Как найти амплитуду колебаний формула 9 класс

Амплитуда колебаний – это максимальное значение отклонения от нулевой точки. В физике данный процесс анализируется в разных разделах. 

Он изучается при механических, звуковых и электромагнитных колебаниях. В перечисленных случаях амплитуда измеряется по-разному и по своим законам.

Амплитуда колебаний

Амплитудой колебания называют максимальную отдаленную точку нахождения тела от положения равновесия. В физике она обозначается буквой А и измеряется в метрах. 

За амплитудой можно наблюдать на простом примере пружинного маятника.

 

В идеальном случае, когда игнорируется сопротивление воздушного пространства и трение пружинного устройства, устройство будет колебаться бесконечно. Описание движения выполняется с помощью функций cos и sin:

x(t) = A * cos(ωt + φ0) или x(t) = A * sin(ωt + φ0),

где 

• величина А – это амплитуда свободных движений груза на пружине;

• (ωt + φ0) – это фаза свободных колебаний, где ω – это циклическая частота, а φ0 – это начальная фаза, когда t = 0. 

В физике указанную формулу называют уравнением гармонических колебаний. Данное уравнение полностью раскрывает процесс, где маятник движется с определенной амплитудой, периодом и частотой. 

Период колебаний

Результаты лабораторных опытов показывают, что циклический период движения груза на пружине напрямую зависит от массы маятника и жесткости пружины, но не зависит от амплитуды движения. 

В физике период обозначают буквой Т и описывают формулами:

Исходя из формул, период колебаний – это механические движения, повторяющиеся через определенный промежуток времени. Простыми словами периодом называют одно полное движение груза.

Частота колебаний

Под частотой колебаний следует понимать количество повторений движения маятника или прохождения волны. В разных разделах физики частота обозначается буквами ν, f или F. 

Данная величина описывается выражением:

v = n/t – количество колебаний за промежуток времени,

где 

• n – это единица колебаний;

• t – отрезок времени.

В Международной системе измерений частоту измеряют в Гц (Герцах). Она относится к точным измеряемым составляющим колебательного процесса. 

Например, наукой установлена частота вращения Солнца вокруг центра Вселенной. Она равна -10³⁵ Гц при одинаковой скорости.

Циклическая частота

В физике циклическая и круговая частота имеют одинаковое значение. Данная величина еще называется угловой частотой. 

Обозначают ее буквой омега. Она равна числу собственных колебательных движений тела за 2π секунд времени:

ω = 2π/T = 2πν.

Данная величина нашла свое применение в радиотехнике и, исходя из математического расчета, имеет скалярную характеристику. Ее измерения проводят в радианах на секунду. С ее помощью значительно упрощаются расчеты процессов в радиотехнике. 

Например, резонансное значение угловой частоты колебательного контура рассчитывают по формуле:

WLC = 1/LC.

Тогда как обычная циклическая резонансная частота выражается:

VLC = 1/2π*√ LC.

В электрике под угловой частотой следует понимать число полных трансформаций ЭДС или число оборотов радиуса – вектора. Здесь ее обозначают буквой f.

Как определить амплитуду, период и частоту колебаний по графику

Для определения на графике составляющих колебательного механического процесса или, например, колебания температуры, нужно разобраться в терминах этого процесса. 

К ним относят:

• расстояние испытываемого объекта от исходной точки – называют смещением и обозначают х;

• наибольшее отклонение – амплитуда смещения А;

• фаза колебания – определяет состояние колебательной системы в любой момент времени;

• начальная фаза колебательного процесса – когда t = 0, то φ = φ₀.

Из графика видно, что значение синуса и косинуса может меняться от -1 до +1. Значит, смещение х может быть равно –А и +А. Движение от –А до +А называют полным колебанием.

Построенный график четко показывает период и частоту колебаний. Стоить отметить, что фаза не воздействует на форму кривой, а только влияет на ее положение в заданный промежуток времени.

Чтобы описать колебательные процессы и отличить одни колебания от других, используют 6 характеристик. Они называются так (рис. 1):

• амплитуда,
• период,
• частота,
• циклическая частота,
• фаза,
• начальная фаза.

Такие величины, как амплитуду и период, можно определить по графику колебаний.

Начальную фазу, так же, определяют по графику, с помощью интервала времени (large Delta t), на который относительно нуля сдвигается начало ближайшего периода.

