Как найти амплитуду тока в колебательном контуре

Электромагнитные колебания

Конспект для 10-11 классов. Элементы содержания ЕГЭ по физике:
3.5.1. Колебательный контур. Свободные электромагнитные колебания в колебательном контуре.
Формула Томсона. Связь амплитуды заряда конденсатора с амплитудой силы тока в колебательном контуре.
3.5.2. Закон сохранения энергии в колебательном контуре.
3.5.3. Вынужденные электромагнитные колебания. Резонанс

---

Электромагнитные колебания — это повторяющийся процесс взаимного превращения электрических и магнитных полей. Электромагнитные колебания возникают в колебательном контуре.

Колебательный контур — это цепь, состоящая из конденсатора и катушки индуктивности.

Если сопротивлением проводов контура можно пренебречь, то такой контур называется идеальным. При зарядке конденсатора в идеальном колебательном контуре возникают свободные, незатухающие электромагнитные колебания заряда и напряжения на обкладках конденсатора, а также силы тока и ЭДС в катушке индуктивности. Электромагнитные колебания в идеальном колебательном контуре являются высокочастотными и гармоническими.

Электромагнитные колебания бывают двух видов — свободные и вынужденные.

Свободными колебаниями называют колебания, возникающие в колебательной системе за счет первоначально сообщенной этой системе энергии.

Вынужденные колебания — это периодические изменения заряда, силы тока и напряжения в цепи под действием переменной электродвижущей силы от внешнего источника.

На рисунке ниже изображены графики колебаний заряда, напряжения и силы тока в идеальном колебательном контуре. Внизу статьи приведены уравнения электромагнитных колебаний и волн.

Период, циклическая частота и частота свободных электромагнитных колебаний в колебательном контуре (формула Томсона):

Т = 2π√LC;   ω = 1/√LC;   v = 1/(2π√LC)

Здесь Т — период колебаний (с), L — индуктивность катушки (Гн), C — емкость конденсатора (Ф), ω — циклическая частота колебаний (рад/с), v — частота колебаний (Гц).

Свободные электромагнитные колебания в идеальном колебательном контуре подчиняются закону сохранения энергии: полная энергия электромагнитных колебаний Е_ЭЛ–М равна максимальной энергии электрического поля конденсатора Е_{эл max}, или равна максимальной энергии магнитного поля катушки индуктивости Е_{м max}, или равна сумме мгновенных электрической Е_эл и магнитной Е_м энергий поля конденсатора и катушки в любой промежуточный момент:

Е_ЭЛ–М = Е_{эл max} = Е_{м max} = Е_эл + Е_м.

Это закон можно записать, развернув значения энергии электрического и магнитного полей через их параметры:

В этом уравнении максимальную энергию электрического поля в зависимости от известных величин можно выразить как Е_{эл max} = q²_max/2C или Е_{эл max} = q_maxU_max/2, а его мгновенную энергию — соответственно как Е_эл = q²/2C или Е_эл = qu/2. Здесь q, u и i — мгновенные значения заряда, напряжения и силы тока.

Всякий реальный колебательный контур имеет сопротивление проводов R. Если ему один раз сообщить энергию, например, зарядив конденсатор С, то колебания в нем будут затухающими из-за потерь энергии на джоулево тепло. График затухающих колебаний силы тока изображен на рисунке.

Электромагнитные колебания являются затухающими, потому что происходят потери энергии. Часть энергии расходуется на преодоление сопротивления контура и превращается во внутреннюю энергию. Поэтому суммарная энергия электрического и магнитного полей с течением времени уменьшается и колебания затухают. Чтобы колебания были незатухающими, колебательный контур надо пополнять энергией, например, включив в него источник переменного напряжения.

Если частота пополнения контура энергией будет равна собственной частоте колебаний контура, то в контуре возникнет электрический резонанс — явление резкого возрастания максимальной силы тока в контуре (амплитуды силы тока), когда частота пополнения контура энергией становится равной собственной частоте колебаний в контуре.

---

Смотрите также:

Конспект для 8 класса «Электромагнитные колебания и волны»

Задачи на тему «Колебания и волны» с решениями и ответами (10-11 класс)

Уравнения электромагнитных колебаний заряда,
силы тока, напряжения и ЭДС:

---

Конспект урока по физике для 10-11 классов «Электромагнитные колебания». Выберите дальнейшее действие:

• Вернуться к Списку конспектов по физике для 7-11 классов
• Найти конспект через Кодификатор ОГЭ по физике
• Найти конспект через Кодификатор ЕГЭ по физике

Электромагнитные колебания и волны

Свободные электромагнитные колебания. Колебательный контур

Электромагнитные колебания — это периодические изменения заряда, силы тока и напряжения, происходящие в электрической цепи. Простейшей системой для наблюдения электромагнитных колебаний служит колебательный контур.

Колебательный контур — это замкнутый контур, образованный последовательно соединенными конденсатором и катушкой.

Сопротивление катушки ​( R )​ равно нулю.

Если зарядить конденсатор до напряжения ​( U_m )​, то в начальный момент времени ​( t_1=0 )​, напряжение на конденсаторе будет равно ​( U_m )​. Заряд конденсатора в этот момент времени будет равен ​( q_m=CU_m )​. Сила тока равна нулю.

Полная энергия системы будет равна энергии электрического поля:

Конденсатор начинает разряжаться, по катушке начинает течь ток. Вследствие самоиндукции в катушке конденсатор разряжается постепенно.

Ток достигает своего максимального значения ​( I_m )​ в момент времени ​( t_2=T/4 )​. Заряд конденсатора в этот момент равен нулю, напряжение на конденсаторе равно нулю.

Полная энергия системы в этот момент времени равна энергии магнитного поля:

В следующий момент времени ток течет в том же направлении, постепенно (вследствие явления самоиндукции) уменьшаясь до нуля. Конденсатор перезаряжается. Заряды обкладок имеют заряды, по знаку противоположные первоначальным.

В момент времени ​( t_3=T/2 )​ заряд конденсатора равен ​( q_m )​, напряжение равно ​( U_m )​, сила тока равна нулю.

Полная энергия системы равна энергии электрического поля конденсатора.

Затем конденсатор снова разряжается, но ток через катушку течет в обратном направлении.

В момент времени ​( t_4=3T/4 )​ сила тока в катушке достигает максимального значения, напряжение на конденсаторе и его заряд равны нулю. С этого момента ток в катушке начинает убывать, но не сразу (явление самоиндукции). Энергия магнитного поля переходит в энергию электрического поля. Конденсатор начинает заряжаться, и через некоторое время его заряд равен первоначальному, а сила тока станет равной нулю.

Через время, равное периоду ​( T )​, система возвращается в начальное состояние. Совершилось одно полное колебание, дальше процесс повторяется.

Важно!
Колебания, происходящие в колебательном контуре, – свободные. Они совершаются без какого-либо внешнего воздействия — только за счет энергии, запасенной в контуре.

В контуре происходят превращения энергии электрического поля конденсатора в энергию магнитного поля катушки и обратно. В любой произвольный момент времени полная энергия в контуре равна:

где ​( i, u, q )​ – мгновенные значения силы тока, напряжения, заряда в любой момент времени.

Эти колебания являются затухающими. Амплитуда колебаний постепенно уменьшается из-за электрического сопротивления проводников.

Вынужденные электромагнитные колебания. Резонанс

Вынужденными электромагнитными колебаниями называют периодические изменения заряда, силы тока и напряжения в колебательном контуре, происходящие под действием периодически изменяющейся синусоидальной (переменной) ЭДС от внешнего источника:

где ​( varepsilon )​ – мгновенное значение ЭДС, ( varepsilon_m ) – амплитудное значение ЭДС.

При этом к контуру подводится энергия, необходимая для компенсации потерь энергии в контуре из-за наличия сопротивления.

Резонанс в электрической цепи – явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний силы тока в колебательном контуре с малым активным сопротивлением при совпадении частоты вынужденных колебаний внешней ЭДС с частотой собственных колебаний в контуре.

