Как найти амплитуду скорости точки

Уравнение амплитуды скорости и амплитуды ускорения

• Т — период колебаний — минимальный промежуток времени, по истечении которого повторяются значения всех физических величин, характеризующих колебание

• ω₀ — циклическая (круговая) частота — число полных колебаний за 2π секунд:

Частота и период гармонических колебаний не зависят от амплитуды. Изменяя амплитуду колебаний груза на пружине, мы не изменяем частоту колебаний этой системы.

Колебания характеризуются не только смещением, но и скоростью v_x, и ускорением a_x. Если смещение описывается уравнением x = A cos(ω₀t + φ), то, по определению, .

В этих уравнениях v_m =ω₀A — амплитуда скорости; a_m =ω₀ 2 A — амплитуда ускорения.

Из уравнений (2.1.5) и (2.1.6) видно, что скорость и ускорение также являются гармоническими колебаниями.

2.1.3. Графики смещения скорости и ускорения

Параметры колебаний запишем в виде системы уравнений:

Из этой системы уравнений можно сделать следующие выводы:

• скорость колебаний тела максимальна и по абсолютной величине равна амплитуде скорости в момент прохождения через положение

Гармонические колебания.

Колебания, при которых изменения физических величин происходят по закону косинуса или синуса (гармоническому закону), наз. гармоническими колебаниями.

Например, в случае механических гармонических колебаний:.

В этих формулах ω – частота колебания, x_m – амплитуда колебания, φ₀ и φ₀’ – начальные фазы колебания. Приведенные формулы отличаются определением начальной фазы и при φ₀’ = φ₀ +π/2 полностью совпадают.

Это простейший вид периодических колебаний. Конкретный вид функции (синус или косинус) зависит от способа выведения системы из положения равновесия. Если выведение происходит толчком (сообщается кинетическая энергия), то при t=0 смещение х=0, следовательно, удобнее пользоваться функцией sin, положив φ₀’=0; при отклонении от положения равновесия (сообщается потенциальная энергия) при t=0 смещение х=х_m, следовательно, удобнее пользоваться функцией cos и φ₀=0.

Выражение, стоящее под знаком cos или sin, наз. фазой колебания: .

Фаза колебания измеряется в радианах и определяет значение смещения (колеблющейся величины) в данный момент времени.

Амплитуда колебания зависит только от начального отклонения (начальной энергии, сообщенной колебательной системе).

Скорость и ускорение при гармонических колебаниях.

Согласно определению скорости, скорость – это производная от координаты по времени

Таким образом, мы видим, что скорость при гармоническом колебательном движении также изменяется по гармоническому закону, но колебания скорости опережают колебания смещения по фазе на π/2.

Величина — максимальная скорость колебательного движения (амплитуда колебаний скорости).

Следовательно, для скорости при гармоническом колебании имеем: , а для случая нулевой начальной фазы (см. график).

Согласно определению ускорения, ускорение – это производная от скорости по времени:

— вторая производная от координаты по времени. Тогда: .

Ускорение при гармоническом колебательном движении также изменяется по гармоническому закону, но колебания ускорения опережают колебания скорости на π/2 и колебания смещения на π (говорят, что колебания происходят в противофазе).

Величина

— максимальное ускорение (амплитуда колебаний ускорения). Следовательно, для ускорения имеем: , а для случая нулевой начальной фазы: (см. график).

Из анализа процесса колебательного движения, графиков и соответствующих математических выражений видно, что при прохождении колеблющимся телом положения равновесия (смещение равно нулю) ускорение равно нулю, а скорость тела максимальна (тело проходит положение равновесия по инерции), а при достижении амплитудного значения смещения – скорость равна нулю, а ускорение максимально по модулю (тело меняет направление своего движения).

Сравним выражения для смещения и ускорения при гармонических колебаниях:

и .

Можно записать: —

т.е. вторая производная смещения прямо пропорциональна (с противоположным знаком) смещению. Такое уравнение наз. уравнением гармонического колебания. Эта зависимость выполняется для любого гармонического колебания, независимо от его природы. Поскольку мы нигде не использовали параметров конкретной колебательной системы, то от них может зависеть только циклическая частота.

Часто бывает удобно записывать уравнения для колебаний в виде: ,

где T – период колебания. Тогда, если время выражать в долях периода подсчеты будут упрощаться. Например, если надо найти смещение через 1/8 периода, получим: . Аналогично для скорости и ускорения.