Частоту и циклическую частоту вычисляют из найденного по графику периода, по формулам. Они находятся ниже в тексте этой статьи.

А фазу определяют с помощью формулы, в которую входит интересующий нас момент времени t колебаний. Читайте далее.

Что такое амплитуда

Амплитуда – это наибольшее отклонение величины от равновесия, то есть, максимальное значение колеблющейся величины.

Измеряют в тех же единицах, в которых измерена колеблющаяся величина. К примеру, когда рассматривают механические колебания, в которых изменяется координата, амплитуду измеряют в метрах.

В случае электрических колебаний, в которых изменяется заряд, ее измеряют в Кулонах. Если колеблется ток – то в Амперах, а если – напряжение, то в Вольтах.

Часто обозначают ее, приписывая к букве, обозначающей амплитуду индекс «0» снизу.

К примеру, пусть колеблется величина ( large x ). Тогда символом ( large x_{0} ) обозначают амплитуду колебаний этой величины.

Иногда для обозначения амплитуды используют большую латинскую букву A, так как это первая буква английского слова «amplitude».

С помощью графика амплитуду можно определить так (рис. 2):

Что такое период

Когда колебания повторяются точно, изменяющаяся величина принимает одни и те же значения через одинаковые кусочки времени. Такой кусочек времени называют периодом.

Обозначают его обычно большой латинской буквой «T» и измеряют в секундах.

( large T left( c right) ) – период колебаний.

Одна секунда – достаточно большой интервал времени. Поэтому, хотя период и измеряют в секундах, но для большинства колебаний он будет измеряться долями секунды.

Чтобы по графику колебаний определить период (рис. 3), нужно найти два одинаковых значения колеблющейся величины. После, провести от этих значений к оси времени пунктиры. Расстояние между пунктирами – это период колебаний.

Период – это время одного полного колебания.

На графике период найти удобнее одним из таких способов (рис. 4):

Что такое частота

Обозначают ее с помощью греческой буквы «ню» ( large nu ).

Частота отвечает на вопрос: «Сколько полных колебаний выполняется за одну секунду?» Или же: «Сколько периодов умещается в интервал времени, равный одной секунде?».

Поэтому, размерность частоты — это единицы колебаний в секунду:

( large nu left( frac{1}{c} right) ).

Иногда в учебниках встречается такая запись ( large displaystyle nu left( c^{-1} right) ), потому, что по свойствам степени ( large  displaystyle frac{1}{c} = c^{-1} ).

Начиная с 1933 года частоту указывают в Герцах в честь Генриха Рудольфа Герца. Он совершил значимые открытия в физике, изучал колебания и доказал, что существуют электромагнитные волны.

Одно колебание в секунду соответствует частоте в 1 Герц.

[ large displaystyle boxed{ frac{ 1 text{колебание}}{1 text{секунда}} = 1 text{Гц} }]

Чтобы с помощью графика определить частоту, нужно на оси времени определить период. А затем посчитать частоту по такой формуле:

[ large boxed{ nu = frac{1}{T} }]

Существует еще один способ определить частоту с помощью графика колеблющейся величины. Нужно отмерить на графике интервал времени, равный одной секунде, и сосчитать количество периодов колебаний, уместившихся в этот интервал (рис. 5).

Что такое циклическая частота

Колебательное движение и движение по окружности имеют много общего – это повторяющиеся движения. Одному полному обороту соответствует угол (large 2pi) радиан. Поэтому, кроме интервала времени 1 секунда, физики используют интервал времени, равный (large 2pi) секунд.

Число полных колебаний для такого интервала времени, называется циклической частотой и обозначается греческой буквой «омега»:

( large displaystyle omega left( frac{text{рад}}{c} right) )

Примечание: Величину ( large omega ) так же называют круговой частотой, а еще — угловой скоростью (ссылка).

Циклическая частота отвечает на вопрос: «Сколько полных колебаний выполняется за (large 2pi) секунд?» Или же: «Сколько периодов умещается в интервал времени, равный (large 2pi) секунд?».

Обычная ( large nu ) и циклическая ( large omega ) частота колебаний связаны формулой:

[ large boxed{ omega = 2pi cdot nu }]

Слева в формуле количество колебаний измеряется в радианах на секунду, а справа – в Герцах.

Чтобы с помощью графика колебаний определить величину ( large omega ), нужно сначала найти период T.

