Как найти аn если последовательность задана формулой

Арифметическая прогрессия

Например, правило «все положительные четные числа по возрастанию начиная с двойки» задает последовательность: (2; 4; 6; 8; 10…) А правило «первое число равно (3), а каждое следующее число в два раза больше предыдущего» формирует последовательность: (3; 6; 12; 24; 48….)

Ниже разобраны несколько разных способов задания числовых последовательностей.

Например, в последовательности (3; 6; 12; 24; 48…) тройка является первым членом (порядковый номер – один), шестерка – вторым (ее номер по порядку равен двум), двенадцать – третьим и т.д.

То есть, если последовательность (3; 6; 12; 24; 48…) обозначить как (a_n), то можно записать, что (a_1=3), (a_2=6), (a_3=12), (a_4=24) и так далее.

Иными словами, для последовательности (a_n={ 3;: 6; :12; : 24; : 48; : 96; : 192; : 384…}).

порядковый номер элемента	(1)	(2)	(3)	(4)	(5)	(6)	(7)	(8)	…
обозначение элемента	(a_1)	(a_2)	(a_3)	(a_4)	(a_5)	(a_6)	(a_7)	(a_8)	…
значение элемента	(3)	(6)	(12)	(24)	(48)	(96)	(192)	(384)	…

Отметим, что членами последовательности необязательно должны быть различные числа. Она может состоять из одних и тех же чисел, например, выглядеть вот так: (1; : 1; : 1; : 1…) .

Способы задания числовых последовательностей

Все способы формирования числовых последовательностей можно разделить на три большие группы:

– I способ: словесный. Здесь все просто – в буквальном смысле словами описывается каким образом можно вычислить элементы искомой последовательности.

Отметим, что последовательности в начале статьи заданы именно словесным способом.

– II способ: аналитический (формулой энного члена). Тут значение каждого элемента последовательности вычисляется по некоторой формуле, в которую подставляется порядковый номер этого элемента.

Обратите внимание, что при таком задании последовательности, значение каждого элемента зависит только от его порядкового номера. И поэтому, если нам нужно вычислить, например, пятнадцатый элемент, мы можем это сделать сразу, не вычисляя предыдущие четырнадцать.

III способ: рекуррентное соотношение. Звучит страшно, но суть проста – здесь дается начало последовательности (один или несколько первых элементов) и правило, по которому из предыдущего (или нескольких предыдущих) членов последовательности можно вычислить следующий.

Четвертый ((n=3)):     (c_{3+1}=c_3+3)
                                         (c_4=c_3+3=10+3=13).

Пятый ((n=4)):   (c_{4+1}=c_4+3)
                              (c_5=c_4+3=13+3=16).

В этом примере мы по сути получали следующий элемент из предыдущего путем прибавления к предыдущему тройки. Логично, ведь формула (c_{n+1}=c_n+3) требовала именно этого. В ней (c_n) – это предыдущий элемент, а (c_{n+1}) – следующий за ним (ведь его номер на единицу больше).

На практике могут встречаться более сложные формулы, в которых следующий элемент вычисляется из двух, трех или даже большего количества предыдущих.

Пример: У последовательности известны первые два элемента (z_1=2;)   (z_2=5). Так же известна формула следующего элемента (z_{n+2}=3z_{n+1}-z_n). Вычислите значения третьего, четвертого и пятого членов.

Решение: Слева будем писать текущую последовательность, а справа вести вычисления очередного элемента.

Последовательность на данный момент:	Вычисления:
(z_1) (z_2) (z_3) (z_4) (z_5) (…) (2) (5) ? ? ? (…)	Так как формула дана для элемента с номером (n+2), то чтобы найти (z_3) нужно подставлять вместо (n) единицу: (z_{1+2}=3z_{1+1}-z_1) (z_3=3z_2-z_1=3·5-2=13)
(z_1) (z_2) (z_3) (z_4) (z_5) (…) (2) (5) (13) ? ? (…)	Теперь найдем (z_4), подставив вместо (n) двойку: (z_{2+2}=3z_{2+1}-z_2) (z_4=3z_3-z_2=3·13-5=34)
(z_1) (z_2) (z_3) (z_4) (z_5) (…) (2) (5) (13) (34) ? (…)	Наконец вычисляем (z_5), подставляя вместо (n) тройку: (z_{3+2}=3z_{3+1}-z_3) (z_5=3z_4-z_3=3·34-13=89)
(z_1) (z_2) (z_3) (z_4) (z_5) (…) (2) (5) (13) (34) (89) (…)	Готово. Можно писать ответ.