I. Механика

Тестирование онлайн

Гармоническое колебание

Это периодическое колебание, при котором координата, скорость, ускорение, характеризующие движение, изменяются по закону синуса или косинуса.

График гармонического колебания

График устанавливает зависимость смещения тела со временем. Установим к пружинному маятнику карандаш, за маятником бумажную ленту, которая равномерно перемещается. Или математический маятник заставим оставлять след. На бумаге отобразится график движения.

Графиком гармонического колебания является синусоида (или косинусоида). По графику колебаний можно определить все характеристики колебательного движения.

Уравнение гармонического колебания

Уравнение гармонического колебания устанавливает зависимость координаты тела от времени

График косинуса в начальный момент имеет максимальное значение, а график синуса имеет в начальный момент нулевое значение. Если колебание начинаем исследовать из положения равновесия, то колебание будет повторять синусоиду. Если колебание начинаем рассматривать из положения максимального отклонения, то колебание опишет косинус. Или такое колебание можно описать формулой синуса с начальной фазой .

Изменение скорости и ускорения при гармоническом колебании

Не только координата тела изменяется со временем по закону синуса или косинуса. Но и такие величины, как сила, скорость и ускорение, тоже изменяются аналогично. Сила и ускорение максимальные, когда колеблющееся тело находится в крайних положениях, где смещение максимально, и равны нулю, когда тело проходит через положение равновесия. Скорость, наоборот, в крайних положениях равна нулю, а при прохождении телом положения равновесия — достигает максимального значения.

Если колебание описывать по закону косинуса

Если колебание описывать по закону синуса

Максимальные значения скорости и ускорения

Проанализировав уравнения зависимости v(t) и a(t), можно догадаться, что максимальные значения скорость и ускорение принимают в том случае, когда тригонометрический множитель равен 1 или -1. Определяются по формуле

Как получить зависимости v(t) и a(t)

Формулы зависимостей скорости от времени и ускорения от времени можно получить математически, зная зависимость координаты от времени. Аналогично равноускоренному движению, зависимость v(t) — это первая производная x(t). А зависимость a(t) — это вторая производная x(t).

При нахождении производной предполагаем, что переменной (то есть x в математике) является t, остальные физические величины воспринимаем как постоянные.

2018-05-31   

Точка совершает затухающие колебания с частотой $omega$ и коэффициентом затухания $beta$. Найти амплитуду скорости точки как функцию времени $t$, если в момент $t = 0$:

а) амплитуда ее смещения равна $a_{0}$;

б) смещение точки $x(0) = 0$ и проекция ее скорости $v_{x}(0) = x_{0}$.

Решение:

Запишем $x = a_{0}e^{ – beta t} cos ( omega t + alpha) = Re A e^{ – beta t + i omega t }, A = a_{0}e^{i alpha}$

$dot{x} = Re A ( – beta + i omega )e^{ – beta t + i omega t}$

Амплитуда скорости в зависимости от времени определяется следующим образом. Положим $t = t_{0} + tau$, тогда

$x = Re Ae^{ – beta (t_{0} + tau)} e^{ i omega} (t_{0} + tau) approx Re Ae^{ – beta t_{0}} e^{ i omega t_{0} + i omega tau} approx Re A e^{ – beta t_{0} } e^{ i omega t}$

при $tau ll frac{1}{ beta}$. Это означает, что амплитуда в момент времени $t_{0}$ равна $a_{0}e^{ – beta t_{0} }$ и мы можем считать, что амплитуда в момент времени $t$ равна $a_{0}e^{ – beta t }$. Аналогично для амплитуды скорости очевидно

(a) Амплитуда скорости в момент времени $t = a_{0} sqrt{ beta^{2} + omega^{2}} e^{ – beta t}$

Так как $A ( – beta + i omega ) = a_{0}e^{i alpha} (- beta + i omega) = a-{0} sqrt{ beta^{2} + omega^{2} } e^{i gamma}$

где $gamma$ – некоторая постоянная

(б) $x(0) = 0 Rightarrow Re A = 0$ или $A = pm ia_{0}$, где $a_{0}$ вещественное и положительное.