Затем, воспользоваться формулой ( large displaystyle nu = frac{1}{T} ) и вычислить частоту ( large nu ).

И только после этого, с помощью формулы ( large omega = 2pi cdot nu ) посчитать циклическую ( large omega ) частоту.

Для грубой устной оценки можно считать, что циклическая частота превышает обычную частоту примерно в 6 раз численно.

Определить величину ( large omega ) по графику колебаний можно еще одним способом. На оси времени отметить интервал, равный (large 2pi), а затем, сосчитать количество периодов колебаний в этом интервале (рис. 6).

Что такое начальная фаза и как определить ее по графику колебаний

Отклоним качели на некоторый угол от равновесия и будем удерживать их в таком положении. Когда мы отпустим их, качели начнут раскачиваться. А старт колебаний произойдет из угла, на который мы их отклонили.

Такой, начальный угол отклонения, называют начальной фазой колебаний. Обозначим этот угол (рис. 7) какой-нибудь греческой буквой, например, (large varphi_{0} ).

(large varphi_{0} left(text{рад} right) ) — начальная фаза, измеряется в радианах (или градусах).

Начальная фаза колебаний – это угол, на который мы отклонили качели, перед тем, как их отпустить. Из этого угла начнется колебательный процесс.

Рассмотрим теперь, как величина (large varphi_{0} ) влияет на график колебаний (рис. 8). Для удобства будем считать, что мы рассматриваем колебания, которые происходят по закону синуса.

Кривая, обозначенная черным на рисунке, начинает период колебаний из точки t = 0. Эта кривая является «чистым», не сдвинутым синусом. Для нее величину начальной фазы (large varphi_{0} ) принимаем равной нулю.

Вторая кривая на рисунке обозначена красным цветом. Начало ее периода сдвинуто вправо относительно точки t = 0. Поэтому, для красной кривой, начавшей новый период колебаний спустя время (large Delta t), начальный угол (large varphi_{0} ) будет отличаться от нулевого значения.

Определим угол (large varphi_{0} ) с помощью графика колебаний.

Обратим внимание (рис. 8) на то, что время, лежащее на горизонтальной оси, измеряется в секундах, а величина (large varphi_{0} ) — в радианах. Значит, нужно связать формулой кусочек времени (large Delta t) и соответствующий ему начальный угол (large varphi_{0} ).

Как вычислить начальный угол по интервалу смещения

Алгоритм нахождения начального угла состоит из нескольких несложных шагов.

• Сначала определим интервал времени, обозначенный синими стрелками на рисунке. На осях большинства графиков располагают цифры, по которым это можно сделать. Как видно из рис. 8, этот интервал (large Delta t) равен 1 сек.
• Затем определим период. Для этого отметим одно полное колебание на красной кривой. Колебание началось в точке t = 1, а закончилось в точке t =5. Взяв разность между этими двумя точками времени, получим значение периода.

[large T = 5 – 1 = 4 left( text{сек} right)]

Из графика следует, что период T = 4 сек.

• Рассчитаем теперь, какую долю периода составляет интервал времени (large Delta t). Для этого составим такую дробь (large displaystyle frac{Delta t }{T} ):

[large frac{Delta t }{T} = frac{1}{4} ]

Полученное значение дроби означает, что красная кривая сдвинута относительно точки t = 0 и черной кривой на четверть периода.

• Нам известно, что одно полное колебание — один полный оборот (цикл), синус (или косинус) совершает, проходя каждый раз угол (large 2pi ). Найдем теперь, как связана найденная доля периода с углом (large 2pi ) полного цикла.

Для этого используем формулу:

[large boxed{ frac{Delta t }{T} cdot 2pi = varphi_{0} }]

(large displaystyle frac{1}{4} cdot 2pi = frac{pi }{2} =varphi_{0} )

Значит, интервалу (large Delta t) соответствует угол (large displaystyle frac{pi }{2} ) – это начальная фаза для красной кривой на рисунке.

• В заключение обратим внимание на следующее. Начало ближайшего к точке t = 0 периода красной кривой сдвинуто вправо. То есть, кривая запаздывает относительно «чистого» синуса.

Чтобы обозначить запаздывание, будем использовать знак «минус» для начального угла:

[large varphi_{0} = — frac{pi }{2} ]

Примечание: Если на кривой колебаний начало ближайшего периода лежит левее точки t = 0, то в таком случае, угол (large displaystyle frac{pi }{2} ) имеет знак «плюс».