Емкостное и индуктивное сопротивления по-разному изменяются в зависимости от частоты. С увеличением частоты растет индуктивное сопротивление, а емкостное уменьшается. С уменьшением частоты растет емкостное сопротивление и уменьшается индуктивное сопротивление. Кроме того, колебания напряжения на конденсаторе и катушке имеют разный сдвиг фаз по отношению к колебаниям силы тока: для катушки колебания напряжения и силы тока имеют сдвиг фаз ​( varphi_L=-pi/2 )​, а на конденсаторе ( varphi_C=pi/2 )​. Это означает, что когда растет энергия магнитного поля катушки, то энергия электрического поля конденсатора убывает, и наоборот. При резонансной частоте индуктивное и емкостное сопротивления компенсируют друг друга и цепь обладает только активным сопротивлением. При резонансе выполняется условие:

Резонансная частота вычисляется по формуле:

Важно!
Резонансная частота не зависит от активного сопротивления ​( R )​. Но чем меньше активное сопротивление цепи, тем ярче выражен резонанс.

Чем меньше потери энергии в цепи, тем сильнее выражен резонанс. Если активное сопротивление очень мало ​( (Rto0) )​, то резонансное значение силы тока неограниченно возрастает. С увеличением сопротивления максимальное значение силы тока уменьшается, и при больших значениях сопротивления резонанс не наблюдается.

График зависимости амплитуды силы тока от частоты называется резонансной кривой. Резонансная кривая имеет больший максимум в цепи с меньшим активным сопротивлением.

Одновременно с ростом силы тока при резонансе резко возрастают напряжения на конденсаторе и катушке. Эти напряжения становятся одинаковыми и во много раз больше внешнего напряжения. Колебания напряжения на катушке индуктивности и конденсаторе всегда происходят в противофазе. При резонансе амплитуды этих напряжений одинаковы и они компенсируют друг друга. Падение напряжения происходит только на активном сопротивлении.

При резонансе возникают наилучшие условия для поступления энергии от источника напряжения в цепь: при резонансе колебания напряжения в цепи совпадают по фазе с колебаниями силы тока. Установление колебаний происходит постепенно. Чем меньше сопротивление, тем больше времени требуется для достижения максимального значения силы тока за счет энергии, поступающей от источника.

Явление резонанса используется в радиосвязи. Каждая передающая станция работает на определенной частоте. С приемной антенной индуктивно связан колебательный контур. При приеме сигнала в катушке возникают переменные ЭДС. С помощью конденсатора переменной емкости добиваются совпадения частоты контура с частотой принимаемых колебаний. Из колебаний всевозможных частот, возбужденных в антенне, контур выделяет колебания, равные его собственной частоте.

Резонанс может привести к перегреву проводов и аварии, если цепь не рассчитана на работу в условиях резонанса.

Гармонические электромагнитные колебания

Гармоническими электромагнитными колебаниями называются периодические изменения заряда, силы тока и напряжения, происходящие по гармоническому – синусоидальному или косинусоидальному – закону.

В электрических цепях это могут быть колебания:

• силы тока – ​( i=I_mcos(omega t+varphi+frac{pi}{2}); )​
• напряжения – ( u=U_mcos(omega t+varphi); )
• заряда – ( q=q_mcos(omega t+varphi); )
• ЭДС – ( varepsilon=varepsilon_msinomega t. )

В этих уравнениях ​( omega )​ –циклическая частота, ​( varphi )​ – начальная фаза колебаний, амплитудные значения: силы тока – ​( I_m )​, напряжения – ​( U_m )​ и заряда – ​( q_m )​.

Важно!
Если в начальный момент времени заряд имеет максимальное значение, а сила тока равна нулю, то колебания заряда совершаются по закону косинуса с начальной фазой, равной нулю. Если в начальный момент времени заряд равен нулю, а сила тока максимальна, то колебания заряда совершаются по закону синуса.

Сила тока равна первой производной заряда от времени:

Амплитуда колебаний силы тока равна:

Колебания заряда и напряжения в колебательном контуре происходят в одинаковых фазах. Амплитуда напряжения равна:

Колебания силы тока смещены по фазе относительно колебаний заряда на ​( pi/2 )​.

Период свободных электромагнитных колебаний

Период свободных электромагнитных колебаний находится по формуле Томсона:

где ​( L )​ – индуктивность катушки, ​( C )​ – электроемкость конденсатора.

Циклическая частота: ​( omega=frac{2pi}{T}=frac{1}{sqrt{LC}} )​

Важно!
Период и циклическая частота не зависят от начальных условий, а определяются только индуктивностью катушки и электроемкостью конденсатора. Амплитуда колебаний заряда и силы тока определяются начальным запасом энергии в контуре.

При свободных гармонических колебаниях происходит периодическое преобразование энергии. Период колебаний энергии в два раза меньше, чем период колебаний заряда, силы тока и напряжения. Частота колебаний энергии в два раза больше частоты колебаний заряда, силы тока и напряжения.

Переменный ток. Производство, передача и потребление электрической энергии

Переменным называется ток, изменяющийся по величине и направлению по гармоническому закону.

Переменный ток представляет пример вынужденных электромагнитных колебаний. Для описания переменного электрического тока используют следующие величины:

• мгновенное значение силы тока – i;

• мгновенное значение напряжения – u;

• амплитудное значение силы тока – Im;

• амплитудное значение напряжения –Um.

Цепь переменного тока представляет собой колебательный контур, к которому приложена внешняя синусоидальная ЭДС. В цепь переменного тока могут включаться различные нагрузки: резистор, катушка, конденсатор.

Активное сопротивление

Проводник, преобразующий всю энергию электрического тока во внутреннюю, называется активным сопротивлением ​( R )​. (Эту величину мы раньше называли сопротивлением.) Активное сопротивление зависит от материала проводника, его длины и площади поперечного сечения и не зависит от частоты переменного тока.

В проводнике с активным сопротивлением колебания силы тока и напряжения совпадают по фазе:

Мгновенное значение мощности: ​( p=i^2R, )​

среднее значение мощности за период: ​( overline{p}=frac{I_m^2R}{2}. )​

Действующим значением силы переменного тока ​( I_Д )​ называют значение силы постоянного тока, который в том же проводнике выделяет то же количество теплоты , что и переменный ток за то же время:

Действующим значением напряжения переменного тока ​( U_Д )​ называют значение напряжения постоянного тока, который в том же проводнике выделяет то же количество теплоты, что и переменный ток за то же время:

Для цепи с активным сопротивлением выполняется закон Ома для мгновенных, амплитудных и действующих значений.

Индуктивное сопротивление

Катушка в цепи переменного тока имеет большее сопротивление, чем в цепи постоянного тока. В такой цепи колебания напряжения опережают колебания силы тока по фазе на ​( pi/2 )​. Колебания силы тока и напряжения происходят по закону:

Амплитуда силы тока в катушке:

где ​( L )​ – индуктивность катушки.

Индуктивным сопротивлением ​( X_L )​ называют физическую величину, равную произведению циклической частоты на индуктивность катушки:

Индуктивное сопротивление прямо пропорционально частоте. Физический смысл индуктивного сопротивления: ЭДС самоиндукции препятствует изменению в ней силы тока. Это приводит к существованию индуктивного сопротивления, уменьшающего силу тока.

Для цепи с индуктивным сопротивлением выполняется закон Ома.

Емкостное сопротивление

В цепи постоянного тока через конденсатор ток не идет. Для переменного тока конденсатор обладает конечным сопротивлением, обратно пропорциональным его емкости. В цепи переменного тока сопротивление конденсатора меньше, чем в цепи постоянного тока.

В такой цепи колебания напряжения отстают от колебаний силы тока по фазе на ​( pi/2 )​. Колебания силы тока и напряжения происходят по закону:

Амплитуда силы тока в катушке: ​( I_m=Comega U_m. )​.

Если ввести обозначение ​( X_C=frac{1}{omega C} )​, то получим соотношение между амплитудными значениями силы тока и напряжения, аналогичное закону Ома: ​( I_m=frac{U_m}{X_C}. )​

Емкостным сопротивлением ​( X_C )​ называют величину, обратную произведению циклической частоты на электроемкость конденсатора. Емкостное сопротивление обратно пропорционально частоте.

