Как найти амплитуду скорости пружинного маятника

Формулы пружинного маятника в физике

Формулы пружинного маятника

Определение и формулы пружинного маятника

Определение

Пружинным маятником называют систему, которая состоит из упругой пружины, к которой прикреплен груз.

Допустим, что масса груза равна $m$, коэффициент упругости пружины $k$. Масса пружины в таком маятнике обычно не учитывается. Если рассматривать вертикальные движения груза (рис.1), то он движется под действием силы тяжести и силы упругости, если систему вывели из состояния равновесия и предоставили самой себе.

Формулы пружинного маятника, рисунок 1

Уравнения колебаний пружинного маятника

Пружинный маятник, совершающий свободные колебания является примером гармонического осциллятора. Допустим, что маятник совершает колебания вдоль оси X. Если колебания малые, выполняется закон Гука, то уравнение движения груза имеет вид:

[ddot{x}+{omega }^2_0x=0left(1right),]

где ${щu}^2_0=frac{k}{m}$ – циклическая частота колебаний пружинного маятника. Решением уравнения (1) является функция:

[x=A{cos left({omega }_0t+varphi right)=A{sin left({omega }_0t+{varphi }_1right) } }left(2right),]

где ${omega }_0=sqrt{frac{k}{m}}>0$- циклическая частота колебаний маятника, $A$ – амплитуда колебаний; ${(omega }_0t+varphi )$ – фаза колебаний; $varphi $ и ${varphi }_1$ – начальные фазы колебаний.

В экспоненциальном виде колебания пружинного маятника можно записать как:

[Re tilde{x}=Releft(Acdot exp left(ileft({omega }_0t+varphi right)right)right)left(3right).]

Формулы периода и частоты колебаний пружинного маятника

Если в упругих колебаниях выполняется закон Гука, то период колебаний пружинного маятника вычисляют при помощи формулы:

[T=2pi sqrt{frac{m}{k}}left(4right).]

Так как частота колебаний ($nu $) – величина обратная к периоду, то:

[nu =frac{1}{T}=frac{1}{2pi }sqrt{frac{k}{m}}left(5right).]

Формулы амплитуды и начальной фазы пружинного маятника

Зная уравнение колебаний пружинного маятника (1 или 2) и начальные условия можно полностью описать гармонические колебания пружинного маятника. Начальные условия определяют амплитуда ($A$) и начальная фаза колебаний ($varphi $).

Амплитуду можно найти как:

[A=sqrt{x^2_0+frac{v^2_0}{{omega }^2_0}}left(6right),]

начальная фаза при этом:

[tg varphi =-frac{v_0}{x_0{omega }_0}left(7right),]

где $v_0$ – скорость груза при $t=0 c$, когда координата груза равна $x_0$.

Энергия колебаний пружинного маятника

При одномерном движении пружинного маятника между двумя точками его движения существует только один путь, следовательно, выполняется условие потенциальности силы (любую силу можно считать потенциальной, если она зависит только от координат). Так как силы, действующие на пружинный маятник потенциальны, то можно говорить о потенциальной энергии.

Пусть пружинный маятник совершает колебания в горизонтальной плоскости (рис.2). За ноль потенциальной энергии маятника примем положение его равновесия, где поместим начало координат. Силы трения не учитываем. Используя формулу, связывающую потенциальную силу и потенциальную энергию для одномерного случая:

[E_p=-frac{dF}{dx}(8)]

учитывая, что для пружинного маятника $F=-kx$,

Формулы пружинного маятника, рисунок 2

тогда потенциальная энергия ($E_p$) пружинного маятника равна:

[E_p=frac{kx^2}{2}=frac{m{{omega }_0}^2x^2}{2}left(9right).]

Закон сохранения энергии для пружинного маятника запишем как:

[frac{m{dot{x}}^2}{2}+frac{m{{omega }_0}^2x^2}{2}=const left(10right),]

где $dot{x}=v$ – скорость движения груза; $E_k=frac{m{dot{x}}^2}{2}$ – кинетическая энергия маятника.

Из формулы (10) можно сделать следующие выводы:

  • Максимальная кинетическая энергия маятника равна его максимальной потенциальной энергии.
  • Средняя кинетическая энергия по времени осциллятора равна его средней по времени потенциальной энергии.

Примеры задач с решением

Пример 1

Задание. Маленький шарик, массой $m=0,36$ кг прикреплен к горизонтальной пружине, коэффициент упругости которой равен $k=1600 frac{Н}{м}$. Каково было начальное смещение шарика от положения равновесия ($x_0$), если он при колебаниях проходит его со скоростью $v=1 frac{м}{с}$?

Решение. Сделаем рисунок.

Формулы пружинного маятника, пример 1

По закону сохранения механической энергии (так как считаем, что сил трения нет), запишем:

[E_{pmax}=E_{kmax }left(1.1right),]

где $E_{pmax}$ – потенциальная энергия шарика при его максимальном смещении от положения равновесия; $E_{kmax }$ – кинетическая энергия шарика, в момент прохождения положения равновесия.

[E_{kmax }=frac{mv^2}{2}left(1.2right).]

Потенциальная энергия равна:

[E_{pmax}=frac{k{x_0}^2}{2}left(1.3right).]

В соответствии с (1.1) приравняем правые части (1.2) и (1.3), имеем:

[frac{mv^2}{2}=frac{k{x_0}^2}{2}left(1.4right).]

Из (1.4) выразим искомую величину:

[x_0=vsqrt{frac{m}{k}}.]

Вычислим начальное (максимальное) смещение груза от положения равновесия:

[x_0=1cdot sqrt{frac{0,36}{1600}}=1,5 cdot {10}^{-3}(м).]

Ответ. $x_0=1,5$ мм

Пример 2

Задание. Пружинный маятник совершает колебания по закону: $x=A{cos left(omega tright), } $где $A$ и $omega $ – постоянные величины. Когда возвращающая сила в первый раз достигает величины $F_0,$ потенциальная энергия груза равна $E_{p0}$.
В какой момент времени это произойдет?

Решение. Возвращающей силой для пружинного маятника является сила упругости, равная:

[F=-kx=-kA{cos left(omega tright)left(2.1right). }]

Потенциальную энергию колебаний груза найдем как:

[E_p=frac{kx^2}{2}=frac{kA^2{{cos }^2 left(omega tright) }}{2}left(2.2right).]

В момент времени, который следует найти $F=F_0$; $E_p=E_{p0}$, значит:

[frac{E_{p0}}{F_0}=-frac{A}{2}{cos left(omega tright) }to t=frac{1}{omega } arc{cos left(-frac{2E_{p0}}{AF_0}right) }.]

Ответ. $t=frac{1}{omega } arc{cos left(-frac{2E_{p0}}{AF_0}right) }$

Читать дальше: формулы равноускоренного прямолинейного движения.

