Как найти апофему цилиндра

Инфоурок

›

Геометрия

›Презентации›Презентация по геометрии на тему “Цилиндр. Площадь его поверхности.” (11 класс)

Как найти апофему

Апофемой в пирамиде называют отрезок, проведенный из ее вершины к основанию одной из боковых граней, если отрезок перпендикулярен этому основанию. Боковая грань такой объемной фигуры всегда имеет треугольную форму. Поэтому при необходимости вычисления длины апофемы допустимо использование свойств как многогранника (пирамиды), так и многоугольника (треугольника).

Вам понадобится

• – геометрические параметры пирамиды.

Инструкция

В треугольнике боковой грани апофема (f) является высотой, поэтому при известной длине бокового ребра (b) и угле (γ) между ним и ребром, на которое опущена апофема, можно использовать известную формулу вычисления высоты треугольника. Умножьте заданную длину ребра на синус известного угла: f = b*sin(γ). Эта формула применима к пирамидам любой (правильной или неправильной) формы.

Для вычисления каждой из трех апофем (f) правильной треугольной пирамиды достаточно знать всего один параметр – длину ребра (a). Это объясняется тем, что грани такой пирамиды имеют форму равносторонних треугольников одинаковых размеров. Для нахождения высот каждого из них вычислите половину произведения длины ребра на квадратный корень из трех: f = a*√3/2.

Если известна площадь (s) боковой грани пирамиды, в дополнение к ней достаточно знать длину (a) общего ребра этой грани с основанием объемной фигуры. В этом случае длину апофемы (f) находите удвоением соотношения между площадью и длиной ребра: f = 2*s/a.

Зная общую площадь поверхности пирамиды (S) и периметр ее основания (p) тоже можно вычислить апофему (f), но только для многогранника правильной формы. Удвойте площадь поверхности и разделите результат на периметр: f = 2*S/p. Форма основания в этом случае не имеет значения.

Количество вершин или сторон основания (n) нужно знать в том случае, если в условиях даны длина ребра (b) боковой грани и величина угла (α), который образуют два смежных боковых ребра правильной пирамиды. При таких исходных условиях вычисляйте апофему (f) умножением числа сторон основания на синус известного угла и возведенную в квадрат длину бокового ребра с последующим делением полученной величины пополам: f = n*sin(α)*b²/2.

В правильной пирамиде с четырехугольным основанием для нахождения длины апофемы (f) можно использовать высоту многогранника (H) и длину ребра основания (a). Извлеките квадратный корень из суммы возведенной в квадрат высоты и четверти от возведенной в квадрат длины ребра: f = √(H²+a²/4).

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

Тела и поверхности вращения. Цилиндр

Тело, образуемое вращением какой-нибудь плоской фигуры около неподвижной прямой линии, называется 
телом вращения
.  Неподвижная прямая называется
осью вращения
.

Вырежем из картона прямоугольник и насадим его на ось и будем очень быстро вращать вокруг этой оси. Наш глаз примерно в течении  116 секунды удерживает зрительное впечатление. Поэтому, если прямоугольник будет делать 15-20 оборотов в секунду, мы перестанем различать отдельные его положения, а увидим сплошное круглое тело.

---

---

При вращении стороны AA1, образуется поверхность, состоящая из множества отрезков (образующих цилиндра), параллельных оси цилиндра. Ее называют 
цилиндрической
или
боковой поверхностью
.

Таким образом, цилиндр – это тело, ограниченное двумя равными кругами и цилиндрической поверхностью.

Осевым сечением цилиндра называется сечение цилиндра плоскостью, проходящей через его ось. Осевым сечением цилиндра является прямоугольник AA1B1B (рис. 1).

Тела, имеющие форму цилиндра, встречаются довольно часто. Оси колес, стержни, валы, колонны, столбы, обтесанные бревна и многие другие предметы имеют форму цилиндра. Например, трубы, банки, стаканы, ведра имеют форму цилиндра, пустого внутри.

