Как найти амплитуду волны физика

Есть много свойств, которые чаще всего используют для описания волн. Они включают в себя амплитуду, частоту, период, длину волны, скорость и фазу.

График волны

При изображении волны при решении какой либо физической или математической задачи на рисунке волна видна, как моментальный снимок. Вертикальная ось в таком случае – это амплитуда волны, в то время как горизонтальная ось может быть расстоянием или временем, зависит от каждой конкретной задачи.
На рисунке ниже можно увидеть, что самая высокая точка на графике волны называется гребнем, а самая низкая точка называется впадиной. Линия, проходящая через центр волны, является положением покоя среды, если волна не проходила.

Можно определить ряд волновых свойств из графика.

Амплитуда

Амплитуда волны является мерой смещения волны от ее положения покоя. Амплитуда показана на графике ниже.

Амплитуда обычно рассчитывается путем просмотра графика волны и измерения высоты волны из положения покоя.

Амплитуда является мерой силы или интенсивности волны.

Например, при взгляде на звуковую волну амплитуда будет измерять громкость звука. Энергия волны также изменяется прямо пропорционально амплитуде волны.

Длина волны

Длина волны

Это расстояние между двумя соответствующими точками в последовательных циклах волны.

Она может быть измерена между двумя гребнями волны или двумя впадинами волны. Длина волны обычно представлена в физике греческой буквой лямбда λλ.

Частота и период

Частота волны

Это количество циклов, которое циклически повторяется.

Частота измеряется в герцах или циклах в секунду. Частота часто представлена строчной буквой ff.

Период волны

Это время между гребнями волны.

Период измеряется в единицах времени, таких как секунды. Период обычно представлен заглавной буквой TT.
Период и частота тесно связаны друг с другом. Период обратно пропорционален частоте и наоборот, как показано в следующей формуле:

T=1/fT = 1 / f

Скорость волны

Другим важным свойством волны является скорость распространения. Скорость механических волн зависит от среды, через которую проходит волна. Например, звук будет распространяться в воде с другой скоростью, чем в воздухе.
Скорость волны обычно обозначается буквой vv. Скорость может быть рассчитана путем умножения частоты на длину волны.

v=f⋅λv = f · λ

Разделяют два вида волн: поперечные и продольные.

Поперечная волна

Движение, при котором все точки волны колеблются по траекториям под прямым углом к направлению движения волны.

Поверхностные волны на воде и электромагнитные (например, радио- и световые волны) представляют собой примеры поперечных волн.

Продольная волна

Волна, состоящая из периодического возмущения или вибрации, которая происходит в том же направлении, что и продвижение волны.

Спиральная пружина, которая сжимается на одном конце, а затем освобождается, испытывает волну сжатия, которая проходит по ее длине с последующим растяжением; точка на любом витке пружины будет двигаться вместе с волной и возвращаться по тому же пути, проходя через нейтральное положение и затем снова изменяя свое движение. Звук, движущийся в воздухе, также сжимает и разжижает газ в направлении движения звуковой волны.

Тест по теме «Волны»

Чтобы описать колебательные процессы и отличить одни колебания от других, используют 6 характеристик. Они называются так (рис. 1):

• амплитуда,
• период,
• частота,
• циклическая частота,
• фаза,
• начальная фаза.

Такие величины, как амплитуду и период, можно определить по графику колебаний.

Начальную фазу, так же, определяют по графику, с помощью интервала времени (large Delta t), на который относительно нуля сдвигается начало ближайшего периода.

Частоту и циклическую частоту вычисляют из найденного по графику периода, по формулам. Они находятся ниже в тексте этой статьи.

А фазу определяют с помощью формулы, в которую входит интересующий нас момент времени t колебаний. Читайте далее.

Что такое амплитуда

Амплитуда – это наибольшее отклонение величины от равновесия, то есть, максимальное значение колеблющейся величины.

Измеряют в тех же единицах, в которых измерена колеблющаяся величина. К примеру, когда рассматривают механические колебания, в которых изменяется координата, амплитуду измеряют в метрах.

В случае электрических колебаний, в которых изменяется заряд, ее измеряют в Кулонах. Если колеблется ток – то в Амперах, а если – напряжение, то в Вольтах.

Часто обозначают ее, приписывая к букве, обозначающей амплитуду индекс «0» снизу.

К примеру, пусть колеблется величина ( large x ). Тогда символом ( large x_{0} ) обозначают амплитуду колебаний этой величины.

Иногда для обозначения амплитуды используют большую латинскую букву A, так как это первая буква английского слова «amplitude».

С помощью графика амплитуду можно определить так (рис. 2):

Что такое период

Когда колебания повторяются точно, изменяющаяся величина принимает одни и те же значения через одинаковые кусочки времени. Такой кусочек времени называют периодом.

Обозначают его обычно большой латинской буквой «T» и измеряют в секундах.

( large T left( c right) ) – период колебаний.