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Пружинный маятник – колебательная система, которая состоит из тела, подвешенного к пружине. Эта система способна к совершению свободных колебаний.

Подобные системы довольно широко распространены за счет своей функциональной гибкости. Механизмы на основе таких маятников часто используются как элементы средств автоматики. 

В том числе они нашли применение в контактных взрывателях различных боеприпасов, в качестве акселерометров в контурах управления ракет. Так же они активно используются в предохранительных клапанах, устанавливаемых в трубопроводах.

Что такое пружинный маятник

Пружинным маятником в физике называют систему, совершающую колебательные движения под действием силы упругости. 

Приняты следующие обозначения:

  • m – масса тела;

  • k – коэффициент жесткости пружины.

Общий вид маятника:

Пружинный маятник

Особенностями пружинных маятников являются:

  1. Сочетание тела и пружины. Массой пружины обычно в расчетах пренебрегают. Роль тела могут играть различные объекты. На них оказывают действие внешние силы. Груз может крепиться разными способами. Витки пружины, которыми она начинается и заканчивается, изготавливают с учетом повышенной нагрузки;

  2. У любой пружины есть исходное положение, предел сжатия и растяжения. При максимальном сжатии зазора между витками нет. Когда она максимально растянута, возникает необратимая деформация;

  3. Полная механическая энергия появляется с началом процесса обратимого деформирования. В этот момент на объект не оказывает действие сила упругости;

  4. Колебательные движения происходят под влиянием силы упругости. Масштаб влияния определяется несколькими причинами (тип сплава, расположение витков и т. д.). Так как может происходить и сжатие и растяжение, можно сделать вывод, что сила упругости действует в двух противоположных направлениях;

  5. От массы тела, величины и направления прикладываемой силы зависит скорость в плоскости его перемещения. Например, если подвесить груз к пружине и, растянув её, отпустить, то груз будет перемещаться в двух плоскостях: вертикально и горизонтально.

Виды пружинных маятников

Горизонтальный пружинный маятник

Существует два типа данной системы:

  1. Вертикальный маятник – на тело довольно сильно влияет сила тяжести. Это влияние обуславливает увеличение инерционных движений, которые совершает тело в исходной точке.

  2. Горизонтальный – в таком варианте при движении на груз начинает действовать сила трения, возникающая по причине того, что груз лежит на поверхности.

Сила трения в горизонтальном маятнике

Сила упругости в пружинном маятнике

До начала деформирования пружина находится в равновесном состоянии. Прикладываемое усилие может как растягивать, так и сжимать её. 

Применяя к пружинному маятнику закон сохранения энергии, мы можем рассчитать силу упругости в нем. Упругость прямо пропорциональна расстоянию, на которое сместился груз.

Расчёт силы упругости может быть проведен таким образом:

Fупр = – k*x

где k — коэффициент жесткости пружины (Нм),

x – смещение (м).

Уравнения колебаний пружинного маятника

Свободные колебания пружинного маятника описываются с помощью гармонического закона. 

Если допустить вероятность того, что колебания идут вдоль оси Х, и при этом выполняется закон Гука, то уравнение примет вид:

F(t) = ma(t) = – mw2x(t),

где w – радиальная частота гармонического колебания.

Для проведения расчета колебаний, учитывая все вероятности, применяют следующие формулы:

Свободные колебания пружинного маятника

Период и частота свободных колебаний пружинного маятника

При разработке проектов всегда определяется период колебаний и их частота. Для их измерения используются известные в физике формулы.

Период и частота колебаний пружинного маятника

Изменение циклической частоты покажет формула, приведенная на рисунке:

Циклическая частота

Факторы, от которых зависит частота:

  1. Коэффициент упругости. На этот коэффициент влияет количество витков, их диаметр, расстояние между ними, длина пружины, жесткость используемого сплава и т. д.

  2. Масса груза. От этого фактора зависит возникающая инерция и скорость перемещения.

Амплитуда и начальная фаза пружинного маятника

Учитывая начальные условия и рассчитав уравнение колебаний, можем точно описать колебания пружинного маятника. 

В качестве начальных условий используются: амплитуда (А) и начальная фаза колебаний (ϕ).

Амплитуда и начальная фаза пружинного маятника

Энергия пружинного маятника

При рассмотрении колебания тел учитывают, что груз движется прямолинейно. Полная механическая энергия тела в каждой точке траектории является константой и равняется сумме его потенциальной энергии и кинетической энергии.

kolebanija

Потенциальная энергия:

68

Кинетическая энергия:

69

Полная энергия:

70

Энергия гармонического колебания

Расчет имеет особенности. При его проведении нужно учитывать несколько условий:

  1. Колебания проходят в двух плоскостях: вертикальной и горизонтальной.

  2. В качестве равновесного положения выбирается ноль потенциальной энергии. Находясь в этом положении пружина сохраняет свою форму.

  3. Влияние силы трения при расчете не учитывают.

Дифференциальное уравнение гармонических колебаний пружинного маятника 

Дифуравнения пружинного маятника

Отметим, что пружинный маятник — это обобщенное определение. Скорость движения груза (тела) напрямую зависит от комплекса условий, в том числе приложенного к нему усилия.

Работа большинства механизмов основана на простейших законах физики и математики. Довольно большое распространение получило понятие пружинного маятника. Подобный механизм получил весьма широкое распространение, так как пружина обеспечивает требуемую функциональность, может быть элементом автоматических устройств.

Рассмотрим подробнее подобное устройство, принцип действия и многие другие моменты подробнее.

Пружинный маятник

Определения пружинного маятника

Как ранее было отмечено, пружинный маятник получил весьма широкое распространение. Среди особенностей можно отметить следующее:

