅1+0⋅7⋅(−2)+1⋅2⋅(−5)−0⋅(−1)⋅(−5)−2⋅2⋅7−1⋅1⋅(−2)=−2−10−28+2=−38M_{13}= begin{pmatrix}color{green}0&color{green}3&color{green}-1&color{green}2\2&1&color{green}0&0\-2&-1&color{green}0&2\-5&7&color{green}1&1end{pmatrix}=begin{vmatrix}2&1&0\-2&-1&2\-5&7&1end{vmatrix}=2cdot(-1)cdot1+0cdot7cdot(-2)+1cdot2cdot(-5)-0cdot(-1)cdot(-5)-2cdot2cdot7-1cdot1cdot(-2)=-2-10-28+2=-38,

M14=(03−122100−2−102−5711)=∣210−2−10−571∣=1⋅(−1)3+3∣21−2−1∣=0M_{14}= begin{pmatrix}color{green}0&color{green}3&color{green}-1&color{green}2\2&1&0&color{green}0\-2&-1&0&color{green}2\-5&7&1&color{green}1end{pmatrix}=begin{vmatrix}2&1&0\-2&-1&0\-5&7&1end{vmatrix}=1cdot(-1)^{3+3}begin{vmatrix}2&1\-2&-1end{vmatrix}=0,

M21=(03−122100−2−102−5711)=∣3−12−102711∣=3⋅0⋅1+2⋅1⋅(−1)+(−1)⋅2⋅7−2⋅0⋅7−(−1)⋅1⋅(−1)−3⋅2⋅1=−2−14−1−6=−23M_{21}= begin{pmatrix}color{green}0&3&-1&2\color{green}2&color{green}1&color{green}0&color{green}0\color{green}-2&-1&0&2\color{green}-5&7&1&1end{pmatrix}=begin{vmatrix}3&-1&2\-1&0&2\7&1&1end{vmatrix}=3cdot0cdot1+2cdot1cdot(-1)+(-1)cdot2cdot7-2cdot0cdot7-(-1)cdot1cdot(-1)-3cdot2cdot1=-2-14-1-6=-23,

M22=(03−122100−2−102−5711)=∣0−12−202−511∣=0⋅0⋅1+(−1)⋅2⋅(−5)+2⋅1⋅(−2)−2⋅0⋅(−5)−(−1)⋅1⋅(−2)−0⋅2⋅1=10−4−2=4M_{22}= begin{pmatrix}0&color{green}3&-1&2\color{green}2&color{green}1&color{green}0&color{green}0\-2&color{green}-1&0&2\-5&color{green}7&1&1end{pmatrix}=begin{vmatrix}0&-1&2\-2&0&2\-5&1&1end{vmatrix}=0cdot0cdot1+(-1)cdot2cdot(-5)+2cdot1cdot(-2)-2cdot0cdot(-5)-(-1)cdot1cdot(-2)-0cdot2cdot1=10-4-2=4,

M23=(03−122100−2−102−5711)=∣032−2−12−571∣=0⋅(−1)⋅1+3⋅2⋅(−5)+2⋅7⋅(−2)−2⋅(−1)⋅(−5)−3⋅1⋅(−2)−0⋅2⋅7=−30−28−10+6=−62M_{23}= begin{pmatrix}0&3&color{green}-1&2\color{green}2&color{green}1&color{green}0&color{green}0\-2&-1&color{green}0&2\-5&7&color{green}1&1end{pmatrix}=begin{vmatrix}0&3&2\-2&-1&2\-5&7&1end{vmatrix}=0cdot(-1)cdot1+3cdot2cdot(-5)+2cdot7cdot(-2)-2cdot(-1)cdot(-5)-3cdot1cdot(-2)-0cdot2cdot7=-30-28-10+6=-62,

M24=(03−122100−2−102−5711)=∣03−1−2−10−571∣=0⋅(−1)⋅1+3⋅0⋅(−5)+(−1)⋅7⋅(−2)−(−1)⋅(−1)⋅(−5)−3⋅1⋅(−2)−0⋅0⋅7=14+5+6=25M_{24}= begin{pmatrix}0&3&-1&color{green}2\color{green}2&color{green}1&color{green}0&color{green}0\-2&-1&0&color{green}2\-5&7&1&color{green}1end{pmatrix}=begin{vmatrix}0&3&-1\-2&-1&0\-5&7&1end{vmatrix}=0cdot(-1)cdot1+3cdot0cdot(-5)+(-1)cdot7cdot(-2)-(-1)cdot(-1)cdot(-5)-3cdot1cdot(-2)-0cdot0cdot7=14+5+6=25,

M31=(03−122100−2−102−5711)=∣3−12100711∣=1⋅(−1)2+1∣−1211∣=1⋅(−1)3∣−1211∣=−∣−1211∣=−(−1−2)=3M_{31}= begin{pmatrix}color{green}0&3&-1&2\color{green}2&1&0&0\color{green}-2&color{green}-1&color{green}0&color{green}2\color{green}-5&7&1&1end{pmatrix}=begin{vmatrix}3&-1&2\1&0&0\7&1&1end{vmatrix}=1cdot(-1)^{2+1}begin{vmatrix}-1&2\1&1end{vmatrix}=1cdot(-1)^{3}begin{vmatrix}-1&2\1&1end{vmatrix}=-begin{vmatrix}-1&2\1&1end{vmatrix}=-(-1-2)=3,

M32=(03−122100−2−102−5711)=∣0−12200−511∣=2⋅(−1)2+1∣−1211∣=2⋅(−1)3∣−1211∣=−2∣−1211∣=−2(−1−2)=6M_{32}= begin{pmatrix}0&color{green}3&-1&2\2&color{green}1&0&0\color{green}-2&color{green}-1&color{green}0&color{green}2\-5&color{green}7&1&1end{pmatrix}=begin{vmatrix}0&-1&2\2&0&0\-5&1&1end{vmatrix}=2cdot(-1)^{2+1}begin{vmatrix}-1&2\1&1end{vmatrix}=2cdot(-1)^{3}begin{vmatrix}-1&2\1&1end{vmatrix}=-2begin{vmatrix}-1&2\1&1end{vmatrix}=-2(-1-2)=6,