Физический смысл емкостного сопротивления: изменению переменного тока в любой момент времени противодействует электрическое поле между обкладками конденсатора.

В цепи переменного тока колебания силы тока и ЭДС происходят по синусоидальному закону с одинаковой циклической частотой ​( omega )​ и разностью фаз ​( varphi )​:

Соотношения амплитудных значений силы тока ​( I_m )​ и ЭДС ​( varepsilon_m )​ в цепи переменного тока связаны между собой законом Ома для цепи переменного тока:

Он гласит: амплитуда силы переменного тока прямо пропорциональна амплитуде ЭДС и обратно пропорциональна полному сопротивлению цепи:

Величина ​( Z )​ называется полным сопротивлением цепи переменного тока.

Электрическая энергия имеет перед другими видами энергии следующие преимущества:

• можно передавать на большие расстояния с малыми потерями;
• удобно распределять между потребителями;
• легко превращать в другие виды энергии.

В настоящее время производится и используется энергия переменного тока. Это связано с возможностью преобразовывать его напряжение и силу тока с малыми потерями энергии, что особенно важно при передаче электроэнергии на большие расстояния.

Различают следующие типы электростанций:

• тепловые;
• гидроэлектростанции;
• атомные.

Получение переменного тока

Переменный ток получают с помощью генератора переменного тока.

Генератор переменного тока (электромеханический генератор переменного тока) – это устройство, преобразующее механическую энергию в электрическую. В основе работы генератора переменного тока лежит явление электромагнитной индукции.

Процесс получения переменного тока можно рассмотреть на примере вращения витка провода в однородном магнитном поле. Магнитный поток через площадь витка равен:

Если период вращения витка ​( T )​, то угол ​( alpha=frac{2pi t}{T}=omega t )​.

Тогда ​( Phi=BScosomega t. )​

ЭДС индукции изменяется по закону ​( e=-Phi’=BSomegasinomega t=varepsilon_msinomega t. )​

Амплитуда ЭДС ​( varepsilon_m=BSomega. )​

Если рамка содержит ​( N )​ витков, то ​( varepsilon_m=NBSomega. )​

Основные части генератора переменного тока:

• обмотка статора с большим числом витков, в ней индуцируется ЭДС. Статор состоит из отдельных пластин из электротехнической стали для уменьшения нагрева от вихревых токов;
• ротор (вращающаяся часть генератора) создает магнитное поле. Для получения нужной частоты переменного тока может иметь несколько пар полюсов. На гидроэлектростанциях в генераторе число пар полюсов равно 40–50, на тепловых электростанциях – 10^-16;
• клеммы для снятия напряжения.

Промышленные генераторы вырабатывают напряжение порядка 10⁴ В. Промышленная частота переменного тока в нашей стране 50 Гц.

Передача электроэнергии

Электроэнергия производится в основном вдалеке от основных потребителей энергии, там, где есть топливные ресурсы.

С электростанции переменный ток по проводам линии электропередач (ЛЭП) поступает к различным потребителям электрической энергии. Для уменьшения потерь при передаче переменного тока необходимо использовать высокое напряжение. Чем длиннее линия, тем выше должно быть напряжение. В высоковольтных ЛЭП оно может достигать 500 кВ. Генераторы на электростанциях вырабатывают напряжение 16–20 кВ. Потребителям не нужно высокое напряжение. Возникает необходимость преобразования напряжения. С электростанции электрический ток поступает на повышающую подстанцию, затем передается по линии электропередач на понижающую подстанцию, где напряжение понижается до 6–10 кВ, а затем до 220–380 В. Для преобразования напряжения используют трансформатор.

Трансформатор – устройство, преобразующее переменное напряжение без изменения его частоты.

На схемах трансформатор обозначается:

Основные части трансформатора:

• замкнутый сердечник из электротехнической стали;
• две катушки-обмотки.

Катушка, подключаемая к источнику переменного напряжения, называется первичной обмоткой; катушка, к которой подключается нагрузка, – вторичной обмоткой.

Сердечник набирается из отдельных пластин для уменьшения потерь на нагревание вихревыми токами.

Принцип действия основан на явлении электромагнитной индукции. При подключении первичной обмотки к полюсам источника напряжения в ней возникает переменный ток. Напряжение изменяется с течением времени по гармоническому закону. С такой же частотой будут изменяться сила тока в катушке и магнитный поток, создаваемый этим током.

При изменении магнитного потока в каждом витке провода первичной обмотки возникает переменная ЭДС самоиндукции. Этот магнитный поток будет пронизывать и вторую катушку. В каждом ее витке возникает ЭДС индукции, изменяющаяся по гармоническому закону с той же частотой. Число витков в обмотках различно. Отношение ЭДС самоиндукции ​( varepsilon_1 )​ в первичной обмотке к ЭДС индукции во вторичной обмотке ( varepsilon_2 ) равно отношению числа витков в первичной обмотке ​( N_1 )​ к числу витков во вторичной обмотке ​( N_2 )​:

Режим работы

• Режим холостого хода – разомкнута цепь вторичной обмотки. Напряжение ​( U_2 )​ на ее концах в любой момент времени равно ЭДС индукции ​( varepsilon_2 )​, взятой с противоположным знаком. Поэтому можно записать:

где ​( k )​ – коэффициент трансформации.

Если ​( k>1 )​, то трансформатор понижающий, если ( k<1 ), то повышающий.

• Режим нагрузки. При подключении нагрузки к концам вторичной обмотки в ней возникает переменный ток. Напряжение ​( U_2 )​ на ее концах в любой момент времени отличается от ЭДС индукции ​( varepsilon_2 )​ на величину падения напряжения на внутреннем сопротивлении вторичной обмотки ​( r )​: ​( U_2=varepsilon_2-I_2r )​ или ​( U_2=I_2R )​.

Мощность тока в обмотках одинакова. Поэтому увеличение напряжения на входе повышающего трансформатора в ​( k )​ раз сопровождается уменьшением силы тока во вторичной катушке во столько же раз.

В трансформаторе нет потерь на трение, так как нет вращающихся частей. Потери в сердечнике состоят из потерь на нагревание и на перемагничивание.

Отношение мощности ​( P_2 )​, потребляемой нагрузкой, к мощности ​( P_1 )​, потребляемой первичной обмоткой трансформатора, называется коэффициентом полезного действия трансформатора:

КПД трансформатора – 98%.

Потребление электрической энергии: промышленность – около 70%; сельское хозяйство; транспорт; строительство; средства связи; в быту.

Электромагнитное поле

Электромагнитное поле – это особый вид материи, с помощью которого осуществляется электромагнитное взаимодействие заряженных тел или частиц.

Это понятие было введено Д. Максвеллом, развившим идеи Фарадея о том, что переменное магнитное поле порождает вихревое электрическое поле.

Всякое изменение магнитного поля порождает в окружающем пространстве вихревое электрическое поле, силовые линии которого замкнуты. Вихревое электрическое поле порождает появление вихревого магнитного поля и так далее. Эти переменные электрическое и магнитное поля, существующие одновременно, и образуют единое электромагнитное поле.

Характеристиками этого поля являются вектор напряженности и вектор магнитной индукции.

Если электрический заряд покоится, то вокруг него существует только электрическое поле.

Если напряженность электрического поля равна нулю, а магнитная индукция отлична от нуля, то обнаруживается только магнитное поле.

Если электрический заряд двигается с постоянной скоростью, то вокруг него существует электромагнитное поле.

Максвелл предположил, что при ускоренном движении зарядов в пространстве будет возникать возмущение, которое будет распространяться в вакууме с конечной скоростью. Когда это возмущение достигнет второго заряда, то изменится сила, с которой электромагнитное поле действует на этот заряд.

При ускоренном движении заряда происходит излучение электромагнитной волны. Электромагнитное поле материально. Оно распространяется в пространстве в виде электромагнитной волны.

Свойства электромагнитных волн

Электромагнитная волна – это изменяющееся во времени и распространяющееся в пространстве электромагнитное поле.

