Как найти алгебраическую вероятность

Вероятность — очень лёгкая тема, если концентрироваться на смысле задач, а не на формулах. Найти вероятность того что — не просто. И  как решать задачи на вероятность?. Во-первых, что такое вероятность? Это шанс, что какое-то событие произойдёт. Если мы говорим, что вероятность некоторого события 50%, что это значит? Что оно либо произойдет, либо не произойдет — одно из двух. Таким образом подсчитать значение вероятности очень просто — нужно взять количество подходящих нам вариантов и разделить на количество всех возможных вариантов. Например, шанс получить решку при подбрасывании монеты это ½. Как мы получаем ½? Всего у нас два возможных варианта (орёл и решка), из них нам подходит один (решка), так мы и получаем вероятность ½.

Как мы уже с вами увидели, вероятность может быть выражена как в процентах, так и в обычных числах. Важно: на ЕГЭ вам нужно будет записать ответ в числах, не в процентах. Принято, что вероятность изменяется от 0 (никогда не произойдет) до 1 (абсолютно точно произойдет). Также можно сказать, что всегда

Вероятность подходящих событий + вероятность неподходящих событий = 1

Теперь мы точно понимаем, как считать вероятность отдельного события, и даже такие задачи есть в банке ФИПИ, но понятно, что на этом всё не заканчивается. Чтобы жизнь была веселее, в задачах на вероятность обычно происходят как минимум два события, и надо посчитать вероятность с учетом каждого из них.

Вероятность нескольких событий

Подсчитываем вероятность каждого события в отдельности, затем между дробями ставим знаки:

1. Если нужно первое И второе событие, то умножаем.

2. Если нужно первое ИЛИ второе событие, то складываем.

Задачи и решения задач на вероятность

Задача 1. Среди натуральных чисел от 23 до 37 случайно выбирают одно число. Найдите вероятность того, что оно не делится на 5.

Решение:

Вероятность, это отношение благоприятных вариантов к общему их количеству.

Всего в этом промежутке 15 чисел. Из них на 5 делится всего 3, значит не делится 12.

Вероятность тогда: 

Ответ: 0,8.

Задача 2. Для дежурства в столовой случайно выбирают двух учащихся класса. Какова вероятность того, что дежурить будут два мальчика, если в классе обучается 7 мальчиков и 8 девочек?

Решение: Вероятность, это отношение благоприятных вариантов к общему их количеству. В классе 7 мальчиков, это благоприятные варианты. А всего 15 учеников.

Вероятность что первый дежурный мальчик:

Вероятность что второй дежурный мальчик:

Раз оба должны быть мальчики, вероятности перемножим:

Ответ: 0,2.

Задача 3. На борту самолёта 12 мест рядом с запасными выходами и 18 мест за перегородками, разделяющими салоны. Остальные места неудобны для пассажира высокого роста. Пассажир В. высокого роста. Найдите вероятность того, что на регистрации при случайном выборе места пассажиру В. достанется удобное место, если всего в самолёте 300 мест.

Решение: Пассажиру В. удобны 30 мест (12 + 18 = 30), а всего в самолете 300 мест. Поэтому вероятность того, что пассажиру В. достанется удобное место равна 30/300, т. е. 0,1.

Задача 4. В сборнике билетов по математике всего 25 билетов, в 10 из них встречается вопрос по неравенствам.

Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по неравенствам.

Решение: Из 25 билетов 15 не содержат вопроса по неравенствам, поэтому вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по неравенствам, равна 15/25, т. е. 0,6.

Задача 5. В сборнике билетов по химии всего 35 билетов, в 7 из них встречается вопрос по кислотам.

Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по кислотам.

Решение: Из 35 билетов 28 не содержат вопроса по кислотам, поэтому вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по кислотам, равна 28/35, т. е. 0,8.

Задача 6. В среднем из 500 садовых насосов, поступивших в продажу, 2 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.

Решение: Если из 500 насосов 2 подтекают, то 498 не подтекают. Следовательно, вероятность выбора хорошего насоса — 498/500, т. е. 0,996.

Задача 7. Вероятность того, что новый пылесос в течение года поступит в гарантийный ремонт, равна 0,065. В некотором городе из 1000 проданных пылесосов в течение года в гарантийную мастерскую поступило 70 штук.

На сколько отличается частота события «гарантийный ремонт» от его вероятности в этом городе?

Решение: Частота события «гарантийный ремонт» равна 70/1000, т. е. 0,07. Она отличается от предсказанной вероятности на 0,005 (0,07 – 0,065 = 0,005).

Задача 8. В чемпионате по гимнастике участвуют 50 спортсменок: 18 из России, 14 из Украины, остальные — из Белоруссии. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием.

Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Белоруссии.

Решение: Всего участниц на чемпионате 50, а спортсменок из Белоруссии — 18 (50 – 18 – 14 = 18).

Вероятность того, что первой будет выступать спортсменка из Белоруссии — 18 из 50, т. е. 18/50, или 0,36.

Задача 9. Научная конференция проводится в 5 дней. Всего запланировано 80 докладов — первые три дня по 12 докладов, остальные распределены поровну между четвертым и пятым днями. Порядок докладов определяется жеребьёвкой.

Какова вероятность, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции?

Решение: За первые три дня будут прочитаны 36 докладов (12 ∙ 3 = 36), на последние два дня планируется 44 доклада. Поэтому на последний день запланировано 22 докладов (44 : 2 = 22). Значит, вероятность того, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции, равна 22/80, т. е. 0,275.

Задача 10.

Перед началом первого тура чемпионата по шахматам участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 шахматистов, среди которых 14 участников из России, в том числе Егор Косов.

Найдите вероятность того, что в первом туре Егор Косов будет играть с каким-либо шахматистом из России?

Решение: В первом туре Егор Косов может сыграть с 25 шахматистами (26 – 1 = 25), из которых 13 ― из России. Значит, вероятность того, что в первом туре Егор Косов будет играть с каким-либо шахматистом из России, равна 13/25, или 0,52.

Задача 11.

В чемпионате мира участвуют 16 команд. С помощью жребия их нужно разделить на четыре группы по четыре команды в каждой. В ящике вперемешку лежат карточки с номерами групп: 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4.

Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова вероятность того, что команда России окажется во второй группе?

Решение: Вероятность того, что команда России окажется во второй группе, равна отношению количества карточек с номером 2, к общему числу карточек, т. е. 4/16, или 0,25.

Задача 12.  В группе туристов 5 человек. С помощью жребия они выбирают двух человек, которые должны идти в село за продуктами. Турист А. хотел бы сходить в магазин, но он подчиняется жребию. Какова вероятность того, что А. пойдёт в магазин?

Решение: Выбирают двоих туристов из пяти. Следовательно, вероятность быть выбранным равна 2/5, т. е. 0,4.

Задача 13. В группе туристов 30 человек. Их вертолётом в несколько приёмов забрасывают в труднодоступный район по 6 человек за рейс. Порядок, в котором вертолёт перевозит туристов, случаен. Найдите вероятность того, что турист П. полетит первым рейсом вертолёта.

Решение: На первом рейсе 6 мест, всего мест 30. Тогда вероятность того, что турист полетит первым рейсом вертолёта, равна 6/30, или 0,2.

Задача 14. Какова вероятность того, что случайно выбранное натуральное число от 10 до 19 делится на три?

Решение: Натуральных чисел от 10 до 19 десять, из них на 3 делятся три числа: 12, 15 и 18. Следовательно, искомая вероятность равна 3/10, т. е. 0,3.

Вероятность нескольких событий

Задача 1. Перед началом волейбольного матча капитаны команд тянут честный жребий, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Стартер» по очереди играет с командами «Ротор», «Мотор» и «Стратор». Найдите вероятность того, что «Стартер» будет начинать только вторую игру.

Решение: 

Тип вопроса: совмещение событий.

Нас устроит следующий вариант: «Статор» не начинает первую игру, начинает вторую игру, не начинает третью игру. Вероятность такого развития событий равна произведению вероятностей каждого из этих событий. Вероятность каждого из них равна 0,5, следовательно: 0,5 · 0,5 · 0,5 = 0,125.

Задача 2. Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы 4 очка в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 3 очка, в случае ничьей ― 1 очко, если проигрывает ― 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,4.

Решение: 

Тип вопроса: совмещение событий.

Задачу выполняют несколько вариантов:

Игра №1	Игра №2	Вероятность данного варианта
3	1	0,4 · 0,2 = 0,08
1	3	0,2 · 0,4 = 0,08
3	3	0,4 · 0,4 = 0,16

Вероятность происхождения какого-либо их этих 3-х вариантов равна сумме вероятностей каждого из вариантов: 0,08 + 0,08 + 0,16 = 0,32.

Задача 3. В классе учится 21 человек. Среди них две подруги: Аня и Нина. Класс случайным образом делят на 7 групп, по 3 человека в каждой. Найти вероятность того что Аня и Нина окажутся в одной группе.

Решение: 

Тип вопроса: уменьшение групп.

Вероятность попадания Ани в одну из групп равна 1. Вероятность попадания Нины в ту же группу равна 2 из 20 (2 оставшихся места в группе, а человек осталось 20). 2/20 = 1/10 = 0,1.

Задача 4. В кармане у Пети было 4 монеты по рублю и 2 монеты по два рубля. Петя, не глядя, переложил какие-то 3 монеты в другой карман. Найдите вероятность того, что обе двухрублёвые монеты лежат в одном кармане.

Решение:

Способ №1

Тип задачи: уменьшение групп.

Представим, что шесть монет делят на две группы по три монеты. Вероятность, что первая однорублевая монета попадет в один из карманов (групп) = 1.

Вероятность, что две двухрублевые монеты попадут в этот же карман = количество оставшихся мест в этом кармане/на количество оставшихся мест в обоих карманах = 2/5 = 0,4.

Способ №2

Тип вопроса: совмещение событий.

Задачу выполняют в несколько вариантов:

Если Петя переложил в другой карман три из четырех рублевых монет (а двухрублевые не перекладывал), или если переложил в другой карман обе двухрублевые монеты и одну рублевую одним из трех способов: 1, 2, 2; 2, 1, 2; 2, 2, 1. Можно изобразить это на схеме (перекладывает Петя в карман 2, поэтому будем высчитывать вероятности в колонке «карман 2»):

Вероятность происхождения какого-либо их этих 4-х вариантов равна сумме вероятностей каждого из вариантов: 

Задача 5. В кармане у Пети было 2 монеты по 5 рублей и 4 монеты по 10 рублей. Петя, не глядя, переложил какие-то 3 монеты в другой карман. Найдите вероятность того, что пятирублевые монеты лежат теперь в разных карманах.

Решение:

Тип задачи: уменьшение групп.

Способ №1

Представим, что шесть монет делят на две группы по три монеты. Вероятность, что первая двухрублевая монета попадет в один из карманов (групп) = 1. Вероятность, что вторая монета попадет в другой карман = количество оставшихся мест в другом/ на количество оставшихся мест в обоих карманах = 3/5 = 0,6.

