Рассмотрим величины, с помощью которых можно охарактеризовать колебания.
Рис. (1). Движение пустых качелей и качелей с мальчиком
Сравним колебания двух качелей на рисунке (1) — пустых качелей и качелей с мальчиком. Качели с мальчиком колеблются с большим размахом, то есть их крайние положения находятся дальше от положения равновесия, чем у пустых качелей.
Амплитудой колебаний (A) называется максимальное отклонение колеблющегося тела от положения равновесия.
([A]=1~м)
Полным колебанием называют движение, за которое тело возвращается в исходную точку (из которой началось колебание).
За одно полное колебание тело дважды максимально отклоняется от положения равновесия, поэтому один полный путь одного полного колебания равен четырём амплитудам: (s=4A).
Период колебаний — это промежуток времени, за который тело совершает одно полное колебание.
([T]=1~с)
Пример:
ударим по столу двумя линейками — металлической и деревянной (рис. (2)) Линейки после этого начнут колебаться, но за один и тот же промежуток времени металлическая линейка (B) сделает больше колебаний, чем деревянная (A).
Рис. (2). Колебания металлической (B) и деревянной (A) линеек
Число колебаний в единицу времени называется частотой колебаний.
Обрати внимание!
Обозначается частота греческой буквой
ν
(«ню»). За единицу частоты принято одно колебание в секунду. Эта единица в честь немецкого учёного Генриха Герца названа герцем (Гц).
Период колебания (T) и частота колебаний
ν
связаны следующей зависимостью:
Свободные колебания в отсутствие трения и сопротивления воздуха называются собственными колебаниями, а их частота — собственной частотой колебательной системы.
Для описания закономерностей колебательной системы необходимо учитывать зависимость параметров колебания от параметров системы. Например, период колебаний и их частота зависят от массы груза и жёсткости пружины для физического маятника.
Рис. (3). Движение пустых качелей и качелей с мальчиком
Рассмотрим колебания двух одинаковых пустых качелей на рисунке (3). В один и тот же момент времени красные качели из положения равновесия начинают движение вперед, а зелёные качели из положения равновесия движутся назад. Движение качелей таково, что их амплитуды и периоды колебаний одинаковы. А если одинаковы периоды, то и частота колебаний совпадает. Однако, направлений движения качелей противоположно. О таких движениях говорят, что они движутся в противофазах.
Красные пустые качели и качели с мальчиком тоже колеблются с одинаковыми частотами. Направление скоростей этих качелей тоже совпадает. Это означает, что колебания происходят в одинаковых фазах, т.е. совпадают по фазе.
Фаза — физическая величина. Её используют для описания колебания тела.
Исходя из выше сказанного следует, что характеристиками колебательного движения являются:
- амплитуда,
- частота (можно использовать период),
- фаза.
Источники:
Рис. 1, 3. Движение пустых качелей и качелей с мальчиком.
Рис. 2. Колебания металлической и деревянной линеек.
Обыкновенные качели и параметрические колебания. Научные игрушки
- Подробности
- Обновлено 14.06.2021 19:33
- Просмотров: 560
07.2011
А Вы умеете качаться на качелях? И Вы сможете сами сильно раскачаться? Глупые вопросы? Не очень! Оказывается, не все так просто. А Вы знаете, что качели умеют смеяться (в прямом смысле этого слова)? Не знаете? Не слышали? Тогда “мы идем к вам” …
Вы заметили, как люди обычно начинают раскачивания на качелях?
Маленькие дети садятся на сиденье и терпеливо ждут, когда качели сами начнут раскачиваться, или громко зовут маму …
Они еще не знают, что такое физика!
Дети старше и опытней садятся на качели, затем в зависимости от того, на сколько позволяет длина ног, достающих до земли, отступают ими как можно дальше назад (т.е. отклоняют качели от положения равновесия), и только затем поднимают ноги в воздух … желая раскачаться сильнее, они начинают невпопад «брыкаться» на качелях, и иногда из этого кое-что получается …
Но, скорее всего, они еще тоже не в курсе физических законов!
С годами приходит умение. Удобно устроившись на качелях, сидя или стоя, повзрослевшие «детки» начинают раскачивания и практически из неподвижного начального положения добиваются сильнейших размахов качелей. Они как-то незаметно и вовремя покачиваются, приседают, выгибаются, делая это совершенно интуитивно …
Вот мы и добрались до возраста, когда детки уже многое знают о физике, маятниках и колебаниях, но совершенно тщетно просить их объяснить свои движения!
Для этого надо сначала «подумать»!
А может быть, подумаем вместе?
Начнем с того, что качели – это аналог нитяного маятника. А нитяной маятник может совершать свободные колебания, если вывести его из состояния равновесия.