Ответ: (c_3=13); (c_4=34); (c_5=89).

Важное отличие рекуррентного способа задания последовательности от аналитического – при рекуррентном мы не можем посчитать следующий элемент, не зная предыдущих. То есть, если нам нужно вычислить, например, пятнадцатый элемент, придется сначала вычислить все, что идут до него.

Как определить является ли число элементом последовательности?

Во всех предыдущих примерах мы находили значения элементов последовательности – чему равен третий, пятый или девятый член. Иначе говоря, выясняли какое именно число стоит в последовательности на таком-то месте.

Но в практике встречается также обратная задача – значение известно и надо выяснить, есть ли оно среди элементов некоторой последовательности? А если есть, то на каком месте?

Пример (ОГЭ): Какое из чисел ниже есть среди членов последовательности (a_n=n^2-n):

а) (1)               б) (3)               в) (6)              г) (10) ?

Решение: Из условия задачи понятно, что одно из этих чисел точно является элементом последовательности. Поэтому мы можем просто вычислять элементы по очереди, пока не найдем нужный:

(a_1=1^2-1=0) – мимо.

(a_2=2^2-2=2) – тоже не то.

(a_3=3^2-3=6) – есть!

Нужный элемент найден.

Ответ: (6).

Такой метод решения годится только если заранее известно, что элемент точно в последовательности есть. Потому что если его вдруг там нет – это можно проверять вечность, последовательность ведь бесконечна!

Поэтому в такой ситуации пользуются следующим алгоритмом:

1. Подставляют заданное число в формулу (n) -го члена вместо (a_n); 

2. Решая полученное уравнение, находят неизвестное (n); 

3. Если (n) – натуральное, то данное число – член последовательности.

Пример: Выяснить, является ли число (3) членом последовательности (a_n=)(frac{51+2n}{n+4}) ?

Решение:

(a_n=)(frac{51+2n}{n+4})	Если число (3) – член последовательности, то значит при некотором значении (n), формула (frac{51+2n}{n+4}) должна дать нам тройку. Найдем это (n) по алгоритму выше. Подставляем тройку вместо (a_n).
(3=)(frac{51+2n}{n+4})	Решаем это уравнение. Умножаем левую и правую части на знаменатель ((n+4)).
(3cdot (n+4)=51+2n)	Получилось линейное уравнение.  Раскрываем скобки слева.
(3n+12=51+2n)	Собираем неизвестные слева, числа справа…
(3n-2n=51-12)	…и приводим подобные слагаемые.
(n=39)	Готово. Найденное значение – это то число, которое надо подставить вместо (n) в формулу (frac{51+2n}{n+4}), чтоб получилось тройка (можете проверить это сами). Значит (39)-ый член последовательности равен трем.

Ответ: Да, число (3) является элементом данной последовательности.

Смотри также:
Арифметическая прогрессия
Геометрическая прогрессия

Рассмотрим
последовательность:

Запишем
рекуррентную формулу последовательности:

Последовательность:

Рассмотрим
последовательность:

Рекуррентное
задание последовательностей в общем виде можно записать так:

где
d
–
некоторое число.

Определение:

Арифметической
прогрессией называется последовательность, каждый
член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и
тем же числом.

Число
d
называют разностью арифметической прогрессии.

Если
d
>0,
то последовательность чисел будет возрастать.

Если
d
=0,
то все члены арифметической прогрессии равны друг другу.

Если
d<0,
то получаем убывающую последовательность.

Пример.

Выписать
первых пять членов арифметической прогрессии, если:

Воспользуемся
формулой из определения.

Для
нахождения членов последовательности нужно предыдущий
увеличить на число d:

Получили
последовательность: 13, 16, 19, 22, 25.

Выписать
пять первых членов арифметической прогрессии, где:

Получили
последовательность: 70, 58, 46, 34, 22.

Пример.

Найти
сотый член арифметической прогрессии. Если пользоваться определением, то нужно
произвести большое количество ненужных вычислений.

Проанализировав
полученные записи, можно записать:

Получили
формулу n
–
ого члена арифметической прогрессии.