Способ №2

Тип вопроса: совмещение событий.

Задачу выполняют несколько вариантов:

Чтобы пятирублевые монеты оказались в разных карманах, Петя должен взять из кармана одну пятирублевую и две десятирублевые монеты. Это можно сделать тремя способами: 5, 10, 10; 10, 5, 10 или 10, 10, 5. Можно изобразить это на схеме (перекладывает Петя в карман 2, поэтому будем высчитывать вероятности в колонке «карман 2»):

Вероятность происхождения какого-либо их этих 4-х вариантов равна сумме вероятностей каждого из вариантов: 

Задача 6. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно два раза.

Решение: Тип вопроса: нахождение желаемого и действительного совмещение событий Нас устраивают три варианта:

Орёл ― решка ― орёл;

Орёл ― орёл ― решка;

Решка ― орёл ― орёл;

Вероятность каждого случая ― 1/2, а каждого варианта ― 1/8 (1/2 ∙ 1/2 ∙ 1/2 = 1/8)

Нас устроит либо первый, либо второй, либо третий вариант. Следовательно, складываем их вероятности и получаем 3/8 (1/8 + 1/8 + 1/8 = 3/8), т. е. 0,375.

Задача 7. Если гроссмейстер А. играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Б. с вероятностью 0,5. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,34. Гроссмейстеры А. и Б. играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.

Решение: 

Тип вопроса: совмещение событий.

В любом случае А. будет играть как белыми, так и черными, поэтому нас устроит вариант, когда гроссмейстер А. выиграет, играя белыми (вероятность ― 0,5), а также играя чёрными (вероятность ― 0,34). Поэтому надо перемножить вероятности этих двух событий: 0,5 ∙ 0,34 = 0,17.

Задача 8. Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,02. Покупатель в магазине выбирает случайную упаковку, в которой две таких батарейки. Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся исправными.

Решение: 

Тип вопроса: совмещение событий.

Вероятность того, что батарейка исправна, равна 0,98. Покупателю надо, чтобы и первая, и вторая батарейка были исправны: 0,98 · 0,98 = 0,9604.

Задача 9. На рок-фестивале выступают группы ― по одной от каждой из заявленных стран. Порядок выступления определяется жребием. Какова вероятность того, что группа из США будет выступать после группы из Канады и после группы из Китая? Результат округлите до сотых.

Решение: 

Тип вопроса: совмещение событий.

Общее количество выступающих на фестивале групп для ответа на вопрос неважно. Сколько бы их ни было, для указанных стран есть 6 способов взаимного расположения среди выступающих (КИТ — Китай, КАН = Канада):

… США, КАН, КИТ …

… США, КИТ, КАН …

… КИТ, США, КАН …

… КАН, США, КИТ …

… КАН, КИТ, США …

… КИТ, КАН, США …

США находится после Китая и Канады в двух последних случаях. Поэтому вероятность того, что группы случайным образом будут распределены именно так, равна:

≈ 0,33.

Дополняющая вероятность

Задача 1. 

Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,02. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,97. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,05.

Найдите вероятность того, что случайно выбранная батарейка будет забракована.

Решение: 

Существуют 2 варианта, которые нам подходят:

Вариант А: батарейка забракована, она неисправна;

Вариант Б: батарейка забракована, она исправна.

Вероятность варианта А: 0,02 ∙ 0,97 = 0,0194;

Вероятность варианта Б: 0,05 ∙ 0,98 = 0,049;

Нас устроит либо первый, либо второй вариант: 0,0194 + 0,049 = 0,0684.

Задача 2. Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 60% этих стекол, вторая — 40%. Первая фабрика выпускает 3% бракованных стекол, а вторая — 5%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.

Решение: 

Вероятность того, что стекло куплено на первой фабрике и оно бракованное: 0,6 · 0,03 = 0,018.

Вероятность того, что стекло куплено на второй фабрике и оно бракованное: 0,4 · 0,05 = 0,02.

Вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным, равна 0,018 + 0,02 = 0,038.

Задача 3. На фабрике керамической посуды 10% произведённых тарелок имеют дефект. При контроле качества продукции выявляется 80% дефектных тарелок. Остальные тарелки поступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов. Результат округлите до тысячных.

Решение: 

Предположим, у нас х тарелок изначально (ведь мы постоянно имеем дело с процентами, поэтому нам ничего не мешает оперировать конкретными величинами).

Тогда 0,1х — дефектные тарелки, а 0,9х — нормальные, которые поступят в магазин сразу. Из дефектных убирается 80%, то есть 0,08х, и остаётся 0,02х, которые тоже пойдут в магазин. Таким образом, общее количество тарелок на полках в магазине окажется: 0,9х + 0,02х = 0,92х. Из них нормальными будет 0,9х. Соответственно, по формуле вероятность будет 0,9х/0,92х ≈ 0,978.

Задача 4. По отзывам покупателей Игорь Игоревич оценил надёжность двух интернет-магазинов. Вероятность того, что нужный товар доставят из магазина А, равна 0,91. Вероятность того, что этот товар доставят из магазина Б, равна 0,89. Игорь Игоревич заказал товар сразу в обоих магазинах. Считая, что интернет-магазины работают независимо друг от друга, найдите вероятность того, что ни один магазин не доставит товар.

Решение. Вероятность того, что первый магазин не доставит товар, равна 1 − 0,91 = 0,09. Вероятность того, что второй магазин не доставит товар, равна 1 − 0,89 = 0,11. Вероятность происхождения двух этих событий одновременно равна произведению вероятностей каждого из них: 0,09 · 0,11 = 0,0099.

Задача 5. При изготовлении подшипников диаметром 70 мм вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного меньше чем на 0,01 мм, равна 0,961. Найдите вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше чем 69,99 мм или больше чем 70,01 мм.

Решение: Нам дана вероятность события, при котором диаметр будет в пределах между 69,99 мм и 70,01 мм, и она равна 0,961. Вероятность всех остальных вариантов мы можем найти по принципу дополняющей вероятности: 1 − 0,961 = 0,039.

Задача 6. Вероятность того, что на тесте по истории учащийся верно решит больше 9 задач, равна 0,68. Вероятность того, что верно решит больше 8 задач, равна 0,78. Найдите вероятность того, что верно решит ровно 9 задач.

Решение: Вероятность того, что Т. верно решит более 8 задач, включает в себя вероятность решения ровно 9 задач. При этом, события, при которых О. решит больше 9 задач, нам не подходят. Следовательно, отняв от вероятности решения более 9 задач вероятность решения более 8 задач, мы и найдём вероятность решения только 9 задач: 0,78 – 0,68 = 0,1.

Задача 7. Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 21 пассажира, равна 0,88. Вероятность того, что окажется меньше 12 пассажиров, равна 0,66. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 12 до 20.

Решение. Вероятность того, что в автобусе окажется меньше 21 пассажира, включает в себя вероятность, что в нём окажутся от 12 до 20 пассажиров. При этом события, при которых пассажиров будет меньше 12, нам не подходят. Следовательно, отняв от первой вероятности (менее 21) вторую вероятность (менее 12), мы и найдём вероятность того, что пассажиров будет от 12 до 20 : 0,88 – 0,66 = 0,22.

Задача 8. В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,9 погода завтра будет такой же, как и сегодня. 10 апреля погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 13 апреля в Волшебной стране будет отличная погода.

Решение:

Задачу выполняют несколько вариантов («Х» — хорошая погода, «О» — отличная погода):

11 апреля	12 апреля	13 апреля	Вероятность данного варианта
X – 0,9	X – 0,9	O – 0,1	0,9 ·0,9 ·0,1 = 0,081
X – 0,9	O – 0,1	O – 0,9	0,9 ·0,1 ·0,9 = 0,081
O – 0,1	O – 0,9	O – 0,9	0,1 ·0,9 ·0,9 = 0,081
O – 0,1	X – 0,1	O – 0,1	0,1 ·0,1 ·0,1 = 0,001

Вероятность происхождения какого-либо их этих 4-х вариантов равна сумме вероятностей каждого из вариантов: 0,081 + 0,081 + 0,081 + 0,001 = 0,244.

Задача 9. В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,8 погода завтра будет такой же, как и сегодня. Сегодня 3 июля, погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 6 июля в Волшебной стране будет отличная погода.

Решение:

Задачу выполняют несколько вариантов («Х» ― хорошая погода, «О» ― отличная погода):

4 июля	5 июля	6 июля	Вероятность данного варианта
X – 0,8	X – 0,8	O – 0,2	0,8 · 0,8 · 0,2 = 0,128
X – 0,8	O – 0,2	O – 0,8	0,8 · 0,2 · 0,8 = 0,128
O – 0,2	O − 0,8	O − 0,8	0,2 · 0,8 · 0,8 = 0,128
O – 0,2	X – 0,2	O – 0,2	0,2 · 0,2 · 0,2 = 0,008

Вероятность происхождения какого-либо их этих 4 ― х вариантов равна сумме вероятностей каждого из вариантов: 0,128 + 0,128 + 0,128 + 0,008 = 0,392.

На этой странице вы узнаете

• Как кот может быть одновременно жив и мертв? 
• Можно ли всегда выигрывать спор с монеткой? 
• Если рандомно ответить на вопрос теста, какой шанс угадать ответ?

Какова вероятность выиграть в лотерею? Исследователи подсчитали: один на восемь миллионов. «Или выиграю, или проиграю», — решаю я, покупая лотерейный билет. Так понятие вероятности преследует нас в обычной жизни. И не только в лотерее. Давайте разберемся подробнее.

Вероятность

Выходя утром из дома, мы задумываемся: брать ли с собой зонт? Проверяем прогноз погоды — вероятность выпадения осадков 2%. Зонтик нам сегодня вряд ли понадобится. В пути нас настигает ливень…

Прогноз погоды — самый яркий пример вероятности. Он не всегда бывает точный, не всегда сбывается. Мы не можем с уверенностью сказать, что будет завтра. Зато можем по совокупности факторов определить, на какую погоду стоит ориентироваться. 

Теория вероятности — один из разделов математики, в котором изучаются модели случайных экспериментов. 

Случайными экспериментами называются такие, результаты которых неизвестны заранее. Подбрасывая монетку, мы не знаем, что выпадет — орел или решка. Только поймав монетку, мы узнаем результат. 

Рассмотрим чуть подробнее пример с монеткой. Есть всего два варианта, какое событие может произойти:

• выпадет орел;
• выпадет решка. 

Эти два события образуют множество элементарных событий. 

Множество элементарных событий — множество всех возможных результатов случайного эксперимента. 

В случае выше их всего два. А если мы будем подбрасывать игральную кость, то их будет уже 6. Множество элементарных событий будет менять в зависимости от ситуации. 

Допустим, мы поспорили с друзьями, что выпадет орел. Для нас это событие будет благоприятным, поскольку мы выиграем спор. Второе событие будет неблагоприятным, потому что спор будет проигран. 

Как найти вероятность, что мы выиграем спор? Нужно разделить число благоприятных событий на общее число событий. Таким образом, мы получили классическое определение вероятности. 