Также $v_{x} (0) = dot{x}_{0} = Re pm i a_{0} ( – beta + i omega) = mp omega a_{0}$

Таким образом, $a_{0} = frac{| dot{x}_{0} |}{ omega}$ и принимает знак (+), если $x_{0}$ отрицательный (положительный). Наконец, амплитуда скорости получается как

$ frac{| dot{x}_{0} |}{ omega} sqrt{ beta^{2} + omega^{2} } e^{ – beta t}$.

Колебания и волны: скорости и ускорения

В этой статье мы вспомним кинематику: то, что скорость  – производная координаты, а ускорение – производная скорости или вторая производная координаты. Заодно потренируемся брать производные от сложных функций.

Задача 1.

Материальная точка совершает гармонические колебания по закону . Определить амплитуду, круговую частоту, период и начальную фазу колебаний. Найти амплитуды скорости и ускорения. Построить графики зависимости координаты. скорости и ускорения точки от времени.

Амплитуда равна , круговая частота (или циклическая, или угловая) равна , начальная фаза равна , период колебаний – с.

Скорость – производная координаты. Возьмем производную:

Тогда м/с.

Ответ: амплитуда , круговая частота , начальная фаза , период колебаний – с, м/с, м/с

Задача 2.

Материальная точка совершает гармонические колебания с частотой Гц. Амплитуда колебаний А =3 см. Определить скорость точки в момент времени, когда смещение см.

Запишем закон колебаний. Так как не указано, по какому закону они совершаются, то выберем косинус.

Скорость – производная координаты. Возьмем производную:

Ответ: см/с.

Задача 3.

Написать закон гармонического колебания точки, если максимальное ускорение ее см/с2, период колебаний с и смещение точки от положения равновесия в начальный момент времени см. Колебания совершаются по закону синуса.

В момент времени смещение равно 2,5 см:

Выясним, какая у точки амплитуда колебаний. Для этого определим скорость (первую производную) и ускорение(вторую производную):

Максимальное ускорение – это амплитуда ускорения, то есть

Откуда :

Тогда в момент времени :

Определим начальную фазу:

Закон колебаний тогда будет таким:

Ответ: см.

Задача. Определите наибольшие значения модулей (амплитуду) скорости и ускорения колеблющейся материальной точки, если амплитуда её колебаний см, а период колебаний с.

Решение

Думаем: будем считать колебания гармоническими (мы других не знаем), тогда

(1)

(2)

где  — циклическая частота колебаний. Её можно найти исходя из нашего последнего неиспользованного дано:

(3)

Решаем: подставим (3) в (1) и в (2)

(4)

(5)

Считаем: обязательный перевод амплитуды в единицы СИ ( см м. Также вспомним о константе . Исходя из (4):

м/с

 м/с

Ответ:  м/с,  м/с.

Ещё задачи на тему «Уравнение гармонических колебаний».

Колебания ― это процесс, при котором состояние системы изменяется, повторяясь во времени, и смещаясь то в одну, то в другую сторону относительно состояния равновесия.

Период ― это время, через которое повторяются показатели системы, т. е. система совершает одно полное колебание. Период изменяется в секундах.

Частота ― величина обратная периоду: число полных колебаний за единицу времени. Частота измеряется в герцах [Гц] = [c-1]. Частота равна v = $frac{1}{T}$ , где

v ― частота [Гц];

T ― период [c].

Если известно, что тело совершает N колебаний за время t, то частоту его колебаний можно определить как v = $frac{N}{t}$ , где

ν ― частота [Гц];

N ― количество колебаний;

t - время [с].

Для описания колебательных систем, совершающих круговые процессы, удобно использовать круговую (циклическую) частоту. Циклическая частота показывает количество полных колебаний, которые происходят за 2π секунд и равна ω = 2πvили ω = $frac{2pi}{T}$ , где

ω ― циклическая частота [рад/с];

ν ― частота [Гц];

T ― период [c].

Гармонические колебания ― колебания, в которых физические величины изменяются по закону синуса или косинуса. Кинематическое уравнение гармонических колебаний имеет вид:

x(t) = Asin(ωt + φ0) или x(t) = Acos(ωt + φ0), где

x ― смещение [м];

t ― время, [с];

A ― амплитуда колебаний [м];

ω ― циклическая частота [рад/с];

φ0 ― начальная фаза колебаний, [рад];

(ωt + φ0) ― полная фаза колебаний [рад].

Смещение (x) ― это отклонение тела от положения равновесия. Смещение также является координатой тела, если отсчитывать ее от положения равновесия.