Пример.

Применив
формулу, найти 3 – й, 52 – й и n
–
ый члены арифметической прогрессии, если:

Найдем
члены последовательности, используя формулу:

Найти
13 – ый и n – ый
члены арифметической прогрессии:

Зная
два подряд идущих члена, не составит труда найти разность арифметической
прогрессии:

Найдем
члена арифметической прогрессии:

Формулы
представляют собой линейную зависимость от номера n.

Формулу
n
–
ого члена можно записать в виде:

Получаем,
что любая арифметическая прогрессия может быть задана формулой такого вида.

Последовательность,
заданная формулой такого вида, является арифметической
прогрессией.

Определить,
какая последовательность является арифметической прогрессией:

Арифметическими
прогрессиями являются последовательности, заданные формулами под номерами 1, 3
,5 ,6, так как они являются линейными зависимостями от n.

Пример.

Найти
1 – ый член последовательности, если:

Применив
формулу n
–
ого члена арифметической прогрессии, получим:

Найти
разность арифметической прогрессии d, если:

Применив
формулу n
–
ого члена арифметической прогрессии, получим:

Найти
1 – ый член и разность арифметической прогрессии,
если:

Применив
формулу n
–
ого члена арифметической прогрессии, получим систему
уравнений с двумя неизвестными:

Подставив
известные значения, решаем систему способом подстановки:

Определить,
являются ли данные числа членами арифметической прогрессии:

Следовательно:

1.               
Число
139. Найдем номер этого члена арифметической прогрессии по рекуррентной
формуле:

Получили,
что число 139 является членом данной арифметической прогрессии.

2.               
Число
382. Найдём номер этого члена:

Данное
число этому множеству не принадлежит, так как члены последовательности
нумеруются с помощью множества натуральных чисел. Получаем, что число 382 не
является членом данной арифметической прогрессии.

Свойство
арифметической прогрессии:

Каждый
член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему
арифметическому предыдущего и последующего членов.

Например:

Признак:

Если
в последовательности каждый член, начиная со второго, равен среднему
арифметическому предыдущего и последующего членов, то эта последовательность
является арифметической прогрессией.

Рассмотрим
конечную последовательность. Докажем, что она является арифметической
прогрессией. Для этого нужно показать, что каждый член, начиная со второго,
равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов.

Проверив
все члены последовательности, начиная со второго, они равны среднему
арифметическому предыдущего и последующего членов. Значит, данная
последовательность является арифметической прогрессией.