Для не сдвинутого влево, либо вправо, синуса или косинуса, начальная фаза нулевая (large varphi_{0} = 0 ).

Для синуса или косинуса, сдвинутого влево по графику и опережающего обычную функцию, начальная фаза берется со знаком «+».

А если функция сдвинута вправо и запаздывает относительно обычной функции, величину (large varphi_{0} ) записываем со знаком «-».

Примечания:

1. Физики начинают отсчет времени из точки 0. Поэтому, время в задачах будет величиной не отрицательной.
2. На графике колебаний начальная фаза ( varphi_{0}) влияет на вертикальный сдвиг точки, из которой стартует колебательный процесс. Значит, можно для простоты сказать, что колебания имеют начальную точку.

Благодаря таким допущениям график колебаний при решении большинства задач можно изображать, начиная из окрестности нуля и преимущественно в правой полуплоскости.

Что такое фаза колебаний

Рассмотрим еще раз обыкновенные детские качели (рис. 9) и угол их отклонения от положения равновесия. С течением времени этот угол изменяется, то есть, он зависит от времени.

В процессе колебаний изменяется угол отклонения от равновесия. Этот изменяющийся угол называют фазой колебаний и обозначают (varphi).

Различия между фазой и начальной фазой

Существуют два угла отклонения от равновесия – начальный, он задается перед началом колебаний и, угол, изменяющийся во время колебаний.

Первый угол называют начальной ( varphi_{0}) фазой (рис. 10а), она считается неизменной величиной. А второй угол – просто ( varphi) фазой (рис. 10б) – это величина переменная.

Как на графике колебаний отметить фазу

На графике колебаний фаза (large varphi) выглядит, как точка на кривой. С течением времени эта точка сдвигается (бежит) по графику слева направо (рис. 11). То есть, в разные моменты времени она будет находиться на различных участках кривой.

На рисунке отмечены две крупные красные точки, они соответствуют фазам колебаний в моменты времени t1 и t2.

А начальная фаза на графике колебаний выглядит, как место, в котором находится точка, лежащая на кривой колебаний, в момент времени t=0. На рисунке дополнительно присутствует одна мелкая красная точка, она соответствует начальной фазе колебаний.

Как определить фазу с помощью формулы

Пусть нам известны величины (large omega) — циклическая частота и (large varphi_{0}) — начальная фаза. Во время колебаний эти величины не изменяются, то есть, являются константами.

Время колебаний t будет величиной переменной.

Фазу (large varphi), соответствующую любому интересующему нас моменту t времени, можно определить из такого уравнения:

[large boxed{ varphi = omega cdot t + varphi_{0} }]

Левая и правая части этого уравнения имеют размерность угла (т. е. измеряются в радианах, или градусах). А подставляя вместо символа t в это уравнение интересующие нас значения времени, можно получать соответствующие им значения фазы.

Что такое разность фаз

Обычно понятие разности фаз применяют, когда сравнивают два колебательных процесса между собой.

Рассмотрим два колебательных процесса (рис. 12). Каждый имеет свою начальную фазу.

Обозначим их:

( large varphi_{01}) – для первого процесса и,

( large varphi_{02}) – для второго процесса.

Определим разность фаз между первым и вторым колебательными процессами:

[large boxed{ Delta varphi = varphi_{01} —  varphi_{02} }]

Величина (large Delta varphi ) показывает, на сколько отличаются фазы двух колебаний, она называется разностью фаз.

Как связаны характеристики колебаний — формулы

Движение по окружности и колебательное движение имеют определенную схожесть, так как эти виды движения могут быть периодическими.

Поэтому, основные формулы, применимые для движения по окружности, подойдут так же, для описания колебательного движения.

• Связь между периодом, количеством колебаний и общим временем колебательного процесса:

[large boxed{ T cdot N = t }]

( large T left( c right) ) – время одного полного колебания (период колебаний);

( large N left( text{шт} right) ) – количество полных колебаний;

( large t left( c right) ) – общее время для нескольких колебаний;

• Период и частота колебаний связаны так:

[large boxed{ T = frac{1}{nu} }]

(large nu left( text{Гц} right) ) – частота колебаний.