Амплитуда колебаний (A) ― максимальное отклонение колеблющейся величины от положения равновесия, т. е. максимальное смещение равно амплитуде колебаний xmax = A.

Начальная фаза колебаний (φ0) определяет смещение в начальный момент времени, выраженное в радианах.

Фаза колебаний (φ) или полная фаза колебаний, определяет смещение в данный момент времени, выраженное в радианах. Фаза колебаний равна φ = ωt + φ0, где

φ ― полная фаза колебаний [рад];

φ0 ― начальная фаза колебаний, [рад];

ω ― циклическая частота [рад/с];

t ― время, [с].

Пример анализа гармонических колебаний точки

Рассмотрим гармонические колебания, в которых уравнение движения точки имеет вид x(t) = Asin(ωt), где

x ― смещение [м];

t ― время, [с];

A — амплитуда колебаний [м];

ω ― циклическая частота [рад/с].

Из уравнения x(t) = Asin(ωt) следует, что начального смещения нет (φ0 = 0) и колебания начинаются из положения равновесия. Смещение x достигает максимального значения xmax и равно амплитуде xmax = A, в тот момент, когда модуль синуса равен единице |sin(ωt)| = 1. Когда x = A фаза колебаний равна φ = $frac{pi}{2} +2pi n$ когда x = –A фаза колебаний принимает значения φ = $frac{3pi}{2} +2pi n$ , где n = 0, 1 , 2, … N.

График колебания координаты точки имеет вид:

Определим уравнение и график колебания скорости. Скорость ― это производная координаты по времени: v = xt‘, где

v ― скорость движения точки [м/с];

x ― координата точки [м];

t ― время, [с].

Так как закон изменения координаты нам известен x(t) = Asin(ωt), скорость движения колеблющейся точки: v = xt‘ = |Asin(ωt)|’t = Acos(ωt).

Уравнение скорости точки равно v(t) = Acos(ωt), где

v ― скорость движения точки [м/с];

A — амплитуда колебаний [м];

ω ― циклическая частота [рад/с];

t ― время, [с].

Сравнив уравнение v(t) = Aωcos(ωt) с кинематическим уравнением гармонических колебаний, легко заметить, что Aω ― амплитуда изменения скорости, а ωt ― фаза колебаний скорости. Таким образом, максимальное значение скорости равно vmax = Aω, и оно достигается при | cos(ωt) | = 1, т. е. тогда, когда фаза колебаний скорости равна φ = πn, где n = 0, 1, 2, … N.

График колебания скорости точки имеет вид:

Аналогично определяются уравнение и график колебания ускорения точки, которая движется по гармоническому закону.

Ускорение ― это производная скорости по времени: a = vt‘, где

a ― ускорение движения точки [м/с2];

v ― скорость движения точки [м/с];

t ― время, [с].

Так как закон изменения скорости был определен выше v(t) = Aωcos(ωt), определим ускорения движения колеблющейся точки: a = vt‘ = [Aωcos(ωt)]t‘ = –Aω2sin(ωt).

Уравнение ускорения точки равно a(t) = –Aω2sin(ωt), где

a ― ускорение движения точки [м/с2];

A — амплитуда колебаний [м];

ω ― циклическая частота [рад/с];

t ― время, [с].

Модуль ускорения точки максимален, когда |sin(ωt)| = 1 ― тогда же, когда достигает максимума смещение точки. Максимальное ускорение, т. е. амплитуда ускорения точки равна amax = Aω2.

График колебания ускорения точки имеет вид:

Во время гармонических колебаний, формы энергии колебательной системы все время находятся в процессе взаимной трансформации. В механической колебательной системе преобразуется механическая энергия: потенциальная энергия ― в кинетическую, а затем кинетическая энергия ― вновь в потенциальную. Полная механическая энергия колеблющейся системы постоянна, и в любой момент времени справедлив закон сохранения энергии E = EП + EK, где

E ― полная механическая энергия системы, E = const, [Дж];

EП ― потенциальная энергия системы, изменяющаяся во времени, [Дж];

EK ― кинетическая энергия системы, изменяющаяся во времени, [Дж].

Рассмотрим изменение потенциальной энергии пружинного маятника, который колеблется по гармоническому уравнению x(t) = Asin(ωt).