Существование электромагнитных волн было теоретически предсказано английским физиком Дж. Максвеллом в 1864 году. Электромагнитные волны были открыты Г. Герцем.

Источник электромагнитной волны – ускоренно движущаяся заряженная частица – колеблющийся заряд.

Важно!
Наличие ускорения – главное условие излучения электромагнитной волны. Интенсивность излученной волны тем больше, чем больше ускорение, с которым движется заряд.

Источниками электромагнитных волн служат антенны различных конструкций, в которых возбуждаются высокочастотные колебания.

Электромагнитная волна называется монохроматической, если векторы ​( vec{E} )​ и ( vec{B} )​ совершают гармонические колебания с одинаковой частотой (частотой волны).

Длина электромагнитной волны: ​( lambda=cT=frac{c}{nu}, )​

где ​( c )​ – скорость электромагнитной волны, ​( T )​ – период, ​( nu )​ – частота электромагнитной волны.

Свойства электромагнитных волн

• В вакууме электромагнитная волна распространяется с конечной скоростью, равной скорости света 3·10⁸ м/с.
• Электромагнитная волна поперечная. Колебания векторов напряженности переменного электрического поля и магнитной индукции переменного магнитного поля взаимно перпендикулярны и лежат в плоскости, перпендикулярной к вектору скорости волны.
• Электромагнитная волна переносит энергию в направлении распространения волны.

Важно!
Электромагнитная волна в отличие от механической волны может распространяться в вакууме.

Плотность потока или интенсивность – это электромагнитная энергия, переносимая через поверхность единичной площади за единицу времени.

Обозначение – ​( I )​, единица измерения в СИ – ватт на квадратный метр (Вт/м²).

Важно!
Плотность потока излучения электромагнитной волны от точечного источника убывает обратно пропорционально квадрату расстояния от источника и пропорциональна четвертой степени частоты.

Электромагнитная волна обладает общими для любых волн свойствами, это:

• отражение,
• преломление,
• интерференция,
• дифракция,
• поляризация.

Электромагнитная волна производит давление на вещество. Это означает, что у электромагнитной волны есть импульс.

Различные виды электромагнитных излучений и их применение

Электромагнитные излучения имеют длины волн от 10^-12 до 10⁴ м или частоты от 3·10⁴ до 3·10²⁰.

Различают следующие виды электромагнитных излучений:

• радиоволны;
• инфракрасное излучение;
• видимое излучение (свет);
• ультрафиолетовое излучение;
• рентгеновское излучение;
• гамма-излучение.

Границы между диапазонами условны, но излучения имеют качественные различия в свойствах. При переходе от излучений с малой частотой к излучениям с большей частотой волновые свойства проявляются слабее, а корпускулярные (квантовые) – сильнее.

Радиоволны

​( lambda )​ = 10³–10^-3 м, ​( nu )​ = 10⁵–10¹¹ Гц. Источники радиоволн – колебательный контур, вибратор.

Радиоволны делятся на:

• длинные (длина больше 1 км);
• средние (от 100 м до 1 км);
• короткие (от 10 до 100 м);
• ультракороткие (меньше 10 м).

Свойства: отражение, поглощение, интерференция, дифракция. Применение: радиосвязь, телевидение, радиолокация.

Радиосвязью называется передача информации с помощью радиоволн. Радиосвязь осуществляется с помощью модулированных радиоволн. Модуляцией радиоволны называется изменение ее параметров (амплитуды, частоты, начальной фазы) с частотой, меньшей частоты передаваемой волны.

Схема радиосвязи показана на рисунке:

Передача радиоволн. Генератор высокой частоты вырабатывает высокочастотные колебания несущей частоты. Звуковые колебания поступают в микрофон, где преобразуются в электромагнитные колебания. В модуляторе эти колебания преобразуются в модулированные колебания. После усиления модулированные колебания поступают в передающую антенну, которая излучает электромагнитные волны. На рисунке показан звуковой сигнал низкой частоты и модулированный высокочастотный сигнал.

Прием радиоволн. Электромагнитные колебания поступают в приемную антенну и вызывают электромагнитные колебания в приемном контуре. Эти колебания поступают в усилитель, а затем в детектор. В качестве детектора используют устройство с односторонней проводимостью. Это может быть полупроводниковый диод. В детекторе сигнал демодулируют (детектируют). Процесс детектирования заключается в выделении из высокочастотных модулированных колебаний колебаний низкой (звуковой) частоты. После сглаживания и усиления сигнал поступает в динамик. На рисунке показаны процессы детектирования (демодуляции) и сглаживания.

Радиолокацией называют обнаружение и определение местоположения объектов с помощью радиоволн. Излучение осуществляется короткими импульсами. В интервале времени между излучением двух последовательных импульсов осуществляется прием отраженного от объекта сигнала. Для радиолокации используют ультракороткие радиоволны.

Инфракрасное (тепловое) излучение

​( lambda )​ = 10^-3 – 10^-7 м, ​( nu )​ = 10¹¹ – 10¹⁴ Гц. Источники – атомы и молекулы вещества.

Это излучение испускают все тела при температуре, отличной от 0 К. Свойства: нагревает вещество при поглощении; интерференция; дифракция; проходит через дождь, снег, дымку; невидимо; преломление, отражение. Применение: в приборах ночного видения, в физиотерапии, промышленности (для сушки). Регистрируют с помощью термопары, болометра, фотографическим методом.

Видимое излучение

​( lambda ) = 8·10^-7 – 4·10^-7 м, ( nu ) = 4·10¹¹ – 8·10¹⁴ Гц.

Это излучение воспринимается глазом. Свойства: отражение, преломление, поглощение, интерференция, дифракция.

Ультрафиолетовое излучение

( lambda ) = 10^-8 – 4·10^-7 м, ( nu ) = 8·10¹⁴ – 3·10¹⁵ Гц. Источники – кварцевые лампы.

Ультрафиолетовое излучение дают светящиеся пары ртути и твердые тела, у которых температура выше 1000°С. Свойства: химическое действие; большая проникающая способность; биологическое действие; невидимо. Применение: в медицине, промышленности. Регистрируют фотографическими методами.

Рентгеновское излучение

( lambda ) = 10^-8 – 10^-11 м, ( nu ) = 3·10¹⁶ – 3·10¹⁹ Гц. Источник – рентгеновские трубки.

Возникает при торможении быстрых электронов. Свойства: высокая химическая активность; биологическое действие; интерференция; дифракция на кристаллической решетке; высокая проникающая способность. Применение: в медицине, промышленности, науке.

Гамма-излучение

Длина волны меньше 10^-11 м, частота от 10²⁰ Гц и выше. Источник – ядерные реакции.

Свойства: высокая проникающая способность, сильное биологическое действие. Применение: в медицине, промышленности (дефектоскопия), науке.

Шкала электромагнитных излучений позволяет сделать вывод: все электромагнитные излучения обладают одновременно волновыми и квантовыми свойствами, которые дополняют друг друга.

Важно!
Волновые свойства сильнее выражены при малых частотах и больших длинах волн, а квантовые – при больших частотах и малых длинах волн.

Решение задач по теме «Электромагнитные колебания и волны»

По этой теме можно выделить четыре группы задач:

• на определение параметров колебательного контура;
• на уравнения гармонических электромагнитных колебаний;
• на применение закона Ома;
• на расчет мощности и КПД трансформатора.

Решение первой группы задач на определение параметров колебательного контура основано на использовании формулы Томсона (формулы периода свободных электромагнитных колебаний) и закона сохранения и превращения энергии в колебательном контуре. Поэтому необходимо записать уравнения для мгновенных значений заряда и напряжения на конденсаторе и силы тока в катушке; записать уравнение для полной энергии колебательного контура в произвольный момент времени. В качестве дополнительных формул могут понадобиться формулы электроемкости плоского конденсатора, индуктивности катушки и длины электромагнитной волны. Помните, что скорость распространения электромагнитной волны в вакууме равна скорости света – 3·10⁸ м/с. В среде с показателем преломления ​( n )​ скорость света можно рассчитать по формуле: ​( v=frac{c}{n}. )​

Важно!
Амплитудное значение напряжения – ​( U_m=frac{q_m}{C} )​, амплитудное значение силы тока – ​( I_m=q_momega )​.