• Количество и частота колебаний связаны формулой:

[large boxed{ N = nu cdot t}]

• Связь между частотой и циклической частотой колебаний:

[large boxed{ nu cdot 2pi = omega }]

(large displaystyle omega left( frac{text{рад}}{c} right) ) – циклическая (круговая) частота колебаний.

• Фаза и циклическая частота колебаний связаны так:

[large boxed{ varphi = omega cdot t + varphi_{0} }]

(large varphi_{0} left( text{рад} right) ) — начальная фаза;

(large varphi left( text{рад} right) ) – фаза (угол) в выбранный момент времени t;

• Между фазой и количеством колебаний связь описана так:

[large boxed{ varphi = N cdot 2pi }]

• Интервал времени (large Delta t ) (сдвигом) и начальная фаза колебаний связаны:

[large boxed{ frac{Delta t }{T} cdot 2pi = varphi_{0} }]

(large Delta t left( c right) ) — интервал времени, на который относительно точки t=0 сдвинуто начало ближайшего периода.

Амплитуда

Обсудим количественные характеристики колебаний. Начнем с самой очевидной характеристики – амплитуды. Амплитуда обозначается большой буквой А и измеряется в метрах.

Определение

Амплитудой называют максимальное смещение от положения равновесия.

Часто амплитуду путают с размахом колебаний. Размах – это когда тело совершает колебание из одной крайней точки в другую. А амплитуда – это максимальное смещение, т. е. расстояние от точки равновесия, от линии равновесия до крайней точки, в которую оно попало. Помимо амплитуды, существует еще одна характеристика – смещение. Это текущее отклонение от положения равновесия.

А – амплитуда –

х – смещение –

Рис. 1. Амплитуда

Посмотрим, как отличаются амплитуда и смещение на примере. Математический маятник находится в состоянии равновесия. Линия расположения маятника в начальный момент времени – линия равновесия. Если отвести маятник в сторону – это и будет его максимальное смещение (амплитуда). В любой другой момент времени расстояние не будет амплитудой, а будет просто смещением.

Рис. 2. Отличие амплитуды и смещения

Период

Следующая характеристика, к которой мы переходим, называется период колебаний.

Определение

Периодом колебаний называется промежуток времени, в течение которого совершается одно полное колебание.

Обратите внимание, что величина «период» обозначается большой буквой , определяется она следующим образом: , .

Рис. 3. Период

Стоит добавить, что чем больше мы берем число колебаний за большее время, тем точнее мы определим период колебаний.

Частота

Следующая величина – это частота.

Определение

Число колебаний, совершенных за единицу времени, называют частотой колебаний.

Рис. 4. Частота

Обозначается частота греческой буквой , которая читается как «ню». Частота – это отношение числа колебаний ко времени, за которое эти колебания произошли: .

Единицы измерения частоты . Эту единицу называют «герц» в честь немецкого физика Генриха Герца. Обратите внимание, что период и частота связаны через число колебаний и время, в течение которых это колебание совершается. Для каждой колебательной системы частота и период есть величины постоянные. Связь между этими величинами довольно проста: .

Кроме понятия «частота колебаний» нередко пользуются понятием «циклическая частота колебаний», то есть количество колебаний за  секунд. Обозначается она буквой  и измеряется в радианах за секунду .

---

Графики свободных незатухающих колебаний

Мы уже знаем решение главной задачи механики для свободных колебаний – закон синуса или косинуса. Также мы знаем, что графики являются мощнейшим инструментом исследования физических процессов. Поговорим о том, как будут выглядеть графики синусоиды и косинусоиды в применении к гармоническим колебаниям.

Для начала определимся с особыми точками во время колебаний. Это необходимо для того, чтобы правильно выбрать масштаб построения. Рассмотрим математический маятник. Первый вопрос, который возникает: какую функцию использовать – синус или косинус? Если колебание начинается с верхней точки – максимального отклонения, законом движения будет закон косинуса. Если же начать движение с точки равновесия – законом движения будет закон синуса.

Если законом движения будет закон косинуса, то через четверть периода маятник будет находиться в положении равновесия, еще через четверть – в крайней точке, еще через четверть – опять в положении равновесия, и еще через одну четверть вернется в начальное положение.

Если маятник колеблется по закону синуса, то через четверть периода он будет находиться в крайней точке, еще через четверть – в положении равновесия. Потом опять в крайней точке, но с другой стороны, и через еще четверть периода вернется в положение равновесия.