Потенциальная энергия деформированной пружины равна EП = $frac{kx^2}{2}$ , где

EП ― потенциальная энергия деформированной пружины, [Дж];

k ― коэффициент упругости пружины [Н/м];

x ― деформация пружины (величина ее удлинения или сжатия) [м].

У пружинного маятника деформация пружины ― переменная величина, которая зависит от времени. Кинематическое уравнение движения точки, принадлежащей этому маятнику ― x(t) = Asin(ωt). Следовательно, потенциальную энергию пружинного маятника можно записать как EП = $frac{k(x(t))^2}{2}$ = $frac{k(Asin(omega t))^2}{2}$ = $frac{k}{2} cdot A^2 sin^2 (omega t)$ .

Уравнение потенциальной энергии пружинного маятника EП = $frac{k}{2} cdot A^2 sin^2 (omega t)$ , где

EП ― потенциальная энергия пружинного маятника, [Дж];

k ― коэффициент упругости пружины [Н/м];

A — амплитуда колебаний [м];

ω ― циклическая частота [рад/с];

t ― время, [с].

Амплитуда потенциальной энергии пружинного маятника равна EПmax = $frac{k}{2}A^2$ , где

EПmax ― максимальная потенциальная энергия пружинного маятника, [Дж];

k ― коэффициент упругости пружины [Н/м];

A — амплитуда колебаний [м].

Потенциальная энергия пружинного маятника равна нулю, когда sin(ωt) = 0 ― когда маятник проходит положение равновесия, и максимальна, когда sin(ωt) = 1 ― когда маятник находится в крайних положениях, т. е. когда его смещение равно амплитуде.

График колебаний потенциальной энергии пружинного маятника:

Рассмотрим изменение кинетической энергии маятника. Кинетическая энергия тела равна Eк = $frac{mv^2}{2}$ , где

Eк ― кинетическая энергия тела, [Дж];

m ― масса тела, [кг];

v ― скорость движения тела, [м/с].

У тела, которое совершает колебательные движения, скорость ― переменная величина.

Выше было показано, что если уравнение движения точки имеет вид x(t) = Asin(ωt), то уравнение скорости точки v(t) = Aωcos(ωt). Таким образом, кинетическая энергия маятника равна Eк = $frac{m(v(t))^2}{2}$ = $frac{m}{2} cdot (Aomegacos(omega t))^2$ = $frac{m}{2} cdot A^2 omega^2 cos^2 (omega t)$ .

Уравнение кинетической энергии маятника Eк = $frac{m}{2} cdot A^2 omega^2 cos^2 (omega t)$ , где

Eк ― кинетическая энергия маятника, [Дж];

m ― масса тела, [кг];

A — амплитуда колебаний [м];

ω ― циклическая частота [рад/с];

t ― время, [с].

Амплитуда кинетической энергии маятника равна EКmax = $frac{m}{2} cdot A^2 omega^2$ , где

EКmax ― максимальная кинетическая энергия маятника, [Дж];

m ― масса тела, [кг];

A — амплитуда колебаний [м];

ω ― циклическая частота [рад/с].

Максимальная кинетическая энергия маятника достигается тогда, когда cos2(ωt) = 1 ― маятник проходит положение равновесия, и она равна нулю, когда маятник находится в крайнем положении.

График колебаний кинетической энергии маятника:

Математический маятник ― это колебательная система, состоящая из материальной точки, подвешенной на нерастяжимой нити или стержне.

Период колебаний математического маятника равен T = $2pi sqrt{frac{l}{g}}$ , где

T ― период колебаний [с];

l ― длина нити математического маятника [м];

g ― ускорение свободного падения [м/с2].

Период колебаний пружинного маятника равен T = $2pi sqrt{frac{m}{k}}$ , где

T ― период колебаний [с];

m ― масса груза [кг];

k ― жесткость пружины [Н/м].

Существует особый тип колебаний ― вынужденные колебания. Вынужденные колебания происходят только под постоянным периодическим внешним воздействием и их характеристики зависят от характеристик этого воздействия.

Если частота внешнего воздействия, которое вызывает вынужденные колебания, совпадает с собственной внутренней частотой колебательной системы ― возникает явление резонанса. При резонансе резко возрастает амплитуда колебаний системы. Частота, при которой возникает явление резонанса, называется резонансной частотой.

На рисунке показан график резонансной кривой ― увеличение амплитуды при совпадении частоты внешнего воздействия с внутренней частотой системы.