---

---

Так как основанием цилиндра является круг, а его площадь равна πR2, то объем цилиндра также можно вычислить по формуле:

V=πR2h.

---

---

Решение

Сначала найдем радиус основания, как половину диаметра:

R=12÷2=6 см.

Найдем объем цилиндра по формуле V=πR2h:

V=3,14·62·5=565,2 см³.

Ответ: 565,2 см³.

---

На рисунке 2 изображен цилиндр. Представьте себе,что его боковую часть разрезали по образующей AA1 и развернули таким образом, что получился прямоугольник. Этот прямоугольник называется 
разверткой

боковой

поверхности

цилиндра
. Длина данного прямоугольника равна длине окружности основания, а ширина AA1 равна высоте цилиндра. Таким образом, легко получить формулу для вычисления площади боковой поверхности цилиндра.

---

---

Площадь полной поверхности прямого цилиндра состоит из двух равных площадей оснований и площади боковой поверхности. Таким образом:

S=Sбок+2Sосн=2πRh+2πR2.

---

---

Решение

Радиус R основания цилиндра R=OA=O1A1=3 см, OO1 будет являться высотой, т.е. h=OO1=6 см.

Найдем площадь боковой поверхности по формуле:

Sбок=2πRh

Sбок=2·3,14·3·6=113,04 см²

2. Найдем объем по формуле:

V=πR2h

V=3,14·32·6=169,56 см³

Ответ: 113,04 см², 169,56 см³.

---

---

---

• Альфашкола
• Уроки по математике
• Стереометрия
• Цилиндр.

Цилиндр. – онлайн урок

В уроке по теме “Стереометрия это“, 10 класс, геометрия. Рассматриваются основные аксиомы стереометрии, следствия и задачи, формулы. Основные понятия стереометрии: пространство, плоскость, взаимное расположение фигур в пространстве, перпендикулярность и параллельность, касательные, углы между прямыми и плоскостями в пространстве, двугранный и линейный угол, расстояние, теорема о трех перпендикулярах. Подробно изучаются все многогранники и их элементы в пространстве: призма, параллелепипед, пирамида, тетраэдр, цилиндр, сфера, шар, конус, усеченные фигуры, октаэдр, икосаэдр, додэкаэдр и грани, площадь боковой поверхности, объем, апофема – элементы. Строим различные комбинации геометрических фигур в пространстве, вписанные и описанные фигуры.

Отзывы:

Мне понравилось занятие полностью! Вопросов нет.

Огромное спасибо Алле Алексеевне за занятия! Очень внимательный и требовательный преподаватель. Отвечает на любые вопросы и идет на встречу. Ребенок включается в урок, заинтересован всегда. Надеемся и дальше на плодотворные занятия! Спасибо большое!

На ваших уроках ребенок получает знания и при этом доволен, именно за это спасибо огромное!

Похожие уроки

Апофе́ма (греч. αποτιθημι — откладываю в сторону) — геометрический термин. В зависимости от контекста может означать следующее:

• В планиметрии — длина перпендикуляра, опущенного из центра правильного многоугольника на любую из его сторон. Апофема правильного -угольника равна радиусу вписанной окружности. Она связана с его стороной и площадью следующими соотношениями:

.

• В стереометрии — высота боковой грани правильной пирамиды (возможно, усечённой).

Литература[править | править код]

• Апофема // Казахстан. Национальная энциклопедия. — Алматы: Қазақ энциклопедиясы, 2004. — Т. I. — ISBN 9965-9389-9-7. (CC BY-SA 3.0)
• Апофема // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.
• Апофема // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.

При написании этой статьи использовался материал из издания «Казахстан. Национальная энциклопедия» (1998—2007), предоставленного редакцией «Қазақ энциклопедиясы» по лицензии Creative Commons BY-SA 3.0 Unported.