Итак, масштабом времени будет не произвольные значение 5 с, 10 с и т. д., а доли периода. Мы будем строить график по четвертям долей периода.

Что же сказать о координате ? Дальше, чем положение равновесия, маятник не двигается. График будет ограничен значением амплитуды.

Перейдем к построению.  меняется либо по закону синуса, либо по закону косинуса. Ось ординат – , ось абсцисс – . Масштаб времени равен четвертям периода:  График будет лежать в пределах от  до .

Рис. 5. Графики зависимости

График для колебания по закону синуса выходит из нуля и обозначен темно-синим цветом (рис. 5). График для колебания по закону косинуса выходит из положения максимального отклонения и обозначен голубым цветом на рисунке. Графики выглядят абсолютно идентично, но сдвинуты по фазе относительно друг друга на четверть периода или  радиан.

Аналогичный вид будут иметь графики зависимости  и , ведь они тоже меняются по гармоническому закону.

---

---

Особенности колебаний математического маятника

Математический маятник – это материальная точка массой , подвешенная на длинной нерастяжимой невесомой нити длиной .

Обратите внимание на формулу периода колебаний математического маятника: , где  – длина маятника,  – ускорение свободного падения.

Чем больше длина маятника, тем больше период его колебаний (рис. 6). Чем длиннее нить, тем дольше маятник раскачивается.

Рис. 6. Зависимость периода колебаний от длины маятника

Чем больше ускорение свободного падения, тем меньше период колебаний (рис. 7). Чем больше ускорение свободного падения, тем сильнее небесное тело притягивает грузик и тем быстрее он стремится вернуться в положение равновесия.

Рис. 7. Зависимость периода колебаний от ускорения свободного падения

Обратите внимание, что период колебаний не зависит от массы груза и амплитуды колебаний (рис. 8).

Рис. 8. Период колебаний не зависит от амплитуды колебаний

Первым на этот факт обратил внимание Галилео Галилей. На основании этого факта предложен механизм маятниковых часов.

Следует отметить, что точность формулы  максимальна лишь для малых, сравнительно небольших отклонений. Например, для отклонения  погрешность формулы составляет . Для более крупных отклонений точность формулы не столь велика.

Рассмотрим качественные задачи, которые описывают математический маятник.

Задача. Как изменится ход маятниковых часов, если их: 1) перевезти из Москвы на Северный полюс; 2) перевезти из Москвы на экватор; 3) поднять высоко в гору; 4) вынести из нагретого помещения на мороз.

Для того чтобы правильно ответить на вопрос задачи, необходимо понять, что имеется в виду под «ходом маятниковых часов». Маятниковые часы основаны на математическом маятнике. Если период колебаний часов будет меньше, чем нам нужно, часы начнут спешить. Если же период колебаний станет больше, чем необходимо, часы будут отставать. Задача сводится к ответу на вопрос: что произойдет с периодом колебаний математического маятника в результате всех перечисленных в задаче действий?

Рассмотрим первую ситуацию. Математический маятник переносится из Москвы на Северный полюс. Вспоминаем, что Земля имеет форму геоида, то есть сплюснутого у полюсов шара (рис. 9). Это значит, что на полюсе величина ускорения свободного падения несколько больше, чем в Москве. А раз ускорение свободного падения больше, то период колебаний станет несколько меньше и маятниковые часы начнут спешить. Здесь мы пренебрегаем тем, что на Северном полюсе холоднее.

Рис. 9. Ускорение свободного падения больше на полюсах Земли

Рассмотрим вторую ситуацию. Переносим часы из Москвы на экватор, предполагая, что температура не меняется. Ускорение свободного падения на экваторе несколько меньше, чем в Москве. Это значит, что период колебаний математического маятника увеличится и часы начнут отставать.

В третьем случае часы поднимают высоко в гору, тем самым увеличивая расстояние до центра Земли (рис. 10). Это значит, что ускорение свободного падения на вершине горы меньше. Период колебаний увеличивается, часы будут отставать.

Рис. 10 Ускорение свободного падения больше на вершине горы

Рассмотрим последний случай. Часы выносят из теплой комнаты на мороз. При понижении температуры линейные размеры тел уменьшаются. Это значит, что длина маятника немного сократится. Раз длина стала меньше, то период колебаний также уменьшился. Часы будут спешить.