Одна секунда – достаточно большой интервал времени. Поэтому, хотя период и измеряют в секундах, но для большинства колебаний он будет измеряться долями секунды.

Чтобы по графику колебаний определить период (рис. 3), нужно найти два одинаковых значения колеблющейся величины. После, провести от этих значений к оси времени пунктиры. Расстояние между пунктирами – это период колебаний.

Период – это время одного полного колебания.

На графике период найти удобнее одним из таких способов (рис. 4):

Что такое частота

Обозначают ее с помощью греческой буквы «ню» ( large nu ).

Частота отвечает на вопрос: «Сколько полных колебаний выполняется за одну секунду?» Или же: «Сколько периодов умещается в интервал времени, равный одной секунде?».

Поэтому, размерность частоты — это единицы колебаний в секунду:

( large nu left( frac{1}{c} right) ).

Иногда в учебниках встречается такая запись ( large displaystyle nu left( c^{-1} right) ), потому, что по свойствам степени ( large  displaystyle frac{1}{c} = c^{-1} ).

Начиная с 1933 года частоту указывают в Герцах в честь Генриха Рудольфа Герца. Он совершил значимые открытия в физике, изучал колебания и доказал, что существуют электромагнитные волны.

Одно колебание в секунду соответствует частоте в 1 Герц.

[ large displaystyle boxed{ frac{ 1 text{колебание}}{1 text{секунда}} = 1 text{Гц} }]

Чтобы с помощью графика определить частоту, нужно на оси времени определить период. А затем посчитать частоту по такой формуле:

[ large boxed{ nu = frac{1}{T} }]

Существует еще один способ определить частоту с помощью графика колеблющейся величины. Нужно отмерить на графике интервал времени, равный одной секунде, и сосчитать количество периодов колебаний, уместившихся в этот интервал (рис. 5).

Что такое циклическая частота

Колебательное движение и движение по окружности имеют много общего – это повторяющиеся движения. Одному полному обороту соответствует угол (large 2pi) радиан. Поэтому, кроме интервала времени 1 секунда, физики используют интервал времени, равный (large 2pi) секунд.

Число полных колебаний для такого интервала времени, называется циклической частотой и обозначается греческой буквой «омега»:

( large displaystyle omega left( frac{text{рад}}{c} right) )

Примечание: Величину ( large omega ) так же называют круговой частотой, а еще — угловой скоростью (ссылка).

Циклическая частота отвечает на вопрос: «Сколько полных колебаний выполняется за (large 2pi) секунд?» Или же: «Сколько периодов умещается в интервал времени, равный (large 2pi) секунд?».

Обычная ( large nu ) и циклическая ( large omega ) частота колебаний связаны формулой:

[ large boxed{ omega = 2pi cdot nu }]

Слева в формуле количество колебаний измеряется в радианах на секунду, а справа – в Герцах.

Чтобы с помощью графика колебаний определить величину ( large omega ), нужно сначала найти период T.

Затем, воспользоваться формулой ( large displaystyle nu = frac{1}{T} ) и вычислить частоту ( large nu ).

И только после этого, с помощью формулы ( large omega = 2pi cdot nu ) посчитать циклическую ( large omega ) частоту.

Для грубой устной оценки можно считать, что циклическая частота превышает обычную частоту примерно в 6 раз численно.

Определить величину ( large omega ) по графику колебаний можно еще одним способом. На оси времени отметить интервал, равный (large 2pi), а затем, сосчитать количество периодов колебаний в этом интервале (рис. 6).

Что такое начальная фаза и как определить ее по графику колебаний

Отклоним качели на некоторый угол от равновесия и будем удерживать их в таком положении. Когда мы отпустим их, качели начнут раскачиваться. А старт колебаний произойдет из угла, на который мы их отклонили.

Такой, начальный угол отклонения, называют начальной фазой колебаний. Обозначим этот угол (рис. 7) какой-нибудь греческой буквой, например, (large varphi_{0} ).

(large varphi_{0} left(text{рад} right) ) — начальная фаза, измеряется в радианах (или градусах).

Начальная фаза колебаний – это угол, на который мы отклонили качели, перед тем, как их отпустить. Из этого угла начнется колебательный процесс.

Рассмотрим теперь, как величина (large varphi_{0} ) влияет на график колебаний (рис. 8). Для удобства будем считать, что мы рассматриваем колебания, которые происходят по закону синуса.

Кривая, обозначенная черным на рисунке, начинает период колебаний из точки t = 0. Эта кривая является «чистым», не сдвинутым синусом. Для нее величину начальной фазы (large varphi_{0} ) принимаем равной нулю.

Вторая кривая на рисунке обозначена красным цветом. Начало ее периода сдвинуто вправо относительно точки t = 0. Поэтому, для красной кривой, начавшей новый период колебаний спустя время (large Delta t), начальный угол (large varphi_{0} ) будет отличаться от нулевого значения.

Определим угол (large varphi_{0} ) с помощью графика колебаний.