Вероятность — отношение количества благоприятных событий к количеству всех возможных событий. 

Пусть m — количество благоприятных исходов, а n — количество всех событий. Получаем следующую формулу. 

(P = frac{m}{n})

Вероятность можно обозначить, как P(x), где х — некоторое событие. 

Заметим, что количество благоприятных исходов должно быть либо меньше, либо равно количеству всех исходов. Если благоприятных событий больше, чем всех, значит, мы нашли не все множество элементарных событий.

Когда вероятность равна 1, то такое событие точно наступит. Иначе говоря, мы можем быть уверены на 100% — оно произойдет.

Вероятность всегда будет меньше или равна 1. Но ее можно выразить и через проценты. Для этого достаточно умножить полученный результат на 100%. 

Пример 1. На ресепшене одного из отелей стоит ваза с конфетами. В вазе 56 яблочных конфет, 49 апельсиновых и 35 малиновых. Гость отеля наугад тянет конфету. Какова вероятность, что ему попадется апельсиновая конфета?

Решение. Найдем, сколько всего конфет в вазе: 56 + 49 + 35 = 140. Вероятность вытащить апельсиновую конфету будет равна 
(frac{49}{140} = 0,35)

Выразим в процентах:  
0,35 * 100% = 35%

Задача решена. Обычно в ответе пишут значение вероятности через дробное число, а не проценты. Поэтому получаем следующий ответ. 

Ответ: 0,35

Чтобы выразить вероятность через проценты в одно действие, достаточно воспользоваться следующей формулой. 

(P = frac{m}{n} * 100%)

Но что, если нам нужно найти вероятность для более сложных экспериментов? Первым делом нужно определить, какие события перед нами.

Равновозможные и противоположные события

Когда мы бросаем игральную кость, вероятность выпадения любого из чисел равна 16. То есть вероятности выпадения чисел равны между собой. Такие события называются равновозможными. 

Равновозможные события — такие события, что по условиям опыта ни одно из них не является более возможным, чем другие. 

Вероятности появления событий равны. 

Для игрального кубика существует всего шесть событий, которые могут произойти: выпадет число 1, 2, 3, 4, 5 или 6. Все эти события образуют полную группу событий. 

Полная группа событий — такая группа событий, если в результате опыта обязательно появится хотя бы одно из них. 

В результате подбрасывания монеты выпадет либо орел, либо решка. То есть полная группа событий состоит из двух событий. 

Мы подбросили монету и выпал орел. Следовательно, не выпала решка. 

А если не выпадет орел? Обязательно выпадет решка. Эти события будут называться противоположными. 

Противоположные события — такие события, если при не наступлении одного обязательно наступает второе. 

Обозначим событие “выпала решка” как A. Противоположное ему событие “выпал орел” обозначим как (overline{A}). 

Заметим, что вероятность события A равняется 12, как и вероятность события (overline{A}). Чему равна их сумма?

)frac{1}{2} + frac{1}{2} = 1) 

Так мы вывели связь между противоположными событиями. Поскольку они всегда образуют полную группу событий, то сумма их вероятностей будет равна 1. 

(P(A) + P(overline{A}) = 1)

Какие еще примеры противоположных событий можно назвать? Ясная и дождливая погода. Если наступает одно из этих событий, то второе уже не может наступить. 

Объединение и пересечение событий 

Допустим, у нас есть два события: сегодня пойдет снег и сегодня пойдет дождь. Что будет, если мы их объединим? 

Объединение событий — событие, состоящее из всех элементарных исходов, благоприятствующих хотя бы одному из событий. 

В этом случае мы получим событие, которое будет выполняться при любом из исходов: и если пойдет снег, и если не пойдет снег. 

Объединение событий обозначается знаком (cup). Объединение событий А и В можно записать как (A cup B). 

Рассмотрим немного другой пример. В первое событие входит, что Илья получит пятерку по физике, а второе событие — Антон получит пятерку по физике. А как можно назвать событие, если оба мальчика получат пятерку по физике?

Пересечение событий — событие, состоящее из всех элементарных исходов, благоприятствующих обоим событиям. 

Пересечение событий обозначается знаком (cap). Пересечение событий А и В можно записать как (A cap B). 

Несовместные и совместные события

Рассмотрим два события: “чайник исправно работает” и “чайник сломался”. Могут ли эти события существовать одновременно? Нет, поскольку появление одного из них исключает появление другого.

Такие события называются несовместными. Название само говорит, что события не могут существовать одновременно. 

Несовместные события — такие события, появление одного из которых исключает появление другого. 

Решим небольшую задачу. На экзамене есть несколько билетов. С вероятностью 0,5 попадется билет по планиметрии. С вероятностью 0,3 попадется билет по экономике. При этом не существует билетов, которые включают обе эти темы. С какой вероятностью на контрольной попадется билет по одной из этих тем?

Представим билеты в виде схемы. Заметим, что нам нужно объединить два из трех кругов, то есть сложить их вероятности. 

Следовательно, вероятность будет равна 0,5 + 0,3 = 0,8.

Сформулируем определение суммы вероятностей двух несовместных событий. 

Если существуют несовместные события, то существуют и совместные. 

Совместные события — события, наступление одного из которых не исключает наступления другого. 

В магазине работают два консультанта. Один из них занят общением с клиентом. Означает ли это, что второй консультант тоже занят?  Нет, поскольку они работают независимо друг от друга. Если занят первый консультант, второй может быть как занят, так и нет. 

Подбросим игральный кубик и рассмотрим два вида событий. Пусть событие А — это “выпадет число 2”, событие В — “выпадет четное число”. 

Найдем вероятность события А: (frac{1}{6}). 

Для события В всего три благоприятных исхода из шести: выпадет число 2, 4 или 6. Тогда вероятность наступления события В равна (frac{3}{6} = frac{1}{2})

Исключают ли события А и В друг друга? Нет, поскольку если произойдет событие А, произойдет и событие В. Когда произойдет событие В, есть вероятность, что произойдет и событие А. 

Найдем объединение совместных событий на примере кругов. Если мы наложим их друг на друга, то в середине получится как бы два слоя. Проверить это можно, если наложить друг на друга два листа бумаги. 

А нужно получить вот такую картину:

Поэтому для объединения двух кругов нам нужно будет исключить одну из серединок. 

В каких случаях нужно пользоваться формулой со сложением? Достаточно, чтобы задачу можно было сформулировать с помощью “или”. Например, нужно, чтобы выпали темы по планиметрии или по экономике. 

Независимые и зависимые события 

Прогуляемся в магазин за булочками. В упаковке две булочки, а сама упаковка непрозрачная, то есть увидеть булочки до вскрытия упаковки мы не можем. 

Известно, что на заводе, где изготавливаются булочки, 5 из 100 булочек подгорают. Значит, 95 из 100 булочек не подгорают. По классическому определению вероятности находим, что вероятность каждой булочки не подгореть равна (frac{95}{100} = 0,95). 

Какова вероятность, что в упаковке попадутся только не подгорелые булочки? Как найти вероятность сразу для двух булочек?

Ответим на вопрос: зависят ли булочки друг от друга? 

Если подгорит одна из булочек в упаковке, не обязательно подгорит другая. Следовательно, булочки не зависят друг от друга. Такие события называются независимыми. 

Независимые события — такие события, появление одного из которых не зависит от появления другого события. 

Определим вероятность независимых событий. 

Пусть вероятность, что подгорела первая булочка, будет равна Р(А) = 0,95, а вероятность для второй булочки будет равна Р(В) = 0,95. 

А чтобы найти вероятность независимых событий, нужно воспользоваться следующей формулой:

(P(A cap B) = P(A) * P(B))

Тогда вероятность, что булочки в одной упаковке не подгорят, равняется P = 0,95 * 0,95 = 0,9025. 

В каком случае нужно пользоваться этой формулой? Нужно подставить союз “и”. 

Мы хотим, чтобы в упаковке первая булочка была не подгорелой и вторая булочка была не подгорелой. 

Приведем еще один пример. В здании два автомата с кофе на разных этажах. Даже если сломается один из них, работа второго не будет зависеть от первого. 

Но если автоматы стоят  рядом и включены в одну розетку, то при поломке одного из них есть вероятность выхода из строя розетки, а значит, и второй автомат тоже сломается. Такие события будут зависимыми: появление одного из них зависит от появления другого. 

Предположим, что в мешке лежит семь кубиков: два из них оранжевые, а пять — фиолетовые. Из мешка дважды вытаскивают кубики. Какова вероятность, достать во второй раз именно фиолетовый кубик?

Нужная последовательность может быть в двух случаях:

• сначала вытащат фиолетовый кубик и потом снова фиолетовый;
• сначала вытащат оранжевый кубик, а потом фиолетовый. 

Разберем первый случай. Вероятность в первый раз вытащить фиолетовый кубик равна (frac{5}{7}). После этого в мешке останется шесть кубиков, четыре из которых будут фиолетовые. 

Вероятность вытащить во второй раз фиолетовый кубик равна (frac{5}{7} * frac{4}{6} = frac{20}{42} = frac{10}{21}). 

Теперь рассмотрим второй случай. Вероятность в первый раз достать оранжевый кубик равна (frac{2}{7}). В мешке останется шесть кубиков, пять из которых будут фиолетовыми. 

Вероятность вытащить во второй раз фиолетовый кубик будет уже равна (frac{2}{7} * frac{5}{6} = frac{10}{42} = frac{5}{21}). 

В этом примере очень наглядно видно, что вероятность напрямую зависит от того, какой кубик попался первым. Следовательно, эти события зависимы. 

Как отличить зависимые и независимые события? Если после наступления первого события меняется количество благоприятных и всех исходов, то такие события — зависимые. Если количество благоприятных и всех исходов не меняется, то события независимые.

Условная вероятность — вероятность некоторого события В при условии наступления некоторого события А. 

Условная вероятность обозначается P(B|A). В нашем примере условной вероятностью будет вычисление, что во второй раз попадется именно фиолетовый кубик.   

Найдем вероятность двух зависимых событий. Формула похожа на ту, что используется для независимых событий. Но в этот раз нам нужно применить условную вероятность. 

Формула Бернулли

Рассмотрим случаи, когда испытание повторяется многократно. Для этого еще раз обратимся к игральному кубику. Подбросим кубик 8 раз. Какова вероятность, что цифра 5 выпала ровно три раза?

Пусть p — вероятность, что выпадет цифра 5. Тогда (p = frac{1}{6}). 

Теперь возьмем q — противоположное р событие — вероятность, что цифра 5 не выпадет. (q = frac{5}{6}). 

Обозначим количество всех бросков за n, а количество выпадения цифры 5 за k. 

Чтобы решить задачу, нужно воспользоваться формулой Бернулли. 

(P_n(k) = C_n^k * p^k * q^{n — k}) 

Множитель (C_n^k) — это число сочетаний. Подробнее узнать про сочетания можно в статье «Основы комбинаторики». 