Мы рассмотрели самые типичные ситуации, которые позволяют разобраться с тем, как работает формула периода колебаний математического маятника.

---

Фаза колебаний

В заключение рассмотрим еще одну характеристику колебаний – фазу. О том, что такое фаза, более подробно мы будем говорить в старших классах. Сегодня мы должны рассмотреть, с чем можно эту характеристику сравнить, сопоставить и как ее для себя определить. Удобнее всего фазу колебаний сопоставить со скоростью движения маятника.

Рис. 11. Маятники колеблются синфазно (с одинаковыми фазами)

На рисунке 11 представлены два одинаковых маятника. Первый маятник отклонили влево на определенный угол, второй тоже отклонили влево на определенный угол, такой же, как и первый. Оба маятника будут совершать абсолютно одинаковые колебания. В этом случае можно сказать, что маятники совершают колебания с одинаковой фазой, поскольку скорости маятника имеют одно направление и равные модули.

Рис. 12. Маятники совершают колебания в противофазе

На рисунке 12 два таких же маятника, но один отклонен влево, а другой – вправо. У них тоже одинаковые по модулю скорости, но направление противоположное. В этом случае говорят, что маятники совершают колебания в противофазе.

Во всех других случаях, как правило, упоминают о разности фаз.

Рис. 13. Разница фаз

Фазу колебаний в произвольный момент времени можно рассчитать по формуле , то есть как произведение циклической частоты на время, прошедшее с начала колебаний. Измеряется фаза в радианах.

---

Особенности колебаний пружинного маятника

Формула колебаний пружинного маятника: . Таким образом, период колебаний пружинного маятника зависит от массы груза и жесткости пружины.

Чем больше масса груза, тем больше его инертность. То есть маятник будет медленнее разгоняться, период его колебаний будет больше (рис. 14).

Рис. 14. Зависимость периода колебаний от массы

Чем больше жесткость пружины, тем быстрее она стремится вернуться в положение равновесия. Период пружинного маятника будет меньше.

Рис. 15. Зависимость периода колебаний от жесткости пружины

Рассмотрим применение формулы  на примере задачи.

Задача. На рисунке представлен график зависимости координаты от времени для пружинного маятника. Найдите массу грузика, если жесткость пружины равна .

Рис. 16. График зависимости координаты от времени для пружинного маятника

Решение:

Массу грузика можно определить из формулы периода колебаний пружинного маятника:

Период колебаний  находим, используя график зависимости координаты от времени. Период – это время одного полного колебания. Одно полное колебание совершается за  (рис. 17).

Рис. 17. Период колебаний

Если подставить теперь все необходимые значения в формулу для вычисления массы, получим:

Ответ: масса грузика составляет приблизительно 10 г.

Так же, как и в случае с математическим маятником, для пружинного маятника период колебаний не зависит от его амплитуды. Естественно, что это справедливо только для небольших отклонений от положения равновесия, когда деформация пружины является упругой. Этот факт был положен в основу устройства пружинных часов (рис. 18).

Рис. 18. Пружинные часы

---

Заключение

Конечно, кроме колебаний и тех характеристик, о которых мы говорили, существуют и другие не менее важные характеристики колебательного движения. Но о них мы поговорим в старшей школе.

Список литературы

1. Кикоин А. К. О законе колебательного движения // Квант. – 1983. – № 9. – С. 30-31.
2. Кикоин И. К., Кикоин А. К. Физика: учеб. для 9 кл. сред. шк. – М.: Просвещение, 1992. – 191 с.
3. Черноуцан А. И. Гармонические колебания – обычные и удивительные  // Квант. – 1991. – № 9. – С. 36-38.
4. Перышкин А. В., Гутник Е. М. Физика. 9 кл.: учебник для общеобразоват. учреждений / А. В. Перышкин, Е. М. Гутник. – 14-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2009. – 300 с.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «abitura.com» (Источник)
2. Интернет-портал «phys-portal.ru» (Источник)
3. Интернет-портал «fizmat.by» (Источник)

Домашнее задание

1. Что такое математический и пружинный маятники? Какая разница между ними?
2. Что такое гармоническое колебание, период колебания?
3. Груз массой 200 г колеблется на пружине с жесткостью 200 Н/м. Найдите полную механическую энергию колебаний и наибольшую скорость движения груза, если амплитуда колебаний 10 см (трением пренебречь).