Обратим внимание (рис. 8) на то, что время, лежащее на горизонтальной оси, измеряется в секундах, а величина (large varphi_{0} ) — в радианах. Значит, нужно связать формулой кусочек времени (large Delta t) и соответствующий ему начальный угол (large varphi_{0} ).

Как вычислить начальный угол по интервалу смещения

Алгоритм нахождения начального угла состоит из нескольких несложных шагов.

• Сначала определим интервал времени, обозначенный синими стрелками на рисунке. На осях большинства графиков располагают цифры, по которым это можно сделать. Как видно из рис. 8, этот интервал (large Delta t) равен 1 сек.
• Затем определим период. Для этого отметим одно полное колебание на красной кривой. Колебание началось в точке t = 1, а закончилось в точке t =5. Взяв разность между этими двумя точками времени, получим значение периода.

[large T = 5 – 1 = 4 left( text{сек} right)]

Из графика следует, что период T = 4 сек.

• Рассчитаем теперь, какую долю периода составляет интервал времени (large Delta t). Для этого составим такую дробь (large displaystyle frac{Delta t }{T} ):

[large frac{Delta t }{T} = frac{1}{4} ]

Полученное значение дроби означает, что красная кривая сдвинута относительно точки t = 0 и черной кривой на четверть периода.

• Нам известно, что одно полное колебание — один полный оборот (цикл), синус (или косинус) совершает, проходя каждый раз угол (large 2pi ). Найдем теперь, как связана найденная доля периода с углом (large 2pi ) полного цикла.

Для этого используем формулу:

[large boxed{ frac{Delta t }{T} cdot 2pi = varphi_{0} }]

(large displaystyle frac{1}{4} cdot 2pi = frac{pi }{2} =varphi_{0} )

Значит, интервалу (large Delta t) соответствует угол (large displaystyle frac{pi }{2} ) – это начальная фаза для красной кривой на рисунке.

• В заключение обратим внимание на следующее. Начало ближайшего к точке t = 0 периода красной кривой сдвинуто вправо. То есть, кривая запаздывает относительно «чистого» синуса.

Чтобы обозначить запаздывание, будем использовать знак «минус» для начального угла:

[large varphi_{0} = — frac{pi }{2} ]

Примечание: Если на кривой колебаний начало ближайшего периода лежит левее точки t = 0, то в таком случае, угол (large displaystyle frac{pi }{2} ) имеет знак «плюс».

Для не сдвинутого влево, либо вправо, синуса или косинуса, начальная фаза нулевая (large varphi_{0} = 0 ).

Для синуса или косинуса, сдвинутого влево по графику и опережающего обычную функцию, начальная фаза берется со знаком «+».

А если функция сдвинута вправо и запаздывает относительно обычной функции, величину (large varphi_{0} ) записываем со знаком «-».

Примечания:

1. Физики начинают отсчет времени из точки 0. Поэтому, время в задачах будет величиной не отрицательной.
2. На графике колебаний начальная фаза ( varphi_{0}) влияет на вертикальный сдвиг точки, из которой стартует колебательный процесс. Значит, можно для простоты сказать, что колебания имеют начальную точку.

Благодаря таким допущениям график колебаний при решении большинства задач можно изображать, начиная из окрестности нуля и преимущественно в правой полуплоскости.

Что такое фаза колебаний

Рассмотрим еще раз обыкновенные детские качели (рис. 9) и угол их отклонения от положения равновесия. С течением времени этот угол изменяется, то есть, он зависит от времени.

В процессе колебаний изменяется угол отклонения от равновесия. Этот изменяющийся угол называют фазой колебаний и обозначают (varphi).

Различия между фазой и начальной фазой

Существуют два угла отклонения от равновесия – начальный, он задается перед началом колебаний и, угол, изменяющийся во время колебаний.

Первый угол называют начальной ( varphi_{0}) фазой (рис. 10а), она считается неизменной величиной. А второй угол – просто ( varphi) фазой (рис. 10б) – это величина переменная.

Как на графике колебаний отметить фазу

На графике колебаний фаза (large varphi) выглядит, как точка на кривой. С течением времени эта точка сдвигается (бежит) по графику слева направо (рис. 11). То есть, в разные моменты времени она будет находиться на различных участках кривой.

На рисунке отмечены две крупные красные точки, они соответствуют фазам колебаний в моменты времени t1 и t2.

А начальная фаза на графике колебаний выглядит, как место, в котором находится точка, лежащая на кривой колебаний, в момент времени t=0. На рисунке дополнительно присутствует одна мелкая красная точка, она соответствует начальной фазе колебаний.

Как определить фазу с помощью формулы

Пусть нам известны величины (large omega) — циклическая частота и (large varphi_{0}) — начальная фаза. Во время колебаний эти величины не изменяются, то есть, являются константами.

Время колебаний t будет величиной переменной.