  1. Устройство представлено сочетанием груза и пружины, масса которой может не учитываться. В качестве груза может выступать самый различный объект. При этом на него может оказываться воздействие со стороны внешней силы. Распространенным примером можно назвать создание предохранительного клапана, который устанавливается в системе трубопровода. Крепление груза к пружине проводится самым различным образом. При этом используется исключительно классический винтовой вариант исполнения, который получил наиболее широкое распространение. Основные свойства во многом зависят от типа применяемого материала при изготовлении, диаметра витка, правильности центровки и многих других моментов. Крайние витки часто изготавливаются таким образом, чтобы могли воспринимать большую нагрузку при эксплуатации.
  2. До начала деформации полная механическая энергия отсутствует. При этом на тело не влияет сила упругости. Каждая пружина имеет исходное положение, которое она сохраняет на протяжении длительного периода. Однако, за счет определенной жесткости происходит фиксация тела в начальном положении. Имеет значение то, каким образом прикладывается усилие. Примером назовем то, что она должна быть направлена вдоль оси пружины, так как в противном случае есть вероятность появления деформации и многих других проблем. У каждой пружины есть свои определенный придел сжатия и растяжения. При этом максимальное сжатие представлено отсутствием зазора между отдельными витками, при растяжении есть момент, когда происходит невозвратная деформация изделия. При слишком сильном удлинении проволоки происходит изменение основных свойств, после чего изделие не возвращается в свое первоначальное положение.
  3. В рассматриваемом случае колебания совершаются за счет действия силы упругости. Она характеризуется довольно большим количество особенностей, которые должны учитываться. Воздействие упругости достигается за счет определенного расположения витков и типа применяемого материала при изготовлении. При этом сила упругости может действовать в обе стороны. Чаще всего происходит сжатие, но также может проводится растяжение – все зависит от особенностей конкретного случая.
  4. Скорость перемещения тела может варьировать в достаточно большом диапазоне, все зависит от того, какое оказывается воздействие. К примеру, пружинный маятник может перемещать подвешенный груз в горизонтальной и вертикальной плоскости. Действие направленного усилия во многом зависит от вертикальной или горизонтальной установки.

Определение пружинного маятника

В целом можно сказать, что пружинный маятник определение довольно обобщенное. При этом скорость перемещения объекта зависит от различных параметров, к примеру, величины приложенного усилия и других моментов. Перед непосредственным проведением расчетов проводится создание схемы:

  1. Указывается опора, к которой крепится пружина. Зачастую для ее отображения рисуется линия с обратной штриховкой.
  2. Схематически отображается пружина. Она часта представлена волнистой линией. При схематическом отображении не имеет значение длина и диаметральный показатель.
  3. Также изображается тело. Оно не должно соответствовать размерам, однако имеет значение место непосредственного крепления.

Схема требуется для схематического отображения всех сил, которые оказывают влияние на устройство. Только в этом случае можно учесть все, что влияет на скорость перемещения, инерцию и многие другие моменты.

Пружинные маятники применяются не только при расчетах ил решении различных задач, но также и на практике. Однако, не все свойства подобного механизма применимы.

Примером можно назвать случай, когда колебательные движения не требуются:

  1. Создание запорных элементов.
  2. Пружинные механизмы, связанные с транспортировкой различных материалов и объектов.

Проводимые расчеты пружинного маятника позволяют подобрать наиболее подходящий вес тела, а также тип пружины. Она характеризуется следующими особенностями:

  1. Диаметр витков. Он может быть самым различным. От показателя диаметра во многом зависит то, сколько требуется материала для производства. Диаметр витков также определяет то, какое усилие должно прикладываться для полного сжатия или частичного растяжения. Однако, увеличение размеров может создать существенные трудности с установкой изделия.
  2. Диаметр проволоки. Еще одним важным параметром можно назвать диаметральный размер проволоки. Он может варьировать в широком диапазоне, зависит прочность и степень упругости.
  3. Длина изделия. Этот показатель определяет то, какое усилие требуется для полного сжатия, а также какой упругостью может обладать изделие.
  4. Тип применяемого материала также определяет основные свойства. Чаще всего пружина изготавливается при применении специального сплава, который обладает соответствующие свойствами.

При математических расчетах многие моменты не учитываются. Усилие упругости и многие другие показатели выявляются путем расчета.

Виды пружинного маятника

Выделяют несколько различных видов пружинного маятника. Стоит учитывать, что классификация может проводится по типу устанавливаемой пружины. Среди особенностей отметим:

  1. Довольно большое распространение получили вертикальные колебания, так как в этом случае на груз не оказывается сила трения и другое воздействие. При вертикальном расположении груза существенно увеличивается степень воздействия силы тяжести. Распространен этот вариант исполнения при проведении самых различных расчетов. За счет силы тяжести есть вероятность того, что тело в исходной точке будет совершать большое количество инерционных движений. Этому также способствует упругость и инерция движения тела в конце хода.
  2. Также применяется горизонтальный пружинный маятник. В этом случае груз находится на опорной поверхности и на момент перемещения также возникает трение. При горизонтальном расположении сила тяжести работает несколько иначе. Горизонтальное расположение тела получило широкое распространение в различных задачах.

Рассчитывается движение пружинного маятника можно при использовании достаточно большого количества различных формул, который должны учитывать воздействие всех сил. В большинстве случаев устанавливается классическая пружина. Среди особенностей отметим следующее:

  1. Классическая витая пружина сжатия сегодня получила весьма широкое распространение. В этом случае между витками есть пространство, которое называется шагом. Пружина сжатия может и растягиваться, но зачастую она для этого не устанавливается. Отличительной особенностью можно назвать то, что последние витки выполнены в виде плоскости, за счет чего обеспечивается равномерное распределения усилия.
  2. Может устанавливаться вариант исполнения для растяжения. Он рассчитан на установку в случае, когда приложенное усилие становится причиной увеличения длины. Для крепления проводится размещение крючков.

Распространены оба варианта исполнения. При этом важно уделить внимание тому, чтобы сила прикладывалась параллельно оси. В противном случае есть вероятность смещения витков, что становится причиной возникновения серьезных проблем, к примеру, деформации.

Сила упругости в пружинном маятнике

Следует учитывать тот момент, что до деформирования пружины она находится в положении равновесия. Приложенная сила может приводить к ее растягиванию и сжиманию. Сила упругости в пружинном маятнике рассчитывается в соответствии с тем, как воздействует закон сохранения энергии. Согласно принятым нормам возникающая упругость пропорциональна смещению тела. В этом случае кинетическая энергия рассчитывается по формуле: F=-kx. В данном случае применяется коэффициент жесткости пружины.

Выделяют довольно большое количество особенностей воздействия силы упругости в пружинном маятнике. Среди особенностей отметим:

  1. Максимальная сила упругости возникает на момент, когда тело находится на максимальном расстоянии от положения равновесия. При этом в подобном положении отмечается максимальное значение ускорение тела. Не следует забывать о том, что может проводится растягивание и сжатие пружины, оба варианта несколько отличается. При сжатии минимальная длина изделия ограничивается. Как правило, она имеет длину, равную диаметру витка умноженное на количество. Слишком большое усилие может стать причиной смещения витков, а также деформации проволоки. При растяжении есть момент удлинения, после которого происходит деформация. Сильное удлинение приводит к тому, что возникающей силы упругости недостаточно для возврата изделия в первоначальное состояние.
  2. При сближении тела к месту равновесия происходит существенное уменьшение длины пружины. За счет этого наблюдается постоянное снижение показателя ускорения. Все это происходит за счет воздействия усилия упругости, которая связано с типом применяемого материала при изготовлении пружины и ее особенностями. Длина уменьшается за счет того, что расстояние между витками снижается. Особенностью можно назвать равномерное распределение витков, лишь только в случае дефектов есть вероятность нарушения подобного правила.
  3. На момент достижения точки равновесия сила упругости снижается до нуля. Однако, скорость не снижается, так как тело движется по инерции. Точка равновесия характеризуется тем, что длина изделия в ней сохраняется на протяжении длительного периода при условии отсутствия внешнего деформирующего усилия. Точка равновесия определяется в случае построения схемы.
  4. После достижения точки равновесия возникающая упругость начинает снижать скорость перемещения тела. Она действует в противоположном направлении. При этом возникает усилие, которое направлено в обратную сторону.
  5. Дойдя крайней точки тело начинает двигаться в противоположную сторону. В зависимости от жесткости установленной пружины подобное действие будет повторятся неоднократно. Протяженность этого цикла зависит от самых различных моментов. Примером можно назвать массу тела, а также максимальное приложенное усилие для возникновения деформации. В некоторых случаях колебательные движения практически незаметны, но они все же возникают.