Решим задачу, подставив значения в формулу:

(P_8(3) = C_8^3 * (frac{1}{6})^3 * (frac{5}{6})^5 = frac{8!}{5!3!} * frac{1}{6^3} * frac{5^5}{6^5} = frac{6 * 7 * 8}{1 * 2 * 3} * frac{5^5}{6^8} approx 0,1) 

Фактчек

• Вероятность — отношение количества благоприятных событий к количеству всех возможных событий. 
• События могут быть противоположными. Противоположные события — такие события, если при не наступлении одного обязательно наступает второе. 
• События можно разделить на совместные и несовместные. Несовместные события — такие события, появление одного из которых исключает появление другого. Если события А и В несовместны, то вероятность их объединения равна сумме их вероятностей: P(A (cup) B) = P(A) + P(B). Совместные события — события, наступление одного из которых не исключает наступления другого. Если события А и В совместны, то вероятность их объединения равна сумме их вероятностей без вероятности их пересечения: P(A cup B) = P(A) + P(B) — P(A cap B).
• События также можно разделить на независимые и зависимые. Независимые события — такие события, появление одного из которых не зависит от появления другого события. Вероятность независимых событий можно найти по формуле P(A cap B) = P(A) * P(B). Зависимые события — это события, появление одного из которых зависит от появления другого. Вероятность появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, при условии, что первое событие уже наступило. P(A cap B) = P(A) * P(B | A). 
• Условная вероятность — вероятность некоторого события В при условии наступления некоторого события А. 

Проверь себя

Задание 1. 
Какие события являются несовместными?

1. Подбрасывание монетки.
2. Брак батареек в одной упаковке.
3. “Миша идет” и “Миша стоит”.
4. Случайное вытаскивание конфет из вазы. 

Задание 2. 
Алена делает ошибку при решении задач по математике с вероятностью 0,17. С какой вероятностью она не сделает ошибку при решении задачи?

1. 0,17
2. 1
3. 0,83
4. 1,17 

Задание 3. 
Артем решал задачи на вероятность. Ниже приведены его ответы. В какой из задач он точно совершил ошибку?

1. 1
2. 0,216
3. 0,45
4. 1,5 

Задание 4. 
В упаковке три шариковые ручки. С вероятностью 0,1 такая ручка не будет писать. Найдите вероятность, что все три ручки в упаковке пишут. 

1. 0,3
2. 0,001
3. 2,7
4. 0,729 

Задание 5. 
Перед Дашей лежит несколько карточек. Она случайно переворачивает одну из них. С вероятностью 0,5 на карточке окажется рисунок природы. С вероятностью 0,27 на карточке окажется мотивационная цитата. Карточек и с рисунком, и с цитатой нет. Найдите вероятность, что Дана перевернет карточку или с рисунком, или с цитатой. 

1. 0,77
2. 0,135
3. 0,23
4. -0,23

Ответы: 1. — 3 2. — 3 3. — 4 4. — 4 5. — 1

События, которые происходят реально или в нашем воображении, можно разделить на 3 группы. Это достоверные события, которые обязательно произойдут, невозможные события и случайные события. Теория вероятностей изучает случайные события, т.е. события, которые могут произойти или не произойти. В данной статье будет представлена в кратком виде теория вероятности формулы и примеры решения задач по теории вероятности, которые будут в 4 задании ЕГЭ по математике (профильный уровень).

Зачем нужна теория вероятности

Исторически потребность исследования этих проблем возникла в XVII веке в связи с развитием и профессионализацией азартных игр и появлением казино. Это было реальное явление, которое требовало своего изучения и исследования.

Игра в карты, кости, рулетку создавала ситуации, когда могло произойти любое из конечного числа равновозможных событий. Возникла необходимость дать числовые оценки возможности наступления того или иного события.

В XX веке выяснилось, что эта, казалось бы, легкомысленная наука играет важную роль в познании фундаментальных процессов, протекающих в микромире. Была создана современная теория вероятностей.

Основные понятия теории вероятности

Объектом изучения теории вероятностей являются события и их вероятности. Если событие является сложным, то его можно разбить на простые составляющие, вероятности которых найти несложно.

Суммой событий А и В называется событие С, заключающееся в том, что произошло либо событие А, либо событие В, либо события А и В одновременно.

Произведением событий А и В называется событие С, заключающееся в том, что произошло и событие А и событие В.

События А и В называется несовместными, если они не могут произойти одновременно.

Событие А называется невозможным, если оно не может произойти. Такое событие обозначается символом .

Событие А называется достоверным, если оно обязательно произойдет. Такое событие обозначается символом .

Пусть каждому событию А поставлено в соответствие число P{А). Это число P(А) называется вероятностью события А, если при таком соответствии выполнены следующие условия.

1. Вероятность принимает значения на отрезке от 0 до 1, т.е. .
2. Вероятность невозможного события равна 0, т.е. .
3. Вероятность достоверного события равна 1, т.e. .
4. Если события A и В несовместные, то вероятность их суммы равна сумме их вероятностей, т.е. .

Важным частным случаем является ситуация, когда имеется равновероятных элементарных исходов, и произвольные  из этих исходов образуют события А. В этом случае вероятность можно ввести по формуле . Вероятность, введенная таким образом, называется классической вероятностью. Можно доказать, что в этом случае свойства 1-4 выполнены.

Задачи по теории вероятностей, которые встречаются на ЕГЭ по математике, в основном связаны с классической вероятностью. Такие задачи могут быть очень простыми. Особенно простыми являются задачи по теории вероятностей в демонстрационных вариантах. Легко вычислить число благоприятных исходов , прямо в условии написано число всех исходов .

Ответ получаем по формуле .

Пример задачи из ЕГЭ по математике по определению вероятности

На столе лежат 20 пирожков – 5 с капустой, 7 с яблоками и 8 с рисом. Марина хочет взять пирожок. Какова вероятность, что она возьмет пирожок с рисом?

Решение.

Всего равновероятных элементарных исходов 20, то есть Марина может взять любой из 20 пирожков. Но нам нужно оценить вероятность того, что Марина возьмет пирожок с рисом, то есть , где А – это выбор пирожка с рисом. Значит у нас количество благоприятных исходов (выборов пирожков с рисом) всего 8. Тогда вероятность будет определяться по формуле:

   

Ответ: 0,4

Независимые, противоположные и произвольные события

Однако в открытом банке заданий стали встречаться и более сложные задания. Поэтому обратим внимание читателя и на другие вопросы, изучаемые в теории вероятностей.

События А и В называется независимыми, если вероятность каждого из них не зависит от того, произошло ли другое событие.

Событие B состоит в том, что событие А не произошло, т.е. событие B является противоположным к событию А. Вероятность противоположного события равна единице минус вероятность прямого события,т.е. .

Теоремы сложения и умножения вероятностей, формулы

Для произвольных событий А и В вероятность суммы этих событий равна сумме их вероятностей без вероятности их совместного события, т.е. .

Для независимых событий А и В вероятность произведения этих событий равна произведению их вероятностей, т.е. в этом случае .

Последние 2 утверждения называются теоремами сложения и умножения вероятностей.

Не всегда подсчет числа исходов является столь простым. В ряде случаев необходимо использовать формулы комбинаторики. При этом наиболее важным является подсчет числа событий, удовлетворяющих определенным условиям. Иногда такого рода подсчеты могут становиться самостоятельными заданиями.

Сколькими способами можно усадить 6 учеников на 6 свободных мест? Первый ученик займет любое из 6 мест. Каждому из этих вариантов соответствует 5 способов занять место второму ученику. Для третьего ученика остается 4 свободных места, для четвертого — 3, для пятого — 2, шестой займет единственное оставшееся место. Чтобы найти число всех вариантов, надо найти произведение , которое обозначается символом 6! и читается “шесть факториал”.

В общем случае ответ на этот вопрос дает формула для числа перестановок из п элементов  В нашем случае .

Рассмотрим теперь другой случай с нашими учениками. Сколькими способами можно усадить 2 учеников на 6 свободных мест? Первый ученик займет любое из 6 мест. Каждому из этих вариантов соответствует 5 способов занять место второму ученику. Чтобы найти число всех вариантов, надо найти произведение .

В общем случае ответ на этот вопрос дает формула для числа размещений из n элементов по k элементам

   

В нашем случае .

И последний случай из этой серии. Сколькими способами можно выбрать трех учеников из 6? Первого ученика можно выбрать 6 способами, второго — 5 способами, третьего — четырьмя. Но среди этих вариантов 6 раз встречается одна и та же тройка учеников. Чтобы найти число всех вариантов, надо вычислить величину: . В общем случае ответ на этот вопрос дает формула для числа сочетаний из элементов по элементам:

   

В нашем случае .

Примеры решения задач из ЕГЭ по математике на определение вероятности

Задача 1. Из сборника под ред. Ященко.

На тарелке 30 пирожков: 3 с мясом, 18 с капустой и 9 с вишней. Саша наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что он окажется с вишней.

Решение:

.

Ответ: 0,3.

Задача 2. Из сборника под ред. Ященко.

В каждой партии из 1000 лампочек в среднем 20 бракованных. Найдите вероятность того, что наугад взятая лампочка из партии будет исправной.

Решение: Количество исправных лампочек 1000-20=980. Тогда вероятность того, что взятая наугад лампочка из партии будет исправной:

Ответ: 0,98.

Задача 3.

Вероятность того, что на тестировании по математике учащийся У. верно решит больше 9 задач, равна 0,67. Вероятность того, что У. верно решит больше 8 задач, равна 0,73. Найдите вероятность того, что У. верно решит ровно 9 задач.

Решение:

Если мы вообразим числовую прямую и на ней отметим точки 8 и 9, то мы увидим, что условие “У. верно решит ровно 9 задач” входит в условие “У. верно решит больше 8 задач”, но не относится к условию “У. верно решит больше 9 задач”.

Однако, условие “У. верно решит больше 9 задач” содержится в условии “У. верно решит больше 8 задач”. Таким образом, если мы обозначим события: “У. верно решит ровно 9 задач” – через А, “У. верно решит больше 8 задач” – через B, “У. верно решит больше 9 задач” через С. То решение будет выглядеть следующим образом:

.

Ответ: 0,06.

Задача 4.

На экзамене по геометрии школьник отвечает на один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос по теме «Тригонометрия», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос по теме «Внешние углы», равна 0,15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

Решение.

Давайте подумаем какие у нас даны события. Нам даны два несовместных события. То есть либо вопрос будет относиться к теме “Тригонометрия”, либо к теме “Внешние углы”. По теореме вероятности вероятность несовместных событий равна сумме вероятностей каждого события, мы должны найти сумму вероятностей этих событий, то есть:

Ответ: 0,35.

Задача 5.

Помещение освещается фонарём с тремя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,29. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

Решение:

Рассмотрим возможные события. У нас есть три лампочки, каждая из которых может перегореть или не перегореть независимо от любой другой лампочки. Это независимые события.

Тогда укажем варианты таких событий. Примем обозначения: – лампочка горит, – лампочка перегорела. И сразу рядом подсчитаем вероятность события. Например, вероятность события, в котором произошли три независимых события “лампочка перегорела”, “лампочка горит”, “лампочка горит”: , где вероятность события “лампочка горит” подсчитывается как вероятность события, противоположного событию “лампочка не горит”, а именно: .