Фазу (large varphi), соответствующую любому интересующему нас моменту t времени, можно определить из такого уравнения:

[large boxed{ varphi = omega cdot t + varphi_{0} }]

Левая и правая части этого уравнения имеют размерность угла (т. е. измеряются в радианах, или градусах). А подставляя вместо символа t в это уравнение интересующие нас значения времени, можно получать соответствующие им значения фазы.

Что такое разность фаз

Обычно понятие разности фаз применяют, когда сравнивают два колебательных процесса между собой.

Рассмотрим два колебательных процесса (рис. 12). Каждый имеет свою начальную фазу.

Обозначим их:

( large varphi_{01}) – для первого процесса и,

( large varphi_{02}) – для второго процесса.

Определим разность фаз между первым и вторым колебательными процессами:

[large boxed{ Delta varphi = varphi_{01} —  varphi_{02} }]

Величина (large Delta varphi ) показывает, на сколько отличаются фазы двух колебаний, она называется разностью фаз.

Как связаны характеристики колебаний — формулы

Движение по окружности и колебательное движение имеют определенную схожесть, так как эти виды движения могут быть периодическими.

Поэтому, основные формулы, применимые для движения по окружности, подойдут так же, для описания колебательного движения.

• Связь между периодом, количеством колебаний и общим временем колебательного процесса:

[large boxed{ T cdot N = t }]

( large T left( c right) ) – время одного полного колебания (период колебаний);

( large N left( text{шт} right) ) – количество полных колебаний;

( large t left( c right) ) – общее время для нескольких колебаний;

• Период и частота колебаний связаны так:

[large boxed{ T = frac{1}{nu} }]

(large nu left( text{Гц} right) ) – частота колебаний.

• Количество и частота колебаний связаны формулой:

[large boxed{ N = nu cdot t}]

• Связь между частотой и циклической частотой колебаний:

[large boxed{ nu cdot 2pi = omega }]

(large displaystyle omega left( frac{text{рад}}{c} right) ) – циклическая (круговая) частота колебаний.

• Фаза и циклическая частота колебаний связаны так:

[large boxed{ varphi = omega cdot t + varphi_{0} }]

(large varphi_{0} left( text{рад} right) ) — начальная фаза;

(large varphi left( text{рад} right) ) – фаза (угол) в выбранный момент времени t;

• Между фазой и количеством колебаний связь описана так:

[large boxed{ varphi = N cdot 2pi }]

• Интервал времени (large Delta t ) (сдвигом) и начальная фаза колебаний связаны:

[large boxed{ frac{Delta t }{T} cdot 2pi = varphi_{0} }]

(large Delta t left( c right) ) — интервал времени, на который относительно точки t=0 сдвинуто начало ближайшего периода.

Гармонические колебания происходят по
закону:

x
= A
cos(ωt
+ φ₀),

где
x
– смещение частицы от положения
равновесия, А
– амплитуда колебаний, ω – круговая
частота, φ₀
– начальная фаза, t
– время.

Период
колебаний T
=
.

Скорость колеблющейся частицы:

υ
=

= – A
ω
sin (ωt
+ φ₀),

ускорение
a
=

= –
Aω²
cos
(ωt
+ φ₀).

Кинетическая энергия частицы, совершающей
колебательное движение: E_k
=
=sin²(ωt+ φ₀).

Потенциальная
энергия:

E_n
=
cos²(ωt
+ φ₀).

Периоды колебаний маятников

– пружинного
T
=
,

где
m
– масса груза, k
– коэффициент жесткости пружины,

– математического
T
=
,

где
l
– длина
подвеса, g
– ускорение свободного падения,

– физического
T
=
,

где
I
– момент
инерции маятника относительно оси,
проходящей через точку подвеса, m
– масса маятника, l
– расстояние от точки подвеса до центра
масс.

Приведенная
длина физического маятника находится
из условия: l_np
=
,

обозначения те
же, что для физического маятника.

При сложении двух
гармонических колебаний одной частоты
и одного направления получается
гармоническое колебание той же частоты
с амплитудой:

A
= A₁²
+
A₂²
+
2A₁
A₂
cos(φ₂
–
φ₁)

и
начальной
фазой:
φ =
arctg
.

где
А₁,
A₂
– амплитуды, φ₁,
φ₂
– начальные фазы складываемых колебаний.

Траектория
результирующего движения при сложении
взаимноперпендикулярных колебаний
одной частоты:

+

–
cos
(φ₂
– φ₁)
= sin²
(φ₂
– φ₁).

Затухающие колебания происходят по
закону:

x
= A₀
e^–
βt
cos(ωt
+ φ₀),

где
β – коэффициент затухания, смысл
остальных параметров тот же, что для
гармонических колебаний, А₀
– начальная амплитуда. В момент времени
t
амплитуда колебаний:

A
= A₀
e
^{– βt}.

Логарифмическим
декрементом затухания называют:

λ
= ln

= βT,

где
Т
– период колебания: T
=
.

Добротностью колебательной системы
называют:

D
=
.