Приведенная выше информация указывает на то, что колебательные движения совершаются за счет воздействия упругости. Деформация происходит за счет приложенного усилия, которое может варьировать в достаточно большом диапазоне, все зависит от конкретного случая.

Уравнения колебаний пружинного маятника

Колебания пружинного маятника совершаются по гармоническому закону. Формула, по которой проводится расчет, выглядит следующим образом: F(t)=ma(t)=-mw2x(t).

В приведенной выше формуле указывается (w) радиальная частота гармонического колебания. Она свойственна силе, которая распространяется в границах применимости закона Гука. Уравнение движения может существенно отличаться, все зависит от конкретного случая.

Если рассматривать колебательное движение, то следует уделить внимание следующим моментам:

  1. Колебательные движения наблюдаются только в конце перемещения тела. Изначально оно прямолинейное до полного освобождения усилия. При этом сила упругости сохраняется на протяжении всего времени, пока тело находится в максимально отдаленном положении от нуля координат.
  2. После растяжения тело возвращается в исходное положение. Возникающая инерция становится причиной, по которой может оказываться воздействие на пружину. Инерция во многом зависит от массы тела, развитой скорости и многих других моментов.

Уравнения колебаний пружинного маятника

В результате этого возникает колебание, которое может длиться в течение длительного периода. Приведенная выше формула позволяет провести расчет с учетом всех моментов.

Формулы периода и частоты колебаний пружинного маятника

При проектировании и вычислении основных показателей также уделяется довольно много внимания частоте и периоду колебания. Косинус – периодическая функция, в которой применяется значение, неизменяемое через определенный промежуток времени. Именно этот показатель называют период колебаний пружинного маятника. Для обозначения этого показателя применяется буква Т, также часто используется понятие, характеризующее значение, обратное периоду колебания (v). В большинстве случаев при расчетах применяется формула T=1/v.

Период колебаний вычисляется по несколько усложненной формуле. Она следующая: T=2п√m/k. Для определения частоты колебания используется формула: v=1/2п√k/m.

Рассматриваемая циклическая частота колебаний пружинного маятника зависит от следующих моментов:

  1. Масса груза, который прикреплен к пружине. Этот показатель считается наиболее важным, так как оказывает влияние на самые различные параметры. От массы зависит сила инерции, скорость и многие другие показатели. Кроме этого, масса груза – величина, с измерением которой не возникает проблем из-за наличия специального измерительного оборудования.
  2. Коэффициент упругости. Для каждой пружины этот показатель существенно отличается. Коэффициент упругости указывается для определения основных параметров пружины. Зависит этот параметр от количества витков, длины изделия, расстояние между витками, их диаметра и многого другого. Определяется он самым различным образом, зачастую при применении специального оборудования.

Не стоит забывать о том, что при сильном растяжении пружины закон Гука прекращает действовать. При этом период пружинного колебания начинает зависеть от амплитуды.

Для измерения периода применяется всемирная единица времени, в большинстве случаев секунды. В большинстве случаев амплитуда колебаний вычисляется при решении самых различных задач. Для упрощения процесса проводится построение упрощенной схемы, на которой отображаются основные силы.

Период колебаний и частота

Формулы амплитуды и начальной фазы пружинного маятника

Определившись с особенностями проходимых процессов и зная уравнение колебаний пружинного маятника, а также начальные значения можно провести расчет амплитуды и начальной фазы пружинного маятника. Для определения начальной фазы применяется значение f, амплитуда обозначается символом A.

Для определения амплитуды может использоваться формула: А=√x2+v2/w2. Начальная фаза высчитывается по формуле: tgf=-v/xw.

Применяя эти формулы можно провести определение основных параметров, которые применяются при расчетах.

Энергия колебаний пружинного маятника

Рассматривая колебание груза на пружине нужно учитывать тот момент, что при движение маятника может описываться двумя точками, то есть оно носит прямолинейный характер. Этот момент определяет выполнение условий, касающихся рассматриваемой силы. Можно сказать, что полная энергия потенциальная.

Провести расчет энергии колебаний пружинного маятника можно при учете всех особенностей. Основными моментами назовем следующее:

  1. Колебания могут проходить в горизонтальной и вертикальной плоскости.
  2. Ноль потенциальной энергии выбирается в качестве положения равновесия. Именно в этом месте устанавливается начало координат. Как правило, в этом положении пружина сохраняет свою форму при условии отсутствия деформирующей силы.
  3. В рассматриваемом случае рассчитываемая энергия пружинного маятника не учитывает силу трения. При вертикальном расположении груза сила трения несущественна, при горизонтальном тело находится на поверхности и при движении может возникнуть трение.
  4. Для расчета энергии колебания применяется следующая формула: E=-dF/dx.

Приведенная выше информация указывают на то, что закон сохранения энергии выглядит следующим образом: mx2/2+mw2x2/2=const. Применяемая формула говорит о следующем:

  1. Максимальная кинетическая энергия установленного маятника прямо пропорциональна максимальному значению потенциальной.
  2. На момент осциллятора среднее значение обоих сил равны.

Энергия пружинного маятника

Провести определение энергии колебания пружинного маятника можно при решении самых различных задач.

Свободные колебания пружинного маятника

Рассматривая то, чем вызваны свободные колебания пружинного маятника следует уделить внимание действию внутренних сил. Они начинают формироваться практически сразу после того, как телу было передано движение. Особенности гармонических колебаний заключаются в нижеприведенных моментах:

  1. Могут также возникать и другие типы сил воздействующего характера, который удовлетворяют все нормы закона, называются квазиупругими.
  2. Основными причинами действия закона могут быть внутренние силы, которые формируются непосредственно на момент изменения положения тела в пространстве. При этом груз обладает определенной массой, усилие создается за счет фиксации одного конца за неподвижный объект с достаточной прочностью, второго за сам груз. При условии отсутствия трения тело может совершать колебательные движения. В этом случае закрепленный груз называется линейным.