Вот Вам и начальное отталкивание ногами от земли!
Но, дальше-то интересней!
Свободные колебания в воздухе всегда затухающие, т.к. механическая энергия колеблющегося маятника в результате действия силы трения (в самих качелях и о воздух) неуклонно уменьшается и превращается в тепловую энергию.
А чтобы качаться долго-долго, колебания надо поддерживать!
Чтобы объяснение было наглядней, представим себе человека, качающего на качелях стоя.
Что же он делает для того, чтобы раскачаться сильнее?
Правильно подумали!
Человек приседает, когда качели идут из верхней точки вниз, и встает, выпрямляя ноги, когда достигает самого низкого относительно земли положения, причем делает он это периодически (практически при каждом движении вниз вперед лицом).
А зачем? Что, чем сильнее жмешь ногами на качели, тем лучше?
Нет, сила здесь ни при чем, а вот глубина приседания – может быть!
Здесь возникает то, о чем молчат в базовом курсе школьной физики!
Незатухающие параметрические колебания маятника!
Знакомимся…
С «незатухающими» все ясно – чего хотели, того и добились!
А что такое «параметрические»?
Параметрическими колебаниями называются колебания, при которых меняются параметры колебательной системы. В данном случае изменяющимся параметром маятника будет длина нити маятника.
Так что же мы меняем, приседая и поднимаясь на качелях?
Оказывается, если нитяной маятник – это шарик на ниточке, то человека на качелях тоже можно представить «шариком», который находится на уровне центра тяжести человека (около «пупка»). Расстояние от центра тяжести человека до оси вращения качелей – это длина нити маятника (ну, а если у Вас сидение на качелях тяжелое, то придется поискать точку общего центра тяжести системы). А приседая и поднимаясь, т.е. перемещая центр тяжести тела вверх или вниз, мы меняем «длину нити» маятника!
А от длины нити маятника многое зависит: и период колебания маятника, и частота колебания маятника, и … т.д., только начни писать формулы!
Перемещая центр тяжести тела, человек меняет длину нити маятника, т.е. параметры колебательной системы.
Параметрические незатухающие колебания можно пронаблюдать и на обычном нитяном маятнике. Если нить, пропущенную через неподвижное кольцо, периодически подтягивать в положениях максимального отклонения маятника, или отпускать, когда маятник проходит через положение равновесия, то амплитуда колебаний маятника будет возрастать.
Увеличение амплитуды колебаний четко говорит о возрастании энергии маятника.
Здесь энергия колебательного движения маятника будет поддерживаться за счет работы, совершаемой рукой при изменении длины нити.
В этом случае наблюдается параметрический резонанс.
Раскачка качелей также обусловлена параметрическим резонансом, возникающем при приседании и вставании человека на качелях.
Что же делает человек, приседая и вставая? Он совершает работу. В этом случае потери механической энергии качелей на трение и сопротивление воздуха компенсируются работой сил человека, изменяющих параметры системы.
Каждый, кто сам качался на качелях, знает, как легко присесть «наверху» и как трудно выпрямиться «внизу»! Чтобы увеличить механическую энергию колебаний качелей, человек должен вставать, когда для этого необходимо приложить максимальное усилие, т.е. в нижней точки траектории, при этом будет совершена максимальная работа.
Если уменьшать длину «нити» качелей в нижнем положении и увеличивать в крайних положениях, то работа силы человека за период колебаний будет положительной, и амплитуда колебаний будет возрастать, т.е. совершение человеком работы при вставании будет восполнять потери механической энергии качелей.
Интересно, что возбуждение параметрических колебаний может происходить, если параметр будет меняться даже при редком воздействии, например, при приседании и вставании всего один раз за период колебаний или даже реже.
Максимальное же раскачивание качелей произойдет, когда частота изменения параметра в два раза превысит собственную частоту колебаний качелей – за один период ( одно качание «туда-обратно») нужно дважды присесть и дважды встать. Возникнет параметрический резонанс.
В отличие от вынужденных колебаний он наступит в том случае, когда частота изменения параметров системы истанет в два раза больше собственной частоты колебаний системы.
Ну, а если Вы не настолько легкомысленны, чтобы качаться на качелях стоя?
В режиме «сидя» все происходит аналогично. Периодически откидываясь назад или усаживаясь вертикально и поднимая ноги, Вы меняете положение центра тяжести тела … а об остальном мы уже говорили!
Чем же с точки зрения физики незатухающие параметрические колебания отличаются от незатухающих вынужденных колебаний, когда заботливая мама сама раскачивает качели с ребенком?
– А видом внешнего воздействия! При вынужденных колебаниях периодически действующая «мамина» сила, поддерживающая незатухающие колебания, задана извне, и параметры системы при этом остаются постоянными.