 

 

 

 

 

Заметим, что благоприятных нам несовместных событий всего 7. Вероятность таких событий равна сумме вероятностей каждого из событий: .

Ответ: 0,975608.

Еще одну задачку вы можете посмотреть на рисунке:

Таким образом, мы с вами поняли, что такое теория вероятности формулы и примеры решения задач по которой вам могут встретиться в варианте ЕГЭ.

Содержание:

Алгебра событий:

С каждым испытанием связан ряд интересующих нас событий, которые, вообще говоря, могут появляться одновременно. Например, пусть при бросании игральной кости (т. е. кубика, на гранях которого имеются очки 1, 2, 3, 4, 5, 6) событие А есть выпадение одного очка, а событие В есть выпадение нечетного числа очков. Очевидно, эти события не исключают друг друга.

Пусть все возможные результаты испытания осуществляются в ряде единственно возможных частных случаев, взаимно исключающих друг друга (так называемые элементарные события или элементарные исходы). Тогда:

1. каждый исход испытания представляется одним и только одним элементарным событием;
2. всякое событие А, связанное с этим испытанием, есть множество (совокупность) конечного или бесконечного числа элементарных событий;
3. событие А происходит тогда и только тогда, когда реализуется одно из элементарных событий, входящих в это множество.

Пример:

Пусть событие А состоит в выпадении нечетного числа очков при однократном бросании игральной кости.

За элементарные события здесь могут быть приняты следующие результаты испытания: (1), (2), (3), (4), (5), (6). Событие А представляет собой множество событий {(1) (3), (5)}.

По аналогии с теорией множеств строится алгебра событий.

Определение: Под суммой двух событий А и В понимается событие

которое имеет место тогда и только тогда, когда произошло хотя бы одно из событий А и В.

В общем случае, под суммой нескольких событий понимается событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий.

Пример:

Пусть событие А есть выигрыш по займу I, а событие В — выигрыш по займу И. Тогда событие А + В есть выигрыш хотя бы по одному займу (возможно, по двум сразу!).

Определение: Произведением двух событий А и В называется событие

состоящее в одновременном появлении как события А, так и события В.

В общем случае, под произведением нескольких событий понимается событие, состоящее в одновременном осуществлении всех этих событий.

Пример:

Пусть события А и В есть успешные прохождения соответственно туров I и II при поступлении в институт. Тогда событие АВ представляет собой успешное прохождение обоих туров.

События А и Б называются несовместными в данном испытании, если произведение их есть событие невозможное, т. е.

АВ = О,

где О — невозможное событие.

Иными словами, два события несовместны, если появление одного из них исключает появление другого и наоборот.

Предмет теории вероятностей

Цель изучения основ теории вероятностей –
математической науки, изучающей закономерности случайных явлений. Случайные явления, как вам известно, – это явления, которые при многократном повторении (например, некоторого опыта) протекают каждый раз по-другому.

Заметим, что этот материал качественно отличается от ранее изученных разделов. Как вы знаете, в курсе политехнического университета, кроме теории вероятностей, рассматривается математический аппарат, позволяющий исследовать так называемые детерминированные явления, т.е. известные явления не содержащие каких – либо неопределенностей. Так вот, эти детерминированные явления, как правило, исследуются с помощью дифференциальных уравнений, описывающих математические модели реальных процессов. При этом предполагается, что параметры, входящие в эти уравнения являются заданными постоянными величинами или меняются по заданным функциональным зависимостям. Внешние возмущения, если таковы имеются, также заданы детерминировано.

Однако при изучении многих явлений такая точка зрения неприемлема, так как может оказаться, что, например, внешние воздействия на систему не детерминированные, а случайные (различные шумы, помехи и т.п.), проявляющие свою закономерность не в единичном явлении, а в их совокупности. В этом случае говорят о массовых случайных явлениях. Это означает, что закономерности, свойственные случайным явлениям, могут проявляться только при большом числе однородных опытов. В этой связи большое значение уделяется методам изучения случайных явлений (эти методы, кстати сказать, называются вероятностными или
статистическими). Другими словами, предметом теории вероятностей, как математической науки, как раз и является изучение закономерностей в массовых случайных явлениях независимо от их природы. Возникновение теории вероятностей относится к середине XVII в. и связано с именами Гюйгенса, Паскаля, Ферма и Якова Бернулли. В переписке Паскаля и Ферма, вызванной задачами, связанными с азартными играми, определились постепенно такие важные понятия, как вероятность и математическое ожидание.

При этом, конечно, нужно отдавать себе ясный отчет, что выдающиеся ученые, занимаясь задачами азартных игр, предвидели и фундаментальную роль науки, изучающей случайные явления. Следующий этап в развитии теории вероятностей связан с именем Якова Бернулли. Его теорема – закон больших чисел – первое теоретическое обоснование накопленных фактов.

Дальнейшими успехами теория вероятностей обязана Муавру, Лапласу, Гауссу, Пуассону, им принадлежит развитие первых аналитических методов теории вероятностей. Новый, наиболее плодотворный период связан с именами Чебышева и его учеников – Маркова и Ляпунова. Этот период становления теории вероятностей стал началом раздела математики.

Дальнейшее развитие теории вероятностей связано с именами советских математиков: Колмогорова, Хинчина, Гнеденко и др. В настоящее время роль теории вероятностей неоспорима.
 

Элементы теории множеств

Под множеством понимается любая (конечная или бесконечная) совокупность объектов с некоторой общей характеристикой (или, что то же самое – объектов одинаковой природы). Эти объекты, как вам известно еще со школы, называются элементами множества. Множества с конечным числом различных элементов могут быть описаны путем явного перечисления всех этих элементов: обычно, эти элементы заключаются в фигурные скобки. Например,  множество степеней двойки, заключенных между 1 и 10. Как правило, множество обозначается прописной буквой какого – либо алфавита, а его элементы – строчными буквами того же или другого алфавита.

Для некоторых особо важных множеств приняты стандартные обозначения, которых стоит придерживаться.

Так, буквами

• N – множество натуральных чисел
• Z – множество целых чисел
• Q – множество рациональных чисел
• R – множество вещественных (или действительных) чисел

При заданном множестве S включение указывает на то, что a – элемент множества S; в противном случае, как вы знаете, пишут Множество можно описать, указав свойство, присущее только элементам именно этого множества. Множество всех объектов, обладающих свойством  обозначают через Например: – множество всех четных чисел; – множество натуральных чисел. Множество, не содержащее элементов, называется пустым и его принято обозначать символом 

Говорят, что S – подмножество множества T или  если все элементы множества S являются также элементами множества T , то есть 

Два множества S и T совпадают (или равны), если у них одни и те же элементы.

Символически это выглядит так:

Заметим, что пустое множество (т.е. множество совсем не содержащее элементов) по определению входит в число подмножеств любого множества.
Если – называется собственным подмножеством в T . Для выделения подмножества часто используют какое – либо свойство, присущее только элементам из S .

Для множеств A,B,C справедливы следующие соотношения:

( значок  – это значок конъюнкции, т. е. логическое «и»). Конечное множество называется упорядоченным, если каждому элементу
этого множества поставлено в соответствие некоторое число (номер элемента) от 1 до n.
 

Операции над множествами

Для пояснения некоторых определений и свойств операций над множествами и различных соотношений между ними воспользуемся диаграммами Эйлера – Венна, на которых множества, подлежащие рассмотрению, изображаются в виде совокупности точек на плоскости.
 

1. Под пересечением (произведение) двух множеств S и T понимается множество:

2. Под объединением (сумма) двух множеств S и T понимается множество :

3. Разностью S T множеств S и T называется совокупность тех элементов, из S , которые не содержатся в T , то есть

4. Если (здесь U – основное , универсальное множество) то  будем называть дополнением множества S относительно

Можно еще много говорить о множествах, их свойствах, операциях над ними и т.п. Остановлюсь лишь на некоторых свойствах, указанных операций, после чего перейдем к новому разделу. Итак, для множеств A,B,C справедливы следующие соотношения:

1. Свойство коммутативности: 

2. Свойство дистрибутивности:

3. Свойство ассоциативности:

Элементы комбинаторики

Комбинаторика – это раздел математики, изучающий задачи о расположении или выборе элементов из множеств.

Группы, составленные из каких – либо предметов (любой, но одинаковой природы: буквы, числа, геометрические фигуры, детали и т. д.) называются соединениями (множествами). Сами предметы, их которых составляются соединения, называются элементами

Различают три основных типа соединений: размещения, перестановки и сочетания.
 

Размещениями из n различных элементов по в каждом называются такие соединения, из которых каждое содержит k элементов, взятых из числа данных n элементов, и которые (соединения) отличаются друг от друга либо хотя бы одним элементом, либо порядком их расположения. Число размещений обозначается и вычисляется по формуле:

 

Такие размещения называются размещениями без повторений.
 

Пример №1

В группе 25 студентов. Выбирают старосту, физорга и профорга. Каково число всех возможных вариантов выбора «треугольника» группы?
 

Решение. Получаемые комбинации (т.е. соединения) из 25 – и элементов по 3 в каждом являются размещениями, так как в них важен не только состав элементов «треугольника», но и расположение внутри него. Следовательно

 

Размещение с повторениями из n элементов по k элементов в каждом может содержать любой элемент сколько угодно раз от 1 до k включительно, либо не содержать его вовсе. Другими словами, каждое размещение с повторениями из n элементов по k может состоять не только из k каких угодно, но и как угодно повторяющихся элементов. Число размещений с повторениями вычисляется по формуле

 

Пример №2

Известно, что 4 студента сдали экзамен. Сколько возможно различных исходов экзамена (распределений оценок)?
 

Решение. Число элементов n=3 ( «3», «4», «5» ); k = 4. Последовательность, т. е. порядок элементов, существенна, повторения неизбежны.
Следовательно
 

Пример №3

Сколькими способами 10 пассажиров могут распределиться по 13 вагонам, если для каждого существенным является только № вагона, а не занимаемое место в нем?
 

Решение. Пусть – номер вагона, выбранного первым пассажиром, – номер вагона, выбранного вторым пассажиром, . . . , – номер вагона,
выбранного десятым пассажиром. Соединение (комбинация)  полностью характеризует распределение пассажиров по вагонам. Здесь каждое из чиселможет принимать любое целое значение от 1 до 13. Значит, различных распределений по вагонам будет столько, сколько подобных соединений (длиной 10) можно составить из элементов множества  Следовательно
 

Перестановками из n различных элементов называются такие соединения,
из которых каждое содержит все n элементов и которые отличаются друг от друга лишь порядком расположения элементов. Число таких перестановок из n различных элементов обозначается и вычисляется по формуле:

Так как число перестановок из n элементов – это то же самое, что и число размещений из n элементов по n в каждом, то можем записать:

 

Пример №4

Для проведения испытаний выбрано 5 различных моделей автомобилей. Сколькими способами они могут быть распределены между пятью испытателями?
 