При решении второй группы задач на уравнения гармонических электромагнитных колебаний рекомендуется записать заданное в задаче уравнение и уравнение гармонических колебаний в общем виде. Сравнить эти уравнения и определить основные характеристики: амплитуду, частоту, фазу.

При решении задач на закон Ома нужно помнить, что электроизмерительные приборы показывают действующие значения напряжения и силы тока. Действующие значения величин пропорциональны амплитудным значениям. Важно помнить, что резонанс возникает при равенстве индуктивного и емкостного сопротивлений.

Решение четвертой группы задач на расчет мощности и КПД трансформатора опирается на знание формул КПД и мощности в цепи.

Основные формулы раздела «Электромагнитные колебания и волны»

Колебательный контур:

Явление возникновения ЭДС индукции при изменении магнитного потока через площадь, ограниченную контуром, называется явлением электромагнитной индукции.

Под явлением самоиндукции понимают возникновение в контуре ЭДС индукции, создаваемой вследствие изменения силы тока в самом контуре. Правило Ленца: возникающий в замкнутом контуре индукционный ток имеет такое направление, при котором созданный им собственный магнитный поток через площадь, ограниченную контуром, стремится компенсировать изменение внешнего магнитного потока, вызвавшее данный ток.

Рассмотрим электрическую цепь, содержащую конденсатор электроемкостью С и катушку (соленоид) индуктивностью L (рис. 15). Такая цепь называется идеальным колебательным контуром или LC-контуром.

В отличие от реального колебательного контура, который всегда обладает некоторым электрическим сопротивлением (R

Пусть в начальный момент времени (t = 0) конденсатор С заряжен так, что на его первой обкладке находится заряд +, а на второй —. При этом конденсатор обладает энергией

С течением времени конденсатор начнет разряжаться, и в цепи появится электрический ток, сила l(t) которого будет меняться с течением времени. Поскольку при прохождении такого электрического тока в катушке индуктивности возникнет изменяющийся во времени магнитный поток, то это вызовет появление ЭДС самоиндукции, препятствующей изменению силы тока.

Вследствие этого сила тока в колебательном контуре будет возрастать от нуля до максимального значения в течение некоторого промежутка времени, определяемого индуктивностью катушки.

В момент полной разрядки конденсатора (q = 0) сила тока в катушке I(t) достигнет своего максимального значения . В соответствии с законом сохранения энергии первоначально запасенная в конденсаторе энергия электростатического поля перейдет в энергию магнитного поля, запасенную в этот момент в катушке:

После разрядки конденсатора сила тока в катушке начнет убывать. Это также произойдет не мгновенно, поскольку вновь возникающая ЭДС самоиндукции согласно правилу Ленца создаст индукционный ток. Он будет иметь такое же направление, как и уменьшающийся ток в цепи, и поэтому будет «поддерживать» его. Индукционный ток, создаваемый ЭДС самоиндукции катушки, перезарядит конденсатор до начального напряжения обратной полярности — знак заряда на каждой обкладке окажется противоположным начальному.

Соответственно, к моменту исчезновения тока заряд конденсатора достигнет максимального значения . При этом его обкладка, первоначально заряженная положительно, будет заряжена отрицательно (см. рис. 15). Далее процесс повторится с той лишь разницей, что электрический ток будет проходить в противоположном направлении.

Таким образом, в идеальном LC-контуре будут происходить периодические изменения значений силы тока и напряжения, причем полная энергия контура будет оставаться постоянной. В этом случае говорят, что в контуре возникли свободные электромагнитные колебания.

Свободные электромагнитные колебания в LC-контуре — это периодические изменения заряда на обкладках конденсатора, силы тока и напряжения в контуре, происходящие без потребления энергии от внешних источников.

Таким образом, возникновение свободных электромагнитных колебаний в контуре обусловлено перезарядкой конденсатора и возникновением в катушке ЭДС самоиндукции, которая «обеспечивает» эту перезарядку. Заметим, что заряд q(t) конденсатора и сила тока I(t) в катушке достигают своих максимальных значений и в различные моменты времени (см. рис. 15).

Наименьший промежуток времени, в течение которого LC-контур возвращается в исходное состояние (к начальному значению заряда данной обкладки), называется периодом свободных (собственных) электромагнитных колебаний в контуре.

Период свободных электромагнитных колебаний в контуре определяется по формуле Томсона:

Получим эту формулу, используя закон сохранения энергии. Поскольку полная энергия идеального LC-контура, равная сумме энергий электростатического поля конденсатора и магнитного поля катушки, сохраняется, то в любой момент времени справедливо равенство

 (1)

Поскольку закономерности гармонических колебаний носят универсальный характер, то можно сравнить колебания в LC-контуре с колебаниями пружинного маятника.

Для пружинного маятника полная механическая энергия в любой момент времени    2 ,

(2)

и период его колебаний

Проанализируем соотношения (1) и (2). Сравним выражения для энергии электростатического поля конденсатора и потенциальной энергии упругой деформации пружины энергии магнитного поля катушки  и кинетической энергии груза Аналогом координаты x(t) при колебаниях в электрическом контуре является заряд конденсатора q(t), а аналогом проекции скорости груза служит сила тока I(t) в колебательном контуре.

Следуя аналогии, заменим в формуле для периода колебаний пружинного маятника т на L и k на , тогда для периода свободных колебаний в LC-контуре получим формулу Томсона: 

Несложные дальнейшие рассуждения позволяют установить аналогии между физическими величинами при электромагнитных и механических колебаниях (табл. 4).

Таблица 4

Сопоставление физических величин, характеризующих электромагнитные и механические колебания

Соответственно, зависимость заряда конденсатора от времени будет иметь такой же характер, как и зависимость координаты (смещения) тела, совершающего гармонические колебания, от времени:

Также по гармоническому закону (но с другими начальными фазами) будут изменяться сила тока в цепи, напряжение на конденсаторе.

Для определения начальной фазы и амплитуды колебаний заряда необходимо знать заряд конденсатора и силу тока в катушке в начальный момент времени (t = 0).

Полная энергия идеального колебательного контура (R = 0) с течением времени сохраняется, поскольку в нем при прохождении тока теплота не выделяется.

Как уже отмечалось, реальный колебательный контур всегда имеет некоторое сопротивление R, обусловленное сопротивлением катушки, соединительных проводов и т. д. Это приводит к тому, что электромагнитные колебания в реальном контуре с течением времени затухают, тогда как в идеальном контуре они «будут происходить» сколь угодно долго.

Таким образом, механическим аналогом идеального колебательного контура является пружинный маятник без трения, а механическим аналогом реального колебательного контура — пружинный маятник с трением.

Пример №1

При изменении емкости конденсатора идеального LC-контура на = 50 пФ частота свободных электромагнитных колебаний в нем увеличилась с = 100 кГц до = 120 кГц. Определите индуктивность L контура.

Решение

Частота колебаний в контуре

Поскольку частота колебаний в контуре увеличилась (), то электроемкость должна уменьшится, т. е. .

Из условия задачи получаем систему уравнений

Откуда 
 

Вычитая из первого уравнения второе, получаем

Откуда находим

Ответ: L = 0,015 Гн.

Пример №2

Колебательный контур состоит из конденсатора емкостью С = 400пФ и катушки индуктивностью L=10 мГн. Определите амплитудное значение силы тока в контуре, если амплитудное значение напряжения на конденсаторе = 500 В.

Решение

Максимальная энергия электростатического поля конденсатора

а максимальная энергия магнитного поля катушки

Так как контур идеальный (R = 0), то его полная энергия не меняется с течением времени. Кроме того, в момент, когда заряд конденсатора максимален, сила тока в катушке равна нулю, а в момент, когда заряд конденсатора равен нулю, сила тока в ней максимальна. Это позволяет утверждать, что максимальные энергии в конденсаторе и катушке равны: , т. е.

откуда 

Ответ: .