Колебания пружинного маятника

Не стоит забывать о том, что существует просто огромное количество различных видов систем, в которых осуществляется движение колебательного характера. В них также возникает упругая деформация, которая становится причиной применения для выполнения какой-либо работы.

Автор статьи

Алексей Алексеевич Ивахно

Эксперт по предмету «Физика»

Задать вопрос автору статьи

Рассмотрим систему, которая состоит из:

  • упругой спиральной пружины,
  • очень небольшого тела массы $m$.

Один конец пружины закреплен, к другому концу прикреплено тело $m$ рис.1.

Пружинный маятник. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 1. Пружинный маятник. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Длина пружины без деформации равна $l_0$. При растяжении или сжатии этой пружины до длины $l$ возникает сила упругости ($vec F$), которая хочет вернуть пружине первоначальную длину. Если изменения длины пружины мало и равно:

$Delta y=l-l_0(1),$

то выполняется закон Гука, в соответствии с которым сила упругости прямо пропорциональна изменению длины пружины:

$F=-kDelta y (2),$

где $k$ – коэффициент упругости пружины.

Уравнение колебаний пружинного маятника

В таком случае уравнение движения тела, которое присоединено к концу пружины можно записать так:

$mddot{y}=-ky(3).$

Введем обозначение:

$momega^2=k$, тогда дифференциальное уравнение (3) можно переписать в виде:

$ddot{y}+omega^2y=0(4).$

Функция вида:

$y=y_mcos (omega t+delta) (5),$

где $y_m$ – амплитуда колебаний (максимальное смещение груза от положения равновесия), является решением уравнения (4) при любых постоянных значениях $y_m$ и $delta$.

Частота и период колебаний пружинного маятника

Груз на пружине выполняет гармонические колебания:

  • круговая (циклическая) частота которых равна:

    $omega = sqrt{frac{k}{m}}(6)$

  • период колебаний составляет:

    $T=frac{2pi}{omega}=2pisqrt{frac{m}{k}}(7).$

  • частота колебаний его:

    $nu=frac{1}{T}=frac {omega}{2pi}=frac{1}{2pi}sqrt{frac{k}{m}}(8).$

Мы видим в (7), что период колебаний пружинного маятника не зависит от амплитуды. Данное свойство колебаний называют изохронностью. Колебания пружинного маятника являются изохронными, пока выполняется закон Гука. Если растяжения становятся большими, то закон Гука будет нарушаться, тогда возникает зависимость периода колебаний от амплитуды.

«Гармонические колебания пружинного маятника» 👇

Амплитуда и начальная фаза колебаний пружинного маятника

Амплитуду колебаний ($y_m$) и начальную фазу ($delta$) невозможно определить из дифференциального уравнения (4). Данные неизменные параметры колебаний определяют исходя из начальных условий колебаний. Например, задают:

  • смещение $y$ в момент времени принимаемы за $t=0$;
  • и начальную скорость ($dot{x}$) в этот же момент времени.

Замечание 1

Дифференциальное уравнение (4) справедливо при любых начальных условиях. Поскольку это уравнение может описывать любые колебания, которые способна совершать наша колебательная система. Конкретное колебание выделяют из этого комплекса при определении постоянных $y_m$ и $delta$.

Энергия колебаний пружинного маятника

Потенциальная энергия тела, подвешенного на пружине, задается выражением:

$U=frac{1}{2}ky^2 (9).$

Принимая во внимание гармонический закон изменения $y$ (5), получим, что потенциальная энергия изменяется во времени:

$U(t)=frac{k y_m^2 }{2} cos^2 (omega t+delta)=frac{1}{4}k y_m^2(1+cos 2(omega t+delta)) (10).$

Кинетическую энергию определяют как:

$E_k=frac{mv^2}{2}(11).$

Скорость движения тела на пружине вдоль оси $Y$ найдем как первую производную от $y(t)$ по времени:

$v=v_y=dot{y}=-y_momegasin (omega t+delta)(12).$

Закон изменения кинетической энергии в зависимости от времени с учетом (12) запишем как:

$E_k=m y_m^2omega^2sin^2 (omega t+delta) (13),$

где учитывая формулу (6), окончательно получим:

$E_k=k y_m^2sin^2 (omega t+delta)=frac{1}{4}k y_m^2(1-cos 2(omega t+delta)) (14).$

Формулы (10) и (14) показывают, что кинетическая и потенциальная энергии колеблющегося пружинного маятника изменяются во времени. Они сами выполняют гармонические колебания около средней величины, равной $frac{1}{4} k y_m^2$ с удвоенной циклической частотой $2omega$.

В тот момент времени, когда кинетическая энергия максимальна, потенциальная энергия равна нулю и наоборот. При этом полная механическая энергия, равная сумме кинетической и потенциальной энергии не изменяется:

$E=frac{1}{2}kx^2+frac{1}{2}mdot{x}=const (15)$

При этом полная энергия колебаний пружинного маятника, если учесть выражения (10) и (14), равна:

$E=U+E_k=frac{1}{2}k y_m^2 (16).$

Выражение (5) является решением дифференциального уравнения (15), если круговая частота колебаний определятся при помощи выражения (6), амплитуда – формулой (16). Так, если задана полная механическая энергия $E$, то амплитуда колебаний ($y_m$) не является произвольной величиной. При этом произвол имеется только в определении начальной фазы колебаний $delta$, которую определяют начальные условия. Чтобы определить $delta$ достаточно одного начального условия:

  • либо нужно иметь начальное смещение;
  • либо начальную скорость.

Наличие в решении единственной произвольной константы связывают с тем, что уравнение (15) является дифференциальным уравнением первого порядка по времени.

Заметим, что энергию в уравнении (15) можно рассматривать как параметр, принимающий любые значения большие нуля, которые определяют начальные условия колебаний. В этом случае уравнение (15) считают эквивалентным уравнению (4).

На основе закона сохранения энергии (15) сделаем следующие выводы:

  1. Наибольшая кинетическая энергия пружинного маятника равна его наибольшей энергии потенциальной энергии.

    Данный вывод очевиден, так как потенциальная энергия маячтника максимальна при смещении точки выполняющей колебания на максимально возможное расстояние, при этом скорость, а соответственно и кинетическая энергия осциллятора равна нулю.

    Наибольшую кинетическую энергию колебательная система имеет тогда, когда она проходит положение равновесия ($x=0$), то есть потенциальная энергия равна нулю.

    $frac{mV^2}{2}=frac{momega^2y_m^2}{2}(17),$

    где $V$ – максимальная скорость.

  2. Средняя кинетическая энергия пружинного маятника ($E_{k,sr}$) равна его средней потенциальной энергии ($U_{sr}$).