M33=(03−122100−2−102−5711)=∣032210−571∣=0⋅1⋅1+3⋅0⋅(−5)+2⋅7⋅2−2⋅1⋅(−5)−0⋅0⋅7−3⋅1⋅2=28+10−6=32M_{33}= begin{pmatrix}0&3&color{green}-1&2\2&1&color{green}0&0\color{green}-2&color{green}-1&color{green}0&color{green}2\-5&7&color{green}1&1end{pmatrix}=begin{vmatrix}0&3&2\2&1&0\-5&7&1end{vmatrix}=0cdot1cdot1+3cdot0cdot(-5)+2cdot7cdot2-2cdot1cdot(-5)-0cdot0cdot7-3cdot1cdot2=28+10-6=32,

M34=(03−122100−2−102−5711)=∣03−1210−571∣=0⋅1⋅1+3⋅0⋅(−5)+(−1)⋅7⋅2−(−1)⋅1⋅(−5)−3⋅1⋅2−0⋅0⋅7=−14−5−6=−25M_{34}= begin{pmatrix}0&3&-1&color{green}2\2&1&0&color{green}0\color{green}-2&color{green}-1&color{green}0&color{green}2\-5&7&1&color{green}1end{pmatrix}=begin{vmatrix}0&3&-1\2&1&0\-5&7&1end{vmatrix}=0cdot1cdot1+3cdot0cdot(-5)+(-1)cdot7cdot2-(-1)cdot1cdot(-5)-3cdot1cdot2-0cdot0cdot7=-14-5-6=-25,

M41=(03−122100−2−102−5711)=∣3−12100−102∣=1⋅(−1)2+1∣−1202∣=1⋅(−1)3∣−1202∣=−∣−1202∣=−(−1)⋅(−1)1+1⋅2=1⋅(−1)2⋅2=2M_{41}= begin{pmatrix}color{green}0&3&-1&2\color{green}2&1&0&0\color{green}-2&-1&0&2\color{green}-5&color{green}7&color{green}1&color{green}1end{pmatrix}=begin{vmatrix}3&-1&2\1&0&0\-1&0&2end{vmatrix}=1cdot(-1)^{2+1}begin{vmatrix}-1&2\0&2end{vmatrix}=1cdot(-1)^{3}begin{vmatrix}-1&2\0&2end{vmatrix}=-begin{vmatrix}-1&2\0&2end{vmatrix}=-(-1)cdot(-1)^{1+1}cdot2=1cdot(-1)^{2}cdot2=2,

M42=(03−122100−2−102−5711)=∣0−12200−202∣=2⋅(−1)2+1∣−1202∣=2⋅(−1)3∣−1202∣=−2∣−1202∣=−2⋅(−1)⋅(−1)1+1⋅2=2⋅(−1)2⋅2=4M_{42}= begin{pmatrix}0&color{green}3&-1&2\2&color{green}1&0&0\-2&color{green}-1&0&2\color{green}-5&color{green}7&color{green}1&color{green}1end{pmatrix}=begin{vmatrix}0&-1&2\2&0&0\-2&0&2end{vmatrix}=2cdot(-1)^{2+1}begin{vmatrix}-1&2\0&2end{vmatrix}=2cdot(-1)^{3}begin{vmatrix}-1&2\0&2end{vmatrix}=-2begin{vmatrix}-1&2\0&2end{vmatrix}=-2cdot(-1)cdot(-1)^{1+1}cdot2=2cdot(-1)^{2}cdot2=4,

M43=(03−122100−2−102−5711)=∣032210−2−12∣=0⋅1⋅2+3⋅0⋅(−2)+2⋅(−1)⋅2−2⋅1⋅(−2)−3⋅2⋅2−0⋅0⋅(−1)=−4+4−12=−12M_{43}= begin{pmatrix}0&3&color{green}-1&2\2&1&color{green}0&0\-2&-1&color{green}0&2\color{green}-5&color{green}7&color{green}1&color{green}1end{pmatrix}=begin{vmatrix}0&3&2\2&1&0\-2&-1&2end{vmatrix}=0cdot1cdot2+3cdot0cdot(-2)+2cdot(-1)cdot2-2cdot1cdot(-2)-3cdot2cdot2-0cdot0cdot(-1)=-4+4-12=-12,

M44=(03−122100−2−102−5711)=∣03−1210−2−10∣=0M_{44}= begin{pmatrix}0&3&-1&color{green}2\2&1&0&color{green}0\-2&-1&0&color{green}2\color{green}-5&color{green}7&color{green}1&color{green}1end{pmatrix}=begin{vmatrix}0&3&-1\2&1&0\-2&-1&0end{vmatrix}=0.

Алгебраическое дополнение

Алгебраическим дополнением AijA_{ij} к элементу aija_{ij} определителя n-го порядка называется число Aij=(−1)i+j⋅MijA_{ij}=(-1)^{i+j}cdot M_{ij}, где i,ji, j — соответствующие строка и столбец, а MijM_{ij} — минор к элементу aija_{ij}.

Алгоритм нахождения алгебраических дополнений

1. найти сумму номеров строки (i)(i) и столбца (j)(j);
2. найти минор MijM_{ij} по алгоритму нахождения миноров, который представлен выше;
3. подставить значения, полученные на шагах 1 и 2, в формулу Aij=(−1)i+j⋅MijA_{ij}=(-1)^{i+j}cdot M_{ij}.