Вот так, все формулы и теоретическое обоснование данного явления можно найти на страницах учебников “Теоретическая физика”. А мы с Вами просто обратили внимание на то, что при качании на качелях “не все так просто”!
И , наконец, чуть-чуть о смешном!
С виду – это простые качели, но как только на них садится человек, качели начинают “смеяться”!
И чем сильнее раскачиваются качели, тем громче и заразительнее смех …
Конструкторы качелей M. Rothschild и M. Rinott установили датчики, фиксирующие степень раскачивания, а в сидение вмонтировали громкоговоритель…
В результате из динамика можно услышать даже просто дикий хохот, если у Вас хватит сил раскачаться очень сильно!
“Смеющиеся качели” были построены специально для конференции «помешанных разработчиков» GeekCon и установлены в фойе зала, где она проходила. От желающих покачаться не было отбоя …
Правда, хочется сесть на качели и проверить всё в действии?
Вперед!
Качели ждут Вас!
P.S. Но, не перепутайте, “когда вставать – когда садиться”, а то вместо раскачивания Вы будете только притормаживать!
Австралийские и японские ученые построили самую полную на сегодня механическую модель качания на качелях и в эксперименте с девушками-добровольцами убедились, что реальные люди стараются интуитивно ей следовать. Исследование подтвердило, что оптимальное раскачивание невозможно без контроля частоты отклонения тела и момента в цикле колебания качелей, в который это следует делать. О работе ученых сообщает статья в журнале Physical Review E, а также краткая заметка на сайте Science.
Человек и качели, на которых он сидит, — это хороший бытовой пример связанных осцилляторов. Физики давно понимали, что механизм раскачки качелей основан на смещении человеком центра масс всей системы с помощью наклона верхней части тела вперед или назад. Однако точная связь между параметрами колебаний тела и параметрами колебаний качелей неочевидна до сих пор.
Первые модели предполагали, что колебания тела можно описать простой гармонической функцией с частотой, равной частоте качания качелей — ее в первом приближении можно связать с длиной качелей с помощью школьной формулы. Проблема в том, что колебания маятника гармонические только в приближении малых амплитуд. По мере раскачки качелей частота уменьшается и теряется синхроничность с колебанием тела.
Этого недостатка лишена модель, в которой положение тела резко меняется в определенных фазах колебания качелей — в этом случае тело всегда подстраивается под их частоту. В реальности же движение тела более плавное, чем в такой модели. Кроме того, она не учитывает тот факт, что точка в цикле колебания качелей, в которой человек обычно смещает тело, также меняется с амплитудой.
Разобраться с этими трудностями удалось Тиаки Хирата (Chiaki Hirata) из Университета Дзюмондзи и его коллегам из Австралии и Японии. Они не только построили модель качания на качелях, которая учитывает все промахи предыдущих попыток, но и проверили ее в эксперименте с десятью добровольцами.
Для достижения поставленной цели авторы применили вариационное исчисление. Чтобы получить лагранжиан, им сначала требовалось задать обобщенные координаты осцилляторов. Физики характеризовали качели длиной цепи и углом ее отклонения, а человека — с помощью трех жестких отрезков с распределенной массой, соответствующих неподвижному тазу, а также подвижным ногам и верхней части тела, которые могли отклоняться на некоторые углы.
Решение уравнения Эйлера — Лагранжа позволило исследовать усиление за цикл — то есть прирост амплитуды за один период колебания качели — как функцию от амплитуды качелей, длины цепи и разности фаз между колебаниями тела и качелей с учетом сопротивления воздуха. Физики построили эти зависимости для человека ростом 1,58 метра и массой 50 килограмм — эти данные соответствовали средним биометрическим данным японских женщин в возрасте от 20 до 24 лет. Расчеты показали, что оптимальное раскачивание действительно требует подстраивания фазы отклонений тела под амплитуду колебания качелей.
Чтобы выяснить, насколько реальные люди соответствуют этой стратегии, авторы исследования попросили десять девушек (Университет Дзюмондзи — это женское учебное заведение) принять участие в эксперименте. Все участницы катались на качелях в детстве, однако специально этому не обучались и не практиковались перед экспериментом. Их задачей было раскачиваться до определенной амплитуды на качелях с тремя различными длинами цепей: 1,61, 1,81 и 2,01 метра. Качели и одежда добровольцев были снабжены оптическими метками, которые считывали четыре камеры.
Обработка данных подтвердила, что девушки в целом интуитивно следовали предложенной модели. Небольшие отличия ученые связали с тем, что трение в уравнения было введено в упрощенной форме. Эксперимент подтвердил главное предсказание теории: пока амплитуда мала, отклоняться лучше в точке, в которой цепь качелей вертикальна (разность фаз π/2), но при больших амплитудах эффективнее будет отклоняться тогда же, когда отклонение качелей максимально (разность фаз 0).