    $U_{sr}=frac{momega^2y_m^2}{4}(18),$

    $E_{k,sr}=frac{momega^2y_m^2}{4}(19)$.

    Сравнивая (18) и (19) мы видим, что:

    $U_{sr}= E_{k,sr}=frac {1}{2}E$.

Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу

Поиск по теме

Содержание:

Гармонические колебания:

Некоторые движения, встречающиеся в быту, за равные промежутки времени повторяются. Такое движение называется периодическим движением. Часто встречается движение, при котором тело перемещается то в одну, то в другую сторону относительно равновесного состояния. Такое движение тела называется колебательным движением или просто колебанием.

Колебания, совершаемые телом, которое выведено из равновесного состояния в результате действия внутренних сил, называются собственными (свободными) колебаниями. Величина удаления от равновесного состояния колеблющегося тела называется его смещением (Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Для наблюдения механических колебаний ознакомимся с колебаниями груза, закрепленного на конце пружины (рис. 5.1). На этом рисунке груз, закрепленный на пружине, сможет двигаться без трения с горизонтальным стержнем, так как силу тяжести шарика приводит в равновесие реакционная сила стержня.
Коэффициент упругости пружины – Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами, а ее масса ничтожна мала и можно ее не учитывать. Считаем, что масса системы сосредоточена в грузе, а упругость в пружине.

Если груз, который находится в равновесии, потянем вправо на расстояние Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами и отпустим, то под действием силы упругость, которая появляется в пружине, груз смещается в
сторону равновесного состояния.

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

С течением времени смещение груза уменьшается относительно Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами, но скорость груза при этом увеличивается. Когда груз доходит до равновесного состояния, его смещение (Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами) равняется нулю и соответственно сила упругости равняется нулю. Но груз по инерции начинает двигаться в левую сторону. Модуль силы упругости, которая появляется в пружине, тоже растет. Однако из-за того, что сила упругости постоянно направлена против смещения груза, она начинает тормозить груз. В результате движение груза замедляется, и, в результате, прекращается. Теперь груз под воздействием эластической силы сжатой пружины начинает двигаться в сторону равновесного состояния.
Для определения закономерности изменения в течение времени системы, которая периодически совершает колебания, заполним воронку песком, подвесим на веревке, подложим бумагу под систему и раскачаем воронку. В ходе колебания начинаем равномерно вытягивать бумагу из-под системы. В результате мы увидим, что следы песка на бумаге образуют синусоиду. Из этого можно сделать следующий вывод: смещение периодически колеблющегося тела по истечении времени изменяется по закону синусов и косинусов. При этом самое большое значение смещения равняется амплитуде (Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами):

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

здесь: Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами– циклическая частота, зависящая от параметров колеблющихся систем, Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами – начальная фаза, (Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами) фаза колебания с течением времени Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами.
Из математики известно, что Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами поэтому формулу (5.2.) можно записать в виде

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Колебания, в которых с течением времени параметры меняются по закону синуса или косинуса, называются гармоническими колебаниями

Значит, пружинный маятник, вышедший из равновесного состояния, совершает гармоническое колебание. Для того чтобы система совершала гармоническое колебание: 1) при выходе тела из равновесного состояния, для возвращения его в равновесное состояние должна появиться внутренняя сила; 2) колеблющееся тело должно обладать инертностью и на него не должны оказывать воздействие силы трения и сопротивления. Эти условия называется условиями проявления колебательных движений. 

Основные параметры гармонических колебаний

a) период колебания Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами – время одного полного колебания:

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами)

б) частота колебания Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами – количество колебаний, совершаемых за 1 секунду:

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Единица Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами
c) циклическая частота Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами – количество колебаний за Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами секунд:

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

С учетом формул (5.5) и (5.6) уравнение гармонических колебаний (5.2) можно записать в следующей форме.

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Большинство величин, количественно описывающих гармонические колебания, смещения которых с течением времени меняются по закону синусов или косинусов (скорость, ускорение, кинетическая и потенциальная энергия), тоже гармонически меняются. 
Это подтверждается следующими графиками и уравнениями:

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Пример решения задачи:

Точка совершает гармоническое колебательное движение. Максимальное смещение и скорость соответственно равны 0,05 м и 0,12 м/с. Найдите максимальное ускорение и скорость колебательного движения, а также ускорение точки в момент, когда смещение равно 0,03 м.

Дано:

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Найти:

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Формула и решение:

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Гармонические колебания пружинного маятника

В 1985 году в городе Мехико произошла ужасная катастрофа, причина которой было землетрясение: 5526 человек погибли, 40 ООО человек ранены, 31000 человек остались без крова. Из проведенных затем исследований ученые выяснили, что главной причиной разрушений во время землетрясения является совпадение частоты свободных колебаний зданий с частотой вынужденных колебаний Земли. Поэтому при возведении новых зданий в сейсмически активной зоне необходимо, чтобы эти частоты не совпадали. Это даст возможность уменьшить последствия землетрясения. С этой целью важно знать, от чего зависят частота и период колебаний.

Одной из простейших колебательных систем, совершающих гармонические колебания, является пружинный маятник.

Пружинный маятник — это колебательная система, состоящая из пружины и закрепленного на ней тела. Колебания, возникающие в пружинном маятнике, являются гармоническими колебаниями:

Под гармоническими колебаниями подразумеваются колебания, возникающие под действием силы, прямо пропорциональной перемещению и направленной против направления перемещения.

Исследование колебаний пружинного маятника имеет большое практическое значение, например, при вычислении колебаний рессор автомобиля при езде; в исследовании воздействия колебаний на фундамент зданий и тяжелых станков, в определении эластичности ушных перепонок при диагностике лор-заболеваний. По этой причине изучение колебаний пружинного маятника является актуальной проблемой.

С целью уменьшения количества сил, действующих на колебательную систему, целесообразно использовать горизонтально расположенную колебательную систему пружина-шарик (d).

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

В этой системе действия силы тяжести и реакции опоры уравновешивают друг друга. При выведении шарика из состоянии равновесия, например, при растяжении пружины до положения Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами сила упругости, возникающая в ней, сообщает шарику ускорение и приводит его в колебательное движение. По II закону Ньютона уравнение движения маятника можно записать так:

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

или

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Формула (4.9) является уравнением свободных гармонических колебаний пружинного маятника.