Колебательный контур и свободные электромагнитные колебания в контуре

Явление возникновения ЭДС в любом контуре при изменении магнитного потока через поверхность, ограниченную контуром, называется явлением электромагнитной индукции.

Под явлением самоиндукции понимают возникновение в замкнутом проводящем контуре ЭДС индукции, создаваемой вследствие изменения силы тока в самом контуре.

Правило Ленца: возникающий в замкнутом проводящем контуре индукционный ток имеет такое направление, при котором созданный им магнитный поток через поверхность, ограниченную контуром, стремится компенсировать изменение магнитного потока, вызвавшее данный ток.

Рассмотрим электрическую цепь, состоящую из последовательно соединенных конденсатора электроемкостью  и катушки (соленоида) индуктивностью  (рис. 29, а), называемую идеальным колебательным контуром или -контуром. Электрическое сопротивление идеального контура считают равным нулю  Следовательно, идеальный колебательный контур является упрощенной моделью реального колебательного контура.

Подключив (при помощи ключа  источник тока, зарядим конденсатор до напряжения  сообщив ему заряд  (рис. 29, б). Следовательно, в начальный момент времени  конденсатор заряжен так, что на его обкладке 1 находится заряд  а на обкладке 2 — заряд  При этом электростатическое поле, создаваемое зарядами обкладок конденсатора, обладает энергией 

Рассмотрим процесс разрядки конденсатора в колебательном контуре. После соединения заряженного конденсатора с катушкой (при помощи ключа  (рис. 30) он начнет разряжаться, так как под действием электрического поля, создаваемого зарядами на обкладках конденсатора, свободные электроны будут перемещаться по цепи от отрицательно заряженной обкладки к положительно заряженной. На рисунке 30 стрелкой показано начальное направление тока в электрической цепи.

Таким образом, в контуре появится нарастающий по модулю электрический ток, сила  которого будет изменяться с течением времени (рис. 31, а). Но мгновенная разрядка конденсатора невозможна, так как изменение магнитного поля катушки, создаваемое нарастающим по модулю током, вызывает возникновение вихревого электрического поля. Действительно, в катушке индуктивности возникнет изменяющийся во времени магнитный поток, который вызовет появление ЭДС самоиндукции. Согласно правилу Ленца ЭДС самоиндукции стремится противодействовать вызвавшей ее причине, т. е. увеличению силы тока по модулю.

Вследствие этого модуль силы тока в колебательном контуре будет в течение некоторого промежутка времени плавно возрастать от нуля до максимального значения  определяемого индуктивностью катушки и электроемкостью конденсатора (рис. 31, б).

При разрядке конденсатора энергия его электростатического поля превращается в энергию магнитного поля катушки с током. Согласно закону сохранения энергии суммарная энергия идеального колебательного контура остается постоянной с течением времени (уменьшение энергии электростатического поля конденсатора равно увеличению энергии магнитного поля катушки):

где  — мгновенное значение заряда конденсатора и  — сила тока в катушке в некоторый момент времени  после начала разрядки конденсатора.

В момент полной разрядки конденсатора  сила тока в катушке  достигнет своего максимального по модулю значения  (см. рис. 31, б). В соответствии с законом сохранения энергии запасенная в конденсаторе энергия электростатического поля перейдет в энергию магнитного поля, запасенную в этот момент в катушке:

После разрядки конденсатора сила тока в катушке начинает убывать по модулю. Это также происходит не мгновенно, поскольку вновь возникающая ЭДС самоиндукции согласно правилу Ленца создает индукционный ток. Он имеет такое же направление, как и уменьшающийся по модулю ток в цепи, и поэтому «поддерживает» его. Индукционный ток, создаваемый ЭДС самоиндукции катушки, перезаряжает конденсатор до начального напряжения  но знак заряда на каждой обкладке оказывается противоположным знаку начального заряда. Соответственно, к моменту исчезновения тока заряд конденсатора достигнет максимального значения  При этом его обкладка, первоначально заряженная положительно, будет заряжена отрицательно. Далее процесс повторится с той лишь разницей, что электрический ток в ко туре будет проходить в противоположном направлении, что отражено на рисунке 31, а.

Таким образом, в идеальном -контуре будут происходить периодические изменения значений силы тока и напряжения, причем полная энергия контура будет оставаться постоянной. В этом случае говорят, что в контуре возникли свободные электромагнитные колебания.

Свободные электромагнитные колебания в LC-контуре — это периодические изменения заряда на обкладках конденсатора, силы тока и напряжения в контуре, происходящие без пополнения энергии от внешних источников.

Таким образом, существование свободных электромагнитных колебаний в контуре обусловлено перезарядкой конденсатора, вызванной возникновением ЭДС самоиндукции в катушке. Заметим, что заряд  конденсатора и сила тока  в катушке достигают своих максимальных значений  в различные момента времени (см. рис. 31 а, б).

Наименьший промежуток времени, в течение которого LC-контур возвращается в исходное состояние (к начальным значениям заряда на каждой из обкладок), называется периодом свободных (собственных) электромагнитных колебаний в контуре.

Получим формулу для периода свободных электромагнитных колебаний в контуре, используя закон сохранения энергии. Поскольку полная энергия идеального -контура, равная сумме энергий электростатического поля конденсатора и магнитного поля катушки, сохраняется, то в любой момент времени справедливо равенство: 
 

Процессы, происходящие в колебательном контуре, аналогичны колебаниям пружинного маятника. Для полной механической энергии пружинного маятника в любой момент времени:

где  — жесткость пружины,  — масса груза,  — проекция смещения тела от положения равновесия,  — проекция его скорости на ось 

Период его колебаний:

Проанализируем соотношения (1) и (2). Видно, что энергия электростатического поля конденсатора  является аналогом потенциальной энергии упругой деформации пружины  Соответственно, энергия магнитного поля катушки  которая обусловлена упорядоченным движением зарядов, является аналогом кинетической энергии груза  Следовательно, аналогом координаты  пружинного маятника при колебаниях в электрическом контуре является заряд конденсатора  Тогда, соответственно, аналогом проекции скорости груза будет сила тока в колебательном контуре, поскольку сила тока характеризует скорость изменения заряда конденсатора с течением времени.

Следуя проведенной аналогии, заменим в формуле для периода колебаний пружинного маятника массу  на индуктивность  и жесткость  тогда для периода свободных колебаний в -контуре получим формулу:

которая называется формулой Томсона.

Несложные дальнейшие рассуждения позволяют установить аналогии между физическими величинами при электромагнитных и механических колебаниях (табл. 4).

Для наблюдения и исследования электромагнитных колебаний применяют электронный осциллограф, на экране которого получают временную развертку колебаний (рис. 32).

Зависимость заряда конденсатора от времени имеет такой же вид, как и зависимость координаты (проекции смещения) тела, совершающего гармонические колебания, от времени:

Также по гармоническому закону изменяются сила тока (но с другой начальной фазой) в цепи и напряжение на конденсаторе.

Для определения начальной фазы  и максимального заряда  необходимо знать заряд конденсатора и силу тока в катушке в начальный момент времени 

Отметим, что колебательный контур, в котором происходит только обмен энергией между конденсатором и катушкой, называется закрытым.

Полная энергия идеального колебательного контура  с течением времени сохраняется, поскольку в нем при прохождении тока теплота не выделяется. Реальный колебательный контур всегда имеет некоторое электрическое сопротивление  которое обусловлено сопротивлением катушки и соединительных проводов. Это приводит к тому, что электромагнитные колебания в реальном контуре с течением времени затухают, тогда как в идеальном контуре они будут происходить сколь угодно долго.

Таким образом, механическим аналогом идеального колебательного контура является пружинный маятник без учета трения, а механическим аналогом реального колебательного контура — пружинный маятник с учетом трения.

Пример решения задачи:

Идеальный колебательный контур состоит из конденсатора емкостью  пФ и катушки индуктивностью  мГн. Определите максимальное значение силы тока  в контуре, если максимальное значение напряжения на конденсаторе 
Дано:

Решение

Максимальная энергия электростатического поля конденсатора:

а максимальная энергия магнитного поля катушки:

Так как контур идеальный  то его полная энергия сохраняется с течением времени. По закону сохранения энергии  т. е.