Решение. Число способов, которыми можно распределить 5 автомобилей, равно числу комбинаций из 5 элементов по пять. Причем, сами комбинации отличаются друг от друга только порядком элементов, т.е. применимы перестановки. Следовательно

Если же среди n элементов имеются одинаковые, то такие перестановки называются перестановками с повторениями. Пусть имеется n элементов, среди которых , тогда число перестановок с повторениями
определяется по формуле

Пример №5

Каким числом способов можно распределить 9 цитрусовых между 9 студентами, если имеются 4 мандарина, 3 апельсина и 2 лимона?

Решение. Пусть m – мандарины, a – апельсины и l – лимоны. Тогда

Следовательно 

Сочетаниями из n различных элементов по в каждом называются такие соединения, из которых каждое содержит k элементов, взятых из числа данных n элементов, и которые отличаются друг от друга, по крайней мере, одним элементом. Число сочетаний из n различных элементов по k в каждом обозначают символом и вычисляют по формуле:

Уверены, вы отлично понимаете, что это определение является определением числа сочетаний без повторений.

Число сочетаний обладает следующими свойствами:

Этим свойством удобно пользоваться в случаях, когда Например,

Пример №6

На строительство общежития из 25 студентов требуется выбрать 3 человек. Каково число всех возможных вариантов выбора этой тройки?
 

Решение. Число возможных вариантов равно числу комбинаций (соединений) из 25 элементов по 3 в каждом. Причем комбинации отличаются друг от друга только составляющими их элементами, а порядок их расположения не имеет
значения. Следовательно 

Сочетание с повторениями из n элементов по k в каждом может содержать любой элемент сколько угодно раз от 1 до k включительно, либо не содержать его вовсе. Другими словами, каждое сочетание с повторениями из данных n элементов по k элементов в каждом может состоять не только из k различных элементов, но из k каких угодно и как угодно повторяющихся элементов.
Два сочетания по k элементов не считаются различными сочетаниями, если они отличаются друг от друга только порядком расположения элементов.Число сочетаний с повторениями вычисляется по формуле:

Пример №7

Каким числом способов можно составить расписание занятий из 3-х пар на один день, если изучается 10 предметов, которые могут повторяться в расписании. Расписания считаются различными, если отличаются друг от друга, хотя бы одним предметом (т.е. порядок предметов в расписании роли не играет)?

Решение.

Замечания.
 

Например. Сколькими способами можно выбрать четырехзначное число, все цифры которого различны?

2. При большом n пользуются приближенной формулой Стирлинга

Алгебра событий. Различные определения вероятности событий

Понятие события является первичным, как, например, в геометрии, понятие точки или прямой, а в математическом анализе – понятие множества.

Случайные события

Под случайным событием понимается все то, о чем имеет смысл говорить, что оно либо происходит, либо не происходит при выполнении определенной системы условий, то есть, всякий факт (явление), который в результате опыта может произойти или не произойти. Опытом (или – испытанием) называется выполнение некоторого комплекса условий. Случайное событие, состоящее только из одного исходы, называется элементарным событием. Элементарное событие, в свою очередь, являющееся результатом опыта, называется также исходом опыта.

Рассмотрим несколько примеров.

1. При измерении некоторой величины, результат измерения окажется равным некоторому заданному числу. Это событие.
2. В ящике находятся шары, различающиеся лишь цветом: белые, красные, синие. Из ящика наудачу извлекают один шар. Появление при этом шара, например, белого цвета – событие.
3. Попадание и промах при выстреле является событием.

Событие называется достоверным (обозначается U ), если оно обязательно происходит в результате данного испытания, т. е. при выполнении определенной совокупности условий S . Например, при бросании игральной кости (всем известного кубика с указанием числа очков на его шести гранях) событие «выпадение на верхней грани по крайней мере одного из шести очков» есть достоверное событие.

Событие называется невозможным (обозначается V ), если оно не может произойти в результате данного опыта. В предыдущем примере событие «выпадение на верхней грани игральной кости дробного числа очков» –
невозможное событие.

События мы будем обозначать заглавными печатными буквами латинского алфавита: A,B,C,…

Пространством элементарных событий будем называть всё множество исходов , взаимно исключающих друг друга в данном испытании (естественно, при выполнении определенной системы условий S ), дополненное V и U, как подмножеством самого себя. Заметим, что может быть как конечным, так и бесконечным множеством.

После этого определения, нетрудно сделать вывод, что случайным событием
называется любое подмножество пространства элементарных исходом . Ясно почему. Потому что, случайное событие, по определению, – это то событие, которое в результате данного опыта может произойти или не произойти. Ему благоприятствуют только некоторые исходы данного опыта. Значит, случайное событие и определяется как подмножество множества всех исходов опыта.

В рассмотренных примерах события являются случайными, их, как уже отмечалось, обозначают заглавными печатными буквами латинского алфавита: A,B,C,… Далее, если рассматривать случай бросания игральной кости, то при одном бросании элементарных исходов всего шесть. Обозначим их через
. Пространством элементарных исходов в этом случае является множество

Тогда, например, событие A – выпадение грани с четным числом очков можно записать в виде:  событие B выпадение грани с нечетным числом очков:

Геометрически событие будем обозначать (согласно Венну) множеством точек плоскости (см. рис.). Любое случайное событие есть подмножество множества

 

Отношения между событиями

1. Если при появлении события A событие B обязательно происходит, то говорят, что событие A влечет событие B . Обозначение
(Здесь и в дальнейшем будем пользоваться известными символами теории множеств). Например, A- выпадение на верхней грани игральной кости числа очков, кратного 3, а B – выпадение числа очков, кратного 2. Тогда, случай – выпадение на верхней грани числа очков равного 6, влечет событие A и событие B .

2. Говорят, что события A и B эквивалентны (равноправны) и пишут
 

3. События A и B называются несовместными в данном испытании,если появление одного из них автоматически исключает появление другого.
 

В противном случае события A и B называются совместными. Другими словами, в результате испытания возможно их совместное осуществление, т. е. соответствующие множества A и B имеют общие элементы.

Например, при единичном бросании игральной кости событие A – выпадение грани с четным числом очков и событие B – выпадение грани с нечетным числом очков – н е с о в м е с т н ы, а событие C – выпадение числа очков, кратного 3 и D – выпадение числа очков, кратного 2 – с о в м е с т н ы, так как в пространстве элементарных исходов есть случай и 
 

4. Противоположным событием для события A называется дополнение множества , т.е.наступает при условии, что A не происходит ( A состоит из элементов , не вошедших в A). Другими словами, состоит в непоявлении A. Так

очевидно, что событие B – выпадение грани с нечетным числом очков, является противоположным событием для события A – выпадение грани с четным числом очков, то есть
 

Операции над событиями

1. Суммой (или объединением) двух событий A и B называется событие  и состоящее в том, что появляется (происходит) хотя бы одно из указанных событий A или B . Другими словами – появляется или A, или B , или A и B одновременно. Сумма совместных событий A и B показана на рис.1, а сумма несовместных событий – на рис.2.

Сумма (объединение) событий обозначается  Замечу, что– т. е. достоверное событие.
 

2. Произведением (или пересечением) нескольких событий  называется событие, представляющее собой совместное появление этих событий. Обозначается ( или )

Например, если рассматривать два события A и B , то их произведение обозначает появление и события A, и события B одновременно (см. Рис.3) Очевидно, если A и B несовместны, то  невозможное событие (или . Кроме того, если вы вспомните свойства операций над множествами, то очевидно, что выполняется принцип двойственности:
 

3. Разность событий A и B называется событие, обозначаемое AB и состоящее в том, что A происходит, а B при этом не происходит. Очевидно, что противоположное для A событие  Введем теперь одно из важных понятий – понятие полной системы (или
полной группы) событий.
 

Определение: Система (или – группа) событий называется полной, если она является несовместной (а именно – попарно несовместной), то есть

и сумма (объединение) этих событий составляет достоверное событие:

т.е. в результате некоторого опыта хотя бы одно из них обязательно происходит.

Например, при бросании игральной кости события A – выпадение на верхней грани четного числа очков -выпадение на верхней грани нечетного числа очков составляет полную группу событий, так как – невозможное событие достоверное событие При одном бросании монеты, события A – появление герба и B – появление цифры, также составляют полную систему событий. В опыте с единичным бросанием игральной кости события A – выпадение на верхней грани числа очков кратного «3»  – выпадение на верхней грани числа очков кратного «2» не составляют полную группу событий так как например Если теперь к событиям A и B добавить событие то система событий A,
B и C будет такой, что их объединение (сумма) является достоверным событием:  Однако эта система событий по-прежнему не будет полной, так как то есть события не являются попарно несовместными.
 

Аксиоматическое определение вероятности

Аксиоматическая теория вероятностей в её современном виде была создана А. Н. Колмогоровым ещё в 1933г. Определение: Вероятностью события A называется числовая функция  удовлетворяющая следующим трем условиям (аксиомам вероятностей):

3). Для любой конечной или бесконечной последовательности событий , таких, что имеет место равенство 

(заметим, что последняя аксиома называется аксиомой сложения). Другими словами, вероятностью события A называется числовая мера степени объективной возможности наступления этого события.

Введенные аксиомы определяют понятие «вероятность события» и
устанавливают основные свойства вероятности. Однако это определение слишком общее и не позволяет производить вычисления. Очевидно, что

Относительная частота. Статистическое определение вероятности. Пусть опыт S повторяется n раз, при этом m раз произошло событие A, т.е. проведена серия из n испытаний.

Определение: Относительной частотой (частостью) события A называется  то есть, отношение числа m появления данного события к общему числу n проведенных испытаний при одном и том же комплексе условий S .
 

Пример №8

Отдел технического контроля обнаружил 3 нестандартных детали
из 100 случайно отобранных. Тогда
Заметим, что до проведения серии опытов частота является числом случайным, которое нельзя точно определить ни для какого конечного числа испытаний n. Однако, закономерности, присущие случайным явлениям, таковы, что на практике по мере увеличения числа повторных серий испытаний различной длины n наблюдается тенденция относительной частоты становиться все менее случайной и стабилизироваться около некоторого постоянного (и неслучайного) значения события A в данном эксперименте S . Это свойство относительной частоты называется свойством устойчивости.

Определение: Статистической вероятностью события называется число, около которого устойчиво колеблется частота при повторении серий испытаний.
 

Пример №9

Многократно проводились опыты бросания монеты, в которых подсчитывали число появления герба. Результаты нескольких опытов приведены в таблице

Здесь относительные частоты незначительно отклоняются от числа 0,5, причём тем меньше, чем больше число испытаний. Например, при 4040 испытаниях отклонение равно 0,0069, а при 24 000 испытаний – лишь 0,0005. Приняв во внимание, что вероятность появления герба при бросании монеты равна 0,5, мы вновь убеждаемся, что относительная частота колеблется около вероятности. Статистический способ определения вероятности обладает тем преимуществом, что он опирается на эксперимент. Недостатком же этого определения является необходимость в большом числе опытов для получения достоверных данных.
 