Где Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами – масса шарика, закрепленного на пружине, Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами — проекция ускорения шарика вдоль оси Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами — жесткость пружины, Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами -удлинение пружины, равное амплитуде колебания. Для данной колебательной системы отношение Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами– постоянная положительная величина (так как масса и жесткость не могут быть отрицательными). При сравнении уравнения колебаний (4.9) пружинного маятника с выражением для другого вида периодического движения – известным выражением центростремительного ускорения при равномерном движении по окружности получается, что отношение Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами соответствует квадрату циклической частоты Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

или

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Таким образом, уравнение движения пружинного маятника можно записать и так:

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Уравнение (4.12) показывает, что колебания пружинного маятника с циклической частотой Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами являются свободными гармоническими колебаниями. Из математики известно, что решением этого уравнения является:

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Так как тригонометрическая функция является гармонической функцией, то и колебания пружинного маятника являются гармоническими колебаниями.

Здесь Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами фаза колебания, Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами — начальная фаза. Единица измерения фазы в СИ – радиан (1 рад). Фазу также можно измерять в градусах: Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами Значение начальной фазы зависит от выбора начального момента времени. Начальный момент времени можно выбрить так, чтобы Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами В этом случае формулу гармонических колебаний пружинного маятника можно записать так:

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами или Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Из сравнения выражений (4.11) и (4.5) определяются величины, от которых зависят период и частота колебаний пружинного маятника: 

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Из выражений (4.14) и (4.15) видно, что период и частота пружинного маятника зависят от жесткости пружины и массы груза, подвешенного к нему.

Гармонические колебания математического маятника

До наших дней дошла такая историческая информация: однажды в 1583 году итальянский ученый Г. Галилей, находясь в храме города Пиза, обратил внимание на колебательное движение люстры, подвешенной на длинном тросе. Он, сравнивая колебания люстры со своим пульсом, определил, что, несмотря на уменьшение амплитуды колебания, время, затрачиваемое на одно полное колебание (период колебания) люстры, не изменяется. Затем Галилей в результате многочисленных проведенных исследований, изменяя длину нитевого маятника, массу подвешенного к нему груза, высоту расположения маятника (по сравнению с уровнем моря), определил, от чего зависят период и частота колебаний маятника.

Гармонические колебания возникают также под действием силы тяжести. Это можно наблюдать с помощью математического маятника.

Математический маятник – это идеализированная колебательная система, состоящая из материальной точки, подвешенной на невесомой и нерастяжимой нити.

Для исследования колебаний математического маятника можно использовать систему, состоящую из тонкой длинной нити и шарика (b).

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Сила тяжести Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами действующая на шарик в положении равновесия маятника, уравновешивается силой натяжения нити Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами Однако, если вывести маятник из состояния равновесия, сместив его на малый угол Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами в сторону, то возникают две составляющие вектора силы тяжести -направленная вдоль нити Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами и перпендикулярная нити Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами Сила натяжения Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами и составляющая силы тяжести Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами уравновешивают друг друга. Поэтому равнодействующая сила будет равна составляющей Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами “пытающейся” вернуть тело в положение равновесия (см.: рис. b). Учитывая вышеуказанное и ссылаясь на II закон Ньютона, можно написать уравнение колебательного движения тела массой Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами в проекциях на ось ОХ:

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Приняв во внимание, что:

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Для уравнения движения математического маятника получим:

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Где Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами — длина математического маятника (нити), Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами – ускорение свободного падения, Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами — амплитуда колебания.

Для данной колебательной системы отношение Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами — постоянная положительная величина, потому что ускорение свободного падения и длина нити не могут быть отрицательными. Если сравнить уравнения (4.16) и (4.10), с легкостью можно увидеть, что отношение Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами также соответствует квадрату циклической частоты Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

или

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Таким образом, уравнение движения математического маятника можно записать и так:

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Уравнение (4.19) показывает, что колебания математического маятника являются гармоническими колебаниями с циклической частотой со. Из математики вы знаете, что решением этого уравнения является нижеприведенная функция:

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Так как эта функция является гармонической, то и колебания математического маятника являются гармоническими колебаниями.

Отсюда определяются величины, от которых зависят период и частота колебаний математического маятника:

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Таким образом, период и частота колебаний математического маятника зависят от длины маятника и напряженности гравитационного поля в данной точке.

Скорость и ускорение при гармонических колебаниях

Вы уже знакомы с основными тригонометрическими функциями и умеете строить графики тригонометрических уравнений, описывающих гармонические колебания.

При гармонических колебаниях маятника его смещение изменяется по гармоническому закону, поэтому не трудно доказать, что его скорость и ускорение также изменяются по гармоническому закону. Предположим, что смещение изменяется по закону косинуса и начальная фаза равна нулю

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Так как скорость является первой производной смещения (координат) по времени, то:

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

или

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Как видно из выражения (4.23), скорость, изменяющаяся по гармоническому закону, опережает колебания смещения по фазе на Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами (а).

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Максимальное (амплитудное) значение скорости зависит от амплитуды, частоты и периода колебаний:

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Так как ускорение является первой производной скорости по времени, то получим:

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

или

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Как видим, колебания ускорения, изменяющегося по гармоническому закону, опережают колебания скорости по фазе на Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами а колебания смещения на

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами (см.: рис. а). Максимальное (амплитудное) значение ускорения зависит от амплитуды, частоты и периода колебаний:

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Превращения энергии при гармонических колебаниях 

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Теоретический материал

Потенциальная и кинетическая энергия свободных гармонических колебаний в замкнутой системе периодически превращаются друг в друга.

В таблице 4.4 дано сравнение превращений энергий в пружинном и математическом маятниках. Как видно из таблицы, потенциальная энергия колебательной системы в точке возвращения Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами имеет максимальное значение:

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Если же маятник находится в точке равновесия, потенциальная энергия минимальна:

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Кинетическая энергия системы, наоборот, в точке возвращения минимальна Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами а в точке равновесия максимальна: 

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

На рисунке (а) даны графики зависимости потенциальной и кинетической энергии при гармоническом колебательном движении от смещения.

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Полная механическая энергия замкнутой колебательной системы в произвольный момент времени Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами остается постоянной (трение не учитывается):

a) для пружинного маятника:

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

b) для математического маятника:

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Если принять во внимание изменение смещения и скорости по гармоническому закону в формулах потенциальной и кинетической энергии колебательного движения, то станет очевидно, что при гармонических колебаниях эти энергии так же изменяются по гармоническому закону (b):  

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Как было отмечено выше, полная энергия системы не изменяется по гармоническому закону:

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Полная энергия гармонических колебаний прямо пропорциональна квадрату амплитуды колебаний.

Если же в системе существует сила трения, то его полная энергия не сохраняется — изменение полной механической энергии равно работе силы трения. В результате колебания затухают: Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Превращения энергии при гармонических колебаниях

Механическая энергия системы равна сумме ее кинетической и потенциальной энергий. Кинетической энергией тело обладает вследствие своего движения, а потенциальная энергия определяется взаимодействием тела с другими телами или полями. Механическая энергия замкнутой системы, в которой не действуют силы трения (сопротивления), сохраняется.