Вопрос, как решать арифметическую прогрессию, ставит поначалу в тупик многих учеников. Быть может, это происходит от того, что кажется сложным само название, а может, оттого, что формулы арифметической прогрессии выглядят устрашающе. На самом деле, арифметическую прогрессию решать совсем несложно, если хорошо понять, что это такое. А суть арифметической прогрессии состоит в том, что каждый последующий член прогрессии равен сумме предыдущего с неким постоянным числом. Математически это можно выразить формулой: Эта формула позволяет найти любой член арифметической прогрессии. Давайте проверим. Допустим, число d, которое называется разностью арифметической прогрессии, равно 3. А первое число прогрессии равно 1. Тогда 4-й член арифметической прогрессии равен: a4= 1 + 3(4-1)= 10 Давайте проверим, просто суммируя каждый член прогрессии: а2=1+3=4 а3=4+3=7 а4=7+3=10 Все сошлось. Как видите, решать арифметическую прогрессиию несложно, если понять ее смысл. автор вопроса выбрал этот ответ лучшим Элени­я [445K] 3 года назад  Сначала вспомним, что есть арифметическая прогрессия. Это определенная, закономерная последовательность чисел, которая поддается описанию формулой. К каждому из членов прогрессии, кроме самого первого, добавляется определенное число, одинаковое каждый раз, поэтому каждый шаг прогрессии закономерен. Каждый шаг – это добавление числа “d” к предыдущему члену прогрессии, данное число так и называют “шагом” прогрессии или еще говорят “разность” арифметической прогрессии. Всю последовательность членов прогрессии можно обозначить следующим математическим выражением: в этой формуле каждый последующий член представлен латинской буквой “a”. Кроме первого члена прогрессии, к каждому последующему суммируется шаг с определенным значением “d”. Таким образом, третий член прогрессии – это число “a”, к которому добавили два значения “d” или “2d”, третий шаг – “3d” и т. д. Любое n-нное по счету число “a” можно представить следующей формулой: Или: Сумму всех первых членов прогрессии можно представить, как формулу: Все сказанное можно представить: Существует возрастающая или убывающая арифметическая прогрессия, смотря выше или ниже нуля значение шага “d”. Посчитаем убывающую арифметическую прогрессию, если известно значение первых двух членов прогрессии. Сначала найдем “шаг” прогрессии, затем все остальные члены прогрессии, схема расчета ниже. Карел­я Топин [182K] 9 лет назад  Арифметическая прогрессия – это ряд чисел, последующее число которого получается в результате сложения предыдущего числа и коэффициента арифметической прогрессии. Например, 2, 6, 10, 14, и т. д. Коэффициент арифметической прогрессии в данном случае равняется 4. Галин­а Скулк­ина [64K] 9 лет назад  Чтобы решать задачи по арифметической прогрессии, надо хорошо понять, что же это такое. Последовательность, у которой каждый её член, начиная со второго, равен предшествующему члену, сложенному с одним и тем же числом, называется арифметической прогрессией (далее – АП). Чаще всего в задачах подобного рода ставятся такие вопросы: нахождение первого члена АП, n-го члена, разности АП, суммы всех членов АП. Из определения АП можно определить связь соседних членов АП An+1=An+d, например, A5=6, а d=2, то A6=A5+d=6+2=8 При известном первом члене и разности АП находится любой её член по формуле (An): An=A1+d(n-1) Используя эту же формулу, можно найти первый член АП A1=An-d(n-1) Формула разности (при известных первом и n-ом члене АП) d=(An-A1)/(n-1) Сумма членов АП Sn=(A1+An)n/2 Или, если не известен n-ый член АП, но знаем шаг d и номер n-ого члена АП Sn=(2A1+(n-1)dn)/2 Лучше разобраться в этом вопросе поможет видеоурок Galin­a7v7 [120K] 7 лет назад  Основные формулы арифметической прогрессии:1)для n-го члена прогрессии:an=a1+d(n-1),где an и a1 -1-й и n-й члены прогрессии,d-разность прогрессии,2)Сумма n членов прогрессии:Sn=(a1+an)*n2.Все остальные формулы -это следствие этих 2-х формул.В каждой задаче по известным параметрам из формул находится какой-то неизвестный параметр.Известна самая знаменитая задача с использованием арифметической прогрессии:Учитель задал задачу ученикам:Просуммировать все числа от 1 до 100.И пока все ученики старательно считали,один из учеников за минуту высчитал сумму:5050!И это был маленький Гаусс!Он догадался-как быстро сосчитать эту непростую сумму:S100=(1+100)*1002=5050! Знаете ответ?

Определение

Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом.

Другими словами, последовательность (а_n) – арифметическая прогрессия, если для любого натурального числа n выполняется условие а_n+1=а_n+d, где d – некоторое число. Из данного равенства следует, что можно найти это число d, если вычесть из последующего члена предыдущий, то есть d = а_n+1–а_n. Число d называют разностью арифметической прогрессии.

Арифметической прогрессией, например, является ряд чисел 3; 8; 13; 18….., так как разница между числами равна 5, мы видим, что каждое последующее на 5 больше предыдущего.

Если известен первый член арифметической прогрессии a₁ и разность d, то можно вычислить любой член арифметической прогрессии:

a₂ = a₁ + d;

a₃ = a₂ + d = a₁+2d;

a₄ = a₃ + d = a₁+3d.

Этот ряд можно продолжать до бесконечности, поэтому надо запомнить, что n-ый член арифметической прогрессии можем получить быстрее, если к первому члену прогрессии добавить (n−1) разностей, то есть:

Формула n-ого члена арифметической прогрессии

a_n = a₁ + d(n−1)

где n – порядковый номер члена арифметической прогрессии, a₁ – первый член прогрессии, d – разность арифметической прогрессии

Формулу используют, чтобы вычислить заданный член арифметической прогрессии (например, пятнадцатый, двухсотый и т.д.), если известны первый член последовательности и ее разность. Рассмотрим на примерах применение данной формулы.