Классическое определение вероятности

Классическое определение вероятности случайного события вводится, когда пространство элементарных событий конечно и представляет собой полную систему (группу) событий.

Говорят, что случай благоприятен событию A (или благоприятствует появлению события A), если его появление влечет обязательное появление события  и не благоприятен событию A (или – не благоприятствует появлению события A), если его появление исключает появление события A.
 

Определение: Вероятностью (классической) события A называется число p , равное отношению числа m исходов, благоприятствующих появлению события A, к общему числу n (единственно возможных и равновозможных) элементарных исходов, образующих полную систему событий:

Из этого определения следует, что элементарные случаи , являются равновероятными событиями, т.е.  Таким образом, классическая схема может служить моделью тех случайных явлений, для которых представляется естественным предположение «равновозможности» различных исходов, что часто следует из определенной симметрии и выполняется в области азартных игр, лотерей, при выборочном контроле, выборочных статистических исследованиях и т.п. Ограниченностью или недостатками классического определения
вероятности является то, что:

1. – конечно. Всегда возникает стремление и желание обобщить это понятие;
2. невозможно представить результат испытания в виде совокупности элементарных событий;
3. трудно указать основания, считать элементарные события равновозможными (равновероятными).

Наряду с недостатками есть и положительные стороны этого определения.
В частности то, что с помощью классического определения вероятность события можно вычислить, что очень важно, до начала проведения опыта.

Геометрическое определение вероятности

Геометрическое определение вероятности является обобщением классического определения на случай непрерывных множеств с бесконечным числом элементарных исходов. Пусть – некоторая область, имеющая меру, подобласти области
. Условия опыта таковы, что вероятность попадания в ту или иную область  не зависит от расположения подобласти в и пропорциональна мере подобласти, то есть Так какЗначит  – это и есть геометрическое определение вероятности.
 

Пример №10

Два партнера договорились о встрече между 12 и 13 часами дня с условием ожидать друг друга не более 20 минут. Найти вероятность их встречи.

Решение. Пусть x – время прихода первого партнера; y – время прихода второго партнера. Тогда, очевидно,, следовательно,
множество всех элементарных исходов – квадрат (см. рис.) Имеем: а так как каждый партнер ждет не более 20 минут, то область A встречи такая, что Последнее условие является необходимым и достаточным условием того, что встреча состоится. Найдем и квадр.  Таким образом, искомая вероятность  – это означает, что если многократно договариваться о встрече на указанных условиях, то несколько чаще, чем в половине случаев, встреча будет происходить.

Пример №11

Монета подбрасывается два раза.

а) Опишите полную группу возможных элементарных событий.

б) Если событие А – выпало не менее одного  “орла”, В – выпало не менее одной  “решки”, укажите, что собой представляют события:

 

Решение.

В данной задаче испытанием является подбрасывание монеты дважды.

а) Обозначим события:  

 − при первом подбрасывании выпал “орёл”, при втором − “решка”,  

 − при первом подбрасывании выпала “решка”, при втором − “орёл”,  

 – оба раза выпал “орёл”,  

 – оба раза выпала “решка”.
Тогда перечисленные события   образуют полную группу, так как при двух подбрасываниях монеты обязательно произойдёт одно из них. Значит, справедливо равенство:
 
Кроме того, никакие два из указанных событий не могут наступить одновременно. Следовательно, имеет место равенство:

Таким образом, указанные события попарно несовместны. Причём наступление любого из событий   не имеет преимущества перед остальными, а значит, эти события являются равновозможными.
Таким образом, события   образуют полную группу равновозможных попарно несовместных событий. Следовательно, они являются в данном испытании полной группой элементарных событий.

б) Так как  − не выпало ни одного “орла”, то  – оба раза выпала “решка”. Аналогично,  − не выпало ни одной “решки”, следовательно,  − оба раза выпал “орёл”. А так как А означает, что выпадает не менее одного раза “орёл”, то  Аналогично заключаем:

 Следовательно, по определению суммы и произведения событий получаем:

Ответ: а)   б)
.
 

Пример №12

В ящике находится 10 шаров: 3 белых и 7 чёрных. Из ящика наугад выбирается один шар. Какова вероятность того, что этот шар:

а) белый,

б) чёрный?
 

Решение.

В данной задаче полную группу элементарных событий составляют 10 событий, так как выбор любого одного шара можно осуществить 10 способами. Из этих событий только 3 благоприятствуют выбору белого шара и 7 – выбору чёрного. Поэтому, если А – выбор белого шара, то   если В – выбор чёрного шара, то
Ответ: а) 0,3 ; б) 0,7.

Пример №13

Из пяти карточек с буквами А, Б, В, Г, Д наугад выбираются одна за другой три карточка и располагаются в ряд (в порядке появления) слева направо. Какова вероятность, что получится слово “ДВА”?
 

Решение.

Выбор трёх карточек из имеющихся пяти можно осуществить  способами, так как порядок карточек имеет значение в данной задаче. Вычисляем:  
Значит, число всех возможных элементарных событий  n = 60. Из этих событий только одно благоприятствует событию – получению слова “ДВА”, следовательно, m = 1. Итак,
Ответ:

Пример №14

В ящике 10 шаров: 6 белых и 4 чёрных. Из ящика наугад вынимают два шара. Какова вероятность того, что

а) оба шара белые?

б) оба шара чёрные?

в) один шар белый, другой чёрный?
 

Решение.

Число выбора двух шаров из десяти имеющихся определяется  числом всевозможных сочетаний из 10 по
Значит, полную группу элементарных событий рассматриваемого испытания (выбор двух шаров из десяти, находящихся в ящике) составляют 45 событий. Следовательно, n = 45.

а) Если из элементарных событий рассматривать только те, которые состоят в выборе двух белых шаров, то находим  
Следовательно, вероятность того, что оба шара будут белыми, вычисляется по формуле:

б) Если рассматривать событие – выбор двух чёрных шаров, то число благоприятствующих ему элементарных событий равно:

Значит, вероятность выбора двух чёрных шаров вычисляется по формуле:
 
в) Если рассматривать событие – выбор одного белого и одного чёрного шаров, то для него число благоприятствующих элементарных событий равно:

Значит, вероятность выбора одного белого и одного чёрного шаров вычисляется по формуле:
.
Ответ:

Пример №15

Стрелок стреляет по мишени, разделённой на четыре области. Вероятность попадания в первую область 0,4, во вторую – 0,3.
Найдите вероятность того, что стрелок при одном выстреле попадёт либо в первую область, либо во вторую.
 

Решение.

Обозначим события:

А – стрелок попадает в первую область, В – стрелок попадает во вторую область. Эти события несовместны, так как они не могут наступить одновременно (попадание пули в одну область мишени исключает её попадание в другую область). Поэтому воспользуемся теоремой 1 (вероятность суммы несовместных событий), откуда находим:

Ответ: 0,7.

Пример №16

Какова вероятность извлечь из колоды в 52 карты фигуру (валет, дама, король, туз) любой масти или карту трефовой масти?
 

Решение.

Обозначим события: А – извлечение из колоды карты – фигуры, В – извлечение из колоды карты трефовой масти.
Необходимо найти вероятность суммы этих событий. События А и В совместны, так как они могут наступить одновременно, если будет извлечена карта – фигура трефовой масти. Поэтому для подсчёта вероятности суммы этих событий используем теорему 2 (вероятность суммы совместных событий):

В рассматриваемой задаче , так как всего элементарных исходов 52, что равно числу карт в колоде, из них 16 благоприятствуют событию А, что равно числу карт – фигур в колоде. Аналогично вычисляем: (в колоде 13 карт трефовой масти).
(в колоде 4 карты – фигуры трефовой масти).
Итак, находим: 
Ответ: .

Пример №17

Два орудия стреляют по одной цели. Вероятность попадания для первого орудия равна 0,6, для второго вероятность попадания равна 0,5. Какова вероятность того, что в цель попадут оба орудия?
 

Решение.

Обозначим события:

А – попадание в цель первого орудия, В – попадание в цель второго орудия.
Отметим, что А и В – события независимые, то есть наступление одного из них не влияет на наступление или ненаступление другого.
Поэтому воспользуемся теоремой 3 (вероятность произведения независимых событий):

Ответ: 0,3.

Пример №18

Для Московской области среднее число дождливых дней в августе равно 15. Какова вероятность, что первые два дня августа не будут дождливыми?
 

Решение.

Обозначим события: А – 1 августа не будет дождя, В – 2 августа не будет дождя.
Необходимо рассмотреть событие А · В – 1 и 2 августа не будет дождя.
В данной задаче , так как в августе 31 день, а не дождливых дней из них 31 − 15 = 16.
При вычислении Р(В) результат зависит от того, будет ли дождь 1-го августа. Следовательно, необходимо найти условную вероятность  – вероятность того, что 2-го августа не будет дождя в предположении, что 1 августа –день без дождя. Тогда получаем:

Так как в августе осталось 30 дней, начиная со 2 августа, из них не дождливых дней осталось 15 (ведь один не дождливый день пришёлся по предположению на 1 августа). Итак, по теореме 4 (вероятность произведения зависимых событий) получаем:

Ответ: 
 

Пример №19

В ящике 10 деталей, среди которых 6 стандартных.
Какова вероятность того, что среди трёх наугад взятых деталей окажется хотя бы одна стандартная?
 

Решение.

События “среди  взятых деталей окажется хотя бы одна стандартная” и “среди  взятых деталей нет ни одной стандартной” – противоположные события, так как наступление одного из этих событий исключает наступление другого.
Обозначим:

А – среди трёх взятых деталей есть хотя бы одна стандартная, – среди трёх взятых деталей нет ни одной стандартной.
По следствию 2 из теоремы 1 известно, что Р(А) = 1 –  Найдём  Общее число элементарных событий в этой задаче – это число способов выбора трёх деталей из десяти, находящихся в ящике:

Число нестандартных деталей равно 10 – 6 = 4. Число элементарных исходов, благоприятствующих событию
Тогда
.
Следовательно,
Ответ: 

Что такое алгебра событий

Ранее мы познакомились со способами непосредственного вычисления вероятностей простых событий. Однако на практике чаще приходится иметь дело со сложными событиями, которые являются комбинацией простых событий. Для нахождения вероятностей таких событий применяются теоремы сложения и умножения вероятностей. Перед тем, как сформулировать эти теоремы введем понятия суммы событий и произведения событий.

Действия над событиями

Определение: Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из данных событий.

Если А и В – совместные события, то их сумма А + В обозначает наступление события А, или события В, или обоих событий вместе. Если А и В – несовместные события, то их сумма А + В обозначает наступление события А, или события В.

Определение: Произведением нескольких событий называется событие, состоящее в совместном наступлении всех этих событий.

Если А, В, С – совместные события, то их произведение АВС означает одновременное наступление и события А, и события В, и события С.

Пример №20

Экзаменационный билет содержит три вопроса. Рассматриваются следующие события: А – студент, пришедший сдавать экзамен, ответил на первый вопрос, В – на второй вопрос, С – на третий вопрос. Что представляют события: а) А + В; б) АВС, в) А + ВС?