Поскольку при колебаниях гармонического осциллятора силу трения не учитывают, то его механическая энергия сохраняется.

Рассмотрим превращения энергии при колебаниях математического маятника. Выберем систему отсчета таким образом, чтобы в положении равновесия его потенциальная энергия была равна нулю.

При отклонении маятника на угол а (рис. 7), соответствующий максимальному смещению от положения равновесия, потенциальная энергия максимальна, а кинетическая энергия равна нулю:

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами
Рис. 7. Превращения энергии при колебаниях математического маятника
 

Поскольку при прохождении положения равновесия его потенциальная энергия равна нулю, то кинетическая энергия (а следовательно, и скорость) будет максимальна:

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Из закона сохранения механической энергии следует (рис. 8), что

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами(1)

Отсюда найдем модуль максимальной скорости маятника:

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами    (2)

Высоту Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами можно выразить через длину маятника l и амплитуду колебаний А.

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Если колебания малые, то Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами Из треугольника KCD на рисунке 8 находим

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Отсюда

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Подставив выражение для Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами в формулу I (2), получим

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Подставляя выражения для Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами и Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами в соотношение (1), находим

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Таким образом, в положении равновесия потенциальная энергия полностью переходит в кинетическую, а в положениях максимального отклонения кинетическая энергия полностью переходит в потенциальную.

В любом промежуточном положении

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Покажем, что аналогичные превращения энергии имеют место и для пружинного маятника (рис. 9). В крайних точках, когда координата груза принимает значение Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами, модуль его скорости равен нулю (v = 0) и кинетическая энергия груза полностью переходит в потенциальную энергию деформированной пружины:

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Таким образом, получаем, что механическая энергия гармонического осциллятора пропорциональна квадрату амплитуды колебаний.

В положении равновесия, когда x = 0, вся энергия осциллятора переходит в кинетическую энергию груза:

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

где Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами— модуль максимальной скорости груза при колебаниях.

В промежуточных точках полная механическая энергия

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Отсюда можно вывести выражение для модуля скорости Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами груза в точке с

координатой х:    

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Так как Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Энергия при гармонических колебаниях

Механическая энергия системы равна сумме ее кинетической и потенциальной энергии. Механическая энергия замкнутой системы, в которой не действуют силы трения (сопротивления), сохраняется.

Поскольку при колебаниях гармонического осциллятора силой трения пренебрегают, то его механическая энергия сохраняется. Рассмотрим превращения энергии при колебаниях математического маятника. Выберем систему отсчета таким образом, чтобы в положении равновесия его потенциальная энергия была равна нулю.

При отклонении маятника на угол Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами (рис. 10), соответствующий максимальному смещению от положения равновесия, потенциальная энергия максимальна, а кинетическая энергия равна нулю:

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Поскольку при прохождении положения равновесия потенциальная энергия равна нулю Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами то из закона сохранения механической энергии следует (см. рис. 10), что Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами т. е. кинетическая энергия маятника (а следовательно, и скорость) рис. ю. Определение^иhmax будет максимальна:

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Запишем закон сохранения механической энергии, подставив в него выражения для потенциальной и кинетической энергии:

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Отсюда найдем модуль максимальной скорости маятника:

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Высоту Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами можно выразить через длину Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами маятника и амплитуду Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами колебаний. Если колебания малые, то Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами Из Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами (см. рис. 10) находим:
Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

или Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Подставив выражение (3) для Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами в формулу (2), получим:
Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Подставляя выражения (3) для Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами и (4) для Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами в соотношение (1), находим:

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Таким образом, в положении равновесия потенциальная энергия полностью переходит в кинетическую, а в положениях максимального отклонения кинетическая энергия полностью переходит в потенциальную (рис. 11). В любом промежуточном положении
Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Покажем, что аналогичные превращения энергии имеют место и для пружинного маятника (рис. 12).

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

В крайних положениях, когда Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами модуль скорости маятника Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами и кинетическая энергия груза полностью переходит в потенциальную энергию деформированной пружины:

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Таким образом, из соотношения (6) следует, что механическая энергия пружинного маятника пропорциональна квадрату амплитуды колебаний.

В положении равновесия, когда Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами вся энергия пружинного маятника переходит в кинетическую энергию груза:

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

где Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами — модуль максимальной скорости груза при колебаниях.

В положениях между крайними точками полная энергия

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

С учетом выражений для координаты Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами и проекции скорости груза Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами а также для Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами находим его потенциальную энергию Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами и кинетическую энергию Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами в произвольный момент времени 

Тогда полная механическая энергия пружинного маятника в этот же. момент времени есть величина постоянная и равная:

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Таким образом, начальное смещение Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами определяет начальную потенциальную, а начальная скорость Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами определяет начальную кинетическую энергию колеблющегося тела. При отсутствии в системе потерь энергии процесс колебаний сопровождается только переходом энергии из потенциальной в кинетическую и обратно.

Заметим, что частота периодических изменений кинетической (потенциальной) энергии колеблющегося тела в два раза больше частоты колебаний маятника. Действительно, дважды за период механическая энергия тела будет полностью превращаться в потенциальную (в двух крайних положениях маятника) и дважды за период — в кинетическую (при его прохождении через положение равновесия) (рис. 13).

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Пример №1

Математический маятник при колебаниях от одного крайнего положения до другого смещается на расстояние Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами см и при прохождении положения равновесия достигает скорости, модуль которой Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами Определите период Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами колебании маятника.
Дано:

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами
Решение

По закону сохранения механической энергии

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Отсюда: 

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами
Ответ: Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Пример №2

Груз массой Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами г находится на гладкой горизонтальной поверхности и закреплен на легкой пружине жесткостью Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами Его смешают на расстояние Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами см от положения равновесия и сообщают в направлении от положения равновесия скорость, модуль которой Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами Определите потенциальную Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами и кинетическую Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами энергию груза в начальный момент времени. Запишите кинематический закон движения груза.

Дано:

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами
Решение Потенциальная энергия груза:
Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами
Кинетическая энергия груза:
Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Начальное смещение груза не является амплитудой, так как вместе с начальным отклонением грузу сообщили и скорость. Однако полная энергия может быть выражена через амплитуду колебаний:

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Отсюда
Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами
Циклическая частота:
Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами
В начальный момент времени Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами координата груза Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами Отсюда начальная фаза:
Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами
Тогда закон гармонических колебаний имеет вид (рис. 14):

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Ответ: Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерамиГармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

Гармонические колебания в физике - формулы и определение с примерами

  • Вынужденные колебания в физике
  • Электромагнитные колебания
  • Свободные и вынужденные колебания в физике
  • Вынужденные электромагнитные колебания
  • Закон Архимеда
  • Движение жидкостей
  • Уравнение Бернулли
  • Механические колебания и волны в физике

Добавить комментарий