Уравнение плоской бегущей волны имеет
вид:

y
= y₀
cos
ω(t
±
),

где
у
– смещение колеблющейся величины от
положения равновесия, у₀
– амплитуда, ω – круговая частота, t
– время, х
– координата, вдоль которой распространяется
волна, υ
– скорость распространения волны.

Знак
«+» соответствует волне, распространяющейся
против оси X,
знак «–» соответствует волне,
распространяющейся по оси Х.

Длиной волны называют ее пространственный
период:

λ
= υT,

где
υ–скорость
распространения волны, T–период
распространяющихся колебаний.

Уравнение волны можно записать:

y
= y₀
cos
2π
(+).

Стоячая волна описывается уравнением:

y
= (2y₀
cos
)
cos ωt.

В скобки заключена амплитуда стоячей
волны. Точки с максимальной амплитудой
называются пучностями,

x_п
= n,

точки с нулевой
амплитудой – узлами,

x_у
=
(n
+

).

Примеры решения задач

Задача
20

Амплитуда
гармонических колебаний равна 50 мм,
период 4 с и начальная фаза
.
а) Записать уравнение этого колебания;
б) найти смещения колеблющейся точки
от положения равновесия при t=0
и при t
= 1,5 с; в) начертить график этого движения.

Решение

Уравнение
колебания записывается в виде x
= a
cos(t
+
₀).

По
условию известен период колебаний.
Через него можно выразить круговую
частоту 
=
.
Остальные параметры известны:

а)
x
= 0,05 cos(t
+

).

б)
Смещение x
при t
=
0.

x₁
= 0,05 cos=
0,05
=
0,0355 м.

При
t
=
1,5 c

x₂
= 0,05 cos(1,5
+
)=
0,05 cos 
=
– 0,05 м.

в)
график функцииx=0,05cos
(t
+

)
выглядит следующим образом:

Определим
положение нескольких точек. Известны
х₁(0)
и х₂(1,5),
а также период колебаний. Значит, через
t
= 4 c
значение х
повторяется, а через t
=
2 c
меняет знак. Между максимумом и минимумом
посередине – 0 .

Задача
21

Точка
совершает гармоническое колебание.
Период колебаний 2 с, амплитуда 50 мм,
начальная фаза равна нулю. Найти скорость
точки в момент времени, когда ее смещение
от положения равновесия равно 25 мм.

Решение

1
способ. Записываем уравнение колебания
точки:

x
= 0,05 cos 
t,
т.
к.

=

=.

Находим
скорость в момент времени t:

υ
=

= – 0,05
cos

t.

Находим
момент времени, когда смещение равно
0,025 м:

0,025
= 0,05 cos 
t₁,

отсюда
cos t₁
=
,
t₁
=
.Подставляем
это значение в выражение для скорости:

υ
= – 0,05 
sin

=
–
0,05 

=
0,136 м/c.

2
способ. Полная энергия колебательного
движения:

E
=
,

где
а
– амплитуда, 
– круговая частота,
m
–
масса
частицы.

В
каждый момент времени она складывается
из потенциальной и кинетической энергии
точки

E_k
=
,
E_п
=

,
но k
= m²,
значит, E_п
=

.

Запишем
закон сохранения энергии:

=
+,

отсюда
получаем: a²²
=
υ
² +
²x²,

υ
= 

=

=
0,136 м/c.

Задача
22

Амплитуда
гармонических колебаний материальной
точки А
= 2 см, полная энергия Е
=
3∙10^-7
Дж.
При каком смещении от положения равновесия
на колеблющуюся точку действует сила
F
=
2,25∙10^-5
Н?

Решение

Полная
энергия точки, совершающей гармонические
колебания, равна:

E
=
.
(13)

Модуль
упругой силы выражается через смещение
точек от положения равновесия x
следующим образом:

F
= k
x
(14)

В
формулу (13) входят масса m
и круговая частота ,
а в (14) – коэффициент жесткости k.
Но круговая частота связана с m
и k:

²
=
,

отсюда
k
= m²
и F
= m²x.
Выразив m²
из
соотношения (13) получим:
m²
=

,
F
=
x.

Откуда
и получаем выражение для смещения x:

x
=
.

Подстановка
числовых значений дает:

x
=

= 1,5∙10^-2
м
= 1,5 см.

Задача
23

Точка
участвует в двух колебаниях с одинаковыми
периодами и начальными фазами. Амплитуды
колебаний А₁
=
3 см и А₂
= 4 см. Найти амплитуду результирующего
колебания, если: 1) колебания происходят
в одном направлении; 2) колебания взаимно
перпендикулярны.

Решение

1. Если
   колебания происходят в одном направлении,
   то амплитуда результирующего колебания
   определится как:

A
=
,

где
А₁
и А₂
– амплитуды складываемых колебаний,
₁
и ₂–начальные
фазы. По условию начальные фазы одинаковы,
значит ₂
–
₁
=
0, а cos
0 = 1.

Следовательно:

A
=
==
А₁+А­₂
=
7 см.