Решение:

а) Событие А + В состоит в том, что студент ответит либо на первый вопрос, либо на второй вопрос, либо на оба вопроса; б) Событие АВС состоит в том, что студент ответит на все три вопроса билета; в) Событие А + ВС состоит в том, что студент ответит либо на первый вопрос, либо на второй и третий вопросы, либо на все вопросы билета. ◄

Теорема сложения вероятностей несовместных событий

Теорема. Вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

Пример №21

В урне 10 шаров: 2 красных, 3 зеленых и 5 белых. Найти вероятность появления цветного шара.

Решение:

Появление цветного шара означает появление либо красного (событие А), либо зеленого шара (событие В). Вероятность появления красного шара , вероятность появления зеленого шара

События А и В несовместны, т.к. появление шара одного цвета исключает появление шара другого цвета. Следовательно, теорема сложения применима. Искомая вероятность Отметим следствия, вытекающие из теоремы сложения вероятностей несовместных событий.

Следствие 1. Сумма вероятностей событий , образующих полную группу, равна единице.

Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице: Это следствие есть частный случай следствия 1. Оно выделено ввиду его большой важности для практического применения. При решении задач часто оказывается легче вычислить вероятность противоположного события А , чем прямого события В этом случае следствие 2 используется в виде

Пример №22

Бросаются три игральных кости. Какова вероятность того, что сумма выпавших очков меньше 18?

Решение:

В результате бросания трех игральных костей могут появиться 16 различных сумм очков от 3 до 18, которые образуют полную группу событий. Для решения задачи следует вычислить вероятность появления 15-ти сумм очков от 3 до 17, а затем сложить их. Это довольно трудоемкая операция.

Поступим по-другому. Событие «сумма выпавших очков меньше 18» и событие «сумма выпавших очков равна 18» являются противоположными. Обозначим их .Очевидно, что проще найти вероятность противоположного события. При бросании трех игральных костей общее число исходов n = 6·6·6 = 216. 18 очков могут выпасть только в одном случае, когда на всех костях выпадет по 6 очков, т.е. число благоприятных исходов m = 1. Таким образом, вероятность противоположного события

Зная вероятность противоположного события, находим вероятность интересующего нас события: Прежде чем сформулировать теорему умножения вероятностей, введем понятие зависимых и независимых событий.

Зависимые и независимые события

Определение: Два события называют независимыми, если вероятность появления одного из них не зависит от того, произойдет другое событие или нет.

Например, опыт состоит в бросании двух монет. Пусть А и В – события, состоящие в том, что герб появится соответственно на первой и второй монете. В данном случае вероятность события А не зависит от того, произошло событие В или нет. Следовательно, событие А независимо от события В.

Определение: Несколько событий называют попарно независимыми, если каждые два из них независимы.

Например, опыт состоит в бросании трех монет. Пусть А, В, С – события, состоящие в том, что герб появится соответственно на первой, второй и третьей монете. В данном случае каждые два из рассматриваемых событий (т.е. А и В, А и С, В и С) – независимы. Следовательно, события А, В и С – попарно независимые. ◄

Определение: Два события называют зависимыми, если вероятность появления одного из них меняется в зависимости от того, произойдет другое событие или нет.

Например, в урне 3 белых и 2 черных шара. Наудачу берут один шар, не возвращая его в урну. Если появился белый шар (событие А), то вероятность появления белого шара во втором испытании (событие В) Если же в первом испытании появился черный шар (т.е. событие А не произошло), то вероятность Т.е. вероятность события В зависит от того, произошло событие А или нет. Следовательно, события А и В – зависимые. Отметим, что зависимость и независимость событий всегда взаимны, т.е. если событие В не зависит от события А, то и событие А не зависит от события В.

Теорема умножения вероятностей независимых событий

Сформулируем теорему умножения вероятностей независимых событий.

Теорема. Вероятность совместного появления двух независимых событий А и В равна произведению вероятностей этих событий: Для того чтобы обобщить теорему умножения на несколько событий, введем понятие независимости событий в совокупности.

Определение: Несколько событий называют независимыми в совокупности, если каждое из них и любая комбинация остальных событий (содержащих либо все остальные события, либо часть из них) есть события независимые.

Например, если события независимые в совокупности, то независимыми являются события:

Подчеркнем, что если несколько событий независимы попарно, то из этого еще не следует их независимость в совокупности. В этом смысле требование независимости событий в совокупности сильнее требования их попарной независимости.

Теперь мы можем сформулировать следствие из теоремы умножения вероятностей, обобщающее теорему умножения на несколько событий.

Следствие. Вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий.

Пример №23

Имеется три урны, содержащих по 10 шаров. В первой урне 5 шаров красного цвета, во второй – 4, в третьей – 6. Из каждой урны наудачу вынимают по одному шару. Найти вероятность того, что все три шара окажутся красного цвета.

Решение:

Вероятность того, что из первой урны вынут шар красного цвета (событие А) Вероятность того, что из второй урны вынут шар красного цвета (событие В) Вероятность того, что из третьей урны вынут шар красного цвета (событие С) Так как события А, В и С независимые в совокупности, то искомая вероятность (по теореме умножения) равна

Вероятность появления хотя бы одного события

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из событий независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий

Пример №24

Три стрелка делают по одному выстрелу в мишень. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0,7, второго – 0,8 и третьего – 0,9. Найти вероятность того, что хотя бы один стрелок попадет в мишень.

Решение:

Рассмотрим следующие события: А – хотя бы один стрелок попадет в мишень – первый стрелок попадет в мишень, – второй стрелок, – третий стрелок. Вероятность попадания в мишень каждым из стрелков не зависит от результатов стрельбы других стрелков, поэтому события независимы в совокупности.

Вероятности событий, противоположных событиям (т.е. вероятности промахов), соответственно равны: Искомая вероятность

Частный случай. Если события имеют одинаковую вероятность, равную р, то вероятность появления хотя бы одного из этих событий где q = 1 – p.

Условная вероятность

Пусть события А и В зависимые. Из определения зависимых событий следует, что вероятность одного из событий зависит от появления или непоявления другого события. Поэтому, если нас интересует вероятность события В, то важно знать, наступило событие А или нет.

Определение: Условной вероятностью называют вероятность события В, вычисленную в предположении, что событие А уже наступило.

Например, в урне находится пять шаров. Два из них белого цвета, остальные три – черного. Наудачу один за другим берут два шара, не возвращая их обратно в урну. Рассмотрим событие А – «первый вынутый шар оказался белого цвета» и событие В – «второй вынутый шар оказался белого цвета». Найдем условную вероятность события В, при условии, что событие А уже наступило. Если в первый раз был вынут шар белого цвета, то в урне осталось четыре шара, из которых один белого цвета. Следовательно,

Если же вынутый шар возвращается назад в урну, то условия второго испытания остаются неизменными после проведения первого испытания. Тогда т.е. в этом случае вероятность события В и его условная вероятность совпадают.

Теорема умножения вероятностей зависимых событий

Пусть события А и В зависимые, причем вероятности Р(А) и Р(В|А) известны. Как найти вероятность совмещения этих событий, т.е. вероятность того, что появится и событие А и событие В? Ответ на этот вопрос дает теорема умножения.

Теорема. Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило:

Следствие. Вероятность совместного появления нескольких зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события уже появились:

Пример №25

В урне находится пять шаров. Один из них красного цвета, два – зеленого и два – синего. Наудачу один за другим извлекают три шара, не возвращая их обратно в урну. Найти вероятность того, что последовательно будут извлечены красный, зеленый и синий шар.

Решение:

Рассмотрим события: A – первым извлечен шар красного цвета, B – вторым извлечен шар зеленого цвета, C – третьим извлечен шар синего цвета. Вероятность события А: Р(А) = 1/5. Условная вероятность события В при условии, что событие А уже наступило: Р(В|А) = 2/4. Условная вероятность события С при условии, что события А и В уже наступили: Р(С|АВ) = 2/3. Вероятность совместного появления трех зависимых событий А, В и С:

Теорема сложения вероятностей совместных событий

Ранее мы сформулировали теорему сложения вероятностей для несовместных событий. Пусть события А и В совместны, т.е. появление одного из них не исключает появления другого в одном и том же испытании. Даны вероятности этих событий и вероятность их совместного появления. Как найти вероятность события А + В, состоящего в том, что появится хотя бы одно из событий А и В? Ответ на этот вопрос дает теорема сложения вероятностей совместных событий.

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления

Пример №26

Два спортсмена-стрелка независимо друг от друга стреляют по одной мишени. Вероятность попадания в мишень первого спортсмена равна 0,7, а второго – 0,8. Какова вероятность того, что мишень будет поражена?

Решение:

Мишень будет поражена в том случае, если в нее попадет либо первый стрелок, либо второй, либо оба вместе, т.е. произойдет событие А + В (событие А – первый стрелок попадет в мишень, событие В – второй стрелок попадет в мишень). Тогда

Формула полной вероятности

Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместных событийкоторые образуют полную группу. Пусть известны вероятности этих событий и условные вероятности …, события А. Как найти вероятность события А? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.

Теорема. Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А:

Эту формулу называют «формулой полной вероятности», а события … , – гипотезами.

Пример №27

На трех станках различной марки изготавливается определенная деталь. Производительность 1-го станка составляет 40 деталей в смену, 2-го – 35 деталей, 3-го – 25 деталей. Установлено, что 2, 3 и 5% продукции этих станков, соответственно, имеют отклонение от стандарта. В конце смены на контроль взята одна деталь. Какова вероятность того, что она окажется нестандартной?

Решение:

Пусть А – событие, состоящее в том, что наудачу взятая деталь окажется нестандартной. Здесь возможны следующие три гипотезы:

• деталь изготовлена на 1-м станке (гипотеза Н1);
• деталь изготовлена на 2-м станке (гипотеза Н2);
• деталь изготовлена на 3-м станке (гипотеза Н3).

Вероятности этих гипотез: Условные вероятности события А при этих гипотезах: Вероятность события А находим по формуле полной вероятности:

Вероятность гипотез. Формула Байеса

Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместных событий образующих полную группу. Поскольку заранее неизвестно, какое из этих событий наступит, их называют гипотезами. Вероятность события А определяется по формуле полной вероятности. Допустим, что произведено испытание, в результате которого появилось событие А. Как изменились вероятности гипотез в связи с тем, что событие А уже наступило? Ответ на этот вопрос дает формула Байеса: Формула Байеса позволяет переоценить вероятности гипотез после того, как становится известным результат испытания, в итоге которого появилось событие А.

Пример №28

Взятая на контроль деталь оказалась нестандартной. Какова вероятность того, что она изготовлена на первом станке?

Решение:

По условию необходимо переоценить вероятность гипотезы т.е. найти ее условную вероятность Ранее было получено: . По формуле Байеса получаем:

Классическое определение вероятности – вероятность события А называют отношения числа m благоприятных этому событию случаев, к общему числу всех возможных случаев.