Отсюда

Ответ: 

Амплитуда тока в контуре

разделим на

– значение тока при резонансе, получим
нормированное

значение тока:

Это выражение представляет собой закон
изменения тока в контуре при изменении
частоты. Частотная зависимость тока
называется резонансной кривой. АЧХ
имеет вид резонансной кривой . В области
малых расстроек (в пределах полосы
пропускания):

АЧХ тока в контуре при различных
добротностях приведены на рисунке7(Q1>Q2)

при Q1;

при Q2;

Полосой пропускания (
)
называется такой интервал
частот, на границах которого амплитуда
тока падает до уровня, равного

от ее

максимального значения на частоте

Рисунок 7

3) Передаточные функции колебательного контура

Рисунок 8а
Рисунок 8б

Передаточной функцией называется
величина:

При снятии выходного напряжения с
емкости

При снятии выходного напряжения с
индуктивности

При резонансе:

Вывод: при резонансе в последовательном
колебательном контуре напряжение на
каждом из реактивных сопротивлений в
С2 раз превышает входное напряжение.
Колебательный контур обладает свойством
усиливать подведенное к контуру
напряжение. Поэтому резонанс в
последовательном колебательном контуре
называется резонансом напряжений/

При расстройке контура:

Где

-предельная
резонансная характеристика.

Зависимости

приведены на рисунке 9.

Рисунок 9

Резонансные кривые напряжения на
элементах контура

несколько
различаются. При малых добротностях
(Q<10),т.е. при
больших сопротивлениях потерь наблюдаются
специфические особенности кривых.
Это явление объясняется тем, что максимумы

смещаются
относительно максимального тока, т.е.

:

Значения тока на резонансной низкодобротной
кривой при подходе к резонансной частоте
изменяются медленно (рис 7 ), а значение

при увеличении частоты от

до

изменяется значительно (рис 4 .). Поэтому
максимальное значение произведения

стремится
в сторону увеличения частоты, т.е. к

,
вправо от резонансной частоты. В
высокодобротных контурах различение
между

и
,

и

незначительны.

При Q=10:

=0.9975

=1.0025

а максимумы напряжений:

При Q>10можно считать

=
=

и

Рисунок 10

Колебательный контур питается некоторым
реальным генератором с конечным
внутренним сопротивлением, что может
существенно повлиять на избирательные
свойства колебательного контура.

Всегда, Qэ<Q
т.е. при включении генератора
добротность уменьшается; полоса
пропускания

расширяется
и превышает полосу

пропускания контура

.Чем
больше Ri, тем меньше
эквивалентная _п
добротность контура Qэ
и шире полоса пропускания (рис 11). Кривые
зависимости

или

при данном Q контура
называются предельными резонансными
характеристиками . Они могут быть
реализованы только в том случае, если
бы амплитуда напряжения, была бы
постоянной, т.е.

Ri ген=0 (идеальный источник
напряжения), чего в действительности
быть I не может.
Поэтому эти характеристики называются
предельными.

1- АЧХ при Qк 2- АЧХ контура с Ri Qэ Qк>Qэ

Рисунок 11

–
предельная АЧХ тока

Вывод: последовательный
колебательный контур целесообразно

применять в том случае, когда внутреннее
сопротивление источника

сигнала достаточно мало (Ri>>r).

Пример 1

Дано: L=100 мкГн; С=100 пФ;

r=10 Ом; Ri=lOO Ом
(Ri>>r)

Определить: Q_3KB
для R;=100 Ом (Ri>>r)
и

=1
Ом (Ri>>r).

Ответ: Q’_3KB
=9;

=90

Пример 2

Контур с теми же параметрами питается
от генератора с Е=1 В, Ri=l
Ом. Определить на частоте резонанса ток
в цепи, U_Lp,
U_Cp;
угол сдвига фаз между током и напряжением
на границе полосы пропускания (
).

Ответ:

=arctg
;

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

  08.05.20151.69 Mб584.doc

• #
• #
• #
• #

Заставить колебаться можно любую материю. Так, колебаться могут не только физические тела, состоящие из вещества, но и электромагнитное поле — особая форма материи, посредством которой осуществляется взаимодействие между электрически заряженными частицами. Когда происходят колебания в механической системе, говорят, что тело совершает периодически повторяющиеся движения — оно отклоняется от положения равновесия то в одну, то в другую сторону. Когда происходят электромагнитные колебания, говорят, что электромагнитное поле периодически изменяется во времени, то есть его характеристики, то уменьшаются, то увеличиваются относительного некоторого среднего значения, которое является для них «положением равновесия».

Определение

Электромагнитные колебания — периодическое изменение во времени напряженности и индукции электромагнитного поля.

Напомним, что напряженность E представляет собой количественную характеристику электромагнитного поля, а индукция B — силовую. Причем электромагнитное поле — это взаимосвязанные между собой электрическое и магнитные поля. Так, проводник с током создает вокруг себя магнитное поле. Оно тем сильнее, чем выше сила тока в этом проводнике, которая напрямую зависит от напряжения в нем (или количества заряда, прошедшего через него за единицу времени). Поэтому изменения напряжения и силы тока в проводнике вызывают изменения напряженности и индукции магнитного поля. Следовательно, можно сделать вывод, что:

Определение

Электромагнитные колебания — периодические или почти периодические изменения во времени заряда, силы тока или напряжения.

Осциллограф

Но если колебания физических тел наблюдать легко, то колебания электромагнитного поля обнаружить без специальных приборов нельзя. Ведь увидеть изменения заряда, силы тока или напряжения невозможно. Использовать для этого электроизмерительные приборы (гальванометры, вольтметры или амперметры) тоже неудобно, поскольку электромагнитные колебания происходят с гораздо большей частотой по сравнению с механическими. Поэтому специально для визуализации электромагнитных колебаний был создан прибор, который называется осциллографом.

Осциллограф, схему которого вы видите ниже, представляет собой электронно-лучевую трубку. Через нее проходит узкий пучок электронов и попадает на экран, который начинает светиться при бомбардировке электронами.

На горизонтально отклоненные пластины трубки подается переменное напряжение развертки u_p пилообразной формы (см. рисунок ниже). Оно медленно нарастает и быстро падает. Поэтому электрическое поле между пластинами заставляет электронный луч пробегать экран в горизонтальном направлении с постоянной скоростью и затем почти мгновенно возвращаться назад. После этого весь процесс повторяется.

Если же присоединить вертикально отклоняющие пластины трубки к конденсатору, то колебания напряжения при его разрядке вызовут колебания луча в вертикальном направлении. В результате на экране осциллографа образуется временная развертка колебаний. Она напоминает синусоиду или косинусоиду подобно той, с помощью которой можно описать механические колебания.

С течением времени электромагнитные колебания затухают. Такие колебания являются свободными. Напомним, что свободными колебаниями называют такие колебания, которые возникают в колебательной системе после выведения ее из положения равновесия. В нашем случае система выводится из равновесия при сообщении конденсатору заряда. Зарядка конденсатора эквивалента отклонения математического маятника от положения равновесия.

В электрической цепи также можно получить вынужденные колебания, которые будут происходить до тех пор, пока на колебательную систему действует периодическая внешняя сила. Вынужденными электромагнитными колебаниями называют колебания в цепи под действием внешней периодической электродвижущей силы.

Колебательный контур

Определение

Колебательный контур — простейшая система, к которой могут происходить свободные электромагнитные колебания.

Колебательный контур состоит из конденсатора и катушки, присоединенной к его обкладкам (см. рисунок выше). Попробуем выяснить, почему в этом контуре возникают электромагнитные колебания. Для этого зарядим конденсатор, присоединив его на некоторое время к батарее с помощью переключателя (см. схему ниже).

При этом конденсатор получит энергию, равную:

Wp=q2max2C

где qmax — заряд конденсатора, а C — его электроемкость. Между обкладками конденсатора возникает разность потенциалов Umax.