Пример 1

Найти алгебраическое дополнение A34A_{34} к элементу a34a_{34} определителя
∣21−23−121213−1543−31∣begin{vmatrix}2&1&-2&3\-1&2&1&2\1&3&-1&5\4&3&-3&1end{vmatrix}.
A34=(−1)3+4⋅M34=(−1)7⋅∣21−23−121213−1543−31∣=−∣21−2−12143−3∣=−(2⋅2⋅(−3)+1⋅1⋅4+(−2)⋅3⋅(−1)−(−2)⋅2⋅4−1⋅(−3)⋅(−1)−2⋅1⋅3)=−(−12+4+6+16−3−6)=−5A_{34}=(-1)^{3+4}cdot M_{34}=(-1)^{7}cdot
begin{vmatrix}2&1&-2&color{green}3\-1&2&1&color{green}2\color{green}1&color{green}3&color{green}-1&color{green}5\4&3&-3&color{green}1end{vmatrix}=-begin{vmatrix}2&1&-2\-1&2&1\4&3&-3end{vmatrix}=-(2cdot2cdot(-3)+1cdot1cdot4+(-2)cdot3cdot(-1)-(-2)cdot2cdot4-1cdot(-3)cdot(-1)-2cdot1cdot3)=-(-12+4+6+16-3-6)=-5.

Пример 2

Найти алгебраические дополнения матрицы K=(03−122100−2−102−5711)K= begin{pmatrix}0&3&-1&2\2&1&0&0\-2&-1&0&2\-5&7&1&1end{pmatrix}.

Те строки и столбцы, которые будем вычеркивать, выделим зеленым цветом.

A11=(−1)1+1⋅M11=(−1)1+1⋅∣100−102711∣=(−1)2∣100−102711∣=∣100−102711∣=−2A_{11}=(-1)^{1+1}cdot M_{11}=(-1)^{1+1}cdotbegin{vmatrix}1&0&0\-1&0&2\7&1&1end{vmatrix}=(-1)^{2}begin{vmatrix}1&0&0\-1&0&2\7&1&1end{vmatrix}=begin{vmatrix}1&0&0\-1&0&2\7&1&1end{vmatrix}=-2,

A12=(−1)1+2⋅M12=(−1)1+2⋅∣200−202−511∣=(−1)3⋅∣200−202−511∣=−∣200−202−511∣=−(−4)=4A_{12}=(-1)^{1+2}cdot M_{12}=(-1)^{1+2}cdotbegin{vmatrix}2&0&0\-2&0&2\-5&1&1end{vmatrix}=(-1)^{3}cdotbegin{vmatrix}2&0&0\-2&0&2\-5&1&1end{vmatrix}=-begin{vmatrix}2&0&0\-2&0&2\-5&1&1end{vmatrix}=-(-4)=4,

A13=(−1)1+3⋅M13=(−1)1+3⋅∣210−2−12−571∣=(−1)4⋅∣210−2−12−571∣=∣210−2−12−571∣=−38A_{13}=(-1)^{1+3}cdot M_{13}=(-1)^{1+3}cdot begin{vmatrix}2&1&0\-2&-1&2\-5&7&1end{vmatrix}=(-1)^{4}cdot begin{vmatrix}2&1&0\-2&-1&2\-5&7&1end{vmatrix}=begin{vmatrix}2&1&0\-2&-1&2\-5&7&1end{vmatrix}=-38,

A14=(−1)1+4⋅M14=(−1)1+4⋅∣210−2−10−571∣=(−1)5⋅∣210−2−10−571∣=−∣210−2−10−571∣=0A_{14}=(-1)^{1+4}cdot M_{14}=(-1)^{1+4}cdotbegin{vmatrix}2&1&0\-2&-1&0\-5&7&1end{vmatrix}=(-1)^{5}cdot begin{vmatrix}2&1&0\-2&-1&0\-5&7&1end{vmatrix}=-begin{vmatrix}2&1&0\-2&-1&0\-5&7&1end{vmatrix}=0,

A21=(−1)2+1⋅M21=(−1)2+1⋅∣3−12−102711∣=(−1)3⋅∣3−12−102711∣=−∣3−12−102711∣=−(−23)=23A_{21}=(-1)^{2+1}cdot M_{21}=(-1)^{2+1}cdotbegin{vmatrix}3&-1&2\-1&0&2\7&1&1end{vmatrix}=(-1)^{3}cdotbegin{vmatrix}3&-1&2\-1&0&2\7&1&1end{vmatrix}=-begin{vmatrix}3&-1&2\-1&0&2\7&1&1end{vmatrix}=-(-23)=23,

A22=(−1)2+2⋅M22=(−1)2+2⋅∣0−12−202−511∣=(−1)4⋅∣0−12−202−511∣=∣0−12−202−511∣=4A_{22}=(-1)^{2+2}cdot M_{22}=(-1)^{2+2}cdotbegin{vmatrix}0&-1&2\-2&0&2\-5&1&1end{vmatrix}=(-1)^{4}cdotbegin{vmatrix}0&-1&2\-2&0&2\-5&1&1end{vmatrix}=begin{vmatrix}0&-1&2\-2&0&2\-5&1&1end{vmatrix}=4,

A23=(−1)2+3⋅M23=(−1)2+3⋅∣032−2−12−571∣=(−1)5⋅∣032−2−12−571∣=−∣032−2−12−571∣=−(−62)=62A_{23}=(-1)^{2+3}cdot M_{23}=(-1)^{2+3}cdotbegin{vmatrix}0&3&2\-2&-1&2\-5&7&1end{vmatrix}=(-1)^{5}cdotbegin{vmatrix}0&3&2\-2&-1&2\-5&7&1end{vmatrix}=-begin{vmatrix}0&3&2\-2&-1&2\-5&7&1end{vmatrix}=-(-62)=62,