1. Если
   колебания взаимно перпендикулярны, то
   уравнение результирующего движения
   будет:

cos(
₂
–

₁)
= sin²(
₂
–

₁).

Так
как по условию ₂
–
₁
=
0, cos
0 = 1, sin
0 = 0, то уравнение запишется в виде:

=0,

или

=0,

или

.

Полученное
соотношение между x
и у
можно
изобразить на графике. Из графика видно,
что результирующим будет колебание
точки на прямой MN.
Амплитуда этого колебания определится
как:
A
=
=
5 см.

Задача
24

Период
затухающих колебаний Т=4
с, логарифмический декремент затухания

= 1,6 , начальная фаза равна нулю. Смещение
точки при t
=

равно 4,5 см. 1) Написать уравнение этого
колебания; 2) Построить график этого
движения для двух периодов.

Решение

1. Уравнение
   затухающих колебаний с нулевой начальной
   фазой имеет вид:

x
= A₀e
^–t
cos2.

Для
подстановки числовых значений не хватает
величин начальной амплитуды А₀
и
коэффициента затухания .

Коэффициент
затухания можно определить из соотношения
для логарифмического декремента
затухания:

 =
Т.

Таким
образом 
=


=

= 0,4 с^-1.

Начальную
амплитуду можно определить, подставив
второе условие:

4,5
см
= A₀

cos
2= A₀

cos
=A₀

.

Отсюда
находим:

A₀
=
4,5∙

(см)
= 7,75 см.

Окончательно
уравнение движения:

x
= 0,0775
cost.

1. Для
   построения графика сначала рисуем
   огибающую x
   =
   0,0775
   ,
   а затем колебательную часть.

Задача
25

Чему
равен логарифмический декремент
затухания математического маятника,
если за t
=
1 мин амплитуда колебаний уменьшилась
в два раза? Длина маятника l
=
1 м.

Решение

Логарифмический
декремент затухания можно найти из
соотношения: =
Т,

где

– коэффициент затухания, Т
– период колебаний. Собственная круговая
частота математического маятника:

₀
=
= 3,13 с^-1.

Коэффициент
затухания колебаний можно определить
из условия:

A₀
=
A₀
e^–t,

t
= ln2
= 0,693 ,

 =
= 0,0116c^-1.

Поскольку

<< ₀,
то
в формуле 
=
можно пренебречь
по сравнению с ₀
и
период
колебаний определить по формуле:

T
=
= 2c.

Подставляем

и Т
в выражение для логарифмического
декремента затухания и получаем:

 =
T
= 0,0116 с^-1
∙ 2 с = 0,0232.

Задача
26

Уравнение
незатухающих
колебаний
дано
в виде
x
=
4
sin600
t
см.

Найти
смещение от положения равновесия точки,
находящейся на расстоянии l
= 75 см от источника колебаний, через t
= 0,01 с после начала колебаний. Скорость
распространения колебаний υ
= 300 м/с.

Решение

Запишем
уравнение волны, распространяющейся
от данного источника: x
= 0,04 sin
600 (t
–
).

Находим
фазу волны в данный момент времени в
данном месте:

t
–
= 0,01 –= 0,0075 ,

600
∙
0,0075
= 4,5
,

sin
4,5
= sin

= 1.

Следовательно,
смещение точки x
= 0,04 м, т.е. на расстоянии l
=75
см от источника в момент времени t
= 0,01 c
смещение точки максимально.

Список литературы

1. Волькенштейн
   В.С. Сборник задач по общему курсу
   физики. – СПб.: СпецЛит, 2001.

2. Савельев
   И.В. Сборник вопросов и задач по общей
   физике. – М.: Наука, 1998.

35

Соседние файлы в папке FIZIKA

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Механические колебания и волны

Механические колебания – периодически повторяющееся перемещение материальной точки, при котором она движется по какой-либо траектории поочередно в двух противоположных направлениях относительно положения устойчивого равновесия.

Отличительными признаками колебательного движения являются:

• повторяемость движения;
• возвратность движения.

Для существования механических колебаний необходимо:

• наличие возвращающей силы – силы, стремящейся вернуть тело в положение равновесия (при малых смещениях от положения равновесия);
• наличие малого трения в системе.

Механические волны – это процесс распространения колебаний в упругой среде.

Виды волн

• Поперечная – это волна, в которой колебание частиц среды происходит перпендикулярно направлению распространения волны.

Поперечная волна представляет собой чередование горбов и впадин.
Поперечные волны возникают вследствие сдвига слоев среды относительно друг друга, поэтому они распространяются в твердых телах.

• Продольная – это волна, в которой колебание частиц среды происходит в направлении распространения волны.

Продольная волна представляет собой чередование областей уплотнения и разряжения.
Продольные волны возникают из-за сжатия и разряжения среды, поэтому они могут возникать в жидких, твердых и газообразных средах.