Теперь переведем переключатель в положение 2 (см. схему ниже). После этого конденсатор начнет разряжаться, и в цепи появится электрический ток. Сила тока достигнет максимального значения не сразу, а будет увеличиваться постепенно. Это объясняется явлением самоиндукции. При появлении тока возникает переменное магнитное поле. Это переменное магнитное поле порождает вихревое электрическое поле в проводнике. Вихревое электрическое поле при возрастании магнитного поля действует против тока и препятствует его мгновенному увеличению.

По мере разрядки конденсатора энергия электрического поля уменьшается, но одновременно возрастает энергия магнитного поля тока, которая определяется формулой:

Wм=Li22

где i — сила переменного тока, L — индуктивность катушки.

Полная энергия W электромагнитного контура равна сумме энергий магнитного и электрического полей:

W=Li22+q22C

В момент, когда конденсатор полностью разрядится (q = 0), энергия электрического поля станет равной нулю. Но согласно закону сохранения энергии, максимальное значение обретет энергия магнитного поля. Сила тока в этот момент примет максимальное значение I_max.

К этому моменту разность потенциалов на концах катушки становится равной нулю. Но, несмотря на это, электрический ток не может исчезнуть сразу. Этому снова препятствует явление самоиндукции. Как только сила тока и созданное им магнитное поле начнут уменьшаться, возникает вихревое электрическое поле, которое поддерживает ток.

Конденсатор будет перезаряжаться до тех пор, пока сила тока, постепенно уменьшаясь, не станет равной нулю. Энергия магнитного поля в этот момент тоже будет равна нулю, а энергия электрического поля конденсатора опять будет максимальной. После этого конденсатор снова начнет перезаряжаться, и система вернется в исходное состояние.

Из-за частичных потерь энергии электромагнитные колебания являются затухающими. Если бы потерь не было, полная энергия система была бы постоянной и была бы равной:

W=Li22+q22C=q2max2C=LI2max2

Пример №1. После того как конденсатору колебательного контура был сообщен заряд q = 10^–5 Кл, в контуре возникли затухающие колебания. Какое количество теплоты выделится в контуре к тому времени, когда колебания в нем полностью затухнут? Емкость конденсатора C = 0,01 мкФ.

0,01 мкФ = 10^–8 Ф

Поскольку с каждым колебанием колебательный контур теряет часть энергии в виде выделения тепла, ко времени, когда колебания полностью затухнут, выделится полная электромагнитная энергия системы. Ее можно определить формулой:

Сходство электромагнитных колебаний в контуре со свободными механическими колебаниями

Электромагнитные колебания в контуре имеют сходство со свободными механическими колебаниями (к примеру, колебаниями тела, закрепленного на пружине). Сходство относится не к природе самих величин, которые периодически изменяются, а к процессам периодического изменения различных величин.

Соответствие между механическими и электрическими величинами при колебательных процессах

Механическая величина	Электрическая величина
Координата x	Заряд q
Скорость vx	Сила тока i
Масса m	Индуктивность L
Жесткость пружины	Величина, обратная емкости 1C
Потенциальная энергия растянутой пружины kx22	Энергия электрического поля q22C
Кинетическая энергия mv2x2	Энергия магнитного поля Li22

Уравнение, описывающее процессы в колебательном контуре

Рассмотрим колебательный контур, сопротивлением R которого можно пренебречь (см. схему ниже).

Полная электромагнитная энергия равна сумме энергий магнитного и электрического полей:

W=Li22+q22C

Если его сопротивление равно 0, то полная механическая энергия с течением времени не меняется. А производная константы равна нулю. Следовательно, сумма производных от каждой составляющей этой энергии также равна нулю.

(Li22)′+(q22C)′=0

Или:

(Li22)′=−(q22C)′

Первая производная по времени характеризует скорость изменения физической величины. Следовательно, эта формула позволяет сделать вывод о том, что скорость изменения энергии магнитного поля равна скорости изменения электрического поля. Знак «минус» указывает на то, что, когда энергия электрического поля возрастает, энергия магнитного поля уменьшается (и наоборот).

Вычислив обе производные, получим:

Но производная заряда по времени представляет собой силу тока в данный момент времени:

i=limΔt→0ΔqΔt=q′

Поэтому мы можем записать уравнение иначе:

Lii′=−qiC

Производная силы тока по времени представляет собой вторую производную заряда по времени:

i′=q
″

Подставив это равенство в уравнение, и преобразовав его путем деления на величину Li, получим основное уравнение, описывающее свободные электрические колебания в контуре:

q″=−1LCq

Формула Томсона

Когда мы рассматривали механические колебания, то вводили величину, постоянную для конкретной колебательной системы — коэффициент km. Он представляет собой квадрат собственной частоты колебаний. По аналогии в случае с электромагнитными колебаниями этот коэффициент равен 1LC. Он также представляет собой квадрат циклической частоты свободных электрических колебаний:

ω0=1√LC

Следовательно, период свободных колебаний в контуре равен:

T=2πω0=2π√LC

Эта формула называется формулой Томсона.

Пример №2. Колебательный контур состоит из катушки индуктивностью L = 0,003 Гн и плоского конденсатора емкостью C = 13,4 пФ. Определите период свободных колебаний в контуре.

13,4 пФ = 13,4∙10^–12 Ф

Гармонические колебания заряда и тока

Заряд конденсатора меняется с течением времени подобно тому, как координата при механических колебаниях изменяется со временем по гармоническому закону (в случае, когда в начальный момент времени отклонение от положения равновесия максимально):

q=qmaxcosω0t

где qmax — амплитуда колебаний заряда.

Сила тока также совершает гармонические колебания:

i=q‘=−ω0qmaxsinω0t=Imaxcos(ω0t+π2)

где Imax — амплитуда колебаний силы тока, равная произведению циклической частоты на амплитуду колебаний заряда:

Imax=qmax ω0

Колебания силы тока опережают по фазе на π2 колебания заряда, что хорошо видно на рисунке ниже.

Пример №3. В двух идеальных колебательных контурах с одинаковой индуктивностью происходят свободные электромагнитные колебания, причём период колебаний в первом контуре 9⋅10⁻⁸ с, во втором 3⋅10⁻⁸ с. Во сколько раз амплитудное значение силы тока во втором контуре больше, чем в первом, если  максимальный заряд конденсаторов в обоих случаях одинаков?

Максимальная сила тока равна:

Imax=qmax ω0

Так как максимальный заряд конденсаторов одинаков в обоих контурах, отношение силы тока во тором контуре к силе ток в первом контуре равно:

I2 maxI1 max=qmaxω02 qmaxω01=ω02 ω01

Циклическую частоту выразим из формулы Томсона:

ω0=2πT

Тогда:

Автоколебания

Незатухающие вынужденные колебания поддерживаются в цепи действием внешнего периодического напряжения. Но существует способ создания незатухающих колебаний, при котором колебательная система сама регулирует поступление энергии в колебательный контур для компенсации потерь энергии на резисторе.

Определения

Автоколебательные системы — системы, в которых генерируются незатухающие колебания за счет поступления энергии от источника тока внутри системы.

Автоколебания — незатухающие колебания, существующие в системе без воздействия на нее внешних периодических сил.

Самый простой пример автоколебательной системы — это генератор на транзисторе. Транзистор представляет собой полупроводниковое устройство, состоящее из эмиттера, базы и коллектора и имеющее 2 p–n перехода. Колебания тока в контуре вызывают колебания напряжения между эмиттером и базой, которые, в свою очередь, управляют силой тока в цепи колебательного контура (обратная связь). От источника напряжения в контур поступает энергия, компенсирующая потери энергии в контуре на транзисторе.

Схема автоколебательной системы представлена ниже.

Преимуществом такой схемы является то, что конденсатор при этом подключается к источнику тока только тогда, когда присоединенная к положительному источнику тока пластина конденсатора заряжена положительно (рис. а). Только в этом случае конденсатор восполняет потери энергии, выделенной на резисторе.

Если бы источник тока был включен всегда, восполнения потерь не происходило бы. Поскольку конденсатор разряжался бы в момент, когда он соединен с источником тока пластиной, заряженной отрицательно (рис. б).

Алиса Никитина | Просмотров: 4k