Пример №1. Найти а₂₀ арифметической прогрессии (а_n), если а₁=14, d=5. Составляем формулу для а₂₀ и подставляем в нее данные: а₂₀= a₁ + d(20−1)=14+5(20−1)=109. Таким образом, мы вычислили, что на 20-ом месте в данной арифметической прогрессии стоит число 109.

Найти а₇ арифметической прогрессии (а_n), если а₁=−8, d=−3. Аналогично работаем, составляя формулу и подставляя в нее данные значения (обращаем внимание на знаки чисел, чтобы не допустить ошибок): а₇= a₁ + d(7−1)= −8−3(7−1)= −26.

Дана арифметическая прогрессия 10; 12; 14;…… Найти а_12. Здесь для нахождения а₁₂ надо сначала найти разность d: d=12−10=2, то есть из последующего вычтем предыдущее. Можно было 14−12, порядок здесь не имеет значения, главное берем два соседних члена прогрессии. Теперь можем составлять формулу и находить а₁₂: а₁₂= a₁ + d(12−1)=10+2(12−1)=32.

Утверждение

Любая арифметическая прогрессия может быть задана формулой вида a_n=kn+b, где k и b некоторые числа. Верно и обратное утверждение: если последовательность чисел задана формулой вида a_n=kn+b, где k и b некоторые числа, то она является арифметической.

Так, например, формула a_n=5n+1 задает арифметическую прогрессию, в которой разность d равна 1; по данной формуле можно найти любой член последовательности, например, найдем 20-ый член, подставляя в формулу число 20: a₂₀=5×20+1=101.

Свойство арифметической прогрессии

Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов. Формула:

а_n=(а_n-1+ а_n+1):2

Другими словами, используя данное свойство, мы можем найти член арифметической прогрессии, стоящий между двумя известными членами, без использования разности d. Рассмотрим это на примерах.

Пример №2. Найти а₁₀ арифметической прогрессии (а_n), если а₉=24; а₁₁=38. Здесь используем свойство, так как видим, что у а₁₀ известны соседние члены. Значит, а₁₀=(а₉+а₁₁):2=(24+38):2=31. Таким образом, десятый член равен 31.

Дана арифметическая прогрессия …..23; х; 35. Найти х. Применяем свойство для нахождения х: х=(23+35):2=29. Для наглядности запишем, что ряд чисел выглядит так: …23; 29; 35.

Формулы суммы n первых членов арифметической прогрессии

Для нахождения суммы (обозначим ее буквой S) большого количества членов арифметической прогрессии существует формула, позволяющая это сделать быстро.

Формула суммы членов арифметической прогрессии с известными членами

Sn=
(a1+an
)n2

В данной формуле мы видим, что для нахождения суммы нужны первый и последний член прогрессии. Но встречаются случаи, когда а_n не известно, но известна разность. Тогда для нахождения суммы применяют вторую формулу.

Формула суммы членов арифметической прогрессии с первым членом и разностью

Sn=2a1+d(n−1)2n

Рассмотрим на примерах применение данных формул.

Пример №3. Найти сумму первых пятидесяти членов арифметической прогрессии (а_n), если а₁=11, а₅₀=39.

Для решения лучше использовать первую формулу, так как здесь есть первый и последний члены: а₁=11, а₅₀=39. Поэтому составляем формулу, подставляем в нее данные значения и вычисляем:

S50=(a1+a50
)502=(11+39)502=25002=1250

Найти сумму первых десяти членов арифметической последовательности 3; 18; …. В данном случае задание можно выполнить двумя способами, как по первой формуле, так и по второй, а затем выяснить, какой способ короче, а значит, рациональнее.

Способ №1 (по первой формуле): надо найти разность d, затем десятый член прогрессии, а затем сумму:

d=18-3=15; а₁₀=3+15(10-1)=138

S10=(a1+a10
)102=(3+138)102=705

Способ №2 (по второй формуле): надо знать разность d, d=18-3=15. Теперь подставим значения во вторую формулу и сосчитаем результат:

S10=2a1+d(10−1)210=2×3+15(10−1)210=705

Результаты в обоих случаях получились у нас одинаковые. А если сравнить два способа, то видно, что второй способ быстрее, тем более что в большинстве случаев разность арифметической прогрессии можно вычислить устно.

Таким образом, выбор формулы для нахождения суммы n первых членов арифметической прогрессии зависит от заданного условия.

Даниил Романович | Просмотров: 8.2k