Важно!
Механические волны не переносят вещество среды. Они переносят энергию, которая складывается из кинетической энергии движения частиц среды и потенциальной энергии ее упругой деформации.

Гармонические колебания

Гармонические колебания – простейшие периодические колебания, при которых координата тела меняется по закону синуса или косинуса:

где ​( x )​ – координата тела – смещение тела от положения равновесия в данный момент времени; ​( A )​ – амплитуда колебаний; ​( omega t+varphi_0 )​ – фаза колебаний; ​( omega )​ – циклическая частота; ​( varphi_0 )​ – начальная фаза.

Если в начальный момент времени тело проходит положение равновесия, то колебания являются синусоидальными.

Если в начальный момент времени смещение тела совпадает с максимальным отклонением от положения равновесия, то колебания являются косинусоидальными.

Скорость гармонических колебаний
Скорость гармонических колебаний есть первая производная координаты по времени:

где ​( v )​ – мгновенное значение скорости, т. е. скорость в данный момент времени.

Амплитуда скорости – максимальное значение скорости колебаний, это величина, стоящая перед знаком синуса или косинуса:

Ускорение гармонических колебаний
Ускорение гармонических колебаний есть первая производная скорости по времени:

где ​( a )​ – мгновенное значение ускорения, т. е. ускорение в данный момент времени.

Амплитуда ускорения – максимальное значение ускорения, это величина, стоящая перед знаком синуса или косинуса:

Если тело совершает гармонические колебания, то сила, действующая на тело, тоже изменяется по гармоническому закону:

где ​( F )​ – мгновенное значение силы, действующей на тело, т. е. сила в данный момент времени.

Амплитуда силы – максимальное значение силы, величина, стоящая перед знаком синуса или косинуса:

Тело, совершающее гармонические колебания, обладает кинетической или потенциальной энергией:

где ​( W_k )​ – мгновенное значение кинетической энергии, т. е. кинетическая энергия в данный момент времени.

Амплитуда кинетической энергии – максимальное значение кинетической энергии, величина, стоящая перед знаком синуса или косинуса:

При гармонических колебаниях каждую четверть периода происходит переход потенциальной энергии в кинетическую и обратно.
В положении равновесия:

• потенциальная энергия равна нулю;
• кинетическая энергия максимальна.

При максимальном отклонении от положения равновесия:

• кинетическая энергия равна нулю;
• потенциальная энергия максимальна.

Полная механическая энергия гармонических колебаний
При гармонических колебаниях полная механическая энергия равна сумме кинетической и потенциальной энергий в данный момент времени:

Важно!
Следует помнить, что период колебаний кинетической и потенциальной энергий в 2 раза меньше, чем период колебаний координаты, скорости, ускорения и силы. А частота колебаний кинетической и потенциальной энергий в 2 раза больше, чем частота колебаний координаты, скорости, ускорения и силы.

Графики зависимости кинетической, потенциальной и полной энергий всегда лежат выше оси времени.

Если сила сопротивления отсутствует, то полная энергия сохраняется. График зависимости полной энергии от времени есть прямая, параллельная оси времени (в отсутствие сил трения).

Амплитуда и фаза колебаний

Амплитуда колебаний – модуль наибольшего смещения тела от положения равновесия.
Обозначение – ​( A, (X_{max}) )​, единицы измерения – м.

Фаза колебаний – это величина, которая определяет состояние колебательной системы в любой момент времени.
Обозначение – ​( varphi )​, единицы измерения – рад (радиан).

Фаза колебаний – это величина, стоящая под знаком синуса или косинуса. Она показывает, какая часть периода прошла от начала колебаний.
Фаза гармонических колебаний в процессе колебаний изменяется.
​( varphi_0 )​ – начальная фаза колебаний.
Начальная фаза колебаний – величина, которая определяет положение тела в начальный момент времени.

Важно!
Путь, пройденный телом за одно полное колебание, равен четырем амплитудам.

Период колебаний

Период колебаний – это время одного полного колебания.
Обозначение – ​( T )​, единицы измерения – с.

Период гармонических колебаний – постоянная величина.

Частота колебаний

Частота колебаний – это число полных колебаний в единицу времени.
Обозначение – ​( nu )​, единицы времени – с^-1 или Гц (Герц).

1 Гц – это частота такого колебательного движения, при котором за каждую секунду совершается одно полное колебание:

Период и частота колебаний – взаимно обратные величины:

Циклическая частота – это число колебаний за 2π секунд.
Обозначение – ​( omega )​, единицы измерения – рад/с.

Свободные колебания (математический и пружинный маятники)

Свободные колебания – колебания, которые совершает тело под действием внутренних сил системы за счет начального запаса энергии после того как его вывели из положения устойчивого равновесия.

Условия возникновения свободных колебаний:

• при выведении тела из положения равновесия должна возникнуть сила, стремящаяся вернуть его в положение равновесия;
• силы трения в системе должны быть достаточно малы. При наличии сил трения свободные колебания будут затухающими.