A24=(−1)2+4⋅M24=(−1)2+4⋅∣03−1−2−10−571∣=(−1)6⋅∣03−1−2−10−571∣=∣03−1−2−10−571∣=25A_{24}=(-1)^{2+4}cdot M_{24}=(-1)^{2+4}cdotbegin{vmatrix}0&3&-1\-2&-1&0\-5&7&1end{vmatrix}=(-1)^{6}cdotbegin{vmatrix}0&3&-1\-2&-1&0\-5&7&1end{vmatrix}=begin{vmatrix}0&3&-1\-2&-1&0\-5&7&1end{vmatrix}=25,

A31=(−1)3+1⋅M31=(−1)3+1⋅∣3−12100711∣=(−1)4⋅∣3−12100711∣=∣3−12100711∣=3A_{31}=(-1)^{3+1}cdot M_{31}=(-1)^{3+1}cdotbegin{vmatrix}3&-1&2\1&0&0\7&1&1end{vmatrix}=(-1)^{4}cdotbegin{vmatrix}3&-1&2\1&0&0\7&1&1end{vmatrix}=begin{vmatrix}3&-1&2\1&0&0\7&1&1end{vmatrix}=3,

A32=(−1)3+2⋅M32=(−1)3+2⋅∣0−12200−511∣=(−1)5⋅∣0−12200−511∣=−∣0−12200−511∣=−6A_{32}=(-1)^{3+2}cdot M_{32}=(-1)^{3+2}cdotbegin{vmatrix}0&-1&2\2&0&0\-5&1&1end{vmatrix}=(-1)^{5}cdotbegin{vmatrix}0&-1&2\2&0&0\-5&1&1end{vmatrix}=-begin{vmatrix}0&-1&2\2&0&0\-5&1&1end{vmatrix}=-6,

A33=(−1)3+3⋅M33=(−1)3+3⋅∣032210−571∣=(−1)6⋅∣032210−571∣=∣032210−571∣=32A_{33}=(-1)^{3+3}cdot M_{33}=(-1)^{3+3}cdotbegin{vmatrix}0&3&2\2&1&0\-5&7&1end{vmatrix}=(-1)^{6}cdotbegin{vmatrix}0&3&2\2&1&0\-5&7&1end{vmatrix}=begin{vmatrix}0&3&2\2&1&0\-5&7&1end{vmatrix}=32,

A34=(−1)3+4⋅M34=(−1)3+4⋅∣03−1210−571∣=(−1)7⋅∣03−1210−571∣=−∣03−1210−571∣=−(−25)=25A_{34}=(-1)^{3+4}cdot M_{34}=(-1)^{3+4}cdotbegin{vmatrix}0&3&-1\2&1&0\-5&7&1end{vmatrix}=(-1)^{7}cdotbegin{vmatrix}0&3&-1\2&1&0\-5&7&1end{vmatrix}=-begin{vmatrix}0&3&-1\2&1&0\-5&7&1end{vmatrix}=-(-25)=25,

A41=(−1)4+1⋅M41=(−1)4+1⋅∣3−12100−102∣=(−1)5⋅∣3−12100−102∣=−∣3−12100−102∣=−2A_{41}=(-1)^{4+1}cdot M_{41}=(-1)^{4+1}cdotbegin{vmatrix}3&-1&2\1&0&0\-1&0&2end{vmatrix}=(-1)^{5}cdotbegin{vmatrix}3&-1&2\1&0&0\-1&0&2end{vmatrix}=-begin{vmatrix}3&-1&2\1&0&0\-1&0&2end{vmatrix}=-2,

A42=(−1)4+2⋅M42=(−1)4+2⋅∣0−12200−202∣=(−1)6⋅∣0−12200−202∣=∣0−12200−202∣=4A_{42}=(-1)^{4+2}cdot M_{42}=(-1)^{4+2}cdotbegin{vmatrix}0&-1&2\2&0&0\-2&0&2end{vmatrix}=(-1)^{6}cdotbegin{vmatrix}0&-1&2\2&0&0\-2&0&2end{vmatrix}=begin{vmatrix}0&-1&2\2&0&0\-2&0&2end{vmatrix}=4,

A43=(−1)4+3⋅M43=(−1)4+3⋅∣032210−2−12∣=(−1)7⋅∣032210−2−12∣=−∣032210−2−12∣=−(−12)=12A_{43}=(-1)^{4+3}cdot M_{43}=(-1)^{4+3}cdotbegin{vmatrix}0&3&2\2&1&0\-2&-1&2end{vmatrix}=(-1)^{7}cdotbegin{vmatrix}0&3&2\2&1&0\-2&-1&2end{vmatrix}=-begin{vmatrix}0&3&2\2&1&0\-2&-1&2end{vmatrix}=-(-12)=12,

A44=(−1)4+4⋅M44=(−1)4+4⋅∣03−1210−2−10∣=(−1)8⋅∣03−1210−2−10∣=∣03−1210−2−10∣=0A_{44}=(-1)^{4+4}cdot M_{44}=(-1)^{4+4}cdotbegin{vmatrix}0&3&-1\2&1&0\-2&-1&0end{vmatrix}=(-1)^{8}cdotbegin{vmatrix}0&3&-1\2&1&0\-2&-1&0end{vmatrix}=begin{vmatrix}0&3&-1\2&1&0\-2&-1&0end{vmatrix}=0.

Задачи на заказ недорого по любому предмету от наших экспертов!