Авторы отметили также, что участницы достаточно хорошо управляли фазой и частотой отклонений верхней части тела, но предпочитали не менять угол, на который они это делали. В будущем они планируют повторить эксперимент в условиях виртуальной реальности, чтобы оценить вклад инерции в контроль разности фаз.
Человек на качелях — это не единственный пример связанных осцилляций, который интересен физикам. Ранее мы рассказывали, как они исследовали колебания жидкости в чашке, которую несет человек, с помощью модели маятника, присоединенного к тележке. Оказалось, что граница между режимами колебаний даже в такой простой системе обладает фрактальными свойствами.
Рассмотрим в качестве модели качелей маятник переменной длины. Когда качающийся приседает, его центр тяжести опускается, и длина маятника увеличивается. Когда качающийся распрямляет ноги, центр тяжести поднимается, и длина маятника уменьшается.
Пусть наш маятник уже качается с небольшой амплитудой. Мгновенно уменьшим длину маятника в момент прохождения им нижней точки. Из закона сохранения момента импульса следует, что при этом произведение скорости маятника на его длину не изменится. Таким образом, скорость маятника — и, соответственно, энергия — возрастет. Обладая большей энергией, маятник отклонится на больший угол. В момент наибольшего отклонения длину маятника можно вернуть к исходной величине. Повторяя процесс периодически, можно раскачивать маятник всё сильнее.
Можно привести и математический расчет. Пусть в нижней точке длина маятника изменяется от величины L1 к величине L2 < L1. Тогда скорость маятника возрастает: v2 = v1·L1/L2. Применяя закон сохранения энергии и считая углы малыми, можно найти величины отклонений φ1 и φ2: φi = vi/(gLi)1/2, где i = 1, 2. Отсюда φ2/φ1 = (L1/L2)3/2. То есть, например, если изменять длину маятника на 10%, увеличение амплитуды составит около 15% за один проход, или около 30% за период.
Вернемся теперь от модели к исходной задаче. Становится ясно, что качели будут раскачиваться, если приседать в моменты максимального отклонения, а распрямлять ноги в момент прохода нижней точки. Для оценки рассмотрим ситуацию, когда расстояние от оси качелей до центра тяжести системы «качающийся + качели» составляет 2 метра, а приседает он так, что центр масс опускается на 20 см. Тогда, по формуле из предыдущего параграфа, раскачка происходит со скоростью около 30% за период, то есть довольно быстро.
Подумайте также над следующими вопросами. Во-первых, за счет чего происходит увеличение энергии качелей? Во-вторых, разобравшись с качанием стоя, попробуйте описать механизм качания сидя, когда качающийся сидит на качелях и периодически сгибает-разгибает ноги и перемещает туловище. Ответы можно писать в комментариях к задаче.
Макеты страниц
В качестве типичного примера параметрически самовозбуждаемой системы рассмотрим качели. Как известно, качели приводятся в движение таким ритмическим сгибанием и выпрямлением тела (или периодическим сгибанием и выпрямлением колен), что центр тяжести системы поднимается, когда качели проходят через низшую точку, и опускается, когда качели достигают высшей точки (области максимального отклонения). Качели вместе с качающимся на них человеком с вполне достаточной точностью можно рассматривать как математический маятник, длина которого периодически меняется
Рис. 125. К расчету колебаний качелей.
(что соответствует перемещению центра тяжести качелей в направлении веревки). Таким образом, качели в точности соответствуют примеру, рассмотренному в разд. 4.1.6. Это соответствие будет особенно наглядным, если представить перемещение центра тяжести как процесс, происходящий за бесконечно короткое время, т. е. мгновенно. При этом получается идеализированная модель, представленная на рис. 125. Длина маятника принимает два значения: 
причем большее значение 
соответствует движению от точки максимального отклонения к наинизшей точке, т. е. относится к фазе спуска, а меньшее значение 
соответствует фазе подъема. Траектория центра тяжести представляет собой петлеобразную кривую.
Заметим, что качели могут служить примером осциллятора с чистым самовозбуждением, так как длина маятника может быть однозначно выражена как функция величин 
Например, для случая, представленного на рис. 125, имеем
Однако нецелесообразно подставлять это выражениев уравнение (4.9), так как при этом потребуется производная по времени от скачкообразно меняющейся функции. Проще и нагляднее использовать энергетические соображения, так как тогда легко не только установить закономерности возникновения колебаний, но и выяснить, как влияют на движение демпфирование и сухое трение.