При наличии сил трения свободные колебания будут затухающими.
Затухающие колебания – это колебания, амплитуда которых с течением времени уменьшается.

Математический маятник – это материальная точка, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити.

Период колебаний математического маятника:

Частота колебаний математического маятника:

Циклическая частота колебаний математического маятника:

Максимальное значение скорости колебаний математического маятника:

Максимальное значение ускорения колебаний математического маятника:

Период свободных колебаний математического маятника, движущегося вверх с ускорением или вниз с замедлением:

Период свободных колебаний математического маятника, движущегося вниз с ускорением или вверх с замедлением:

Период свободных колебаний математического маятника, горизонтально с ускорением или замедлением:

Мгновенное значение потенциальной энергии математического маятника, поднявшегося в процессе колебаний на высоту ​( h )​, определяется по формуле:

где ​( l )​ – длина нити, ​( alpha )​ – угол отклонения от вертикали.

Пружинный маятник – это тело, подвешенное на пружине и совершающее колебания вдоль вертикальной или горизонтальной оси под действием силы упругости пружины.

Период колебаний пружинного маятника:

Частота колебаний пружинного маятника:

Циклическая частота колебаний пружинного маятника:

Максимальное значение скорости колебаний пружинного маятника:

Максимальное значение ускорения колебаний пружинного маятника:

Мгновенную потенциальную энергию пружинного маятника можно найти по формуле:

Амплитуда потенциальной энергии – максимальное значение потенциальной энергии, величина, стоящая перед знаком синуса или косинуса:

Важно!
Если маятник не является ни пружинным, ни математическим (физический маятник), то его циклическую частоту, период и частоту колебаний по формулам, применимым к математическому и пружинному маятнику, рассчитать нельзя. В данном случае эти величины рассчитываются из формулы силы, действующей на маятник, или из формул энергий.

Вынужденные колебания

Вынужденные колебания – это колебания, происходящие под действием внешней периодически изменяющейся силы.

Вынужденные колебания, происходящие под действием гармонически изменяющейся внешней силы, тоже являются гармоническими и незатухающими. Их частота равна частоте внешней силы и называется частотой вынужденных колебаний.

Резонанс

Резонанс – явление резкого возрастания амплитуды колебаний, которое происходит при совпадении частоты вынуждающей силы и собственной частоты колебаний тела.

Условие резонанса:

​( v_0 )​ – собственная частота колебаний маятника.

На рисунке изображены резонансные кривые для сред с разным трением. Чем меньше трение, тем выше и острее резонансная кривая.

Явление резонанса учитывается при периодически изменяющихся нагрузках в машинах и различных сооружениях.
Также резонанс используется в акустике, радиотехнике и т. д.

Длина волны

Длина волны – это расстояние, на которое волна распространяется за один период, т. е. это кратчайшее расстояние между двумя точками среды, колеблющимися в одинаковых фазах.
Обозначение – ​( lambda )​, единицы измерения – м.

Расстояние между соседними гребнями или впадинами в поперечной волне и между соседними сгущениями или разряжениями в продольной волне равно длине волны.

Скорость распространения волны – это скорость перемещения горбов и впадин в поперечной волне и сгущений или разряжений в продольной волне.

Звук

Звук – это колебания упругой среды, воспринимаемые органом слуха.

Условия, необходимые для возникновения и ощущения звука:

• наличие источника звука;
• наличие упругой среды между источником и приемником звука;
• наличие приемника звука; • частота колебаний должна лежать в звуковом диапазоне;
• мощность звука должна быть достаточной для восприятия.

Звуковые волны – это упругие волны, вызывающие у человека ощущение звука, представляющие собой зоны сжатия и разряжения, передающиеся на расстояние с течением времени.

Классификация звуковых волн:

• инфразвук (​( nu )​ < 16 Гц);
• звуковой диапазон (16 Гц < ( nu ) < 20 000 Гц);
• ультразвук (( nu ) > 20 000 Гц).

Скорость звука – это скорость распространения фазы колебания, т. е. области сжатия и разряжения среды.

Скорость звука зависит

• от упругих свойств среды:

в воздухе – 331 м/с, в воде – 1400 м/с, в металле – 5000 м/с;

• от температуры среды:

в воздухе при температуре 0°С – 331 м/с,
в воздухе при температуре +15°С – 340 м/с.

Характеристики звуковой волны

• Громкость – это величина, характеризующая слуховые ощущения человека, зависящая от амплитуды колебаний в звуковой волне. Единицы измерения – дБ (децибел).
• Высота тона – это величина, характеризующая слуховые ощущения человека, зависящая от частоты колебаний в звуковой волне. Чем больше частота, тем выше звук. Чем меньше частота, тем ниже звук.
• Тембр – это окраска звука.

Музыкальный звук – это звук, издаваемый гармонически колеблющимся телом. Каждому музыкальному тону соответствует определенная длина и частота звуковой волны.
Шум – хаотическая смесь тонов.

Основные формулы по теме «Механические колебания и волны»