Тест по теме «Минор матрицы и алгебраическое дополнение матрицы»

Содержание:

• Минор
• Алгебраическое дополнение

Минор

Алгебраическое дополнение

Сумма произведений элементов “произвольной” строки на алгебраические дополнения к элементам
$i$-ой строки определителя равна определителю, в котором вместо $i$-ой строки записана “произвольная” строка.

$$ b_{1} cdot A_{11}+b_{2} cdot A_{12}+b_{3} cdot A_{13}=left| begin{array}{ccc}{b_{1}} & {b_{2}} & {b_{3}} \ {a_{21}} & {a_{22}} & {a_{23}} \ {a_{31}} & {a_{32}} & {a_{33}}end{array}right| $$

Сумма произведений элементов строки определителя на алгебраические дополнения к элементам другой строки равна нулю.

$$ a_{31} cdot A_{11}+a_{32} cdot A_{12}+a_{33} cdot A_{13}=left| begin{array}{ccc}{a_{31}} & {a_{32}} & {a_{33}} \ {a_{21}} & {a_{22}} & {a_{23}} \ {a_{31}} & {a_{32}} & {a_{33}}end{array}right|=0 $$

Читать дальше: методы вычисления определителей.

Алгебраические дополнения и миноры. Виды миноров и алгебраических дополнений.

В данной теме рассмотрим понятия алгебраического дополнения и минора. Изложение материала опирается на термины, пояснённые в теме “Матрицы. Виды матриц. Основные термины”. Также нам понадобятся некоторые формулы для вычисления определителей. Так как в данной теме немало терминов, относящихся к минорам и алгебраическим дополнениям, то я добавлю краткое содержание, чтобы ориентироваться в материале было проще.

Содержание темы:

1. Минор $M_{ij}$ элемента $a_{ij}$.
2. Алгебраическое дополнение $A_{ij}$ элемента $a_{ij}$.
3. Минор k-го порядка матрицы $A_{mtimes n}$. Главный минор, базисный минор, окаймляющий минор.
4. Минор k-го порядка матрицы $A_{ntimes n}$. Дополнительный минор. Алгебраическое дополнение к минору квадратной матрицы.

Минор $M_{ij}$ элемента $a_{ij}$

Пусть задана квадратная матрица $A_{ntimes n}$ (т.е. квадратная матрица n-го порядка).

Минором $M_{ij}$ элемента $a_{ij}$ матрицы $A_{ntimes n}$ именуют определитель матрицы, полученной из матрицы $A$ вычёркиванием i-й строки и j-го столбца (т.е. строки и столбца, на пересечении которых находится элемент $a_{ij}$).

Для примера рассмотрим квадратную матрицу четвёртого порядка:
$A=left( begin{array} {cccc}
1 & 0 & -3 & 9\
2 & -7 & 11 & 5 \
-9 & 4 & 25 & 84\
3 & 12 & -5 & 58 end{array} right)$. Найдём минор элемента $a_{32}$, т.е. найдём $M_{32}$. Сперва запишем минор $M_{32}$, а потом вычислим его значение. Для того, чтобы составить $M_{32}$, вычеркнем из матрицы $A$ третью строку и второй столбец (именно на пересечении третьей строки и второго столбца расположен элемент $a_{32}$). Мы получим новую матрицу, определитель которой и есть искомый минор $M_{32}$:

Этот минор несложно вычислить, используя формулу №2 из темы вычисления определителей второго и третьего порядков:

$$
M_{32}=left| begin{array} {ccc}
1 & -3 & 9\
2 & 11 & 5 \
3 & -5 & 58 end{array} right|=
1cdot 11cdot 58+(-3)cdot 5cdot 3+2cdot (-5)cdot 9-9cdot 11cdot 3-(-3)cdot 2cdot 58-5cdot (-5)cdot 1=579.

$$

Итак, минор элемента $a_{32}$ равен 579, т.е. $M_{32}=579$.

Часто вместо словосочетания “минор элемента матрицы” в литературе встречается “минор элемента определителя”. Суть остается неизменной: чтобы получить минор элемента $a_{ij}$ нужно вычеркнуть из исходного определителя i-ю строку и j-й столбец. Оставшиеся элементы записывают в новый определитель, который и является минором элемента $a_{ij}$. Например, найдём минор элемента $a_{12}$ определителя
$left| begin{array} {ccc}
-1 & 3 & 2\
9 & 0 & -5 \
4 & -3 & 7 end{array} right|$. Чтобы записать требуемый минор $M_{12}$ нам понадобится вычеркнуть из заданного определителя первую строку и второй столбец:

Чтобы найти значение данного минора используем формулу №1 из темы вычисления определителей второго и третьего порядков:

$$
M_{12}=left| begin{array} {cc}
9 & -5\
4 & 7 end{array} right|=9cdot 7-(-5)cdot 4=83.
$$

Итак, минор элемента $a_{12}$ равен 83, т.е. $M_{12}=83$.

Алгебраическое дополнение $A_{ij}$ элемента $a_{ij}$

Пусть задана квадратная матрица $A_{ntimes n}$ (т.е. квадратная матрица n-го порядка).

Найдем алгебраическое дополнение элемента $a_{32}$ матрицы $A=left( begin{array} {cccc}
1 & 0 & -3 & 9\
2 & -7 & 11 & 5 \
-9 & 4 & 25 & 84\
3 & 12 & -5 & 58 end{array} right)$, т.е. найдём $A_{32}$. Ранее мы уже находили минор $M_{32}=579$, поэтому используем полученный результат:

Обычно при нахождении алгебраических дополнений не вычисляют отдельно минор, а уж потом само дополнение. Запись минора опускают. Например, найдем $A_{12}$, если $A=left( begin{array} {ccc}
-5 & 10 & 2\
6 & 9 & -4 \
4 & -3 & 1 end{array} right)$. Согласно формуле $A_{12}=(-1)^{1+2}cdot M_{12}=-M_{12}$. Однако чтобы получить $M_{12}$ достаточно вычеркнуть первую строку и второй столбец матрицы $A$, так зачем же вводить лишнее обозначение для минора? Сразу запишем выражение для алгебраического дополнения $A_{12}$:

Минор k-го порядка матрицы $A_{mtimes n}$

Если в предыдущих двух пунктах мы говорили лишь о квадратных матрицах, то здесь поведём речь также и о прямоугольных матрицах, у которых количество строк вовсе не обязательно равняется количеству столбцов. Итак, пусть задана матрица $A_{mtimes n}$, т.е. матрица, содержащая m строк и n столбцов.

Минором k-го порядка матрицы $A_{mtimes n}$ называется определитель, элементы которого расположены на пересечении k строк и k столбцов матрицы $A$ (при этом предполагается, что $k≤ m$ и $k≤ n$).

Например, рассмотрим такую матрицу:

$$A=left( begin{array} {cccc}
-1 & 0 & -3 & 9\
2 & 7 & 14 & 6 \
15 & -27 & 18 & 31\
0 & 1 & 19 & 8\
0 & -12 & 20 & 14\
5 & 3 & -21 & 9\
23 & -10 & -5 & 58 end{array} right)
$$

Запишем для неё какой-либо минор третьего порядка. Чтобы записать минор третьего порядка нам потребуется выбрать какие-либо три строки и три столбца данной матрицы. Например, возьмём строки №2, №4, №6 и столбцы №1, №2, №4. На пересечении этих строк и столбцов будут располагаться элементы требуемого минора. На рисунке элементы минора показаны синим цветом:

$$
left( begin{array} {cccc}
-1 & 0 & -3 & 9 \
boldblue{2} & boldblue{7} & 14 & boldblue{6} \
15 & -27 & 18 & 31\
boldblue{0} & boldblue{1} & 19 & boldblue{8}\
0 & -12 & 20 & 14\
boldblue{5} & boldblue{3} & -21 & boldblue{9}\
23 & -10 & -5 & 58 end{array} right);;

M=left|begin{array} {ccc}
2 & 7 & 6 \
0 & 1 & 8 \
5 & 3 & 9 end{array} right|.
$$

Миноры первого порядка находятся на пересечении одной строки и одного столбца, т.е. миноры первого порядка равны элементам заданной матрицы.

Минор k-го порядка матрицы $A_{mtimes n}=(a_{ij})$ называется главным, если на главной диагонали данного минора находятся только главные диагональные элементы матрицы $A$.

Напомню, что главными диагональными элементами именуют те элементы матрицы, у которых индексы равны: $a_{11}$, $a_{22}$, $a_{33}$ и так далее. Например, для рассмотренной выше матрицы $A$ такими элементами будут $a_{11}=-1$, $a_{22}=7$, $a_{33}=18$, $a_{44}=8$. На рисунке они выделены зелёным цветом:

$$left( begin{array} {cccc}
boldgreen{-1} & 0 & -3 & 9\
2 & boldgreen{7} & 14 & 6 \
15 & -27 & boldgreen{18} & 31\
0 & 1 & 19 & boldgreen{8}\
0 & -12 & 20 & 14\
5 & 3 & -21 & 9\
23 & -10 & -5 & 58 end{array} right)
$$

Например, если в матрице $A$ мы вычеркнем строки и столбцы с номерами 1 и 3, то на их пересечении будут расположены элементы минора второго порядка, на главной диагонали которого будут находиться только диагональные элементы матрицы $A$ (элементы $a_{11}=-1$ и $a_{33}=18$ матрицы $A$). Следовательно, мы получим главный минор второго порядка:

$$
M=left|begin{array} {cc}
boldgreen{-1} & -3 \
15 & boldgreen{18} end{array} right|
$$

Естественно, что мы могли взять иные строки и столбцы, – например, с номерами 2 и 4, получив при этом иной главный минор второго порядка.

Пусть некий минор $M$ k-го порядка матрицы $A_{mtimes n}$ не равен нулю, т.е. $Mneq 0$. При этом все миноры, порядок которых выше k, равны нулю. Тогда минор $M$ называют базисным, а строки и столбцы, на которых расположены элементы базисного минора, именуют базисными строками и базисными столбцами.

Для примера рассмотрим такую матрицу:

$$A=left( begin{array} {ccc}
-1 & 0 & 3 & 0 & 0 \
2 & 0 & 4 & 1 & 0\
1 & 0 & -2 & -1 & 0\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 end{array} right)
$$

Запишем минор этой матрицы, элементы которого расположены на пересечении строк №1, №2, №3 и столбцов с №1, №3, №4. Мы получим минор третьего порядка (его элементы выделены в матрице $A$ фиолетовым цветом):

$$
left( begin{array} {ccc}
boldpurple{-1} & 0 & boldpurple{3} & boldpurple{0} & 0 \
boldpurple{2} & 0 & boldpurple{4} & boldpurple{1} & 0\
boldpurple{1} & 0 & boldpurple{-2} & boldpurple{-1} & 0\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 end{array} right);;

M=left|begin{array} {ccc}
-1 & 3 & 0 \
2 & 4 & 1 \
1 & -2 & -1 end{array} right|.
$$

Найдём значение этого минора, используя формулу №2 из темы вычисления определителей второго и третьего порядков:

$$
M=left| begin{array} {ccc}
-1 & 3 & 0\
2 & 4 & 1 \
1 & -2 & -1 end{array} right|=4+3+6-2=11.
$$

Итак, $M=11neq 0$. Теперь попробуем составить любой минор, порядок которого выше трёх. Чтобы составить минор четвёртого порядка, нам придётся использовать четвёртую строку, однако все элементы этой строки равны нулю. Следовательно, в любом миноре четвёртого порядка будет нулевая строка, а это означает, что все миноры четвёртого порядка равны нулю. Миноры пятого и более высоких порядков составить мы не можем, так как матрица $A$ имеет всего 4 строки.

Мы нашли минор третьего порядка, не равный нулю. При этом все миноры высших порядков равны нулю, следовательно, рассмотренный нами минор – базисный. Строки матрицы $A$, на которых расположены элементы этого минора (первая, вторая и третья), – базисные строки, а первый, третий и четвёртый столбцы матрицы $A$ – базисные столбцы.

Данный пример, конечно, тривиальный, так как его цель – наглядно показать суть базисного минора. Вообще, базисных миноров может быть несколько, и обычно процесс поиска такого минора куда сложнее и объёмнее.

Введём ещё одно понятие – окаймляющий минор.

Пусть некий минор k-го порядка $M$ матрицы $A_{mtimes n}$ расположен на пересечении k строк и k столбцов. Добавим к набору этих строк и столбцов ещё одну строку и столбец. Полученный минор (k+1)-го порядка именуют окаймляющим минором для минора $M$.

Для примера обратимся к такой матрице:

$$A=left( begin{array} {ccccc}
-1 & 2 & 0 & -2 & -14\
3 & -17 & -3 & 19 & 29\
5 & -6 & 8 & -9 & 41\
-5 & 11 & 19 & -20 & -98\
6 & 12 & 20 & 21 & 54\
-7 & 10 & 14 & -36 & 79 end{array} right)
$$

Запишем минор второго порядка, элементы которого расположены на пересечении строк №2 и №5, а также столбцов №2 и №4. Эти элементы выделены в матрице красным цветом:

$$
left( begin{array} {ccccc}
-1 & 2 & 0 & -2 & -14\
3 & boldred{-17} & -3 & boldred{19} & 29\
5 & -6 & 8 & -9 & 41\
-5 & 11 & 19 & -20 & -98\
6 & boldred{12} & 20 & boldred{21} & 54\
-7 & 10 & 14 & -36 & 79 end{array} right);;

M=left|begin{array} {ccc}
-17 & 19 \
12 & 21 end{array} right|.
$$

Добавим к набору строк, на которых лежат элементы минора $M$, ещё строку №1, а к набору столбцов – столбец №5. Получим новый минор $M’$ (уже третьего порядка), элементы которого расположены на пересечении строк №1, №2, №5 и столбцов №2, №4, №5. Элементы минора $M$ на рисунке выделены красным цветом, а элементы, которые мы добавляем к минору $M$ – синим:

$$
left( begin{array} {ccccc}
-1 & boldblue{2} & 0 & boldblue{-2} & boldblue{-14}\
3 & boldred{-17} & -3 & boldred{19} & boldblue{29}\
5 & -6 & 8 & -9 & 41\
-5 & 11 & 19 & -20 & -98\
6 & boldred{12} & 20 & boldred{21} & boldblue{54}\
-7 & 10 & 14 & -36 & 79 end{array} right);;

M’=left|begin{array} {ccc}
2 & -2 & -14 \
-17 & 19 & 29 \
12 & 21 & 54 end{array} right|.
$$

Минор $M’$ является окаймляющим минором для минора $M$. Аналогично, добавляя к набору строк, на которых лежат элементы минора $M$, строку №4, а к набору столбцов – столбец №3, получим минор $M”$ (минор третьего порядка):

$$
left( begin{array} {ccccc}
-1 & 2 & 0 & -2 & -14\
3 & boldred{-17} & boldblue{-3} & boldred{19} & 29\
5 & -6 & 8 & -9 & 41\
-5 & boldblue{11} & boldblue{19} & boldblue{-20} & -98\
6 & boldred{12} & boldblue{20} & boldred{21} & 54\
-7 & 10 & 14 & -36 & 79 end{array} right);;

M”=left|begin{array} {ccc}
-17 & -3 & 19 \
11 & 19 & -20 \
12 & 20 & 21 end{array} right|.
$$

Минор $M”$ также является окаймляющим минором для минора $M$.

Минор k-го порядка матрицы $A_{ntimes n}$. Дополнительный минор. Алгебраическое дополнение к минору квадратной матрицы.

Вновь вернёмся к квадратным матрицам. Введём понятие дополнительного минора.

Пусть задан некий минор $M$ k-го порядка матрицы $A_{ntimes n}$. Определитель (n-k)-го порядка, элементы которого получены из матрицы $A$ после вычеркивания строк и столбцов, содержащих минор $M$, называется минором, дополнительным к минору $M$.

Для примера рассмотрим квадратную матрицу пятого порядка:

$$
A=left( begin{array}{ccccc}
-1 & 2 & 0 & -2 & -14\
3 & -17 & -3 & 19 & 29\
5 & -6 & 8 & -9 & 41\
-5 & 11 & 16 & -20 & -98\
-7 & 10 & 14 & -36 & 79 end{array} right)
$$

Выберем в ней строки №1 и №3, а также столбцы №2 и №5. На пересечении оных строк и столбцов будут элементы минора $M$ второго порядка. Эти элементы выделены в матрице $A$ зелёным цветом:

$$
left(begin{array}{ccccc}
-1 & boldgreen{2} & 0 & -2 & boldgreen{-14}\
3 & -17 & -3 & 19 & 29\
5 & boldgreen{-6} & 8 & -9 & boldgreen{41}\
-5 & 11 & 16 & -20 & -98\
-7 & 10 & 14 & -36 & 79 end{array} right);;

M=left|begin{array}{cc}
2 & -14 \
-6 & 41 end{array} right|.
$$

Теперь уберём из матрицы $A$ строки №1 и №3 и столбцы №2 и №5, на пересечении которых находятся элементы минора $M$ (элементы убираемых строк и столбцов показаны красным цветом на рисунке ниже). Оставшиеся элементы образуют минор $M’$:

$$
left( begin{array}{ccccc}
boldred{-1} & boldred{2} & boldred{0} & boldred{-2} & boldred{-14}\
3 & boldred{-17} & -3 & 19 & boldred{29}\
boldred{5} & boldred{-6} & boldred{8} & boldred{-9} & boldred{41}\
-5 & boldred{11} & 16 & -20 & boldred{-98}\
-7 & boldred{10} & 14 & -36 & boldred{79} end{array} right);;

M’=left|begin{array} {ccc}
3 & -3 & 19 \
-5 & 16 & -20 \
-7 & 14 & -36 end{array}right|.
$$

Минор $M’$, порядок которого равен $5-2=3$, является минором, дополнительным к минору $M$.

Алгебраическим дополнением к минору $M$ квадратной матрицы $A_{ntimes n}$ называется выражение $(-1)^{alpha}cdot M’$, где $alpha$ – сумма номеров строк и столбцов матрицы $A$, на которых расположены элементы минора $M$, а $M’$ – минор, дополнительный к минору $M$.

Словосочетание “алгебраическое дополнение к минору $M$” часто заменяют словосочетанием “алгебраическое дополнение минора $M$”.

Для примера рассмотрим матрицу $A$, для которой мы находили минор второго порядка
$
M=left| begin{array} {ccc}
2 & -14 \
-6 & 41 end{array} right|
$ и дополнительный к нему минор третьего порядка:

$M’=left| begin{array} {ccc}
3 & -3 & 19\
-5 & 16 & -20 \
-7 & 14 & -36 end{array} right|$. Обозначим алгебраическое дополнение минора $M$ как $M^*$. Тогда согласно определению:

$$
M^*=(-1)^alphacdot M’.
$$

Параметр $alpha$ равен сумме номеров строк и столбцов, на которых находится минор $M$. Этот минор расположен на пересечении строк №1, №3 и столбцов №2, №5. Следовательно, $alpha=1+3+2+5=11$. Итак:

$$
M^*=(-1)^{11}cdot M’=-left| begin{array} {ccc}
3 & -3 & 19\
-5 & 16 & -20 \
-7 & 14 & -36 end{array} right|.
$$

В принципе, используя формулу №2 из темы вычисления определителей второго и третьего порядков, можно довести вычисления до конца, получив значение $M^*$:

$$
M^*=-left| begin{array} {ccc}
3 & -3 & 19\
-5 & 16 & -20 \
-7 & 14 & -36 end{array} right|=-30.
$$

Минор и алгебраическое дополнение матрицы.

Определение.

Минором M_ij к элементу a_ij определителя n-го порядка называется определитель (n – 1)-го порядка, полученный из исходного определителя вычеркиванием i-той строки и j-того столбца.

Пример 1.

Найти миноры матрицы A

Решение:

M11 =

5 7 1 -4 1 0 2 0 3

=

1 0 0 3

M11 =

1 0 0 3

= 1·3 – 0·0 = 3 – 0 = 3

M12 =

-4 0 2 3

= -4·3 – 0·2 = -12 -0 = -12

M13 =

-4 1 2 0

= -4·0 – 1·2 = 0 – 2 = -2

M21 =

7 1 0 3

= 7·3 – 1·0 = 21 – 0 = 21

M22 =

5 1 2 3

= 5·3 – 1·2 = 15 – 2 = 13

M23 =

5 7 2 0

= 5·0 – 7·2 = 0 – 14 = -14

M31 =

7 1 1 0

= 7·0 – 1·1 = 0 – 1 = -1

M32 =

5 1 -4 0

= 5·0 – 1·(-4) = 0 + 4 = 4

M33 =

5 7 -4 1

= 5·1 – 7·(-4) = 5 + 28 = 33

Определение.

Алгебраическим дополнением A_ij к элементу a_ij определителя n-го порядка называется число

A_ij = (-1)^{i + j} · M_ij

Свойства алгебраического дополнения матрицы

• Сумма произведений элементов строки (столбца) определителя на алгебраические дополнения к элементам этой строки (столбца) равна определителю матрицы:

  n
  Σ	aij·Aij = det(A)
  j = 1

• Сумма произведений элементов строки (столбца) определителя на алгебраические дополнения к элементам другой строки (столбца) равна нулю:

  n
  Σ	akj·Aij = 0           (i ≠ k)
  j = 1

• Сумма произведений элементов “произвольной” строки на алгебраические дополнения к элементам i-той строки определителя равна определителю, в котором вместо i-той строки записана “произвольная” строка.

Пример 2.

Найти алгебраические дополнения матрицы A

Решение:

A₁₁ = (-1)^{1 + 1}·M₁₁ = (-1)²·

10
03

= 1·3 – 0·0 = 3 – 0 = 3

A₁₂ = (-1)^{1 + 2}·M₁₂ = (-1)³·

-40
23

= -(-4·3 – 0·2) = -(-12 -0) = 12

A₁₃ = (-1)^{1 + 3}·M₁₃ = (-1)⁴·

-41
20

= -4·0 – 1·2 = 0 – 2 = -2

A₂₁ = (-1)^{2 + 1}·M₂₁ = (-1)³·

71
03

= -(7·3 – 1·0) = -(21 – 0) = -21

A₂₂ = (-1)^{2 + 2}·M₂₂ = (-1)⁴·

51
23

= 5·3 – 1·2 = 15 – 2 = 13

A₂₃ = (-1)^{2 + 3}·M₂₃ = (-1)⁵·

57
20

= -(5·0 – 7·2) = -(0 – 14) = 14

A₃₁ = (-1)^{3 + 1}·M₃₁ = (-1)⁴·

71
10

= 7·0 – 1·1 = 0 – 1 = -1

A₃₂ = (-1)^{3 + 2}·M₃₂ = (-1)⁵·

51
-40

= -(5·0 – 1·(-4)) = -(0 + 4) = -4

A₃₃ = (-1)^{3 + 3}·M₃₃ = (-1)⁶·

57
-41

= 5·1 – 7·(-4) = 5 + 28 = 33